Как найти положение нулевой линии

Определение положения нулевой линии.

Нулевая
линия там где

.
Приравняем уравнение (1) к нулю.

уравнение
прямой.

Эта
прямая делящая на две части. Эта прямая
не проходит через начало координат.
Иногда уравнение прямой лучше записать
в отрезках.

Т.е.
если мы знаем полюс, мы можем определить
нулевую линию (экстремальные значения).

– условия
прочности.

Ядро сечения.

Рассмотрим
случай вне центренного растяжения,
сжатия. Предположим, что сила перемещается
из центра тяжести по отрезку OA. Тогда
нулевая линия будет

перемещаться
из бесконечности в направлении центра
тяжести и в какой-то момент

,
когда сила придёт в точку

,
коснётся сечения и займёт положение

.
Если силу F передвинуть за точку A, то
нулевая линия пересечёт сечения и
рассечёт его на сжатую и растянутую.
Таким образом для того чтобы напряжения
в сечениях были одного знака, сила

должна
быть приложена на отрезке

.
Аналогично можно получить точку

,
когда нулевая линия коснётся контура
по прямой

.
Геометрическое место точек

и т.д., для которых нулевые линии являются
касательными контурами, образуют кривую,
которая вокруг центра тяжести O очертит
некоторую кривую, называемую ядром
сечения. Ядром сечения называется
область вокруг центра тяжести сечения
характерная тем, что всякая продольная
сила приложенная внутри этой области
вызывают во всех точках сечения напряжения
одного знака.

Ядро
сечения для колон, изготовленных из
материала плохо работающего на растяжение
(бетон, кирпич, камень). Для построения
ядра сечения необходимо рассмотреть
всевозможные касательные к контуру
сечения и предполагая, что эти касательные
представляют собой нулевую линию, найти
для них соответствующие координаты,
ограниченные точек ядро сечений, а затем
найти эти точки ядра сечения.

Построение ядра сечения для простейших фигур.

1. Прямоугольник.

Контур
прямоугольника можно рассматривать
как состоящий из четырёх касательных,
нулевую линию

.

Аналогично
для прямых

.

Для
линии

.

Потом
соединим точки

и получим ромб.

1. Многоугольник.

Рассмотрим
шестиугольник. Предположим, что его
стороны нулевые линии. Для них найдём
координаты полюса по формулам (1) и (2).
Соединяя их получим ядро сечения в

виде
шестиугольника. Если многоугольник
имеет внутренние углы, то внутренние
углы исключают и проводят нулевую линию

.

1. Круг.

Т.к.
круг симметричен относительно центра
тяжести, то достаточно рассмотреть одну
нулевую линию. Т.о. ядро сечений радиусом

.

1. Двутавр.

Проводим
нулевые линии

.

Устойчивость сжатых стержней.

Система является
устойчивой, если малые воздействия из
вне не приводят к необратимым изменениям
в системе с течением времени в исходное
состояние. А в противном случае она
является не устойчивой.

В
случае центрально сжатого стержня
возможна потеря устойчивости первоначальной
прямолинейной формы равновесия.

При
относительно малой силе F, прямолинейные
формы равновесия являются устойчивыми,
т.е. при малом воздействии из вне будут
наблюдаться колебания равновесия,
которые затухают и стержень приходит
в исходное состояние.

По
мере увеличения силы F вывести стержень
из положения равновесия легче и возврат
в исходное состояние растягивается по
времени. Наконец когда сила достигает
критического значения (
)
происходит смена формы равновесия.
Устойчивой становится криволинейная
форма, это явление называется потерей
устойчивости –

это
когда стержень прямолинеен, в его
поперечных сечениях возникает поперечная
сила N и нормальное напряжение равномерно
распределяется по сечению. При потере
устойчивости продольная сила N становится
криволинейной и происходит перераспределение
нормальных напряжений за счёт появления
момента

.
Из-за уменьшения напряжений в области
нейтральной оси, они увеличиваются по
мере удаления от неё и может привести
к разрушению стержня. При расчёте сжатий
стержень необходимо обеспечить условия,
при которых стержень остаётся
прямолинейным, а для этого необходимо
вычислять

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Задача:

Бетонный столб заданного сечения сжимается силой F=100кН, приложенной в точке К. Требуется:

1)           Найти положение нулевой линии и проверить прочность, если [σс]=15МПа, [σр]=0,5МПа.

2)           Построить ядро сечения.

Для решения задачи необходимо знать геометрические характеристики сечения, то есть положение центра тяжести, величину площади, положение главных центральных осей и величины главных центральных моментов инерции. С этого и начнем. Так как сечение имеет одну ось симметрии у, то она является одной из главных центральных осей. Другая главная центральная ось пройдет перпендикулярно оси симметрии через центр тяжести сечения. Нам неизвестно его положение на оси симметрии. Для его определения выберем произвольную ось, перпендикулярную оси симметрии (например, х1), вычислим статический момент сечения относительно этой оси, а затем разделим его на площадь сечения. Это и будет расстояние от оси х1 до центра тяжести сечения С.

Но поскольку сечение представляет собой сложную фигуру, то предварительно «разобьем» его на простые части и покажем на чертеже собственные центральные оси каждой из этих частей (х1, у1; х2, у2; х3, у3; х4, у4). Итак:

Тогда

Откладываем эту ординату вверх от оси х1 по оси симметрии, это и есть центр тяжести сечения С, через который проводим вторую главную центральную ось х.

Остается вычислить осевые моменты инерции относительно каждой из осей.

