Как найти положение точки в момент времени

1.
Основная задача кинематики – нахождение
положения
движущейся точки, ее скорости
и ускорения
в любой
интересующий момент времени.

Пусть
известен вид функций, выражающих
зависимость координат движущейся точки
от времени:

x=f1
(t); y=f2(t);
z=f3
(
t) (5.1)

Чтобы
найти положение точки в некоторый момент
t
=
t1,
достаточно это время подставить в (5.1).
Исключив из (5.1) время, находят траекторию
движения.

Чтобы
найти зависимость от времени компонент
скорости

надо продифференцировать по времени
функции (5.1). Зная компоненты
легко определить величину и направление
самой скорости.

Двукратным
дифференцированием функций (5.1) мы
получим зависимость от времени компонент
ускорения.

2.
Возможна обратная задача: по функциям,
выражающим зависимость компонент
ускорения от времени, можно найти
величину и направление скорости, а также
координаты точки в заданный момент
времени. Эта задача решается обратной
операцией — интегрированием: однократное
интегрирование дает зависимость от
времени компонент скорости, двукратное
— зависимость от времени координат. При
этом в формулах появляются постоянные
интегрирования. Эти постоянные
определяются из так называемых начальных
условий.

Начальные
условия — это параметры механического
состояния в некоторый определенней
момент времени (обычно этот момент
относят к началу отсчета времени t
= 0
, отсюда и
название – начальные условия). Начальные
условия должны быть заданы дополнительно,
в противном случае задача становится
неопределенной.

3.
Основная задача кинематики может быть
решенаграфически.

Пусть
даны графики зависимости координат от
времени. Проанализируем один из них,
изображенный на рис.7. Из приведенного
графика легко определить проекции
средней и истинной скорости на ось ОХ.
Проекция
средней скорости за промежуток времени
t2
t1
равна

Геометрически
есть тангенс угла наклонасекущей
(1), проведенной
через точкии
.
Следовательно,(5.2)
Обратим внимание на то, что при нахождении
угла наклона секущей отрезкииследует
измерять не в абсолютных единицах длины,
а в тех масштабных единицах, которые
выбраны вдоль осейх
и t.

Проекция
истинной скорости на ось ОХ
в момент времени t
численно равна тангенсу угла наклона
касательной (2), проведенной к графику
в точке а:
x
= (5.3)

4.
Определив несколько значений
x
(достаточных для построения графика),
можно построить график
.

Тангенсы
углов наклона секущей и касательной на
этом графике определят проекции среднего
и истинного ускорений на ось ОХ,
т.е.

(аср)х
и
ах.

5.
Графически можно решать и интегральные
задачи. Так, например, по графику ускорения
можно найти изменения скорости за данный
промежуток времени, по графику скорости
– изменение координаты

(т.е.
расстояние, пройденное вдоль соответствующей
оси). Рисунки
8 и 9 поясняют это.

Узкая
полоска на рис. 8 изображает элементарное
изменение (приращения) компоненты
скорости
x
за бесконечно
малый промежуток времени dt:

dx
= axdt (5.4)

Изменения
этого компонента за конечный
промежуток
времени
будет численно равно площади криволинейной
трапеции, покрытой на чертеже редкой
штриховкой:

(5.5)

Совершенно
аналогично изменения координаты
за
времябудет равно площади под кривой
на участке 0 —
t1
(рис.9): (5.6)

В
заключение отметим, что графическое
интегрирование может быть выполнено
значительно точнее, чем графическое
дифференцирование.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧ

Пример
1.
Уравнение
движения точки по прямой имеет вид:

Найти:
1) положения точки в моменты времени
и;
2) среднюю скорость за время, протекшее
между этими моментами;

3)
мгновенные скорости в указанные моменты
времени; 4) среднее ускорение за указанный
промежуток времени; 5) мгновенные
ускорения в указанные моменты времени.

Решение.
1) Положение
точки определяется значениями расстояния
в указанные моменты времени; для
нахождения этих расстояний надо в
указанное уравнение движения подставить
вместо временизначения заданных моментов времени

2) Значение средней
скорости по определению

или

,
где
изменение расстоянияза промежуток времени:

=
,

=,

3)
Общее выражение для мгновенной скорости
по определению имеет вид

Подставив
в это выражение вместо
заданные значения времени, получим,

.

4) Значение среднего
ускорения определим как

где

изменение скоростиза промежуток време-

ни

5)
Общее выражение для мгновенного ускорения
имеет вид

Подставив
в это выражение вместо
его заданные значения, получим,

Пример
2.
Определить
зависимость пути от времени, если
ускорение тела пропорционально квадрату
скорости и направлено в сторону,
противоположную ей.

Решение.
Учитывая, что по условию ускорение
пропорционально квадрату скорости и
противоположно ей, запишем это в виде

Произведем
разделение переменных
и проинтегрируем.

После
интегрирования имеем
При,
значит,и;
Откуда.

Выразим
:тогдаПри,
значит,.
Окончательно будем иметь

Пример
3
.
Зависимость пути, пройденного точкой
по окружности радиусом
,
от времени выражено уравнением.
Найти скорость, нормальное, тангенциальное
и полное ускорение точки черезпосле начала движения, если

Решение.
Прежде всего находим выражение для
скорости точки.

Известно,
что
.
Взяв производную по времени от заданного
уравнения пути,
получим.
Значение скорости в данный момент
времени найдем, если в полученную
формулу подставим времяи коэффициентыи:

.

Теперь
найдем общее выражение для тангенциального
ускорения. Из теории известно, что
.
Взяв производную по времени от уравнения
скорости, находим.
С учетом коэффициента,
тангенциальное ускорение.

Полученное
выражение для тангенциального ускорения
не содержит времени; это значит, что оно
постоянно по величине и движение точки
по окружности будет равнопеременным.

Нормальное
(центростремительное) ускорение найдем
по его формуле
,
подставив выражение для скорости, а
затем, и численные их значения:;.

Полное ускорение
будет равно геометрической сумме взаимно
перпендикулярных тангенциального и
нормального ускорений

;

ВОПРОСЫ ДЛИ
САМОПРОВЕРКИ

1.
Дайте определение механического
движения.

2.
Что называется системой отсчета?

3.
Что называется материальной точкой?

4.
Как задается положение материальной
точки в пространстве?

5.
Что называется перемещением? путем?

6.
Раскройте физический смысл мгновенной
скорости и ускорения.

7.
Какие изменения скорости характеризуют
тангенциальное и нормальное ускорения?
Как находят численные значения этих
ускорений?

8.
Может ли точка, движущаяся по криволинейной
траектории, не иметь тангенциального
ускорения? Может ли эта точка не иметь
нормального ускорения?

9.
Как по графику x
=
f(t)
найти составляющую скорости
x
в заданный момент времени? Как по графику
x
= f(t)
найти изменения
координаты Х
за время
?

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Решение задачи (РГР) К1 «Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения» по разделу «кинематика» теоретической механики.

Пример определения для заданного момента времени положения точки на траектории, скорости, полного, касательного и нормального ускорения, радиуса кривизны траектории и вида траектории движения точки, если движение точки задано уравнениями.

Задача
Движение точки M задано уравнениями:
Уравнения движения точки в координатной форме
Требуется:
Установить вид траектории движения точки M, и для момента времени t = t1 = 0,5 с найти:

  1. положение точки на траектории,
  2. скорость, полное, касательное и нормальное ускорения,
  3. радиус кривизны траектории.

Другие примеры решений >
Помощь с решением задач >

Решение

Расчет траектории движения точки

Уравнения движения можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки.

Другие видео

Чтобы узнать вид траектории в координатной форме, надо получить прямую зависимость между переменными x и y, для этого избавимся от параметра времени t, выразив его, например, из первого уравнения и подставив во второе.
Получение зависимости y от x
Получилось квадратное уравнение. То есть точка движется по параболе.
Построим траекторию движения, рассчитав несколько её точек.
Построение траектории движения точки

Положение точки на траектории

Определим положения точки в начале движения и в заданный момент времени.
Для этого в исходные уравнения подставляем соответственно сначала 0
Расчет начального положения точки
а затем, половину секунды.
Координаты точки на траектории в заданный момент времени
Положение точки на ее траектории в заданный момент обозначим буквой M, и все остальные параметры будем рассчитывать для неё.
Перемещение точки по траектории

Расчет скорости точки

Направление и величину скорости точки определим как векторную сумму её проекций на оси координат.
Вектор скорости точки
Здесь i, j — орты осей x и y.
vx, vy — проекции вектора скорости на оси координат.

Проекции вектора скорости получим, взяв первые производные по времени t от соответствующих заданных уравнений движения точки.
Проекции вектора скорости точки
Далее выбрав масштаб, из точки M последовательно и с учетом знака, откладываем оба вектора.
Проекции вектора скорости на оси координат
Сам вектор скорости получим, соединив точку M с концом второго вектора и направив его по ходу движения точки.
Направление вектора скорости точки
Здесь надо отметить, что вектор скорости всегда должен располагаться по касательной к траектории. Любое другое положение будет указывать на ошибки в расчетах.

Рассчитаем модуль вектора скорости
Расчет модуля вектора скорости

Расчет ускорений точки

Проекции полного ускорения точки на оси координат определяются как вторая производная от исходных уравнений движения точки.
Расчет проекций вектора полного ускорения
Здесь, ax, ay – проекции ускорения точки на оси координат.

В этом примере, горизонтальная проекция ускорения оказалась равной нулю, поэтому его модуль и направление будут совпадать с вертикальной.
Модуль полного ускорения
Проекции ускорения точки
Касательная составляющая полного ускорения это производная скорости точки по времени.

Ее можно рассчитать по этой формуле.
Модуль касательного ускорения точки
Вектор касательного ускорения всегда направлен по линии вектора скорости.
Нормальное, касательное и полное ускорения точки
Положительная величина говорит об ускоренном движении точки и тогда направления скорости и касательного ускорения совпадают.
В противном случае они разнонаправлены, и движение точки замедляется.

Модуль нормального ускорения определим по формуле Пифагора, так как векторы касательного и центростремительного ускорений всегда взаимно перпендикулярны.
Модуль нормального ускорения

Расчет радиуса кривизны траектории

Осталось найти только радиус кривизны траектории в точке M, который равен отношению квадрата скорости к модулю нормального ускорения.
Расчет радиуса кривизны траектории
Радиус кривизны траектории точки

Результаты расчетов

Результаты вычислений для заданного момента времени t1=0,5c приведены в таблице:
Результаты расчетов
На рисунке показано положение точки M в заданный момент времени и векторы скорости и ускорений в выбранном масштабе.
Кинематика точки в заданный момент времени

Вектор v строим по составляющим vx и vy, причем этот вектор должен по направлению совпадать с касательной к траектории.

Вектор a строим по составляющим ax и ay и затем раскладываем на составляющие векторы aτ и an. Совпадение величин aτ и an, найденных из чертежа, с их значениями, полученными аналитически, служит критерием правильности решения.

Другие примеры решения задач >

Содержание:

Предмет кинематики:

Кинематикой называют раздел теоретической механики, в котором изучают механическое движение, рассматриваемое без учета сил, приложенных к движущимся объектам

Арифметика наряду с некоторыми другими науками, занимающимися исчислением, является наиболее отвлеченной из математических наук. Для нее достаточно одного понятия «число», и она не нуждается ни в каких других фундаментальных понятиях.

Геометрия не может ограничиться одним понятием числа. Она основывается также и на понятиях, связанных с геометрической формой (длина, поверхность, объем, угол). Геометрия часто пользуется понятием движения; линию геометрия определяет как след точки. Но если точка оставила след, то, следовательно, она передвигалась; фигура, образовавшая тело вращения, поворачивалась вокруг оси, т. е. тоже находилась в движении. Однако геометрию не интересует, совершалось ли это движение в течение многих тысячелетий или же в малые доли секунды. Понятие времени чуждо геометрии. Размерностью геометрических величин является размерность длины L в той или иной степени (площадь измеряется в L2, объем—в L3, размерность углаКинематика точки в теоретической механике

К понятиям числа и геометрической формы добавляется новое понятие — «время» в науке, изучающей геометрические свойства движения и называемой кинематикой.

«В мире нет ничего, кроме движущейся материи, и движущаяся материя не может двигаться иначе, как в пространстве и во времени». Механическое движение, как и все прочие виды движения (теплота, электричество, ядерные процессы, органическая жизнь и пр.), не может происходить вне времени. Напомним, что под механическим движением мы понимаем один из видов движения материи, выражающийся в изменении с течением времени взаимных положений тел или частей тела. Положение тел, а также их механическое движение может быть отмечено лишь относительно других реальных или условных тел. Так, например, положение корабля может быть отмечено относительно берегов или относительно сетки географических долгот и широт; чтобы дать положение летящего самолета, можно указать направление, в котором этот самолет находится, и расстояние до него или же дать его координаты х, у и z относительно системы осей, определенным образом ориентированных в пространстве; чтобы дать положение поезда, можно назвать железную дорогу, по которой он движется, и его расстояние от станции. Реальное или условное твердое тело, по отношению к которому определяется положение других движущихся тел, называют системой отсчета.

Кинематика изучает изменения в положении тел по отношению к системе отсчета. Она дает возможность разобраться в многообразии видов механического движения и установить пространственные и временные меры движения (путь, скорость и т. п.), но не дает возможности предсказать, как будет двигаться тело под действием приложенных сил, или определить, какие силы должны быть приложены к телу для того, чтобы оно совершало то или иное движение. Понятие «силы» чуждо кинематике.

Формулы размерности кинематических величин содержат размерности длины L и времени Т, размерность же силы F или массы M в размерность кинематических величин не входит.

Кинематика является разделом теоретической механики, в котором изучают механическое движение, рассматриваемое без учета сил, приложенных к движущимся объектам. Изучение же механического движения в связи с силами, приложенными к движущимся объектам, составляет предмет динамики.

Кинематика наряду со статикой является необходимой предпосылкой динамики и, следовательно, всех других механических дисциплин. Но кинематика имеет также и непосредственное применение в технике. Техника широко пользуется законами и формулами кинематики. Большое значение кинематика имеет в теории механизмов и машин (TMM) .

История развития кинематики

Кинематика как самостоятельный раздел теоретический механики возникла в XIX столетии

Многие сведения из кинематики были известны еще в глубокой древности. Так, например, в сочинении «Механические проблемы», принадлежащем Аристотелю или кому-либо из его учеников, дан закон сложения двух прямолинейных равномерных движений. В древней астрономии пользовались равномерным круговым движением точки и знали, что проекция этой точки на прямую, лежащую в той же плоскости, совершает гармоническое колебание. Но появление отрывочных сведений еще не является возникновением науки. И хотя основателем кинематики иногда называют Галилея, кинематика как самостоятельный раздел теоретической механики возникла лишь в XIXв.

Упомянем о некоторых из открытий Галилея в области кинематики.

Галилей показал, что пути, проходимые движущимся телом, не всегда пропорциональны времени, и в своих исследованиях он пользовался понятием скорости. Но во времена Галилея считали возможным делить друг на друга только отвлеченные или одноименные числа, и потому Галилей не дал формулы скорости точки как отношения пройденного пути ко времени: Кинематика точки в теоретической механике

Тем более он не мог дать формулы скорости в данное мгновение, которая стала возможной лишь после открытия дифференциального исчисления. Обе эти формулы были введены в науку Эйлером в сочинении «Механика, т. е. наука о движении, изложенная аналитическим методом», изданном в Петербурге в 1736 г.

Совершенно новым понятием, к которому пришел Галилей, возможно, под влиянием работ Бенедетти, было понятие ускоренного прямолинейного движения, хотя Галилей не вводит термина «ускорение» и не приводит формулы ускорения как отношения изменения величины скорости ко времени.

Галилей дал законы равноускоренного движения и свободного падения тел, установив, что пути, проходимые падающим телом за последовательные равные промежутки времени, относятся как ряд нечетных чисел. Так, было установлено, что пути, проходимые свободно падающим телом, пропорциональны квадрату времени, и в современном обозначении
Кинематика точки в теоретической механике

Законы падения тел Галилей вывел экспериментально, наблюдая качение шаров по наклонным плоскостям. Еще Леонардо да Винчи, великому предшественнику Галилея в области механики, была известна зависимость между длинами (и высотами) наклонных плоскостей и временем, в течение которого с этих плоскостей спускаются шары. Но эти работы Леонардо да Винчи не могли оказать влияния на развитие науки, они стали частично известны лишь после того, как в 1797 г. их опубликовал Вентури. Ко времени их опубликования эти работы имели только историческое значение.

Галилей показал, что движение тела, брошенного горизонтально или под углом к горизонту, состоит из двух независимых друг от друга движений: горизонтального равномерного и вертикального равнопеременного. Этим он не только ввел в употребление законы параллелограмма перемещений (см. §27), но в принципе обосновал введенный значительно позднее (в 1742 г.) Маклореном координатный способ определения движения (см. § 21), при котором движение точки рассматривают по движениям ее проекций на неподвижные оси.

Кинематика солнечной системы была создана в развитие теории Коперника астрономом Иоганном Кеплером и выражена в трех законах (1609 и 1619 гг.). Хотя законы Кеплера относятся только к движению планет, они имели громадное влияние на развитие всей теоретической механики.

Гюйгенс установил, что при движении точки по окружности центробежная сила пропорциональна квадрату скорости и обратно пропорциональна радиусу круга, откуда позднее было установлено,что при всяком криволинейном движении нормальное ускорение пропорционально квадрату скорости и обратно пропорционально радиусу кривизны.

Эйлер, по-видимому, первый (1772 г.), а за ним уже Ампер (1834 г.) предложили выделить кинематику в самостоятельный раздел механики — учение о.механическом движении без учета сил, приложенных к движущимся объектам.

Гаспар Кориолис исследовал составное движение и доказал (1831 г.) знаменитую теорему, позднее получившую название теоремы Кориолиса. Эта теорема является основной в механике относительного движения и имеет огромное значение для различных отраслей науки. Несколько позднее на основе этой теоремы в кинематике составного движения точки стали применять ускорение Кориолиса.

Понятие полного ускорения как величины, характеризующей изменение скорости в данное мгновение, установлено сравнительно недавно. Эта честь принадлежит Понселе, впервые начавшему применять понятие и термин «ускорение» в своих лекциях (1841 г.), и Резалю, впервые применившему его в учебнике (1851 и 1862 гг.).
Луи Пуансо в работе «Новая теория вращения тел» (1834 г.) обогатил кинематику рядом блестящих исследований и дал наглядные геометрические интерпретации. В частности, он изучил сложение вращений и вращение тела около неподвижной точки. Эта геометрическая теория позднее была развита Понселе, Шалем, Мебиусом и др.

По-видимому, первую монографию по кинематике под названием «Трактат по чистой кинематике (движение, рассматриваемое независимо от его причин)» издал Резаль (1862 г.). По прикладной кинематике заслуживает упоминания книга проф. П. О. Сомова «Кинематика подобно-изменяемой системы двух измерений» (1885 г.).

В настоящее время кинематика является хорошо исследованной областью науки, и дальнейшее развитие кинематики происходит преимущественно в виде применения ее к различным частным задачам техники.

Кинематика точки

В кинематике изучается движение материальных объектов (точки, твердого тела, сплошной среды) без рассмотрения причин, вызывающих или изменяющих это движение. Такое изучение движения материальных объектов не требует учета материальных характеристик этих объектов — массы, моментов инерции и др.

В кинематике рассматривают такие характеристики движения, как скорость и ускорение точки, угловые скорость и ускорение твердого тела и др.

Движение материальных объектов, в частности материальной точки, совершается в пространстве при изменении времени. Пространство в классической механике считается эвклидовым, не зависящим от времени и движущихся в нем материальных объектов. Время принимается универсальным, не связанным с пространством и не зависящим как от движения наблюдателя, с точки зрения которого рассматривается движение материального объекта, так и от движения самого материального объекта.

Движение материального объекта всегда следует рассматривать относительно какого-либо твердого тела — тела отсчета, т.е. движение является относительным. С телом отсчета скрепляют систему осей координат, например декартовых, принимая ее за систему отсчета, относительно которой рассматривается движение материального объекта. Системой отсчета для трехмерного эвклидова пространства не может служить одна точка, линия или плоскость, а должны быть три оси, не обязательно прямолинейные, но не лежащие в одной плоскости.

Независимость времени от движения означает, что во всех системах отсчета, произвольно движущихся друг относительно друга, оно одно и то же, если за начало отсчета выбрано общее для них событие.

В кинематике сплошной среды телами отсчета, относительно которых рассматривается движение, могут быть также деформируемые тела.

В курсе теоретической механики обычно изучаются движение точки и твердого тела. Соответственно кинематика делится на кинематику точки и кинематику твердого тела. В настоящем курсе дополнительно излагаются также основы кинематики сплошной среды.

В кинематике точки рассматриваются характеристики движения точки, такие, как скорость, ускорение, и методы их определения при различных способах задания движения. Важным в кинематике точки является понятие траектории. Траекторией точки называется геометрическое место ее последовательных положений в пространстве с течением времени относительно рассматриваемой системы отсчета.

По виду траекторий движения точки делятся на прямолинейные и криволинейные. Форма траектории зависит от выбранной системы отсчета. Одно и то же движение точки может быть прямолинейным относительно одной системы отсчета и криволинейным относительно другой. Например, если с летящего горизонтально Земле с постоянной скоростью самолета отцеплен груз, то, пренебрегая сопротивлением воздуха и учитывая только действие силы тяжести, получим в качестве траектории движения центра масс груза относительно самолета прямую линию, а относительно Земли — параболу.

Скорость точки

Одной из основных характеристик движения точки является ее скорость относительно выбранной системы отсчета, которая изображена в виде декартовой прямоугольной системы координат (рис. 1).

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 1

Положение движущейся точки Кинематика точки в теоретической механике относительно рассматриваемой системы отсчета определяется в момент времени Кинематика точки в теоретической механике радиусом-вектором Кинематика точки в теоретической механике, который соединяет неподвижную точку Кинематика точки в теоретической механике с этой точкой. В другой момент времени Кинематика точки в теоретической механике движущаяся точка займет положение Кинематика точки в теоретической механике и ее радиусом-вектором будет Кинематика точки в теоретической механике. За время Кинематика точки в теоретической механике радиус-вектор движущейся точки изменится на Кинематика точки в теоретической механике.

Средней скоростью Кинематика точки в теоретической механике точки за время Кинематика точки в теоретической механике называют отношение Кинематика точки в теоретической механике , т. е.

Кинематика точки в теоретической механике

Средняя скорость параллельна вектору Кинематика точки в теоретической механике. В общем случае она зависит от времени осреднения Кинематика точки в теоретической механике. У нее нет конкретной точки приложения на траектории.

Введем скорость точки Кинематика точки в теоретической механике в момент Кинематика точки в теоретической механике, которая определяется как предел средней скорости, если промежуток времени, за который определяется средняя скорость, стремится к нулю, т. е.

Кинематика точки в теоретической механике

Скорость точки направлена в сторону ее движения по предельному направлению вектора Кинематика точки в теоретической механике при Кинематика точки в теоретической механике, стремящемся к нулю, т. е. по предельному направлению секущей Кинематика точки в теоретической механике,  которая совпадает с касательной к траектории в точке Кинематика точки в теоретической механике. Таким образом, скорость точки равна первой производной по времени от ее радиуса-вектора. Она направлена по касательной к траектории в сторону движения точки.

Начало радиуса-вектора движущейся точки можно выбрать в любой неподвижной точке. На рис. 1 представлен случай, в котором радиусом-вектором является также р с началом в точке Кинематика точки в теоретической механике. Радиусы-векторы Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике имеют одинаковые изменения Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике за время Кинематика точки в теоретической механике и поэтому

Кинематика точки в теоретической механике

Размерность скорости в Кинематика точки в теоретической механике получаем из (1):

Кинематика точки в теоретической механике.

Часто скорость выражают в км/ч; Кинематика точки в теоретической механике.

Для характеристики переменного вектора используют понятие его годографа. Годографом вектора называют геометрическое место его концов, если переменный вектор в различные моменты времени откладывать от одной и той же общей точки.

Траектория точки, очевидно, является годографом радиуса-вектора Кинематика точки в теоретической механике или Кинематика точки в теоретической механике (рис. 1). Последовательные положения вектора Кинематика точки в теоретической механике в различные моменты времени откладываются в этом случае от точки Кинематика точки в теоретической механике, а вектора Кинематика точки в теоретической механике — от точки Кинематика точки в теоретической механике.

Первая производная по времени от радиуса-вектора есть скорость точки, направленная по касательной к траектории. Следовательно, параллельно касательной к годографу направлена первая производная по скалярному аргументу от любого переменного вектора.

Годографом вектора скорости является линия, на которой располагаются концы этого вектора в различные моменты времени, если их начала совместить в одной общей точке. Для построения годографа вектора скорости выбираем точку, например Кинематика точки в теоретической механике (рис. 2,6), и начала векторов скорости для различных моментов времени переносим в эту точку, не изменяя их величин и направлений. Каждой точке траектории Кинематика точки в теоретической механике (рис. 2, а) будет соответствовать своя изображающая точка Кинематика точки в теоретической механике на годографе вектора скорости (рис. 2,6). Масштаб для скоростей при построении годографа вектора скорости может быть выбран отличным от масштаба для скоростей, изображаемых в точках траектории. При движении точки по траектории соответствующая ей изображающая точка движется по годографу вектора скорости.

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 2

При равномерном движении точки по прямой годографом вектора скорости является одна точка; при неравномерном движении — отрезок прямой, параллельный траектории.

Ускорение точки

Пусть движущаяся точка Кинематика точки в теоретической механике в момент времени Кинематика точки в теоретической механике имеет скорость Кинематика точки в теоретической механике. В момент времени Кинематика точки в теоретической механике эта точка занимает положение Кинематика точки в теоретической механике, имея скорость Кинематика точки в теоретической механике (рис. 3,а). Чтобы изобразить приращение скорости Кинематика точки в теоретической механике за время Кинематика точки в теоретической механике, перенесем вектор скорости Кинематика точки в теоретической механике параллельно самому себе в точку Кинематика точки в теоретической механике.

Средним ускорением точки Кинематика точки в теоретической механике за время Кинематика точки в теоретической механике называют отношение Кинематика точки в теоретической механике, т. е. Кинематика точки в теоретической механике. Среднее ускорение точки параллельно приращению скорости Кинематика точки в теоретической механике. Как и средняя скорость, среднее ускорение не имеет на траектории конкретной течки приложения и изображено в точке Кинематика точки в теоретической механике условно. В общем случае среднее ускорение зависит от времени Кинематика точки в теоретической механике.

Ускорением точки Кинематика точки в теоретической механике в момент времени Кинематика точки в теоретической механике называют предел, к которому стремится среднее ускорение при Кинематика точки в теоретической механике, стремящемся к нулю, т. е.

Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 3

Таким образом, ускорение точки равно первой производной по времени от скорости точки.

Приращение скорости Кинематика точки в теоретической механике и, следовательно, среднее ускорение направлены внутрь вогнутости траектории. Так же направлены и их предельные значения при Кинематика точки в теоретической механике, стремящемся к нулю. Поэтому ускорение точки направлено тоже внутрь вогнутости траектории. Кроме того, ускорение как первая производная по времени от скорости, по свойству годографа вектора, параллельна касательной к годографу вектора скорости (рис. 3,6).

Размерность ускорения в Кинематика точки в теоретической механике получаем из (2):

Кинематика точки в теоретической механике

Векторный способ изучения движения

Движение точки относительно рассматриваемой системы отсчета при векторном способе изучения движения задается радиусом-вектором Кинематика точки в теоретической механике этой точки (рис. 4). Движение точки считается заданным, если известен радиус-вектор движущейся точки как функция времени, т. е.

Кинематика точки в теоретической механике

Задание векторного уравнения движения (3) полностью определяет движение точки.

Траекторией точки является годограф радиуса-вектора. Скорость точки направлена по касательной к траектории и вычисляется, согласно ее определению, по формуле

Кинематика точки в теоретической механике

Для ускорения точки соответственно имеем

Кинематика точки в теоретической механике

Таким образом, если движение точки задано векторным способом, то скорость и ускорение вычисляются по формулам (4) и (5).

Определение скорости и ускорения точки сводится к чисто математической задаче вычисления первой и второй производных по времени от радиуса-вектора этой точки. Для практического вычисления скорости и ускорения обычно используют координатный и естественный способы изучения движения. Векторный способ ввиду его краткости и компактности удобен для теоретического изложения кинематики точки.

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 4

Координатный способ изучения движения

Задание движения и траектория:

Движение точки можно изучать используя любую систему координат. Рассмотрим случай декартовых прямоугольных осей координат, которые являются также системой отсчета, относительно которой рассматривается движение точки. Движение точки в декартовых координатах считается заданным, если известны координаты точки как непрерывные, дважды дифференцируемые функции времени (рис. 5), т. е. заданы уравнения движения точки в декартовых координатах:

Кинематика точки в теоретической механике

Уравнения движения точки в декартовых координатах полностью определяют движение точки. Они позволяют найти положение точки, ее скорость и ускорение в любой момент времени. Уравнения движения (6) есть также уравнения траектории точки в параметрической форме. Параметром является время Кинематика точки в теоретической механике. Уравнения траектории в координатной форме из (6) получают исключением параметра Кинематика точки в теоретической механике. Исключая время, например, из первых двух уравнений и затем из второго и третьего, получим уравнения двух поверхностей:

Кинематика точки в теоретической механике

Это и есть уравнения траектории в координатной форме. Траекторией является линия пересечения двух поверхностей. Эти поверхности являются цилиндрическими, так как их уравнения не содержат одной из координат: первое — координаты Кинематика точки в теоретической механике, второе — координаты Кинематика точки в теоретической механике. Ось первой цилиндрической поверхности параллельна оси Кинематика точки в теоретической механике, второй — оси Кинематика точки в теоретической механике.

Исключая время из уравнений движения в другом порядке, получим траекторию точки как линию пересечения двух других цилиндрических поверхностей, например

Кинематика точки в теоретической механике

При исключении параметра Кинематика точки в теоретической механике из уравнений движения могут быть получены отрезки линий или точки, которые не содержатся в уравнениях (6). Эти дополнительные точки не следует считать точками траектории.

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 5

Пример 1.

Даны уравнения движения точки по плоскости

Кинематика точки в теоретической механике

где Кинематика точки в теоретической механике, Кинематика точки в теоретической механикеКинематика точки в теоретической механике — положительные постоянные величины. Определить уравнение траектории в координатной форме.

Решение. Уравнения движения (а) есть уравнения траектории точки в параметрической форме с параметром Кинематика точки в теоретической механике. Исключим его из уравнений движения. Для этого достаточно сложить правые и левые части уравнений, разделив предварительно первое уравнение на Кинематика точки в теоретической механике, а второе — на Кинематика точки в теоретической механике. Получим

Кинематика точки в теоретической механике

так как

Кинематика точки в теоретической механике

Уравнение (б) есть уравнение прямой, отсекающей на осях координат отрезки Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике (рис. 6).

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 6

Из уравнений (а) следует, что координаты точки Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике все время положительны и удовлетворяют условиям Кинематика точки в теоретической механике, Кинематика точки в теоретической механике, т. е. они могут изменяться только в пределах Кинематика точки в теоретической механикеКинематика точки в теоретической механике.  Точки прямой, для которых Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике, не содержатся в уравнениях движения (а). Они дополнительно появились при исключении из уравнений параметра Кинематика точки в теоретической механике. Их не следует включать в траекторию.

Траектория точки Кинематика точки в теоретической механике в координатной форме выражается уравнением и двумя неравенствами:

Кинематика точки в теоретической механике

Скорость в декартовых координатах

Разложим радиус-вектор и скорость точки на составляющие, параллельные осям координат (рис. 7). Получим

Кинематика точки в теоретической механике

где Кинематика точки в теоретической механике— координаты точки Кинематика точки в теоретической механике—единичные векторы осей координат; Кинематика точки в теоретической механике— проекции скорости на оси координат.

Учитывая (7), согласно определению скорости, имеем

Кинематика точки в теоретической механике

так как  Кинематика точки в теоретической механике не изменяются при движении точки Кинематика точки в теоретической механике. Точки над  Кинематика точки в теоретической механике означают их производные по времени. Сравнивая (7) и (8), получаем для проекций скорости на декартовы оси координат следующие формулы:

Кинематика точки в теоретической механике

Проекция скорости точки на какую-либо координатную ось равна первой производной по времени от соответствующей координаты этой точки. По проекциям определяют числовое значение (модуль) скорости и косинусы углов вектора скорости с осями координат:

Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 7

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 8

Если точка движется в плоскости, то, выбрав оси координат Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике в этой плоскости, получим:

Кинематика точки в теоретической механике

Соответственно

Кинематика точки в теоретической механике

Для прямолинейного движения точки координатную ось, например Для прямолинейного движения точки координатную ось, например Ох, направляют по траектории (рис. 8). Тогда Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике, Кинематика точки в теоретической механике, Кинематика точки в теоретической механике. Проекция скорости и ее модуль определяются по формулам

Кинематика точки в теоретической механике

Уравнение годографа вектора скорости

Известны уравнения движения точки в декартовых координатах. Получим уравнения годографа вектора скорости. На рис. 9, а изображены траектория точки и несколько векторов скорости в выбранном масштабе для различных моментов времени, а на рис. 9,6 представлен годограф вектора скорости этого движения. Точке Кинематика точки в теоретической механике на траектории соответствует точка Кинематика точки в теоретической механике на годографе вектора скорости.

Координаты точки Кинематика точки в теоретической механике, согласно определению годографа, выражаются через проекции вектора скорости на оси координат Кинематика точки в теоретической механике по формулам

Кинематика точки в теоретической механике

Если оси координат для годографа вектора скорости параллельны соответствующим осям координат, относительно которых заданы уравнения движения точки, то

Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 9

Параметрические уравнения годографа вектора скорости принимают такую форму:

Кинематика точки в теоретической механике

Исключая из этих уравнений параметр Кинематика точки в теоретической механике, получим уравнения годографа вектора скорости в координатной форме.

Годограф вектора скорости дает наглядное представление о скоростях движущейся точки в разные моменты времени. Он также позволяет определить направление вектора ускорения, так как ускорение параллельно касательной к годографу вектора скорости.

Ускорение точки в декартовых координатах

Разложим ускорение точки на составляющие, параллельные осям декартовой системы координат. Получим

Кинематика точки в теоретической механике

где Кинематика точки в теоретической механике— проекции ускорения на координатные оси. Согласно определению ускорения и формулам (7) и (8), имеем

Кинематика точки в теоретической механике

Сравнивая (11) и (12), получаем формулы для проекций ускорения на оси декартовой системы координат:

Кинематика точки в теоретической механике

Проекция ускорения на какую-либо координатную ось равна второй производной по времени от соответствующей координаты движущейся точки.

Числовое значение ускорения и косинусы углов вектора ускорения с осями координат определяем по формулам

Кинематика точки в теоретической механике

При движении точки по плоскости оси Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике выбирают в этой же плоскости. Тогда Кинематика точки в теоретической механике, Кинематика точки в теоретической механике. Формулы для ускорения и его проекций на оси координат примут вид

Кинематика точки в теоретической механике

Соответственно

Кинематика точки в теоретической механике

Для прямолинейного движения ось Кинематика точки в теоретической механике направим по траектории точки. Тогда Кинематика точки в теоретической механике, Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механикеКинематика точки в теоретической механике. Формулы для ускорения и его проекции на ось Кинематика точки в теоретической механике принимают вид

Кинематика точки в теоретической механике

Соответственно для числового значения ускорения имеем

Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 10

Пример 2.

Движение точки по плоскости Кинематика точки в теоретической механике задано уравнениями Кинематика точки в теоретической механике

где Кинематика точки в теоретической механике, Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике—постоянные положительные величины. Определить уравнение траектории в координатной форме, значения скорости и ускорения точки в момент времени Кинематика точки в теоретической механике, а также уравнение годографа вектора скорости.

Решение. Уравнение траектории в координатной форме находим исключением времени из уравнений движения. Для этого поделим первое уравнение на Кинематика точки в теоретической механике, второе — на Кинематика точки в теоретической механике, возводим в квадрат и складываем. Получаем уравнение эллипса (рис. 10, а) с полуосями Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике:

Кинематика точки в теоретической механике

так как

Кинематика точки в теоретической механике

При Кинематика точки в теоретической механике точка имеет координаты Кинематика точки в теоретической механике, т. е. занимает положение Кинематика точки в теоретической механике. Определим проекции скорости и ускорения на оси координат. Имеем:

Кинематика точки в теоретической механике

Для момента времени Кинематика точки в теоретической механике получаем:

Кинематика точки в теоретической механике

По проекциям устанавливаем направление скорости по касательной к траектории и направление ускорения по радиусу-вектору к точке Кинематика точки в теоретической механике. Изображаем эти векторы в точке Кинематика точки в теоретической механике и дополнительно в точках Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике.

Если выбрать для годографа вектора скорости оси Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике параллельными осям Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике, то для его текущих координат имеем

Кинематика точки в теоретической механике

Исключая из этих параметрических уравнений годографа вектора скорости время г, получим следующее его уравнение в координатной форме:

Кинематика точки в теоретической механике

На рис. 10,6 отмечены три изображающие точки годографа Кинематика точки в теоретической механике, Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике, соответствующие точкам траектории Кинематика точки в теоретической механике, Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике, а также указаны направления ускорения в этих точках.

Естественный способ изучения движения

Естественный способ задания движения:

При естественном способе задания движения задаются траектория и закон движения точки по траектории. Движение точки рассматривается относительно фиксированной системы отсчета. Задание траектории относительно выбранной системы отсчета осуществляется различными способами: уравнениями (возможно, вместе с неравенствами), словесно или в виде графика (в каком-либо масштабе). Например, можно сказать, что траекторией автомобиля, принимаемого за точку, является дуга окружности радиусом 10 км и т. д.

