Как найти положительный знаменатель геометрической прогрессии

        Геометрическая прогрессия — это новый вид числовой последовательности, с которым нам предстоит познакомиться. Для успешного знакомства не помешает хотя бы знать и понимать, что такое арифметическая прогрессия. Тогда и с геометрической прогрессией проблем не будет.)

Что такое геометрическая прогрессия? Понятие геометрической прогрессии.

        Начинаем экскурсию, как обычно, с элементарщины. Пишу незаконченную последовательность чисел:

        1, 10, 100, 1000, 10000, …

        Сможете уловить закономерность и сказать, какие числа пойдут дальше? Ясен перец, дальше пойдут числа 100000, 1000000 и так далее. Даже без особого умственного напряжения всё ясно, правда ведь?)

        Ладно. Ещё пример. Пишу вот такую последовательность:

        1, 2, 4, 8, 16, …

        Сможете сказать, какие числа пойдут дальше, вслед за числом 16 и назвать восьмой член последовательности? Если вы сообразили, что это будет число 128, то очень хорошо. Значит, полдела в понимании смысла и ключевых моментов геометрической прогрессии уже сделано. Можно расти дальше.)

        А теперь снова переходим от ощущений к строгой математике.

        Ключевые моменты геометрической прогрессии.

        Ключевой момент №1

        Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел. Как и арифметическая прогрессия. Ничего хитрого. Только устроена эта последовательность по-другому. Отсюда, естественно, и другое название носит, да…

        Ключевой момент №2

        Со вторым ключевым моментом вопрос похитрее будет. Давайте вернёмся чуть назад и вспомним ключевое свойство арифметической прогрессии. Вот оно: каждый член отличается от предыдущего на одну и ту же величину.

        А можно ли похожее ключевое свойство сформулировать для геометрической прогрессии? Подумайте немного… Присмотритесь к приведённым примерам. Догадались? Да! В геометрической прогрессии (любой!) каждый её член отличается от предыдущего в одно и то же число раз. Всегда!

        В первом примере это число — десятка. Какой член последовательности ни возьми, он больше предыдущего в десять раз.

        Во втором примере это — двойка: каждый член больше предыдущего в два раза.

        Именно этим ключевым моментом геометрическая прогрессия и отличается от арифметической. В арифметической прогрессии каждый следующий член получается прибавлением одной и той же величины к предыдущему члену. А здесь — умножением предыдущего члена на одну и ту же величину. Вот и вся разница.)

        Ключевой момент №3

        Этот ключевой момент полностью идентичен таковому для арифметической прогрессии. А именно: каждый член геометрической прогрессии стоит на своём месте. Всё точь-в-точь как и в арифметической прогрессии и комментарии, я думаю, излишни. Есть первый член, есть сто первый и т.д. Переставим местами хотя бы два члена — закономерность (а вместе с ней и геометрическая прогрессия) исчезнут. Останется просто последовательность чисел безо всякой логики.

        Вот и всё. Вот и весь смысл геометрической прогрессии.

Термины и обозначения.

        А вот теперь, разобравшись со смыслом и ключевыми моментами геометрической прогрессии, можно и к теории переходить. А иначе какая же теория без понимания смысла, правда?

        Как обозначать геометрическую прогрессию?

        Как записывается геометрическая прогрессия в общем виде? Никаких проблем! Каждый член прогрессии также записывается в виде буквы. Только для арифметической прогрессии, обычно, используется буква «а», для геометрической — буковка «b». Номер члена, как обычно, указывается индексом справа внизу. Сами члены прогрессии просто перечисляем через запятую или точку с запятой.

        Вот так:

        b₁, b₂, b₃, b₄, b₅, b₆, …

        Коротко такую прогрессию записывают вот так: (b_n).

        Или вот так, для конечных прогрессий:

        b₁, b₂, b₃, b₄, b₅, b₆.

        b₁, b₂, …, b₂₉, b₃₀.

        Или, в краткой записи:

        (b_n), n=30.

        Вот, собственно, и все обозначения. Всё то же самое, только буква другая, да.) А теперь переходим непосредственно к определению.

      Определение геометрической прогрессии.

        Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый последующий член равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же ненулевое число.

        Вот и всё определение. Большинство слов и фраз вам понятны и хорошо знакомы. Если, конечно, понимаете смысл геометрической прогрессии «на пальцах» и числовой последовательности вообще. Но есть и несколько новых фраз, на которые я хотел бы обратить особое внимание.

        Во-первых, слова: «первый член которой отличен от нуля«.

        Это ограничение на первый член введено не случайно. Как вы думаете, что произойдёт, если первый член b₁ окажется равным нулю? Чему будет равен второй член, если каждый член больше предыдущего в одно и то же число раз? Допустим, в три раза? Посмотрим… Умножаем первый член (т.е. 0) на 3 и получаем… ноль! А третий член? Тоже ноль! И четвёртый член — тоже ноль! И так далее…

        Получаем просто мешок баранок последовательность нулей:

        0, 0, 0, 0, …

        Конечно, такая последовательность имеет право на жизнь, но никакого практического интереса она не представляет. Всё и так понятно. Любой её член — ноль. Сумма любого количества членов — тоже ноль… Что с ней интересного можно делать? Ничего…

        Следующие ключевые слова: «умноженному на одно и то же ненулевое число».

        Это самое число тоже носит своё специальное название — знаменатель геометрической прогрессии. Начинаем знакомство.)

        Знаменатель геометрической прогрессии.

        Всё проще простого.

        Знаменатель геометрической прогрессии — это ненулевое число (или величина), показывающее, во сколько раз каждый член прогрессии больше предыдущего.

        Опять же, по аналогии с арифметической прогрессией, ключевым словом, на которое следует обратить внимание в этом определении, является слово «больше». Оно означает, что каждый член геометрической прогрессии получается умножением на этот самый знаменатель предыдущего члена.

        Поясняю.

        Для расчёта, скажем, второго члена, надо взять первый член и умножить его на знаменатель. Для расчёта десятого члена, надо взять девятый член и умножить его на знаменатель.

        И так далее и тому подобное…

        Сам знаменатель геометрической прогрессии может при этом быть каким угодно. Совершенно любым! Целым, дробным, положительным, отрицательным, иррациональным — всяким. Кроме нуля. Об этом и говорит нам слово «ненулевое» в определении. Зачем это слово тут нужно — об этом далее.

        Знаменатель геометрической прогрессии обозначается, чаще всего, буковкой q.

        Как найти это самое q ? Не вопрос! Надо взять любой член прогрессии и поделить на предыдущий член. Деление — это дробь. Отсюда и название — «знаменатель прогрессии». Знаменатель, он обычно в дроби сидит, да…) Хотя, по логике, величину q следовало бы называть частным геометрической прогрессии, по аналогии с разностью для прогрессии арифметической. Но договорились называть знаменателем. И мы тоже не будем изобретать велосипед.)

        Определим, например, величину q для такой геометрической прогрессии:

        2, 6, 18, 54, …

        Всё элементарно. Берём любое число последовательности. Какое хотим, такое и берём. Кроме самого первого. Например, 18. И делим на предыдущее число. То есть, на 6.

        Получаем:

        q = 18/6 = 3

        Вот и всё. Это верный ответ. Для данной геометрической прогрессии знаменатель равен трём.

        Найдём теперь знаменатель q для другой геометрической прогрессии. Например, вот такой:

        1, -2, 4, -8, 16, …

        Всё то же самое. Какие бы знаки ни были у самих членов, всё равно берём любое число последовательности (например, 16) и делим на предыдущее число (т.е. -8).

        Получим:

        d = 16/(-8) = -2

        И все дела.) В этот раз знаменатель прогрессии оказался отрицательным. Минус два. Бывает.)

        Возьмём теперь вот такую прогрессию:

        1, 1/3, 1/9, 1/27, …

        И снова, вне зависимости от вида чисел, стоящих в последовательности (хоть целые, хоть дробные, хоть отрицательные, хоть иррациональные), берём любое число (например, 1/9) и делим на предыдущее число (1/3). По правилам действий с дробями, естественно.

