Как найти половину вектора по координатам

Середина вектора

Формула

Чтобы найти середину вектора по координатам нужно вычислить сумму координат начала и конца вектора и разделить на два.

Например, пусть на плоскости заданы точки $ A(x_1;y_1) $ и $ B(x_2;y_2) $ вектора $ overline{AB} $. Тогда его середина находится по формуле: $$ O (x;y) = O bigg(frac{x_1+x_2}{2};frac{y_1+y_2}{2}bigg) $$

Если вектор задан в пространстве трёмя координатами $ A (x_1;y_1;z_1),B (x_2;y_2;z_2) $, то середину можно найти по аналогичной формуле: $$ O (x;y,z) = O bigg(frac{x_1+x_2}{2};frac{y_1+y_2}{2}; frac{z_1+z_2}{2} bigg) $$

Откуда выведена формула? Если вектор спроецировать на координатную ось $ Ox $, то можно будет применить формулу для нахождения середины отрезка к самому вектору. По сути вектор это направленный отрезок, который имеет начало и конец.

Примеры решений

Пример

Пусть вектор $ overline{AB} $ задан в пространстве трёмя точками $ A(1,3,5) $ и $ B(3,7,1) $. Найти середину вектора.

Решение

Итак, как найти середину вектора? По правилу мы должны сложить соответствующие координаты точек начала и конца вектора и разделить пополам: $$ O = bigg (frac{1+3}{2};frac{3+7}{2};frac{5+1}{2} bigg) = (2;5;3) $$ Точка $ O (2;5;3) $ — является серединой вектора $ overline{AB} $ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ O (2;5;3) $$

Нахождение координат вектора

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти координаты вектора, заданного координатами его начальной и конечной точек, а также разберем примеры решения задач по этой теме.

Нахождение координат вектора

Для того, чтобы найти координаты вектора AB , нужно из координат его конечной точки (B) вычесть соответствующие координаты начальной точки (A).

Формулы для определения координат вектора

» data-lang=»default» data-override=»<«emptyTable»:»»,»info»:»»,»infoEmpty»:»»,»infoFiltered»:»»,»lengthMenu»:»»,»search»:»»,»zeroRecords»:»»,»exportLabel»:»»,»file»:»default»>» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

Для плоских задач	AB = x — Ax; By — Ay>
Для трехмерных задач	AB = x — Ax; By — Ay; Bz — Az>
Для n-мерных векторов	AB = 1 — A1; B2 — A2; . Bn — An>

Примеры задач

Задание 1
Найдем координаты вектора AB , если у его точек следующие координаты: , .

Задание 2
Определим координаты точки B вектора , если координаты точки .

Решение:
Координаты точки B можно вывести из формулы для расчета координат вектора:
B_x = AB _x + A_x = 6 + 2 = 8.
B_y = AB _y + A_y = 14 + 5 = 19.

51. Планиметрия Читать 0 мин.

51.143. Векторы

ОСИ КООРДИНАТ:

Для понимания темы «вектор», надо сначала разобраться с понятием «декартовы координаты».

• ось x — ось абсцисс;
• ось y — ось ординат,
• точка О — начало координат.

Любой точке плоскости сопоставляются два числа:

Эти числа называются декартовыми координатами данной точки.

ВЕКТОР:

Вектор — направленный отрезок прямой. То есть это отрезок, для которого указано, какая из его точек является началом, а какая — концом.

Пусть имеются две точки:

Тогда мы имеем вектор $,overline <!AB,>$, который обозначим за $overline a.$

На примере вектора рассмотрим основные понятия, связанные с векторами.

Во-первых, для каждого вектора можно найти его координаты и модуль.

КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА И МОДУЛЬ ВЕКТОРА:

Координаты вектора — разности координат конца и начала вектора. На примере вектора $overline a$ его координатами будут: $(a_x;,a_y).$ Свойства координат вектора:

• Координаты вектора не изменяются при параллельном переносе.
• У равных векторов соответствующие координаты равны.