Тогда квадраты радиусов инерции относительно главных центральных осей будут:

Для определения положения нулевой линии в сечении необходимо вычислить величины отрезков, которые нулевая линия отсекает от главных центральных осей инерции, по формулам:

Здесь: хF и уF – координаты точки приложения силы F в системе главных центральных осей. В нашем случае : хF =50см, уF=30-12,8=17,2см.

Тогда

Отложив эти отрезки с учетом их знаков, проводим нулевую линию (см. чертеж), которая делит сечение на две зоны: сжатую и растянутую:

Для оценки прочности надо найти наибольшие напряжения: сжимающие и растягивающие, а затем сопоставить их с допускаемыми напряжениями.

Наибольшее сжимающее напряжение возникает в той точке сжатой зоны, которая наиболее удалена от нулевой линии. Судя по чертежу, эта точка К с координатами хК=50см и уК=17,2см. Подставляя эти координаты в формулу напряжений, имеем:

Наиболее удаленной от нулевой линии точкой в растянутой зоне является точка В с координатами хВ=50см и уВ=- (30+12,8)=-42,8см. В ней и возникает наибольшее растягивающее напряжение:

Проверка прочности:

Следовательно, заданная прочность не обеспечена, так как в растянутой зоне условие прочности не выполняется.

Для построения ядра сечения задаемся несколькими конкретными положениями нулевой линии так, чтобы она только касалась контура самого сечения и нигде его не пересекала, и для каждого такого положения нулевой линии вычисляем координаты соответствующего ей центра давления. Эти точки и определят контур самого ядра сечения.

Подставляя, имеем:

На схеме показывает центр давления 1.

Для нулевой линии II отрезок, отсекаемый от оси х,составит величину

От оси у Н.Л. II отсекает отрезок 

Тогда соответствующий центр давления расположится в точке с координатами:

На схеме это точка 2.

Нулевая линия III симметрична нулевой линии II, поэтому и правая точка 3 симметрична точке 2.

А нулевая линия IV симметрична линии I. Следовательно, ядровая точка 4 симметрична точке 1.

Наконец, проводим нулевую линию V по нижней кромке сечения. Она отсекает от главных центральных осей отрезки: ах=∞ и ау=-42,8см. Соответствующие координаты центра давления будут:

На схеме это точка 5.

Поскольку переходы нулевых линий из одного положения в смежное с ним происходили путем поворота вокруг неподвижных точек, то и перемещение центра давления от одной ядровой точки к другой происходит по прямой линии, соединяющей эти точки. На этом основании соединяем найденные ядровые точки прямыми, которые и ограничивают область, называемую ядром сечения.

Уравнение нулевой линии при изгибе

§1 Понятие изгиба. Нейтральная линия.

Определение: Изгибом называется вид деформации, при котором происходит искривление оси бруса. В дальнейшем будем рассматривать деформацию плоского прямого изгиба, при котором силовая плоскость проходит через одну из главных центральных осей сечения.

Кроме прямого, может возникать косой изгиб, при котором силовая плоскость совпадает только с одной центральной осью, т.е. происходит под некоторым углом к главным центральным осям.

В зависимости от возникающих в балке внутренних силовых факторов (ВСФ) различают чистый и поперечный изгиб (рис. 6.3).

Чистым изгибом называется изгиб, при котором в сечении балки возникает только изгибающий момент, а поперечным называется изгиб, при котором действуют как изгибающий момент, так и поперечная сила.

К

ак показывают расчеты нейтральная линия проходит через главную центральную ось сечения, расположенную перпендикулярно к силовой линии.

Нейтральную линию иногда называют нулевой линией, т.к. в ее точках нормальные напряжения и продольные деформации отсутствуют (σ = 0; ε = 0).

§2 Напряжения при чистом и поперечном изгибе.

Основное условие прочности.

В теории изгиба принимаются такие допущения:

1) Справедлива гипотеза плоских сечений.

2) По высоте сечения бруса волокна не имеют веса, т.е. не давят друг на друга. Принимается упрощенная схема напряженного состояния.

3
) по ширине сечения бруса напряжения являются постоянными.

С учетом принятых допущений и рассматривая четыре стороны задачи для чистого изгиба, при котором возникают только нормальные напряжения можно использовать следующую расчетную зависимость.

где σ(y) – нормальные напряжения в точке

сечения бруса, находящейся на

расстоянии y под нейтральной

M_изг – изгибающий момент в данном

I_x – осевой момент инерции сечения

y – ордината последней точки.

Анализируя зависимость (15.1) можно заключить, что нормальное напряжение изменяется по линейному закону, увеличиваясь от центра сечения к его краям. Причем максимальные напряжения, возникающие в крайних волокнах можно определить по известной формуле:

где – осевой момент сопротивления [м 3 ].

Зависимость (15.1) и (15.2) графически можно представить в виде следующей эпюры напряжений (рис. 6.8).

При проектировании балочных конструкций целесообразно применять профили, имеющие рациональную форму с точки зрения полученной эпюры напряжений. Считается, что профиль (или сечение), у которого большая часть материала располагается в крайних волокнах является рациональным. Например, двутавр, швеллер, пустотелый прямоугольник, сдвоенный уголок.

Расчет на прочность при чистом изгибе производится по следующему условию прочности

Условие (15.3) является основным условием прочности при изгибе. При помощи этого условия можно выполнить известные виды расчетов: проверочный, проектировочный и максимальной нагрузки.