Для задания закона движения точки по траектории необходимо выбрать на траектории точку Кинематика точки в теоретической механике, принимаемую за начало отсчета расстояний (рис. 11). Расстояния в одну сторону от точки Кинематика точки в теоретической механике по траектории считаются положительными (например, вправо), в другую — отрицательными. Кроме того, следует задать начало отсчета времени. Обычно за Кинематика точки в теоретической механике принимают момент времени, в который движущаяся точка проходит через точку Кинематика точки в теоретической механике, или момент начала движения. Время до этого события считается отрицательным, а после него — положительным.

Если в момент времени Кинематика точки в теоретической механике движущаяся точка занимает положение М, то закон движения точки по траектории задается зависимостью от времени расстояния Кинематика точки в теоретической механике, отсчитываемого от точки Кинематика точки в теоретической механике до точки Кинематика точки в теоретической механике, т. е. Кинематика точки в теоретической механике. Эта функция должна быть непрерывной и дважды дифференцируемой. Расстояние Кинематика точки в теоретической механике берется по траектории, какой бы сложной ни была форма траектории. Это расстояние не имеет прямого отношения к пройденному точкой пути за время Кинематика точки в теоретической механике, так как за начало отсчета расстояний может быть выбрана, в частности, и конечная точка пути. К тому же движение точки может быть колебательным вокруг начальной точки Кинематика точки в теоретической механике.

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 11

От задания движения в декартовых координатах можно перейти к его заданию естественным способом. Закон движения точки по траектории в дифференциальной форме через декартовы координаты выражается в виде

Кинематика точки в теоретической механике

и после интегрирования —в конечной форме

Кинематика точки в теоретической механике

если

Кинематика точки в теоретической механике

За начало отсчета расстояний принята точка траектории, в которой находится движущаяся точка в начальный момент времени. Знак у квадратного корня определяется выбором направления положительных и отрицательных расстояний.

Скорость точки при естественном способе задания движения

Пусть движение точки задано естественным способом, т. е. заданы траектория точки и закон ее движения по траектории Кинематика точки в теоретической механике. Вычислим скорость точки. Для этого используем радиус-вектор Кинематика точки в теоретической механике движущейся точки, начало которого находится в неподвижной точке Кинематика точки в теоретической механике (рис. 12). При движении точки ее радиус-вектор изменяется с течением времени, а следовательно, он изменяется в зависимости от расстояния. Используя определение скорости, имеем

Кинематика точки в теоретической механике

или Кинематика точки в теоретической механике, где Кинематика точки в теоретической механике. Вектор Кинематика точки в теоретической механике направлен по касательной к траектории как производная от вектора по скалярному аргументу и является единичным вектором. Модуль этого вектора равен единице, как предел отношения длины хорды Кинематика точки в теоретической механике к длине стягивающей ее дуги Кинематика точки в теоретической механике при стремлении ее к нулю.

Единичный вектор Кинематика точки в теоретической механике всегда направлен по касательной к траектории в сторону возрастающих (положительных) расстояний независимо от направления движения точки. При Кинематика точки в теоретической механике направления векторов Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике совпадают. Вектор Кинематика точки в теоретической механике в этом случае направлен в сторону возрастающих расстояний. Если точка движется в сторону убывающих расстояний, то Кинематика точки в теоретической механике и направления векторов Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике противоположны. Но вектор Кинематика точки в теоретической механике направлен в сторону убывающих расстояний, а следовательно, вектор Кинематика точки в теоретической механике опять направлен в сторону возрастающих расстояний.

При Кинематика точки в теоретической механике вектор скорости направлен по Кинематика точки в теоретической механике, т. е. в сторону возрастающих расстояний; при Кинематика точки в теоретической механике он имеет направление, противоположное Кинематика точки в теоретической механике, т. е. в сторону убывающих расстояний.

Величина Кинематика точки в теоретической механике называется алгебраической скоростью точки. Ее можно считать проекцией скорости на положительное направление касательной к траектории, совпадающее с направлением единичного вектора Кинематика точки в теоретической механике.

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 12

Естественное задание движения точки полностью определяет скорость точки по величине и направлению. Алгебраическую скорость находят дифференцированием по времени закона изменения расстояний. Единичный вектор Кинематика точки в теоретической механике определяют по заданной траектории.

Геометрические понятия. Дифференцирование единичного вектора

Радиус кривизны и соприкасающаяся плоскость. В точке Кинематика точки в теоретической механике кривой линии проведем касательную Кинематика точки в теоретической механике (рис. 13). В другой близкой точке кривой Кинематика точки в теоретической механике, отстоящей от точки Кинематика точки в теоретической механике на расстоянии Кинематика точки в теоретической механике, построим касательную Кинематика точки в теоретической механике. В общем случае пространственной кривой касательные Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике будут скрещиваться. Проведем в точке Кинематика точки в теоретической механике прямую линию Кинематика точки в теоретической механике параллельную Кинематика точки в теоретической механике. Угол Кинематика точки в теоретической механике между линиями Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике называется углом смежности. Кривизной кривой Кинематика точки в теоретической механике в точке Кинематика точки в теоретической механике называют предел, к которому стремится угол смежности, приходящийся на единицу расстояния Кинематика точки в теоретической механике, причем Кинематика точки в теоретической механике стремится к нулю, т. е.

Кинематика точки в теоретической механике

Радиусом кривизны кривой Кинематика точки в теоретической механике в точке Кинематика точки в теоретической механике называют величину, обратную кривизне кривой в этой точке, т. е.

Кинематика точки в теоретической механике

Вычислим радиус кривизны дуги окружности радиусом Кинематика точки в теоретической механике(рис. 14). Дуга окружности длиной Кинематика точки в теоретической механике, опирающаяся на центральный угол Кинематика точки в теоретической механике, выражается зависимостью Кинематика точки в теоретической механике. Для радиуса кривизны имеем

Кинематика точки в теоретической механике

т. е. для окружности радиус кривизны в каждой ее точке один и тот же и совпадает с радиусом окружности.

Участок кривой из малой окрестности какой-либо ее точки лучше всего аппроксимирует по сравнению с дугами других окружностей элемент дуги окружности, радиус которой равен радиусу кривизны кривой в рассматриваемой точке.

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 13

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 14

Для определения понятия соприкасающейся плоскости проводим вспомогательную плоскость через две пересекающиеся прямые Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике (см. рис. 13). Предельное положение этой плоскости при совпадении в пределе точки Кинематика точки в теоретической механике с точкой Кинематика точки в теоретической механике называется соприкасающейся плоскостью кривой в точке Кинематика точки в теоретической механике.

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 15

В случае плоской кривой соприкасающейся плоскостью для всех точек кривой является сама плоскость, в которой расположена эта кривая.

Естественный трехгранник

Построим в точке Кинематика точки в теоретической механике кривой линии естественные оси этой кривой (рис. 15). Первой естественной осью является касательная Кинематика точки в теоретической механике. Ее положительное направление совпадает с направлением единичного вектора касательной Кинематика точки в теоретической механике, направленного в сторону возрастающих расстояний.

Перпендикулярно касательной Кинематика точки в теоретической механике располагается нормальная плоскость кривой. Нормаль, расположенная в соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью Кинематика точки в теоретической механике. Она является линией пересечения нормальной плоскости с соприкасающейся плоскостью. По главной нормали внутрь вогнутости кривой направим единичный вектор Кинематика точки в теоретической механике. Он определяет положительное направление второй естественной оси.

Нормаль, перпендикулярная главной нормали, называется бинормалью. Единичный вектор Кинематика точки в теоретической механике, направленный по бинормали так, чтобы три вектора Кинематика точки в теоретической механике, Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике образовывали правую систему осей координат, определит положительное направление третьей естественной оси.

Три взаимно перпендикулярные оси Кинематика точки в теоретической механике, Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике, положительные направления которых совпадают с направлениями единичных векторов Кинематика точки в теоретической механике, Кинематика точки в теоретической механике, Кинематика точки в теоретической механике, называются естественными осями кривой. Эти оси образуют в точке Кинематика точки в теоретической механике естественный трехгранник. При движении точки по кривой естественный трехгранник движется вместе с точкой как твердое тело, поворачиваясь вокруг вершины, совпадающей с движущейся точкой.

Дифференцирование единичного вектора

Вычислим производную от единичного вектора по скалярному аргументу. В кинематике точки скалярными аргументами обычно являются время и расстояние по траектории. В качестве единичного вектора выберем Кинематика точки в теоретической механике, направленный по касательной к траектории, и вычислим его производную по времени.

Производная Кинематика точки в теоретической механике перпендикулярна самому единичному вектору Кинематика точки в теоретической механике. Для доказательства этого используем тождество

Кинематика точки в теоретической механике

Дифференцируя по времени обе части этого тождества, получим

Кинематика точки в теоретической механике

Каждый из сомножителей этого выражения не равен нулю, поэтому векторы Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике перпендикулярны друг другу. Это справедливо для любого другого вектора, числовая величина (модуль) которого постоянна. Направим по вектору Кинематика точки в теоретической механике единичный вектор Кинематика точки в теоретической механике. Тогда

Кинематика точки в теоретической механике

Годографом вектора Кинематика точки в теоретической механике является кривая, расположенная на сфере единичного радиуса, так как единичный вектор изменяется только по направлению (рис. 16).

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 16

По определению модуля производной от вектора имеем

Кинематика точки в теоретической механике

Длина малой хордыКинематика точки в теоретической механике с точностью до малых величин более высокого порядка равна длине дуги, которую стягивает хорда, т. е.

Кинематика точки в теоретической механике

где Кинематика точки в теоретической механике — угол, опирающийся на эту дугу. Используя это выражение, получим

Кинематика точки в теоретической механике

Подставляя это значение в (14) и используя выражение для радиуса кривизны и переменную Кинематика точки в теоретической механике, получим

Кинематика точки в теоретической механике

Радиус кривизны Кинематика точки в теоретической механике считаем положительным.

Вектор Кинематика точки в теоретической механике и совпадающий с ним по направлению единичный вектор Кинематика точки в теоретической механике направлены параллельно предельному положению вектора Кинематика точки в теоретической механике при Кинематика точки в теоретической механике, стремящемся к нулю, т. е. они расположены в соприкасающейся плоскости кривой. Единичный вектор Кинематика точки в теоретической механике перпендикулярен вектору Кинематика точки в теоретической механике, направленному по касательной к кривой. Следовательно, вектор Кинематика точки в теоретической механике направлен по главной нормали кривой в сторону ее вогнутости, так как в эту сторону направлено предельное положение вектора Кинематика точки в теоретической механике.

Если имеем любой другой вектор Кинематика точки в теоретической механике с постоянным модулем, то для него остается справедливым все, что было получено для единичного вектора, только радиус годографа следует заменить его модулем Кинематика точки в теоретической механике. Получим

Кинематика точки в теоретической механике

где Кинематика точки в теоретической механике — теперь единичный вектор,  перпендикулярный вектору Кинематика точки в теоретической механике и направленный параллельно Кинематика точки в теоретической механике.

Формулу (15′) можно выразить векторным произведением:

Кинематика точки в теоретической механике

где Кинематика точки в теоретической механике — вектор угловой скорости поворота вектора Кинематика точки в теоретической механике, модуль которого Кинематика точки в теоретической механике. Вектор угловой скорости Кинематика точки в теоретической механике следует направить перпендикулярно плоскости, в которой расположены векторы Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике, причем так, чтобы с его стрелки увидеть поворот вектора Кинематика точки в теоретической механике к Кинематика точки в теоретической механике в этой плоскости на угол Кинематика точки в теоретической механике против часовой стрелки. Подробнее понятие вектора угловой скорости дается при рассмотрении вращения твердого тела вокруг неподвижной оси и в других случаях его движений.

Ускорение точки при естественном способе задания движения

Учитывая, что для скорости точки имеем

Кинематика точки в теоретической механике

в соответствии с определением ускорения и (15) получаем

Кинематика точки в теоретической механике

так как Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике направлен внутрь вогнутости траектории параллельно единичному вектору главной нормали Кинематика точки в теоретической механике.

Получено разложение ускорения точки по осям естественного трехгранника. Часть ускорения

Кинематика точки в теоретической механике

называется касательной составляющей ускорения. Другая часть ускорения

Кинематика точки в теоретической механике

называется нормальной составляющей ускорения. Она направлена внутрь вогнутости траектории, т. е. в сторону положительного направления единичного вектора главной нормали Кинематика точки в теоретической механике, так как внутрь вогнутости траектории направлено полное ускорение. Таким образом, ускорение точки

Кинематика точки в теоретической механике

Из (17) получим формулы для проекций ускорения на естественные оси. Имеем:

Кинематика точки в теоретической механике

Проекция ускорения на положительное направление касательной, совпадающее с направлением единичного вектора Кинематика точки в теоретической механике, называется касательным ускорением, а на главную нормаль, направленную по единичному вектору Кинематика точки в теоретической механике,— нормальным ускорением. Проекция ускорения на бинормаль, направленную по единичному вектору Кинематика точки в теоретической механике, равна нулю; следовательно, ускорение точки расположено в соприкасающейся плоскости траектории. В этой плоскости находятся единичные векторы касательной и главной нормали.

Учитывая ортогональность Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике (рис. 17), в соответствии с уравнением (18) имеем

Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 17

Нормальная составляющая ускорения Кинематика точки в теоретической механике всегда направлена внутрь вогнутости траектории. Касательная составляющая Кинематика точки в теоретической механике при Кинематика точки в теоретической механике направлена в положительную сторону касательной, т. е. по направлению единичного вектора Кинематика точки в теоретической механике, а при Кинематика точки в теоретической механике — в отрицательную, противоположно Кинематика точки в теоретической механике.

При Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике векторы скорости и касательной составляющей ускорения направлены в одну сторону — по Кинематика точки в теоретической механике. Движение точки является ускоренным в положительном направлении касательной к траектории. При Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике опять векторы скорости и касательной составляющей ускорения имеют одинаковые направления и, следовательно, движение точки является ускоренным, но в отрицательном направлении касательной к траектории.

Если Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике, то вектор скорости направлен по Кинематика точки в теоретической механике, а вектор касательной составляющей ускорения противоположен ему по направлению. Движение точки является замедленным в положительном направлении касательной к траектории. При Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике имеем замедленное движение точки в отрицательную сторону касательной к траектории точки.

Случаи обращения в нуль касательного ускорения получают из условия

Кинематика точки в теоретической механике

Это условие выполняется все время, пока Кинематика точки в теоретической механике, т.е. при равномерном движении точки по траектории любой формы. Касательное ускорение обращается в нуль также в те моменты времени, в которые алгебраическая скорость Кинематика точки в теоретической механике достигает экстремума, например максимума или минимума. Для изображенного на рис. 18 изменения алгебраической скорости в зависимости от времени касательное ускорение равно нулю в моменты времени Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике. При колебаниях маятника (рис. 19) эти моменты соответствуют его прохождению через точку Кинематика точки в теоретической механике. При движении маятника в одну сторону алгебраическая скорость в точке Кинематика точки в теоретической механике достигает максимума, при движении в обратном направлении — минимума.

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 18

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 19

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 20

Случаи обращения в нуль нормального ускорения следуют из условия

Кинематика точки в теоретической механике

Это условие выполняется при Кинематика точки в теоретической механике, т. е. при прямолинейном движении точки. При движении точки по криволинейной траектории Кинематика точки в теоретической механике в точках перегиба, в которых происходит изменение выпуклости траектории на вогнутость, и наоборот (рис. 20). Нормальное ускорение обращается также в нуль в моменты времени, в которые Кинематика точки в теоретической механике, т. е. в моменты изменения направления движения точки по траектории. Для маятника такими моментами являются моменты отклонения маятника на наибольший угол как в одну сторону, так и в другую. Эти моменты соответствуют мгновенным остановкам маятника.

Случаи обращения в нуль касательного и нормального ускорений, а также общие формулы для них показывают, что касательное ускорение характеризует изменение вектора скорости по величине, а нормальное— по направлению.

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 21

Пример 3.

Точка Кинематика точки в теоретической механике движется по дуге окружности радиусом Кинематика точки в теоретической механике по закону Кинематика точки в теоретической механике, где Кинематика точки в теоретической механике. Начало отсчета расстояний и времени, а также направление положительных расстояний указаны на рис. 21. Определить скорость и ускорение точки в момент времени Кинематика точки в теоретической механике, а также их значения в точке Кинематика точки в теоретической механике и в точке траектории Кинематика точки в теоретической механике, в которой скорость обращается в нуль.

Решение. Скорость и проекции ускорения на естественные оси определяем по формулам  (16) и (19). Имеем:

Кинематика точки в теоретической механике

Скорость обращается в нуль, если Кинематика точки в теоретической механике, т. е. в момент времени Кинематика точки в теоретической механике и другие моменты времени, которые в этом примере не рассматриваются. При , т. е. в момент изменения направления движения точки, имеем

Кинематика точки в теоретической механике

Подставляя в формулы для Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике значение Кинематика точки в теоретической механике, получаем

Кинематика точки в теоретической механике

Касательное ускорение в этот момент времени обращается в нуль, так как алгебраическая скорость достигает своего максимума.

Частные случаи движения точки

Равномерное движение

При равномерном движении точки по траектории любой формы Кинематика точки в теоретической механике; следовательно, постоянна и алгебраическая скорость Кинематика точки в теоретической механике, которая может отличаться от Кинематика точки в теоретической механике только знаком. Так как

Кинематика точки в теоретической механике

то

Кинематика точки в теоретической механике

если принять при Кинематика точки в теоретической механике.

Равнопеременное движение

Равнопеременным движением называют такое движение по траектории любой формы, при котором касательное ускорение Кинематика точки в теоретической механике. Движение является равноускоренным, если алгебраическая скорость Кинематика точки в теоретической механике и касательное ускорение Кинематика точки в теоретической механике имеют одинаковые знаки. Если Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике имеют разные знаки, то движение является равнозамедленным.

Получим формулы для алгебраической скорости и расстояния при равнопеременном движении. Имеем:

Кинематика точки в теоретической механике

следовательно,

Кинематика точки в теоретической механике

если принять при Кинематика точки в теоретической механике.

Так как Кинематика точки в теоретической механике, то с учетом (21)

Кинематика точки в теоретической механике

если при Кинематика точки в теоретической механике. Выполняя интегрирование, получим

Кинематика точки в теоретической механике

Из (21) и (22) можно определить любые две неизвестные величины, если известны остальные три величины, входящие в эти формулы.

Скорость и ускорение точки в полярных координатах

Рассмотрим движение точки по плоскости. В этом случае движение можно задать в полярных координатах. Для этого примем какую-либо точку Кинематика точки в теоретической механике плоскости за полюс и проведем из нее полярную ось, например ось Кинематика точки в теоретической механике (рис. 22). Положение движущейся точки Кинематика точки в теоретической механике на плоскости известно, если заданы радиус-вектор Кинематика точки в теоретической механике и полярный угол Кинематика точки в теоретической механике как функции времени, т. е.

Кинематика точки в теоретической механике

Полярный угол считается положительным, если он откладывается от полярной оси до радиуса-вектора против часовой стрелки. Радиус-вектор как расстояние от точки Кинематика точки в теоретической механике до точки Кинематика точки в теоретической механике принимает только положительные значения.

Уравнения (23) называются уравнениями движения точки в полярных координатах. Они являются также уравнениями траектории точки в параметрической форме. Если из (23) исключить параметр — время Кинематика точки в теоретической механике, то получим уравнение траектории в полярных координатах:

Кинематика точки в теоретической механике

Введем единичный вектор Кинематика точки в теоретической механике, направленный по радиусу-вектору от полюса Кинематика точки в теоретической механике к точке Кинематика точки в теоретической механике. Тогда

Кинематика точки в теоретической механике

Для скорости Кинематика точки в теоретической механике получаем

Кинематика точки в теоретической механике

Согласно (15), для производной по времени от единичного вектора имеем

Кинематика точки в теоретической механике

где вместо единичного вектора Кинематика точки в теоретической механике введен единичный вектор Кинематика точки в теоретической механике, направление которого получается поворотом вектора Кинематика точки в теоретической механике на Кинематика точки в теоретической механике в положительном направлении угла Кинематика точки в теоретической механике, т. е. против часовой стрелки (рис. 22). После этого для скорости точки получаем

Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 22    

Это разложение скорости точки на радиальную Кинематика точки в теоретической механике и трансверсальную (поперечную) Кинематика точки в теоретической механике составляющие, т. е.

Кинематика точки в теоретической механике

где

Кинематика точки в теоретической механике

Для проекций скорости на оси, положительные направления которых совпадают с направлениями единичных векторов Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике из (24), получаем

Кинематика точки в теоретической механике

Они соответственно называются радиальной и трансверcальной скоростями. В зависимости от знаков производных Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике радиальная и трансверсальная скорости могут быть как положительными, так и отрицательными.

Используя (24), определяем ускорение точки в полярных координатах. Имеем

Кинематика точки в теоретической механике

Выполняя дифференцирование, получим

Кинематика точки в теоретической механике

Для производной по времени от единичного вектора Кинематика точки в теоретической механике имеем

dp°ldt =

так как вектор Кинематика точки в теоретической механике поворачивается с той же угловой скоростью Кинематика точки в теоретической механике, что и вектор Кинематика точки в теоретической механике, а единичным вектором, по которому направлен вектор Кинематика точки в теоретической механике, является вектор Кинематика точки в теоретической механике.

После подстановки в выражение для ускорения производных от единичных векторов и объединения слагаемых имеем

Кинематика точки в теоретической механике

Получили разложение ускорения точки на радиальную Кинематика точки в теоретической механике и трансверсальную Кинематика точки в теоретической механике составляющие, т. е.

Кинематика точки в теоретической механике

Для проекций ускорения на оси Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике получаем

Кинематика точки в теоретической механике

Ускорение Кинематика точки в теоретической механике называется радиальным, а Кинематика точки в теоретической механикетрансверсальным. Трансверсальное ускорение можно выразить также в форме

Кинематика точки в теоретической механике

Это выражение для трансверсального ускорения широко используется при рассмотрении движения планет и искусственных спутников Земли.

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 23

Радиальная и трансверсальная составляющие ускорения взаимно перпендикулярны, поэтому

Кинематика точки в теоретической механике

Отметим, что для неподвижных осей координат Кинематика точки в теоретической механике, Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике справедливы формулы

Кинематика точки в теоретической механике

Для подвижных осей Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике, как следует из (26) и (28), Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике не равны производным по времени от Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике.

Частные случаи

 1. Если Кинематика точки в теоретической механике, то имеем прямолинейное движение по прямой Кинематика точки в теоретической механике. В этом случае Кинематика точки в теоретической механике и из (26) и (28) получаем:

Кинематика точки в теоретической механике

Эти величины совпадают с ранее полученными выражениями для них при изучении движения точки в декартовых координатах. Только расстояние Кинематика точки в теоретической механике следует заменить на координату Кинематика точки в теоретической механике.

2. При Кинематика точки в теоретической механике (рис. 23) получаем движение точки по окружности. В этом случае Кинематика точки в теоретической механике. Из (26) и (28) имеем:

Кинематика точки в теоретической механике

В этих формулах Кинематика точки в теоретической механике является угловой скоростью вращения радиуса-вектора, а Кинематика точки в теоретической механике — его угловым ускорением.

Пример 4.

Движение точки задано в полярных координатах уравнениями

Кинематика точки в теоретической механике

где Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике—постоянные величины. Определить уравнение траектории, скорость и ускорение точки в полярных координатах для момента времени Кинематика точки в теоретической механике и момента времени Кинематика точки в теоретической механике.

Решение. Исключая из уравнений движения параметр Кинематика точки в теоретической механике, получим следующее уравнение траектории в полярных координатах:

Кинематика точки в теоретической механике

Это уравнение кардиоиды (рис. 24).

Проекции скорости и ускорения на полярные оси определяем по формулам (26) и (28). Имеем:

Кинематика точки в теоретической механике

Для момента времени Кинематика точки в теоретической механике из этих формул получаем:

Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

Векторы скорости и ускорения для моментов времени Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике изображаем на рисунке.

Пример 5.

Движение точки задано в прямоугольной системе координат уравнениями

Кинематика точки в теоретической механике

где Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике—в метрах, Кинематика точки в теоретической механике — в секундах.

Определить уравнение траектории в координатной форме, а также скорость, ускорение, касательное и нормальное ускорения, радиальную и трансверсальную составляющие скорости и радиус кривизны траектории в момент времени Кинематика точки в теоретической механике. Изобразить на рисунке траекторию, скорости и ускорения в указанный момент времени.

Решение. Уравнения движения представляют собой уравнение траектории в параметрической форме. Для определения уравнения траектории в координатной форме следует из уравнений движения исключить время Кинематика точки в теоретической механике. Имеем:

Кинематика точки в теоретической механике

следовательно,

Кинематика точки в теоретической механике

Это уравнение параболы. He все точки параболы являются точками траектории. Так как при любых значениях Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике, то из уравнений движения получаем дополнительные ограничения для координат точек траектории Кинематика точки в теоретической механике.

Таким образом, точки траектории удовлетворяют условиям

Кинематика точки в теоретической механике

Часть точек параболы, не являющихся точками траектории, дополнительно появилась при исключении из уравнений движения параметра Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 24

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 25

На рис. 25 приведена траектория точки. Траекторией является только часть параболы Кинематика точки в теоретической механике.

Определяем проекции скорости на оси и скорость в любой момент времени:

Кинематика точки в теоретической механике

При Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

Проекции ускорения в любой момент времени определяем по формулам Кинематика точки в теоретической механике

При Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

Для модуля касательного ускорения при Кинематика точки в теоретической механике имеем

Кинематика точки в теоретической механике

Нормальное ускорение при Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

Для вычисления радиальной скорости предварительно определяем радиус-вектор:

Кинематика точки в теоретической механике

Тогда при Кинематика точки в теоретической механике получаем

Кинематика точки в теоретической механике

Трансверсальную скорость при Кинематика точки в теоретической механике определяем по формуле

Кинематика точки в теоретической механике

Координаты движущейся точки при Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

По координатам отмечаем положение движущейся точки на траектории и, выбрав масштабы, изображаем векторы скорости и ускорения по их проекциям на оси. Для радиальной составляющей скорости Кинематика точки в теоретической механике учитываем ее направление, противоположное единичному вектору  Кинематика точки в теоретической механике, так как Кинематика точки в теоретической механике получилось со знаком минус.

Для трансверсальной составляющей скорости определено только числовое значение. Из рис. 25 следует, что направление вектора Кинематика точки в теоретической механике противоположно направлению единичного вектора Кинематика точки в теоретической механике(направление Кинематика точки в теоретической механике получается поворотом на Кинематика точки в теоретической механике вектора Кинематика точки в теоретической механике против часовой стрелки). Следовательно, в рассматриваемом случае Кинематика точки в теоретической механике надо взять со знаком минус, т.е. Кинематика точки в теоретической механике.

Для проверки правильности определения Кинематика точки в теоретической механике можно использовать формулы

Кинематика точки в теоретической механике

Нормальное ускорение Кинематика точки в теоретической механике всегда направлено внутрь вогнутости траектории. Направление касательного ускорения Кинематика точки в теоретической механике, определяем по Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике; оно оказалось направленным по вектору скорости. Следовательно, точка в рассматриваемый момент времени движется ускоренно.

Определим радиус кривизны траектории в момент времени Кинематика точки в теоретической механике. Все необходимые величины для этого уже имеются. Получим

Кинематика точки в теоретической механике

Скорость и ускорение точки в цилиндрических координатах

При движении точки в пространстве иногда используются цилиндрические оси координат. Они получаются добавлением к полярным координатам на плоскости координаты Кинематика точки в теоретической механике, отсчитываемой вдоль неподвижном оси Кинематика точки в теоретической механике, перпендикулярной плоскости, в которой расположены полярные оси координат (рис. 26).

Положение точки Кинематика точки в теоретической механике определяют заданием трех ее цилиндрических координат как функций времени:

Кинематика точки в теоретической механике

Разложение векторов скорости и ускорения на составляющие, параллельные осям цилиндрической системы координат Кинематика точки в теоретической механике, Кинематика точки в теоретической механике, Кинематика точки в теоретической механике, выразится в следующей форме:

Кинематика точки в теоретической механике

где Кинематика точки в теоретической механике — единичные векторы, направленные по осям цилиндрической системы координат. Оси Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике расположены в одной плоскости с осями Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике.

Представим радиус-вектор Кинематика точки в теоретической механике точки Кинематика точки в теоретической механике как сумму двух векторов, т. е.

Кинематика точки в теоретической механике

Скорость точки получим дифференцированием радиуса-вектора Кинематика точки в теоретической механике по времени:

Кинематика точки в теоретической механике

Первое слагаемое в этом выражении вычислялось при выводе формулы (24) для скорости точки в полярных координатах. Было получено

Кинематика точки в теоретической механике

Во втором слагаемом постоянный по модулю и направлению единичный вектор Кинематика точки в теоретической механике можно вынести за знак производной. Для скорости получается следующее разложение на составляющие, параллельные осям цилиндрической системы координат:

Кинематика точки в теоретической механике

Сравнивая (32) с (30), получаем формулы для проекций скорости на цилиндрические оси координат:

Кинематика точки в теоретической механике

Так как составляющие скорости Кинематика точки в теоретической механике, Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике, параллельные осям цилиндрической системы координат, взаимно перпендикулярны, то для модуля скорости имеем

Кинематика точки в теоретической механике

Ускорение точки получим дифференцированием по времени вектора скорости:

Кинематика точки в теоретической механике

Первое слагаемое в этом выражении вычислялось при выводе ускорения в полярных координатах:

Кинематика точки в теоретической механике

Во втором слагаемом при дифференцировании выносим вектор Кинематика точки в теоретической механике за знак производной. Объединяя результаты дифференцирования, получим следующее разложение ускорения на составляющие, параллельные осям цилиндрической системы координат:

Кинематика точки в теоретической механике

Сравнивая его с (31), получаем формулы для проекций ускорения на цилиндрические оси координат

Кинематика точки в теоретической механике

Составляющие ускорения Кинематика точки в теоретической механике взаимно перпендикулярны, поэтому для модуля ускорения имеем

Кинематика точки в теоретической механике

Скорость и ускорение точки в криволинейных координатах

Положение точки в пространстве в декартовой системе координат определяется тремя координатами: Кинематика точки в теоретической механике. Можно выбрать другие три параметра Кинематика точки в теоретической механике и назвать их криволинейными или обобщенными координатами точки. Декартовы координаты будут зависеть от криволинейных:

Кинематика точки в теоретической механике

Движение точки в криволинейных координатах задается уравнениями

Кинематика точки в теоретической механике

Радиус-вектор Кинематика точки в теоретической механике движущейся точки, начало которого находится в неподвижной точке выбранной системы отсчета для рассматриваемого движения, является функцией как декартовых, так и криволинейных координат, т. е.

Кинематика точки в теоретической механике

Выберем точку Кинематика точки в теоретической механике, в которой криволинейные координаты равны нулю, и рассмотрим зависимость Кинематика точки в теоретической механике. Получим уравнение в векторной форме координатной линии для Кинематика точки в теоретической механике, проходящей через точку Кинематика точки в теоретической механике. Аналогично  получаются уравнения координатных линий Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике, проходящих через точку Кинематика точки в теоретической механике для координат Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике.

Через каждую точку пространства можно провести три координатные линии, пересекающиеся в этой точке. Вдоль каждой из координатных линий изменяется только одна криволинейная координата, а две другие сохраняют постоянные значения, соответствующие рассматриваемой точке.

Рассмотрим частные производные Кинематика точки в теоретической механике. Они как производные от вектора по скалярному аргументу направлены по касательным к координатным линиям, являющимся годографами радиуса-вектора. Введем единичные векторы, направленные по векторам Кинематика точки в теоретической механике. Эти три единичных вектора Кинематика точки в теоретической механике называются базисными векторами. Базисные векторы, как и Кинематика точки в теоретической механике, направлены в каждой точке по касательным к координатным линиям в сторону возрастания криволинейных координат. Направления возрастания и начало отсчета криволинейных координат выбираются при задании движения.

В общем случае базисные векторы могут быть неортогональными. Используя базисные векторы, получаем

Кинематика точки в теоретической механике

или

Кинематика точки в теоретической механике

Скалярные величины Кинематика точки в теоретической механике называются коэффициентами Ламэ.

Для вычисления Кинематика точки в теоретической механике учтем, что радиус-вектор через декартовы координаты можно выразить в форме

Кинематика точки в теоретической механике

где Кинематика точки в теоретической механике — единичные векторы, направленные по осям декартовой системы координат. Из (37) имеем

Кинематика точки в теоретической механике

и, следовательно

Кинематика точки в теоретической механике

Скорость точки в криволинейных координатах

При движении точки ее радиус-вектор через обобщенные координаты зависит от времени, т. е.

Кинематика точки в теоретической механике

По определению скорости и правилу дифференцирования сложных функций имеем

Кинематика точки в теоретической механике

где Кинематика точки в теоретической механике называется обобщенной скоростью точки.

Используя (36), из (39) получаем

Кинематика точки в теоретической механике

Получено разложение скорости по осям, направление которых совпадает с направлением базисных векторов.

Для величин составляющих скорости по базисным векторам из (40) имеем

Кинематика точки в теоретической механике

В случае ортогональности базисных векторов по формуле (40′) вычисляются проекции вектора скорости на оси, направленные по базисным векторам. В этом случае для квадрата скорости получаем

Кинематика точки в теоретической механике

Ускорение в ортогональных криволинейных координатах

Криволинейные координаты считаются ортогональными, если ортогональны их базисные векторы. В приложениях обычно встречается этот случай. Для ортогональных базисных векторов проекции ускорения точки на их направления вычисляем по формулам

Кинематика точки в теоретической механике

Выражая базисные векторы по (36), из (41) получим

Кинематика точки в теоретической механике

Для дальнейших преобразований (42) следует воспользоваться тождествами

Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

Тождество (43) представляет собой известное правило дифференцирования скалярного произведения двух векторов. Докажем справедливость тождеств Лагранжа (44) и (45). Тождество (44) получим из (39) дифференцированием Кинематика точки в теоретической механике, например, по Кинематика точки в теоретической механике. Учитывая,    что производные  Кинематика точки в теоретической механике  не могут зависеть от Кинематика точки в теоретической механике имеем

Кинематика точки в теоретической механике

Аналогично, 

Кинематика точки в теоретической механике

т.е.

Кинематика точки в теоретической механике

Справедливость тождества (44) установлена.

Для доказательства тождества (45) продифференцируем Кинематика точки в теоретической механике из (39) по Кинематика точки в теоретической механике. Получим

Кинематика точки в теоретической механике

Учитывая, что Кинематика точки в теоретической механике не может зависеть от обобщенных скоростей, и дифференцируя ее по времени как сложную функцию времени, имеем

Кинематика точки в теоретической механике

Правые части (46) и (47) совпадают, так как они отличаются только порядком частного дифференцирования, от которого частные производные не зависят. Следовательно, тождество (45) доказано. Используя тождества, преобразуем выражение в скобках из (42). Получим

Кинематика точки в теоретической механике

Учитывая, что Кинематика точки в теоретической механике, и вводя функцию Кинематика точки в теоретической механике, из (42) с учетом (48) имеем

Кинематика точки в теоретической механике

По формулам (49) можно вычислить проекции ускорения точки на оси, направленные по базисным ортогональным векторам.

Скорость и ускорение в сферических координатах

В качестве примера использования полученных формул вычислим скорость и ускорение точки в сферических координатах. Сферическими координатами точки Кинематика точки в теоретической механике являются величины Кинематика точки в теоретической механике (рис. 27). Координатной линией для Кинематика точки в теоретической механике является прямая Кинематика точки в теоретической механике с базисным вектором Кинематика точки в теоретической механике. Координатной линией для Кинематика точки в теоретической механике служит параллель сферы с базисным вектором Кинематика точки в теоретической механике и координатной линией Кинематика точки в теоретической механике — меридиан сферы с базисным вектором Кинематика точки в теоретической механике.

Базисные векторы оказались ортогональными. Декартовы координаты Кинематика точки в теоретической механике точки Кинематика точки в теоретической механике через сферические выражаются следующими зависимостями:

Кинематика точки в теоретической механике

По формулам (38) вычисляем коэффициенты Ламэ. Имеем:

Кинематика точки в теоретической механике

Проекции скорости на оси, направленные по базисным векторам, определяем согласно (40′). Получаем

Кинематика точки в теоретической механике

После этого

Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 27

Для квадрата скорости и функции Кинематика точки в теоретической механике имеем

Кинематика точки в теоретической механике

Проекции ускорения на оси, направленные по базисным векторам, вычисляем по формулам (49). Имеем

Кинематика точки в теоретической механике

Для вектора ускорения получаем

Кинематика точки в теоретической механике

Модуль ускорения будет иметь следующее выражение:

Кинематика точки в теоретической механике

Аналогично можно вычислить ранее полученные скорость и ускорение точки в цилиндрических координатах.

Справочный материал по кинематике точки

Кинематика изучает механическое движение тел без учета факторов, обусловливающих это движение.

Основными понятиями в кинематике являются движение, ‘пространство и время.

Движение, как было отмечено раньше, обнимает собой все происходящие во вселенной изменения.

Пространство и время представляют собой формы существования материи, без которых немыслимы ни существование, ни движение материи.

Отделить движение от материи нельзя, так же как нельзя себе представить движение материи, происходящее вне времени и пространства.

В кинематике, так же как и вообще в теоретической механике, мы будем рассматривать простейшую форму движения материи — механическую, т. е. перемещение тел в пространстве и во времени. Движение тела будет кинематически определено, если в каждый данный момент времени будет известно положение тела относительно выбранной системы отсчета. Положение тела при его движении определяется по отношению к какой-либо системе координат, связанной с другим телом, например с Землей.

Однако при изучении движения некоторых механических систем эта система отсчета может оказаться недостаточно точной. Так, при опыте с маятником Фуко, где заметно сказывается вращение Земли, за «неподвижную» систему следует принять Солнце. В других вопросах и этого оказывается недостаточно. Тогда неподвижную систему придется перенести на «неподвижную» звездную систему.

В том случае, когда положение рассматриваемого тела остается с течением времени неизменным по отношению к выбранной системе отсчета, про такое тело говорят, что оно находится в покое по отношению к данной системе отсчета.

