Как найти положение линзы по известному изображению

В уроках «Изображение светящейся точки, даваемое линзой» и «Изображение предмета, даваемое линзой», мы уже рассматривали построение различных изображений. Также в этих уроках находятся памятки для построения изображения точки или предмета, которые могут вам пригодиться.

В данном уроке представлены дополнительные интересные задачи на построение изображений. И, конечно, вы можете ознакомиться с их решением, разбором построения и итоговым чертежом.

Задача №1

На рисунке 1 показан ход светового луча, падающего на рассеивающую линзу. Выполнив необходимые построения, найдите положения фокусов линзы и положение изображения светящейся точки $S$.

Показать готовый чертеж и пояснения

Скрыть

Задача №2

На рисунке 3 изображены положения главной оптической оси линзы, источника света $S$ и его изображения $S_1$. С помощью этих данных постройте оптический центр, отметьте на чертеже саму линзу и ее фокусы.

Показать готовый чертеж и пояснения

Скрыть

Задача №3

Постройте оптический центр, отметьте линзу и ее фокусы на чертеже, используя данные рисунка 5.

Показать готовый чертеж и пояснения

Скрыть

Задача №4

Постройте изображение предмета, расположение которого показано на рисунке 7. Охарактеризуйте его.

Показать готовый чертеж и пояснения

Скрыть

Задача №5

Постройте изображение предмета, находящегося в фокусе собирающей и рассеивающей линз (рисунок 9). Сравните полученные изображения.

Показать готовый чертеж и пояснения

Скрыть

Задача №6

Постройте изображение предмета, расположенного от собирающей линзы на расстоянии $3F$ (рисунок 11).

Показать готовый чертеж и пояснения

Скрыть

Задача №7

Постройте изображение предмета, расположенного от собирающей линзы на расстоянии $4F$ (рисунок 13). Сравните его с изображением предмета, полученным в задаче №6.

Показать готовый чертеж и пояснения

Скрыть

Постройте изображение предмета, расположение которого показано на рисунке 15, и охарактеризуйте его.

Показать готовый чертеж и пояснения

Скрыть

Всякая задача, которую задаёт нам жизнь, обязательно имеет решение, причём такое, какое нам по силам.

Примеры решения расчетных задач

Задача 1. Заданы главная оптическая ось линзы NN, положение источника S и его изображения S´. Найдите построением положение оптического центра линзы С и ее фокусов для трех случаев (рис. 1).

Решение:
Для нахождения положения оптического центра С линзы и ее фокусов F
используем основные свойства линзы и лучей, проходящих через оптический
центр, фокусы линзы или параллельно главной оптической оси линзы.

Случай 1. Предмет S и его изображение расположены по одну сторону от главной оптической оси NN (рис. 2).

Проведем через S и S´ прямую (побочную ось) до пересечения с главной оптической осью NN в точке С. Точка С определяет положение оптического центра линзы, расположенной перпендикулярно оси NN. Лучи, идущие через оптический центр С, не преломляются. Луч SA, параллельный NN, преломляется и идет через фокус F и изображение S´, причем через S´ идет продолжение луча SA. Это значит, что изображение S´ в линзе является мнимым. Предмет S расположен между оптическим центром и фокусом линзы. Линза является собирающей.

Случай 2. Проведем через S и S´ побочную ось до пересечения с главной оптической осью NN в точке С — оптическом центре линзы (рис. 3).

Луч SA, параллельный NN, преломляясь, идет через фокус F и изображение S´, причем через S´ идет продолжение луча SA. Это значит, что изображение мнимое, а линза, как видно из построения, рассеивающая.

Случай 3. Предмет S и его изображение лежат по разные стороны от главной оптической оси NN (рис. 4).

Соединив S и S´, находим положение оптического центра линзы и положение линзы. Луч SA, параллельный NN, преломляется и через фокус F идет в точку S´. Луч через оптический центр идет без преломления.

Задача 2. На рис. 5 изображен луч АВ, прошедший сквозь рассеивающую линзу. Постройте ход луча падающего, если положение фокусов линзы известно.

Решение:
Продолжим луч АВ до пересечения с фокальной плоскостью РР в точке F´ и проведем побочную ось ОО через F´ и С (рис. 6).

Луч, идущий вдоль побочной оси ОО, пройдет, не меняя своего направления, луч DA, параллельный ОО, преломляется по направлению АВ так, что его продолжение идет через точку F´.

Задача 3. На собирающую линзу с фокусным расстоянием F₁ = 40 см падает параллельный пучок лучей. Где следует поместить рассеивающую линзу с фокусным расстоянием F₂ = 15 см, чтобы пучок лучей после прохождения двух линз остался параллельным?

