Как найти полный квадрат онлайн - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Задача выделения полного квадрата заключается в преобразовании квадратного многочлена следующим образом:

где

и

неизвестные параметры которые требуется определить.

Для определения неизвестных параметров

и
,
преобразуем приведенное выше равенство следующим образом:

и далее, раскроем скобки:

Для того, чтобы приведённое выше равенство соблюдалось, приравняем коэффициенты при одинаковых степенях:

В полученной системе уравнений, первое уравнение обозначает верное тождество при любых значениях параметра
,
поэтому его можно исключить. Из второго уравнения выражаем параметр

и подставляем полученное выражение в третье уравнение системы:

Упрощаем третье уравнение системы и выражением из него значение параметра
:

Подставляем полученные значения

и

в самое первое уравнение и получаем формулу для
выделения полного квадрата
из квадратного многочлена:

Необходимость выделения полного квадрата часто возникает при
решении задач интегрирования рациональных функций. Кроме того, выделив полный квадрат, можно получить формулу для
решения квадратных уравнений.

Наш онлайн калькулятор выделяет полный квадрат для многочлена второй степени с описанием подробного хода решения на русском языке.

Источник

Этот онлайн-калькулятор применяет метод выделения полного квадрата (или метод дополнения до полного квадрата) к квадратному многочлену (полиному), представленному его коэффициентами a, b и c. Он конвертирует квадратный многочлен из вида в вид .

Теорию и формулы вы найдете ниже под калькулятором.

Метод выделения полного квадрата

Коэффициенты квадратного многочлена

Три коэффициента квадратного многочлена, разделенные пробелом, от большей степени к меньшей

Преобразованный многочлен

Метод выделения полного квадрата

Как говорилось выше, метод выделения полного квадрата (метод дополнения до полного квадрата) — это метод конвертирования квадратного полинома из представления вида в представление вида .

Метод выделения полного квадрата используется для

решения квадратных уравнений,
изображения квадратичной функции,
вычисления интегралов в матанализе, таких как гауссовские интегралы с линейным членом в показателе степени
нахождения преобразований Лапласа.

В математике выделение полного квадрата часто применяется в любых вычислениях, включающих квадратные полиномы. Также этот метод можно использовать для выведения формулы корней квадратного уравнения.

Формула для h и k

Давайте выведем формулы для коэффициентов h и k . Начнем с квадратного полинома

Запишем коэффициент a в знаменатель, чтобы получить монический квадратный полином

$x^2+frac{b}{a}x+frac{c}{a}$

Мы знаем, что формула квадрата двучлена записывается так

$(x+p)^{2}=x^{2}+2px+p^{2}$

Используя эту формулы, мы можем записать двучлен, первые два коэффициента квадрата которого будут совпадать с первыми двумя коэффициентами монического квадратного полинома выше:

$(x+frac{b}{2a})^2=x^2+frac{b}{a}x+frac{b^2}{4a^2}$

Эта запись отличается от монического квадратного полинома выше только значением константы. Следовательно, добавив и вычтя соответствующие константы, мы сможем записать равенство:

$x^2+frac{b}{a}x+frac{c}{a}=(x+frac{b}{2a})^2+frac{c}{a}-frac{b^2}{4a^2}$

Добавляя константу, мы выделяем квадрат или дополняем квадрат, отсюда и идет название метода.

Теперь мы можем восстановить коэффициент a, умножив обе части равенства на a и окончательно записать равенство так

где
$k=c-frac{b^2}{4a} \\ h=-frac{b}{2a}$

Источник

Калькулятор онлайн.
Выделение квадрата двучлена и разложение на множители квадратного трехчлена.

Эта математическая программа выделяет квадрат двучлена из квадратного трехчлена, т.е. делает преобразование вида:

( ax^2+bx+c rightarrow a(x+p)^2+q )

и раскладывает на множители квадратный трехчлен:

( ax^2+bx+c rightarrow a(x+n)(x+m) )

Т.е. задачи сводятся к нахождению чисел ( p, q ) и ( n, m )

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного трехчлена, рекомендуем с ними ознакомиться.

Правила ввода квадратного многочлена

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: ( x, y, z, a, b, c, o, p, q ) и т.д.