        Получим:

        И всё.) Здесь знаменатель оказался дробным: q = 1/3.

        А вот такая «прогрессия» как вам?

        3, 3, 3, 3, 3, …

        Очевидно, здесь q = 1. Формально это тоже геометрическая прогрессия, только с одинаковыми членами.) Но такие прогрессии для изучения и практического применения не интересны. Так же, как и прогрессии со сплошными нулями. Поэтому мы их рассматривать и не будем.

        Как вы видите, знаменатель прогрессии может быть каким угодно — целым, дробным, положительным, отрицательным — всяким! Не может быть только нулём. Не догадались, почему?

        Ну, давайте на каком-нибудь конкретном примере посмотрим, что будет, если взять в качестве знаменателя q нолик.) Пусть у нас, допустим, будет b₁ = 2, а q = 0. Чему тогда будет равен второй член?

        Считаем:

        b₂ = b₁·q = 2·0 = 0

        А третий член?

        b₃ = b₂·q = 0·0 = 0

        Ну что, стоит считать дальше или нет? Я думаю, уже каждому… эээ-э-э… В общем, каждому ясно, что все последующие члены (кроме, быть может, первого), будут нулями… И чем нам такая последовательность интересна? Ничем.) Вот и не рассматривают нулевой знаменатель в геометрической прогрессии. Так же, как и не рассматривают нулевой первый член, да.)

Виды и поведение геометрических прогрессий.

        С арифметической прогрессией всё было более-менее ясно: если разность прогрессии d положительна, то прогрессия возрастает. Если же разность отрицательна, то прогрессия убывает. Всего два варианта. Третьего не дано.)

        А вот с поведением геометрической прогрессии всё будет уже гораздо интереснее и разнообразнее!)

        Как только себя тут члены ни ведут: и возрастают, и убывают, и неограниченно приближаются к нулю, и даже меняют знаки, попеременно бросаясь то в «плюс», то в «минус»! И во всём этом многообразии надо уметь хорошо разбираться, да…

        Разбираемся?) Начинаем с самого простого случая.

        Знаменатель положительный (q>0)

        При положительном знаменателе, во-первых, члены геометрической прогрессии могут уходить в плюс бесконечность (т.е. неограниченно возрастать) и могут уходить в минус бесконечность (т.е. неограниченно убывать). К такому поведению прогрессий мы уже попривыкли.

        Например:

        (b_n): 1, 2, 4, 8, 16, …

        Здесь всё просто. Каждый член прогрессии получается больше предыдущего. Причём каждый член получается умножением предыдущего члена на положительное число +2 (т.е. q = 2). Поведение такой прогрессии очевидно: все члены прогрессии неограниченно растут, уходя в космос. В плюс бесконечность…

        А теперь вот такая прогрессия:

        (b_n): -1, -2, -4, -8, -16, …

        Здесь тоже каждый член прогрессии получается умножением предыдущего члена на положительное число +2. А вот поведение такой прогрессии уже прямо противоположное: каждый член прогрессии получается меньше предыдущего, и все её члены неограниченно убывают, уходя в минус бесконечность.

        А теперь давайте подумаем: что общего у этих двух прогрессий? Правильно, знаменатель! И там и там q = +2. Положительное число. Двойка. А вот поведение этих двух прогрессий — принципиально разное! Не догадались, почему? Да! Всё дело в первом члене! Именно он, как говорится, и заказывает музыку.) Смотрите сами.

        В первом случае первый член прогрессии положительный (+1) и, стало быть, все последующие члены, получаемые умножением на положительный знаменатель q = +2, также будут положительными.

        А вот во втором случае первый член отрицательный (-1). Поэтому и все последующие члены прогрессии, получаемые умножением на положительное q = +2, также будут получаться отрицательными. Ибо «минус» на «плюс» всегда даёт «минус», да.)

        Как вы видите, в отличие от арифметической прогрессии, геометрическая прогрессия может вести себя совершенно по-разному не только в зависимости от знаменателя q, но ещё и в зависимости от первого члена, да.)

        Запоминаем: поведение геометрической прогрессии однозначно определяется её первым членом b₁ и знаменателем q.

        А теперь начинаем разбор менее привычных, но зато гораздо более интересных случаев!

        Возьмём, например, вот такую последовательность:

        (b_n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

        Эта последовательность — тоже геометрическая прогрессия! Каждый член этой прогрессии тоже получается умножением предыдущего члена, на одно и то же число. Только число это — дробное: q = +1/2. Или +0,5. Причём (важно!) число, меньшее единички: q = 1/2<1.

        Чем интересна эта геометрическая прогрессия? Куда стремятся её члены? Давайте посмотрим:

        1;

        1/2 = 0,5;

        1/4 = 0,25;

        1/8 = 0,125;

        1/16 = 0,0625;

        …….

        Что интересного здесь можно заметить? Во-первых, сразу бросается в глаза убывание членов прогрессии: каждый её член меньше предыдущего ровно в 2 раза. Или, в соответствии с определением геометрической прогрессии, каждый член больше предыдущего в 1/2 раза, т.к. знаменатель прогрессии q = 1/2. А от умножения на положительное число, меньшее единички, результат обычно уменьшается, да…

        Что ещё можно заметить в поведении этой прогрессии? Убывают ли её члены неограниченно, уходя в минус бесконечность? Нет! Они убывают по-особенному. Сначала довольно быстро убывают, а потом всё медленнее и медленнее. Причём всё время оставаясь положительными. Пускай и очень-очень маленькими. А к чему же они сами при этом стремятся? Не догадались? Да! К нулю они стремятся!) Причём, обратите внимание, самого нуля члены нашей прогрессии никогда не достигают! Только лишь бесконечно близко к нему приближаются. Это очень важно.)

        Похожая ситуация будет и в такой прогрессии:

        (b_n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

        Здесь b₁ = -1, а q = 1/2. Всё то же самое, только к нулю теперь члены будут приближаться уже с другой стороны, снизу. Всё время оставаясь отрицательными.)

        Такая геометрическая прогрессия, члены которой неограниченно приближаются к нулю (неважно, с положительной или с отрицательной стороны), в математике носит особое название — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Прогрессия эта настолько интересная и необычная, что о ней даже будет отдельный урок.)

        Итак, мы рассмотрели все возможные положительные знаменатели — и большие единички и меньшие единички. Саму единичку в качестве знаменателя мы не рассматриваем по причинам, изложенным выше (вспомните пример с последовательностью троек…)

        Подытожим:

        Если знаменатель геометрической прогрессии положителен и больше единицы (q>1), то члены прогрессии:

        a) неограниченно возрастают (если b₁>0);

        б) неограниченно убывают (если b₁<0).

        Если знаменатель геометрической прогрессии положителен и меньше единицы (0<q<1), то члены прогрессии:

        а) бесконечно близко приближаются к нулю сверху (если b₁>0);

        б) бесконечно близко приближаются к нулю снизу (если b₁<0).

        Осталось теперь рассмотреть случай отрицательного знаменателя.

        Знаменатель отрицательный (q<0)

        За примером далеко ходить не будем. Чего, собственно, лохматить бабушку?!) Пусть, например, первый член прогрессии будет b₁ = 1, а знаменатель возьмём q = -2.

        Получим вот такую последовательность:

        (b_n): 1, -2, 4, -8, 16, …

        И так далее.) Каждый член прогрессии получается умножением предыдущего члена на отрицательное число -2. При этом все члены, стоящие на нечётных местах (первый, третий, пятый и т.д.) будут положительными, а на чётных местах (второй, четвёртый и т.д.) — отрицательными. Знаки строго чередуются. Плюс-минус-плюс-минус… Такая геометрическая прогрессия так и называется — возрастающей знакочередующейся.