– проверочный по (15.3)

При расчете на прочность балок из разных материалов необходимо учитывать их способность сопротивляться растягивающим и сжимающим напряжениям. При этом следует придерживаться следующих рекомендаций:

1. Если балка изготовлена из пластичного материала, одинаково работающего на растяжение-сжатие, т.е. ([σ_р] = [σ_c]), то целесообразно использовать сечения, симметричные относительно нейтральной линии. В этом случае на прочность проверяются крайние точки сечения балки σ_max = |σ_min| (рис.6.9).

2. Если материал балки хрупкий, лучше работающий на сжатие, чем на растяжение ([σ_р] >l, в противном случае этими напряжениями можно пренебрегать.

§3 Главные напряжения при изгибе.

Полная проверка прочности балок при изгибе

В общем случае при изгибе в сечениях балки действуют как нормальные, так и касательные напряжения. Любая точка балки находится в упрощенном плоском напряженном состоянии.

Решая обратную задачу можно найти положение главной площадки и величины главных напряжений (σ₁, σ₃).

Анализируя напряженное состояние при изгибе для опасных точек балки и используя (16.3)-(16.6) можно выполнить полную проверку прочности балки при изгибе, для этого необходимо рассмотреть три типа опасных точек в разных сечениях исследуемой балки. Проведем т0акую проверку, выбрав следующую расчетную схему (рис. 6.15)

Полная проверка прочности балки при изгибе выполняется по трем типам опасных точек. Опасная точка I типа: по длине балки находится сечения, где действует максимальный по модулю изгибающий момент (сечение I-I), а по высоте балки – в крайних волокнах от нейтральной линии, где имеют место максимальные нормальные напряжения (точки 1 и 5). В этих точках имеет место линейное напряженное состояние. Условие прочности для точек I типа имеет такой вид (основное условие прочности)

О
пасные точки II типа располагаются по длине балки в сечениях с максимальной поперечной силой (сечение II-II левое и правое), а по высоте балки – на уровне нейтральной линии (точка 3 левая и правая), где действует максимальное касательное напряжение. В этих точках возникает частный случай плоского напряженного состояния – чистый сдвиг. Условие прочности имеет такой вид

Опасные точки III типа располагаются в сечениях балки, где возникает неблагоприятное сочетание больших изгибающего момента и поперечной силы (сечение III-III левое и правое), а по высоте балки – между крайними волокнами и нейтральной линией, где одновременно большие нормальные и касательные напряжения (точки 2 и 4 левая, правая). в этих точках возникает упрощенное плоско-напряженное состояние. Условие прочности для точек III типа записывается согласно теории прочности (например, для пластичного материала: по III или IV теории).

Если по мере выполнения расчетов прочность по одному из условий не выполняется, то необходимо увеличить размеры сечения балки или увеличить номер профиля согласно таблиц сортамента.

Приведенный выше анализ напряженного состояния балок при изгибе позволяет грамотно конструировать элементы сооружений и рационально выбирать их поперечные сечения, например, для железобетонных конструкций целесообразно использовать стальную арматуру и располагать её по линиям, совпадающим с траекторией главных растягивающих напряжений.

§4 Деформации при изгибе. Общие понятия.

В теории изгиба расчет на прочность в большинстве случаев выполняется расчетом на жесткость. В этом случае оценивается упругая податливость балки и определяются такие её размеры, чтобы возникающие деформации не превышали допустимых пределов, т.е. условие жесткости можно представить в таком виде

где f_max – максимальная расчетная деформация;

[f] – допускаемая деформация.

Рассмотрим основные элементы деформированного состояния балки (рис.6.16).

упругая линия (у.л.) – искривленная ось балки под действием нагрузки;

y – прогиб – вертикальное перемещение, отсчитываемое перпендикулярно к исходной оси балки;

u – горизонтальное перемещение или смещение балки (обычно бесконечно малая величина, ≈ 0);

θ – угол поворота сечения к заданной точке.

При изгибе балки линейная и угловая деформации (y и θ) имеют свои правила знаков согласно следующей схеме (рис.6.17).

Правило знаков для y:

Правило знаков для θ:

против часовой стрелки «+»,

по часовой стрелке «–».

Для левой системы координат наоборот.

Между прогибом и углом поворота существует дифференциальная зависимость, которую можно получить рассматривая координаты некоторой плоской кривой (рис.6.18).

При нахождении линейных или угловых деформаций для реальных балок необходимо знать её уравнение упругой линии УУЛБ (уравнение упругой линии балки), имеющее такой общий вид:

Рассмотрим некоторые методы нахождения деформаций при изгибе, основанные на составлении и решении уравнения упругой линии балки.

§5 Дифференциальное уравнение упругой линии балки и его интегрирование.

Из теории изгиба известна зависимость кривизны балки следующего вида

С другой стороны из курса высшей математики кривизна плоской кривой может быть представлена через её координаты следующим образом:

Приравнивая (18.3) и (18.4) получим точное ДУУЛБ

Полученное дифференциальное уравнение имеет большие трудности при решении, поэтому его упрощают, учитывая известную гипотезу малости деформаций

Учитывая небольшие углы поворота сечений для реальных балок получаем следующее приближенное ДУУЛБ, которое будет называться в дальнейшем основным дифференциальным уравнением упругой линии балки.

Данное уравнение справедливо для правой системы координат.

Полученное уравнение решается путем двойного интегрирования

В этом решении произвольные постоянные интегрирования представляют собой по геометрическому смыслу соответственно угол поворота и прогиб в начале координат

Произвольные постоянные интегрирования определяются из граничных или начальных условий построения расчетной схемы балки. Рассмотрим основные разновидности граничных условий.

Виды граничных условий

Рассмотренный выше метод расчета перемещений при изгибе называется методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения упругой линии балки МНИ ДУУЛБ.