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x — 3,5x^2

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &

Ввод: 3&1/3 — 5&6/5x +1/7x^2
Результат: ( 3frac{1}{3} — 5frac{6}{5} x + frac{1}{7}x^2 )

При вводе выражения можно использовать скобки. В этом случае при решении введённое выражение сначала упрощается.
Например: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Пример подробного решения

Выделение квадрата двучлена.

$$ ax^2+bx+c rightarrow a(x+p)^2+q $$

$$2x^2+2x-4 = $$

$$2x^2 +2 cdot 2 cdotleft( frac{1}{2} right)cdot x+2 cdot left( frac{1}{2} right)^2-frac{9}{2} = $$

$$2left( x^2 + 2 cdotleft( frac{1}{2} right)cdot x + left( frac{1}{2} right)^2 right)-frac{9}{2} = $$

$$2left( x+frac{1}{2} right)^2-frac{9}{2} $$

Ответ: $$2x^2+2x-4 = 2left( x+frac{1}{2} right)^2-frac{9}{2} $$

Разложение на множители.

$$ ax^2+bx+c rightarrow a(x+n)(x+m) $$

$$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2left( x^2+x-2 right) = $$
$$ 2 left( x^2+2x-1x-1 cdot 2 right) = $$

$$ 2 left( x left( x +2 right) -1 left( x +2 right) right) = $$

$$ 2 left( x -1 right) left( x +2 right) $$

Ответ: $$2x^2+2x-4 = 2 left( x -1 right) left( x +2 right) $$

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Выделение квадрата двучлена из квадратного трехчлена

Если квадратный трехчлен aх²+bx+c представлен в виде a(х+p)²+q, где p и q — действительные числа, то
говорят, что из квадратного трехчлена выделен квадрат двучлена.

Покажем на примере как это преобразование делается.

Выделим из трехчлена 2x²+12x+14 квадрат двучлена.

Вынесем за скобки коэффициент a, т.е. 2:
( 2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) )

Преобразуем выражение в скобках.
Для этого представим 6х в виде произведения 2*3*х, а затем прибавим и вычтем 3². Получим:
$$ 2(x^2+2 cdot 3 cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$
$$ = 2((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Т.о. мы выделили квадрат двучлена из квадратного трехчлена, и показоли, что:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Разложение на множители квадратного трехчлена

Если квадратный трехчлен aх²+bx+c представлен в виде a(х+n)(x+m), где n и m — действительные числа, то
говорят, что выполнена операция разложения на множители квадратного трехчлена.

Покажем на примере как это преобразование делается.

Разложим квадратный трехчлен 2x²+4x-6 на множители.

Вынесем за скобки коэффициент a, т.е. 2:
( 2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) )

Преобразуем выражение в скобках.
Для этого представим 2х в виде разности 3x-1x, а -3 в виде -1*3. Получим:
$$ = 2(x^2+3 cdot x -1 cdot x -1 cdot 3 ) = 2(x(x+3)-1 cdot (x+3) ) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Т.о. мы разложили на множители квадратный трехчлен, и показоли, что:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Заметим, что разложение на множители квадратного трехчлена возможно только тогда, когда, квадратное уравнение, соответсвующее этому
трехчлену имеет корни.
Т.е. в нашем случае разложить на множители трехчлен 2x²+4x-6 возможно, если квадратное уравнение 2x²+4x-6 =0
имеет корни. В процессе разложения на множители мы установили, что уравнение 2x²+4x-6 =0 имеет два корня 1 и -3,
т.к. при этих значениях уравнение 2(x-1)(x+3)=0 обращается в верное равенство.

Источник

§2. Выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена

Описание метода выделения полного квадрата

Выражения вида 2×2+3x+5, `-4x^2+5x+7` носят название квадратного трёхчлена. В общем случае квадратным трёхчленом называют выражение вида ax2+bx+c, где a,b,ca, b, c – произвольные числа, причём a≠0.

Рассмотрим квадратный трёхчлен x2-4x+5. Запишем его в таком виде: x2-2·2·x+5.Прибавим к этому выражению 22 и вычтем 22, получаем: x2-2·2·x+22-22+5. Заметим, что x2-2·2·x+22=(x-2)2, поэтому

x2-4x+5=(x-2)2-4+5=(x-2)2+1.

Преобразование, которое мы сделали, носит название «выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена».

Выделите полный квадрат из квадратного трёхчлена 9×2+3x+1.

Заметим, что 9×2=(3x)2, `3x=2*1/2*3x`. Тогда

`9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`.

Прибавим и вычтем к полученному выражению `(1/2)^2`, получаем

`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.

Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена для разложения квадратного трёхчлена на множители.

Разложите на множители квадратный трёхчлен 4×2-12x+5.

Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена:

2×2-2·2x·3+32-32+5=2x-32-4=(2x-3)2-22.

Теперь применяем формулу a2-b2=(a-b)(a+b), получаем:

(2x-3-2)(2x-3+2)=(2x-5)(2x-1).

Разложите на множители квадратный трёхчлен -9×2+12x+5.

-9×2+12x+5=-9×2-12x+5. Теперь замечаем, что 9×2=3×2, -12x=-2·3x·2.

Прибавляем к выражению 9×2-12x слагаемое 22, получаем:

-3×2-2·3x·2+22-22+5=-3x-22-4+5=-3x-22+4+5==-3x-22+9=32-3x-22.