        Куда же стремятся её члены? А никуда.) Да, по абсолютной величине (т.е. по модулю) члены нашей прогрессии неограниченно возрастают (отсюда и название «возрастающая»). Но при этом каждый член прогрессии поочерёдно бросает то в жар, то в холод. То в «плюс», то в «минус». Колеблется наша прогрессия… Причём размах колебаний с каждым шагом стремительно растёт, да.) Стало быть, стремления членов прогрессии куда-то конкретно здесь нет. Ни к плюс бесконечности, ни к минус бесконечности, ни к нулю — никуда.

        Рассмотрим теперь какой-нибудь дробный знаменатель между нулём и минус единичкой.

        Например, пусть будет b₁ = 1, а q = -1/2.

        Тогда получим прогрессию:

        (b_n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

        И снова имеем чередование знаков! Но, в отличие от предыдущего примера, здесь уже прослеживается чёткая тенденция приближения членов к нулю.) Только в этот раз наши члены приближаются к нулю не строго сверху или снизу, а снова колеблясь. Попеременно принимая то положительные, то отрицательные значения. Но при этом их модули становятся всё ближе и ближе к заветному нолику.)

        Такая геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей знакочередующейся.

        Чем интересны эти два примера? А тем, что в обоих случаях имеет место чередование знаков! Такая фишка характерна только для прогрессий с отрицательным знаменателем, да.) Стало быть, если в каком-то задании вы увидите геометрическую прогрессию со знакочередующимися членами, то уже твёрдо будете знать, что её знаменатель на 100% отрицательный и не ошибётесь в знаке.)

        Кстати, в случае отрицательного знаменателя знак первого члена совершенно не влияет на поведение самой прогрессии. С каким бы знаком первый член прогрессии ни был, в любом случае будет наблюдаться знакочередование членов. Весь вопрос лишь в том, на каких местах (чётные или нечётные) будут стоять члены с конкретными знаками.

        Запоминаем:

        Если знаменатель геометрической прогрессии отрицательный, то знаки членов прогрессии всегда чередуются.

        При этом сами члены:

        а) неограниченно возрастают по модулю, если q<-1;

        б) бесконечно приближаются к нулю, если -1<q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

        Вот и всё. Все типовые случаи разобраны.)

        В процессе разбора самых разных примеров геометрических прогрессий, я периодически употреблял слова: «стремится к нулю», «стремится к плюс бесконечности», «стремится к минус бесконечности»… Ничего страшного.) Эти речевые обороты (и конкретные примеры) — всего лишь начальное знакомство с поведением самых разных числовых последовательностей. На примере геометрической прогрессии.

        Зачем нам вообще нужно знать поведение прогрессии? Какая разница, куда она там стремится? К нулю ли, к плюс бесконечности, к минус бесконечности… Нам-то что от этого?

        Дело всё в том, что уже в ВУЗе, в курсе высшей математики, вам понадобится умение работать с самыми разными числовыми последовательностями (с любыми, а не только прогрессиями!) и умение представлять, как именно себя ведёт та или иная последовательность — возрастает ли она неограниченно, убывает ли, стремится ли к конкретному числу (причём не обязательно к нулю) или даже вообще ни к чему не стремится… Этой теме в курсе матанализа посвящён целый раздел — теория пределов. А чуть конкретнее — понятие предела числовой последовательности. Очень интересная тема! Имеет смысл поступить в институт и разобраться.)

        Некоторые примеры из этого раздела (последовательности, имеющие предел) и в частности, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия начинают осваиваться ещё в школе. Привыкаем.)

        Более того, умение хорошо исследовать поведение последовательностей в дальнейшем здорово сыграет на руку и очень пригодится в исследовании функций. Самых разнообразных. А вот умение грамотно работать с функциями (вычислять производные, исследовать их по полной программе, строить их графики) уже резко повышает ваш математический уровень! Сомневаетесь? Не надо. Ещё вспомните мои слова.)

Посмотрим на геометрическую прогрессию в жизни?

        В окружающей нас жизни с геометрической прогрессией мы сталкиваемся очень и очень часто. Даже сами того не подозревая.)

        Например, различные микроорганизмы, которые окружают нас повсюду в огромных количествах и которых мы даже не видим без микроскопа, размножаются именно в геометрической прогрессии.

        Скажем, одна бактерия размножается делением пополам, давая потомство в 2 бактерии. В свою очередь, каждая из них, размножаясь, тоже делится пополам, давая общее потомство в 4 бактерии. Следующее поколение даст уже 8 бактерий, потом 16 бактерий, 32, 64 и так далее. С каждым следующим поколением число бактерий удваивается. Типичный пример геометрической прогрессии.)

        Также в геометрической прогрессии размножаются и некоторые насекомые — тля, мухи. И кролики иногда, кстати, тоже.)

        Другой пример геометрической прогрессии, уже ближе к обыденной жизни, — это так называемые сложные проценты. Такое интересное явление часто встречается в банковских вкладах и называется капитализацией процентов. Что это такое?

        Сами вы пока что ещё, конечно, юные. В школе учитесь, в банки не обращаетесь. А вот родители ваши — люди уже взрослые и самостоятельные. На работу ходят, денежки на хлеб насущный зарабатывают, а часть денег кладут в банк, делая сбережения.)

        Скажем, ваш папа хочет поднакопить определённую денежную сумму на семейный отдых в Турции и положил в банк 50000 рублей под 10% годовых сроком на три года с ежегодной капитализацией процентов. Причём в течение всего этого срока делать со вкладом ничего нельзя. Нельзя ни пополнять вклад, ни снимать деньги со счёта. Какую прибыль он получит через эти три года?

        Ну, во-первых, надо разобраться, что же такое 10% годовых. Это значит, что через год к первоначальной сумме вклада банком будут начислены 10%. От чего? Конечно же, от первоначальной суммы вклада.

        Считаем размер счёта через год. Если первоначальная сумма вклада составляла 50000 рублей (т.е. 100%), то через год на счету будет сколько процентов? Правильно, 110%! От 50000 рублей.

        Вот и считаем 110% от 50000 рублей:

        50000·1,1 = 55000 рублей.

        Надеюсь, вы понимаете, что найти 110% от величины означает помножить эту величину на число 1,1? Если не понимаете, почему это именно так, вспоминайте пятый и шестой классы. А именно – связь процентов с дробями и частями.)

        Таким образом, прибавка за первый год составит 5000 рублей.

        А сколько денег будет на счету через два года? 60000 рублей? К сожалению (а вернее, к счастью), всё не так просто. Весь фокус капитализации процентов состоит в том, что при каждом новом начислении процентов, эти самые проценты будут считаться уже от новой суммы! От той, которая уже лежит на счету в данный момент. А начисленные за предыдущий срок проценты прибавляются к изначальной сумме вклада и, таким образом, сами участвуют в начислении новых процентов! То есть, они становятся полноправной частью общего счёта. Или общего капитала. Отсюда и название — капитализация процентов.

        Это в экономике. А в математике такие проценты называются сложными процентами. Или процентами от процентов.) Их фишка заключается в том, что при последовательном вычислении проценты каждый раз считаются от новой величины. А не от первоначальной…

        Стало быть, для подсчёта суммы через два года, нам надо посчитать 110% от той суммы, которая будет на счету через год. То есть, уже от 55000 рублей.

        Считаем 110% от 55000 рублей:

        55000·1,1 = 60500 рублей.

        Значит, процентная прибавка за второй год составит уже 5500 рублей, а за два года — 10500 рублей.

        Теперь уже можно догадаться, что через три года сумма на счету будет составлять 110% от 60500 рублей. То есть снова 110% от предыдущей (прошлогодней) суммы.

        Вот и считаем:

        60500·1,1 = 66550 рублей.