По отношению к различным системам отсчета тело может совершать различные движения или находиться в покое. Так, например, если тело находится в относительном покое по отношению к Земле, оно уже не будет находиться в покое по отношению к Солнцу, так как это тело будет двигаться вместе с Землей вокруг Солнца. В этом смысле покой и движение тела относительны и зависят от выбранной системы отсчета.

В последующем изложении, если об этом не будет сделано специальной оговорки, мы будем рассматривать движение материальной точки или абсолютно твердого тела, происходящее по отношению к координатным осям, связанным с Землей, которую условно будем считать неподвижной.

При вычислениях все линейные величины мы обычно будем выражать в метрах или сантиметрах, а время в секундах.

При измерении времени следует различать понятия: начальный момент времени, момент времени и промежуток времени.

Начальным моментом времени называется произвольный момент.времени, принятый условно за начало отсчета времени Кинематика точки в теоретической механике.

Под моментом времени понимается число секунд, прошедшее от начального момента времени, соответствующего началу движения тела (или когда мы начали наблюдать за этим движением), до данного момента.

Промежуток времени определяет число секунд, отделяющих два каких-либо последовательных Момента времени Кинематика точки в теоретической механике

Способы задания движения точки

Первый способ задания движения точки

Изучение кинематики начнем с рассмотрения движения точки.

Пусть точка М (рис. 139) совершает движение, описывая в пространстве кривую АВ. Эта непрерывная кривая, которую описывает точка М при своем движении, называется ее траекторией. Если траектория прямая, то движение точки называется прямолинейным, если же кривая, то — криволилейным.

Очевидно, что траектория точки есть годограф радиуса-вектора Кинематика точки в теоретической механике, определяющего положение точки М на ее траектории. При движении точки М радиус-вектор Кинематика точки в теоретической механике, определяющий ее положение, изменяется по величине и направлению с течением времени. Функциональная зависимость радиуса-вектора Кинематика точки в теоретической механике от времени Кинематика точки в теоретической механике может быть выражена равенством:

Кинематика точки в теоретической механике

Если зависимость (66) задана, то тем самым можно определить и положение точки М в пространстве в любой момент времени. Это есть первый способ задания движения точки.

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 139.

Второй способ задания движения точки

Однако движение точки может быть задано иначе. В самом деле, положение движущейся точки в пространстве в данный момент определяется тремя координатами Кинематика точки в теоретической механике. Эти координаты при движении являются функциями времени (рис. 139):

Кинематика точки в теоретической механике

Если известна зависимость координат от времени, то .можно в любой момент указать положение, движущейся точки в пространстве.

Поэтому второй способ задания движения точки заключается в том,что нам даны уравнения движения (67). Если точка движется в плоскости, то ее положение будет определяться двумя уравнениями:

Кинематика точки в теоретической механике

Исключая, например, из уравнений (67а) время t, получим уравнение траектории точки, движущейся в плоскости:

Кинематика точки в теоретической механике

Уравнения (67) и (67а) могут рассматриваться так же, как параметрические уравнения траектории, причем роль параметра играет время t.

Координаты Кинематика точки в теоретической механике точки М можно рассматривать как проекции радиуса вектора Кинематика точки в теоретической механике на координатные оси. Поэтому, обозначив единичные векторы координатных осей через Кинематика точки в теоретической механике на основании равенства (4) будем иметь:

Кинематика точки в теоретической механике

Если движение точки происходит в плоскости, например, хОу (рис. 140), то уравнение (66) может быть сведено к заданию модуля Кинематика точки в теоретической механике и полярного угла Кинематика точки в теоретической механике, как функций времени:

Кинематика точки в теоретической механике

Уравнения (69) называются уравнениями движения точки в полярных координатах.

Между уравнениями движения (67а) и (69) имеется такая же зависимость, как между прямоугольными и полярными координатами. Из треугольника ОАВ (рис. 140) имеем: Кинематика точки в теоретической механикеи обратно: Кинематика точки в теоретической механике и 

Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 140.

Третий способ задания движения точки

Наконец, движение точки М может быть задано по третьему способу. Пусть точка М движется по заданной траектории (рис. 139).

Для определения положения точки М в данный момент времени выберем на ее траекторий неподвижную точку О, которую назовем началом отсчета. Тогда положение точки в данный момент будет определяться расстоянием ее от начала отсчета. Условимся пройденные расстояния считать положительными, если точка находится по одну сторону от начала отсчета, и отрицательными — если по другую. Следует заметить, что при Кинематика точки в теоретической механике точка М не обязательно будет находиться в начале отсчета О, а может занимать некоторое положение Кинематика точки в теоретической механике определяемое расстоянием Кинематика точки в теоретической механике от начала отсчета. Это расстояние, соответствующее начальному моменту, называется начальным расстоянием. Так как пройденный путь Кинематика точки в теоретической механике изменяется с течением времени, то, следовательно, Кинематика точки в теоретической механике является некоторой функцией от t:

Кинематика точки в теоретической механике

Уравнение (70) называется уравнением движения, или законом движения точки.

Заданием траектории и уравнения движения (70) вполне определяется положение движущейся точки в пространстве в любой момент времени. В этом заключается третий способ задания движения точки.    ‘

Задача №1

Для следующих случаев задания движения точки требуется:

a)    найти уравнение траектории и вычертить ее;

b)    указать начальное положение точки на ее траектории;

c)    найти закон расстояний, приняв за начало отсчета путей начальное положение точки;

d)    показать направление движения точки по ее траектории.

Кинематика точки в теоретической механике

Решение. Для вычерчивания траектории мы могли бы дать времени Кинематика точки в теоретической механике ряд значений, например, Кинематика точки в теоретической механике и т. д. (см. табл. 5), для которых получили бы ряд точек с известными координатами. Соединив полученные точки плавной кривой, получим траекторию движущейся точки. Однако в большинстве случаев важно получить уравнение траектории, которое выражает аналитически зависимость между х и у. Для этого, как мы знаем, следует из уравнений движения исключать время Кинематика точки в теоретической механике.

Таблица 5                                      Таблица 6

Кинематика точки в теоретической механике

Решая первое из уравнений движения относительно Кинематика точки в теоретической механике и подставляя найденное значение Кинематика точки в теоретической механике во второе уравнение, имеем:

Кинематика точки в теоретической механике

Полученное уравнение является уравнение параболы. Посторим ее (рис. 141) по точкам (талб. 6).

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 141.

Для нахождения начального положения точки на ее траектории подставим в заданные уравнения движения значение Кинематика точки в теоретической механике. Тогда получим: Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике; поэтому в начальный момент точка находится в начале координат.

Закон пройденных расстояний (70) найдется, если воспользоваться известной из дифференциальной геометрии зависимостью между дифференциалом дуги Кинематика точки в теоретической механике и дифференциалом координат Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике (рис. 141):

Кинематика точки в теоретической механике
 

но так как Кинематика точки в теоретической механике, то

Кинематика точки в теоретической механике

Отсюда находим:

Кинематика точки в теоретической механике

Так как по условию начало отсчета следует взять в начальном положении точки, то, полагая в последнем выражении Кинематика точки в теоретической механике, получим Кинематика точки в теоретической механике; тогда:

Кинематика точки в теоретической механике

Направление движения точки по траектории найдем, если в уравнения движения точки (67а) или (70) вместо t подставим ряд положительных возрастающих значений, например t = 0, t = 1, t = 2 (табл. 5). Мы видим, что при возрастании t возрастают также и координаты движущейся точки, а поэтому движение точки будет происходить в направлении, показанном стрелкой (рис. 141).

Кинематика точки в теоретической механике

Ответ: прямая линия Кинематика точки в теоретической механикеКинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

Решение. Для исключения времени t возведем обе части равенства каждого из уравнений в квадрат и сложим; тогда имеем:

Кинематика точки в теоретической механике

Отсюда заключаем, что траектория точки — окружность радиусом 3 единицы и с центром в начале координат (рис. 142).

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 142.

При Кинематика точки в теоретической механике, а поэтому в начальный момент точка находится на оси Кинематика точки в теоретической механике в положении Кинематика точки в теоретической механике. Беря производную от координат по времени, получим:

Кинематика точки в теоретической механике

далее:    

Кинематика точки в теоретической механике

откуда Кинематика точки в теоретической механике

Из уравнений движения видно, что при возрастании t абсцисса х уменьшается, ордината увеличивается, а поэтому точка будет двигаться против часовой стрелки в направлении, указанном стрелкой.

Кинематика точки в теоретической механике

Указание: для нахождения уравнения движения берем производную по времени t от координат х и у, после чего получаем Кинематика точки в теоретической механике. Интегрируя полученное равенство, находим Кинематика точки в теоретической механике Постоянная интегрирования Кинематика точки в теоретической механике определяется из условия, что при Кинематика точки в теоретической механике

Ответ: прямая Кинематика точки в теоретической механике

Задача №2

С дирижабля, летящего на высоте 600 м, сбросили груз, движение которого в недрах и секундах выражается уравнениями: Кинематика точки в теоретической механике Найти уравнение траектории груза, дальность его полета в горизонтальном направлении и время падения.

Решение. Исключая из уравнений движения время t, найдем, что траекторией груза будет парабола: Кинематика точки в теоретической механике . Подставляя в уравнение траектории вместо у значение Кинематика точки в теоретической механике, получим дальность полета груза в горизонтальном направлении: Кинематика точки в теоретической механике. Время падения груза найдем, если, например, в первое из уравнений движения груза вместо х подставим Кинематика точки в теоретической механике и решим уравнение относительно t; имеем:

Кинематика точки в теоретической механике

Задача №3

Движение точки в сантиметрах и секундах выражается уравнением:

Кинематика точки в теоретической механике

Построить график расстояний.

Решение. Графиком расстояний называется кривая зависимости пройденного расстояния В нашем случае кривая расстояний представляет собой синусоиду. Построим ее по точкам (табл. 7).

Таблица 7

Кинематика точки в теоретической механике

Имея график расстояний (рис. 142а), можно для любого момента времени найти величину пути,  пройденного движущейся точкой от начала отсчета, а следовательно, и указать положение точки на ее траектории, которая должна быть дана. 

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 142а.

Скорость точки

Бели точка движется по траектории так, что в любые два равных промежутка времени она проходит равные пути, то такое движение точки называется равномерным.

Скоростью равномерного движения называется путь, пройденный точкой в единицу времени, например в секунду, минуту, час и т. п. Пусть в начальный момент точка находилась на расстоянии Кинематика точки в теоретической механике от начала отсчета, а в момент t — на расстоянии s; тогда, согласно определению, величина скорости этого движения будет постоянна и определится по формуле:

Кинематика точки в теоретической механике

откуда расстояние точки s от начала отсчета в любой момент времени t будет:

Кинематика точки в теоретической механике

Уравнение (71) называется уравнением равномерного движения.   

Найдем теперь скорость любого движения точки. В этом случае она определяется в зависимости от того, как задано движение точки.

Пусть движение точки задано по первому способу, т. е. по уравнению (66); допустим, что в момент t движущаяся точка находилась в положении М, определяемом радиусом-вектором Кинематика точки в теоретической механике (рис. 15).

За малый промежуток времени Кинематика точки в теоретической механике точка перейдет в положение Кинематика точки в теоретической механике, определяемое уже другим радиусом-вектором Кинематика точки в теоретической механике, при этом вектор перемещения Кинематика точки в теоретической механике точки М за время Кинематика точки в теоретической механике равен Кинематика точки в теоретической механике

Если бы точка М двигалась не по дуге кривой Кинематика точки в теоретической механике а по хорде Кинематика точки в теоретической механике то, предположив, что эту хорду точка проходит движением равномерным, найдем среднюю скорость ее, как отношение вектора перемещения Кинематика точки в теоретической механике к сбответствующему промежутку времени Кинематика точки в теоретической механике, т. е. Кинематика точки в теоретической механике  Направление же вектора средней скорости совпадает с направлением вектора перемещения Кинематика точки в теоретической механике.

Истинную скорость движущейся точки в рассматриваемом положении мы должны принять, как векторную величину, равную пределу отношения вектора перемещения Кинематика точки в теоретической механике к соответствующему промежутку времени Кинематика точки в теоретической механике стремящемуся к нулю:

Кинематика точки в теоретической механике

Что касается направления истинной скорости, то она, следуя направлению хорды, будет в пределе направлена по касательной к траектории в данной точке.

Следовательно, вектор скорости равен векторной производной радиуса-вектора по времени и направлен по касательной к траектории в сторону движения точки.

Для нахождения скорости точки, если задано ее движение по второму способу, т. е. по уравнениям (67), выразим сначала радиус-вектор Кинематика точки в теоретической механике точки через его компоненты по формуле (68):

Кинематика точки в теоретической механике

Тогда на основании уравнения (72) имеем:

Кинематика точки в теоретической механике

С другой стороны, обозначая проекции скорости на координатные оси через Кинематика точки в теоретической механике, напишем:

Кинематика точки в теоретической механике

Сравнивая коэффициенты при одинаковых единичных векторах, найдем проекции скорости на координатные оси:

Кинематика точки в теоретической механике

В дальнейшем первые производные по времени будем обозначать Кинематика точки в теоретической механике, а вторые производные — Кинематика точки в теоретической механике

Итак, проекция скорости на неподвижную ось равна первой производной от соответствующей координаты по времени. Модуль скорости находим по выражению:    

Кинематика точки в теоретической механике

Направление же вектора скорости к координатным осям определится через косинусы углов, которые составляет вектор скорости с осями координат.

Пусть теперь движение точки задано траекторией и законом движения, выраженным формулой (70).

Допустим, что за промежуток времени Кинематика точки в теоретической механике точка перешла из положения М в положение Кинематика точки в теоретической механике (рис. 143), пройдя путь, равный длине дуги Кинематика точки в теоретической механике

Заменим движение точки М по дуге кривой Кинематика точки в теоретической механике движением по хорде Кинематика точки в теоретической механике ; тогда, рассматривая это движение, как равномерное, найдем, что вектор средней скорости точки за промежуток времени Кинематика точки в теоретической механике равен Кинематика точки в теоретической механике

Направление же средней скорости воображаемого движения будет совпадать с направлением вектора перемещения Кинематика точки в теоретической механике направленного по хорде. Заменив криволинейную траекторию точки ломаной линией Кинематика точки в теоретической механике мы тем самым криволинейное движение заменяем рядом прямолинейных и равномерных движений, причем переход от одного прямолинейного движения к другому происходит скачками.

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 143.

Увеличивая число хорд и тем самым уменьшая их длины, мы будем точнее приближаться к действительному криволинейному движению, так как разности между дугами Кинематика точки в теоретической механике и хордами Кинематика точки в теоретической механике будут уменьшаться. Вместе с этим переход от одной хорды к другой будет постепенно сглаживаться. Когда число хорд будет стремиться к бесконечности, а длина каждой хорды — к нулю, средние скорости будут стремиться также к некоторому пределу, который представит собой истинную скорость в данной точке траектории:

Кинематика точки в теоретической механике

Что касается направления истинной скорости, то она, следуя направлению хорды, будет в пределе направлена по касательной к траектории в данной точке.

Умножив числитель и знаменатель последнего равенства на Кинематика точки в теоретической механике, получим:

Кинематика точки в теоретической механике

Но так как предел отношения длины хорды к длине дуги равен единице, а направление Кинематика точки в теоретической механике в пределе совпадает с касательной, тоКинематика точки в теоретической механике является единичным вектором Кинематика точки в теоретической механике касательной в точке М.

Отсюда находим:

Кинематика точки в теоретической механике

где 

Кинематика точки в теоретической механике                           

Задача №4

Движение точки в метрах и секундах выражается уравнениями: Кинематика точки в теоретической механике

Найти уравнение траектории, величину и направление скорости.

Решение. Уравнение траектории прямаяКинематика точки в теоретической механике По формулам (73) найдем проекции скорости на координатные оси:

Кинематика точки в теоретической механике

Величина скбрости найдется по формуле (74):

Кинематика точки в теоретической механике

Направление же скорости определяется косинусами углов, которые составляет вектор скорости с координатными осями:

Кинематика точки в теоретической механике

откуда Кинематика точки в теоретической механике

Задача №5

Движение снаряда в метрах и секундах выражается уравнениями: Кинематика точки в теоретической механике

Требуется найти: уравнение траектории; высоту Кинематика точки в теоретической механике и дальность Кинематика точки в теоретической механике полета; скорости Кинематика точки в теоретической механике в наивысшей точке и в момент, когда снаряд пересечет ось Ох (рис. 144).

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 144.

Решение. Траекторией снаряда является равнобочная парабола:

Кинематика точки в теоретической механике

Дальность полета снаряда определится, если принять в уравнении траектории Кинематика точки в теоретической механике Кинематика точки в теоретической механике откуда Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике; ясно, что Кинематика точки в теоретической механике 

Для нахождения высоты полета снаряда следует в уравнении траектории принять: Кинематика точки в теоретической механике тогда получим:

Кинематика точки в теоретической механике

Найдем теперь проекции скорости снаряда на координатные оси:

Кинематика точки в теоретической механике

В наивысшей точке вектор скорости горизонтален, а потому:

Кинематика точки в теоретической механике

Для определения скорости снаряда в момент, когда он пересекает ось Ох, вычислим время полета снаряда, взяв хотя бы первое из уравнений движения и приняв Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

откуда находим:

Кинематика точки в теоретической механике

Направление скорости определится косинусами углов:

Кинематика точки в теоретической механике

откуда Кинематика точки в теоретической механике

Задача №6

Определить траекторию точки, если проекции ее скорости на координатные оси в сантиметрах и секундах выражаются уравнениями: Кинематика точки в теоретической механике в момент Кинематика точки в теоретической механике ордината точки равнялась 2 см, а абсцисса — нулю.

Решение. Найдем сначала уравнения движения точки, для чего проинтегрируем заданные уравнения проекций скорости:

Кинематика точки в теоретической механике

Постоянные интегрирования Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике найдутся из начальных условий; при Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике; далее, при Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике

Подставляя вместо Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике их значения, найдем: Кинематика точки в теоретической механике иКинематика точки в теоретической механике

Исключая из полученных уравнений движения время t, найдем, что траекторией точки является окружность Кинематика точки в теоретической механике с центром С(0; 4).

Задача №7

Даны графики скоростей двух точек, движущихся по одной прямой от одного начального положения (рис. 145). По истечении какого времени точки встретятся?

Решение. Вообще графиком скорости называется кривая зависимости скорости от времени:

Кинематика точки в теоретической механике

Между пройденным расстоянием и величиной скорости точки имеется зависимость (75), из которой найдем элементарное перемещение точки Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 145.

Расстояние же s, пройденное точкой между моментами Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике, найдется как сумма ее элементарных перемещений и выразится определенным интегралом:

Кинематика точки в теоретической механике

 Отсюда заключаем, что путь, пройденный точкой за время Кинематика точки в теоретической механике численно равен площади, заключенной между осью Ох, ординатами Кинематика точки в теоретической механике и кривой Кинематика точки в теоретической механике

В нашей задаче точки встретятся, когда расстояния, пройденные ими от начала движения, будут одинаковы, а для этого необходимо, чтобы соответствующие площади треугольников, взятых с графиков скоростей, были равны. Обозначая неизвестное время встречи точек через t, скорость первой точки в момент встречи через Кинематика точки в теоретической механике , а скорость второй — через Кинематика точки в теоретической механике , имеем:

Кинематика точки в теоретической механике

так как:

Кинематика точки в теоретической механике

окончательно получим Кинематика точки в теоретической механике

Ускорение точки

Остановимся на некоторых вопросах геометрии. Пусть имеется некоторая неплоская кривая (рис. 146). Возьмем на ней две весьма близко расположенные точки Кинематика точки в теоретической механике и проведем в них касательные Кинематика точки в теоретической механике к кривой. Обозначим единичные векторы касательных черезКинематика точки в теоретической механике, а дугу Кинематика точки в теоретической механике — через Кинематика точки в теоретической механике. Проведем через касательную Т плоскость, параллельную Кинематика точки в теоретической механике, для чего достаточно перенести Кинематика точки в теоретической механике, в точку М и тогда плоскость Н, проходящая через Кинематика точки в теоретической механике , будет искомой. При приближении точки Кинематика точки в теоретической механике к точке М плоскость Н приближается к некоторому предельному положению, которое называется соприкасающейся плоскостью в точке М. В случае плоской кривой сама кривая расположена в соприкасающейся плоскости. Плоскость, проведенная в точке М перпендикулярно к касательной Т, называется нормальной плоскостью. Все прямые, проходящие через точку М и лежащие в нормальной плоскости, называются нормалями, а линия пересечения плоскостей нормальной и соприкасающейся называется главной нормалью и обозначается буквой N.

Для окружности направление главной нормали совпадает с направлением ее радиуса. Прямая, перпендикулярная к касательной Т и к главной нормали N, называется бинормалью и обозначается буквой В. Таким образом, три взаимно-перпендикулярных направления N, В и Т могут быть приняты за координатные оси, скрепленные с некоторой точкой М, выбранной на кривой (рис. 147).

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 146                                                                       Рис. 147

Такие оси, перемещающиеся вместе с движущейся точкой М, называются естественными осями. Эти оси являются ребрами естественного триэдра, или естественного трехгранника, образованного тремя плоскостями, проходящими через каждые две естественные оси. На рисунке 147 соприкасающаяся плоскость проходит через оси Т и N, нормальная — через N и В и третья плоскость триэдра проходит через В и Т.

Единичные векторы естественных осей обозначены через Кинематика точки в теоретической механике, Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике.

Угол Кинематика точки в теоретической механике между касательными Кинематика точки в теоретической механике (рис. 146) называется углом смежности, а отношение Кинематика точки в теоретической механике называется средней кривизной кривой. Кривизной кривой К в данной точке называется предел отношения Кинематика точки в теоретической механике при Кинематика точки в теоретической механике, т. е.:

Кинематика точки в теоретической механике

Величина Кинематика точки в теоретической механике, обратная кривизне, называется радиусом кривизны и равна:

Кинематика точки в теоретической механике

Если от точки М (рис. 146) в сторону вогнутости кривой отложить в соприкасающейся плоскости отрезок, равный Кинематика точки в теоретической механике, то конец его С определит центр кривизны кривой в данной ее точке.

Для прямой Кинематика точки в теоретической механике, поэтому ее кривизна Кинематика точки в теоретической механике, а радиус кривизны равен бесконечности:

Кинематика точки в теоретической механике

Для окружности:

Кинематика точки в теоретической механике

На этом мы заканчиваем изучение вопросов геометрии и рассмотрим далее изменение вектора скорости движущейся точки. Пусть в моменты Кинематика точки в теоретической механикедвижущаяся точка будет находиться в положениях Кинематика точки в теоретической механике и будет иметь соответствующие скорости Кинематика точки в теоретической механике (рис. 148,а). Если векторы всех скоростей перенести в общее произвольное начало О (рис. 148,0), то геометрическим местом концов векторов всех скоростей, перенесенных в точку О, будет кривая, которая называется годографом скоростей.

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 148.                                                         Рис. 149.

Вообще говоря, с течением времени скорость будет изменяться и по величине и по направлению. Взяв изменение скорости Кинематика точки в теоретической механике за какой-либо промежуток времени Кинематика точки в теоретической механике, назовем средним ускорением отношение Кинематика точки в теоретической механике (рис. 149). На рисунке 149 изменение скорости Кинематика точки в теоретической механике представлено для наглядности в виде двух компонентов Кинематика точки в теоретической механике из которых первый Кинематика точки в теоретической механике характеризует изменение скорости только но направлению, а второй Кинематика точки в теоретической механике — только по величине. Предел же этого отношения при Кинематика точки в теоретической механике  называется истинным ускорением в данной точке траектории. Обозначив вектор ускорения точки через Кинематика точки в теоретической механике, получим:

Кинематика точки в теоретической механике

на основании равенства (72). Следовательно, вектор ускорения равен первой векторной производной вектора скорости по времени или второй векторной производной радиуса вектора по времени. Подставляя в последнее равенство вместо вектора Кинематика точки в теоретической механике его значение Кинематика точки в теоретической механике , определяемое равенством (75а), имеем:

Кинематика точки в теоретической механике

Ha основании равенства (22) находим:

Кинематика точки в теоретической механике

но так как согласно формулам (75), (77) и (78)

Кинематика точки в теоретической механике

то окончательно имеем:

Кинематика точки в теоретической механике

Таким образом, полное ускорение точки Кинематика точки в теоретической механике состоит из двух компонентов Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике, из которых первый называется касательным или тангенциальным ускорением, направлен по касательной к траектории и характеризует изменение скорости вдоль ее направления, второй же называется нормальным ускорением, направлен по главной нормали к центру кривизны и характеризует изменение скорости перпендикулярно к ее направлению.

Обозначая соответственно касательное ускорение через Кинематика точки в теоретической механике, а нормальное — через Кинематика точки в теоретической механике, имеем (рис. 150):

Кинематика точки в теоретической механике 

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 150.

Модули касательного и нормального ускорений можно рассматривать так же, как проекции полного ускорения на касательную и главную нормаль; проекция же полного ускорения на бинормаль равна нулю, так как полное ускорение расположено в соприкасающейся плоскости. Итак, имеем:

Кинематика точки в теоретической механике

ПриКинематика точки в теоретической механике вектор Кинематика точки в теоретической механике имеет направление Кинематика точки в теоретической механике, при Кинематика точки в теоретической механике — направление, противоположное Кинематика точки в теоретической механике.

Если точка движется прямолинейно, то Кинематика точки в теоретической механике, так как Кинематика точки в теоретической механике, а если при этом и равномерно, то и Кинематика точки в теоретической механике, так как Кинематика точки в теоретической механике

Движение точки с постоянным касательным ускорением называется равнопеременным. Рассмотрим равнопеременное и прямолинейное движение точки. В этом случае Кинематика точки в теоретической механике , а потому Кинематика точки в теоретической механике Интегрируя полученное выражение два раза, имеем:

Кинематика точки в теоретической механике

откуда Кинематика точки в теоретической механике и, следовательно,

Кинематика точки в теоретической механике

Далее:

Кинематика точки в теоретической механике

при Кинематика точки в теоретической механике , а поэтому:

Кинематика точки в теоретической механике

Уравнения (82) и (83) называются уравнениями равнопеременного движения. Здесь Кинематика точки в теоретической механике — начальное расстояние, a Кинематика точки в теоретической механике — начальная скорость. Если Кинематика точки в теоретической механике, то движение называется равноускоренным, если Кинематика точки в теоретической механике равнозамедленным.

Уравнения (82) и (83) применимы также и для случая криволинейного движения точки, положив Кинематика точки в теоретической механике

Посмотрим теперь, как находится ускорение точки в том случае, когда движение ее задано по второму способу, т. е. по уравнениям (67). Так как ускорение точки Кинематика точки в теоретической механике а по уравнению (72) Кинематика точки в теоретической механике то, следовательно,

Кинематика точки в теоретической механике

Выражая вектор Кинематика точки в теоретической механике через компоненты, имеем:

Кинематика точки в теоретической механике

с другой стороны, обозначив проекции ускорения на координатные оси через Кинематика точки в теоретической механике , имеем:

Кинематика точки в теоретической механике

Сравнивая коэффициенты при одинаковых единичных векторах, получим:

Кинематика точки в теоретической механике
 

Следовательно, проекция ускорения на неподвижную ось равна второй производной от соответствующей координаты по времени. Модуль ускорения будет: 

Кинематика точки в теоретической механике

Направление же вектора ускорения к координатным осям определится через косинусы углов.

Задача №8

Найти нормальное и касательное ускорения точки, движение которой в метрах и секундах выражается уравнениями:

Кинематика точки в теоретической механике

Решение. Найдем сначала по формулам (73) и (84) проекции скорости и ускорения на координатные оси:

Кинематика точки в теоретической механике

Далее находим, что Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике

С другой стороны, по формуле (80): Кинематика точки в теоретической механике; но так как по равенству (81): Кинематика точки в теоретической механике, то Кинематика точки в теоретической механике

Нормальное ускорение Кинематика точки в теоретической механике можно было бы найти иначе. Исключая из уравнения движения время t, найдем, что уравнение траектории — окружность Кинематика точки в теоретической механике радиус которой  Кинематика точки в теоретической механикеПо формуле (81):

Кинематика точки в теоретической механике

  • Заказать решение задач по теоретической механике

Задача №9

Движение точки выражается в метрах и секундах уравнениями: Кинематика точки в теоретической механике

Найти скорость точки, ускорение, траекторию и радиус кривизны в наивысшей точке.

Указание: в наивысшей точке параболы (рис. 144) вектор скорости, направленный по касательной, горизонтален, поэтому Кинематика точки в теоретической механикеКинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике Зная Кинематика точки в теоретической механике, по формуле (81) находим Кинематика точки в теоретической механике

Траектория точки — парабола Кинематика точки в теоретической механике радиус кривизны в наивысшей точке Кинематика точки в теоретической механике

Ответ: Кинематика точки в теоретической механике

Задача. Точка движется по некоторой кривой так, что в момент / = 4 сек, вектор ее полного ускорения составляет угол 30° с направлением нормали к траектории. Определить радиус кривизны
 

Задача №10

Движение автомобиля по дороге, имеющей форму двух четвертей окружности радиуса Кинематика точки в теоретической механике и прямой вставки между ними, выражается в метрах и секундах уравнением Кинематика точки в теоретической механике. Построить графики пути, скорости, касательного и нормального ускорений автомобиля, приняв за начало отсчета пройденных путей точку О (рис. 151, а).

Решение. По формулам (75) и (81) находим выражение скорости, касательного и нормального ускорений автомобиля:

Кинематика точки в теоретической механике

Графики пути, скорости нормального и касательного ускорений легко строятся по точкам (рис. 151, б, в, г, д). Следует обратить внимание на то, что на прямолинейном участке пути Кинематика точки в теоретической механике, так как Кинематика точки в теоретической механике. Для того чтобы узнать граничные промежутки времени, когда Кинематика точки в теоретической механике, надо в заданное уравнение движения Кинематика точки в теоретической механике вместо Кинематика точки в теоретической механике подставить сначала длину первого закругления, равную 15,7 м, а затем длину первого закругления, сложенную с длиной прямой вставки, равную 25,7 м.

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 151.

Отсюда получаем два граничных момента времени: Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике, соответствующих равенству нулю нормального ускорения.

Задача №11

Для точки, движущейся по прямой, диаграмма расстояний представляет собой четверть эллипса (рис. 152). Выразить расстояние, скорость и ускорение движущейся точки, как функции времени. Построить диаграммы (графики) скоростей и ускорений.

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 152.

Решение. Выразим сначала аналитически зависимости: Кинематика точки в теоретической механике Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике

Зависимость между расстоянием s и временем t по заданному графику пути может быть выражена в форме уравнения эллипса (рис. 152):

Кинематика точки в теоретической механике

откуда: 

Кинематика точки в теоретической механике

При Кинематика точки в теоретической механике а при Кинематика точки в теоретической механике т.е. составленное уравнение движения иточки удовлетворяет заданному графику пути.

Выразим теперь Кинематика точки в теоретической механике, как функцию времени. По формуле (75) находим:

Кинематика точки в теоретической механике

При Кинематика точки в теоретической механике а при Кинематика точки в теоретической механике

Величина ускорения найдется по первой из формул (81):

Кинематика точки в теоретической механике

При Кинематика точки в теоретической механике а при Кинематика точки в теоретической механике

На рисунке 152 изображены графики: скорости Кинематика точки в теоретической механике и ускорения Кинематика точки в теоретической механике

Последние два графика можно построить по точкам, зная Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике, как функции времени, или же получить графически, путем графического дифференцирования графика пути Кинематика точки в теоретической механике Следует отметить, что графиком ускорений вообще называется кривая:

Кинематика точки в теоретической механике

Задача №12

Найти величину и направление ускорения и радиус кривизны траектории точки М колеса радиуса R = 1 м, катящегося без скольжения по горизонтальной оси Ох (рис. 153). Известно, что скорость центра колеса Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 153.

Решение. Если в начальный момент точка М колеса находилась в начале координат О, то в момент Кинематика точки в теоретической механике координаты этой точки определятся:

Кинематика точки в теоретической механике

Так как дуга AM равна отрезку ОА, то Кинематика точки в теоретической механике и, следовательно:

Кинематика точки в теоретической механике

Поэтому уравнения движения точки М будут:

Кинематика точки в теоретической механике

Проекции ускорения точки М на координатные оси найдутся по формулам:

Кинематика точки в теоретической механике

Величина полного ускорения точки М равна:

Кинематика точки в теоретической механике

Направление вектора полного ускорения определяется по направляющим косинусам:

Кинематика точки в теоретической механике

Из последних равенств следует, что вектор ускорения направлен по МС к центру катящегося колеса.

Скорость точки М найдется на основании равенств:

Кинематика точки в теоретической механике

Касательное и нормальное, ускорения точки М соответственно определятся:

Кинематика точки в теоретической механике

Радиус кривизны траектории точки М найдется из выражения для нормального ускорения:

Кинематика точки в теоретической механике

Так как Кинематика точки в теоретической механике, то Кинематика точки в теоретической механике и, следовательно, длина хорды: 

Кинематика точки в теоретической механике

поэтому Кинематика точки в теоретической механике

Перейдем теперь к изучению движения точки по окружности. Пусть точка движется по окружности радиуса а (рис. 154) и занимает в начальный момент положение Кинематика точки в теоретической механике Определим начальное положение точки постоянным углом Кинематика точки в теоретической механике который составляет радиус Кинематика точки в теоретической механике с осью Ох. По прошествии времени Кинематика точки в теоретической механике точка перейдет в положение М и радиус а, определяющий положение точки, будет составлять с осью Ох уже иной угол, равный Кинематика точки в теоретической механике Из рассмотрения треугольника ОМВ составляем уравнения движения точки М:

Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

Рис.154. 

Ясно, что угол Кинематика точки в теоретической механике — переменный и является функцией времени Кинематика точки в теоретической механике, т. е. Кинематика точки в теоретической механике

Согласно равенствам (73) найдем проекции скорости точки М на координатные оси:

Кинематика точки в теоретической механике

Величина Кинематика точки в теоретической механике, характеризующая быстроту изменения угла Кинематика точки в теоретической механике, называется угловой скоростью. Обозначая угловую скорость буквой Кинематика точки в теоретической механике можем написать:    

Кинематика точки в теоретической механике

тогда

Кинематика точки в теоретической механике

Модуль линейной скорости точки определится по формуле (74):

Кинематика точки в теоретической механике

Но, так как

Кинематика точки в теоретической механике

то

Кинематика точки в теоретической механике

т. е. линейная скорость точки, движущейся по окружности, равна произведению угловой скорости на радиус.

Величины нормального и касательного ускорений точки, движущейся по окружности, найдутся по формулам (81):

Кинематика точки в теоретической механике

Величина Кинематика точки в теоретической механике характеризующая быстроту изменения угловой скорости Кинематика точки в теоретической механикеназывается угловым ускорением.

Обозначим угловое ускорение буквой Кинематика точки в теоретической механике и принимая во внимание равенство (87), получим:

Кинематика точки в теоретической механике

Если Кинематика точки в теоретической механике, то Кинематика точки в теоретической механике, и точка согласно равенству (89) движется равномерно по окружности. Пользуясь равенством. (90), получим:

Кинематика точки в теоретической механике

Полное ускорение точки (рис. 155):

Кинематика точки в теоретической механике

Если Кинематика точки в теоретической механике то Кинематика точки в теоретической механике имеет то же направление, что и Кинематика точки в теоретической механике если Кинематика точки в теоретической механике то Кинематика точки в теоретической механике имеет направление, противоположное Кинематика точки в теоретической механике Из рисунка 155 видно, что угол, который образует вектор полного ускорения точки с радиусом ОМ, или, что то же, с нормальным ускорением Кинематика точки в теоретической механике составляет:

Кинематика точки в теоретической механике

или

Кинематика точки в теоретической механике

Обычно угловая скорость измеряется в Кинематика точки в теоретической механике но на практике часто угловую скорость измеряют в Кинематика точки в теоретической механике в этом случае угловую скорость обозначают буквой Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 155.

Найдем зависимость между угловой скоростью Кинематика точки в теоретической механике и числом оборотов в минуту Кинематика точки в теоретической механике 

Пусть радиус ОМ (рис. 155) вместе с точкой М совершит в минуту Кинематика точки в теоретической механике оборотов. За один оборот радиус повернется на угол Кинематика точки в теоретической механике радиан, а за Кинематика точки в теоретической механике оборотов — на угол Кинематика точки в теоретической механике радиан в минуту; в секунду же он повернется на:

Кинематика точки в теоретической механике

Таким образом:    

Кинематика точки в теоретической механике

где Кинематика точки в теоретической механике выражено в об/мин, а Кинематика точки в теоретической механике в 1/сек.

Задача №13

Кривошипно-шатунный механизм состоит из кривошипа Кинематика точки в теоретической механике, шатуна Кинематика точки в теоретической механике и ползуна В, могущего перемещаться по неподвижной прямой ОВ (рис. 156).

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 156.

Кривошип ОА вращается с постоянной угловой скоростью Кинематика точки в теоретической механике. Требуется:

1)    найти закон движения ползуна В, величину его скорости и ускорения в момент t.

2)    на ординатах Кинематика точки в теоретической механике, соответствующих крайним и среднему положениям ползуна В, построить графики скоростей и ускорений. 

Решение. Примем за начало отсчета расстояний ползуна В точку О и обозначим отрезок ОВ  через х. Из чертежа видно:

Кинематика точки в теоретической механике

где Кинематика точки в теоретической механике — угол поворота кривошипа ОА изменяется пропорционально времени, так как по условию вращение кривошипа равномерное.

Зависимость между углами Кинематика точки в теоретической механике выразим из Кинематика точки в теоретической механике по теореме синусов:

Кинематика точки в теоретической механике

откуда

Кинематика точки в теоретической механике

Далее:

Кинематика точки в теоретической механике

Раскладывая полученное выражение по формуле бинома Ньютона, найдем:

Кинематика точки в теоретической механике

Ограничившись первыми двумя членами разложения, получим приближенное уравнение движения ползуна:

Кинематика точки в теоретической механике

при

Кинематика точки в теоретической механике

при

Кинематика точки в теоретической механике

что соответствует чертежу.