Решение:
По условию пучок падающих лучей ЕА параллелен главной оптической оси NN,
после преломления в линзах он должен таковым и остаться. Это возможно,
если рассеивающая линза расположена так, чтобы задние фокусы линз F₁ и F₂ совпали. Тогда продолжение луча АВ (рис. 7), падающего на рассеивающую линзу, проходит через ее фокус F₂, и по правилу построения в рассеивающей линзе преломленный луч BD будет параллелен главной оптической оси NN, следовательно, параллелен лучу ЕА. Из рис. 7 видно, что рассеивающую линзу следует поместить на расстоянии d=F₁-F₂=(40-15)(см)=25 см от собирающей линзы.

Ответ: на расстоянии 25 см от собирающей линзы.

Формулу (6) можно положить в основу геометрической теории любых центрированных систем в параксиальных лучах. Применяя ее к первой преломляющей поверхности сложной системы, найдем положение изображения, возникающего от преломления на этой поверхности. Полученное изображение играет роль предмета для преломления на второй сферической поверхности. Положение второго промежуточного изображения, возникающего от преломления на второй сферической поверхности, можно найти с помощью той же формулы и т. д. Путем такого применения формулы (6) к каждой из преломляющих поверхностей можно найти положение окончательного изображения, даваемого всей системой.

В качестве примера рассмотрим центрированную систему, состоящую из двух сферических поверхностей, ограничивающих какой-либо прозрачный, хорошо преломляющий материал (стекло, кварц). Такая система представляет обычную линзу. Линза называется Тонкой, если ее толщина мала по сравнению с радиусами кривизны ограничивающих поверхностей. На рис. 3 для ясности линза изображена толстой, но в расчетах будем полагать, что точки О1 и О2 сливаются в точку О, которая носит название оптического центра линзы и от которой отсчитываются все расстояния.

Любой параксиальный луч, проходящий через О, практически не испытывает преломления, так как для этих лучей участки обеих поверхностей линзы можно считать параллельными, и лучи, проходя через них, не меняют направления, а лишь смещаются параллельно самим себе. Так как толщиной линзы мы пренебрегаем, то смещение это ничтожно мало и луч практически проходит без преломления, если с обеих сторон линзы находится одинаковая среда. Луч, проходящий через оптический центр, называется Осью линзы. Ось, проходящая через центры обеих поверхностей, называется Главной, остальные оси называются побочными.

Рис. 3

Преломление на первой сферической поверхности создало бы без второй поверхности в сплошном стекле с показателем преломления N изображение в точке С, расположенной на расстоянии ОС = А, так что

, (11)

Где А1 = ОS,

R1 — радиус кривизны первой поверхности линзы;

N1 — показатель преломления среды, в которой расположен предмет.

Для второй поверхности промежуточное изображение С будет служить предметом. Изображение такого предмета после преломления на второй поверхности, получаемое в точке S1, и будет окончательным изображением источника S, которое дает линза. Здесь опять применима формула (6), которая примет вид:

, (12)

Где R2 — радиус кривизны второй поверхности;

A2 = S1O;

N2 – показатель преломления среды, в которой находится изображение.

Складывая равенства (11) и (12), получим формулу тонкой линзы:

, (13)

Где (N2 – N)/R2 + (N – N1)/R1 — оптическая сила тонкой линзы, равная сумме оптических

Сил обеих преломляющих поверхностей.

Если справа и слева от линзы находится одна и та же среда с показателем преломления N0 ,т. е. n1 = N2 = N0, тогда формула (13) примет вид:

, (14)

Где (N – 1) — относительный показатель преломления.

Общая формула линзы (13) справедлива для тонких линз любой формы (двояковыпуклых, двояковогнутых и т. д.) при любом расположении предмета и соответствующем расположении фокуса. Нужно только принять во внимание знаки A1, a2, R1, R2, считая их положительными, если они отложены вправо от линзы, по ходу луча, и отрицательными, если они отложены влево от линзы (против хода луча).

Если предмет удаляется от линзы (А1 возрастает по абсолютной величине), то изображение перемещается. Положение изображения, соответствующее предельному случаю, когда источник удален в бесконечность, носит название Фокуса линзы. Фокус линзы есть точка, сопряженная бесконечно удаленной точке главной оси, или – место схождения лучей, параллельных главной оптической оси. Расстояние от линзы до фокуса есть Фокусное расстояние тонкой линзы. Плоскость, проходящая через фокус перпендикулярно к главной оси, называется Фокальной плоскостью.

Для фокусных расстояний с использованием формулы (14) имеем следующие соотношения:

При a1 ® –¥:

; (15)

При a2 ® ¥:

. (16)

Если справа и слева от линзы находится одна и та же среда, то фокусные расстояния линзы равны по величине и противоположны по знаку, т. е. фокусы лежат по разные стороны от линзы.