        А теперь выстраиваем наши денежные суммы по годам в последовательность:

        50000;

        55000 = 50000·1,1;

        60500 = 55000·1,1 = (50000·1,1)·1,1;

        66550 = 60500·1,1 = ((50000·1,1)·1,1)·1,1

        Ну и как? Чем не геометрическая прогрессия? Первый член b₁ = 50000, а знаменатель q = 1,1. Каждый член больше предыдущего строго в 1,1 раза. Всё в строгом соответствии с определением.)

        И сколько же дополнительных процентных бонусов «накапает» вашему папе, пока его 50000 рублей три года лежали на банковском счету?

        Считаем:

        66550 — 50000 = 16550 рублей

        Негусто, конечно. Но это если изначальная сумма вклада — маленькая. А если побольше? Скажем, не 50, а 200 тысяч рублей? Тогда прибавка за три года составит уже 66200 рублей (если посчитать). Что уже очень неплохо.) А если вклад ещё больше? Вот то-то и оно…

        Вывод: чем выше изначальный вклад, тем выгоднее становится капитализация процентов. Именно поэтому вклады с капитализацией процентов предоставляются банками на длительные сроки. Скажем, на пять лет.

        Также в геометрической прогрессии любят распространяться всякие нехорошие болезни типа гриппа, кори и даже более страшных заболеваний (той же атипичной пневмонии в начале 2000-х или чумы в Средневековье). Отсюда и такие масштабы эпидемий, да…) А всё из-за того, что геометрическая прогрессия с целым положительным знаменателем (q>1) — штука, возрастающая очень быстро! Вспомните размножение бактерий: из одной бактерии получаются две, из двух — четыре, из четырёх — восемь и так далее… С распространением всякой заразы всё то же самое.)

Простейшие задачи по геометрической прогрессии.

        Начнём, как всегда, с несложной задачки. Чисто на понимание смысла.

        1. Известно, что второй член геометрической прогрессии равен 6, а знаменатель равен -0,5. Найдите первый, третий и четвёртый её члены.

        Итак, нам дана бесконечная геометрическая прогрессия, а известен второй член этой прогрессии:

        b₂ = 6

        Кроме того, нам ещё известен знаменатель прогрессии:

        q = -0,5

        А найти нужно первый, третий и четвёртый члены этой прогрессии.

        Вот и действуем. Записываем последовательность по условию задачки. Прямо в общем виде, где второй член — шестёрка:

        b₁, 6, b₃, b₄, …

        А теперь приступаем к поискам. Начинаем, как всегда, с самого простого. Можно посчитать, например, третий член b₃? Можно! Мы же с вами уже знаем (прямо по смыслу геометрической прогрессии), что третий член (b₃) больше второго (b₂) в «q» раз!

        Так и пишем:

        b₃ = b₂·q

        Подставляем в это выражение шестёрку вместо b₂  и -0,5 вместо q и считаем. И минус тоже не игнорируем, разумеется…

        b₃ = 6·(-0,5) = -3

        Вот так. Третий член оказался с минусом. Неудивительно: наш знаменатель q — отрицательный. А плюс помножить на минус, будет, знамо дело, минус.)

        Считаем теперь следующий, четвёртый член прогрессии:

        b₄ = b₃·q

        b₄ = -3·(-0,5) = 1,5

        Четвёртый член — снова с плюсом. Пятый член будет опять с минусом, шестой — с плюсом и так далее. Знаки — чередуются!

        Так, третий и четвёртый члены нашли. Получилась вот такая последовательность:

        b₁; 6; -3; 1,5; …

        Осталось теперь найти первый член b₁ по известному второму. Для этого шагаем уже в другую сторону, влево. Это значит, что в данном случае второй член прогрессии нам надо не помножить на знаменатель, а поделить.

        Делим и получаем:

        

        

        Вот и всё.) Ответ к задачке будет такой:

        -12; 6; -3; 1,5; …

        Как вы видите, принцип решения тот же самый, что и в арифметической прогрессии. Знаем любой член и знаменатель геометрической прогрессии — можем найти и любой другой её член. Какой хотим, такой и отыщем.) С той лишь разницей, что сложение/вычитание заменяется на умножение/деление.

        Запоминаем: если нам известен хотя бы один член и знаменатель геометрической прогрессии, то мы всегда можем найти любой другой член этой прогрессии.

        Следующая задачка, по традиции, из реального варианта ОГЭ:

        2. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии:

         …; 150; х; 6; 1,2; …

        Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х.

        Ну и как? В этот раз ни первого члена нет, ни знаменателя q, задана просто последовательность чисел… Что-то знакомое уже, правда? Да! Похожая задачка уже разбиралась в первом уроке по арифметической прогрессии!

        Вот и не пугаемся. Всё то же самое. Включаем голову и вспоминаем элементарный смысл геометрической прогрессии. Смотрим внимательно на нашу последовательность и соображаем, какие параметры геометрической прогрессии из трёх главных (первый член, знаменатель, номер члена) в ней спрятаны.

        Номера членов? Номеров членов нету, да… Но зато есть четыре последовательных числа. Что означает это слово, объяснять на данном этапе смысла не вижу.) Есть ли в этой последовательности два соседних известных числа? Есть! Это 6 и 1,2. Значит, мы можем найти знаменатель прогрессии. Вот и берём число 1,2 и делим на предыдущее число. На шестёрку.

        Получаем:

        

        Всё. Дальше уже просто. Какое число будет предыдущим для икса? Сто пятьдесят! Значит, икс легко ищется простым умножением: 150 помножить на знаменатель геометрической прогрессии.

        Получим:

        x = 150·0,2 = 30

        Ответ: x = 30.

        Как вы видите, всё довольно просто. Основная трудность состоит лишь в вычислениях. Особенно тяжко бывает в случае отрицательных и дробных знаменателей. Так что те, у кого проблемы, повторите арифметику! Как работать с дробями, как работать с отрицательными числами и так далее… Иначе здесь будете тормозить нещадно.

        А теперь немного видоизменим задачку. Сейчас интересно станет! Уберём в ней последнее число 1,2. Вот такую задачку теперь решим:

        3. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии:

         …; 150; х; 6; …

        Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х.

        Всё то же самое, только двух соседних известных членов прогрессии у нас теперь не стало. В этом и состоит основная проблема. Потому, что величину q через два соседних члена мы так просто определить уже не сможем. Есть у нас шанс справиться с задачей? Конечно!

        Распишем неизвестный член «x» прямо по смыслу геометрической прогрессии! В общем виде.

        Да-да! Прямо с неизвестным знаменателем!

        С одной стороны, для икса мы можем записать вот такое соотношение:

        x = 150·q

        С другой стороны, этот же самый икс мы имеем полное право расписать и через следующий член, через шестёрку! Поделив шестёрку на знаменатель.

        Вот так:

        x = 6/q

        Очевидно, теперь можно приравнять оба этих соотношения. Раз уж мы выражаем одну и ту же величину (икс), но двумя разными способами.

        Получим уравнение:

        

        Умножая всё на q, упрощая, сокращая, получим уравнение:

        q² = 1/25

        Решаем и получаем:

        q = ±1/5 = ±0,2

        Опаньки! Знаменатель-то двойной получился! +0,2 и -0,2. И какой из них выбрать? Тупик?

        Спокойствие! Да, задачка действительно имеет два решения! Ничего страшного в этом нет. Бывает.) Вы же не удивляетесь, когда, например, получаете два корня, решая обычное квадратное уравнение? Вот и здесь та же история.)

        Для q = +0,2 мы получим:

        x = 150·0,2 = 30

        А для q = -0,2 будет:

        x = 150·(-0,2) = -30

        Получаем двойной ответ: x = 30; x = -30.

        Что означает этот интересный факт? А то, что существует две прогрессии, удовлетворяющие условию задачи!

        Вот такие:

        …; 150; 30; 6; …

        …; 150; -30; 6; …

        Обе — подходят.) Как вы думаете, из-за чего у нас произошло раздвоение ответов? Как раз из-за ликвидации конкретного члена прогрессии (1,2), идущего после шестёрки. А зная только предыдущий (n-1)-й и последующий (n+1)-й члены геометрической прогрессии, мы уже ничего не можем однозначно сказать про n-й член, стоящий между ними. Возможны два варианта — с плюсом и с минусом.