Нахождение координат вектора:

Координаты вектора $overline a;(a_x;,a_y)colon$

То есть, координаты вектора $overline acolon (x_2-x_1;,y_2-y_1;,z_2-z_1).$

Модуль вектора — длина вектора (обозначается ). Находится как квадратный корень из суммы квадратов координат вектора.

Если рассмотреть пространственный вектор, то в эти формулы добавляется третья координата — z.

Координаты вектора $overline a;(a_x;,a_y;,a_z)$:

$begin&a_x = x_2-x_1 \ &a_y = y_2-y_1 \ &a_z = z_2 — z_1end$

То есть, координаты вектора $overline acolon (x_2-x_1;,y_2-y_1;,z_2-z_1).$

Модуль вектора $overline acolon$

СЕРЕДИНА ВЕКТОРА:

Чтобы найти середину вектора по координатам нужно:

1. Вычислить сумму координат начала и конца вектора.

2. Разделить на два.

НА ПЛОСКОСТИ

В ПРОСТРАНСТВЕ

O — середина вектора $,overline <!AB,>$

ВИДЫ ВЕКТОРОВ:

Единичный вектор — вектор, длина которого равна 1.

Нулевой вектор — отдельные точки плоскости. У такого вектора конец и начало совпадают, а его длина (его модуль) равен нулю.

Коллинеарные и компланарные векторы

Коллинеарные векторы — векторы, которые параллельны одной прямой или которые лежат на одной прямой.

Два коллинеарных вектора $|overline a| и |b|$ называются сонаправленными только тогда, когда их направления соответствуют друг другу:

Компланарные векторы — векторы, которые параллельны одной плоскости или которые лежат на общей плоскости.

В любое мгновение существует плоскость одновременно параллельная двум любым векторам, поэтому два произвольных вектора являются компланарными.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ:

НА ПЛОСКОСТИ	В ПРОСТРАНСТВЕ
Координаты вектора $overline $	Сложение векторов: $overline =overline a + overline b$
$x$	$c_x = a_x + b_x$	$c_x = a_x + b_x$
$y$	$c_y = a_y + b_y$	$c_y = a_y + b_y$
$z$	—	$c_z = a_z + b_z$
Координаты вектора $overline $	Вычитание векторов: $overline =overline a — overline b$
$x$	$c_x = a_x — b_x$	$c_x = a_x — b_x$
$y$	$c_y = a_y — b_y$	$c_y = a_y — b_y$
$z$	—	$c_z = a_z — b_z$
Координаты вектора $overline $	Умножение вектора на число: $overline b = lambdaoverline a$
$x$	$overline b_x = lambda a_x$	$overline b_x = lambda a_x$
$y$	$overline b_y = lambda a_y$	$overline b_y = lambda a_y$
$z$	—	$overline b_z = lambda a_z$
Значение числа $s$	Скалярное умножение векторов: $s = overline acdotoverline b$
$s=a_x!cdot b_x + a_y!cdot b_y$	$s=a_x!cdot b_x + a_y!cdot b_y + a_z!cdot b_z$

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ РАЗНОСТЬ ВЕКТОРОВ:

СЛОЖЕНИЕ

Сумма двух векторов находится с помощью правила треугольника или правила параллелограмма: $overline = overline a + overline b$.