Выражения скорости и ускорения ползуна найдутся путем дифференцирования по времени t его уравнения движения:

Кинематика точки в теоретической механике

Графики скорости и ускорения ползуна можно построить по точкам, давая углу Кинематика точки в теоретической механике;

при Кинематика точки в теоретической механике 

       Кинематика точки в теоретической механике

при Кинематика точки в теоретической механике

         Кинематика точки в теоретической механике

при Кинематика точки в теоретической механике

         Кинематика точки в теоретической механике

        
Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 157.

Отсюда видно, что в крайних положениях ползуна скорость его равна нулю, а ускорения не равны нулю, но при этом получаются неравными между собой.

Графики Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике построены на чертеже.

Рассмотрим, наконец, гармоническое колебательное движение точки. Пусть по окружности радиуса а равномерно движется точка М с угловой скоростью Кинематика точки в теоретической механике (рис. 157).

При этом закон движения проекции равномерно движущейся точки на одну из координатных осей, например ось Ох, выразится уравнением:

Кинематика точки в теоретической механике

где  Кинематика точки в теоретической механике так как точка М движется равномерно.

Прямолинейное движение точки, совершающееся по закону синуса или косинуса, называется гармоническим колебательным движением.

В уравнении (95) гармонического колебательного движения величина а наибольшего удаления точки Кинематика точки в теоретической механике от точки О (центра колебаний) называется амплитудой колебания,угол Кинематика точки в теоретической механике — фазой колебания, а угол Кинематика точки в теоретической механике, определяющий начальное положение точки, — начальной фазой колебания.

При Кинематика точки в теоретической механике из уравнения (95) находим:

Кинематика точки в теоретической механике

Но это выражение (рис. 157) дает закон движения другой проекции точки М, а именно проекции ее Кинематика точки в теоретической механике на ось Кинематика точки в теоретической механике. Таким образом, если точка М равномерно движется по окружности, то обе проекции ее Кинематика точки в теоретической механике на координатные оси совершают гармоническое колебательное движение, причем, как видно из чертежа:

Кинематика точки в теоретической механике

т. е. движение точки Кинематика точки в теоретической механике по оси Оу — тоже гармоническое с начальной фазой Кинематика точки в теоретической механике.

Промежуток времени Т, в течение которого вспомогательная точка М опишет полную окружность, а ее проекция Кинематика точки в теоретической механике или Кинематика точки в теоретической механике совершит одно полное колебание (пройдет путь, равный четырем амплитудам, или двум размахам), называется периодом колебания и по определению найдется: Кинематика точки в теоретической механике, откуда: 

Кинематика точки в теоретической механике

Величина Кинематика точки в теоретической механике, определяющая число колебаний в секунду, называется частотой колебаний. Но этим термином часто называют величину Кинематика точки в теоретической механике (угловая или циклическая частота); в дальнейшем мы будем величину Кинематика точки в теоретической механике называть также циклической частотой колебаний. Из уравнения (96) находим:

Кинематика точки в теоретической механике

Если точка Кинематика точки в теоретической механике совершает в минуту Кинематика точки в теоретической механике колебаний, то период колебаний:

Кинематика точки в теоретической механике

а поэтому частота:

Кинематика точки в теоретической механике

Отсюда число колебаний в минуту, выраженное через циклическую частоту колебаний, будет:

Кинематика точки в теоретической механике

Задача №14

Движения трех точек в сантиметрах и секундах выражаются соответственно уравнениями:

Кинематика точки в теоретической механике

и

Кинематика точки в теоретической механике

Построить графики расстояний этих точек.

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 158.

Решение. Каждая из трех точек совершает гармоническое колебательное движение. Для построения графиков расстояний проводам вспомогательную окружность радиуса а см, равного амплитуде колебания, и наносим на окружности последовательно ряд положений I, II, III и т. д. вспомогательной точки М, например через каждые Кинематика точки в теоретической механике секунд, или, что то же, — через угол Кинематика точки в теоретической механике (рис. 158).

Выбираем, далее, на продолжении горизонтального диаметра произвольную точку Кинематика точки в теоретической механике, откладываем от нее в произвольном масштабе равные промежутки времени Кинематика точки в теоретической механике секунд каждый, проводим через точки деления вертикальные прямые и нумеруем их цифрами I, II, III и т. д., соответствующими положениям вспомогательной точки М. Проводам затем через точки I, II, III и т. д. окружности горизонтальные прямые до пересечения с вертикальными прямыми соответственной нумерации и, соединяя точки пересечения непрерывными кривыми, получим графики расстояний точек b, с и d. Как видно из чертежа, формы графиков расстояний трех точек одинаковы, только положение их различно; это объясняется тем, что колеблющиеся точки имеют различные начальные фазы Кинематика точки в теоретической механике , вследствие чего происходит сдвиг фаз. Так, кривая d сдвинута вперед относительно кривой b на 180°, а кривая с —.на 45°.    ‘

Задача №15

Выразить через переменное расстояние х ускорение точки Кинематика точки в теоретической механике представляющей проекцию точки А конца стержня Кинематика точки в теоретической механике на горизонтальную прямую (рис. 159). Стержень ОА вращается в плоскости чертежа с постоянной угловой скоростью Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

Рис. 159.

Решение. Из Кинематика точки в теоретической механике имеем: Кинематика точки в теоретической механике Скорость и ускорение точки Кинематика точки в теоретической механикенайдутся но уравнениям:

Кинематика точки в теоретической механике

т. е. точка Кинематика точки в теоретической механике, совершающая гармоническое колебание, обладает ускорением, пропорциональным отклонению точки от центра колебаний и направленным к этому центру.

Всё о кинематике

Кинематика — наука о движении геометрических тел. В ней рассматривается само движение без изучения причин, вызывающих это движение. Впервые термин «кинематика» ввел А.Ампер (1775-1836), взяв за основу греческое слово Кинематика точки в теоретической механикеозначающее движение.

Простейшим объектом в кинематике является точка. В кинематике точки рассматриваются следующие функции времени t: радиус-вектор Кинематика точки в теоретической механике скорость Кинематика точки в теоретической механике и ускорение Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

Движение тела в кинематике начинают изучать с поступательного и вращательного движения. Во вращательном движении вводятся понятия угла поворота тела Кинематика точки в теоретической механике угловой скорости и углового ускорения. Последние две величины векторные, но для вращательного движения их направление всегда постоянно — по оси вращения. Поэтому в решении часто используются скалярные величины Кинематика точки в теоретической механике имеющие смысл проекций этих векторов на ось вращения Кинематика точки в теоретической механике Точкой будем обозначать производную по времени.

В плоском движении тела каждая точка тела движется в плоскости, параллельной некоторой фиксированной плоскости. Само тело вовсе не обязательно должно быть плоским. Говорить о скорости тела или его ускорении в общем случае не имеет смысла: тело состоит из множества точек, каждая из которых может иметь свою скорость и ускорение. Исключение составляет поступательное движение тела, при котором равны скорости и ускорения всех точек. Кроме того, в некоторых задачах иногда говорят, например, о скорости катящегося цилиндра или о скорости автомобиля, подразумевая при этом скорость точек центральной оси цилиндра или скорость кузова автомобиля. принимая его за точку.

Угловая скорость и ускорение для плоского движения — векторные величины, но их направления всегда перпендикулярны плоскости движения. Введем декартову систему координат, в которой плоскость ху совпадает с плоскостью движения. Тогда угловая скорость Кинематика точки в теоретической механике и ускорение Кинематика точки в теоретической механике направлены вдоль оси Кинематика точки в теоретической механике В решении задач удобно использовать скалярные величины — проекции этих векторов на осьКинематика точки в теоретической механике

Скорость точки А тела при плоском движении вычисляют через известную скорость какой-либо точки В того же тела, принимаемой за полюс (рис. 81):

Кинематика точки в теоретической механике

Для расчета скоростей точек многозвенного механизма, каждое звено которого совершает плоское движение, формулу (1) применяют последовательно для всех точек, переходя от одной точки, принимаемой за полюс, к другой.

Кинематика точки в теоретической механике

Схему вычислений в этом случае удобно записывать в виде структурных формул (графов [15])

Кинематика точки в теоретической механике

где над стрелкой указан номер тела или наименование стержня, которому принадлежат точки, а снизу — угол Кинематика точки в теоретической механике между осью х и вектором Кинематика точки в теоретической механике В проекциях на оси х, у граф (2) дает уравнения

Кинематика точки в теоретической механике

где Кинематика точки в теоретической механике — проекция угловой скорости тела 1 на ось z, перпендикулярную плоскости движенияКинематика точки в теоретической механике . Если вращение происходит против часовой стрелки, то Кинематика точки в теоретической механике а если — по часовой стрелке, то Кинематика точки в теоретической механике

Ускорения точек тела при плоском движении связаны формулой Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механикеПравило «трех С» для запоминания формулы (3): в первом уравнении (проекции на ось х) «икС», «минуС», «синуС».

Изучаем тему: кинематика точки

При изучении темы КИНЕМАТИКА ТОЧКИ вы познакомитесь с простейшими понятиями кинематики. Этот раздел теоретической механики наиболее близко примыкает к математике. Умение дифференцировать и понимать смысл найденных производных — необходимые условия для освоения этой темы.

Проверить и «оживить» решение задачи можно с помощью программы, написанной для математической системы Maple V.

Движение точки в плоскости

Постановка задачи. Точка движется по закону

Кинематика точки в теоретической механике

Для заданного момента времени найти скорость, ускорение точки и радиус кривизны траектории.

План решения:

1. Определяем траекторию движения точки, исключая t из закона движения (1).

2. Дифференцируя (1) по времени t, находим проекции скорости точки на оси х, у:

Кинематика точки в теоретической механике

3. Модуль скорости вычисляем по формуле Кинематика точки в теоретической механике

4.Дифференцируя (2), находим компоненты вектора ускорения Кинематика точки в теоретической механике

5. Определяем модуль ускорения Кинематика точки в теоретической механике

6. Вычисляем тангенциальное (касательное) ускорение. Дифференцируя скорость Кинематика точки в теоретической механике как сложную функцию времени,

Кинематика точки в теоретической механике

7.Вычисляем нормальное ускорение Кинематика точки в теоретической механике

8. Нормальное ускорение зависит от скорости точки и радиуса кривизны траектории:

Кинематика точки в теоретической механике

Отсюда находим радиус кривизны

Кинематика точки в теоретической механике

Задача №16

Точка движется по закону

Кинематика точки в теоретической механике

Для момента времени Кинематика точки в теоретической механике найти скорость, ускорение точки и радиус кривизны траектории. Координаты х, у даны в см, время — вс.

Решение

1. Определяем траекторию движения точки, исключая t из закона движения (3). Параметрическим представлением траектории является сам закон движения (3). Координатную форму .уравнения движения точки получаем, исключая из закона движения (3) время:

Кинематика точки в теоретической механике

Для того, чтобы окончательно получить ответ на вопрос о траектории, необходимо еще выделить область определения функции (4). Не все точки кривой, определяемой этой функцией, являются точками траектории. При Кинематика точки в теоретической механике имеем

Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике Эту же формулу можно вывести иначе, исходя из того, что величина Кинематика точки в теоретической механике равна проекции ускорения на касательную к траектории:

Кинематика точки в теоретической механике

6.1.Движение точки в плоскости 

т.о. траекторией является правая ветвь параболы (4) (рис. 82). График строим по точкам (отмечены звездочками), через равные промежутки времени 0.1 с.

2. Дифференцируя (3) по времени t, находим проекции скорости точки на оси х, у:

Кинематика точки в теоретической механике

При Кинематика точки в теоретической механике имеем следующие численные значения компонентов скорости:

Кинематика точки в теоретической механике

3. Модуль скорости вычисляем по формуле

Кинематика точки в теоретической механике

Вектор скоростиКинематика точки в теоретической механике строим на рисунке в масштабе по известным компонентам Кинематика точки в теоретической механике Если в вычислениях нет ошибок, то вектор скорости будет направлен по касательной к траектории (рис. 82).

4. Дифференцируя (6), находим компоненты вектора ускорения:

Кинематика точки в теоретической механике

При Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

5. Определяем модуль ускорения

Кинематика точки в теоретической механике

Вектор ускорения строим на чертеже в масштабе ускорений (не обязательно совпадающем с масштабом скоростей). Вектор ускорения направлен внутрь вогнутости кривой.

6.Вычисляем тангенциальное ускорение Кинематика точки в теоретической механике :

Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике Наличие тангенциального ускорения точки видно уже из рис. 82. Расстояние между первыми двумя точками меньше, чем между двумя последними, хотя интервал времени одинаков. Характеристикой такого изменения является величина Кинематика точки в теоретической механике

7. Вычисляем нормальное ускорение:

Кинематика точки в теоретической механике

8. Находим радиус кривизны траектории в указанном положении точки:

Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике
Центр кривизны траектории лежит на нормали к кривой на расстоянии R = 5.208 см внутри вогнутости кривой. Окружность радиусом R с центром в этой точке максимально близко совпадет с кривой в малой окрестности от нее.

6.2. Путь, пройденный точкой

Постановка задачи. Точка движется по закону

Кинематика точки в теоретической механике

Определить длину пути, пройденного точкой за время Кинематика точки в теоретической механике

 План решения

1. Дифференцируя (1) по времени t, находим проекции скорости точки на оси Кинематика точки в теоретической механике

2. Считая, что время отсчитывается от нуля, находим длину пути Кинематика точки в теоретической механике :

Кинематика точки в теоретической механике

Задача №17

Точка движется по закону

Кинематика точки в теоретической механике

гдеКинематика точки в теоретической механике Определить длину пути, пройденного точкой за время Кинематика точки в теоретической механике

Решение

1. Дифференцируя (2) по времени t, находим проекции скорости точки на оси х, у:

Кинематика точки в теоретической механике

2. Считая, что время отсчитывается от нуля, находим длину пути:

Кинематика точки в теоретической механике

Подставляя числовые значения Кинематика точки в теоретической механике получаем Кинематика точки в теоретической механике

Движение точки в пространстве

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Точка движется по закону

Кинематика точки в теоретической механике

Определить скорость, ускорение точки и радиус кривизны траектории в заданный момент времени.

План решения

1. Дифференцируя (1) по времени t, находим проекции скорости точки на оси х,у и z:Кинематика точки в теоретической механике

Гл.6.Кинематика  точки

2. Вычисляем модуль скорости Кинематика точки в теоретической механике

3.Дифференцируя (2), находим компоненты вектора ускорения:

Кинематика точки в теоретической механике

4. Определяем модуль ускорения Кинематика точки в теоретической механике

5. Вычисляем модуль тангенциального ускорения:

Кинематика точки в теоретической механике

6. Вычисляем нормальное ускорение Кинематика точки в теоретической механике

7.Находим радиус кривизны траектории в указанном положении точки: Кинематика точки в теоретической механике

Задача №18

Точка движется по закону

Кинематика точки в теоретической механике

где Кинематика точки в теоретической механикес найти скорость, ускорение точки и радиус кривизны ее траектории.

Решение

1. Дифференцируя (3) по времени t, находим проекции скорости точки на оси х, у и z:

Кинематика точки в теоретической механике

2.Вычисляем модуль скорости

Кинематика точки в теоретической механике

3.Дифференцируя (4), находим компоненты вектора ускорения: Кинематика точки в теоретической механике

4. Определяем модуль ускорения:

Кинематика точки в теоретической механике

5. Вычисляем модуль тангенциального ускорения:

Кинематика точки в теоретической механике

6.3.Движение точки в пространстве

6. Вычисляем нормальное ускорение:

Кинематика точки в теоретической механике

7. Находим радиус кривизны траектории в указанном положении точки:

Кинематика точки в теоретической механике

Радиус кривизны в данной задаче не зависит от времени. Кривая представляет собой винтовую линию постоянной кривизны. Получаем значения искомых величин при Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

Ответы занесем в таблицу (скорости — в см/с, ускорения — в Кинематика точки в теоретической механике радиус кривизны — в см):

Кинематика точки в теоретической механике

Естественный способ задания движения точки

Постановка задачи. Точка движется по плоской кривой

Кинематика точки в теоретической механике

с постоянной скоростью Кинематика точки в теоретической механике Определить ускорение точки, радиус кривизны траектории и косинус угла наклона касательной к траектории с осью ох, при заданном значении х.

План решения:

1. Находим зависимость между компонентами скорости. Дифференцируя (1) по t, используя правило дифференцирования сложной функции Кинематика точки в теоретической механике получаем

Кинематика точки в теоретической механике

6.4.Естественный способ задания движения точки

где штрихом обозначена производная по координате, Кинематика точки в теоретической механике а точкой, как всегда, — по времени, Кинематика точки в теоретической механике

2.  Дополняя (2) уравнением Кинематика точки в теоретической механике получаем систему уравнений, из которой находим компоненты скорости Кинематика точки в теоретической механике

3. Находим косинус угла наклона касательной к траектории с осью ox: Кинематика точки в теоретической механике

4. Находим зависимость между компонентами ускорения. Дифференцируя (2) по t, получаем

Кинематика точки в теоретической механике

где Кинематика точки в теоретической механике

5. Так как по условию Кинематика точки в теоретической механике то тангенциальное ускорение равно нулю. Отсюда получаем уравнение

Кинематика точки в теоретической механике

которое совместно с (3) дает систему для определения проекций ускорения. Решаем систему и находим Кинематика точки в теоретической механике

6. Вычисляем модуль ускорения Кинематика точки в теоретической механике

7. Согласно п.5, тангенциальное ускорение равно нулю и нормаль-нос ускорение совпадает с полным: Кинематика точки в теоретической механикеТак как Кинематика точки в теоретической механике находим отсюда радиус кривизны траектории:

Кинематика точки в теоретической механике

Задача №19

Точка движется по плоской кривой

Кинематика точки в теоретической механике

с постоянной скоростью Кинематика точки в теоретической механике Определить ускорение точки, радиус кривизны траектории и косинус угла касательной к траектории с осью ох при х= 1м.

Решение

1. Находим зависимость между компонентами скорости. Дифференцируем (4) по t. Используя правило дифференцирования сложной функции,получаем

Кинематика точки в теоретической механике

где

Кинематика точки в теоретической механике

При x = 1 имеем Кинематика точки в теоретической механике и Кинематика точки в теоретической механике

2. Дополняя (5) уравнением Кинематика точки в теоретической механике получаем систему уравнений, из которой находим компоненты скорости Кинематика точки в теоретической механике

Кинематика точки в теоретической механике

3. Находим косинус угла касательной к траектории с осью ох:

Кинематика точки в теоретической механике

4.Находим зависимость между компонентами ускорения. Дифференцируя (5) по t, получаем

Кинематика точки в теоретической механике

где

Кинематика точки в теоретической механике

При х = 1 м вычисляем Кинематика точки в теоретической механике С учетом ранее найденной величины х =3.002, получаем

Кинематика точки в теоретической механике

5. Из условия Кинематика точки в теоретической механике следует, что

Кинематика точки в теоретической механике

Решая это уравнение совместно с (6), находим проекции вектора ускорения:

Кинематика точки в теоретической механике

6. Вычисляем модуль ускорения:

Кинематика точки в теоретической механике

7. Находим радиус кривизны траектории:

Кинематика точки в теоретической механике

Ответы заносим в таблицу:Кинематика точки в теоретической механике

Замечание. В механике гибких стержней и сопротивлении материалов для нахождения радиуса кривизны кривой, заданной в форме у = у(х), существует формула

Кинематика точки в теоретической механике

Решенная задача представляет собой кинематический вывод этой формулы. Проверку решения можно выполнить, подставив в (7) найденные значения Кинематика точки в теоретической механике

Как и следовало ожидать, радиус кривизны траектории R от скорости движения точки не зависит, как не зависит, например, форма рельсового пути от скорости движения трамвая (если, конечно, не учитывать деформации).

Движение точки в полярных координатах

Постановка задачи. Задан закон движения точки в полярных координатах:

Кинематика точки в теоретической механике

Найти скорость и ускорение точки в полярных, декартовых и естественных координатах в заданный момент времени.

План решения:

1. Вычисляем полярные координаты точки в заданный момент времени: Кинематика точки в теоретической механике

2. Дифференцируя (1) по времени t, находим производные полярного радиуса р и полярного угла:

Кинематика точки в теоретической механике

3. Вычисляем компоненты скорости в полярных координатах:

Кинематика точки в теоретической механике

6.5. Движение точки в полярных координатах

4.Находим модуль скорости Кинематика точки в теоретической механике

5.Декартовы х, у и полярные координаты Кинематика точки в теоретической механике связаны соотношениями

Кинематика точки в теоретической механике

Дифференцируя (3), вычисляем компоненты скорости точки в декартовых координатах:

Кинематика точки в теоретической механике

6. Делаем проверку, вычисляя модуль скорости по декартовым компонентам:Кинематика точки в теоретической механике

7. Дифференцируя (2), находим вторые производные полярного радиуса р и полярного угла: Кинематика точки в теоретической механике

8.Вычисляем компоненты ускорения точки в полярных координатах: Кинематика точки в теоретической механике

9. Модуль ускорения вычисляем по формуле Кинематика точки в теоретической механике

10. Вычисляем компоненты ускорения точки в декартовых координатах, дважды дифференцируя (3):

Кинематика точки в теоретической механике

11. Делаем проверку, вычисляя модуль ускорения по декартовым компонентам: Кинематика точки в теоретической механике

12. Находим модуль тангенциального ускорения,:

Кинематика точки в теоретической механике

и проверяем его по формуле

Кинематика точки в теоретической механике

13. Вычисляем нормальное ускорение Кинематика точки в теоретической механике

Задача №20

Задан закон движения точки в полярных координатах:

Кинематика точки в теоретической механике

Найти скорость и ускорение точки в полярных, декартовых и естественных координатах при t = 1 с. Радиус дан в метрах.

Решение

1.Вычисляем полярные координаты точки в заданный момент времениКинематика точки в теоретической механике

2. Дифференцируя (4) по времени it, находим производные полярного радиуса р и полярного угла:

Кинематика точки в теоретической механике

При t = 1 имеем Кинематика точки в теоретической механике Кинематика точки в теоретической механике

3. Вычисляем компоненты скорости в полярных координатах:

Кинематика точки в теоретической механике

4.Вычисляем модуль скорости: Кинематика точки в теоретической механике

5.Вычисляем компоненты скорости в декартовых координатах:

Кинематика точки в теоретической механике

6. Делаем проверку, вычисляя модуль скорости по декартовым компонентам:

Кинематика точки в теоретической механике

7. Дифференцируя (5), находим вторые производные полярного радиуса р и полярного угла:

Кинематика точки в теоретической механике

При t = 1 получаем Кинематика точки в теоретической механике

8. Вычисляем компоненты ускорения в полярных координатах:

Кинематика точки в теоретической механике

9. Определяем модуль ускорения: Кинематика точки в теоретической механике
*) Аргументы тригонометрических функций измеряются в радианах.

10. Находим компоненты ускорения в декартовых координатах:

Кинематика точки в теоретической механике

11. Делаем проверку, вычисляя модуль ускорения по декартовым компонентам:

Кинематика точки в теоретической механике

12. Находим модуль касательного ускорения,

Кинематика точки в теоретической механике

и проверяем его по формуле

Кинематика точки в теоретической механике

13. Вычисляем нормальное ускорение

Кинематика точки в теоретической механике

Ответы заносим в таблицу (скорости — в м/с, ускорения — в Кинематика точки в теоретической механикеКинематика точки в теоретической механике

  • Плоское движение твердого тела
  • Мгновенный центр скоростей
  • Мгновенный центр ускорений
  • Мгновенный центр вращения
  • Плоская система сил
  • Трение
  • Пространственная система сил
  • Центр тяжести

Содержание:

  1. Кинематика — основные понятия и определения
  2. Кинематика точки
  3. Способы задавания движения точки
  4. Векторный способ
  5. Координатный способ
  6. Натуральный способ
  7. Связь между различными способами задавания движения точки
  8. Скорость движения точки
  9. Определение скорости точки в случае задавания ее движения векторным способом
  10. Определение скорости точки в случае задавания ее движения координатным способом
  11. Скорость движения точки в декартовых координатах
  12. Скорость движения точки в полярных координатах
  13. Скорость точки с натурального способа задания ее движения
  14. Годограф скорости точки
  15. Ускорение движения точки
  16. Ускорение точки с векторного способа задания ее движения
  17. Ускорение точки при задании ее движения координатным способом
  18. Ускорение точки с натурального способа задавания ее движения
  19. Отдельные случаи движения точки
  20. Примеры на определение кинематических характеристик движения точки
  21. Задачи по кинематике с решениями и примерами
  22. Кинематика точки и её задачи
  23. Порядок решения задач по кинематике точки
  24. Примеры решения задач по кинематике точки с решением
  25. Задания темы К1
  26. К1.6. Пример решения задания темы К1
  27. Кинематика — полная лекция с формулами и теорией с примерами
  28. Кинематика точки
  29. Траектория и уравнения движения точки
  30. Координатный способ описания движения точки
  31. Определение траектории точки при координатном способе описания ее движения
  32. Определение скорости и ускорения точки при координатном способе описания ее движения
  33. Порядок решения задач по кинематике точки
  34. Естественный способ описания движения точки
  35. Определение скорости и ускорения точки при естественном способе описания ее движения
  36. Краткие исторические сведенья про развитие кинематики
  37. Введение в кинематику
  38. Три способа задания движения точки
  39. Векторный способ
  40. Координатный способ
  41. Натуральный способ
  42. Скорость движения точки
  43. Скорость точки в прямоугольной декартовой системе координат
  44. Скорость точки в полярных координатах
  45. Скорость точки при натуральном способе заданный движения
  46. Секторная скорость
  47. Ускорение точки
  48. Определение ускорения в прямоугольной декартовой системе координат
  49. Ускорение точки в полярных координатах
  50. Ускорение точки при натуральном способе задания движения
  51. Отдельные случаи движения точки
  52. Криволинейные координаты. Коэффициенты Ламе
  53. Скорость и ускорение точки в криволинейных координатах
  54. Основные понятия кинематики
  55. Кинематика материальной точки
  56. Способы задания движения материальной точки
  57. Векторный способ задания движения материальной точки
  58. Траектория движения точки
  59. Скорость движения точки
  60. Ускорение движения точки
  61. Координатный способ задания движения материальной точки
  62. Траектория движения точки
  63. Скорость движения точки
  64. Ускорение движения точки

Кинематика — это раздел механики, изучающий математическое описание движения идеализированных тел, без рассмотрения причин движения. Исходные понятия кинематики — пространство и время. Например, если тело движется по окружности, то кинематика предсказывает необходимость существования центростремительного ускорения без уточнения того, какую природу имеет сила, его порождающая. Причинами возникновения механического движения занимается другой раздел механики — динамика.

На странице -> решение задач по теоретической механике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретической механики.

Кинематика — основные понятия и определения

Кинематикой называется раздел теоретической механики, в котором изучается механическое движение материальных объектов (точек и тел) без связи с причинами, которые вызывают это движение (не учитывается масса подвижного тела и силы, которые вызывают его движение).

Итак, в кинематике изучается механическое движение с геометрической точки зрения. Название «кинематика» происходит от греческого слова «кинема», что означает движение.

Под механическим движением понимается изменение положения одного твердого тела с течением времени по отношению к любому другому телу, которая происходит в пространстве. Это означает, что при изучении движения тела или точки мы должны указать, в отношении которого другого тела рассматриваем движение, то есть связать с последним систему отсчета и считать ее условно неподвижной. Выбор системы отсчета в кинематике произвольный и определяется целью исследования.

Движение одних тел относительно других происходит в пространстве и времени. Пространство в классической механике является абсолютным: оно везде непрерывное, однородное и изотропное , то есть свойства пространства в различных его точках одинаковы, а в каждой точке — одинаковые во всех направлениях.

Геометрические свойства пространства определяются системой аксиом и теорем Евклида. Пространство рассматривается трехмерным, в нем существует понятие о расстоянии между двумя точками или длины отрезка прямой. За единицу длины в системе СІ принято метр (м). Эталон метра был изготовлен в 1795 французским механиком Борда и сохраняется в Севре близ Парижа. Одна из копий международного стандарта метра находится в Палате мер в Москве.

Время в классической механике считается универсальным, то есть одинаковым в любых системах отсчета и независимым от движения одних систем отсчета относительно других. Время является скалярной непрерывно переменной величиной. За единицу времени принимается секунда (с), которая равна примерно 1/86 400 части средней земных суток (земные сутки — это период обращения Земли вокруг собственной оси и равна 24 ч.). При измерении времени в кинематике различают такие понятия, как начальный момент времени, промежуток времени, момент времени. Отсчет времени ведется от некоторого начального момента времени, выбор которого в каждой задачи оговаривается. Время,
проходит между двумя физическими явлениями, называется промежутком времени.

Граница между двумя смежными промежутками времени называется моментом времени.

Понятие об абсолютном пространстве и абсолютное (универсальное) время введено в науку основоположником классической механики И. Ньютоном в знаменитом труде «Математические начала натуральной философии» (1687). Согласно ньютоновской теории пространство и время существуют объективно, независимо друг от друга и не зависят от свойств движущейся материи.

В начале ХХ в. появляется релятивистская механика, основанная на теории относительности. Теория относительности развита в научных трудах Дж. К. Максвелла (1831-1879), Х. А. Лоренца (1853-1928), А. Пуанкаре (1854-1912) и А. Эйнштейна (1879-1955). Принципы теории относительности корне меняют понятие о пространстве и времени. Абстрактному пространству противопоставляется физическое пространство, в котором геометрические свойства пространства и свойства времени сочетаются со свойствами движущейся материи. Время не является универсальным, а имеет «местное» значение. Универсальной постоянной величиной для всех систем является скорость света. Однако
релятивистская механика не исключает классическую механику, а лишь указывает на ее ограниченность и несправедливость ее законов там, где скорость движения тела соизмерима со скоростью света.

Итак, евклидово пространство и универсальное время, принятые в классической механике, лишь приближенно отражают реальные свойства пространства и времени. Однако, как показывает опыт, для тел, скорости движения которых незначительны по сравнению со скоростью света, это приближение дает вполне достаточную для практики точность.

В кинематике используются понятия материальной точки, системы материальных точек, абсолютно твердого тела, которые были введены в статике. Понятие материальной точки и геометрической точки в кинематике совпадают, поскольку масса точки не учитывается. Поэтому в дальнейшем будем употреблять термин «точка». Кроме этих понятий, в кинематике следует различать между собой такие понятия, как перемещение и движение.

Перемещением точки или тела называется переход его в пространстве с одного положения в другое произвольным способом за определенный промежуток времени.
Перемещение полностью определяется начальным и конечным положением точки или тела и промежутком времени. Движением называется переход точки или тела из одного положения в другое определенным способом и в определенной зависимостю от времени. Это означает, что любому положению точки или тела в пространстве соответствует определенный момент времени. Эта связь между положением точки или тела в пространстве и времени определяется законом движения. Если можно определить положение точки или тела в пространстве в любой момент времени, то считается известным закон ее движения.

Основная задача кинематики заключается в том, чтобы, зная закон движения точки или тела, установить основные кинематические характеристики движения. К основным кинематическим характеристикам движения относятся траектории, скорости и ускорения точек тела, а также угловая скорость и угловое ускорение тела. Кинематика делится на кинематику точки и кинематику твердого тела. Изучение кинематики начинается с изучение движения отдельной точки, а затем изучают движение твердого тела.

Кинематика точки

Кинематика точки — раздел кинематики, изучающий математическое описание движения материальных точек. Основной задачей кинематики является описание движения при помощи математического аппарата без выяснения причин, вызывающих это движение.

Способы задавания движения точки

Задать движение точки — это значит установить совокупность таких параметров, с помощью которых можно однозначно определить положение точки в пространстве в любой момент времени.

Движение точки в пространстве можно задать тремя способами: векторным, координатным и натуральным.

Векторный способ

Кинематика в теоретической механике

Положение точки в пространстве в каждый момент времени можно определить с помощью
радиус-вектора Кинематика в теоретической механикепроведенного с неподвижной точки О пространства в движущуюся точку М.

Каждому моменту времени t, а следовательно, и положению точки М, соответствует определенное значение радиусавектора Кинематика в теоретической механикето есть радиус-вектор является векторной
функцией времени Кинематика в теоретической механике

Уравнение (2.1) называют векторным уравнением движения точки. Оно одновременно является и уравнением траектории точки М.

Траекторией движения точки называется геометрическое место последовательных
положений подвижной точки в пространстве. В данном случае это будет геометрическое место концов радиус-вектора Кинематика в теоретической механикеточки М, то есть годограф радиусавектора Кинематика в теоретической механике. Следовательно, при векторном способе задавания движения точки траектории точки являются годограф радиус-вектора Кинематика в теоретической механике.

Векторный способ задавания движения точки преимущественно применяется при теоретических исследованиях.

Координатный способ

Кинематика в теоретической механике

Положение точки по отношению к любой системе отсчета полностью определяется ее координатами. Если задать координаты точки как известные функции времени в некоторой системе отсчета, то это дает определить ее положение в пространстве в произвольный момент времени. Таким образом задания движения точки называется координатным.

Рассмотрим движение точки в декартовой системе координат. Положение точки М в пространстве будет известным, если задано значение трех ее декартовых координат Кинематика в теоретической механике (рис. 2.2). Каждому моменту времени t соответствуют определенные значения координат точки Кинематика в теоретической механикеЧтобы определить положение точки в пространстве в произвольный момент времени, нужно задать зависимости

Кинематика в теоретической механике

Уравнение (2.2) являются уравнениями движения точки в координатной форме и
одновременно параметрическими уравнениями траектории точки. Исключив параметр t из этих уравнений, получим уравнение траектории движения точки в координатной форме.
Если точка движется в плоскости, то, приняв ее за плоскостьКинематика в теоретической механике будем иметь два уравнения движения

Кинематика в теоретической механике

В случае прямолинейного движения точки положения ее определяется одним уравнением

Кинематика в теоретической механике

при условии, что ось Кинематика в теоретической механике совпадает с траекторией точки.

Кинематика в теоретической механике

Если движение точки происходит в плоскости, то иногда целесообразно использовать полярную систему координат (рис. 2.3). Для этого из телом отсчета свяжем полярную ось Кинематика в теоретической механикеПоложение точки М будет известным, если заданы ее полярные координаты: радиус Кинематика в теоретической механике и полярный угол φ между полярной осью и направлением ОМ. Уравнения движения точки М задаются зависимостями

Кинематика в теоретической механике

Полярный угол φ считается положительным, если его отчисляют от полярной оси Кинематика в теоретической механике к радиусу r против часовой стрелки. Радиус r, как расстояние от точки О до точки М, имеет только положительное значение. Формулы, связывающие полярные координаты с декартовыми, имеют вид

Кинематика в теоретической механике

Координатный способ определения движения точки применяют как во время теоретических исследований, так и при решении конкретных задач.

Кроме декартовой и полярной систем координат в механике часто применяют еще и такие системы, как цилиндрическая и сферическая.

Натуральный способ

Пусть точка М описывает в пространстве некоторую кривую АВ (рис. 2.4), которая является траекторией точки. Для того, чтобы определить положение точки М на траектории в произвольный момент времени, выберем на ней начало отсчета О и установим положительный и отрицательный направления движения.

Кинематика в теоретической механике

Тогда положение точки М на траектории однозначно определится криволинейной координатой Кинематика в теоретической механике, которая называется дуговой координатой.

Каждому моменту времени соответствует определенное положение точки М на траектории, а следовательно, и определенное значение дуговой координаты, то есть,
дуговая координата является функцией времени

Кинематика в теоретической механике

Уравнение (2.7) выражает закон движения точки М по траектории, но не определяет положение ее в пространстве. 

Итак, по натуральному способу определения движения точки положения ее в пространстве задается совокупностью следующих параметров: траекторией точки, началом отсчета дуговой координаты, направлением положительного отсчета дуговой координаты, законом движения по траектории в виде (2.7).

Не следует утотожнюваты значение дуговой координаты с пройденным точкой путем. На рис. 2.5, а точка в начальный момент времени Кинематика в теоретической механикенаходилась в положении Кинематика в теоретической механике а в момент времени t — в положении М.

Кинематика в теоретической механике

Значение дуговой координаты Кинематика в теоретической механике, а пройденный точкой путь Кинематика в теоретической механике Значение дуговой координаты и пройденный точкой путь совпадают только тогда, когда движение точки начинается с начала отсчета О и происходит в одном направлении по незапертой траектории (рис. 2.5, б).

Заметим, что функции, которые входят в равенства (2.1), (2.2), (2.5), (2.7), по самой природе движения должны быть однозначными, непрерывными и хотя бы дважды дифференцированными.

Связь между различными способами задавания движения точки

Между различными способами задания движения точки существует взаимосвязь. Установим его между векторным и координатным способами.

Пусть задано векторное уравнение движения точки (2.1), где радиус-вектор Кинематика в теоретической механике отложенный от недвижимого центра А. Выберем декартову систему координат, начало которой совместим с центром О (рис. 2.6).