        Но не беда. Как правило, в заданиях на геометрическую прогрессию имеется дополнительная информация, дающая однозначный ответ. Скажем, слова: «знакочередующаяся прогрессия» или «прогрессия с положительным знаменателем» и так далее… Именно эти слова и должны служить зацепкой, какой знак, плюс или минус, следует выбрать при оформлении окончательного ответа. Если же такой информации нет, то тогда — да, задача будет иметь два решения.)

        А теперь решаем самостоятельно.

        4. Определите, будет ли число 20 членом геометрической прогрессии:

        4; 6; 9; …

        5. Задана знакочередующаяся геометрическая прогрессия:

        …; 5; x; 45; …

        Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x.

        6. Найдите четвёртый положительный член геометрической прогрессии:

        625; -250; 100; …

        7. Второй член геометрической прогрессии равен -360, а пятый её член равен 23,04. Найдите первый член этой прогрессии.

        Ответы (в беспорядке): -15; 900; нет; 2,56.

        Поздравляю, если всё получилось!

        Что-то не стыкуется? Где-то ответ двойной получился? Читаем внимательно условие задания!

        Последняя задачка не выходит? Там ничего сложного.) Работаем прямо по смыслу геометрической прогрессии. Ну и картинку можно нарисовать. Это помогает.)

        Как вы видите, всё элементарно. Если прогрессия — коротенькая. А если длинная? Или номер нужного члена очень большой? Хотелось бы, по аналогии с арифметической прогрессией, как-то получить удобную формулу, позволяющую легко находить любой член любой геометрической прогрессии по его номеру. Не помножая много-много раз на q. И такая формула есть!) Подробности — в следующем уроке.

Геометрическая прогрессия

Числовая последовательность

Если ты уже читал тему «Арифметическая прогрессия» ты можешь смело пропускать этот блок и переходить к самой сути.

Если нет, то советую ознакомиться, чтобы иметь общее представление о том, что такое прогрессия в целом и с чем ее едят.

Итак, сядем и начнем писать какие-нибудь числа. Например: ( displaystyle 4,text{ }7,text{ }-8,text{ }13,text{ }-5,text{ }-6,text{ }0,text{ }ldots )

Писать можно любые числа, и их может быть сколько угодно (в нашем случае их ( displaystyle 7)).

Сколько бы чисел мы не написали, мы всегда можем сказать, какое из них первое, какое – второе и так далее до последнего, то есть, можем их пронумеровать. Это и есть пример числовой последовательности:

Числовая последовательность – это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.

Например, для нашей последовательности:

Присвоенный номер характерен только для одного числа последовательности. Иными словами, в последовательности нет трех вторых чисел. Второе число (как и ( displaystyle n)-ное число) всегда одно.

Число с номером ( displaystyle n) называетмя ( displaystyle n)-ным членом последовательности.

Всю последовательность мы обычно называем какой-нибудь буквой (например, ( displaystyle a)), и каждый член этой последовательности – той же буквой с индексом, равным номеру этого члена: ( displaystyle {{a}_{1}},text{ }{{a}_{2}},text{ }…,text{ }{{a}_{10}},text{ }…,text{ }{{a}_{n}}).

В нашем случае:

Самые распространенные виды прогрессии это арифметическая и геометрическая. В этой теме мы поговорим о втором виде – геометрической прогрессии.

Ограничения геометрической прогрессии

Первый член {( displaystyle {{b}_{1}})} не равен ( displaystyle 0) и ( displaystyle mathbf{q}text{ }ne text{ }0).

Эти ограничения не случайны!

Допустим, что их нет, и первый член прогрессии все же равен ( displaystyle 0), а q равно, хм.. пусть ( displaystyle 2), тогда получается:

( displaystyle {{b}_{1}}=0)

( displaystyle {{b}_{1}}=0cdot 2=0…) и так далее.

Согласись, что это уже никакая не прогрессия.

Как ты понимаешь, те же самые результаты мы получим, если ( displaystyle {{b}_{1}}) будет каким-либо числом, отличным от нуля, а ( displaystyle q=0).

В этих случаях прогрессии просто не будет, так как весь числовой ряд будут либо все нули, либо одно число, а все остальные нули.

Теперь поговорим поподробнее о знаменателе геометрической прогрессии, то есть о ( displaystyle q).

Знаменатель геометрической прогрессии

Повторим: ( displaystyle q) – это число, во сколько раз изменяется каждый последующий член геометрической прогрессии.

Как ты думаешь, каким может быть ( displaystyle q)? Правильно, положительным и отрицательным, но не нулем (мы говорили об этом чуть выше).

Допустим, что ( displaystyle q) у нас положительное. Пусть в нашем случае ( displaystyle q=3), а ( displaystyle {{b}_{1}}=4).

Чему равен второй член ( displaystyle {{b}_{2}}) и ( displaystyle {{b}_{3}})? Ты без труда ответишь, что:

( displaystyle {{b}_{2}}=4cdot 3=12)

( displaystyle {{b}_{3}}=12cdot 3=36)

Все верно. Соответственно, если ( displaystyle q>0), то все последующие члены прогрессии имеют одинаковый знак – они положительны.

А что если ( displaystyle q) отрицательное? Например, ( displaystyle q=-3), а ( displaystyle {{b}_{1}}=4). Чему равен второй член ( displaystyle {{b}_{2}}) и ( displaystyle {{b}_{3}})?

Это уже совсем другая история

( displaystyle {{b}_{2}}=4cdot -3=-12)

( displaystyle {{b}_{3}}=-12cdot left( -3 right)=36)

Попробуй посчитать ( displaystyle 4) член данной прогрессии. Сколько у тебя получилось? У меня ( displaystyle -108).

Таким образом, если ( displaystyle q<0), то знаки членов геометрической прогрессии чередуются.

То есть, если ты увидишь прогрессию, с чередующимися знаками у ее членов, значит ее знаменатель на ( displaystyle 100%) отрицательный.

Это знание может помочь тебе проверять себя при решении задач на эту тему.

Теперь немного потренируемся:

Пример 1. Попробуй определить, какие числовые последовательности являются геометрической прогрессией, а какие арифметической:

• ( displaystyle 3;text{ }6;text{ }12;text{ }24;text{ }48;text{ }56ldots )
• ( displaystyle 1;text{ }12;text{ }23;text{ }34;text{ }45text{ }ldots )
• ( displaystyle -99;text{ }33;text{ }-11ldots )
• ( displaystyle 5;text{ }7;text{ }9;text{ }11;text{ }13ldots ) 
• ( displaystyle -6;text{ }5;text{ }17;text{ }28;text{ }39ldots ) 
• ( displaystyle 64;text{ }16;text{ }4;text{ }1ldots ) 
• ( displaystyle 2;text{ }4;text{ }8;text{ }18ldots )

Разобрался? Сравним наши ответы:

• Геометрическая прогрессия – 3, 6.
• Арифметическая прогрессия – 2, 4.
• Не является ни арифметической, ни геометрической прогрессиями — 1, 5, 7.

Пример 2. Найти 6-й член прогрессии

Вернемся к нашей последней прогрессии ( displaystyle q=-3), а ( displaystyle {{b}_{1}}=4) и попробуем так же как и в арифметической найти ее ( displaystyle 6) член.

Как ты уже догадываешься, есть два способа его нахождения:

1-й способ. Последовательно умножаем каждый член на ( displaystyle q).

• ( displaystyle {{b}_{1}}=4)
• ( displaystyle {{b}_{2}}=4cdot left( -3 right)=-12)
• ( displaystyle {{b}_{3}}=-12cdot left( -3 right)=36)
• ( displaystyle {{b}_{4}}=36cdot left( -3 right)=-108)
• ( displaystyle {{b}_{5}}=-108cdot left( -3 right)=324)
• ( displaystyle {{b}_{6}}=324cdot left( -3 right)=-972)

Итак, ( displaystyle 6)-ой член описанной геометрической прогрессии равен ( displaystyle -972).