$<mathbf <Теоремаcolon>>\ Для любых трёх точек A,,B,,C справедливо соотношениеcolon overline<!AB,>+,overline<!BC,>=,overline<!AC,>!.$

$<mathbf <РАЗНОСТЬ>>\Разность двух векторов overline a и overline b;— это вектор overline , который в сумме с вектором overline b даёт вектор overline a \ overline b + overline = overline aquadRightarrowquadoverline = overline a — overline b$

$Вектор overline можно найти также, складывая с вектором overline a вектор bigl(-overline bbigr), противоположный вектору overline bcolon \ overline = overline a + bigl(-overline bbigr)$

Геометрия

Лучшие условия по продуктам Тинькофф по этой ссылке

Дарим 500 ₽ на баланс сим-карты и 1000 ₽ при сохранении номера

. 500 руб. на счет при заказе сим-карты по этой ссылке

Лучшие условия по продуктам
ТИНЬКОФФ по данной ссылке

План урока:

Прямоугольная система координат

В планиметрии мы уже рассматривали прямоугольную систему координат. Ее образовывали 2 перпендикулярные друг другу оси – Ох и Оу. С ее помощью можно было определить положение любой точки на координатной плоскости, просто указав две ее координаты – абсциссу х и ординату у.

В стереометрии необходимо определять положение точки уже не на плоскости, а в пространстве. Для этого добавляется третья ось Оz, которую ещё называют осью апликат. Каждые пара осей образует свою отдельную координатную плоскость, всего получается три таких плос-ти: Оху, Охz и Oуz.

Точка О именуется началом координат. Она делит каждую ось на два луча, один из которых – это положительная полуось, а второй – отрицательная полуось.

Для каждой точки в пространстве можно указать три координаты, однозначно определяющие ее положение в пространстве. Пусть в пространстве есть некоторая точка М. Опустим из нее перпендикуляры на координатные плоскости. В свою очередь из этих проекций точки М опустим перпендикуляры уже на координатные оси. В результате будет построен прямоугольный параллелепипед. Измерения этого параллелепипеда и будут координатами точки М:

Если точка M находится в одной из координатных плоскостей, то одна из ее координат будет нулевой. Например, если М принадлежит плоскости Охz, то нулю будет равна координата у. Если же точка располагается на одной из координатных осей, то у нее уже две координаты будут нулевыми. Так, если точка находится на оси Ох, то только координата х может быть ненулевой, а у и z окажутся нулевыми координатами.

На показанном рисунке ребра параллелепипеда лежат на положительных полуосях, поэтому все координаты положительны. Если же какие-то ребра будут лежать на отрицательных полуосях, то и соответствующие координаты будут отрицательными.

Координаты вектора

Введем в пространстве прямоугольную систему коорд-т, а далее от ее начала отложим вектора i, j и k, которые соответственно будут лежать на координатных осях Ох, Оу и Оz, и длина которых составит единицу. Эти вектора именуют координатными векторами, единичными векторами или просто ортами.

Ясно, что орты находятся в разных плоскостях, то есть они образуют тройку некомпланарных векторов. Это означает, что любой вектор а в пространстве можно разложить на орты:

где х, у и z – какие-то действительные числа. Они как раз и считаются координатами вектора а. Записываются коорд-ты вектора в фигурных скобках. На следующем рисунке показан вектор а<3; – 2; – 4>.

Задание. Разложите на орты вектор

Если начало вектора ОМ располагается в начале системы координат О, то вектор ОМ именуют радиус-вектором. В таком случае коорд-ты точки конца вектора, то есть точки М, совпадают с коорд-тами самого вектора ОМ.

Это свойство радиус-вектора мы уже изучали в 9 классе в планиметрии, и в стереометрии оно сохраняется.

Задание. О – начало координат, а точка М имеет коорд-ты (2; 5; – 3). Найдите коорд-ты вектора ОМ.

Решение. Всё очень просто – коорд-ты вектора будут совпадать с коорд-тами его конца, так его начало совпадает с началом коорд-т:

Также в стереометрии остаются справедливыми ещё несколько правил, которые были доказаны в курсе планиметрии:

Задание. Найдите сначала сумму, а потом разность векторов а <3; 7; 5>и b<2; 4; 6>.