Кинематика в теоретической механике

Тогда координаты точки М равны проекциям радиус-вектора Кинематика в теоретической механике этой же точки на координатные оси

Кинематика в теоретической механике

Если же, наоборот, задано уравнение (2.2), а нужно составить векторное уравнение, то, введя орты координатных осейКинематика в теоретической механике (рис. 2.6), получим

Кинематика в теоретической механике

Покажем, что существует связь между координатным и натуральным способами определения движения точки. Пусть движение точки задано уравнениями (2.2), которые одновременно являются и параметрическими уравнениями траектории. Исключив из них параметр t, получим уравнение траектории. Решая, например, последнее уравнение
системы (2.2) по t, получим Кинематика в теоретической механике Подставляя это соотношение в первые два уравнения, получим

Кинематика в теоретической механике

Как известно из аналитической геометрии, линии в пространстве отвечают два уравнения с тремя координатами, то есть уравнение (2.10) являются уравнениями траектории точки в декартовых координатах.
Установим закон движения по траектории. Пусть за промежуток времени dt произошел прирост дуговой координаты dS, равный дифференциала длины дуги S. По известным формулам дифференциальной геометрии элемент дуги dS исчисляется

Кинематика в теоретической механике где Кинематика в теоретической механикедифференциалы координат точки, определяемые Кинематика в теоретической механике

Тогда Кинематика в теоретической механике

Замечания. В механике производная по времени обозначается точкой над функцией. Например,Кинематика в теоретической механике 

Интегрируя выражение (2.11) в промежутке от Кинематика в теоретической механике до бегущей значение t, получим закон движения точки по траектории Кинематика в теоретической механике

Знак «плюс» или «минус» перед интегралом ставится в зависимости от направления движения точки: если точка движется в сторону выбранного положительного направления отсчета дуговой координаты, то ставится знак «плюс», в противном случае — «минус». Начало отсчета дуговой координаты совпадает с начальным положением точки на траектории.

Скорость движения точки

Одной из основных кинематических характеристик движения точки является ее скорость. Скоростью точки называется векторная величина, которая характеризует в каждый момент времени изменение положения и направление движения точки в данной системе отсчета.
Определим скорость точки при различных способах задания ее движения.

Определение скорости точки в случае задавания ее движения векторным способом

Пусть в момент времени t положение точки М определяется радиусомвектором Кинематика в теоретической механике а в момент Кинематика в теоретической механике радиусом-вектором Кинематика в теоретической механике (рис. 2.7). Тогда перемещение точки за промежуток времени Кинематика в теоретической механике определится вектором Кинематика в теоретической механике который будет направлен по хорде Кинематика в теоретической механике 

Кинематика в теоретической механике

Из рис. 2.7 видно, что Кинематика в теоретической механике то есть вектор Кинематика в теоретической механикеперемещения точки М является приростом Кинематика в теоретической механике радиус-вектора Кинематика в теоретической механике за промежуток времени Кинематика в теоретической механике

Введем понятие о средней скорости точки за некоторый промежуток времени. Отношение вектора перемещения Кинематика в теоретической механике к промежутку времени Кинематика в теоретической механикеза который произошло это перемещение, называется средней скоростью точки

Кинематика в теоретической механике

Вектор Кинематика в теоретической механике совпадает по направлению с вектором Кинематика в теоретической механике Очевидно, что чем меньший промежуток Кинематика в теоретической механике тем точнее средняя скорость Кинематика в теоретической механике будет характеризовать движение точки. Чтобы получить действительную характеристику движения, введем понятие скорости точки в заданный момент времени. Скоростью точки в данный момент времени называется векторная величина, которая является границей, к которой следует Кинематика в теоретической механике при Кинематика в теоретической механике.

Кинематика в теоретической механике

Итак, вектор скорости точки в заданный момент времени равен первой производной по времени от радиус-вектора точки

Кинематика в теоретической механике

Поскольку при Кинематика в теоретической механике точка Кинематика в теоретической механике приближается к точке М, а хордаКинематика в теоретической механике — до касательной, проведенной в точке к траектории движения, то и вектор скорости Кинематика в теоретической механике в заданный момент времени направляется по касательной к траектории в сторону движения точки. То есть, вектор скорости точки Кинематика в теоретической механике направленный по касательной к годографу радиус-вектора Кинематика в теоретической механике
Единицей измерения скорости в системе СІ является метр в секунду (м / с).

Определение скорости точки в случае задавания ее движения координатным способом

При координатном способе задания движения точки модуль и направление скорости находят через проекции ее на оси координат, согласно следующей теореме: проекции скорости точки на неподвижные оси равны первым производным от соответствующих координат точки по времени.

Скорость движения точки в декартовых координатах

Рассмотрим определение скорости точки в случае задавания ее движения координатным
способом в декартовой системе координат. 

Пусть движение точки М задано в системе координат Кинематика в теоретической механике уравнениями (2.2). Тогда, согласно с (2.9), имеем Кинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике

Учитывая, что орты Кинематика в теоретической механике Кинематика в теоретической механикепостоянные для выбранной системы координат по величине и направлению, скорость точки согласно (2.15) равна Кинематика в теоретической механике

С другой стороны, разложив вектор скорости Кинематика в теоретической механикена компоненты по осям координат (рис. 2.8), получим Кинематика в теоретической механике

где Кинематика в теоретической механике проекции вектора скорости Кинематика в теоретической механике на координатные оси.

Сравнивая формулы (2.16) и (2.17), находим Кинематика в теоретической механике

Итак, проекции вектора скорости точки на оси декартовой системы координат равны первым производным по времени от соответствующих координат точки.

Как видно из рис. 2.8, модуль вектора скорости и его направляющие косинусы определяются по формулам

Кинематика в теоретической механике

Формулы (2.18) и (2.19) аналитически определяют вектор скорости точки в декартовой системе координат.

Скорость движения точки в полярных координатах

Рассмотрим способ определения скорости точки, когда ее движение задано в полярных координатах уравнениями (2.5). Для этого введем единичные вектора: Кинематика в теоретической механике который
направлен по радиусу ОМ от точки О до точки М, и Кинематика в теоретической механикенаправление которого получим поворотом вектора Кинематика в теоретической механике на угол Кинематика в теоретической механике в направлении роста угла φ, то есть против хода
часовой стрелки (рис. 2.9).

 Кинематика в теоретической механике

Тогда Кинематика в теоретической механике. Скорость точки согласно (2.15) Кинематика в теоретической механике

Выразим векторы Кинематика в теоретической механикеи Кинематика в теоретической механике через ортыКинематика в теоретической механикеи Кинематика в теоретической механикедекартовых координат и полярный угол φ

Кинематика в теоретической механике

Найдем производные по времени от полученных выражений для Кинематика в теоретической механикеиКинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике

Тогда формула (2.20) принимает вид Кинематика в теоретической механике

Выражение (2.22) является расписанием вектора скорости точки на две составляющие,
которые называются соответственно радиальной Кинематика в теоретической механикеи трансверсальной Кинематика в теоретической механике скоростями (рис. 2.9)

Кинематика в теоретической механике

где Кинематика в теоретической механике

Проекции радиальной и трансверсальной скоростей на оси полярной системы координат, положительные направления которых совпадают с направлениями единичных векторов Кинематика в теоретической механике
  и Кинематика в теоретической механикеравны

 Кинематика в теоретической механике

В зависимости от знаков производных Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике радиальная и трансверсальная скорости могут быть положительными и отрицательными. Модуль и направление вектора скорости точки найдем по формулам 

Кинематика в теоретической механике

где Кинематика в теоретической механикеугол образованный вектором скорости Кинематика в теоретической механикес положительным радиальным направлением.

Скорость точки с натурального способа задания ее движения

Определим скорость движения точки, считая, что движение задано натуральным способом, то есть известные траектория движения, начало и направление отсчета дуговой координаты и уравнения движения точки по траектории Кинематика в теоретической механике Положение точки на траектории определим соответствующим радиусом-вектором Кинематика в теоретической механике который будет функцией дуговой координаты (рис. 2.10), то есть Кинематика в теоретической механике

Поскольку дуговая координата является функцией времени, то радиус-вектор Кинематика в теоретической механике будет
сложной функцией времени

 Кинематика в теоретической механике

Если за промежуток времени Кинематика в теоретической механике точка переместится из положения Кинематика в теоретической механике в Кинематика в теоретической механике то Кинематика в теоретической механикеесть приростом дуговой координаты, а Кинематика в теоретической механике является приростом радиусавектора Кинематика в теоретической механикекоторый равный Кинематика в теоретической механике На основании формул (2.14) и (2.26)
вектор скорости Кинематика в теоретической механике определится

Кинематика в теоретической механике

Рассмотрим векторную величинуКинематика в теоретической механике

Как известно из дифференциальной геометрии, предел отношения длины дуги до хорды, что стягивает ее, по модулю равен единице, а предельное положение хорды Кинематика в теоретической механике совпадает с касательной к кривой в точке M, поэтому Кинематика в теоретической механике

где Кинематика в теоретической механике единичный вектор касательной к кривой, направленный в сторону увеличения дуговой координаты.

Действительно, при Кинематика в теоретической механике векторКинематика в теоретической механике направленный в сторону увеличения дуговой
координаты (рис. 2.10, а), а при Кинематика в теоретической механикевектор Кинематика в теоретической механике направленный противоположно вектору Кинематика в теоретической механике (рис. 2.10, б). Итак, в обоих случаях направление вектора Кинематика в теоретической механикене зависит от знака дуговой координаты и направляется в сторону увеличения дуговой координаты. 

Кинематика в теоретической механике

Учитывая вышеизложенное, формулу (2.27) можно записать в виде Кинематика в теоретической механике

Модуль (величина) скорости

 Кинематика в теоретической механике

Формула (2.27) определяет вектор скорости точки с натурального способа задания ее движения. Умножив скалярно почленно это равенство на вектор Кинематика в теоретической механике получим

Кинематика в теоретической механике

или, поскольку Кинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике

Итак, производная Кинематика в теоретической механике  является проекцией вектора скорости на касательную к
траектории и формулу (2.27) можно записать в виде Кинематика в теоретической механике

Алгебраическое значение скорости точки — это проекция вектора скорости на касательную ось. Она определяется формулой (2.30). 

Если Кинематика в теоретической механике то точка движется в направлении роста дуговой координаты и направление скорости Кинематика в теоретической механикесовпадает с направлением орта Кинематика в теоретической механикеПри Кинематика в теоретической механике точка движется в направлении падения дуговой координаты и вектор скоростиКинематика в теоретической механикепротивоположный направлению орта Кинематика в теоретической механике

Годограф скорости точки

Пусть точка М движется по криволинейной траектории. скорость точки при этом будет меняться как по величине, так и по направлению. На рис. 2.11, а показан ряд положений точки М на траектории и ее скорости Кинематика в теоретической механике в этих положениях.

Кинематика в теоретической механике Кинематика в теоретической механике

Выберем произвольную неподвижную точку Кинематика в теоретической механике в пространстве и перенесем к ней
параллельно самим себе векторы скоростей (рис. 2.11, б).Поскольку вектор Кинематика в теоретической механике является непрерывной функцией времени, то в конце перенесенных векторов образуют кривую, которая называется годографом вектора скорости. 

Итак, годографом скорости называется геометрическое место концов векторов скорости подвижной точки, отложенных от произвольной точки пространства.

Найдем уравнение годографа скорости. Для этого через неподвижную точку Кинематика в теоретической механикепроведем оси декартовой системы координат Кинематика в теоретической механике (Рис. 2.12).

Кинематика в теоретической механике

Радиусом-вектором произвольной точки N на годограф будет вектор скорости Кинематика в теоретической механике а координаты точки равны проекциям вектора Кинематика в теоретической механикена оси координат:

Кинематика в теоретической механике

Параметрические уравнения годографа скорости точки запишем в виде: 

Кинематика в теоретической механике

Ускорение движения точки

Рассмотрим ускорение точки, которое также является одной из основных кинематических характеристик ее движения. Ускорением точки называется векторная величина, характеризующая изменение вектора скорости точки по величине и направлению с течением времени. Найдем ускорение точки при различных способах задания ее движения.

Ускорение точки с векторного способа задания ее движения

Пусть подвижная точка М в момент времени t имеет скорость Кинематика в теоретической механике а в момент времениКинематика в теоретической механике и занимает положение Кинематика в теоретической механике(Рис. 2.13, а).

Кинематика в теоретической механике

Найдем прирост Кинематика в теоретической механикевектора скорости за промежуток времени Кинематика в теоретической механике Для этого перенесем к точке М вектор Кинематика в теоретической механике оставляя неизменными его модуль и направление, и Кинематика в теоретической механике найдем как разность векторов Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике

Отношение прироста вектора скорости Кинематика в теоретической механикедо времени Кинематика в теоретической механике за который происходит этот прирост, называется вектором среднего ускорения точки за этот промежуток времени:

Кинематика в теоретической механике

Формула (2.31) указывает на то, что вектор Кинематика в теоретической механике имеет такой же направление, как и вектор Кинематика в теоретической механикеИзобразим его на рис. 2.13, а в точке М. Видим, что вектор Кинематика в теоретической механике направлен в сторону вогнутости траектории. Очевидно, что вектор среднего ускорения отражает изменение скорости тем точнее, чем меньшем промежутке времени он отвечает. Поэтому естественно рассмотреть границу, к которой приближается среднее ускорение Кинематика в теоретической механике
когда соответствующий промежуток времени Кинематика в теоретической механикестремится к нулю. Эту границу называют ускорением точки в заданный момент времени:

Кинематика в теоретической механике

Зависимость (2.32) с учетом (2.15) запишем в виде 

Кинематика в теоретической механике

Итак, вектор ускорения точки в заданный момент времени равна первой производной по времени от вектора скорости точки, или второй производной по времени от радиус-вектора этой точки.

Установим направление вектора ускорения. Для этого построим годограф вектора скорости на рис. 2.13, б. Вектор среднего ускорения Кинематика в теоретической механикенаправленный по хорде Кинематика в теоретической механикеКогда Кинематика в теоретической механике то точка Кинематика в теоретической механике приближается к точке N и секущая Кинематика в теоретической механике совпадает в предельном положении с касательной к годографа скорости. Из этого следует, что вектор ускорения точкиКинематика в теоретической механике направляется по касательной к годографа скорости. Если этот вектор перенести на траекторию движения точки (рис. 2.13, а), то видно, что он направлен в сторону вогнутости траектории. 

Стоит заметить, что приведенный выше способ нахождения направления ускорения представляет лишь теоретический интерес. во время практического решения задач пользуются удобными методами нахождения направления ускорения, которые будут приведены ниже. Единицей измерения ускорения в системе СІ является метр в секунду в
квадрате Кинематика в теоретической механике

Ускорение точки при задании ее движения координатным способом

1. Ускорение движения точки в декартовых координатах

Определим ускорение точки в декартовой системе координат.

Кинематика в теоретической механике
Пусть движение точки М задано в системе координатКинематика в теоретической механике (рис. 2.14) уравнениями
Кинематика в теоретической механике Запишем выражение для радиуса-вектора движущейся точки Кинематика в теоретической механике

На основании (2.33) и, учитывая, что векторы Кинематика в теоретической механикеимеем Кинематика в теоретической механике

Разложим вектор Кинематика в теоретической механике на составляющие по осям координатКинематика в теоретической механике

где Кинематика в теоретической механике проекции вектора ускорения на оси координат.
Сравнивая (2.34) и (2.35), получимКинематика в теоретической механике

Учитывая (2.18), формулы (2.36) можно записать в виде Кинематика в теоретической механике

Итак, проекции вектора ускорения на декартовы оси координат равны вторым производным по времени от соответствующих координат точки или первым производным по времени от проекций скорости на соответствующие оси.

Модуль вектора ускорения и его направляющие косинусы определяются по формулам Кинематика в теоретической механике

2. Ускорение движения точки в полярных координатах
Пусть движение точки М в плоскости задано в полярных координатах Кинематика в теоретической механике Используя равенство (2.22), определим ускорение точки в полярных координатах 

Кинематика в теоретической механике

Но согласно (2.21)

Кинематика в теоретической механике

Учтя выражения этих производных в формуле (2.39) и сведя подобные слагаемые, получим выражение для ускорения точки Кинематика в теоретической механике

Из формулы (2.40) видно, что проекции ускорения на радиальный и трансверсально направления соответственно равны

Кинематика в теоретической механике

Поскольку Кинематика в теоретической механикеи Кинематика в теоретической механикевзаимно перпендикулярны, то модуль полного ускорения найдем по формуле Кинематика в теоретической механике

Для определения направления вектора ускорения найдем угол γ, образованный вектором Кинематика в теоретической механике с положительным радиальным направлением

Кинематика в теоретической механике

Ускорение точки с натурального способа задавания ее движения

Прежде чем перейти к определению ускорения точки с натурального способа задания ее движения, напомним некоторые положения дифференциальной геометрии, касающихся теории кривых в трехмерном пространстве.

1. Натуральная система координат

Кинематика в теоретической механике

На пространственной кривой АВ, которая является траекторией движения точки, рассмотрим два близкие положение точки Кинематика в теоретической механикеи Кинематика в теоретической механике (Рис. 2.15). Проведем в этих точках
касательные к кривой, орты которых обозначим соответственно Кинематика в теоретической механикеи Кинематика в теоретической механикеПеренесем вектор 
Кинематика в теоретической механикепараллельно самому себе в точку М и через векторы Кинематика в теоретической механикеи Кинематика в теоретической механикепроведем плоскость І. Предельное положение этой плоскости при приближении точки Кинематика в теоретической механике  к Кинематика в теоретической механике называется
ристической плоскостью.

Через точку М перпендикулярно к касательной Кинематика в теоретической механике проведем плоскость, которая называется нормальной плоскостью (плоскость ІІ на рис. 2.15). Очевидно, что любая прямая, проведенная в этой плоскости через точку М, будет перпендикулярна к Кинематика в теоретической механикето есть будет нормали кривой.

Линия пересечения ристической и нормальной плоскости называется главной нормалью кривой. Плоскость, проведенная через точку М перпендикулярно к главной нормали, называется спрямною плоскостью (плоскость ІІІ на рис. 2.15). Линия пересечения спрямнои и нормальной плоскости называется бинормаллю кривой. Соприкасающаяся, нормальная и спрямна плоскости образуют натуральный трехгранник.

Итак, в каждой точке кривой можно провести три взаимно перпендикулярные направления и принять их за координатные оси: касательную, направленную в сторону увеличения дуговой координаты; главную нормаль, направленную в сторону вогнутости кривой, и бинормаль, направленную перпендикулярно касательной и главной нормали так, чтобы образовывать с ними правую систему осей. Орты этих осей обозначаются соответственно Кинематика в теоретической механике Эти оси образуют натуральную систему координат с началом в подвижной точке, а следовательно, и движутся вместе с ней, оставаясь взаимно перпендикулярными.

2. Кривизна кривой

В п. 2.3.3 было показано, что орт Кинематика в теоретической механикекасательной оси направляется в сторону роста дуговой координаты и определяется по формуле

Кинематика в теоретической механике

Модуль орта Кинематика в теоретической механикепостоянный, равный единице, но направление Кинематика в теоретической механикеменяется при перемещении точки по криволинейной траектории, то есть орт Кинематика в теоретической механикеявляется изменяемым вектором. Поскольку его направление зависит от положения точки на траектории, то орт Кинематика в теоретической механикебудет векторной функцией дуговой координаты S, то есть Кинематика в теоретической механике

Проследим, чему равно отношение прироста орта Кинематика в теоретической механике к приросту дуговой координаты Кинематика в теоретической механике Для этого на криволинейной траектории движения точки возьмем два близких ее положения Кинематика в теоретической механикеи Кинематика в теоретической механикекоторым соответствуют значение дуговых координат (рис. 2.16)

Кинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике

Проведем орты Кинематика в теоретической механикеи Кинематика в теоретической механике касательных в этих точках. Определим прирост орта Кинематика в теоретической механике на участке дуги Кинематика в теоретической механике Для этого перенесем в точку М орт Кинематика в теоретической механике Как видно из рис. 2.16, Кинематика в теоретической механике

Разделив Кинематика в теоретической механике на прирост дуговой координаты Кинематика в теоретической механикеполучим векторКинематика в теоретической механике характеризующий поворот касательной к кривой на отрезке дуги Кинематика в теоретической механикеВектор Кинематика в теоретической механике направлен так, как вектор Кинематика в теоретической механикето есть в сторону вогнутости кривой и размещен в плоскости векторов Кинематика в теоретической механике Граница, к которой следует вектор Кинематика в теоретической механикепри Кинематика в теоретической механике называется вектором кривизны траектории в данной точке, то есть  Кинематика в теоретической механике

Определим модуль вектора кривизны Кинематика в теоретической механике Для этого рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный ортами Кинематика в теоретической механике и вектором Кинематика в теоретической механике (Рис. 2.16). Модуль вектора Кинематика в теоретической механикенайдем как длину основания в этом треугольнике Кинематика в теоретической механике

Угол Кинематика в теоретической механике образованный сторонами Кинематика в теоретической механикеи Кинематика в теоретической механикеназывается углом смежности. При малом расстоянии между точками Кинематика в теоретической механикеи Кинематика в теоретической механике угол смежности также мал, а следовательно, Кинематика в теоретической механике

Тогда Кинематика в теоретической механике

С дифференциальной геометрии известно, что предел отношения угла смежности Кинематика в теоретической механикек приросту дуговой координатыКинематика в теоретической механике при Кинематика в теоретической механикеравна кривизне кривой K, то есть Кинематика в теоретической механике где ρ — радиус кривизны траектории в данной точке М. Итак, Кинематика в теоретической механике

Установим направление вектора кривизны Кинематика в теоретической механикеГраничным положением плоскости треугольника, образованного векторами Кинематика в теоретической механикеи Кинематика в теоретической механике есть соприкасающаяся плоскость. Итак, вектор Кинематика в теоретической механике лежит в соприкасающихся плоскости. Угол β, образованный вектором
Кинематика в теоретической механике с касательной в точке М, определится из вышеперечисленного равнобедренного треугольника

Кинематика в теоретической механике

При приближении точки Кинематика в теоретической механике к точке М угол смежности Кинематика в теоретической механике направляется к нулю, поэтому

Кинематика в теоретической механике

Поскольку вектор кривизны лежит в соприкасающихся плоскости и перпендикулярно к орту Кинематика в теоретической механикето он направлен по главной нормали к центру кривизны кривой. Представим вектор кривизны Кинематика в теоретической механике в виде

Кинематика в теоретической механике

3. Определение ускорения движения точки. Касательное и нормальное ускорение

Определим ускорение точки с натурального способа задания ее движения. Используя формулы (2.33) и (2.28), получим Кинематика в теоретической механике

Определим, какой смысл имеет вектор Кинематика в теоретической механике Как было показано выше, вектор Кинематика в теоретической механикеявляется функцией дуговой координаты S, которая в свою очередь является функцией времени t. Итак, вектор Кинематика в теоретической механике можно рассматривать как сложную функцию времени t.
Поэтому Кинематика в теоретической механике

Учитывая формулы (2.47) и (2.45), выражение (2.46) запишем Кинематика в теоретической механике

Из формулы (2.48) следует, что ускорение состоит из двух векторов. Первое слагаемое Кинематика в теоретической механикеявляется вектором, направленным по касательной к траектории, и называется касательным ускорением Кинематика в теоретической механике 

Кинематика в теоретической механике

Второе слагаемое Кинематика в теоретической механикеявляется вектором, направленным по главной нормали, и называется нормальным ускорением Кинематика в теоретической механике 

Кинематика в теоретической механике

Таким образом, полное ускорение точки равна векторной сумме касательного и
нормального ускоренного:

Кинематика в теоретической механике

Выясним, который кинематический смысл имеют две составляющие ускорения. Алгебраическое значение касательного ускорения согласно (2.49) и (2.30) можно записать в виде

Кинематика в теоретической механике

Как видно из формулы (2.52), касательное ускорение характеризует изменение скорости точки по величине и равна второй производной по времени от дуговой координаты или первой производной по времени от алгебраической величины скорости точки.

Направление касательного ускорения Кинематика в теоретической механике зависит от знака производной Кинематика в теоретической механике

Если знак производной совпадает со знаком алгебраической величины скорости Кинематика в теоретической механике
то вектор Кинематика в теоретической механике совпадает по направлению с вектором скорости Кинематика в теоретической механике(рис. 2.17, а) и движение точки будет ускоренным. В случае, когда знаки производной Кинематика в теоретической механике и алгебраической величины скорости Кинематика в теоретической механике разные, вектор Кинематика в теоретической механике напрямляеться противоположно вектору Кинематика в теоретической механике(рис. 2.17, б) и движение точки будет замедленным.

Кинематика в теоретической механике

Скалярный множитель в формуле (2.50) есть всегда положительным, поэтому величина (модуль) нормального ускорения равен 

Кинематика в теоретической механике

Вектор Кинематика в теоретической механикевсегда напрямляеться по главной нормали к центру кривизны и характеризует изменение скорости по направлению.

Поскольку векторы Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике перпендикулярны между собой, то модуль полного ускорения определим по формуле 

Кинематика в теоретической механике

Вектор полного ускорения Кинематика в теоретической механике напрямляеться по диагонали прямоугольника, построенного на векторах Кинематика в теоретической механикеи Кинематика в теоретической механике а угол, образованный этим вектором с радиусом кривизны траектории ρ, определится по формуле 

Кинематика в теоретической механике

Замечания. Вектор полного ускорения Кинематика в теоретической механике лежит в соприкасающихся плоскостях, а это значит, что его проекции на оси натуральной системы координат равны:

Кинематика в теоретической механике

Если движение точки задано координатным способом, а необходимо определить ее касательное и нормальное ускорения, то сначала по формулам (2.19) и (2.38) определяют модули скорости и ускорения точки 

Кинематика в теоретической механике

Формуле (2.52) можно придать другой вид:

Кинематика в теоретической механике

или

Кинематика в теоретической механике

где знак «плюс» в ответе избирается, если Кинематика в теоретической механикеа знак «минус» — в противном случае.

Нормальное ускорение точки определяется по формуле (2.54) Кинематика в теоретической механике

Радиус кривизны траектории находим из формулы (2.53): 

Кинематика в теоретической механике

Зависимости для кинематических характеристик движения точки при различных
способах задания движения сведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Кинематические характеристики движения точки

Кинематика в теоретической механике

Отдельные случаи движения точки

Проследим, как зависит характер движения точки от значений касательного и нормального ускорение.

1. Если во время движения точки в течение некоторого промежутка времени ее нормальное и касательное ускорение равны нулюКинематика в теоретической механике то и полное ускорение точки на этом промежутке времени будет равно нулю Кинематика в теоретической механикеВ этом случае точка движется равномерно и прямолинейно Кинематика в теоретической механикеДействительно, если Кинематика в теоретической механикеа это значит, что траектория движения прямая. Когда Кинематика в теоретической механикето есть движение равномерное.

2. Если в течение некоторого промежутка времени касательное ускорение точки равно нулюКинематика в теоретической механике а нормальное ускорение не равно нулю Кинематика в теоретической механикето происходит изменение скорости точки только по направлению, то есть точка движется равномерно по криволинейной траектории Кинематика в теоретической механике В этом случае полное ускорение точки равно нормальному ускорению

Кинематика в теоретической механике

Найдем уравнение равномерного движения точки. Пусть в начальный момент времени точка находилась на расстоянии Кинематика в теоретической механике от начала отсчета на траектории. Из формулы (2.30) имеем 

Кинематика в теоретической механике

Интегрируя это уравнение в соответствующих пределах, получим:

Кинематика в теоретической механике

Уравнением равномерного движения точки по траектории будет

Кинематика в теоретической механике

Замечания. если Кинематика в теоретической механике только в определенный момент времени, то движение
точки неравномерно, а в данный момент времени скорость ее достигает экстремального значения (если Кинематика в теоретической механике меняет знак).

3. Если во время движения точки в течение некоторого промежутка времени нормальное ускорение точки равно нулю Кинематика в теоретической механикеа касательное ускорение не равно нулю Кинематика в теоретической механике то скорость точки Кинематика в теоретической механике а значит, Кинематика в теоретической механике и точка движется прямолинейно и неравномерно.

Ускорение точки в этом случае Кинематика в теоретической механике(рис. 2.18). причем, если направление векторов Кинематика в теоретической механике
и Кинематика в теоретической механике совпадает, то есть знаки Кинематика в теоретической механикеи Кинематика в теоретической механике одинаковы, то движение точки будет ускоренным (рис. 2.18, а).

Если же направления векторов Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механикепротивоположные, то есть знаки Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике есть
разные, то движение точки будет замедленным (рис. 2.18, б). Если Кинематика в теоретической механикетолько в определенный момент времени, то движение точки не является прямолинейным. В этот момент времени она или проходит точку перегиба траектории Кинематика в теоретической механике (рис. 2.18, в), или
меняет направление движения на противоположноеКинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике

4. Если в течение некоторого промежутка времени касательное и нормальное ускорение не равно нулю Кинематика в теоретической механике Кинематика в теоретической механике то скорость точки меняется как по величине, так и по направлению. В этом случае точка совершает криволинейное неравномерное движение. Модуль ускорение точки определим по формуле (2.54).

5. Если во время движения точки по траектории касательное и нормальное ускорение не равно нулю Кинематика в теоретической механикеи касательное ускорение постоянное по модулю, то есть Кинематика в теоретической механике то движение точки будет равномерным криволинейным.
Найдем уравнение равномерного движения точки по траектории, считая, что в начальный момент времени Кинематика в теоретической механике начальная скорость точки равнялась Кинематика в теоретической механике а начальное значение дуговой координаты Кинематика в теоретической механике
Согласно формуле (2.52) 

Кинематика в теоретической механике

Разделим переменные величины и проинтегрируем уравнение в пределах, что соответствуют начальном и бегущей положениям точки:

Кинематика в теоретической механике

Выражение (2.58) является законом изменения скорости по ровносменного движения точки.

Поскольку Кинематика в теоретической механикеилиКинематика в теоретической механике

Проинтегрируем последнее выражение и получим:

Кинематика в теоретической механике

откуда Кинематика в теоретической механике

Зависимость (2.59) является уравнением ровносменного движения точки по траектории.
ПриКинематика в теоретической механике движение будет равноускооренное при Кинематика в теоретической механике — ровнозамедленный.

Отдельные случаи движения точки в зависимости от ее кинематических параметров
приведены в табл. 2.2.

Таблица 2.2

Отдельные случаи движения материальной точки

Кинематика в теоретической механике

Примеры на определение кинематических характеристик движения точки

Задача 2.1. В механизме эллипсограф ползуны А и В соединены между собой линейкой АВ и могут двигаться по двум взаимно-перпендикулярных направлениях (рис. 2.19).

Механизм приводится в движение кривошипом ОС, который вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг точки О.
Найти уравнение траектории, скорость, уравнение годографа скорости и ускорения точки М линейки АВ, если: 

Кинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике

Решение. Как было показано выше, для нахождения кинематических характеристик движения точки необходимо иметь уравнение ее движения, заданные одним из способов. В данной задачи уравнения движения точки М непосредственно не заданы, а потому
решения ее необходимо начинать с нахождения этих уравнений.

Составим уравнения движения точки в декартовой системе координат. для этого оси Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике направим вдоль ОВ и ОА. Найдем координаты Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механикеточки М, как функции времени t.
Из рис. 2.20 видно, что

Кинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике

Согласно условию задачи Кинематика в теоретической механикеТогда уравнение движения точки М имеют вид Кинематика в теоретической механике

Для определения уравнения траектории точки М исключим время t из уравнений движения
(Здесь и далее индекс М не пишем) 

Кинематика в теоретической механике

Обе части этих равенств поднимем к квадрату и почленно добавим.
Получим 

Кинематика в теоретической механике

Итак, траектории точки М будет эллипс с полуосями а, b.

Для определения скорости точки М в произвольный момент времени используем формулы (2.18) и (2.19). тогда

Кинематика в теоретической механике

Направление вектора Кинематика в теоретической механике в любой момент времени определяется по формулам

Кинематика в теоретической механике

Найдем уравнение годографа скорости по формулам

Кинематика в теоретической механике

Исключим из этих уравнений параметр t:

Кинематика в теоретической механике

Годографом скорости является эллипс с полуосями Кинематика в теоретической механикеи Кинематика в теоретической механике
Ускорение точки М найдем за его проекциями на оси координат по формулам (2.37), (2.38)

Кинематика в теоретической механике

Итак, ускорение точки пропорционально ее расстоянию от начала координат OM = r.
Направление вектора ускорения определим за направляющими косинусами

Кинематика в теоретической механике

Заметим, что в данной задаче величины Кинематика в теоретической механикеиКинематика в теоретической механикеявляются направляющими косинусами радиус-вектора Кинематика в теоретической механике точки М. Поэтому вектор ускорения Кинематика в теоретической механикенаправлен по линии ОМ, но противоположно вектору Кинематика в теоретической механикео чем свидетельствует знак минус при проекциях Кинематика в теоретической механикеи Кинематика в теоретической механике

Задача 2.2. Движение точки задано уравнениями Кинематика в теоретической механике(X, у — в сантиметрах, t — в секундах). Определить уравнение траектории точки и для момента времени t = 2 с найти положение точки на траектории, ее скорость, осязаемое, нормальное и полное ускорения, а также радиус кривизны траектории в этом положении точки.

Решение. Заданные уравнения движения точки являются параметрическими уравнениями
траектории. Исключим из них время t и получим

Кинематика в теоретической механике

Поскольку время Кинематика в теоретической механике то уравнение траектории точки запишется

Кинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике

Итак, траекторией точки является правая ветвь параболы (рис. 2.21). Покажем на ней положение точки М. При Кинематика в теоретической механике Определим проекции скорости точки на оси координат

Кинематика в теоретической механике

Модуль скорости точки равен Кинематика в теоретической механике

Ускорение точки определим аналогично по проекциями на оси координат

Кинематика в теоретической механике

Величина касательного ускорения по формуле (2.52) равна 

Кинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике

Найдем нормальное ускорение точки по формуле Кинематика в теоретической механике

Радиус кривизны траектории в данной точке М по формуле (2.53) равна

Кинематика в теоретической механике

Векторы Кинематика в теоретической механике изображены на рис. 2.21.

Задача 2.3. Точка движется по окружности радиуса R = 20 см по законуКинематика в теоретической механике (S в сантиметрах, t — в секундах). Найти скорость, касательное, нормальное и полное ускорения точки в момент Кинематика в теоретической механике

Решение. Как видно из условия задачи, движение точки задано натуральным способом. Алгебраические величины скорости и касательного ускорения равны Кинематика в теоретической механике

При Кинематика в теоретической механике скорость Кинематика в теоретической механикекасательное ускорение Кинематика в теоретической механике

Таким образом, полное ускорение точки в данный момент времени равна ее нормальном ускорению Кинематика в теоретической механике

Задача 2.4. Самолет приземляется со скоростью 108 км / ч.  Проехав 100 м, он остановился. Считая движение самолета прямолинейным и ровнозамедленным определить его ускорения. 

Решение. Поскольку движение самолета ровнозамедленное то касательное ускорениеКинематика в теоретической механике Согласно формулам (2.58) и (2.59) Кинематика в теоретической механике

В данной задачи Кинематика в теоретической механике

Время движения самолета к остановке и пройденный им путь определим, принимая конечные условия движения: при Кинематика в теоретической механике

Тогда Кинематика в теоретической механике

Откуда Кинематика в теоретической механике

Поскольку Кинематика в теоретической механике то есть ровнозамедленное движение самолета.

Задачи по кинематике с решениями и примерами

В данной части кроме минимума теоретических знаний, какими должен овладеть студент по кинематике, приводятся примеры решения различных задач, исходные данные в
индивидуального расчетного-графического задания и образец его выполнения.

Задачи расчетно-графического задания охватывают материал следующих тем кинематики:

  • — кинематика точки (тема КИ);
  • — поступательное и вращательное движения тела (тема К2);
  • — плоское движение тела (тема К3);
  • — сложное движение точки (тема К4).

Задачи 1,3 и 4 объединены в общие выходные данными.

Графические построения к заданию по кинематике выполняются на листе бумаги формата А3.

Вариант расчетно-графического задания определяется двумя цифрами, которые представляют собой две последние цифры номера зачетной книжки или задаются преподавателем.

Для тем К1, К3 и К4 первая цифра шифра определяет номер варианта в таблице К1, а вторая — в таблице К2. Для темы К2 первая цифра шифра определяет номер рисунка (рис.
К2.2), а вторая — вариант в таблице К3.

Кинематика точки и её задачи

Краткие сведения из теории:

Кинематика — раздел теоретической механики, в котором изучаются геометрические свойства механического движения материальных тел без учета условий и причин, которые вызывают или меняют это движение, то есть без учета масс тел и сил  которые действуют на эти тела.

Основной задачей кинематики точки является обозначение ее движения и определения основных характеристик этого движения: траектории, пройденного пути, перемещения, скорости и ускорение в любой момент времени относительно выбранной
системы отсчета.

При координатном способе определения движения точки его кинематические уравнения выражены зависимостью координат точки от времени. В прямоугольной (декартовой) системе координат Кинематика в теоретической механике эти уравнения имеют вид:
Кинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике
Когда точка движется в плоскости, например, Кинематика в теоретической механике то система уравнений упрощается до двух:
Кинематика в теоретической механике
Траекторией точки называется линия, которая описывается подвижной точкой в пространстве. Траектория точки выражается уравнением в виде  зависимости между ее координатами:

Кинематика в теоретической механике

При координатном способе определения движения скорость точки определяется через ее проекции на координатные оси:

Кинематика в теоретической механике

а величина (модуль) скорости соответственно равна:
Кинематика в теоретической механике

Вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки. Единицей измерения скорости в системе СИ есть метр в секунду: Кинематика в теоретической механике

Ускорение точки — векторная величина, которая характеризует быстроту изменения скорости со временем.

При координатном способе определения движения точки проекции ускорения точки на координатные оси равны:
Кинематика в теоретической механике
Величина (модуль) ускорения вычисляется по формулой:
Кинематика в теоретической механике
Единицей измерения ускорения в системе СИ является метр в секунду в квадрате: Кинематика в теоретической механике
Если известна траектория точки и выбрана естественная система координат Кинематика в теоретической механике (ось Кинематика в теоретической механике направить за касательной, а ось Кинематика в теоретической механике перпендикулярно к Кинематика в теоретической механике в сторону центра кривизны) то ускорение точки (рис. К1.1) можно разложить на составляющие тангенциальную (или касательную) за осью Кинематика в теоретической механике и нормальную (или

центростремительную) по оси Кинематика в теоретической механике

Тангенциальное ускорение Кинематика в теоретической механике направленное вдоль касательной траектории и по модулю равна:
Кинематика в теоретической механике
При этом, если величины Кинематика в теоретической механике и V имеют одинаковые знаки, то векторы Кинематика в теоретической механике
и Кинематика в теоретической механике направлены в одну сторону, если же величины Кинематика в теоретической механике и V имеют разные знаки, векторы Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике направлены в разные стороны.