2-й способ. По формуле, которая поможет найти тебе любой член геометрической прогрессии.

( displaystyle {{b}_{6}}={{b}_{1}}cdot q{{ }^{6-1}})

Если нам нужно найти значение числа прогрессии с порядковым номером, то мы умножаем первый член геометрической прогрессии ( displaystyle {{b}_{1}}) на знаменатель ( displaystyle q) в степени, которая на ( displaystyle 1) единицу меньше, чем порядковый номер искомого числа.

( displaystyle {{b}_{6}}=4cdot {{left( -3 right)}^{6-1}}=4cdot {{left( -3 right)}^{5}}=-972)

Попробуем «обезличить» данную формулу – приведем ее в общий вид и получим:

( displaystyle {{b}_{n}}={{b}_{1}}cdot q{{ }^{n-1}}) — уравнение членов геометрической прогрессии, где

• n — порядковый номер члена прогрессии;
• b1 — первый член прогрессии;
• q — знаменатель.

Данная формула верна для всех значений — как положительных, так и отрицательных.

Как найти член геометрической прогрессии, зная два соседних. Формула в общем виде:

( displaystyle {{b}_{n}}=sqrt{{{b}_{n+1}}cdot {{b}_{n-1}}} ), при ( displaystyle n>2)

Не забывай про условие при ( displaystyle n>2)?

Подумай, почему оно важно, например, попробуй самостоятельно просчитать ( displaystyle {{b}_{n}} ), при ( displaystyle n=1). Что получится в этом случае?

Правильно, полная глупость так как формула выглядит так:

( displaystyle {{b}_{1}}=sqrt{{{b}_{1+1}}cdot {{b}_{1-1}}} )

Соответственно, не забывай это ограничение.

Возьмем, к примеру, простую геометрическую прогрессию, в которой нам известны ( displaystyle {{b}_{2}}=6) и ( displaystyle {{b}_{4}}=54).

И посчитаем, чему же равно ( displaystyle {{b}_{3}})

( displaystyle {{b}_{3}}=sqrt{6cdot 54}=sqrt{324}=…)

Правильный ответ – ( displaystyle {{b}_{3}}=pm 18)!

Теперь, когда ты усвоил основные моменты и вывел формулу на свойство геометрической прогрессии, найди ( displaystyle {{b}_{n}} ), зная ( displaystyle {{b}_{n+1}}) и ( displaystyle {{b}_{n-1}})

• ( displaystyle {{b}_{n+1}}=4), ( displaystyle {{b}_{n-1}}=36)
• ( displaystyle {{b}_{n+1}}=-3), ( displaystyle {{b}_{n-1}}=-12)
• ( displaystyle {{b}_{n+1}}=-2), ( displaystyle {{b}_{n-1}}=-32)

Сравни полученные ответы с правильными:

• ( displaystyle {{b}_{n}}=pm 12 )
• ( displaystyle {{b}_{n}}=pm 6 )
• ( displaystyle {{b}_{n}}=pm 8 )

Как найти равноудаленные члены геометрической прогрессии

Как ты думаешь, а если нам были бы даны не соседние с искомым числом значения членов геометрической прогрессии, а равноудаленные от него.

Например, нам необходимо найти ( displaystyle {{b}_{3}} ), а даны ( displaystyle {{b}_{1}} ) и ( displaystyle {{b}_{5}} ). Можем ли мы в этом случае использовать выведенную нами формулу?

Да! Формула работает не только при соседствующих с искомым членах геометрической прогрессии, но и с равноудаленными от искомого членами.

И она приобретает вид:

( displaystyle {{b}_{n}}=sqrt{{{b}_{n+k}}cdot {{b}_{n-k}}} ), при ( displaystyle k<n, kin N)

То есть, если в первом случае мы говорили, что ( displaystyle k=1), то сейчас мы говорим, что ( displaystyle k) может быть равен любому натуральному числу, которое меньше ( displaystyle n).

Главное, чтобы ( displaystyle k) был одинаков для обоих заданных чисел.

Потренируйся на конкретных примерах, только будь предельно внимателен!

Как найти неравноудаленные члены геометрической прогрессии

На самом деле это не так сложно, как кажется! Давай с тобой распишем, из чего состоит каждое данное нам и искомое числа.

( displaystyle {{b}_{3}}={{b}_{1}}cdot {{q}^{2}} )

( displaystyle {{b}_{6}}={{b}_{5}}cdot q={{b}_{1}}cdot {{q}^{5}} )

( displaystyle {{b}_{4}}={{b}_{3}}cdot q={{b}_{1}}cdot {{q}^{3}})

Итак, у нас есть ( displaystyle {{b}_{3}}) и ( displaystyle {{b}_{6}}). Посмотрим, что с ними можно сделать?

Предлагаю разделить ( displaystyle {{b}_{6}}) на ( displaystyle {{b}_{3}}). Получаем:

( displaystyle frac{{{b}_{6}}}{{{b}_{3}}}=frac{{{b}_{1}}cdot {{q}^{5}}}{{{b}_{1}}cdot {{q}^{2}}}={{q}^{3}})

Подставляем в формулу наши данные:

( displaystyle frac{{{b}_{6}}}{{{b}_{3}}}=frac{486}{18}=27)

Следующим шагом мы можем найти ( displaystyle q) – для этого нам необходимо взять кубический корень из полученного числа.

( displaystyle {{q}^{3}}=27 Rightarrow q=sqrt[3]{27}=3)

А теперь смотрим еще раз что у нас есть. У нас есть ( displaystyle {{b}_{3}}), а найти нам необходимо ( displaystyle {{b}_{4}}), а он, в свою очередь равен:

( displaystyle {{b}_{4}}={{b}_{3}}cdot q)

Все необходимые данные для подсчета мы нашли. Подставляем в формулу:

( displaystyle {{b}_{4}}=18cdot 3=54)

Наш ответ: ( displaystyle 54).

Попробуй решить еще одну такую же задачу самостоятельно:

Дано: ( displaystyle {{b}_{3}}=18), ( displaystyle {{b}_{5}}=648)
Найти: ( displaystyle {{b}_{2}})

Сколько у тебя получилось? У меня:

Получим:

( displaystyle {{S}_{n}}q={{b}_{1}}q+{{b}_{2}}q+{{b}_{3}}q+…+{{b}_{n-2}}q+{{b}_{n-1}}q+{{b}_{n}}q)

Посмотри внимательно: что общего в последних двух формулах? Правильно, общие члены, например ( displaystyle {{b}_{2}}={{b}_{1}}q) и так далее, кроме первого и последнего члена. Давай попробуем вычесть из 2-го уравнения 1-ое.

Что у тебя получилось?

( displaystyle {{S}_{n}}q-{{S}_{n}}={{b}_{n}}q-{{b}_{1}})

Теперь вырази ( displaystyle {{b}_{n}}) через формулу члена геометрической прогрессии и подставь полученное выражение в нашу последнюю формулу:

( displaystyle {{S}_{n}}q-{{S}_{n}}={{b}_{1}}{{q}^{n-1}}q-{{b}_{1}}={{b}_{1}}{{q}^{n}}-{{b}_{1}})

Сгруппируй выражение. У тебя должно получиться:

( displaystyle {{S}_{n}}(q-1)={{b}_{1}}({{q}^{n}}-1))

Все, что осталось сделать – выразить ( displaystyle {{S}_{n}}):

( displaystyle {{S}_{n}}=frac{{{b}_{1}}({{q}^{n}}-1)}{q-1}) или ( displaystyle {{S}_{n}}=frac{{{b}_{1}}(1-{{q}^{n}})}{1-q})

Соответственно, в этом случае ( displaystyle qne 1).