Решение. Будем обозначать коорд-ты векторов через индексы. Например, коорд-ты вектора а – это х_а, у_а и z_а. Пусть сумма векторов будет вектором с, а их разность – вектором d. Для вычисления суммы надо складывать соответствующие координаты:

Для вычисления разности надо из коорд-т вектора а вычитать коорд-ты вектора b:

Задание. Вычислите коорд-ты вектора р, зная, что:

Решение. Для вычисления координат надо в выражении для вектора р сами векторы заменить на их координаты:

Получается, что вектор p имеет координаты <0; – 2; 3>.

Теперь мы можем доказать ещё одно утверждение, уже известное из курса планиметрии:

Действительно, пусть есть некоторый вектор АВ, причем коорд-ты точек А и В известны. Построим радиус-вектора OА и OВ:

Координаты радиус-векторов будут совпадать с координатами их концов:

Задание. Определите коорд-ты вектора CD, если даны коорд-ты точек С и D: С(3; 8; – 5) и D(5; 4; 1).

Решение. Здесь надо просто из коорд-т точки D, являющейся концом вектора, вычесть коорд-ты точки С:

Задание. От точки K(10; 6; 13) отложен вектор m<3; 2; 5>, конец совпал в точку H. Найдите коорд-ты точки H.

Решение. Коорд-ты вектора m и его концов связаны формулами:

Координаты середины отрезка

Пусть в пространстве есть отрезок АВ, и координаты его концов известны. Точка М – середина этого отрезка. Как вычислить ее координаты? Рассмотрим взаимосвязь векторов АМ, МВ и АВ:

Раз М – середина АВ, то вектора АМ и МВ имеют равные длины, и при этом они находятся на одной прямой. Значит, эти вектора равны и потому у них одинаковые коорд-ты:

Аналогично можно получить аналогичные формулы для коорд-т у и z:

Рассмотрим несколько задач на координаты точек.

Задание. Найдите коорд-ты середины отрезка, соединяющего точки А(3; 7; 12) и В(1; 5; – 4).

Решение. Просто используем только что выведенные формулы. Середину также обозначаем буквой М:

Задание. Известно, что K середина отрезка CD. Даны координаты точек С и K: С(12; 9; – 3) и K(15; 7; 3). Найдите коорд-ты D.

Решение. Сначала запишем формулу для коорд-ты х:

Вычисление длины векторов и расстояния между точками

Рассмотрим радиус-вектор ОМ с коорд-тами . Попытаемся найти его длину. Мы можем построить прямоугольный параллелепипед, в котором этот вектор окажется диагональю:

Напомним, что квадрат длины диагонали в прямоугольном параллелепипеде равен сумме квадратов его измерений. Но в полученном параллелепипеде измерения – это коорд-ты х, у и z, поэтому можно записать:

Так как равные вектора имеют как одинаковы и коорд-ты, и длина, то ясно, что каждый вектор с коорд-тами будет равен рассмотренному радиус-вектору, а значит и его длина будет рассчитываться по такой же формуле.

Задание. Найдите длину вектора m<– 2; 9; 6>.

Решение. Просто используем формулу:

Рассмотрим отрезок АВ с известными коорд-тами его концов. Можно построить вектор АВ, его коорд-ты будут определяться так:

Задание. Найдите расстояние между точкой K(10; 15; 5) и M(16; 21; – 2).

Решение. Просто подставляем коорд-ты точек в формулу:

Задание. Найдите длину медианы KM в ∆ KPN, если известны коорд-ты его вершин: P(2; 5; 8), N (6; 9; 12) и K(16; 11; 13).