Применяем формулу для разности квадратов, имеем:

-9×2+12x+5=3-3x-23+(3x-2)=(5-3x)(3x+1).

Разложите на множители квадратный трёхчлен 3×2-14x-5.

Мы не можем представить выражение 3×2 как квадрат какого-то выражения, т. к. ещё не изучали этого в школе. Это будете проходить позже, и уже в Задании №4 будем изучать квадратные корни. Покажем, как можно разложить на множители заданный квадратный трёхчлен:

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3)^2-5/3)=`

`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^2-8/3)^2)=`

`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1)`.

Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата для нахождения наибольшего или наименьшего значений квадратного трёхчлена.
Рассмотрим квадратный трёхчлен x2-x+3. Выделяем полный квадрат:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Заметим, что при `x=1/2` значение квадратного трёхчлена равно `11/4`, а при `x!=1/2` к значению `11/4` добавляется положительное число, поэтому получаем число, большее `11/4`. Таким образом, наименьшее значение квадратного трёхчлена равно `11/4` и оно получается при `x=1/2`.

Найдите наибольшее значение квадратного трёхчлена -16×2+8x+6.

Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена: -16×2+8x+6=-4×2-2·4x·1+1-1+6=-4x-12-1+6==-4x-12+7.

При `x=1/4` значение квадратного трёхчлена равно 7, а при `x!=1/4` из числа 7 вычитается положительное число, то есть получаем число, меньшее 7. Таким образом, число 7 является наибольшим значением квадратного трёхчлена, и оно получается при `x=1/4`.

Разложите на множители числитель и знаменатель дроби `{x^2+2x-15}/{x^2-6x+9}` и сократите эту дробь.

Заметим, что знаменатель дроби x2-6x+9=x-32. Разложим числитель дроби на множители, применяя метод выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена.

x2+2x-15=x2+2·x·1+1-1-15=x+12-16=x+12-42==(x+1+4)(x+1-4)=(x+5)(x-3).

Данную дробь привели к виду `{(x+5)(x-3)}/(x-3)^2` после сокращения на (x-3) получаем `(x+5)/(x-3)`.

Разложите многочлен x4-13×2+36 на множители.

Применим к этому многочлену метод выделения полного квадрата.

`x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=`

`=(x^2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`

`=(x^2-13/2)^2-(5/2)^2=(x^2-13/2-5/2)(x^2-13/2+5/2)=`

`=(x^2-9)(x^2-4)=(x-3)(x+3)(x-2)(x+2)`.

Разложите на множители многочлен 4×2+4xy-3y2.

Применяем метод выделения полного квадрата. Имеем:

(2x)2+2·2x·y+y2-y2-3y2=(2x+y)2-2y2==(2x+y+2y)(2x+y-2y)=(2x+3y)(2x-y).

Применяя метод выделения полного квадрата, разложите на множители числитель и знаменатель и сократите дробь `{8x^2+10x-3}/{2x^2-x-6}`.

`8x^2+10x-3=8(x^2+10/8 x-3/8)=8(x^2+2*5/8 x+(5/8)^2-(5/8)^2-3/8)=`

`=8((x+5/8)^2-25/64-24/64)=8((x+5/8)^2-(7/8)^2)=`

`=8(x+5/8+7/8)(x+5/8-7/8)=8(x+12/8)(x-2/8)=`

`=8(x+3/2)(x-1/4)=(2x+3)(4x-1)`.

Преобразуем знаменатель дроби:

`2x^2-x-6=2(x^2-x/2-6/2)=2(x^2-2*1/4 x+(1/4)^2-(1/4)^2-6/2)=`

`=2((x-1/4)^2-(7/4)^2)=2(x-1/4-7/4)(x-1/4+7/4)=`

`=2(x-2)(x+3/2)=(x-2)(2x+3)`.

Имеем: `{(2x+3)(4x-1)}/{(x-2)(2x+3)}={4x-1}/{x-2}`.

Источник

33,118,255 Решено

2,578 Онлайн

Введи уравнение или задачу

Подключенная камера не распознана!

abc

|abs|

( )

—

abc

␣

Clear

Последние видео

Абсолютное значение

Основные способы

Калькуляторы

Chemistry

Степени

Разложение на множители

Дроби

Геометрия

Нелинейные уравнения, приближение и неравенства

Квадратные уравнения

Последовательности и прогрессии

Наборы линейных уравнений

Статистика

Последние решенные задачи

lcm(48,60,72)
lcm(32,36,72)
lcm(32,36,72)
lcm(14,30,34,18)
mcm(4,8,14)
lcm(48,64,80)
lcm(198,24,18,44)

Помощь при домашнем насилии

Национальная горячая линия по вопросам домашнего насилия

1-800-799-7233

Источник