Для его применения необходимо:

1. Выбрать систему координат (в крайнем сечении балки)
2. Для каждого силового участка балки составляется общее уравнение моментов, которое подставляется в основное ДУУЛБ.
3. Решается ДУУЛБ путем двойного интегрирования и определяется произвольная постоянная интегрирования из граничных условий.
4. В полученное уравнение упругой линии балки подставляются поочередно абсциссы искомых точек и определяются прогибы. Аналогично находятся углы поворотов с использованием дифференциальной зависимости (18.1).

МНИ обладает существенным недостатком, который заключается в том, что для решения балок с большим количеством силовых участков необходимо определить большое количество произвольных постоянных интегрирования (например, для n участков будет 2n таковых), поэтому данный метод целесообразно использовать только для балок, имеющих один или два участка. Для устранения названного недостатка предлагается более совершенный метод, основанный на ДУУЛБ и более рациональном его решении.

§6 Метод начальных параметров.

Универсальное уравнение упругой линии балки (УУУЛБ).

В отличие от предыдущего метода в предлагаемом методе ДУУЛБ составляется таким образом, что независимо от количества силовых участков балки приходится находить только две произвольных постоянных интегрирования – прогиб и угол поворота в начале координат (y₀, θ₀). Это достигается путем применения специальных правил при составлении уравнения моментов или уравнений прогибов. В этом случае все решение сводится к составлению УУУЛБ применительно к заданной расчетной схеме балки.

Общий вид УУУЛБ будет следующим:

После дифференцирования (18.13) получим универсальное уравнение углов поворота балки УУУЛБ.

где y₀, θ₀ – геометрические начальные параметры, т.е. прогиб и угол поворота в начале координат, определяются по граничным условиям;

М₀, Q₀ – статические начальные параметры, т.е. изгибающий момент и поперечная сила в начале координат; они определяются по условиям нагружения или по уравнениям равновесия.

M_i, F_i, q_i – момент, сосредоточенная сила и распределенная нагрузка в i том сечении балки соответственно. Они включаются в уравнение со своими знаками в соответствии с «правилом зонтика» для изгибающего момента.

k_i – величина, характеризующая неравномерно распределенную нагрузку, например, треугольную или трапециевидную.

Д
ля решения задач по нахождению перемещений в балках методом начальных параметров необходимо (пример: рис.6.23):

2) Для последнего силового участка балки составляется универсальное уравнение упругой линии балки УУУЛБ.

Для составления выражения для распределенной нагрузки её предварительно продолжают до конца (последнего) сечения и вводят дополнительную компенсирующую нагрузку обратного направления.

3) Определяются начальные параметры УУУЛБ.

Геометрические начальные параметры.

Статические начальные параметры.

4) Подставляются все найденные начальные параметры в исходное УУУЛБ и путем дифференцирования получается универсальное уравнение углов поворота балки УУУЛБ.

В этом же пункте определяются искомые перемещения, для чего в соответствующее уравнение подставляется абсцисса искомой точки и отбрасываются слагаемые, характеризующие внешние нагрузки, которые находятся за пределами рассматриваемого участка.

Рассмотренный метод начальных параметров является достаточно простым и универсальным, но имеет следующие недостатки.

1) Он не применим для балок с ломаной осью, рамным систем и кривых брусьев.

2) Не позволяет определить перемещение в произвольных направлениях, кроме вертикального.

Для устранения этих недостатков в курсе сопротивления материалов широко применяются так называемые энергетические способы, основанные на известном законе сохранения энергии.

§7 Потенциальная энергия упругой деформации (ПЭУД)

в общем случае нагружения бруса. Теорема Кастильяно.

На основании закона сохранения энергии работа внешних сил на перемещениях точек системы равна потенциальной энергии упругой деформации

Основываясь на положениях этого закона можно зная величину энергии, накопленной брусом, найти перемещение ее точек при известных внешних нагрузках. Получим общую зависимость для ПЭУД произвольного бруса, находящегося под воздействием разнообразных внешних нагрузок, для этого составим сумму работ, совершаемых шестью внутренними силовыми факторами.

Учитывая известное выражение работ для простых деформаций получим следующее выражение

k_x, k_y – безразмерные коэффициенты, характеризующие форму сечения бруса при сдвиге.

Для нахождения перемещений с помощью ПЭУД применяется так называемая теорема Кастильяно:

Обобщенные перемещения в точке приложения некоторой обобщенной нагрузки представляют собой частную производную потенциальной энергии по заданной обобщенной нагрузке.

где δ_k – обобщенное перемещение в точке К, где приложена внешняя обобщенная нагрузка, по ее направлению.

F_K – обобщенная нагрузка, действующая в точке К.

Под обобщенным перемещением понимается перемещение, вызываемое соответствующей обобщенной нагрузкой. В частности,

Д
анная теорема обладает тем недостатком, что позволяет находить только перемещения, соответствующие данной обобщенной нагрузке, только в точке её приложения и только по ее направлению.

§8 Метод для нахождения перемещений в упругих системах.

Недостатки теоремы Кастильяно можно устранить, если использовать прием, предложенный Мором-Максвеллом. Этот метод основан на применении так называемой фиктивной обобщенной нагрузки Φ.

1) В заданной точке системы прикладывается соответствующая обобщенная параметром фиктивная нагрузка, которая условно принимается равной единице.

Направление приложения фиктивной нагрузки соответствует искомому направлению. Для прогиба удобно единичную силу направлять снизу вверх согласно положительному направлению прогиба (см. правило знаков для прогиба). Единичный момент направляется против часовой стрелки в соответствии с положительным направлением угла поворота.