Решение. Для нахождения длины медианы достаточно знать коорд-ты ее концов. Коорд-ты K уже известны, а M – середина PN, что позволяет вычислить и ее коорд-ты:

Коллинеарность векторов

Напомним, что если два вектора а и b коллинеарны друг другу, то должно существовать такое число k, что

Полученное отношение (1) является одновременно и признаком коллинеарных векторов, и их свойством. Слово «признак» означает, что любые вектора, чьи координаты соответствуют условию (1), будут коллинеарны. Слово «свойство» означает обратное – если известно, что вектора коллинеарны, то для них обязательно выполняется условие (1). В таких случаях в математике может использоваться словосочетание «тогда и только тогда»:

Очень важно то, что это правило действует только в случае, если все коорд-ты векторов ненулевые. Теперь рассмотрим случай, когда какие-то коорд-ты вектора b (одна или две из них) равны нулю. Например, пусть

В результате мы выяснили, что если коорд-та одного вектора нулевая, то и у любого вектора, коллинеарному ему, эта же коорд-та также должна быть нулевой. Особняком стоит случай с нулевым вектором с коорд-тами <0; 0; 0>. Он условно признается коллинеарным любому вектору.

Задание. Выясните, какие из этих пар векторов коллинеарны:

Решение. В первом задании просто делим друг на друга соответствующие коорд-ты и находим значение коэффициента k:

Значение коэффициента k оказалось одинаковым для каждой пары коорд-т, значит, вектора коллинеарны.

Повторяем эти действия в задании б):

На этот раз коэффициенты k оказались различными, значит, вектора неколлинеарны.

В задании в) у вектора е коорд-та z нулевая. Значит, если и у вектора f, если он коллинеарен z, эта координата должна быть нулевой, но это не так. Значит, вектора e и f неколлинеарны.

В задании г) снова указаны вектора с нулевыми коорд-тами. Но у обоих векторов коорд-та z нулевая, поэтому они могут быть коллинеарными. Однако необходимо проверить, что отношение ненулевых координат одинаково:

Коэффициент k получился одинаковым, поэтому вектора коллинеарны.

В последнем задании д) вектор n – нулевой, ведь все его коорд-ты нулевые. Нулевой вектор всегда коллинеарен другим векторам, в том числе и в этом задании.

Ответ: а) да; б) нет; в) нет; г) да; д) да.

Задание. Выясните, располагаются ли на одной прямой точки А(3; 5; 12), В(5; 7; 16) и С(0; 2; 6).

Решение. Ясно, что если эти точки находятся на одной прямой, то вектора АВ и ВС будут коллинеарными. Если же эти вектора неколлинеарны, то и точки должны находиться на разных прямых.

Сначала вычислим коорд-ты векторов АВ и ВС:

Теперь проверяем, коллинеарны ли эти вектора:

Коэффициенты k одинаковы, а потому АВ и ВС – коллинеарные векторы. Значит, точки А, В и С находятся на одной прямой.

Определение компланарности векторов

Пусть у нас есть три вектора с известными коорд-тами:

Как определить, компланарны ли эти вектора, то есть располагаются ли они в одной плоскости? Если эти вектора компланарны, то, по признаку компаланарности, вектор а можно разложить на вектора b и с:

где х и y – некоторые числа. Но если такое разложение существует, то коорд-ты векторов а, b и с будут связаны равенствами:

Получили систему из 3 уравнений с двумя неизвестными (х и y). Если такая система имеет решение, то вектора компланарны. Если же решения нет, то вектора не компланарны.

Задание. Определите, компланарны ли вектора

Имеем систему с тремя уравнениями. Из последних двух уравнений очевидно, что его решением может быть только пара чисел:

Значит, рассмотренная тройка векторов компланарна.

Задание. Располагаются ли в одной плос-ти вектора:

Решение. Нам надо проверить компаланарность векторов, поэтому действуем также, как и в предыдущей задаче. Если вектора компланарны, то существует разложение:

Получилось неверное равенство. Это означает, что у системы уравнений решения нет, и потому тройка векторов некомпланарна.

Скалярное произведение векторов

В 9 классе мы уже изучали скалярное произведение векторов.

Для нахождения угла между векторами необходимо отложить их от одной точки, тогда они образуют такой угол.