Если по обе стороны линзы располагаются разные среды (), то фокусные расстояния F1 и F2 , определяемые из формулы (13), разные и относятся между собой, как –N1/N2, т. е. F1/F2 = –N1/N2.

В зависимости от знака и величины R1 и R2, а также от знака (N – 1), величина F1 может быть положительной либо отрицательной, т. е. Фокус может быть Мнимым или Действительным. То же относится и к F2, причем нетрудно видеть, что если первый фокус мнимый, то и второй тоже будет мнимым и наоборот. Если фокусы действительны, т. е. параллельные лучи после преломления сходятся, то линза называется Собирательной или Положительной. При мнимых фокусах параллельные лучи после преломления в линзе становятся расходящимися. Поэтому такие линзы называются Рассеивающими или Отрицательными.

Если материал тонкой линзы преломляет сильнее, чем окружающая среда (N > N0, N – 1 > 0), то собирательными будут линзы утолщающиеся к середине (двояковыпуклые, плосковыпуклые, вогнуто-выпуклые). К рассеивающим линзам принадлежат Двояковогнутые, плосковогнутые, выпукло—Вогнутые, т. е. линзы утончающиеся к середине. Если материал тонкой линзы преломляет меньше, чем окружающая среда, то линзы меняются свойствами.

Вводя фокусное расстояние линзы, придадим формуле линзы вид:

. (17)

Легко видеть, что изменение величины А1 приводит к изменению а2 того же знака, т. е. изображение сдвигается вдоль оси в том же направлении, что и предмет. Исключение составляет лишь точка A1 = f1, при прохождении которой изображение переходит из A2 = +¥ в A2 = –¥. На рис. 4 показано построение изображений и перемещение их в зависимости от перемещения предмета для положительной (рис. 4А) и отрицательной (рис. 4Б) тонких линз, находящихся в воздухе. Для построения выбраны лучи, ход которых заранее известен. К таким лучам относятся:

1) луч, идущий параллельно оптической оси. В пространстве изображений ему соответствует сопряженный луч, идущий через задний фокус F2;

2) наклонный луч, проходящий через передний фокус F1. Сопряженный ему луч пойдет параллельно оптической оси.

На рис. 4 показано построение изображения для семи положений предмета, заданных расстоянием А1:

1) a1 > 2F; 2) a1 = 2F; 3) a1 > F; 4) a1 = f; 5) a1 < F; 6) A1 = 0;

7) предмет расположен за линзой;

предмет находится в переднем фокусе отрицательной линзы.

Рис. 4А

Предметы, расположенные справа от линзы, могут быть только мнимыми, так как они образуются мысленным продолжением падающих на линзу лучей. На рисунке эти предметы изображены штриховыми линиями.

Рис. 4Б

Идеальной оптической называют систему, в которой сохраняется гомоцентричность пучков и изображение оказывается строго геометрически подобно предмету. Каждой точке пространства объектов соответствует в идеальной системе точка пространства изображений. Эти точки носят название Сопряженных точек. Точно также каждой прямой или плоскости пространства объектов должна соответствовать сопряженная прямая или плоскость пространства изображений.

Изложенное раньше показывает, что идеальная оптическая система может быть осуществлена в виде центрированной оптической системы, если ограничиться параксиальными лучами. Как показывает теория, изображение предметов с помощью идеальной оптической системы может быть построено без детального исследования хода лучей внутри системы и требует только знания ряда так называемых кардинальных точек и плоскостей, задание которых полностью описывает все свойства оптической системы.

Рис. 5

Линия, соединяющая центры сферических поверхностей, представляет собой ось симметрии центрированной системы и называется Главной оптической осью системы.

Пусть MM и NN — крайние поверхности, ограничивающие оптическую систему, а О1О2 — главная оптическая ось (рис. 5). Проведем луч А1В1 параллельный главной оптической оси. Этому лучу соответствует луч C2D2, выходящий из системы. Ход луча внутри оптической системы нас интересовать не будет. Точка F2 пересечения луча C2D2 с главной оптической осью является изображением бесконечно удаленной точки (это легко показать с помощью второго луча, распространяющегося вдоль главной оптической оси). Точку F2 называют задним фокусом системы (Фокусом в пространстве изображений). Плоскость, перпендикулярная к О1О2 и проходящая через F2, называется Фокальной плоскостью. Задний фокус оптической системы не всегда, конечно, лежит справа от нее, как это изображено на рис. 5. Так, в рассеивающих системах этот фокус может лежать и слева от всех поверхностей, входящих в состав системы.