2) Определяется потенциальная энергия упругой деформации всей системы, которая подставляется в зависимость , выражающую теорему Кастильяно и производится расчет частной производной по данной фиктивной нагрузке.

В полученном выражении исключается фиктивная нагрузка, т.к. ее на самом деле нет.

Для удобства практического расчета все преобразования рассмотренные выше исключаются и расчет перемещений выполняется по формуле, называемой интегралом Мора (запишем применительно к деформации изгиба).

где – изгибающий момент от действия единичной фиктивной нагрузки в i том сечении системы.

– изгибающий момент от действия внешней нагрузки для i того сечения.

Рассмотрим следующий пример (рис.6.25).

Выбирается вспомога­тельная схема, которая загружается соответству­ющей единичной нагрузкой. Чтобы взять вспомогатель­ную схему, надо на исходной схеме отбросить все внешние нагрузки.

Для исходной и вспомо­гательной схем составляются общие выражения изгибающих моментов по всем участкам, которые подставляются в интеграл Мора.

Метод Мора является самым сильным по возможности расчета перемещений (его можно применить для любой схемы), однако его недостатком является высокая трудоемкость при расчете систем с большим количеством силовых участков.

Для сокращения сложности таких расчетов интеграл Мора обычно заменяют операцией умножения согласно способа Верещагина (1924 г.).

§9 Способ Верещагина и его применение

Предлагаемый способ является графо-аналитическим способом решения интеграла Мора, который заключается в «перемножении» эпюр изгибающих моментов по силовым участкам заданной системы. Такое решение возможно благодаря тому, что для систем, имеющих прямолинейные участки эпюра изгибающих моментов от единичной нагрузки имеет линейные очертания (прямоугольник, треугольник, трапеция).

Согласно способа Верещагина искомое перемещение представляет собой произведение площади грузовой эпюры на ординату единичной эпюры, которая располагается под центром тяжести грузовой эпюры на данном участке.

где ω_i – площадь грузовой эпюры на i том участке.

– ордината единичной эпюры под центром тяжести грузовой на i том участке.

Рассмотрим пример (рис.6.28)

При использовании способа Верещагина для упрощения расчетов можно учитывать следующие рекомендации.

1) При перемножении эпюр, имеющих линейные очертания можно использовать площадь одной из них, а ординату другой в прямом и обратном порядке.

2) Если перемножаемые эпюры имеют сложную форму, то можно их разбивать на простые части и перемножать по отдельности.

3) В некоторых случаях сложные эпюры удобно перемножать, используя прием расслоения эпюр. В этом случае в пределах данного участка строятся эпюры от каждой нагрузки в отдельности, которые перемножаются поочередно с единичной эпюрой.

4) При перемножении эпюры, имеющей форму скрученной трапеции, ее целесообразно дополнить до двух треугольников, которые затем перемножаются по отдельности с другой эпюрой.

5) Когда обе перемножаемые эпюры имеют сложную форму можно использовать так называемую формулу Симпсона.

Способ Верещагина является достаточно удобным и простым для расчета перемещений в упругих системах при любых видах деформаций. Однако его нельзя применить для систем, имеющих криволинейные участки.

§10 Статически неопределимые системы при изгибе.

Каноническое уравнение метода сил (КУМС).

Статически неопределимая система (СНС) при изгибе обладает теми же свойствами, что СНС при растяжении-сжатии и кручении, однако имеют следующую особенность.

Степень неопределимости в таких системах может быть образована как внешними, так и внутренними признаками построения СНС.

Система неопределима внешним образом, если её элементы имеют ограничения по перемещению в пространстве. Такие ограничения накладываются опорными связями и в этом случае степень СНС по внешним признакам находится по известной формуле

где R – число неизвестных реакций опор СНС,

У – число уравнений статики.

Степень СНС образована внутренними признаками, если они накладывают ограничения на относительные перемещения точек системы по отношению друг к другу. К ним относятся дополнительные элементы, шарниры, узлы и прочие геометрические факторы.

В этом случае степень СНС по внутренним признакам находится по следующей формуле

где K – число замкнутых контуров СНС (например, рамок),

У – число шарниров, врезанных в элемент СНС в пересчете на простые шарниры.

П
ростым называется шарнир, в котором сходятся только два стержня.

Сложный шарнир, в котором сходятся более 3 х стержней можно заменить n–1 простыми шарнирами (n – число стержней, сходящихся в сложном шарнире).

Таким образом, степень СНС можно определить сложив зависимости (21.1) и (21.2).

Для решения СНС при изгибе в курсе сопротивления материалов применяются метод сил, метод перемещений и комбинированный метод. Наиболее часто применяется метод сил, в частности прием сравнения перемещений, канонические уравнения метода сил (КУМС) и уравнения трех моментов.

Удобно и математически относительно несложно провести решение СНС с применением КУМС.

Д
ля составления канонических уравнений устанавливается число лишних связей системы. Эти лишние связи (например, реакции опор) обозначаются буквами X_i независимо от того сила это или момент (рис.6.34)

Для каждой лишней опоры составляется уравнение деформаций в виде суммы перемещений, вызванных действиями всех лишних связей и внешних нагрузок, причем эти деформации на опорах должны равняться нулю. Для удобства записи и решения эти уравнения составляются по определенному правилу (или канону).

В общем случае КУМС записывается так:

где δ_ij – перемещение в i той точке под действием единичной силы, приложенной к j той точке.