Задание. Угол между векторами с и d составляет 60°, а их длины соответственно равны 5 и 6. Найдите их скалярное произведение.

Решение. Здесь для расчета просто перемножаем длины векторов и косинус 60°:

Напомним несколько уже известных нам фактов о скалярном произведении, остающихся верными и в стереометрии:

Формула для расчета скалярного произведения по коорд-там векторов, используемая в стереометрии, несколько отличается от формулы из курса планиметрии. Напомним, что в планиметрии произведение векторов аа; у_а> и b<х_b; y_b> можно было рассчитать так:

Задание. Вычислите скалярное произведение векторов:

На практике скалярное произведение обычно используется для расчета углов между векторами, а также отрезками и прямыми. Рассмотрим несколько задач.

Задание. Вычислите угол между векторами:

Теперь через скалярное произведение возможно рассчитать косинус искомого нами угла, а затем и сам угол, который мы обозначим как α:

Задание. Рассчитайте углы в ∆АВС, зная коорд-ты его вершин: А(1; – 1; 3), В(3; – 1; 1) и С(– 1; 1; 3).

Решение. Чтобы найти ∠В, необходимо просто рассчитать угол между векторами ВС и ВА также, как это сделано в предыдущей задаче. Но сначала найдем коорд-ты векторов ВС и ВА и их длины:

Далее рассчитываем скалярное произведение векторов:

Теперь найдем угол А, который представляет собой угол между векторам AВ и AС. Вектор AВ – это вектор, противоположный ВA, то у него та же длина, но противоположный знак у коорд-т:

Задание. В прямоугольном параллелепипеде АВСDA₁B₁C₁D₁ ребра имеют длину:

Рассчитайте угол между векторами DB₁ и BC₁.

Решение. Введем систему коорд-т Охуz и расположим в нем параллелепипед следующим образом:

При этом построении граничные точки векторов будут иметь следующие коорд-ты:

Находим коорд-ты векторов, а также их длины:

Рассчитываем скалярное произведение DB₁ и BC₁:

Получили ноль. Из этого вытекает, что вектора перпендикулярны, то есть искомый нами угол составляет 90°.

Сегодня мы научились использовать координаты для решения стереометрических задач. Почти все формулы, используемые в методе координаты, аналогичны тем формулам, которые были выведены ещё в курсе планиметрии. Надо лишь учитывать существование ещё одной, третьей координаты z.

ОСИ КООРДИНАТ:

Для понимания темы «вектор», надо сначала разобраться с понятием «декартовы координаты».

• ось x — ось абсцисс;
• ось y — ось ординат,
• точка О — начало координат.

Любой точке плоскости сопоставляются два числа:

• абсцисса x₀,
• ордината y_0.

Эти числа называются декартовыми координатами данной точки.

ВЕКТОР:

Вектор — направленный отрезок прямой. То есть это отрезок, для которого указано, какая из его точек является началом, а какая — концом.

Пусть имеются две точки:

• A с координатами $(x_1;,y_1)$
• B с координатами $(x_2;,y_2)$.

Тогда мы имеем вектор $,overline {!AB,}$, который обозначим за $overline a.$

На примере вектора рассмотрим основные понятия, связанные с векторами.

Во-первых, для каждого вектора можно найти его координаты и модуль.

КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА И МОДУЛЬ ВЕКТОРА:

Координаты вектора — разности координат конца и начала вектора. На примере вектора $overline a$ его координатами будут: $(a_x;,a_y).$ Свойства координат вектора:

• Координаты вектора не изменяются при параллельном переносе.
• У равных векторов соответствующие координаты равны.

Нахождение координат вектора:

Координаты вектора $overline a;(a_x;,a_y)colon$

$begin{aligned}&a_x=x_2-x_1\&a_y=y_2-y_1end{aligned}$

То есть, координаты вектора $overline acolon (x_2-x_1;,y_2-y_1;,z_2-z_1).$

Модуль вектора — длина вектора (обозначается ). Находится как квадратный корень из суммы квадратов координат вектора.