Рассмотрим теперь луч А2В2, входящий в систему справа и лежащий на продолжении луча А1В1. Слева из системы выйдет луч C1D1, сопряженный лучу А2В2. Точку F1 называют передним фокусом системы (Фокусом в пространстве предметов). Исходящие из него лучи в пространстве изображений параллельны оптической оси. Продолжим теперь C1D1 и C2D2 до пересечения с продолжениями А1В1 и А2В2 и отметим точки пересечения R1 и R2. Легко видеть, что эти точки сопряжены, т. е. являются изображением друг друга. Действительно, точка R1 лежит на пересечении лучей А1В1 и С1D1, а точка R2 — на пересечении сопряженных лучей А2В2 и С2D2 (для большей наглядности направление одной пары сопряженных лучей, например, А2В2 и С1D1, можно изменить на противоположное, пользуясь обратимостью световых лучей). Из построения ясно, что точки R1 и R2 лежат на одинаковом расстоянии от главной оптической оси, т. е. R1H1 = R2H2 (линейное поперечное увеличение равно ). Можно показать, что в идеальной системе все точки плоскости P1, перпендикулярной к главной оптической оси и проходящей через R1, попарно сопряжены точкам плоскости P2, также перпендикулярной к главной оптической оси и проходящей через R2. При этом сопряженные точки находятся на одинаковых расстояниях от оси (например, точки Q1 и Q2 на рис. 5).

Две сопряженные плоскости Р1 и Р2, отражающие друг друга с поперечным увеличением V = + 1, называются Главными плоскостями, а точки H1 и H2 — главными точками системы. Расстояния от главных точек до фокусов называются Фокусными расстояниями: f1 = H1F1; F2 = H2F2. В том случае, когда с обеих сторон системы находится одна и та же среда (например, воздух) .

Если известно положение фокусов и главных плоскостей, изображение предмета может быть найдено путем простых геометрических построений с использованием двух лучей, исходящих из одной точки. Рис. 6 иллюстрирует эти построения. Луч 1, проведенный параллельно главной оси, имеет в качестве сопряженного луч 1¢, пересекающий вторую главную плоскость на высоте H2D2 = H1D1 и проходящий через фокус F2. Луч 2, проходящий через фокус F1 и пересекающий главную плоскость на высоте Н1С1, пройдет на той же высоте (Н1С1 = Н2С2) через вторую главную плоскость и пойдет параллельно главной оси.

Оптическая система называется Положительной (Собирающей), если передний фокус F1, лежит левее главной плоскости Р1, а задний фокус F2 — правее главной плоскости Р2. Если же F1 располагается правее Р1, а F2 — левее Р2, система называется Отрицательной или Рассеивающей. Фокусному расстоянию систем приписывается определенный знак: плюс — для собирающих систем и минус — для рассеивающих. Если определить положение предмета и изображения по их расстояниям от соответствующих главных плоскостей, то легко установить соотношение между этими расстояниями (А1 и А2) и фокусным расстоянием системы, которое аналогично формуле (17).

Рис. 6

Положение предмета и его изображения можно определять относительно фокусов F1 И F2 (рис. 6). Обозначая эти расстояния соответственно через X1 и X2 и рассматривая две пары подобных треугольников А1В1F1 F1H1С1 и H2D2F2 F2A2B2, по определению линейного увеличения запишем

, (18)

.

Отсюда следует, что F1/X1 = X2/F2 или

. (19)

Из рис. 6 видно также, что

и .

С учетом последних соотношений формула (19) примет вид:

. (20)

Соотношения (18), (19), (20) наряду с (17), определяющие положение сопряженных точек в данной системе, играют роль формул системы.

Пользуясь правилом знаков, можно описать все свойства как собирательных, так и рассеивающих систем.

Следует подчеркнуть, что главные плоскости и главные точки могут лежать как внутри, так и вне системы и при этом могут располагаться как угодно несимметрично относительно поверхностей, ограничивающих оптическую систему.

Большой практический интерес представляет случай, когда размер системы в направлении главной оптической оси значительно меньше фокусного расстояния. В этом случае оптический луч, проходя внутри системы, мало смещается, так что точки С1 и В1, С2 и В2 (рис. 5) практически совпадают. Главные плоскости (и главные точки Н1,Н2) при этом совмещаются друг с другом и располагаются посредине системы. Такая оптическая система называется Тонкой линзой. Расстояния А1 и А2 и фокусные расстояния можно в этом случае приближенно отсчитывать от центра линзы.

Кроме линейного увеличения, систему можно характеризовать Угловым Увеличением W , понимая под W отношение тангенсов углов U2 и U1, составляемых сопряженными лучами А2M2 и A1M1 С оптической осью (рис. 7), т. е. W = tg U2/tg U1

Из рис. 7 видно, что W = A1/A2 (ибо H1M1 = H2M2), тогда как линейное увеличение V = N1A2/N2A1 (см. раздел 2), т. е.