δ₁₁, δ₂₂, δ₃₃, . δ_nn – главные коэффициенты КУМС, представляющие собой единичные перемещения в i той точке под действием единичной силы, приложенной в той же точке. Они определяются по способу Верещагина путем перемножения эпюр от единичных сил «самих на себя».

δ₁₂, δ₁₃, . δ_ij – побочные коэффициенты, представляющие собой единичные перемещения, определяемые по способу Верещагина путем перемножения единичных эпюр между собой.

Δ_1F, Δ_2F, . Δ_nF – грузовое перемещение, определяемое как перемещение в i той точке под действием системы внешних нагрузок.

По способу Верещагина оно находится путем перемножения грузовой эпюры момента на единичную эпюру под действием i той единичной силы.

Определив все единичные и грузовые перемещения КУМС, решается данная система и определяются неизвестные усилия X₁; X₂; X₃ . X_i . X_n.

По завершении раскрытия неопределимости СНС строятся необходимые эпюры (для рамы – N, Q и M). и выполняются две проверки – статическая и деформационная.

Статическая проверка заключается в проверке равновесия элементов или узлов системы (см. задачу № 12 РПР-2).

Деформационная проверка сводится к расчету перемещений тех точек системы, где действуют лишние связи (X_i). Обычно проверяется равенство нулю перемещений в опорах системы. Для этого необходимо по способу Верещагина перемножить конечную эпюру изгибающих моментов с единичной эпюрой, построенной для i той лишней связи.

В некоторых случаях при решении СНС можно уменьшить количество перемножений эпюр, если использовать эффект симметрии геометрического построения или силового нагружения системы (рис.6.35).

В следующем случае система рассекается по оси симметрии и в качестве лишних связей выбираются внутренние силовые факторы в проведенном сечении.

Тогда единичные эпюры от соответствующих внутренних силовых факторов будут иметь либо симметричную, либо кососимметричную формы

Следовательно, при перемножении симметричной эпюры на кососимметричную получаем перемещение равное нулю.

Блестящим планам везет на проектировщиков, скверным планам везет на исполнителей. Веслав Брудзиньский
ещё >>

Укажите правило знаков для изгибающих моментов в общем случае сложного сопротивления стержня

Mz имеет положительное значение , если растягиваются нижние волокна, в противном случае Mz имеет отрицательное значение.

My имеет положительное значение , если растягиваются дальние (правые, если смотреть на сечение со стороны положительного направления оси OX) волокна.My имеет отрицательное значение , если растянуты ближние ( левые , если смотреть на сечение со стороны положительного направления оси OX) волокна.

4. Какой вид сопротивления стержня называется косым изгибом? Виды косого изгиба.

Косой изгиб –такой случай изгиба, когда плоскость действия суммарного изгибающего момента проходит через центр тяжести сечения , но не совпадает ни с одной из главных плоскостей инерции сечения.

Косой изгиб делится на плоский косой изгиб и на пространственный косой изгиб.

Плоский косой изгиб имеет место, когда все поперечные нагрузки действуют в плоскости, не совпадающей с главными плоскостями инерции.

Пространственный косой изгиб имеет место при действии поперечных нагрузок в различных плоскостях.

5. Запишите уравнение нулевой линии для случая косого изгиба. Как определить положение нулевой линии? Правила знаков для силовой и нулевой линий.

Mz*y0/Jz +My*z0/Jy=0 или –уравнение нулевой линии для случая косого изгиба.

Положение нулевой линии определяется исходя из следующей формулы:

,где α0 это угол между осью Oz и нулевой линией, а угол αр это угол между осью OY и силовой линией.

Если αр больше нуля , то силовая линия повёрнута относительно оси OY против часовой стрелки, если меньше нуля, то по часовой.

Если α0 меньше нуля , то нулевая линия повёрнута относительно оси ОZ против часовой стрелки, если больше нуля ,то по часовой.

6. Как определить величину и направление полного прогиба при косом изгибе?

Формулы прогибов по осям при косом изгибе: .,где L -длина балки или консоли ,Px и Py –проекции нагрузки на соответствующие оси, Е–модуль упругости материала , Jx, Jy– моменты инерции сечения относительно осей ОХ и OY соответственно.
Формула суммарного прогиба балки при косом изгибе: .

Направление результирующего перемещения (f) задаётся значением угла наклона ( ) перемещения к вертикальной оси Y : .,где α –угол осью OY и плоскостью действия внешней нагрузки.

Направление суммарного прогиба балки при косом изгибе перпендикулярно нулевой линии при косом изгибе.

7. Какой вид сопротивления стержня называется внецентренным сжатием (растяжением)? Какие внутренние усилия при этом возникают? По какой трансформированной формуле определяются напряжения σ_x при внецентренном сжатии?

Внецентренное сжатие ( растяжение ) это вид деформации стержня , при котором результирующая внешней нагрузки направлена вдоль продольной оси стержня, не совпадает с ней.

При этом возникают следующие внутренние усилия : N = – P , M_z = – P y_P M_y = – P z_P ,

где у_Р, z_P – координаты точки приложения силы.

Напряжение определяется по формуле : .

8. Что такое ядро сечения? Какое практическое значение имеет определение ядра сечения?

Ядро сечения – это выпуклая область, содержащая центр тяжести сечения и обладающая тем свойством, что при нахождении точки приложения силы внутри этой области или на её границе во всех точках сечения напряжения имеют одинаковый знак.

Определение ядра сечения позволяет определить область сечения при приложении силы в точках которой всё сечение будет работать на сжатие. Это нужно постольку поскольку такие материалы как бетон, кирпич плохо сопротивляются растяжению.