А что если ( displaystyle q=1)? Какая формула работает тогда? Представь себе геометрическую прогрессию при ( displaystyle q=1). Что она из себя представляет?

Правильно ряд одинаковых чисел, соответственно формула будет выглядеть следующим образом:

( displaystyle {{S}_{n}}=n{{b}_{1}})

Для начала запишем какую-нибудь геометрическую прогрессию, состоящую из ( displaystyle 5) членов.

Допустим, ( displaystyle {{b}_{1}}=1), а ( displaystyle q=frac{1}{2}), тогда:

• ( displaystyle {{b}_{2}}=1cdot frac{1}{2}=frac{1}{2})
• ( displaystyle {{b}_{3}}=frac{1}{2}cdot frac{1}{2}=frac{1}{4})
• ( displaystyle {{b}_{4}}=frac{1}{4}cdot frac{1}{2}=frac{1}{8})
• ( displaystyle {{b}_{5}}=frac{1}{8}cdot frac{1}{2}=frac{1}{16})

Мы видим, что каждый последующий член меньше предыдущего в ( displaystyle frac{1}{2}) раза, но будет ли какое-либо число ( displaystyle {{b}_{n}}=0)?

Ты сразу же ответишь – «нет». Вот поэтому и бесконечно убывающая – убывает, убывает, а нулем никогда не становится.

Чтобы четко понять, как это выглядит визуально, давай попробуем нарисовать график нашей прогрессии. Итак, для нашего случая формула ( displaystyle {{b}_{n}}={{b}_{1}}cdot q{{ }^{n-1}}) приобретает следующий вид:

( displaystyle {{b}_{n}}=1cdot {{left( frac{1}{2} right)}^{n-1}}={{left( frac{1}{2} right)}^{n-1}})

На графиках нам привычно строить зависимость ( displaystyle x) от ( displaystyle y), поэтому:

( displaystyle {{b}_{n}}=y(x)),
( displaystyle {{left( frac{1}{2} right)}^{n-1}}={{left( frac{1}{2} right)}^{x-1}})

Суть выражения не изменилась.

В первой записи у нас была показана зависимость значения члена геометрической прогрессии от его порядкового номера.

А во второй записи – мы просто приняли значение члена геометрической прогрессии за ( displaystyle y), а порядковый номер обозначили не как ( displaystyle n), а как ( displaystyle x).

Все, что осталось сделать – построить график. Посмотрим, что у тебя получилось. Вот какой график получился у меня:

Видишь?

Функция убывает, стремится к нулю, но никогда его не пересечет, поэтому она бесконечно убывающая.

Отметим на графике наши точки, а заодно и то, что обозначает координата ( displaystyle x) и ( displaystyle y):

Попробуй схематично изобразить график геометрической прогрессии при ( displaystyle q=2), если первый ее член также равен ( displaystyle 1).

Проанализируй, в чем разница с нашим предыдущим графиком?

Справился? Вот какой график получился у меня:

Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Итак, для начала посмотрим еще раз на вот этот рисунок бесконечно убывающей геометрической прогрессии из нашего примера:

А теперь посмотрим на формулу суммы геометрической прогрессии, выведенную чуть ранее:

( displaystyle {{S}_{n}}=frac{{{b}_{1}}({{q}^{n}}-1)}{q-1}) или ( displaystyle {{S}_{n}}=frac{{{b}_{1}}(1-{{q}^{n}})}{1-q})

К чему у нас стремится ( displaystyle {{q}^{n}})? Правильно, на графике видно, что оно стремится к нулю.

То есть при ( displaystyle nto infty ), ( displaystyle {{q}^{n}}) будет почти равно ( displaystyle 0), соответственно, при вычислении выражения ( displaystyle 1-{{q}^{n}}) мы получим почти ( displaystyle 1).

В связи с этим, мы считаем, что при подсчете суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, данной скобкой можно пренебречь, так как она будет равна ( displaystyle 1).

История возникновения геометрической прогрессии

Еще в древности итальянский математик Леонардо из Пизы (более известный под именем Фибоначчи) занимался решением практических нужд торговли.

Перед монахом стояла задача определить, с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар?

В своих трудах Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: ( displaystyle 1,text{ }2,text{ }4,text{ }8,text{ }16…)

Это одна из первых ситуаций, в которой людям пришлось столкнуться с геометрической прогрессией, о которой ты уже наверное слышал и имеешь хотя бы общее понятие.

Как только полностью разберешься в теме, подумай, почему такая система является оптимальной?

В настоящее время, в жизненной практике, геометрическая прогрессия проявляется при вложении денежных средств в банк под сложные проценты, или при оценке скорости распространения гриппа (или коронавируса), или при… создании финансовых пирамид!

Интересно? Давай разбираться.

Как быстро Вася заразит весь класс гриппом

Ученик 5 А класса Вася, заболел гриппом, но продолжает ходить в школу. Каждый день Вася заражает двух человек, которые, в свою очередь, заражают еще двух человек и так далее. Всего в классе ( displaystyle 31) человек.

Через сколько дней гриппом будет болеть весь класс?

Решение:

Итак, первый член геометрической прогрессии это Вася, то есть ( displaystyle 1) человек. ( displaystyle 2)-ой член геометрической прогрессии, это те два человека, которых он заразил в первый день своего прихода.

Общая сумма членов прогрессии равна количеству учащихся 5А.

Соответственно, мы говорим о прогрессии, в которой:

( displaystyle begin{array}{l}{{b}_{1}}=1\q=2\{{S}_{n}}=31end{array})

Подставим наши данные в формулу суммы членов геометрической прогрессии:

( displaystyle {{S}_{n}}=frac{{{b}_{1}}({{q}^{n}}-1)}{q-1})

( displaystyle 31=frac{1({{2}^{n}}-1)}{2-1}={{2}^{n}}-1)

( displaystyle begin{array}{l}{{2}^{n}}=31+1\{{2}^{n}}=32\{{2}^{n}}={{2}^{5}}\n=5end{array})

Весь класс заболеет за ( displaystyle 5) дней. Не веришь формулам и числам? Попробуй изобразить «заражение» учеников самостоятельно. Получилось?

Посчитай самостоятельно, за сколько дней ученики заболели бы гриппом, если каждый заражал бы по ( displaystyle 3) человека, а в классе училось ( displaystyle 26) человек.

Какое значение у тебя получилось? У меня получилось, что все начали болеть спустя ( displaystyle 3) дня.

Как ты видишь, подобная задача и рисунок к ней напоминает пирамиду, в которой каждый последующий «приводит» новых людей. Однако, рано или поздно настает такой момент, когда последние не могут никого привлечь.

В нашем случае, если представить, что класс изолирован, ( displaystyle 16) человек из ( displaystyle 31) замыкают цепочку (( displaystyle 51,6%)).

Таким образом, если бы ( displaystyle 31) человек были вовлечены в финансовую пирамиду, в которой деньги давались в случае, если ты приведешь двух других участников, то ( displaystyle 16) человек (( displaystyle {{b}_{5}}={{b}_{1}}{{q}^{4}}) или в общем случае ( displaystyle {{b}_{n}}={{b}_{1}}{{q}^{n}})) не привели бы никого, соответственно, потеряли бы все, что вложили в эту финансовую аферу.

Все, что было сказано выше, относится к убывающей или возрастающей геометрической прогрессии, но, как ты помнишь, у нас есть особый вид – бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Как же считать сумму ее членов? И почему у данного вида прогрессии есть определенные особенности? Давай разбираться вместе.

Легенда о Сете, создателе шахмат

Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь решил лично наградить его. Он вызвал изобретателя к себе и приказал просить у него все, что он пожелает, пообещав исполнить даже самое искусное желание.

Сета попросил время на размышления, а когда на другой день Сета явился к царю, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы. Он попросил выдать за первую клетку шахматной доски ( displaystyle 1) пшеничное зерно, за вторую ( displaystyle 2) пшеничных зерна, за третью ( displaystyle -4), за четвертую ( displaystyle -8) и т.д.