$|overline a|=sqrt{(a_x)^2+(a_y)^2vphantom{bigl(}}=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2vphantom{bigl(}}$

Если рассмотреть пространственный вектор, то в эти формулы добавляется третья координата — z.

Координаты вектора $overline a;(a_x;,a_y;,a_z)$:

$begin{aligned}&a_x = x_2-x_1 \ &a_y = y_2-y_1 \ &a_z = z_2 — z_1end{aligned}$

То есть, координаты вектора $overline acolon (x_2-x_1;,y_2-y_1;,z_2-z_1).$

Модуль вектора $overline acolon$

$|overline a|=sqrt{(a_x)^2+(a_y)^2+(a_z)^2vphantom{bigl(}}=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2vphantom{bigl(}}$

СЕРЕДИНА ВЕКТОРА:

Чтобы найти середину вектора по координатам нужно:

1. Вычислить сумму координат начала и конца вектора.

2. Разделить на два.

НА ПЛОСКОСТИ	В ПРОСТРАНСТВЕ
O — середина вектора $,overline {!AB,}$
$begin{aligned}&A,(x_1;,y_1), B,(x_2;,y_2) \[3pt] &O(x;y)=left(frac{x_1+x_2}{2};,frac{y_1+y_2}{2}right)end{aligned}$	$begin{aligned}&A,(x_1;,y_1;,z_1), B,(x_2;, y_2;, z_2) \[3pt] &O(x;y;z)=left(frac{x_1+x_2}{2};,frac{y_1+y_2}{2};,frac{z_1+z_2}{2}right)end{aligned}$

ВИДЫ ВЕКТОРОВ:

Единичный вектор — вектор, длина которого равна 1.

Нулевой вектор — отдельные точки плоскости. У такого вектора конец и начало совпадают, а его длина (его модуль) равен нулю.

Коллинеарные и компланарные векторы

Коллинеарные векторы — векторы, которые параллельны одной прямой или которые лежат на одной прямой. Два коллинеарных вектора $|overline a| и |b|$ называются сонаправленными только тогда, когда их направления соответствуют друг другу: $|overline a|{small uparrowuparrow}|overline b|$

Компланарные векторы — векторы, которые параллельны одной плоскости или которые лежат на общей плоскости. В любое мгновение существует плоскость одновременно параллельная двум любым векторам, поэтому два произвольных вектора являются компланарными.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ:

	НА ПЛОСКОСТИ	В ПРОСТРАНСТВЕ
Координаты вектора $overline {c,}$	Сложение векторов: $overline {c,}=overline a + overline b$
$x$	$c_x = a_x + b_x$	$c_x = a_x + b_x$
$y$	$c_y = a_y + b_y$	$c_y = a_y + b_y$
$z$	—	$c_z = a_z + b_z$
Координаты вектора $overline {c,}$	Вычитание векторов: $overline {c,}=overline a — overline b$
$x$	$c_x = a_x — b_x$	$c_x = a_x — b_x$
$y$	$c_y = a_y — b_y$	$c_y = a_y — b_y$
$z$	—	$c_z = a_z — b_z$
Координаты вектора $overline {b}$	Умножение вектора на число: $overline b = lambdaoverline a$
$x$	$overline b_x = lambda a_x$	$overline b_x = lambda a_x$
$y$	$overline b_y = lambda a_y$	$overline b_y = lambda a_y$
$z$	—	$overline b_z = lambda a_z$
Значение числа $s$	Скалярное умножение векторов: $s = overline acdotoverline b$
$s=a_x!cdot b_x + a_y!cdot b_y$	$s=a_x!cdot b_x + a_y!cdot b_y + a_z!cdot b_z$

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ РАЗНОСТЬ ВЕКТОРОВ:

СЛОЖЕНИЕ

Сумма двух векторов находится с помощью правила треугольника или правила параллелограмма: $overline {c,} = overline a + overline b$.