. (21)

Если предмет и изображение расположены в одной среде (N1 = N2), то W×V = 1.

Как угловое, так и линейное увеличение системы различно для разных точек оси, причем чем больше линейное увеличение, тем меньше угловое.

Сопряженные точки, в которых угловое увеличение системы W = 1, представляют собой особенные точки системы. Эти точки называются Узлами (или Узловыми точками) и характеризуются тем, что сопряженные лучи, проходящие через узлы, параллельны друг другу, ибо U1 = U2.

В каждой системе такой парой точек будут точки N1 и N2, отстоящие от первого и второго фокусов соответственно на расстояния равные X1 = F1×N1 = F2 и X2 = F2×N2 = F1.

Координаты этих точек удовлетворяют уравнению системы (19), т. е. они являются Сопряженными.

Их расстояния относительно главных плоскостей равны соответственно H1N1 = A1¢ = F1 – F2 И H2N2 = A2¢ = F1 – F2 , следовательно, для этих точек угловое увеличение равно 1, т. е. они служат узловыми точками системы.

Плоскости, проходящие через узлы перпендикулярно к оптической оси, называются Узловыми плоскостями. Шесть плоскостей (Две фокальные, две главные и две узловые) и шесть точек главной оси, им соответствующие (Фокусы, главные точки, узлы), называются кардинальными плоскостями и Точками.

Зная свойства кардинальных плоскостей и точек, можно построить изображение предмета в любой системе. На рис. 6 показано, как можно построить изображение, если дано расположение ее главных плоскостей и фокусов.

Рис. 7

На рис. 7 используется еще один луч (луч 3), идущий через узел N1. Ему сопряженный луч 3¢ проходит через узел N2 И параллелен лучу 3.

Для построения изображения предмета можно ограничиться двумя лучами из трех.

Когда по обе стороны системы располагается одна и та же среда, то фокусные расстояния F1 и F2 Равны по абсолютной величине. Узловые точки в этом случае сливаются с главными.

Тонкая линза может рассматриваться как частный случай толстой линзы, в которой точки Н1 и Н2 совпадают, и главные плоскости сливаются. Узловые точки, совмещенные с Н1 и Н2, также совпадут, образуя оптический центр линзы.

В настоящей работе измеряются фокусные расстояния тонких положительных и отрицательных линз, а также определяется фокусное расстояние и положение главных плоскостей сложной оптической системы. Измерения выполняются на оптической скамье, вдоль которой могут перемещаться рейтера с линзами, экранами, масштабами и т. д. Перед началом измерений центры всех линз нужно установить на одной высоте и проследить за тем, чтобы оптические оси линз были параллельны ребру оптической скамьи. Легко убедиться на опыте, что при слабых линзах и небольших увеличениях, которые применяются в данной работе, такая установка может быть произведена на глаз. При измерениях расстояния между деталями оптической системы отсчитываются по линейке, расположенной вдоль оптической скамьи. Отсчет производится по указателям, расположенным на основаниях рейтеров. Наводка изображения на резкость производится на глаз. Чтобы уменьшить роль возникающих при этом неточностей, измерения в каждом случае рекомендуется выполнять несколько раз, а результаты — усреднять.

Применяемые в работе линзы обладают заметной хроматической аберрацией (зависимость фокусного расстояния от длины световой волны). Точность измерений существенно повышается при работе со светофильтром.

Свойства тонкой линзы определяются главным образом расположением ее главных фокусов. Поэтому, зная расстояние от источника света до линзы, а также ее фокусное расстояние (положение фокусов), мы можем определить расстояние до изображения, опустив описание хода лучей внутри самой линзы. Поэтому в изображении на чертеже точного вида сферических поверхностей линзы необходимость отсутствует.

Схематически тонкие линзы обозначают отрезком со стрелками на конце. Они смотрят от центра в противоположные стороны, если линза собирающая, и они направлены к центру отрезка, если линза рассеивающая.

Внимание!

Напомним, что линзы могут давать действительные и мнительные изображения. Причем, собирающая линза может давать как действительные, так и мнимые изображения. Рассеивающая линза всегда дает только мнимые изображения.

Способ построения изображений, а также вид самих изображений в линзе зависит от того, где расположен изображаемый предмет. Он может располагаться за двойным фокусным расстоянием, в фокальной плоскости второго фокуса, между вторым и первым фокусом, в фокальной плоскости главного фокуса и на расстоянии меньше фокусного расстояния линзы.

Определение

Вторым фокусом называют точку, которая расположена на главной оптической оси от главного фокуса на расстоянии, равном фокусному расстоянию линзы. Относительно линзы он располагается на расстоянии, равном двойному фокусному расстоянию линзы.