Нулевая линия делит сечение на две части: на одной стороне, возникают сжимающие напряжения, а на другой растягивающие.

Косой изгиб.

Деформация косого изгиба возникает при действии нагрузок не проходящих через главные оси инерции поперечного сечения.

Силу Р раскладываем на составляющие Рх и Ру: . Изгибающий момент в сечении авсd будет ; ; Му=Рх*Z; ; .

Нормальные напряжения в любой точке К с координатами (Х_к;Y_K). Получим на основе принципа независимости действия сил, как сумму напряжений от Мх и Му, действующих по главным осям инерции:

Напряжения в угловых точках будут определяться по формулам:

; ; ; .

В формулу (1) представим в другом виде: (2). Что касается стержнем произвольного поперечного сечения, то отыскания наиболее опасных точек производится следующим образом:

В начале находится положение нулевой линии, т.е. геометрического места точек, где нормальные напряжения равны нулю. 1)Предположим, что нулевая линия проходит через (nn). 2)Затем, учитывая, что по мере удаления от нулевой линии напряжения возрастают, заключаем, что наиболее опасными точками являются точки L и K. 3)Проводим через L и K линии, параллельные линии (nn) и строим эпюру σ.

Для определения положения нулевой линии (nn) правую часть формулы (2) приравняем к нулю: поделим на : ; поделим это выражение на Х₀ : .Из чертежа:

	(3)По формуле (3) находится положение нулевой линии. Вывод: если , то , это означает, что угол наклона нулевой линии не перпендикулярен к линии действия нагрузки.
Наибольшие напряжения будут в точках L и K. Прочность стержня проверяется по формулам:
Для симметричного сечения условие прочности можно записать так: Прогиб при косом изгибе находится как геометрическая сумма двух прогибов:	где – прогиб в плоскости оси Х от силы Рх ; – прогиб в плоскости оси У от силы Ру. Внецентренное сжатие (растяжение). Если сжимающая сила не проходит через центр тяжести поперечного сечения стержня, то стержень будет испытывать внецентренное сжатие (растяжение). Для расчета стержня приложим в центре тяжести поперечного сечения две силы Р противоположно направленные. Тогда сила Р зачеркнутая дважды вызывает осевое сжатие, а пара сил зачеркнутых однажды создают момент равный Р×е=М(чистый изгиб). Как нам известно при осевом сжатии и при чистом изгибе напряжения во всех сечениях будет одинаковые, поэтому рассмотрим произвольное сечение (сс). Отбросим верхнюю часть и рассмотрим оставшуюся нижнюю. Найдем напряжение σ в точке К (X;Y).Эти напряжения складываются из напряжений от осевого сжатия и от напряжений чистого изгиба. При осевом сжатии напряжения будут равны (-Р/A). Что касается чистого изгиба, мы его разложим на два изгиба, действующих по главным осям инерции. От изгибающего момента напряжения будут .От момента имеем напряжение. Суммарное напряжение равно: (1) По формуле (1) можно найти напряжение в любой точке поперечного сечения для этого следует координаты X и У подставить с учетом их знака. Формула (1) справедлива также и при растяжении. В этом случае вместо (-) имели бы (+) перед формулой, где : Найдем положение нулевой линии. Для этого приравняем правую часть формулы (1) к нулю. ; ; значит — уравнение нулевой линии, которая является прямой линией. Поэтому для нахождения положения нулевой линии найдем отрезки, отсекаемые ею на осях Х и У. Для чего принимаем у=0 ; х=ах. подставив в уравнение получим — отрезок отсекаемый нулевой линией на оси Х. Примем , получим — отрезок отсекаемый нулевой линией на оси У. Нулевая линия делит сечение на две части: на одной стороне, возникают сжимающие напряжения, а на другой растягивающие. Прочность при внецентренном сжатии (растяжении) проверяется по формулам: (или ≤Rcж). (или ≤Rр), где ХL и YL — координаты точки L; ХN и УN — координаты точки N. Как видно положение нулевой линии зависит от координат . Если сила приложена в точке 1 / ; то нулевая линия пройдет по (1 / ;1 / ). Если точку приложения силы перемещать вдоль луча ОА, то нулевая линия будет также перемещаться, оставаясь параллельно самой себе. Таким образом можно найти такую точку 1 для которой нулевая линия коснётся контура сечения будет (1;1). Таким же образом можно на луче ОВ найти точку 2, для которой нулевая линия пройдет по (2;2). В итоге приняв несколько точек 1;2;3;4… и соединив их получим ядро сечения. Ядро сечения – это область, очерченная вокруг центра тяжести и обладающая теми свойствами, что если приложить внутри этой области силу, то все поперечное сечение стержня будет иметь напряжение одинакового знака. Для построения ядра сечения следует провести несколько линий касающихся контура сечения, вычислить для этих линий aх и aу, а затем найти значения по формулам: ; Пример1. Найти ядро сечения для прямоугольника. Проведем линию (1-1): ; ; Линия (2-2): ; ; Аналогично получаем 3 и 4 точки. | следующая лекция ==> ДЕФОРМАЦИИ ПРИ ИЗГИБЕ. | ПОНЯТИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ. Дата добавления: 2016-02-13 ; просмотров: 2224 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ источники: http://mydocx.ru/11-30001.html http://helpiks.org/7-2774.html

где – прогиб в плоскости оси Х от силы Р_х ; – прогиб в плоскости оси У от силы Р_у.

Внецентренное сжатие (растяжение).

Если сжимающая сила не проходит через центр тяжести поперечного сечения стержня, то стержень будет испытывать внецентренное сжатие (растяжение).