${mathbf {Теоремаcolon}}\ Для любых трёх точек A,,B,,C справедливо соотношениеcolon overline{!AB,}+,overline{!BC,}=,overline{!AC,}!.$

${mathbf {РАЗНОСТЬ}}\Разность двух векторов overline a и overline b;— это вектор overline {c,}, который в сумме с вектором overline b даёт вектор overline a \ overline b + overline{c,} = overline aquadRightarrowquadoverline{c,} = overline a — overline b$

$Вектор overline {c,} можно найти также, складывая с вектором overline a вектор bigl(-overline bbigr), противоположный вектору overline bcolon \ overline {c,} = overline a + bigl(-overline bbigr)$

Как найти середину вектора

Вектор – это величина, характеризуемая своим численным значением и направлением. Другими словами, вектор – это направленный отрезок. Положение вектора AB в пространстве задается координатами точки начала вектора A и точки конца вектора B. Рассмотрим, как определить координаты середины вектора.

Инструкция

Для начала определимся с обозначениями начала и конца вектора. Если вектор записан как AB, то точка A является началом вектора, а точка B – концом. И наоборот, для вектора BA точка B является началом вектора, а точка A – концом. Пусть нам задан вектор AB с координатами начала вектора A = (a1, a2, a3) и конца вектора B = (b1, b2, b3). Тогда координаты вектора AB будут следующими: AB = (b1 – a1, b2 – a2, b3 – a3), т.е. из координаты конца вектора необходимо вычесть соответствующую координату начала вектора. Длина вектора AB (или его модуль) вычисляется как корень квадратный из суммы квадратов его координат: |AB| = √((b1 – a1)^2 + (b2 – a2)^2 + (b3 – a3)^2).

Найдем координаты точки, являющейся серединой вектора. Обозначим ее буквой O = (o1, o2, o3). Находятся координаты середины вектора так же, как координаты середины обычного отрезка, по следующим формулам: o1 = (a1 + b1)/2, o2 = (a2 + b2)/2 , o3 = (a3 + b3)/2. Найдем координаты вектора AO: AO = (o1 – a1, o2 – a2, o3 – a3) = ((b1 – a1)/2, (b2 – a2)/2, (b3 – a3)/2).

Рассмотрим пример. Пусть дан вектор AB с координатами начала вектора A = (1, 3, 5) и конца вектора B = (3, 5, 7). Тогда координаты вектора AB можно записать как AB = (3 – 1, 5 – 3, 7 – 5) = (2, 2, 2). Найдем модуль вектора AB: |AB| = √(4 + 4 + 4) = 2 * √3. Значение длины заданного вектора поможет нам для дальнейшей проверки правильности координат середины вектора. Далее найдем координаты точки O: O = ((1 + 3)/2, (3 + 5)/2, (5 + 7)/2) = (2, 4, 6). Тогда координаты вектора AO рассчитываем как AO = (2 – 1, 4 – 3, 6 – 5) = (1, 1, 1).

Выполним проверку. Длина вектора AO = √(1 + 1 + 1) = √3. Вспомним, что длина исходного вектора равна 2 * √3, т.е. половина вектора действительно равна половине длины исходного вектора. Теперь рассчитаем координаты вектора OB: OB = (3 – 2, 5 – 4, 7 – 6) = (1, 1, 1). Найдем сумму векторов AO и OB: AO + OB = (1 + 1, 1 + 1, 1 + 1) = (2, 2, 2) = AB. Следовательно, координаты середины вектора были найдены верно.

Полезный совет

Выполнив вычисления координат середины вектора, обязательно выполните хотя бы самую простую проверку – посчитайте длину вектора и сравните ее с длиной данного вектора.

Источники:

• как найти первую координату

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?