Построение изображения в собирающей линзе

Предметы схематично изображаются в виде стрелки. Чтобы построить изображение предмета в собирающей линзе, нужно найти положение верхней и нижней точки этого изображения. Сначала находят положение точки изображения, соответствующей верхней точки предмета (точки А). Для этого из этой точки нужно пустить два луча:

Два вида лучей при построении изображений в линзе

Первый луч проходит из верхней точки предмета (точки А) параллельно главной оптической оси. На линзе (в точке С) луч преломляется и проходит через точку фокуса (точку F).

Второй луч необходимо направить из верхней точки предмета (точки А) через оптический центр линзы (точку О). Он пройдет, не преломившись.

На пересечении двух лучей обозначаем точку А₁. Это и будет изображение верхней точки предмета. Таким же образом нужно поступить с нижней точкой предмета. Но на пересечении вышедших из линзы лучей нужно поставить точку В₁. Изображение предмета при этом — А₁ В_1.

В зависимости от того, где расположен предмет, изображение может получиться действительным или мнимым, увеличенным или уменьшенным, перевернутым или прямым. Построим изображения для каждого из таких случаев.

Схема построения изображения	Расположение предмета относительно линзы + характеристика изображение
	Предмет располагается за двойным фокусом. Изображение: уменьшенное; перевернутое; действительное.
	Предмет располагается в фокальной плоскости второго фокуса. Изображение: перевернутое; действительное.
	Предмет располагается в пространстве между фокусом и двойным фокусом. Изображение: увеличенное; перевернутое; действительное.
	Предмет находится в фокальной плоскости. Изображения нет, поскольку лучи идут параллельно друг другу и не пересекаются.
	Предмет располагается между линзой и фокусом. Изображение: увеличенное; прямое; мнимое.

Пример №1. Построить изображение предмета, изображенного на рисунке. Определить тип изображения.

Чтобы построить изображение предмета, достаточно определить его положение одной точки — верхней. Поскольку предмет расположен параллельно линзе, для построения изображения, достаточно будет соединить найденную точку изображения для верхней точки предмета перпендикуляром, проведенным к главной оптической оси.

Чтобы построить изображение верхней точки, пустим от нее два луча — побочную оптическую ось через оптический центр и перпендикуляр к линзе. Затем найдем пересечение побочной оптической оси с преломленным лучом. Теперь пустим перпендикуляр к главной оптической оси и получим изображение. Оно является действительным, увеличенным и перевернутым.

Частный случай — построение изображения точки

Положение изображения точки можно найти тем же способом, описанным выше. Нужно лишь построить два луча и найти их пересечение после выхода из линзы (см. рисунок ниже). Так, изображению точки S соответствует точка S´.

Особую сложность составляет случай, когда точка расположена на главной оптической оси. Сложность заключается в том, что все лучи, которые можно построить, будут совпадать с главной оптической осью. Поэтому возникает необходимость в определении хода произвольного луча. Направим луч от точки S (луч SB) к собирающей линзе. Затем построим побочную оптическую ось PQ такую, которая будет параллельна лучу SB. После этого построим фокальную плоскость и найдем точку пересечения (точка С) фокальной плоскости с побочной оптической осью. Теперь соединим полученную точку С с точкой В. Это будет преломленный луч. Продолжим его до пересечения с главной оптической осью. Точка пересечения с ней и будет изображением точки S. В данном случае оно является мнимым.

Пример №2. Построить изображение точки, расположенной на главной оптической оси.

Чтобы построить изображение, пустим произвольный луч к линзе. Затем построим параллельную ему побочную оптическую ось и фокальную плоскость. Из места пересечения этой оси с фокальной плоскостью пустим луч, также проходящий через точку пересечения линзы с произвольным лучом. Построим продолжение луча до получения точки пересечения с главной оптической осью. Отметим точку пересечения — она является действительным изображением точки.

Построение изображения в рассеивающей линзе

Чтобы построить изображение предмета в рассеивающей линзе, нужно определить положения точек изображения, соответствующих верхней и нижней точкам предмета. Вот как определить положение точки изображения для верхней точки предмета:

1. Нужно пустить луч, перпендикулярный главной оптической оси. Этот луч после преломления отклонится. Но его продолжение обязательно пересечет главный фокус линзы.
2. Нужно пустить луч от верхней точки предмета через оптический центр линзы (построить побочную оптическую ось).
3. Точку пересечения продолжения луча, полученного в шаге 1, с побочной оптической осью, нужно обозначить за изображение верхней точки предмета (на рисунке это точка А´).

Точно такие же действия нужно выполнить для нижней точки предмета. В результате получится точка пересечения, соответствующая изображению нижней точки предмета (на рисунке это точка А´´).