Если дифференцировать по времени выражение скорости точки при ее движении в плоскости Кинематика в теоретической механике то получим:

Кинематика в теоретической механике

Нормальное Кинематика в теоретической механике ускорение всегда направлено вдоль нормали до траектории в сторону центра кривизны и равняется:
Кинематика в теоретической механике
где Кинематика в теоретической механике радиус кривизны траектории в данной точке.

Полное же ускорение через нормальную и тангенциальную составляющую соответственно равно:

Кинематика в теоретической механике
 

Порядок решения задач по кинематике точки

При решении задач на определение скорости и ускорение точки нужно придерживаться следующего порядка:

1. Выбрать систему координат.

2. Составить уравнение движения точки в выбранной системе координат.

3. Дифференцируя уравнение движения точки определить проекции вектора скорости на оси координат, его величину и направление.

4. Дифференцируя уравнение проекции скорости, определить проекции вектора ускорения на оси координат, его величину и направление.

Примеры решения задач по кинематике точки с решением

Задача 1

Движение точки на плоскости определяется уравнениями:
Кинематика в теоретической механике
Определить уравнение траектории и направление движения точки.
 

Решение.  Уравнение траектории указано в параметрической форме, координаты Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике зависят от параметра Кинематика в теоретической механике (времени).

Чтобы получить уравнение траектории в координатной форме, то есть в виде зависимости Кинематика в теоретической механике необходимо исключить из обоих уравнений движения время Кинематика в теоретической механике

Возведем квадрат левые и правые части уравнений движения:
Кинематика в теоретической механике
или
Кинематика в теоретической механике
Добавим эти уравнения:
Кинематика в теоретической механике
Поскольку 

Кинематика в теоретической механике
Уравнением траектории точки является эллипс с центром в начале системы координат, большая полуось которого равняется 5-ти единицам длины (по оси Кинематика в теоретической механике), а малая (по оси Кинематика в теоретической механике) — 3-ом единицам длины (рис.1).

Кинематика в теоретической механике
В начальный момент времени Кинематика в теоретической механике точка находится в положении
Кинематика в теоретической механике с координатами:
Кинематика в теоретической механике
В начальный момент движения (при росте Кинематика в теоретической механике координата Кинематика в теоретической механике начнет увеличиваться, а координатаКинематика в теоретической механике— уменьшаться.

Таким образом, точка будет двигаться за ходом часовой стрелки.
 

Ответ:

а) уравнение траектории Кинематика в теоретической механике
б) точка движется по ходу часовой стрелки.
 

Задача 2

В механизме (рис.1) тело ОА (кривошип) вращается вокруг неподвижного шарнира О, а тело В(ползун) движется обратно-поступательно по оси Кинематика в теоретической механикеТочка А тела АВ (шатуна) движется по траектории точки А кривошипа, а точка В — по траектории ползуна.
 

Определить уравнение движения и траекторию средней
точки М шатуна и уравнения движения ползуна В, если в начальный момент ползун находился в крайнем правом положении; кривошип ОА вращается с постоянной угловой скоростью Кинематика в теоретической механике

Решение. Для определения траектории точки М изобразим механизм в произвольном положении и составим уравнение ее движения в координатной форме.
Из рис. 1 видно, что:

Кинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике
Поскольку треугольник ОАВ равнобедренный (ОА = АВ), углы АВС и АОС равны между собой и равны Кинематика в теоретической механике

Из треугольника ОАС найдем расстояние OC:
Кинематика в теоретической механикеиз треугольника MBD расстояния CD и MD:
Кинематика в теоретической механике
Тогда:
Кинематика в теоретической механике
Если учесть числовые данные, то уравнения движения точки М приобретут вид:
Кинематика в теоретической механике

Для нахождения траектории точки М возведем уравнение движения к квадрату и добавим:
Кинематика в теоретической механике
Учитывая, что Кинематика в теоретической механике получим выражение для уравнения траектории:
Кинематика в теоретической механике
Таким образом, траекторией точки будет эллипс, одна полуось которого, по оси Кинематика в теоретической механике составляет 1,2 м, а вторая, по оси Кинематика в теоретической механике 0,4 м.

Определим координаты точки В:
Кинематика в теоретической механике
Таким образом, уравнение движения ползуна В будет иметь вид:

Кинематика в теоретической механике
Ответ:  Кинематика в теоретической механике
 

Задача 3

Точка движется по кругу радиусом R =4 м. Путь в метрах, который проходит точка по траектории, в любой момент времени определяется уравнением: Кинематика в теоретической механике

Определить величину ускорения точки и угол Кинематика в теоретической механике который образуют между собой векторы скорости и ускорения в момент времени, когда величина скорости
равняется 6 Кинематика в теоретической механике
Решение. Изобразим траекторию с точкой М в произвольном положении (рис.1).

Кинематика в теоретической механике
Скорость Кинематика в теоретической механике направим по касательной к кругу, нормальное ускорение Кинематика в теоретической механике
— к центру круга, а касательное Кинематика в теоретической механике по скорости, принимая, что оно положительное.

Угол Кинематика в теоретической механике между векторами скорости Кинематика в теоретической механике и полного ускорение Кинематика в теоретической механике равняется:
Кинематика в теоретической механике
Найдем величину нормального ускорения:
Кинематика в теоретической механике
Функциональные зависимости для скорости и касательного ускорения найдем по уравнению движения точки:
Кинематика в теоретической механике
Поскольку для вычисления ускорения надо знать время, когда скорость будет равняться 6 м/с, то из первого уравнения получим:
Кинематика в теоретической механике
Величина касательного ускорения:
Кинематика в теоретической механике
Тогда:
Кинематика в теоретической механике
Полное ускорение точки:
Кинематика в теоретической механике
Ответ:  Кинематика в теоретической механике
 

Задания темы К1

Кинематические уравнения движения точки А тела, что движется в плоскости Кинематика в теоретической механике  имеет вид :
Кинематика в теоретической механике
Коэффициенты Кинематика в теоретической механикеприведены в таблице К1, а коэффициенты Кинематика в теоретической механике и время Кинематика в теоретической механике в таблице К2. Координаты Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике заданные в метрах.

Определить: уравнение траектории, скорость, ускорение точки А и радиус кривизны траектории точки в момент времени Кинематика в теоретической механике Изобразить на рисунке в декартовой системе
координат Кинематика в теоретической механике траекторию точки и ее положение в момент времени Кинематика в теоретической механике Показать составляющие скорости и ускорения, параллельные осям координат, полную
скорость и ускорение, касательное и нормальное ускорение.

Кинематика в теоретической механике

К1.6. Пример решения задания темы К1

Рассмотрим пример при таких исходных данных и коэффициентах: Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике
1. Определение кинематических уровней движения точки А
Подставим значение соответствующих коэффициентов в уравнение (К1.12), тогда:
Кинематика в теоретической механике

После вычислений получим:
Кинематика в теоретической механике
Полученные выражения и являются искомыми кинематическими уравнениями движения точки А.
 

2. Определение уравнения траектории точки А

Для определения уравнения траектории удалим из уравнений (1) параметр Кинематика в теоретической механике С этой целью перенесем в этих уровнях свободный член в левую часть, поделим на коэффициенты при соответствующих тригонометрических функциях и оба уравнения возведем в квадрат. Добавив правые и левые части уравнений и с учетом того, что
Кинематика в теоретической механике получим

Кинематика в теоретической механике

Полученное выражение является уравнением траектории точки А и
представляет собой эллипс с полуосями, по оси Кинематика в теоретической механике с =4,8 м и по
оси Кинематика в теоретической механике d =1,6 м. Центр эллипса лежит в точке с координатами: Кинематика в теоретической механике

Для определения положения точки А на траектории в момент времени Кинематика в теоретической механике подставим значение Кинематика в теоретической механике в уравнение (1):
Кинематика в теоретической механике

3. Определение скорости точки А

Поскольку проекция скорости на ось равна производной по времени от соответствующей координаты (К1.4), то:

Кинематика в теоретической механике

В момент времени Кинематика в теоретической механике получим:

Кинематика в теоретической механике

Отрицательное значение проекции Кинематика в теоретической механике означает, что составляющая Кинематика в теоретической механикевектора полной скорости  Кинематика в теоретической механике направлена в сторону отрицательных значений оси Кинематика в теоретической механике
 

4. Определение ускорения точки А и радиуса кривизны траектории.

Воспользовавшись выражениями (2) определим проекции ускорения точки А на оси Кинематика в теоретической механике и 
Кинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике

В момент времени Кинематика в теоретической механике получаем:

Кинематика в теоретической механике
Полное ускорение в момент времени Кинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике
Знаки минус перед значениями проекций Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике означают, что составляющие Кинематика в теоретической механике
и  Кинематика в теоретической механике вектора полного ускорение  Кинематика в теоретической механике направленные в стороны отрицательных значений соответствующих осей координат.

Из формул (К1.9, К1.11) определим величины тангенциального и нормального ускорения:
Кинематика в теоретической механике
По известной скорости Кинематика в теоретической механике и величиной нормального ускорения Кинематика в теоретической механике из формулы (К1.10) найдём радиус кривизны траектории для этого положения точки:
Кинематика в теоретической механике

5. Графические построения
По результатам расчетов строится чертеж (черта К1.2).

Поскольку полученные размеры измеряются в метрах, а на чертеже откладываются в миллиметрах, то постройки выполняются в определенном масштабе (это же касается и отрезков, которые  изображают на чертежах векторы скоростей и ускорений). Для этого сначала необходимо определить масштабные коэффициенты длин Кинематика в теоретической механике скоростей Кинематика в теоретической механике
и ускорений Кинематика в теоретической механике

Масштабным коэффициентом Кинематика в теоретической механике называется отношение действительной величины к отрезку в миллиметрах, который будет изображать эту величину на чертеже.

Отрезок, изображающий определенную величину на чертеже, подбирают произвольно исходя из следующих соображений:

  • чертеж должен иметь определенные размеры (не быть очень большим, или очень маленьким);
  • по возможности величина масштабного коэффициента должна иметь одну значимую цифру.

По определенными масштабными коэффициентами надо перечислить действительные величины найденных параметров в отрезки, которые будут изображать эти величины на чертеже, и только после этого выполнять построения на чертеже.

Выберем масштабный коэффициент длин Кинематика в теоретической механике При разрешении задачи были определены следующие линейные размеры:
Кинематика в теоретической механике
Выберем любой из этих размеров, например Кинематика в теоретической механике Пусть эту координату на чертеже будет изображать отрезок Кинематика в теоретической механике Тогда масштабный коэффициент длин Кинематика в теоретической механике будет равняться:

Кинематика в теоретической механике

При этом отрезки, которые будут изображать на чертеже линейные величины равны:

Кинематика в теоретической механике

Выберем масштабный коэффициент скоростей Кинематика в теоретической механике

При решении задачи были найдены скорости:

Кинематика в теоретической механике

Выберем любую из этих скоростей, например Кинематика в теоретической механике Пусть эту скорость на чертеже будет изображать отрезок Кинематика в теоретической механике  Тогда масштабный коэффициент скоростей Кинематика в теоретической механике будет равняться:

Кинематика в теоретической механике

При этом отрезки, которые будут изображать на чертеже составляющие скорости будут равняться:

Кинематика в теоретической механике

Выберем масштабный коэффициент ускорений Кинематика в теоретической механике
При решении задачи были найдены ускорения:
Кинематика в теоретической механике

Выберем любое из этих ускорений, например
Кинематика в теоретической механике Пусть это ускорение на чертеже будет изображать отрезок Кинематика в теоретической механикеТогда масштабный коэффициент ускорений Кинематика в теоретической механике будет равняться:
Кинематика в теоретической механике

При этом отрезки, которые будут изображать на чертеже составляющие ускорения будут равны:

Кинематика в теоретической механике

На чертежах (рис К1.2):

1. С произвольной точки О под прямым углом одна к второй проводим координатные оси Кинематика в теоретической механикеи  Кинематика в теоретической механике

2. Строим траекторию точки по известным полуосям эллипса Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике и координатами центра Кинематика в теоретической механике Кинематика в теоретической механике

3. Показываем точку А в момент времени Кинематика в теоретической механике за ее координатами на оси Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике

4. По известным отрезкам Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механикепроекций изображаем параллельные к осям координат составляющие Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике скорости (если проекция отрицательная, то составляющая направлена против положительного направления соответствующей оси);

5. Определяем скорость точки Кинематика в теоретической механике через составляющие по правилу параллелограмма

6. По известным отрезкам Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике проекций изображаем параллельные к осям координат составляющие Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике ускорение (если проекция ускорения отрицательная, то составляющая направлена против положительного направления
соответствующей оси);

7. Определяем ускорение точки Кинематика в теоретической механикечерез составляющие по правилу параллелограмма;

8. Изображаем составляющие ускорения Кинематика в теоретической механикеи Кинематика в теоретической механике в естественной системе координат.

9. По известным направлением Кинематика в теоретической механике и радиусом кривизны Кинематика в теоретической механике определяем положение центра кривизны эллипса в точке А (точка Кинематика в теоретической механике).

Следует помнить , что вектор скорости направлен по касательной траектории точки, а вектор ускорения — в сторону кривизны траектории.

Кинематика в теоретической механике

Кинематика — полная лекция с формулами и теорией с примерами

Кинематикой называется раздел теоретической механики, в котором изучается механическое движение тел с геометрической точки зрения, то есть без учета их масс и сил, что на них действуют.

Движение тел в кинематике рассматривают по отношению к некоторой системе координат, которая связана с другим телом, например, с Землей.

Основная задача кинематики заключается в том, что по уравнениям, которые определяют закон движения данного тела, надо найти все кинематические характеристики движения тела (траектории различных точек, их скорости и ускорения).

Кинематика делится на кинематику точки и кинематику твердого тела.

В первом разделе учебного пособия рассматриваются следующие темы кинематики:

  • Кинематика точки.
  • Поступательное движение тела.
  • Вращательное движение тела вокруг неподвижной оси.
  • Плоское движение тела.
  • Сложное движение точки.

На изучение этих тем отводится восемь занятий.

Кинематика точки

Кинема́тика точки  — раздел кинематики, изучающий математическое описание движения материальных точек. Основной задачей кинематики является описание движения при помощи математического аппарата без выяснения причин, вызывающих это движение.

Траектория и уравнения движения точки

Описать движение точки – это значит указать правило, по которому в любой момент времени Кинематика в теоретической механике можно определить положение точки в пространстве.

Различают три способы описания движения точки: координатный; векторный; естественный.

Координатный способ описания движения точки

Положение точки Кинематика в теоретической механике в пространстве при координатном способе описание движения определяется тремя координатами: Кинематика в теоретической механике (рис.1.1).

Кинематика в теоретической механике

Если точка движется, то эти координаты со временем непрерывно меняются.

Таким образом, для описания движения точки достаточно задать функциональные зависимости вида:

Кинематика в теоретической механике

Уравнения (1.1) называются уравнениями движения точки в прямоугольных координатах.

Движение точки в плоскости, например Кинематика в теоретической механике, определяется двумя уравнениями движения:

Кинематика в теоретической механике

Для описания прямолинейного движения точки, например, по оси Кинематика в теоретической механике , достаточно одного уравнения:

Кинематика в теоретической механике

Определение траектории точки при координатном способе описания ее движения

Траекторией называется та совокупность точек, через которые последовательно проходит тело во время движения в данной системе отсчета.

Траектория – одна из основных характеристик, которая дает представление о движении в целом. Первым признаком, по которому выполняется распределение движений на разные виды, является траектория.

Определение траектории является одной из важных частей задач механики.

В зависимости от формы траектории движение относят к прямолинейному или криволинейному движению.

Уравнение движения точки Кинематика в теоретической механике можно рассматривать как уравнение траектории в параметрической форме.

Для того, чтобы получить уравнение траектории в обычном виде, надо из уравнений движения исключить время Кинематика в теоретической механике . Так, исключив Кинематика в теоретической механике из уравнений движения (1.2), получим одно уравнение вида:

Кинематика в теоретической механике

которое представляет собой уравнение линии на плоскости Кинематика в теоретической механике.

Если исключить время Кинематика в теоретической механике из уравнений движения (1.1), то получим уравнение вида:

Кинематика в теоретической механике

Каждое из уравнений системы (1.5) является уравнением некоторой поверхности, а вместе – уравнением траектории, которая представляет собой линию пересечения этих поверхностей.

Определение скорости и ускорения точки при координатном способе описания ее движения

Скорость точки – векторная величина, которая характеризует изменение положения точки в пространстве с течением времени.

Ускорение точки – векторная величина, которая характеризует изменение вектора скорости с течением времени.

В случае координатного способа описания движения точки по известным зависимостям для координат точки (1.1) сначала определяют проекции вектора скорости на координатные оси:

Кинематика в теоретической механике

а затем модуль скорости точки:

Кинематика в теоретической механике

Направление вектора скорости Кинематика в теоретической механике определяется через направляющие косинусы углов, которые этот вектор образует с соответствующими осями координат:

Кинематика в теоретической механике

Проекции вектора ускорения на координатные оси соответственно равны:

Кинематика в теоретической механике

Модуль вектора ускорения определяется по формуле:

Кинематика в теоретической механике

Направление вектора ускорения Кинематика в теоретической механике также определяется через направляющие косинусы углов, которые вектор образует с соответствующими осями координат:

Кинематика в теоретической механике

Порядок решения задач по кинематике точки

Решение задач на определение закона движения точки и уравнения ее траектории выполняется в такой последовательности:

  1. Выбирается неподвижная система координат, начало которой определяют, исходя из условий задачи.
  2. По условиям задачи в избранной системе координат составляют уравнение движения точки, то есть находят зависимость координат точки от времени.
  3. Из составленных уравнений движения точки можно определить ее положение в любой момент времени, установить направление ее движения, найти траекторию и т.д.

Если по условию задачи надо определить скорость и ускорение точки, то лучше придерживаться такой последовательности:

  1. Выбрать систему координат.
  2. В выбранной системе координат составить уравнения движения (иногда они заданы в условиях задачи).
  3. По уравнениям движения точки определить проекции скорости на оси системы координат, величину скорости и ее направление.
  4. Определить проекции ускорения точки на оси системы координат, величину ускорения и его направление.

Примеры решения задач

Задача №1

Движение точки на плоскости определяется уравнениями:

Кинематика в теоретической механике

Определить уравнение траектории и направление движения точки.

Решение. Уравнение траектории задано в параметрической форме, координаты Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике зависят от параметра Кинематика в теоретической механике (времени). 

Чтобы получить уравнение траектории в координатной форме, то есть в виде зависимости Кинематика в теоретической механике, необходимо исключить из обоих уравнений движения время Кинематика в теоретической механике.

Возведем в квадрат левые и правые части уравнений движения:

Кинематика в теоретической механике

или

Кинематика в теоретической механике

Сложим эти уравнения:

Кинематика в теоретической механике

Поскольку Кинематика в теоретической механике то

Кинематика в теоретической механике

Уравнением траектории точки является эллипс с центром в начале системы координат, большая полуось которого равна 5-ти единицам длины (по оси Кинематика в теоретической механике), а малая (по оси Кинематика в теоретической механике) – 3-м единицам длины (рис.1.2).

Кинематика в теоретической механике(Направление движения точки)

В начальный момент времени Кинематика в теоретической механике точка находится в положении Кинематика в теоретической механике с координатами:

Кинематика в теоретической механике

В начальный момент движения (при росте Кинематика в теоретической механике) координата Кинематика в теоретической механике начнет увеличиваться, а координата Кинематика в теоретической механике − уменьшаться. Таким образом, точка будет двигаться по ходу часовой стрелки.

Ответ: а) уравнение траектории Кинематика в теоретической механике б) точка движется по ходу часовой стрелки.

Задача №2

В механизме (рис.1.3) тело Кинематика в теоретической механике (кривошип) вращается вокруг неподвижного шарнира Кинематика в теоретической механике , а тело Кинематика в теоретической механике (ползун) движется возвратно-поступательно по оси Кинематика в теоретической механике . Точка Кинематика в теоретической механике тела Кинематика в теоретической механике (шатуна) движется по траектории точки Кинематика в теоретической механике кривошипа, а точка Кинематика в теоретической механике – по траектории ползуна.

Кинематика в теоретической механике

Определить уравнение движения и траекторию средней точки Кинематика в теоретической механике шатуна и уравнение движения ползуна Кинематика в теоретической механике, если в начальный момент ползун находился в крайнем правом положении; кривошип Кинематика в теоретической механике вращается с постоянной угловой скоростью Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике

Решение. Для определения траектории точки Кинематика в теоретической механике изобразим механизм в произвольном положении и составим уравнение ее движения в координатной форме.

С рис. 1.3 видно, что:

Кинематика в теоретической механике

Поскольку треугольник Кинематика в теоретической механике равнобедренный (Кинематика в теоретической механике), то углы Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике равны между собой и равны Кинематика в теоретической механике.

Из треугольника Кинематика в теоретической механике найдем расстояние Кинематика в теоретической механике:

Кинематика в теоретической механике

а из треугольника Кинематика в теоретической механике расстояния Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике:

Кинематика в теоретической механике

Тогда:

Кинематика в теоретической механике

Если подставить числовые данные, то уравнения движения точки Кинематика в теоретической механике приобретут вид:

Кинематика в теоретической механике

Для нахождения траектории точки Кинематика в теоретической механике возведем уравнение движения к квадрату и сложим:

Кинематика в теоретической механике

Учитывая, что Кинематика в теоретической механике, получим выражение для уравнения траектории:

Кинематика в теоретической механике

Таким образом, траекторией точки будет эллипс, одна полуось которого, по оси Кинематика в теоретической механике , составляет 1,2 м , а вторая, по оси Кинематика в теоретической механике – 0,4 м.

Определим координаты точки Кинематика в теоретической механике:

Кинематика в теоретической механике

Таким образом, уравнение движения ползуна Кинематика в теоретической механике будет иметь вид:

Кинематика в теоретической механике

Ответ. Кинематика в теоретической механике

Задача №3

Движение точки Кинематика в теоретической механике задано уравнениями:

Кинематика в теоретической механике

где Кинематика в теоретической механике, Кинематика в теоретической механике – в метрах; Кинематика в теоретической механике – в секундах.

Определить траекторию точки, величину и направление скорости и величину и направление ускорения в момент времени Кинематика в теоретической механике

Решение. Для определения траектории точки Кинематика в теоретической механике возведем к квадрату левые и правые части уравнений движения и сложим их:

Кинематика в теоретической механике

Таким образом, уравнение траектории будет иметь вид:

Кинематика в теоретической механике

Траекторией точки Кинематика в теоретической механике будет круг радиусом 10 м с центром в начала системы координат.

Проекции вектора скорости на оси координат равны:

Кинематика в теоретической механике

Модуль вектора скорости:

Кинематика в теоретической механике

Проекции вектора ускорения на оси координат равны:

Кинематика в теоретической механике

Модуль вектора ускорения:

Кинематика в теоретической механике

Из полученных зависимостей следует, что модули скорости и ускорения не зависят от времени, а их проекции на оси являются функциями времени.

Определим для момента времени Кинематика в теоретической механике положение точки на траектории и величины проекций скорости и ускорения.

При Кинематика в теоретической механике угол под знаками косинуса и синуса в уравнениях проекций равен:

Кинематика в теоретической механике

С учетом найденного угла получим:

Кинематика в теоретической механике

На рис.1.4 показана траектория точки, положение точки в момент времени Кинематика в теоретической механике и составляющие векторов скорости и ускорения.

Кинематика в теоретической механике

Составляющие векторы Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике направлены против направления соответствующих осей, поскольку их проекции на эти оси отрицательны.

Ответ. Кинематика в теоретической механике

Задача №4

Движение точки задано уравнениями:

Кинематика в теоретической механике

где Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике — постоянные величины.

Определить уравнение траектории, скорость и ускорение точки, как функцию радиуса-вектора Кинематика в теоретической механике

Решение. Уравнение траектории в координатной форме найдем, исключив время из уравнений движения точки.

Сначала уравнение движения преобразуем в вид:

Кинематика в теоретической механике

Возведем записанные уравнения к квадрату и вычтем от первого второе:

Кинематика в теоретической механике

Таким образом, уравнение траектории точки будет иметь вид:

Кинематика в теоретической механике

Определим проекции вектора скорости на координатные оси:

Кинематика в теоретической механике

Поскольку по условию задачи:

Кинематика в теоретической механике

то 

Кинематика в теоретической механике

Тогда:

Кинематика в теоретической механике

Определим проекции вектора ускорения на координатные оси:

Кинематика в теоретической механике

Учитывая, что Кинематика в теоретической механике, то 

Кинематика в теоретической механике

Ответ. Кинематика в теоретической механике

Задачи, которые рекомендуются для самостоятельной работы: 11.2; 11.5; 12.13 [2].

Естественный способ описания движения точки

Естественный способ описания движения точки заключается в следующем.

  1. Любым способом (уравнением, графически, указанием) задается траектория точки Кинематика в теоретической механике (рис.1.5) .
  2. На траектории выбирается некоторая точка Кинематика в теоретической механике как начало отсчета дуги и положительное направление вдоль траектории (на рис. 1.5 слева направо).
  3. Положение точки Кинематика в теоретической механике на траектории однозначно определяется длиной дуги Кинематика в теоретической механике, которую берут с соответствующим знаком. При движении точки по траектории каждому моменту времени Кинематика в теоретической механике соответствует определенное значение Кинематика в теоретической механике.

Таким образом, для определения положения точки на траектории достаточно задать зависимость:

Кинематика в теоретической механике

которая называется естественным уравнением движения.

Естественным способом описания движения точки удобно пользоваться в том случае, когда известна траектория точки.

Определение скорости и ускорения точки при естественном способе описания ее движения

В случае естественного способа описания движения точки по известному уравнению движения (1.12) модуль вектора скорости определяют по формуле:

Кинематика в теоретической механике

Направлен вектор скорости по касательной к траектории точки в сторону отсчета координаты Кинематика в теоретической механике (рис.1.6), если Кинематика в теоретической механике, и в противоположную сторону, если Кинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике

При определении ускорения с точкой Кинематика в теоретической механике связывают подвижную систему координат Кинематика в теоретической механике  (рис.1.7): тангенциальную ось Кинематика в теоретической механике направляют по касательной к траектории в сторону скорости точки; нормальную ось Кинематика в теоретической механике — по внутренней нормали к траектории (то есть, в сторону центра ее кривизны).

Ускорение Кинематика в теоретической механике раскладывают на составляющие Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике по осям выбранной системы координат, которые соответственно называют касательной (тангенциальной) и нормальной (центростремительной) составляющими ускорение.

По модулю эти ускорения, соответственно, равны:

Кинематика в теоретической механике

где Кинематика в теоретической механике — радиус кривизны траектории.

Нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны (по направлению оси Кинематика в теоретической механике ), а касательное ускорение — по оси Кинематика в теоретической механике, если Кинематика в теоретической механике и в противоположную сторону, если Кинематика в теоретической механике.

Нормальное ускорение характеризует изменение направления скорости с течением времени.

Если траекторией точки является прямая линия, то есть Кинематика в теоретической механике, то Кинематика в теоретической механике и вектор скорости не будет менять своего направления.

Касательное ускорение характеризует изменение скорости по величине с течением времени.

Если точка движется равномерно Кинематика в теоретической механике то Кинематика в теоретической механике, а путь, пройденный точкой, определяют по формуле:

Кинематика в теоретической механике

В случае равномерно ускоренного движения точки Кинематика в теоретической механике скорость точки и путь, который пройден ею, определяют по формулам:

Кинематика в теоретической механике

В приведенных формулах Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике — соответственно, начальные значения скорости и пройденного пути, а сами формулы можно получить путем интегрирования зависимости для Кинематика в теоретической механике (1.14).

Примеры решения задач

Задача №1

Точка движется по окружности радиусом Кинематика в теоретической механике Закон ее движения по траектории:

Кинематика в теоретической механике

где Кинематика в теоретической механике — в секундах, Кинематика в теоретической механике — в метрах.

Определить величину и направление скорости, касательное и нормальное ускорение точки в момент времени Кинематика в теоретической механике

Решение. Для определения модуля скорости найдем производную от Кинематика в теоретической механике по времени:

Кинематика в теоретической механике

В момент времени Кинематика в теоретической механике:

Кинематика в теоретической механике

Скорость точки направлена по касательной к окружности в сторону, которая противоположная положительному направлению отсчета дуги Кинематика в теоретической механике .

Определим величину касательного ускорения:

Кинематика в теоретической механике

В момент времени Кинематика в теоретической механике:

Кинематика в теоретической механике

Вычислим величину нормального ускорения в момент времени Кинематика в теоретической механике:

Кинематика в теоретической механике

Ответ. Кинематика в теоретической механике

Задача №2

Точка движется по окружности радиусом Кинематика в теоретической механике. Путь в метрах, который проходит точка по траектории в любой момент времени определяется уравнением:

Кинематика в теоретической механике

Определить величину ускорения точки и угол Кинематика в теоретической механике, который образуют между собой векторы скорости и ускорения в момент времени, когда величина скорости равна Кинематика в теоретической механике

Решение. Изобразим траекторию с точкой Кинематика в теоретической механике в произвольном положении (рис.1.8). Скорость Кинематика в теоретической механике направим по касательной к окружности, нормальное ускорение Кинематика в теоретической механике — к центру окружности, а касательное Кинематика в теоретической механике — по скорости, принимая, что оно положительное.

Кинематика в теоретической механике

Угол Кинематика в теоретической механике между векторами скорости Кинематика в теоретической механике и полного ускорения Кинематика в теоретической механике будет равен:

Кинематика в теоретической механике

Найдем величину нормального ускорения:

Кинематика в теоретической механике

Функциональные зависимости для скорости и касательного ускорения найдем по уравнению движения точки:

Кинематика в теоретической механике

Поскольку для вычисления касательного ускорения надо знать время, когда скорость будет равна Кинематика в теоретической механике, то с первого уравнение получаем:

Кинематика в теоретической механике

Величина касательного ускорения:

Кинематика в теоретической механике

Тогда:

Кинематика в теоретической механике

Полное ускорение точки:

Кинематика в теоретической механике

Ответ. Кинематика в теоретической механике

Задача №3

Уравнение движения пальца шарнира Кинематика в теоретической механике кривошипно-ползунного механизма (рис.1.9) во время его пуска имеют вид: 

Кинематика в теоретической механике

где Кинематика в теоретической механике — в метрах; Кинематика в теоретической механике — в секундах.

Кинематика в теоретической механике

Определить скорость, касательное и нормальное ускорение пальца.

Решение. Уравнения для определения касательного и нормального ускорения имеют вид:

Кинематика в теоретической механике

Таким образом, для определения Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике необходимо знать радиус кривизны траектории Кинематика в теоретической механике и зависимость скорости Кинематика в теоретической механике от времени Кинематика в теоретической механике .

Для вычисления Кинематика в теоретической механике найдем проекции скорости на координатные оси:

Кинематика в теоретической механике

Скорость пальца кривошипа будет равна:

Кинематика в теоретической механике

Вычислим величину касательного ускорения:

Кинематика в теоретической механике

Для определения радиуса кривизны траектории найдем ее уравнение. Чтобы исключить параметр Кинематика в теоретической механике из уравнений движения (1), возведем в квадрат правые и левые части уравнений, а затем их сложим:

Кинематика в теоретической механике

Таким образом, траекторией пальца будет окружность радиусом Кинематика в теоретической механике

Величина нормального ускорения Кинематика в теоретической механике будет равна :

Кинематика в теоретической механике

Ответ. Кинематика в теоретической механике

Задача №4

Уравнения движения материальной точки имеют вид:

Кинематика в теоретической механике

где Кинематика в теоретической механике — постоянные величины.

Определить касательное и нормальное ускорение точки.

Решение. Касательное ускорение точки определяется по формуле:

Кинематика в теоретической механике

При координатном способе описания движения скорость точки через проекции равна:

Кинематика в теоретической механике

Подставим выражение для Кинематика в теоретической механике в уравнение для Кинематика в теоретической механике:

Кинематика в теоретической механике

где Кинематика в теоретической механике — проекции скорости на координатные оси; Кинематика в теоретической механике — проекции ускорения на координатные оси.

Проекции скорости и ускорения на координатные оси определим по формулам для координатного способа описания движения:

Кинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике

Тогда касательное ускорение точки будет равно:

Кинематика в теоретической механике

Для определения нормального ускорения воспользуемся полным ускорением точки, которое уже было найдено, исходя из формул координатного способа описания движения.

Поскольку:

Кинематика в теоретической механике

то:

Кинематика в теоретической механике

Подставив под корень выражение для Кинематика в теоретической механике, получим:

Кинематика в теоретической механике

Ответ. Кинематика в теоретической механике

Задача №5

Точка Кинематика в теоретической механике движется по окружности радиусом Кинематика в теоретической механике таким образом, что полное ускорение все время пропорционально квадрату скорости и направлено под тупым углом к ней. Движение начинается с начальной скоростью Кинематика в теоретической механике и начальным ускорением Кинематика в теоретической механике

Определить, за какое время скорость точки уменьшится вдвое, и какой путь при этом она пройдет.

Решение. Изобразим траекторию с точкой Кинематика в теоретической механике в произвольном положении (рис.1.10).

Кинематика в теоретической механике

Скорость Кинематика в теоретической механике направим по касательной к траектории, а полное ускорение Кинематика в теоретической механике под углом Кинематика в теоретической механике к скорости.

Полное ускорение Кинематика в теоретической механике разложим на нормальное Кинематика в теоретической механике и касательное Кинематика в теоретической механике по правилу параллелограмма.

По условию задачи:

Кинематика в теоретической механике

где Кинематика в теоретической механике – коэффициент пропорциональности.

Поскольку это равенство должно выполняться и в начальный момент времени Кинематика в теоретической механике, то:

Кинематика в теоретической механике

Откуда:

Кинематика в теоретической механике

Таким образом, закон изменения полного ускорения точки под время движения будет иметь вид:

Кинематика в теоретической механике

Определим функциональные зависимости от скорости для нормального и касательного ускорений точки:

Кинематика в теоретической механике

В уравнении для Кинематика в теоретической механике было взято отрицательное значение корня, поскольку полное ускорение образует тупой угол с направлением скорости (рис.1.10), то есть касательное ускорение будет направлено противоположно скорости и движение точки будет замедлено.

Для определения времени движения и пройденного точкой пути воспользуемся зависимостью для касательного ускорения:

Кинематика в теоретической механике

Разделим переменные и проинтегрируем это выражение:

Кинематика в теоретической механике

где Кинематика в теоретической механике — постоянная интегрирования.

Постоянную интегрирования Кинематика в теоретической механике найдем из начальных условий, когда Кинематика в теоретической механике

Откуда:

Кинематика в теоретической механике

Функциональная зависимость для скорости будет иметь вид:

Кинематика в теоретической механике или Кинематика в теоретической механике

По условию задачи в конечный момент времени Кинематика в теоретической механике скорость точки уменьшится вдвое, то есть:

Кинематика в теоретической механике

Тогда время движения точки будет равно:

Кинематика в теоретической механике

Для определения пройденного точкой пути воспользуемся уравнениями:

Кинематика в теоретической механике

Разделим переменные и проинтегрируем:

Кинематика в теоретической механике

где Кинематика в теоретической механике — постоянная интегрирования.

Поскольку в начальный момент Кинематика в теоретической механике, то:

Кинематика в теоретической механике

Таким образом, для пути Кинематика в теоретической механике получим следующую зависимость:

Кинематика в теоретической механике

За промежуток времени Кинематика в теоретической механике путь, пройденный точкой, будет составлять:

Кинематика в теоретической механике

Краткие исторические сведенья про развитие кинематики

Появление первых исследований по кинематике связаны с изобретением огнестрельного оружия. Внимание исследователей привлекали вопросы определения траектории полета снаряда, уточнение понятий о неравномерном и криволинейном движении точки. Леонардо да Винчи (1452 1519) первым изучил вопрос о свободном вертикальном падении тяжелого тела. Но только благодаря трудам Г. Галилея (1564 1642) развитие механики непосредственно связывается с запросами тогдашней техники. Г. Галилей ввел понятие об ускорении и доказал, что траекторией движения снаряда, брошенного в пустоте под некоторым углом к ​​горизонту, является парабола. Законы, установленные Г. Галилеем, нашли свое дальнейшее развитие в трудах Э. Торричелли (1608 1647), который получил формулу для определения скорости падение тела. И. Кеплер (1571 1630) установил кинематические законы движения планет. X. Гюйгенс (1629-1695) впервые обратил внимание на возможность разложения ускорения на касательное и нормальное, строгое доказательство которого дал Л. Эйлер (1707 -1783). Л. Эйлеру принадлежат основополагающие исследования по кинематике точки при естественном способе задания движения, по кинематике вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Развитие кинематики системы точек тесно связано с именем Ж. Лагранжа (1736 1813).

Бурный рост машиностроения в XIX в. способствовал новому развитию кинематики как науки. Глубокие исследования по кинематике твердого тела принадлежат французским ученым М. Шалю (1793 1886), Л. Пуансо (1777 1859), Г. Корюлис  (1792 1843). В России основателем научной школы по кинематике механизмов был выдающийся математик П. Л. Чебышев (1821 1894). Его научное наследие в этом направлении разрабатывали советские ученые, среди которых отметим Н. И. Мерцалова (1860 1948), И. И. Артоболевского (1905-1978), А. П. Котельникова (1865-1944), Н. Б. Делоне (1856-1931), Д. С.  Зерновая (1860-1922), Л. В. Ассура (1878 1920) и др.  Н. Е. Жуковскому (1847-1921) принадлежит много работ по теоретической механике, в том числе и по кинематике, в которых широко используются геометрические методы доказательства различных теорем.  Глубокие исследования по кинематике провел В. Н. Лигин (1846-1910).