По формуле (1) можно найти напряжение в любой точке поперечного сечения для этого следует координаты X и У подставить с учетом их знака.

Формула (1) справедлива также и при растяжении. В этом случае вместо (-) имели бы (+) перед формулой, где :

Найдем положение нулевой линии. Для этого приравняем правую часть формулы (1) к нулю.

; ; значит

— уравнение нулевой линии, которая является прямой линией.

Поэтому для нахождения положения нулевой линии найдем отрезки, отсекаемые ею на осях Х и У. Для чего принимаем у=0 ; х=а_х. подставив в уравнение получим

— отрезок отсекаемый нулевой линией на оси Х.

Примем , получим

— отрезок отсекаемый нулевой линией на оси У.

Нулевая линия делит сечение на две части: на одной стороне, возникают сжимающие напряжения, а на другой растягивающие.

Прочность при внецентренном сжатии (растяжении) проверяется по формулам:

Ядро сечения – это область, очерченная вокруг центра тяжести и обладающая теми свойствами, что если приложить внутри этой области силу, то все поперечное сечение стержня будет иметь напряжение одинакового знака.

Для построения ядра сечения следует провести несколько линий касающихся контура сечения, вычислить для этих линий a_х и a_у, а затем найти значения по формулам: ;

Пример1. Найти ядро сечения для прямоугольника.

|	следующая лекция ==>
ДЕФОРМАЦИИ ПРИ ИЗГИБЕ.	|	ПОНЯТИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ.

Дата добавления: 2016-02-13 ; просмотров: 2225 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Внецентренное растяжение или сжатие

7. ВНЕЦЕНТРЕННОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ИЛИ СЖАТИЕ.

На практике часто изгиб сочетается с растяжением (сжатием), что обусловлено внецентренном приложением нагрузки, параллельной оси стержня, когда равнодействующая F не совпадает с осью балки (рис. 7.1)

Такая задача очень часто встречается в мостостроении при расчете опор мостов и в гражданском строительстве при расчете колонн зданий.

Обозначим координаты точки приложения действующих сил и , а расстояние этой точки до оси z, называемое эксцентриситетом — e. Внутренние усилия в любом сечении равны:

; ; .

Напряжения в произвольной точке сечения определяются формулой

(7.1)

. (7.2)

Эту формулу можно выразит также через радиусы инерции

, (7.3)

где

Уравнение нейтральной линии () находим из (7.3)

. (7.4)

Отрезки, отсекаемые нейтральной линией на осях и (рис. 7.2), найдем из (7.4), положив ,

; . (7.5)

Из (7.4) следует, что нейтральная линия пересекает координатные оси в точках, принадлежащих квадранту, противоположенному тому, в котором находится точка F приложения силы.

Условия прочности для точек с наибольшими растягивающими и наибольшими сжимающими напряжениями (соответственно точек A и B на рис. 7.2) можно записать в виде:

(7.6)

(7.7)

Эпюра напряжений приведена на рис. 7.2.

Для стержня прямоугольного сечения условие прочности удобно представить следующим образом:

. (7.8)

Формулы (7.6)-(7.8) справедливы и в случае, когда сила F является сжимающей, при условии, что нет опасности потери ее устойчивости.

Расстояние нейтральной оси от центра тяжести и величины зон сечения, испытывающих растягивающие и сжимающие усилия, зависят от эксцентриситета e, Очевидно, одна из зон может отсутствовать (при растяжении — зона сжатия, при сжатии — зона растяжения), а нейтральная линия не будет пересекать сечение.

Представляет большой практический интерес, особенно при внецентренном сжатии колонн из материалов, плохо сопротивляющихся растяжению (например, кирпичной кладки). Знать то максимальное значение эксцентриситета, при котором в сечении не будут возникать напряжения растяжения, т. е. нейтральная линия будет касательной к сечению.

Область вокруг центра тяжести сечения, внутри которой приложение силы F вызывает во всех точках поперечного сечения напряжения одного знака, называется ядром сечения. Для определения ядра сечения необходимо задаваться различными положениями нейтральной линии [9], проводя ее касательно к контуру и нигде не пересекая его, и вычислять координаты соответствующих точек приложения силы по следующим, вытекающим из (7.5), формулам:

; .

Вычисленные таким образом точки и определяют контур сечения.

Для построения ядра сечения какой-либо фигуры, например прямоугольник (рис.7.3), необходимо рассмотреть ряд положений нейтральной линии, совпадающих со сторонами сечения. Совместив нейтральную линию со стороной CD (положение 1 — 1) получим: , ; тогда на основании (7.5)

;

, .

Таким образом, мы определим координату точки 1 ядра сечения. Совмещая положение нейтральной линии со стороной AD (положение 2 — 2), аналогично получим

,.,

а координатами точки 2 ядра будут

;

Задаваясь соответствующими положениями нейтральной линии 3 — 3 и 4 — 4, по аналогии определим координаты точек ядра 3 и 4.

На столб заданного поперечного сечения в точке верхнего торца D действует растягивающая или сжимающая нагрузка F=100кН (рис.7.4). Растягивающая сила обозначена точкой в кружке, а сжимающая – крестом.

-показать положение главных центральных осей инерции вычислить значения осевых моментов инерции, радиусов инерции сечения и площадь поперечного сечения;

-найти положение нулевой линии и показать ее на схеме сечения;

-определить наибольшие (растягивающие и сжимающие) напряжения в поперечном сечении и построить эпюру напряжений;

-построить ядро сечения и указать координаты его характерных точек.

Все расчетные схемы необходимо выполнять, строго соблюдая масштаб.