Внимание! Независимо от расположения предмета относительно рассеивающей линзы, изображение всегда получается прямым, уменьшенным, мнимым.

Пример №3. Построить изображение предмета в рассеивающей линзе.

Чтобы построить изображение, пустим от верхней точки предмета побочную оптическую ось через оптический центр и проведем перпендикуляр к линзе. Затем из точки главного фокуса проведем луч через точку пересечения линзы с перпендикуляром. Пересечение этого луча с побочной оптической осью есть изображение верхней точки предмета. Теперь проведем от нее перпендикуляр к главной оптической оси. Это и будет являться изображением предмета. Оно является мнимым, уменьшенным и прямым.

Построение изображений в плоском зеркале

Определение

Плоское зеркало — это плоская поверхность, зеркально отражающая свет.

Построение изображения в зеркалах основывается на законах прямолинейного распространения и отражения света. Продемонстрируем это с помощью рисунка ниже.

Построим изображение точечного источника S. От точечного источника света лучи распространяются во все стороны. На зеркало падает пучок света ASB, и изображение создается всем пучком сразу. Но для построения изображения достаточно взять любые два луча из этого пучка. Пусть это будут лучи SO и SC.  Луч SO падает перпендикулярно поверхности зеркала АВ. Поскольку угол между ним и перпендикуляром, восстановленным в точке падения, равен 0, то угол падения принимаем равным за 0. поэтому отраженный пойдет в обратном направлении OS. Луч SC отразится под углом γ=α. Отраженные лучи OS и СК расходятся и не пересекаются, но если они попадают в глаз человека, то человек увидит изображение S₁, которое представляет собой точку пересечения продолжения отраженных лучей.

Таким образом, чтобы получить изображение в плоском зеркале, нужно:

• Пустить от источника света луч, перпендикулярный к плоскости зеркала (падающий луч совпадает с отраженным лучом).
• Пустить от источника света к плоскости зеркала еще один луч под произвольным углом.
• Построить отраженный луч от падающего луча, построенного в шаге 2, используя закон отражения света.
• Найти пересечение продолжений отраженных от зеркала лучей (пущенного под прямым углом и произвольным углом).

Внимание!

Изображение в зеркале всегда является мнимым. Это связано с тем, что изображение строится на пересечении продолжении лучей, а не на самих лучах.

Изображение в плоском зеркале находится от зеркала на таком же расстоянии, как предмет от этого зеркала. Это легко доказать тем, что треугольники SOC и S₁OC равны по стороне и двум углам. Следовательно SO = S₁O. Отсюда делаем вывод, что для построения изображения точечного источника света достаточно знать расстояние, на котором он находится от зеркала. Останется только провести к зеркалу перпендикулярную прямую и отложить на ней точку на нужном расстоянии.

При построении изображения какого-либо предмета последний представляют как совокупность точечных источников света. Поэтому достаточно найти изображение крайних точек предмета. Так, изображение А₁В₁ соответствует предмету АВ.

Изображение и сам предмет всегда симметричны относительно зеркала.

Пример №4. Построить изображение треугольника ABC в плоском зеркале.

Чтобы построить изображение, пустим к плоскому зеркалу перпендикулярные прямые. Затем измерим расстояние от каждой точки до зеркала и отложим их по перпендикуляру от зеркала в обратную сторону. Так для точки А мы находим точку А´, для В — В´, для С — С´.

Видно, что треугольник отразился зеркально (изображение и предмет симметричны друг другу). Так и должно быть в случае с зеркалом.

Алиса Никитина | Просмотров: 32.5k

Для введённых нами линз существует два условно разных типа задач:

• задачи на построение в собирающей и рассеивающей линзах
• задачи на формулу для тонкой линзы

Первый тип задач основан на фактическом построении хода лучей от источника и поиска пересечения преломлённых в линзах лучей. Рассмотрим ряд изображений, полученных от точечного источника, который будем помещать на различных расстояниях от линз. Для собирающей и рассеивающей линзу существуют рассмотренные (не нами) траектории распространения луча (рис. 1) от источника .

Для собирающей линзы (рис. 1.1) лучи:

1. синий. Луч, идущий вдоль главной оптической оси, после преломления проходит через передний фокус.
2. зелёный. Луч, проходящий через оптический центр линзы, не испытывает преломления (не отклоняется от первоначального направления).
3. красный. Луч, идущий через передний фокус, после преломления распространяется параллельно главной оптической оси.

Пересечение любых из этих двух лучей (чаще всего выбирают лучи 1 и 2) дают изображение ().