В XX в. развитие авиации, судостроения, ракетной и космической техники, создание роботов-манипуляторов, гибких автоматизированных производств дали новый толчок в развитии кинематики твердых тел и пространственных механизмов. Исследования связаны с именами А. Н. Крылова, А. Ю. Ишлинского, В. М. Кошлякова, Пола, А. П. Бойчука и др.

Введение в кинематику

Кинематикой называется раздел теоретической механики, в котором изучается движение системы материальных точек с геометрической точки зрения, в частности движение абсолютно твердого тела и материальной точки независимо от действующих на них сил.

Кинематику называют также геометрией движения, поскольку в ней рассматриваются геометрические свойства движения. Кинематика изучает зависимости между пространственно-временными характеристиками механического движения. Механические движения, изучаемые в кинематике, происходят в пространстве и времени. Диалектический материализм рассматривает пространство и время как формы существования материи. «Обе эти формы существования материи без материи являются ничем, пустыми представлениями, абстракциями, что существуют только в нашей голове «. Пространство и время неразрывно связаны между собой, их единство проявляется в движении. В. И. Ленин писал: «В мире нет ничего, кроме движущейся материи, и подвижная материя не может двигаться иначе, чем в пространстве и времени «. Понятие же пространства, времени и движущейся материи в классической механике, основанной на законах Ньютона, формально не связаны друг с другом и являются только первым  приближением к реальным объективным формам существования материи, которые позже математически строго установлены теорией относительности.

Отметим, что в теоретической механике пространство, в котором происходит движение тел рассматривается как трехмерное, и все измерения выполняются на основании методов евклидовой геометрии.  В теоретической механике время считается одинаковым в любых системах отсчета (системах координат),  и не зависит от движения этих систем относительно друг друга. Время обозначается буквой Кинематика в теоретической механике и рассматривается как непрерывно переменная величина,  которая применяется в качестве аргумента.  В кинематике при изменении времени различают такие понятия, как промежуток времени и начальный момент времени.

Промежутком времени называют течение времени между двумя физическими явлениями.
 Моментом времени называют границу между двумя смежными промежутками времени.
 Начальным моментом времени называют момент времени, с которого начинается отсчет.
 Теория относительности привела к новым представлений о пространстве и времени, которые в значительной степени отличаются от представлений классической механики. Вместе с тем, для случаев движения тела со скоростями, значительно меньше
скорость света, трехмерное евклидово пространство и универсальное время являются полноценными и достаточно точными абстракциями реального времени и реального пространства.  Следовательно, можно утверждать, что теоретическое и практическое значение классической механики остается огромным и в наше время, поскольку позволяет найти достаточно высокое приближение к объективно существующих реальным формам
бытия, подтверждается современным развитием техники, в частности космонавтики, робототехники и др.

Изучая движение тела, всегда следует знать, относительно какого другого тела, которое называется телом отсчета, рассматривается это движение. Совокупность тела отсчета, с которым связана система координат, и часов называют системой отсчета. Эта система может быть как подвижной, так и условно неподвижной. Точки тела, которые движутся осуществляют в общем случае различные движения. Поэтому в первую очередь возникает необходимость изучить движение отдельных точек тела.

В кинематике нет  разницы, какое  движение осуществляет выбрана система координат относительно других тел, не входящих в пределы решаемой задачи, однако всегда следует обращать внимание на то, что характер наблюдательного движения во многом зависит от выбора системы координат. Например, поршень двигателя внутреннего сгорания осуществляет относительно корпуса автомобиля прямолинейное, колебательное движение, а относительно дороги, по которой движется автомобиль с постоянной скоростью, — синусоидальный. 

В классической механике постулируется наличие системы отсчета, относительно которой пространство однородно и изотропно, а время -однородно.

В этой системе координат изолированная материальная точка может неограниченно долго
находиться в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. Такую ​​систему отсчета называют инерциальной. Системы отсчета, не имеющие указанных свойств, называют неинерциальными. Все системы отсчета, находящихся в состоянии покоя или движутся поступательно, равномерно и прямолинейно относительно инерциальной системы отсчета, являются также инерциальными.
 Движение геометрического образа тела по отношению к выбранной системы отсчета считается известным, если можно определить его положение относительно этой системы в любой произвольный момент времени.  Зависимость параметров, характеризующих положение геометрического образа относительно системы отсчета, от времени определяется соответствующими уравнениями, которые называют законом движения тела.

Поскольку движение геометрического образа тела будет известным, когда будет известен закон движения всех его точек, изучению движения любого геометрического образа,  предшествует изучению движения одной его точки.  Эта логика лежит в основе разделения кинематики на такие разделы, как кинематика точки, кинематика твердого тела и кинематика совокупности твердых тел и точек.

Три способа задания движения точки

Основной задачей кинематики точки являются изучение зависимости между произвольными положениями подвижной точки в пространстве и времени. Эта зависимость определяет закон движения точки. Закон движения точки считается известным, если можно определить положение точки в пространстве в любой момент времени. Для определения положения точки в пространстве выбирают некоторую систему отсчета (систему координат). Линия, которую описывает точка при своем движении, называется траекторией. Если траектория точки — прямая линия, то движение точки называется прямолинейным, если траектория точки кривая, то — криволинейным. Движение точки относительно выбранной системы отсчета считают заданным, если известно, с помощью какого способа можно определить положение точки в любой момент времени. Основными пространственно-временными (кинематическими) характеристиками  движения точки являются ее положение, скорость и ускорение. Исходя из этого, основная задача кинематики точки заключается в нахождении способов задания ее положения и методов определения скорости и ускорение. Движение точки можно определить тремя способами: векторным, координатным и натуральным.
 

Векторный способ

Положение точки можно определить с помощью радиуса- вектора Кинематика в теоретической механике (рис. 7.1), проведенного с некоторой заданной неподвижной точки О в данную точку М. При движении точки радиус-вектор Кинематика в теоретической механике меняется по величине и направлению. Каждому моменту времени t соответствует определенное значение Кинематика в теоретической механике. Итак, Кинематика в теоретической механике является функцией времени t, Кинематика в теоретической механике

Функцию Кинематика в теоретической механике считают однозначной,  потому что рассматриваемая точка в данный момент времени может находиться только в одном месте пространства. Кроме того, Кинематика в теоретической механике должна быть непрерывной функцией. В большинстве задач механики эта функция дважды дифференцированная функция времени t. Уравнения Кинематика в теоретической механике называется кинематическим уравнением движения точки в векторной форме. Это уравнение выражает закон движения точки, а также уравнение траектории точки в векторной форме.

Кинематика в теоретической механике

Кривую, которую описывает конец любого вектора при условии, что начало его находится
все время в одной и той же точке, называют годографом вектора. Итак, траектория точки является  годографом радиус-вектора Кинематика в теоретической механике.
 

Координатный способ

Этот способ определения движения точки заключается в том, что задаются координаты точки как функции времени (Рис. 7.1):

Кинематика в теоретической механике                                                                                                     (7.1)

Между векторным и координатным способами задания движения существует такая связь:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                                    (7.2)

где Кинематика в теоретической механике— орты (единичные вектора), соответственно направленные по осям координат Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике (рис. 7.1).

На том же основании, что и Кинематика в теоретической механике функции Кинематика в теоретической механикеоднозначные, непрерывные и имеют непрерывные производные.

Уравнение (7.1) является также уравнением траектории точки в параметрической форме. Исключив из уравнения (7.1) параметр Кинематика в теоретической механике, получим уравнение траектории в явной форме. Отметим, что кроме декартовой системы координат могут применяться и другие — криволинейные системы координат, в частности полярные, цилиндрические, сферические, тому подобное,

Если движение точки задано в полярных координатах (рис. 7.2), то в этом случае следует
задать как функции времени координаты Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                         (7.3)

где Кинематика в теоретической механике — полярный радиус, Кинематика в теоретической механике — угол между полярной осью и полярным радиусом. Исключив параметр Кинематика в теоретической механике из уравнения (7.3) получим:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                          (7.4)

В трехмерном пространстве применяются также цилиндрические (рис. 7.3) и сферические
(рис. 7.4) координаты. Уравнения движения точки в цилиндрических координатах имеет вид:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                          (7.5)

Кинематика в теоретической механике

В сферических координатах положение точки определяется полярным радиусом Кинематика в теоретической механике, углами Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике (полюсный угол), а уравнение движения точки имеет вид:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                             (7.6)

Переход от декартовых координат к полярным,  цилиндрическим, сферическим и наоборот иметь вид (рис. 7.2-7.4): полярные:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                               (7.7)

цилиндрические:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                        (7.8)

сферические:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                           (7.9)

Отметим, что во всех приведенных тут криволинейных координатах Кинематика в теоретической механике

Натуральный способ

Если траектория точки известна заранее (например, траектория движения поезда, трамвая, троллейбуса и т.п.), то для определения закона ее движения в пространстве достаточно задать положение точки на траектории. Поэтому одну из точек Кинематика в теоретической механике на траектории берут за начало отсчета дуговых координат, поскольку положение подвижной точки М определяется ее ориентировочным расстоянием s, которое отсчитывается по дуге траектории от выбранной точки отсчета (рис. 7.5). Итак, s является функцией времени: Кинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике

Приведенное уравнение определяет закон движения точки по траектории. Функция Кинематика в теоретической механике будет однозначной, непрерывной и дифференцируемой. Заметим, что дуговая координата точки s в общем случае отличается от пути Кинематика в теоретической механике, который прошла  точка по траектории. Если промежуток времениКинематика в теоретической механике, в течение которого движется точка, разбить на малые промежутки времени Кинематика в теоретической механике, в каждом из которых точка движется в одном направлении, то путь Кинематика в теоретической механике, пройденный точкой, можно вычислить по формуле:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                           (7.10)

Если движение точки задано координатным способом, то пройденный путь определяется
 формулою:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                            (7.11)

поскольку модуль дифференциала дуги:

Кинематика в теоретической механике

Уравнения Кинематика в теоретической механике называют уравнением пройденного пути. Кривая, построенная на плоскости Кинематика в теоретической механике, что выражает зависимостьКинематика в теоретической механике называется графиком пути, а кривая Кинематика в теоретической механике на плоскости Кинематика в теоретической механике — графиком движения (рис. 7.6).

Кинематика в теоретической механике

Скорость движения точки

Важной характеристикой движения точки является ее скорость. Понятие скорости точки в
равномерном прямолинейном движении относится к элементарным понятиям.
Движение точки называется равномерным, если приращения радиус-вектора точки за одинаковые промежутки времени будут равными между собой. Для равномерного прямолинейного движения:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                              (7.12)

где Кинематика в теоретической механике — постоянный вектор, который называется средней скоростью движения точки за
промежуток времени Кинематика в теоретической механике. Из соотношения (7.12) видно, что скорость равномерного прямолинейного движения является физической величиной, и определяет перемещение точки за единицу времени:Кинематика в теоретической механике Направление вектора Кинематика в теоретической механике  приведено на рис. 7.7.

Рассмотрим теперь неравномерное криволинейное движение точки.
 Пусть точка М произвольно движется по некоторой кривой и в момент времени Кинематика в теоретической механике занимает положение М, а через довольно короткий промежуток времени Кинематика в теоретической механике она занимает положение Кинематика в теоретической механике (рис. 7.8). Положение точки М определяется радиусом- вектором Кинематика в теоретической механике, а положение точки Кинематика в теоретической механике — радиус-векторомКинематика в теоретической механике Вектор перемещения точки Кинематика в теоретической механике можно получить также как результат некоторого фиктивного равномерного прямолинейного движения точки из Кинематика в теоретической механике в Кинематика в теоретической механике, которое характеризуется средней скоростью:

Кинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике

Направление вектора Кинематика в теоретической механике совпадает с направлением вектора Кинематика в теоретической механике (рис. 7.8). Очевидно,
что средняя скорость лишь приближенно отражает характер истинного движения точки.
 Чтобы получить скорость Кинематика в теоретической механике в данный момент времени или в данной точке, следует перейти к пределу:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                                (7.13)

Следовательно, скорость точки равна первой производной радиус-вектора точки по времени. За единицу скорости берут 1 м/с. Скорости точки можно дать и другое определение. Скоростью точки в некоторый момент времени t называется физическая величина, которая зависит от времени и позволяет приближенно определить перемещение Кинематика в теоретической механике при достаточно малом промежутке  времени,  как результат прямолинейного и равномерного движения.  Действительно, если Кинематика в теоретической механике разложить в ряд Тейлора в точке М, получим:

 
Кинематика в теоретической механике                                                                                                       (7.14)

Отсюда, ограничившись величинами первого порядка малость и перейдя к пределу, получим формулу (7.13) для скорости.

Скорость точки в прямоугольной декартовой системе координат

Если движение точки задано координатным способом Кинематика в теоретической механике, то скорость точки определяется ее проекциями на оси координат. Действительно, разложив вектор скорости и радиус-вектор по ортах координатных осей (рис. 7.9), получим

Кинематика в теоретической механике                                                                                                      (7.15)

где х, у, z — координаты подвижной точки; Кинематика в теоретической механике, Кинематика в теоретической механике— проекции скоростей на оси координат.
 По определению скорости в соответствии с формулой (7.13) имеем:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                     (7.16)

Подставив в формулу (7.16) значение Кинематика в теоретической механике из (7.15), получим:
Кинематика в теоретической механике                                                                                                (7.17)

откуда:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                 (7.18)

Итак, проекции скорости на оси координат равны первым производным по времени
от соответствующих координат точки.

Модуль скорости:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                         (7.19)

Кинематика в теоретической механике

или

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике                                                                                     (7.20)

Направление скорости находим по направляющим косинусам:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                       (7.21)

При движении точки ее скорость в общем случае изменяется во времени. Каждому моменту времени соответствует определенный вектор скорости, направленный по касательной к траектории. Рассмотрим ряд положений точки на траектории, обозначив соответствующие значения ее  скорости через Кинематика в теоретической механике(рис. 7.10, а). Выберем произвольную неподвижную точку О (рис. 7.10, б) и перенесем все векторы скорости параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали с точкой А. Поскольку вектор Кинематика в теоретической механике меняется со временем непрерывно, то  концы перенесенных векторов Кинематика в теоретической механикеобразуют сплошную кривую, которая называется годографом вектора скорости.

Зная проекции скорости Кинематика в теоретической механике на оси декартовой системы координат, которые являются координатами точек на годограф, то есть:

Кинематика в теоретической механике

получим в параметрической форме уравнения годографа вектора скорости. Исключив
параметр t из этих уравнений, найдем уравнение годографа вектора скорости в явной форме.

Кинематика в теоретической механике

Скорость точки в полярных координатах

Если движение точки в плоскости Оху задано в полярных координатах Кинематика в теоретической механикето, согласно (7.7),

Кинематика в теоретической механике                                                                                                       (7.22)

Дифференцируя затем х и у, найдем проекции скорости Кинематика в теоретической механике на оси декартовой системы координат:

                        Кинематика в теоретической механике                                                                              (7.23)

где Кинематика в теоретической механике — проекция скорости на радиальное направление, Кинематика в теоретической механике— проекция скорости на  трансверсальное направление (рис. 7.11), перпендикулярное к радиальному.

При этом модуль скорости:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                    (7.24)

Выражение для скорости в полярных координатах можно получить и иначе — введением ортов Кинематика в теоретической механике(рис. 7.11).

Кинематика в теоретической механике

Радиус-вектор Кинематика в теоретической механике который определяет положение точки, может быть подан в видеКинематика в теоретической механике При движении меняется как направление Кинематика в теоретической механике, так и величина радиуса-вектора Кинематика в теоретической механикепоэтому, по определению скорости (7.13), имеем:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                        (7.25)

Для определения производной единичного вектора Кинематика в теоретической механике воспользуемся выражениями единичных векторов Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике через единичные векторыКинематика в теоретической механике иКинематика в теоретической механике неподвижных координатных осей (рис. 7.11):

Кинематика в теоретической механике                                                                                                           (7.26)

Продифференцировав соотношение (7.26) и учитывая, что Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике, найдем:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                     (7.27)

Воспользовавшись соотношением (7.27), подадим выражение для скорости в виде:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                          (7.28)

Итак, найдены проекции скорости на радиальное  Кинематика в теоретической механикеи трансверсальное  Кинематика в теоретической механике направления.
 Спроектировав их на координатные оси с помощью двух соотношений (7.26), получим выражение (7.23). 

Скорость точки при натуральном способе заданный движения

Как уже отмечалось, движение точки является заданным в натуральной форме, если известны ее траектория и закон (уравнения) движения по траектории Кинематика в теоретической механике (см. рис. 7.5). Каждой точке траектории соответствует определенный радиус-вектор Кинематика в теоретической механике (рис. 7.12), который можно рассматривать как сложную функцию времени Кинематика в теоретической механикепоэтому формулу (7.13) для скорости представим в виде:

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике                                                                                        (7.29)

Рассмотрим вектор Кинематика в теоретической механике Поскольку Кинематика в теоретической механикето модуль Кинематика в теоретической механике

Вектор Кинематика в теоретической механике (рис. 7.12) направленный по секущей Кинематика в теоретической механике предельное положение которой является касательной к траектории исследуемой точки.
Итак, Кинематика в теоретической механике                                                                                      (7.30)

Кинематика в теоретической механике

С учетом (7.30) получим следующее выражение для скорости при натуральном способе задания движения точки:

 Кинематика в теоретической механике                                                                                                        (7.31)

Умножив скалярно обе части выражения (7.31) на орт Кинематика в теоретической механике получим Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике Поскольку Кинематика в теоретической механике то Кинематика в теоретической механике Скалярное произведение в правой части этого выражения равно проекции скорости на касательную к траектории точки, то есть:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                      (7.32)

Следовательно, вектор скорости точки при натуральном способе задания движения точки, будет иметь вид:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                            (7.33)

Если Кинематика в теоретической механике, то точка движется в положительном направлении, если Кинематика в теоретической механике то в отрицательном.

Секторная скорость

Секторная скорость Кинематика в теоретической механике характеризует степень изменение во времени площади S, описанной радиус-вектором Кинематика в теоретической механике подвижной точки (рис. 7.12), Пусть в момент времени t точка занимает положение М, которое определяется радиусом-вектором Кинематика в теоретической механике, а через промежуток времени Кинематика в теоретической механике — положение Кинематика в теоретической механике, радиус-вектор которого равна Кинематика в теоретической механике. Элементарная площадь Кинематика в теоретической механике, образованная при этом, равна модулю векторного произведения:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                           (7.34)

или   Кинематика в теоретической механике

Если ввести вектор Кинематика в теоретической механике, равный элементарной площади и направленный  перпендикулярно к плоскости Кинематика в теоретической механике, то очевидно, что:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                             (7.35)

откуда по определению секторной скорости Кинематика в теоретической механике, поделив обе части выражения (7.35) на Кинематика в теоретической механике, получим:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                         (7.36)

или, с учетом (7.13):

Кинематика в теоретической механике                                                                                                            (7.37)

Тогда величина секторной скорости:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                           (7.38)

Понятие секторной скорости впервые ввел И. Кеплер при выводе второго закона
движения планет вокруг Солнца. Второй закон Кеплера имеет место и при движении искусственных спутников вокруг Земли. Согласно этому закону радиусы-векторы планет, проведенные из центра Солнца, описывают за равные промежутки времени равные площади, то есть скорость есть величина постоянная.
 Итак, секторная скорость равна половине векторного произведения радиуса-вектораКинематика в теоретической механике на скорость Кинематика в теоретической механике подвижной точки. Векторному равенству (7.37) соответствуют три скалярные равенства в декартовой системе координат Кинематика в теоретической механике (рис. 7.9):

Кинематика в теоретической механике Кинематика в теоретической механике                                                        (7.39)

Площадь сектора Кинематика в теоретической механике (рис. 7.12) можно выразить иначе:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                          (7.40)

где Кинематика в теоретической механике— малый угол между Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике(Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике).

Пренебрегая величинами второго порядка малости, последней формуле придадим вид:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                           (7.41)

Поделив обе части этого равенства на Кинематика в теоретической механике и перейдя к пределу, получим такое соотношение дня определения секторной скорости:

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике                                                                              (7.42)

Последняя формула выражает секторную скорость в полярных координатах и ​​широко используется в небесной механике и при изучении движения искусственных спутников
Земли.

Ускорение точки

Ускорением точки в инерциальной системе отсчета называют меру изменения скорости точки, которая равны производной скорости этой точки по времени.
 Рассмотрим два любых близкие положение точки Кинематика в теоретической механикеи Кинематика в теоретической механикена траектории. Скорость в точке М обозначим через Кинематика в теоретической механике, а в точке Кинематика в теоретической механике — через Кинематика в теоретической механике (рис. 7.13). Геометрическое приращение  вектора скорости Кинематика в теоретической механике за промежуток времени Кинематика в теоретической механике найдем, построив в точке М вектор, равный Кинематика в теоретической механике, и соединив концы векторов Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике. Отношение Кинематика в теоретической механике к Кинематика в теоретической механике является средним ускорением Кинематика в теоретической механике точки за промежуток времени Кинематика в теоретической механике:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                      (7.42)

Направление вектора Кинематика в теоретической механике совпадает с направлением Кинематика в теоретической механике(рис. 7.13).

Переходя в (7.43) к пределу Кинематика в теоретической механике ,найдем ускорение Кинематика в теоретической механике точки в данный момент времени:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                            (7.44)

С учетом выражения  (7.13) формулу ускорения запишем в виде:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                        (7.45)

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике

Единицей ускорения в Кинематика в теоретической механике является Кинематика в теоретической механике.Поскольку ускорение данной точки равно первой производной скорости по времени, то оно направлено по касательной к годографу скорости (рис. 7.14).

Определение ускорения в прямоугольной декартовой системе координат

Если движение точки задано координатным способом, то есть уравнениями Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике то, разложив векторы  Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механикепо ортах координатных осей, получим:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                     (7.46)

где Кинематика в теоретической механике — проекции ускорения на оси координат. На основании (7.45)

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике               (7.47)

Откуда:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                               (7.48)

Итак, проекции ускорения на недвижимые оси координат равны первым производным соответствующих проекций скорости по времени на те же оси, или вторым производным, соответствующих координат подвижной точки по времени.
 Модуль ускорения и его направляющие косинусы запишем в виде:

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике                                                 (7.49)

Кинематика в теоретической механике                                                                                                               (7.50)

Ускорение точки в полярных координатах

Пусть движение точки М в плоскости Оху задано в полярных координатах Кинематика в теоретической механике
 (рис. 7.15). Декартовые координаты выражаются через полярные по формулам Кинематика в теоретической механике
Кинематика в теоретической механике Найдем проекции Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике ускорения Кинематика в теоретической механике точки на радиальный и трансверсальный направления (рис. 7.15). Выразим сначала проекции ускорения Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике на оси декартовых координат через проекции ускорения на радиальное Кинематика в теоретической механике и трансверсальное Кинематика в теоретической механике направления:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                             (7.51)

Учитывая зависимость между полярными и декартовыми координатами, получим:Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике         (7.52)

Сравнивая соответствующие выражения для Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике найдем:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                         (7.53)

Модуль ускорения определим по формуле:

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике                                                                                        (7.54)

Обозначив через Кинематика в теоретической механике угол, образованный ускорением Кинематика в теоретической механике с ортом Кинематика в теоретической механике (рис. 7.15), определим направление ускорения Кинематика в теоретической механикеточки по формуле:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                          (7.55)

Кинематика в теоретической механике

Заметим, что формулы (7.53) можно также получить непосредственным дифференцированием выражения (7.28) для скорости Кинематика в теоретической механике, воспользовавшись соотношениями (7.27). 

Ускорение точки при натуральном способе задания движения

Предварительно приведем некоторые сведения из дифференциальной геометрии.
 Натуральные оси и натуральный трехгранник. Кинематические характеристики движения точки тесно связаны с геометрическими свойствами траектории. Как известно из дифференциальной геометрии, в каждой точке кривой есть три взаимно перпендикулярных направления: касательная, главная нормаль и бинормаль, единичные вектора (или орты) которых обозначим соответственно Кинематика в теоретической механике Орт Кинематика в теоретической механике направлен в сторону положительного отсчета дуговой координаты Кинематика в теоретической механике и, орт Кинематика в теоретической механике — в сторону вогнутости траектории, орт Кинематика в теоретической механике направлен так, чтобы Кинематика в теоретической механике образовывали правую систему координат. Указанные оси (касательная, главная нормаль и бинормаль) называются натуральными.

Итак, натуральные оси — это подвижные оси, связанные с подвижной точкой М, образующие правую прямоугольную систему координат (натуральный трехгранник) (рис. 7.16).  Плоскость, проходящая через главную нормаль Кинематика в теоретической механике и бинормаль Кинематика в теоретической механике, называется нормальной. Координатная плоскость, проходящая через касательную Кинематика в теоретической механике и главную нормаль Кинематика в теоретической механике, называется соприкасающейся, а плоскость, проходит через касательную Кинематика в теоретической механике и бинормаль Кинематика в теоретической механике, -спрямляющей (рис. 7.16). Если рассматриваемая кривая является плоской, то она расположена в соприкасающейся плоскости.

Кинематика в теоретической механике

Кривизна кривой.  Угол, образует дугу Кинематика в теоретической механикемежду двумя касательными в двух любых точках М и Кинематика в теоретической механике на кривой называется углом смежности. Обозначим его через Кинематика в теоретической механике. Отношение Кинематика в теоретической механике к элементу дуги Кинематика в теоретической механике называется средней кривизной кривой Кинематика в теоретической механике на отрезке Кинематика в теоретической механике (рис. 7.12):

Кинематика в теоретической механике                                                                                                       (7.56)

Предел этого отношения при Кинематика в теоретической механикеназывается кривой Кинематика в теоретической механикев данной точке:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                            (7.57)

В общем случае кривизна кривой не является постоянной величиной и изменяется от точки
к точке. Величина Кинематика в теоретической механике, обратная к  кривизне в данной точке М, называется радиусом
кривизны кривой в этой точке:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                         (7.58)

Очевидно, что:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                           (7.59)

Ускорение точки при натуральном способе задания движения определяется по теореме.
 Теорема. Полное ускорение точки равно векторной сумме касательного (тангенциального) и нормального ускорений.
 Доказательство. Пусть движение точки задано натуральным способом. Тогда вектор скорости подадим в виде (7.33). Учитывая это и соблюдая определения ускорения при векторном способе задания движения точки, получим:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                        (7.60)

Первое слагаемое является вектором, направленным по касательной Кинематика в теоретической механике, он называется касательной, или тангенциальной составляющей ускорения и обозначается Кинематика в теоретической механике.  Итак,

Кинематика в теоретической механике                                                                                                         (7.61)

Как следует из (7.61), касательное ускорение характеризует изменение скорости по величине и равно первой производной от проекции скорости на касательную или второй производной от дуговой координаты по времени.  Чтобы определить второе слагаемое, представим его в виде:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                        (7.62)

Кинематика в теоретической механике

Рассмотрим предварительно тождество Кинематика в теоретической механике и продифференцируем его по Кинематика в теоретической механике, получим Кинематика в теоретической механике. С этого выплывает, что вектора Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике— перпендикулярные. Поскольку вектор Кинематика в теоретической механике всегда направленным в сторону вогнутости траектории (рис. 7.17, а) и лежит в
 соприкасающихся плоскостях, то вектор Кинематика в теоретической механике так же лежит в соприкасающейся плоскости, направленный в сторону вогнутости траектории и перпендикулярный к Кинематика в теоретической механике, то есть направленный по главной нормали Кинематика в теоретической механике к центру кривизны траектории.

Определим теперь модуль вектора Кинематика в теоретической механике С равнобедренного треугольника Кинематика в теоретической механике (рис. 7.17, а) выплывает, что Кинематика в теоретической механике где Кинематика в теоретической механике— угол смежности. Тогда:Кинематика в теоретической механике

Следовательно:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                        (7.63)

Таким образом,  с учетом (7.62) и (7.63) второе слагаемое выражения (7.60) будет выглядеть так:

Кинематика в теоретической механике

и называется нормальным ускорением и обозначается  Кинематика в теоретической механике, то есть:

Кинематика в теоретической механике                                                                                             (7.64)

Отсюда следует, что нормальное ускорение Кинематика в теоретической механике направлено в сторону вогнутости траектории к центру кривизны, и характеризует изменение скорости по направлению.
 Поскольку составляющие вектора Кинематика в теоретической механикеи Кинематика в теоретической механикележат в соприкасающейся  плоскости, то и вектор Кинематика в теоретической механике так же  расположен в соприкасающейся  плоскости. Поэтому проекция полного ускорения Кинематика в теоретической механике на бинормаль Кинематика в теоретической механикеИтак, на основании (7.60), (7.61) и (7.64) (рис. 7.17, б) окончательно получим:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                   (7.65)

что и нужно было доказать.

Модуль полного ускорения:

Кинематика в теоретической механике                                                                                              (7.66)

Направление вектора Кинематика в теоретической механике по углу Кинематика в теоретической механике, который образуется между вектором Кинематика в теоретической механике и вектором Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике

Если движение точки задано координатным способом, то, воспользовавшись выражениями (7.64) и (7.66), нетрудно получить следующее выражение для радиуса кривизны:

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике                                                                                      (7.67)

Заметим так же, что выражение (7.61) для касательного ускорения, можно представить в таком виде:

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике

С учетом последнего выражения (7.67) для радиуса кривизны можно записать так:

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике                                                                                                  (7.68)

В случае плоского движения, когда Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике формула (7.68) приобретает очень простую форму:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                           (7.69)

Если движение задано в полярной системе координат, то можно убедиться, что формулу для кривизны траектории можно записать в виде:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                          (7.70)

Приведем еще формулу для радиуса кривизны в случае, когда уравнение плоской кривой задано в явной форме Кинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике                                                                                                                   (7.71)

В завершении приведем формулы Френе, которые дают возможность установить связь между ортами Кинематика в теоретической механике и радиус-вектором Кинематика в теоретической механике.

В параграфе 7.7. выражение (7.30) (рис. 7.12) дает соотношение:Кинематика в теоретической механике

Из  последней формулы и выражения (7.63) получим: Кинематика в теоретической механике

Поскольку бинормаль Кинематика в теоретической механике перпендикулярная к нормали Кинематика в теоретической механике , и касательной Кинематика в теоретической механике то очевидно:

Кинематика в теоретической механике

Приведенные соотношения и являются формулами Френе.

Отдельные случаи движения точки

Прямолинейное движение. Если во время движения точки нормальное ускорение Кинематика в теоретической механике равно нулю, то движение точки будет  прямолинейным.  Действительно, если Кинематика в теоретической механике,то  Кинематика в теоретической механике и  Кинематика в теоретической механикето есть траекторией является прямая. В этом случае полное ускорение равно касательному: Кинематика в теоретической механике

Если при криволинейном движении точки в данный момент времени нормальное ускорение равна нулю Кинематика в теоретической механике, то точка в этот  момент времени находится в точке перегиба траектории.

Равномерное криволинейное движение.  Если во время движения точки касательное ускорение равна нулю Кинематика в теоретической механике, то проекция скорости Кинематика в теоретической механике не меняется. ДействительноКинематика в теоретической механике В этом случае точка движется равномерно по кривой, а полное ускорение точки равно нормальному: Кинематика в теоретической механике

Равномерное прямолинейное движение.  Если во время движения точки ее ускорение равно нулю  Кинематика в теоретической механике, то движение является равномерным и прямолинейным, поскольку скорость в этом случае не меняется ни по величине, ни по направлением.

Равнопеременное криволинейное движение. Если во время движения точки по некоторой кривой, касательное ускорение будет постоянным по величине Кинематика в теоретической механике то движение точки называется равнопеременным криволинейным движением. Причем, если ускорение Кинематика в теоретической механике совпадает с направлением скорости, то движение точки называется равноускоренным, если Кинематика в теоретической механике направлено в сторону, противоположную скорости, — равнозамедленным.

Найдем скорость и закон движения точки Кинематика в теоретической механике в случае равномерного движения. Поскольку Кинематика в теоретической механикето Кинематика в теоретической механике Постоянную интегрирования определим из начальных условий движения: при Кинематика в теоретической механике Следовательно, Кинематика в теоретической механике Подставив значение Кинематика в теоретической механике получим Кинематика в теоретической механике

Поскольку Кинематика в теоретической механике то Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике Отсюда путем интегрирования найдем закон движения точки:

Кинематика в теоретической механике

Постоянную интегрирования Кинематика в теоретической механике определим из начальных условий движения: при Кинематика в теоретической механике Следовательно, Кинематика в теоретической механике Поэтому: Кинематика в теоретической механике

Прямолинейные гармонические колебания точки. Пусть точка движется по прямой, например по оси Ох, и ее расстояние от начала координат меняется по закону:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                          (7.72)

где Кинематика в теоретической механике— постоянные.

Движение точки является колебательным между положениями точки Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механикеКолебания, которые определяются законом (7.72), называются гармоничными колебаниями. Величина а называется амплитудой колебаний и является крупнейшим отклонением точки от центра колебаний Кинематика в теоретической механикеА. Промежуток времени Кинематика в теоретической механике на протяжении которого точка совершает полное колебание, называется периодом колебаний; величина Кинематика в теоретической механике — круговой частотой колебаний (более полно теорию колебаний изложены в части IV) Кинематика в теоретической механике — фазой колебаний, Кинематика в теоретической механике — начальной фазой колебаний.

Пример 1. Найти уравнение траектории, скорость, ускорение и радиус кривизны в момент Кинематика в теоретической механике,  если уравнения движения точки имеют следующий вид: Кинематика в теоретической механике

 Решение. Уравнение траектории задается в параметрической форме Исключив параметр Кинематика в теоретической механике найдем Кинематика в теоретической механике а это в свою очередь является уравнением траектории в явной форме: Кинематика в теоретической механике

Итак, траекторией точки будет эллипс с полуосями Кинематика в теоретической механике Поскольку движение точки задано координатным способом, то скорость и ускорение найдем по их проекциями на оси координат:

Кинематика в теоретической механике

Определим модули и направления скорости и ускорения:

Кинематика в теоретической механике

При Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике

Аналогично

Кинематика в теоретической механике

При Кинематика в теоретической механике Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике

Радиус кривизны определяется по формуле (7.67):

Кинематика в теоретической механике где 

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике

При Кинематика в теоретической механике

Пример 2. Точка движется по кругу радиусом Кинематика в теоретической механикем. Закон ее движения по траектории Кинематика в теоретической механике Найти величину скорости, касательного, нормального и полного ускорений точки
в момент времени Кинематика в теоретической механике

Решение. Поскольку движение точки задано натуральным способом, то скорости точки определяются в виде Кинематика в теоретической механике, а при Кинематика в теоретической механике Соответственно касательное и нормальное ускорение Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике при Кинематика в теоретической механике получим Кинематика в теоретической механике

Полное ускорение точки Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике

Пример 3. По заданным уравнениям движения точки найти ее траекторию, скорость, ускорение и радиус кривизны.Кинематика в теоретической механике

Решение. Для нахождения траектории точки возведем х и у в квадрат и добавим их,
тогда получимКинематика в теоретической механике Итак, траекторией движения точки есть круг (рис. 7.18).
 Для нахождения скорости и ускорения вычислим сначала их проекции на оси:

Кинематика в теоретической механике

Теперь легко вычислить величины скорости и ускорения:Кинематика в теоретической механике

Траектория точки показана на рис. 7.18. Очевидно, что радиус кривизны равен радиусу окружности Кинематика в теоретической механике, то есть Кинематика в теоретической механике 

Убедимся в этом с помощью формул. Используем формулу (7.70). В этом случае:

Кинематика в теоретической механике следовательно Кинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике

Пример 4. Движимое колесо радиусом Кинематика в теоретической механике (рис. 7.19, а) катится без скольжения с помощью
кривошипа ОА внутри неподвижного колеса радиусом R. Составить уравнение траектории точки М подвижного колеса. Для частного случая Кинематика в теоретической механике (рис. 7.19, б) определить скорость, ускорение и радиус кривизны траектории точки Кинематика в теоретической механике если кривошип вращается равномерно.
 Решение. Расположим в точке О  начало неподвижных осей Кинематика в теоретической механике  и Кинематика в теоретической механике. Обозначим через Кинематика в теоретической механике
мгновенное значение угла между кривошипом ОА и осью Ох. Поскольку по условиям задачи качения происходит без скольжения, то дуги ВС и CM должны быть равными. Таким образом,

Кинематика в теоретической механике                                                                                                                                         (1)

где Кинематика в теоретической механике — угол поворота движимого колеса.

Кинематика в теоретической механике

Отметим, что кривошип ОА и движимое колесо вращаются в противоположных направлениях.
 Обозначив через Кинематика в теоретической механикеи Кинематика в теоретической механике координаты точки М, получим:

Кинематика в теоретической механике                                                                                     (2)

Подставив в (2) из (1) выражение Кинематика в теоретической механике через Кинематика в теоретической механике, найдем необходимый нам закон движения точки М:

Кинематика в теоретической механике

Уравнение (3) представляют собой в параметрической форме уравнения гипоциклоида — кривой, описываемой точкой окружности, катящейся без скольжения внутри второго круга.
 Дальнейшее исследование нужно провести для случае Кинематика в теоретической механике считая, что кривошип ОА вращается равномерно, то есть Кинематика в теоретической механике, где Кинематика в теоретической механике некоторая постоянная величина, которую называют круговой частотой. В этом случае уравнение (3) приобретают вид:

Кинематика в теоретической механике                                                                                              (4)

Дальше получим:

Кинематика в теоретической механике

Следовательно, Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике Радиус кривизны найдем по формуле (7.69). Поскольку Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике знаменатель формулы (7.69) равен нулю, следовательно, Кинематика в теоретической механике Это означает, что точка М в этом случае движется по прямой ОВ (рис. 7.19,б).

Криволинейные координаты. Коэффициенты Ламе

  Криволинейными координатами точки называется система независимых параметров, однозначно определяющих ее положение. Обозначим криволинейные координаты через Кинематика в теоретической механике Примером могут быть  полярные, сферические или цилиндрические координаты. Так, в случае сферических координат Кинематика в теоретической механике В Случае цилиндрических координат Кинематика в теоретической механике полярных координат Кинематика в теоретической механике

Уравнения движения точки в криволинейных координатах будут выглядеть так: 

Кинематика в теоретической механике                                                                                                           (7.73)

Эти функции должны быть непрерывными и однозначными и хотя бы дважды дифференцируемыми. Пусть радиус-вектор, определяющий положение точки М, которая задана координатами  Кинематика в теоретической механике проведена с произвольно выбранного центра О (рис. 7.20). тогда:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                         (7.74)

Кинематика в теоретической механике

Проекции радиус-вектора на оси декартовой системы координат также являются функциями Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике  то есть:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                    (7.75)

Если в функциях (7.75) только одна координата Кинематика в теоретической механике переменная, а две другие имеют фиксированное значение, то получим уравнение координатной линии, которое соответствует изменению координаты Кинематика в теоретической механике (рис. 7.20):

Кинематика в теоретической механике                                                                                                    (7.76)

Аналогично определяются координатные линии, соответствующие изменению Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике.
 В каждой точке пространства пересекаются три координатные линии, касательные к которым в указанной точке, проведенные в сторону увеличения координат, называются координатными осями Кинематика в теоретической механике Координатные оси в общем случае определяют не ортогональную криволинейную систему.
 Если в уравнениях (7.75) менять две координаты при фиксированной третий, то полученные поверхности называются координатными. Уравнение координатных поверхностей имеют вид:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                    (7.77)

Каждое из этих уравнений определяет в соответствии поверхности Кинематика в теоретической механике. Плоскости, которые касаются в некоторой точке М координатных плоскостей, называются координатами. Координатные оси лежат в соответствующих координатных плоскостях.
 Определим теперь орты Кинематика в теоретической механике координатных осей. Для этого рассмотрим движение точки по координатной линии, соответствующей изменению координаты Кинематика в теоретической механике. Пусть в момент
времени t точка находится в положении Кинематика в теоретической механике (Рис. 7.21). Вектор,Кинематика в теоретической механике вычисленный в точке Кинематика в теоретической механике
направленный по касательной к координатной линии Кинематика в теоретической механике  то есть он направлен по координатной оси Кинематика в теоретической механике в сторону увеличения Кинематика в теоретической механике.  Поскольку:

Кинематика в теоретической механике

то

Кинематика в теоретической механике

Отсюда единичный вектор Кинематика в теоретической механике

Аналогично можно получить формулы для Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике. Следовательно, единичные вектора криволинейной координатной системы Кинематика в теоретической механикеопределяются по формулам:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                     (7.78)

где

Кинематика в теоретической механике                                                                                                       (7.79)

Как видно из формул (7.79), Кинематика в теоретической механике являются функциями криволинейных координат Кинематика в теоретической механике и
называются коэффициентами Ламе или дифференциальными параметрами Ламе.
 Применяя формулы (7.78), можно определить косинусы криволинейных координатных осей с осями декартовых координат. Действительно, введя единичные вектора декартовых координатных осей Кинематика в теоретической механике получим:

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике

     Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике                                                                                           (7.80)

     Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике

Будем рассматривать только ортогональные криволинейные координаты, координатные оси которых взаимно перпендикулярны. Условиями ортогональности является равенство нулю скалярных произведений единичных векторов, то есть Кинематика в теоретической механике или:

Кинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике                                                                                                                        (7.81)

Покажем, что коэффициенты Ламе являются множителями при дифференциалах координат в выражениях дифференциалов дуг соответствующих координатных линий. Действительно, найдем формулу, по которой определяется дифференциал дуг кривой в системе ортогональных координат. Для этого сначала определим элементарное перемещение:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                    (7.82)

Тогда

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике

или, учитывая ортогональность криволинейных координат (7.81), получим:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                     (7.83)

поскольку Кинематика в теоретической механике согласно (7.78)

На основании полученной формулы легко перейти к определению коэффициентов Ламе. Получим:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                              (7.84)

Последние выражения можно получить, поочередно предполагая изменение только одной криволинейной координаты и считая две другие фиксированными.
 Пример 5. Определить коэффициенты Ламе, если движение точки задано в цилиндрической (рис. 7.3)Кинематика в теоретической механике или в сферической (рис. 7.4) Кинематика в теоретической механике системах координат.

Решение. В цилиндрической системе координат получим: Кинематика в теоретической механике

Следовательно, Кинематика в теоретической механике Аналогично в сферической системе координат Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике Отсюда Кинематика в теоретической механике

Скорость и ускорение точки в криволинейных координатах

На основании (7.13) и с учетом зависимости (7.74) получим следующее выражение для скорости в криволинейных координатах:

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике                                                                                         (7.85)

Из формулы (7.78) получим

Кинематика в теоретической механике

С учетом этих соотношений получим

Кинематика в теоретической механике                                                                                                       (7.86)

Это равенство можно рассматривать как разложение скорости по единичным ортах осей
криволинейной системы координат, то есть:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                       (7.87)

Поскольку рассматривается случай ортогональной криволинейной системы координат,
то модуль скорости находим по формуле:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                         (7.88)

Для определения ускорения точки в криволинейных координатах найдем сначала проекции вектора ускорения на координатные оси, учитывая соотношение (7.78):

Кинематика в теоретической механике                                                                                                   (7.89)

Не тяжело убедиться, что правую часть этих равенств можно представить в виде:

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике                                                                    (7.90)

Для дальнейшего преобразования формулы (7.90) получим очевидные тождества, которые вытекают из выражений (7.86) и (7.78):

Кинематика в теоретической механике

или 

Кинематика в теоретической механике                                                                                                       (7.91)

Продифференцировав по времени выражение Кинематика в теоретической механике как сложную функцию переменных Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике                                                     (7.92)

Определив затем из выражения (7.85) частные производные Кинематика в теоретической механике и сравнив их с последними соотношениями (7.92), получим такие тождества:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                      (7.93)

Подставив в  (7.90) значение Кинематика в теоретической механике с тождества (7.91) и Кинематика в теоретической механике (7.93), получим:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                    (7.94)

Преобразуем дальше скалярные произведения  Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике к виду:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                    (7.95)

Подставив соотношения (7.95) в (7.94), найдем проекции ускорений точки на оси криволинейной системы координат:

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике                                              (7.96)

Введем сокращенное обозначение, согласно (7.88),

Кинематика в теоретической механике                                                                                                    (7.97)

окончательно получим:

Кинематика в теоретической механике                                                                                               (7.98)

Отметим, что как будет показано в динамике, выражение Кинематика в теоретической механике в данном случае является кинетической энергией единичной массы, а выражение Кинематика в теоретической механике — левой частью уравнения Лагранжа второго рода.

Пример 6. Движение точки задано в цилиндрической системе координат Кинематика в теоретической механике Найти выражения для ускорения и скорости точки.

Решение. Учитывая связь декартовых координат с цилиндрическими, получимКинематика в теоретической механике По формулам (7.84) найдем коэффициенты Ламе. Действительно, поскольку Кинематика в теоретической механике то Кинематика в теоретической механикеСледовательно, Кинематика в теоретической механике Кинематика в теоретической механике Теперь по формулах (7.87) найдем проекции скоростей:

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике

откуда Кинематика в теоретической механике

Затем определим ускорение точки. Для этого составив выражение для функции:

Кинематика в теоретической механике

Вычислим Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике для того, чтобы воспользоваться формулой (7.98):

Кинематика в теоретической механике

Теперь по формуле (7.98) найдем проекции ускорения на оси заданной криволинейной системы координат:

Кинематика в теоретической механике

Пример 7. Найти выражения для скорости и ускорение точки, движение которой задано в сферической системе координат (рис. 7.4).
 Решение. Криволинейными координатами в этом случае является Кинематика в теоретической механике
которые связаны следующими соотношениями с декартовыми: Кинематика в теоретической механике

Для выражения коэффициентов Ламе, воспользуемся выражениями (7.79). Для этого найдем сначала частные производные Кинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике

Подставив эти производные в формулы (7.79), получим:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                (1)

Дальше по формуле (7.87) получим:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                              (2)

Для нахождения соответствующих проекций ускорения вычислим сначала вспомогательную функцию Кинематика в теоретической механике по формуле (7.97), воспользовавшись (1):

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике                                                                           (3)

Проведем вспомогательные вычисления согласно операциям формулы (7.98):

Кинематика в теоретической механике                                                                                                    (4)

Подставив выражения (4) в (7.98), получим:

Кинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике                                                                         (5)

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике  

Выражения (2) и (5) будут решениями этой задачи.

Пример 8. Самолет, который принято за точку, движется относительно земной поверхности, которая принята  за сферу радиусом R со скоростью на заданной высоте h так, что ее северная и восточная составляющие соответственно равны Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике (рис. 7.22). Найти ускорение самолета относительно Земле, не учитывая ее собственного вращения.

Кинематика в теоретической механике
 Решение. Отметим, что ортогональная система криволинейных координат Кинематика в теоретической механикеявляется декартовой системой координат, которая жестко связаны с Землей и которую называют географической. Из условий у нас есть:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                                 (1)

Поскольку самолет летит на одной высоте, то очевидно, что Кинематика в теоретической механике Подставив (1) в формулы для Кинематика в теоретической механике примера 7, получим:

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике

Пример 9. При условиях задачи 8 найти ускорение самолета относительно неподвижной системы координат Кинематика в теоретической механике с учетом суточного вращения Земли с угловой скоростью  Кинематика в теоретической механике
 Решение. С рис. 7.23 видим, что вращение Земли даст дополнительно две составляющие угловые скорости Кинематика в теоретической механике

Что касается угловых скоростей, которые характеризуются криволинейными координатами
Кинематика в теоретической механикето, как видно из рис. 7.23, угловая скорость Кинематика в теоретической механике направлена ​​по той же оси, что и Кинематика в теоретической механике
поэтому угловые скорости, характеризующих изменения координат Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике, будут иметь вид:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                          (1)

где Кинематика в теоретической механике Кинематика в теоретической механике                                                                                (2)

Кинематика в теоретической механике

Итак, для вычисления ускорения самолета в неподвижной системе координат с учетом суточного вращения Земли нужно в формулу примера 7 подставить значение Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике, которые определяются  выражением (1).  В результате получим:

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике                    (3)

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике         

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике                 (4)Кинематика в теоретической механике

Выражения  (3) и (4) и будут решением задачи.

Основные понятия кинематики

Кинематика изучает движение материальных объектов как моделей реальных тел (точка, твердое тело, материальная система) с геометрической точки зрения, как геометрических образов, без изложения причин, вызывающих это движение. Такой подход не требует учета инерционных и силовых характеристик: масса и момент инерции, сила и момент силы.

Движение является формой существования материального мира, а механическое движение, простейшая форма движения материи — один из результатов взаимодействия материальных тел. Под ним понимают изменение положения тел в пространстве в течении времени по отношению к другому телу, с которым связана система отсчета.

Пространство, в котором происходит движение геометрических моделей в форме
перечисленных материальных объектов, считается абсолютным, метрические
особенности которого независимы от движения в нем материи в разных точках и
направлениях (однородность и изотропность пространства). Такое пространство
воспринимается как трехмерное, так что каждой точке абсолютного пространства
соответствуют, например, в декартовой системе, три координаты. Единицей измерения пространства в Международной системе единиц СИ является метр (1 м). 1 метр — это Кинематика в теоретической механике
млн. часть длины земного меридиана.

Свойство абсолютного времени — однородность и универсальность, оно одинаково всплывает во всех точках пространства, на всех телах. Поэтому можно
произвольно выбирать начало отсчета времени и измерять интервалы между
отдельными промежутками или моментами времени. Единицей измерения времени является секунда (1 с). 1 секунда — это Кинематика в теоретической механике тыс. часть суток.

Под абсолютным пространством и временем вводится понятие системы отсчета. Это совокупность системы координат, неизменно связанной с некоторым телом отсчета, и устройством с периодическим процессом для измерения времени (часы).

Во множественном числе систем отсчета, в которых можно постулировать пространство и время как абсолютные, выбираются так называемые инерциальные системы отсчета, в которых изолированная материальная точка может неограниченно долго находиться в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения под действием системы
уравновешенных сил.

Если некоторая система отсчета служит за инерциальную с заданной степенью точности, то можно указать бесконечное количество инерциальных систем отсчета, движущихся относительно выбранной системы поступательно, равномерно и прямолинейно.

При решении задач небесной механики, исчислении траекторий спутников принимается гелиоцентрическая система отсчета с началом в центре масс Солнечной системы и осями координат, направленными на неподвижные звезды.

При решении многих технических задач по инерциальную принимают за систему отсчета, связанную с центром Земли (геоцентрическая система отсчета).

Движение геометрической модели относительно выбранной системы отсчета считается известным, если можно определить его положение относительно этой системы в любой момент времени. При этом различают момент времени и промежуток времени. Промежуток времени — это течение времени между двумя физическими явлениями. Момент времени — это граница между двумя смежными промежутками времени.

Положение модели относительно данной системы отсчета определяется
соответствующими параметрами, а ее движение — кинематическими уравнениями,
выражают изменение этих параметров как функций времени.

Основная задача кинематики заключается в том, чтобы по известным кинематическим уравнениям движения определить кинематические характеристики этого движения: траектории точек, их линейные скорости и ускорения; угловые скорости и ускорения тела.

Поскольку каждое тело состоит из материальных точек, то естественно начать кинематику по изучению движения материальной точки.

Кинематика материальной точки

Для того, чтобы изучать движение материальной точки, необходимо выбрать способ его задания. Существует несколько способов задания движения материальной точки.

Кинематически задать движение или закон движения точки значит указать такой способ, позволяющий определить положение этой точки относительно данной системы отсчета в любой момент времени.

Способы задания движения материальной точки

Для задания движения материальной точки можно применить один из трех следующих способов:

1. Векторный;

2. Координатный;

3. Натуральный.

Рассмотрим последовательно указанные способы.

Векторный способ задания движения материальной точки

Этот способ нашел широкое применение в теоретических расчетах. Рассмотрим сущность этого способа.

Предположим, что произвольная материальная точка M движется в пространстве по некоторой траектории AB (рис. 2.1). Возьмем в пространстве прямоугольную декартову систему координат Oxyz с единичными векторами (ортами) на соответствующих осях Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике. С начала системы координат точки В проведем к подвижной точке M радиус-вектор Кинематика в теоретической механике. При движении точки M ее радиус-вектор Кинематика в теоретической механике будет с течением времени изменяться по величине (модулем) и направлением. Таким образом, если будет задан закон изменения радиус-вектора Кинематика в теоретической механике подвижной точки M как функция времени, то движение материальной точки считается заданным векторным способом. Математически это можно записать так:

Кинематика в теоретической механике = Кинематика в теоретической механике (t),

где t — время.

Соотношение называется кинематическим уравнением движения материальной точки в векторной форме. Одновременно это выражение можно рассматривать как уравнение траектории движения.

Найдем в принятой системе координат Oxyz величину радиус-вектора Кинематика в теоретической механике, для чего спроектируем его на оси координат:

Кинематика в теоретической механике = x(t) Кинематика в теоретической механике + y(t) Кинематика в теоретической механике + z(t) Кинематика в теоретической механике

где x(t), y(t), z(t) — текущие значения координат конца радиус-вектора Кинематика в теоретической механике или координаты подвижной точки M.

Кинематика в теоретической механике

Определим кинематические характеристики подвижной точки М.

Траектория движения точки

Траекторией АВ движения материальной точки М является геометрическое место концов радиус-вектора Кинематика в теоретической механике или непрерывная линия, которую описывает точка при своем движении относительно данной системы отсчета.

Введем понятие годографа векторной функции Кинематика в теоретической механике(t) по скалярному аргументу t. Это кривая, которая намечается концом вектора Кинематика в теоретической механике при непрерывном изменении времени t, когда начало вектора остается в фиксированной точке О. То есть, годограф описывает концы векторов Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике, … ,Кинематика в теоретической механике,  что соответствуют конкретным положением точки M в процессе движения. Это касается не только радиус-векторов, а и векторов скоростей, ускорений тому подобное. В данном случае годограф совпадает с траекторией АВ.

Скорость движения точки

Вторая кинематическая характеристика — скорость движения материальной точки M, показывает, как быстро и в каком направлении меняется ее положение в пространстве.

Скорость — это векторная величина, характеризующая степень изменения перемещения по времени.

Единица измерения скорости — Кинематика в теоретической механике или Кинематика в теоретической механике.

Для определения этой кинематической характеристики рассмотрим движение
материальной точки М. Считаем, что точка М движется по произвольной траектории АВ (рис. 2.1). За некоторый промежуток времени ∆t точка переместилась из положения М в положение M1 (радиус-вектор Кинематика в теоретической механике). Для того чтобы определить перемещение точки М за промежуток времени ∆t, соединим точки М и M1 и получим вектор ∆Кинематика в теоретической механике, который является геометрической разницей между векторами Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике. Тогда средняя скорость точки M за промежуток времени ∆t (согласно определения) равна:

Кинематика в теоретической механике

По направлению вектор Кинематика в теоретической механике будет совпадать с вектором ∆Кинематика в теоретической механике, то есть он расположен вдоль хорды MM1 в сторону движения точки M.

Если рассмотреть границу средней скорости Кинематика в теоретической механике при условии, что ∆стремится к нулю (∆t → 0), то скорость точки M в любой момент времени t будет равна:

Кинематика в теоретической механике

Таким образом, при векторном способе задания движения материальной точки ее скорость является первой производной от радиус-вектора точки по времени.

Направление вектора скорости Кинематика в теоретической механике точки — по касательной к траектории и направлен в сторону ее движения.

Ускорение движения точки

Третья кинематическая характеристика — ускорение движения материальной точки M, показывает, как быстро и в каком направлении меняется ее скорость движения.

Ускорение — это векторная величина, характеризующая степень изменения вектора скорости по времени.

Единица измерения ускорения — Кинематика в теоретической механике.

Определим ускорение материальной точки M. Рассмотрим движение точки по произвольной траектории AB (рис. 2.2). В положении М скорость точки была Кинематика в теоретической механике. За некоторый промежуток времени ∆t точка переместилась в положение М1, а ее скорость изменилась и равна Кинематика в теоретической механике. Указанные векторы скоростей точки будут направлены по касательным к траектории. Найдем прирост скорости за данный промежуток времени. Для этого перенесем параллельно вектор скорости Кинематика в теоретической механике в положение М. Соединим концы векторов Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике и получим вектор ∆Кинематика в теоретической механике. Отношение прироста ∆Кинематика в теоретической механике вектора Кинематика в теоретической механике к промежутку времени ∆t согласно определению ускорения будет средним ускорением подвижной материальной точки М. А именно:

Кинематика в теоретической механике

Вектор Кинематика в теоретической механике, будет параллельным вектору ∆Кинематика в теоретической механике.

Для получения мгновенного ускорения материальной точки необходимо рассмотреть бесконечно малый промежуток времени (то есть ∆t → 0), а все выражение свести к границе:

Кинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике

Если подставить в значение скорости точки уравнение выше, то будем иметь:

Кинематика в теоретической механике

Таким образом, при векторном способе задания движения материальной точки ее ускорение равно первой производной от скорости движения точки по времени, или второй производной от радиус-вектора точки по времени.

Вектор ускорения Кинематика в теоретической механике материальной точки будет направлен в сторону вогнутости траектории, то есть к ее центру кривизны. Более подробно о направлении вектора ускорения материальной точки будет дальше.

Координатный способ задания движения материальной точки

Этот способ задания движения материальной точки широко используется при решении задач, в технических расчетах.

При таком способе задания движения материальной точки заранее задаются координаты материальной точки как функции времени. Если выбрать в пространстве прямоугольную декартову систему координат Oxyz, то при движении точки M все три ее координаты будут меняться со временем (рис. 2.1). Для того, чтобы знать положение точки в любой момент времени, а также для определения ее кинематических характеристик, необходимо задать выражения этих координат как функции времени:

x = x(t),

y = y(t),

z = z(t).

Эти параметрические уравнения, в которых роль параметра играет время t, является
кинематическими уравнениями движения точки в прямоугольной декартовой системе
координат (или законом движения точки в координатной форме) и определяют суть данного способа.

Следует заметить, что если движение материальной точки осуществляется в одной плоскости xOy, то в уравнениях закон изменения координаты z уже не нужен и уравнение приобретает следующий вид:

x = x(t),

y = y(t),

Если материальная точка совершает прямолинейное движение, то достаточно выбрать одну ось координат, например Ox, совместив ее с направлением движения, тогда это движение будет описано одним уравнением:

x = x(t).

Определим кинематические характеристики движения материальной точки при данном способе задания ее движения.

Траектория движения точки

Уравнения выше фактически являются уравнениями траектории движения материальной точки в параметрической форме, в которых, как было сказано выше, роль параметра играет время t. Для нахождения траектории движения в обычной форме необходимо исключить из уравнений движения время t, то есть получить зависимость между самими координатами. Это можно сделать несколькими способами. Например, подстановкой или подъемом обеих частей уравнений квадрату и почленно добавлением (если уравнения содержат тригонометрические функции).

Пример:

Движение материальной точки осуществляется в плоскости xOy и заданный такими уравнениями:

x = 2t, м,

y = 12t2, м,

Определить траекторию движения точки.

Решение.

Траекторию движения материальной точки можно определить одним из двух способов:

а) задать разные моменты времени и изобразить координаты точки х, у на графике;

б) исключить время t из заданных уравнений движения. Так, из первого уравнения время будет равняться t = Кинематика в теоретической механике. Тогда после подстановки времени во второе уравнение, будем иметь:

yКинематика в теоретической механике  = 3x.

Таким образом, траектории движения точки является парабола с вершиной, которая
расположена в начале координат и осью симметрии yO.

Пример:

Движение материальной точки задано уравнениями:

x = 3sin t см,

y = 3cos t см,

где t — в секундах.

Определить траекторию движения точки.

Решение.

Уравнение траектории движения можно определить, если исключить время t с уравнений движения. Перепишем уравнение движения материальной точки следующим образом:

Кинематика в теоретической механике

Поднося к квадрату и добавляя отдельно левые и правые части этих выражений, получим:

Кинематика в теоретической механике

или

x2 + y2 = 32.

Итак, уравнением траектории движения материальной точки будет уравнения
окружности радиусом R = 3 см с центром в начале координат.

Скорость движения точки

Для определения скорости движения материальной точки при координатном способе задания используем основные положения, которые были полученные при рассмотрении векторного способа задания движения материальной точки. С этой целью, подставив выражение в выражение, получим:

Кинематика в теоретической механике

С другой стороны, вектор скорости Кинематика в теоретической механике (как и любой другой вектор) можно в принятой системе координат Oxyz представить через его проекции на оси координат. А именно:

Кинематика в теоретической механике

где vx, vy, и vz — проекции вектора скорости на соответствующие оси координат.

Если рассмотреть и сравнить выражения, то можно увидеть, что есть возможность приравнять коэффициенты при единичных векторах Кинематика в теоретической механике,  Кинематика в теоретической механике ,Кинематика в теоретической механике и получить такие выражения для проекций вектора скорости на соответствующие оси координат:

Кинематика в теоретической механике

Таким образом, проекции вектора скорости материальной точки на координатные оси равны первым производным по времени от соответствующих координат.

Если известны проекции вектора скорости на оси координат, то есть возможность составить их геометрически и получить модуль вектора скорости v материальной точки:

Кинематика в теоретической механике

Направление вектора скорости Кинематика в теоретической механике определяется через направляющие косинусы углов, которые этот вектор образует с соответствующими осями координат:

Кинематика в теоретической механике

Зная направляющие косинусы, через арккосинус находят сами углы.

Ускорение движения точки

Для определения ускорения движения материальной точки при координатном способе задания движения ведем себя аналогично, как и в случае определения скорости движения. А именно: значение радиус-вектора Кинематика в теоретической механике подставим в выражение, определим вторую производную и найдем ускорение

Кинематика в теоретической механике

С другой стороны, вектор ускорения Кинематика в теоретической механике можно в принятой системе координат Oxyz представить в виде его проекций на оси координат. А именно:

Кинематика в теоретической механике

Если сравнить уравнения, то можно написать такие соотношения:

Кинематика в теоретической механике

Таким образом, проекции вектора ускорения материальной точки на оси координат равны вторым производным по времени от соответствующих координат.

Если известны проекции вектора ускорения на оси координат, то есть возможность составить их геометрически и получить модуль самого вектора:

a = Кинематика в теоретической механике.

Направление вектора Кинематика в теоретической механике также определяется через направляющие косинусы:

Кинематика в теоретической механике

Используя значение направляющих косинусов, через арккосинус находят сами углы.

Таким образом, при координатном способе задания движения материальной точки, если это движение осуществляется в пространстве, ее скорость Кинематика в теоретической механике и ускорение Кинематика в теоретической механикеопределяются соответственно с помощью выражений. Если движение осуществляется в плоскости, то во всех этих выражениях отбрасывается одна координата, а если прямолинейно, то отбрасываются две координаты.

Услуги по теоретической механике:

  1. Заказать теоретическую механику
  2. Помощь по теоретической механике
  3. Заказать контрольную работу по теоретической механике

Учебные лекции:

  1. Статика
  2. Система сходящихся сил
  3. Момент силы
  4. Пара сил
  5. Произвольная система сил
  6. Плоская произвольная система сил
  7. Трение
  8. Расчет ферм
  9. Расчет усилий в стержнях фермы
  10. Пространственная система сил
  11. Произвольная пространственная система сил
  12. Плоская система сходящихся сил
  13. Пространственная система сходящихся сил
  14. Равновесие тела под действием пространственной системы сил
  15. Естественный способ задания движения точки
  16. Центр параллельных сил
  17. Параллельные силы
  18. Система произвольно расположенных сил
  19. Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки
  20. Кинематика твердого тела
  21. Движения твердого тела
  22. Динамика материальной точки
  23. Динамика механической системы
  24. Динамика плоского движения твердого тела
  25. Динамика относительного движения материальной точки
  26. Динамика твердого тела
  27. Кинематика простейших движений твердого тела
  28. Общее уравнение динамики
  29. Работа и мощность силы
  30. Обратная задача динамики
  31. Поступательное и вращательное движение твердого тела
  32. Плоскопараллельное (плоское) движение твёрдого тела
  33. Сферическое движение твёрдого тела
  34. Движение свободного твердого тела
  35. Сложное движение твердого тела
  36. Сложное движение точки
  37. Плоское движение тела
  38. Статика твердого тела
  39. Равновесие составной конструкции
  40. Равновесие с учетом сил трения
  41. Центр масс
  42. Колебания материальной точки
  43. Относительное движение материальной точки
  44. Статические инварианты
  45. Дифференциальные уравнения движения точки под действием центральной силы и их анализ
  46. Динамика системы материальных точек
  47. Общие теоремы динамики
  48. Теорема об изменении кинетической энергии
  49. Теорема о конечном перемещении плоской фигуры
  50. Потенциальное силовое поле
  51. Метод кинетостатики
  52. Вращения твердого тела вокруг неподвижной точки

Содержание

  1. Какими способами можно задать положение точки как задают положение точки
  2. Способы задания положения точки и описание ее движения — Кинематика — МЕХАНИКА
  3. Положение и движение точки в пространстве
  4. Урок 2. Физика 10 класс
  5. В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
  6. Получите невероятные возможности
  7. Конспект урока «Положение и движение точки в пространстве»

Какими способами можно задать положение точки как задают положение точки

Движение. Виды движений. Описание движения. Система отсчета.

Механическим движением тела (точки) называется изменение его положения в пространстве относительно других тел с течением времени.

А) Равномерное прямолинейное движение материальной точки.

Б) Равноускоренное прямолинейное движение материальной точки.

В) Движение тела по дуге окружности с постоянной по модулю скоростью.

Г) Гармоническое колебательное движение. Важным случаем механического движения являются колебания, при которых параметры движения точки (координаты, скорость, ускорение) повторяются через определенные промежутки времени.

1. Векторный способ описания движения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Векторный способ описания движения – это описание изменения радиус-вектора материальной точки в пространстве с течением времени.

Рассмотрим движение точки М в некоторой системе отсчета Oxyz (рис.1). Зададим радиус-вектор точки r — вектор, соединяющий начало координат с этой точкой.

При движении точки M вектор r будет с течением времени изменяться, т.е. будет каким-то образом зависеть от времени. Эта зависимость r = r ( t ) представляет собой закон движения в векторном виде.

В процессе движения конец радиус-вектора будет описывать траекторию, а его изменение – перемещение s точки.

2. Координатный способ описания движения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Координатный способ описания движения – описание изменения во времени координат точки в выбранной системе отсчета.

В декартовой системе координат положение точки определяется тройкой чисел ( x , y , z ) — ее декартовыми координатами.

Чтобы задать закон движения точки, необходимо знать значения ее координат в каждый момент времени. Закон движения в координатном виде в общем случае представляет собой систему трех уравнений: x = x ( t ), y = y ( t ), z = z ( t )

Между векторным и координатным способом описания движения существует непосредственная связь, а именно: числовые значения проекций радиус-вектора движущейся точки на координатные оси системы с тем же началом отсчета равны координатам точки: rx = x , ry = y , rz = z .

3. Естественный способ описания движения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Естественный способ описания движения – описание движения вдоль траектории. Этим способом пользуются, когда траектория точки заранее известна.

Пусть точка М движется вдоль траектории АВ в системе отсчета Oxyz (рис.3). Выберем на траектории какую-нибудь неподвижную точку О 1 , которую будем считать началом отсчета, и определим положительное и отрицательное направления. Тогда положение точки M будет определяться расстоянием S от точки О 1 . При движении точка М переместится в точку М 1 , соответственно изменится ее расстояние от точки О 1 . Таким образом, расстояние S зависит от времени, а характер этой зависимости позволит определить положение точки М на траектории в любой момент времени. Закон движения в этом случае имеет вид: s = s ( t ) .

Под системой отсчета понимают тело отсчета, которое условно считается неподвижным, систему координат, связанную с телом отсчета, и часы, также связанные с телом отсчета. В кинематике система отсчета выбирается в соответствии с конкретными условиями задачи описания движения тела.

Источник

Способы задания положения точки и описание ее движения — Кинематика — МЕХАНИКА

1.1. Кинематика

1.1.5. Способы задания положения точки и описание ее движения

Положение точки в пространстве задается двумя способами:

1) с помощью координат; 2) с помощью радиус-вектора.

Положение точки с помощью координат задается тремя проекциями точки х, у, z на оси декартовой системы координат ОХ, ОУ, ОZ, связанные с телом отсчета (рис. 1.3). Для этого из точки А необходимо опустить перпендикуляры на плоскости УZ (координата х), ХZ (координата у), ХУ (координата z) соответственно. Записывается это так: А (х, у, z). Для конкретного случая, изображенного на рис. 1.3 (х = 6, у = 10, z = 4,5), точка А обозначается A (6; 10; 4,5).

Наоборот, если заданы конкретные значения координат точки в данной системе координат, то для изображения самой точки необходимо отложить значения координат на соответствующие оси (х на ось ОХ и т. д.) и на этих трех взаимно перпендикулярных отрезках построить параллелепипед. Вершина его, противоположная началу координат О и лежащая на диагонали параллелепипеда, и будет искомой точкой А.

Если точка движется в пределах некоторой плоскости, то через выбранные на теле отсчета точки достаточно провести две координатные оси: ОХ и ОУ. Тогда положение точки на плоскости определяют двумя координатами х и у (рис. 1.4).

Если точка движется вдоль прямой, достаточно задать одну координатную ось ОХ и направить ее вдоль линии движения.

Задание положения точки А с помощью радиус-вектора осуществляется соединением точки А с началом координат О (рис. 1.4). Направленный отрезок О А = называется радиус-вектором.

Радиус-вектор — это вектор, соединяющий начало отсчета с положением точки в произвольный момент времени.

Точка задана радиус-вектором, если известны его длина (модуль) и направление в пространстве, т. е. значения его проекций rх, ry, rz на оси координат ОХ, ОУ, OZ, либо углы между радиус-вектором и осями координат. Для случая движения на плоскости (рис. 1.4) имеем:

Здесь r = | — модуль радиус-вектора , х и y — его проекции на оси координат, все три величины — скаляры; х и у — координаты точки А.

Последние уравнения демонстрируют связь между координатным и векторным способами задания положения точки.

Вектор г можно также разложить на составляющие по осям X и У, т. е. представить в виде суммы двух векторов (рис. 1.4):

Таким образом, положение точки в пространстве задается либо ее координатами, либо радиус- вектором.

Способы описания движения точки

В соответствии со способами задания координат движение точки можно описать: 1) координатным способом; 2) векторным способом.

При координатном способе описания (или задания) движения изменение координат точки со временем записывается в виде функций всех трех ее координат от времени:

Уравнения (1.1) называют кинематическими уравнениями движения точки, записанными в координатной форме. Зная кинематические уравнения движения и начальные условия (т. е. положение точки в начальный момент времени), можно определить положение точки в любой момент времени.

При векторном способе описания движения точки изменение ее положения со временем задается зависимостью радиус-вектора от времени:

Уравнение (1.2) представляет собой уравнение движения точки, записанное в векторной форме. Если оно известно, то для любого момента времени можно рассчитать радиус-вектор точки, т. е. определить ее положение (как и в случае координатного способа). Таким образом, задание трех скалярных уравнений (1.1) равносильно заданию одного векторного уравнения (1.2).

Для каждого случая движения вид уравнений (1.1) или (1.2) будет вполне определенным. Если траекторией движения точки является прямая линия, движение называетсяпрямолинейным, а если кривая — криволинейным.

Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.

Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.

Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.

Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.

© 2014-2021 Все права на дизайн сайта принадлежат С.Є.А.

Источник

Положение и движение точки в пространстве

Урок 2. Физика 10 класс

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Положение и движение точки в пространстве»

Мы продолжаем тему классической механики Ньютона. Механика делится на два основных раздела: кинематика и динамика. Мы начнём с изучения кинематики.

Кинематика изучает движение тел, способы описания этого движения, а также, его характеристики.

Описать движение человека или полет бабочки математически — это крайне сложная задача. Но есть задачи и проще: например, описать движение материальной точки. Добавим теперь, что эта точка двигается равномерно и прямолинейно. Тогда, описать её движение не так уж сложно. Именно с таких идеализированных моделей и следует начать изучение кинематики. Ведь если мы сможем описать движение каждой точки тела, то мы также сможем описать движение самого тела.

В первую очередь, нужно создать систему отсчёта. Система отсчёта состоит из тела отсчёта, системы координат и счётчика времени.

Тело отсчёта — это физическое тело, относительно которого задаётся положение данного тела или точки.

Понять это довольно просто. На рисунке изображено дерево.

На каком расстоянии находится это дерево? На каком расстоянии от чего? — спросите вы. Конечно, нам нужно выбрать точку отсчета. Это может быть белый треугольник на камне, а может быть флажок на за́мке. В зависимости от этого выбора, ответ на вопрос будет различным. Необходимо выбрать какую-то точку за точку отсчёта, то есть за ноль. Скажем, мы можем обозначить за ноль центр картинки.

Далее, мы используем декартовы координаты, чтобы описать положения тел. Выбираем единичный отрезок и, исходя из этого определяем положения тел. Это положение задаётся с помощью координат. Например, точка А имеет координаты четыре и минус три, а точка Б — три и два. Также, можно задать положение тела с помощью радиус-вектора — это вектор, который соединяет точку и начало координат.

Радиус-вектор обозначается латинской буквой r и, как и любой другой вектор, имеет длину и направление. Длиной радиус-вектора будет является геометрическая сумма координат точки. Иными словами, мы вычисляем длину радиус-вектора, используя теорему Пифагора. То есть, длина радиус-вектора, описывающего положение точки B будет равна .

Модуль и направление любого вектора находят с помощью проекций этого вектора на оси координат.

Что же такое проекция? Давайте рассмотрим вектор с начальной точкой А и конечной точкой B, находящийся в системе координат на плоскости.

Из точек А и B опустим перпендикуляры на ось икс. Длина отрезка А1 B1 — это и есть проекция вектора цэ на ось x. Точно таким же способом находится проекция вектора на ось y. Как видно из построения: . Аналогично можно найти проекцию на ось y: ..

Проекция вектора на ось — это алгебраическая величина. Её знак можно определить так: если, двигаясь от начальной точки проекции до конечной точки проекции, надо идти в положительном направлении, то проекция положительная, а в противном случае — она отрицательная.

Иначе это можно объяснить так: если вектор составляет острый угол с направлением оси, на которую мы собираемся сделать проекцию, то проекция будет положительной, а если угол между вектором и направлением оси — тупой, то проекция будет отрицательной.

Нетрудно догадаться, что если вектор перпендикулярен оси, то его проекция на эту ось будет равна нулю.

Аналогично, если вектор параллелен оси, то его проекция на эту ось будет равна модулю вектора.

Рассмотрим теперь, как задать положение точки в пространстве, а не на плоскости. Как вы знаете, у есть три пространственных измерения, поэтому, чтобы задать положение точки в пространстве нам нужно три координаты. Сначала мы точно также, как и ранее, находим точку на плоскости, а потом от этой точки откладываем числовое значение координаты z параллельно оси Z.

Положение такой точки точно также можно задать с помощью радиус-вектора. Его модуль также будет находиться с помощью геометрической суммы координат точки.

Примеры решения задач.

Задача 1. В системе координат отметьте точку N (1;3;7), постройте соответствующий радиус-вектор и найдите его длину.

Задача 2. В системе координат отметьте точку N (1;3;7), постройте соответствующий радиус-вектор и найдите его длину.

Задача 3. Постройте проекции вектора на оси x и y и найдите их числовые значения, если , а угол между и осью x составляет 30.

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как составить договор дарения имущества для приставов образец по кредитам
  • Как найти сумму высвобождения оборотных средств
  • Как найти в иллюстраторе слои
  • Как найти частные сбережения в макроэкономике формула
  • Как найти карту сайта на вордпресс