Для рассеивающей линзы (рис. 1.2) лучи:

1. синий. Луч, идущий параллельно главной оптической оси, преломляется так, что продолжения луча проходит через задний фокус.
2. зелёный. Луч, проходящий через оптический центр линзы, не испытывает преломления (не отклоняется от первоначального направления).

Пересечение продолжений рассмотренных лучей даёт изображение ().

Аналогично сферическому зеркалу, получим набор изображений от предмета, расположенного на различных расстояниях от зеркала. Введём те же обозначения: пусть  — расстояние от предмета до линзы,  — расстояние от изображения до линзы,  — фокусное расстояние (расстояние от фокуса до линзы).

Для собирающей линзы:

• (источник находится очень далеко от линзы). В этом случае мы можем считать, что все лучи от источника идут параллельно друг другу (рис. 2). Пустим два луча параллельно главной оптической оси линзы.

Т.к. все лучи, идущие параллельно главной оптической оси линзы, после преломления в линзе проходят через фокус, то точка фокуса и является точкой пересечения преломлённых лучей, тогда она же и есть изображение источника (точечное, действительное).

• (источник находится за двойным фокусным расстоянием) (рис. 3).

Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (отражается в фокус) и идущего через главный оптический центр линзы (не преломляется). Для визуализации изображения введём описание предмета через стрелку. Точка пересечения преломившихся лучей — изображение (уменьшенное, действительное, перевёрнутое). Положение — между фокусом и двойным фокусом.

• (источник находится ровно в двойном фокусе) (рис. 4).

Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (отражается в фокус) и идущего через главный оптический центр линзы (не преломляется). Точка пересечения преломившихся лучей — изображение (того же размера, действительное, перевёрнутое). Положение — ровно в двойном фокусе.

• (источник между фокусом и двойным фокусом) (рис. 5)

Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (отражается в фокус) и идущего через главный оптический центр линзы (не преломляется).  Точка пересечения преломившихся лучей — изображение (увеличенное, действительное, перевёрнутое). Положение — за двойным фокусом.

• (источник находится ровно в фокусе собирающей линзы) (рис. 6)

Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (отражается в фокус) и идущего через главный оптический центр линзы (не преломляется). В этом случае, оба преломлённых луча оказались параллельными друг другу, т.е. точка пересечения отражённых лучей отсутствует. Это говорит о том, что изображения нет.

• (источник находится между фокусом и главным оптическим центром) (рис. 7)

Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (отражается в фокус) и идущего через главный оптический центр линзы (не преломляется). Однако преломлённые лучи расходятся, т.е. сами преломлённые лучи не пересекутся, зато могут пересечься продолжения этих лучей. Точка пересечения продолжений преломлённых лучей — изображение (увеличенное, мнимое, прямое). Положение — по ту же сторону, что и предмет.

Для рассеивающей линзы построение изображений предметов практически не зависит от положения предмета, так что ограничимся произвольным положением самого предмета и характеристикой изображения.

• (источник находится очень далеко от линзы). В этом случае, мы можем считать, что все лучи от источника идут параллельно друг другу (рис. 8). Пустим два луча параллельно главной оптической оси линзы.

Т.к. все лучи, идущие параллельно главной оптической оси линзы, после преломления в линзе должны проходить через фокус (свойство фокуса), однако после преломления в рассеивающей линзе лучи должны расходится. Тогда в фокусе сходятся продолжения преломившихся лучей. Тогда точка фокуса и является точкой пересечения продолжений преломлённых лучей, т.е. она же и есть изображение источника (точечное, мнимое).

• любое другое положение источника (рис. 9).

Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (продолжение отражённого луча проходит через передний фокус) и идущего через главный оптический центр линзы (не преломляется). Тогда изображением будет пересечение продолжений преломлённых лучей.

Второй тип задач связан с формулой тонкой линзы. Такие задачи основываются на числовых данных параметров, характеризующих положение источника, изображения или фокуса линзы. Рассмотрим произвольную систему (рис. 10). Пусть положение источника (), изображения () и фокуса системы () задано.

Тогда взаимосвязь между параметрами положения элементов можно описать формулой:

(1)

• где

Важно: для использования формулы (1) необходимо помнить правило расстановки знаков. Если линза собирающая, то , если рассеивающая, то . В случае действительных предметов и изображений: , , а в случае мнимых предметов и изображений:  и .

И последним параметром, характеризующим линзы или систему линз, является оптическая сила линзы (). Её нахождение довольно простое:

(2)

• где

Размерность оптической силы линзы: м=дптр (диоптрии). Оптическая сила собирающей линзы положительна, рассеивающей — отрицательна.

Вывод: задачи с линзами, в целом, разделены на два класса. Задачи на построение основываются на рисунках 2-9. Достаточно проанализировать ход лучей и найти изображение (рис.1). Численные значения в дано указывают на задачи на формулу тонкой линзы (1).