Царь разгневался, и прогнал Сета, сказав, что просьба слуги недостойна царской щедрости, но пообещал, что слуга получит свои зерна за все ( displaystyle 64) клетки доски.

А теперь вопрос: используя формулу суммы членов геометрической прогрессии, посчитай, сколько зерен должен получить Сета?

Начнем рассуждать.

Так как по условию за первую клетку шахматной доски Сета попросил ( displaystyle 1) пшеничное зерно, за вторую ( displaystyle 2), за третью ( displaystyle -4), за четвертую ( displaystyle -8) и т.д., то мы видим, что в задаче речь идет о геометрической прогрессии.

Чему равно ( displaystyle q) в этом случае? Правильно.

( displaystyle q=frac{2}{1}=frac{4}{2}=frac{8}{4}=2)

Всего клеток шахматной доски ( displaystyle 64). Соответственно, ( displaystyle n=64).

Все данные у нас есть, осталось только подставить в формулу и посчитать.

( displaystyle {{S}_{n}}=frac{1({{2}^{64}}-1)}{2-1}={{2}^{64}}-1)

Чтобы представить хотя бы приблизительно «масштабы» данного числа, преобразуем ( displaystyle {{2}^{64}}), используя свойства степени:

( displaystyle {{2}^{64}}={{2}^{10}}cdot {{2}^{10}}cdot {{2}^{10}}cdot {{2}^{10}}cdot {{2}^{10}}cdot {{2}^{10}}cdot {{2}^{4}})

Раскроем далее значения ( displaystyle {{2}^{10}}) и ( displaystyle {{2}^{4}}). Как ты знаешь, ( displaystyle {{2}^{10}}=1024), а ( displaystyle {{2}^{4}}=64).

Подставим данное значение в предыдущее выражение:

( displaystyle {{2}^{64}}=1024cdot 1024cdot 1024cdot 1024cdot 1024cdot 1024cdot 64)

Конечно, если ты хочешь, то можешь взять калькулятор и посчитать, что за число в итоге у тебя получится, а если нет, придется поверить мне на слово: итоговым значением выражения будет ( displaystyle 18~ 446~ 744~ 073~ 709~ 551~ 615).

То есть:

( displaystyle 18) квинтильонов ( displaystyle 446) квадрильонов ( displaystyle 744) триллиона ( displaystyle 73) миллиарда ( displaystyle 709) миллионов ( displaystyle 551) тысяч ( displaystyle 615).

Фух) Если желаете представить себе огромность этого числа, то прикиньте, какой величины амбар потребовался бы для вмещения всего количества зерна.

При высоте амбара ( displaystyle 4) м и ширине ( displaystyle 10) м длина его должна была бы простираться на ( displaystyle 300text{ }000text{ }000) км, — т.е. вдвое дальше, чем от Земли до Солнца.

Если бы царь был бы силен в математике, то он мог бы предложить самому ученому отсчитывать зерна, ведь чтобы отсчитать миллион зерен, ему бы понадобилось не менее ( displaystyle 10) суток неустанного счета, а учитывая, что необходимо отсчитать ( displaystyle 18) квинтильонов, зерна пришлось бы отсчитывать всю жизнь.

Задачи на вычисление сложных процентов

Ты наверняка слышал о так называемой формуле сложных процентов. Понимаешь ли ты, что она значит? Если нет, давай разбираться, так как осознав сам процесс, ты сразу поймешь, причем здесь геометрическая прогрессия.

Все мы ходим в банк и знаем, что существуют разные условия по вкладам: это и срок, и дополнительное обслуживание, и процент с двумя различными способами его начисления – простым и сложным.

С простыми процентами все более или менее понятно: проценты начисляются один раз в конце срока вклада.

То есть, если мы говорим о том, что мы кладем 100 рублей на год под ( displaystyle 10%), то ( displaystyle 10%) зачислятся только в конце года.

Соответственно, к окончанию вклада мы получим ( displaystyle 110) рублей.

Сложные проценты — это такой вариант, при котором происходит капитализация процентов, т.е. их причисление к сумме вклада и последующий расчет дохода не от первоначальной, а от накопленной суммы вклада.

Капитализация происходит не постоянно, а с некоторой периодичностью. Как правило, такие периоды равны и чаще всего банки используют месяц, квартал или год.

Допустим, что мы кладем все те же ( displaystyle 100) рублей по ( displaystyle 10%) годовых, но с ежемесячной капитализацией вклада. Что у нас получается?

( displaystyle 1) месяц — ( displaystyle 100cdot left( 1+frac{10}{100cdot 12} right))

Все ли тебе здесь понятно? Если нет, давай разбираться поэтапно.

Мы принесли в банк ( displaystyle 100) рублей. К концу месяца у нас на счете должна появиться сумма, состоящая из наших ( displaystyle 100) рублей плюс процентов по ним, то есть:

Мы можем вынести ( displaystyle 100) за скобку и тогда мы получим:

( displaystyle 100+100cdot x%=100cdot left( 1+x% right))

Согласись, эта формула уже больше похожа на написанную нами в начале. Осталось разобраться с процентами

В условии задачи нам сказано про ( displaystyle 10%) годовых. Как ты знаешь, мы не умножаем ( displaystyle 100) на ( displaystyle 10) – мы переводим проценты в десятичные дроби, то есть:

( displaystyle 10%=frac{10}{100})

Верно? Сейчас ты спросишь, а откуда взялось число ( displaystyle 12)? Очень просто!

Повторюсь: в условии задачи сказано про ГОДОВЫЕ проценты, начисление которых происходит ЕЖЕМЕСЯЧНО.

Как ты знаешь, в году ( displaystyle 12) месяцев, соответственно, банк будет начислять нам в месяц ( displaystyle 12) часть от годовых процентов:

( displaystyle 10% ежегодно =frac{10}{100cdot 12} ежемесячно)

Осознал? А теперь попробуй написать, как будет выглядеть эта часть формулы, если я скажу, что проценты начисляются ежедневно.

Справился? Давай сравним результаты:

( displaystyle 10% ежегодно =frac{10}{100cdot 365} ежедневно)

Молодец!

Вернемся к нашей задаче: напиши, сколько будет начислено на наш счет на второй месяц, с учетом, что проценты начисляются на накопленную сумму вклада.

Вот, что получилось у меня:

( displaystyle 100cdot left( 1+frac{10}{100cdot 12} right)cdot left( 1+frac{10}{100cdot 12} right))

Я думаю, что ты уже заметил закономерность и увидел во всем этом геометрическую прогрессию.

Напиши, чему будет равен ее ( displaystyle 12) член, или, иными словами, какую сумму денежных средств мы получим в конце ( displaystyle 12) месяца.

Сделал? Проверяем!

Еще один тип задач на сложные проценты (о прибыли)

Компания «Звезда» начала инвестировать в отрасль в 2000 году, имея капитал ( displaystyle 5000) долларов. Каждый год, начиная с 2001 года, она получает прибыль, которая составляет ( displaystyle 100%) от капитала предыдущего года.

Сколько прибыли получит компания «Звезда» по окончанию 2003 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Думаю, ты уже знаешь, как и что считать, но на всякий случай распишу подробно:

( displaystyle {{b}_{1}}=5000) — капитал компании «Звезда» в 2000 году.
( displaystyle {{b}_{2}}=5000cdot left( 1+frac{100%}{100} right)=5000cdot left( 1+1 right)=5000cdot 2=10000) — капитал компании «Звезда» в 2001 году.
( displaystyle {{b}_{3}}=5000cdot left( 1+frac{100%}{100} right)cdot left( 1+frac{100%}{100} right)=5000cdot 4=20000) — капитал компании «Звезда» в 2002 году.
( displaystyle {{b}_{4}}=5000cdot left( 1+frac{100%}{100} right)cdot left( 1+frac{100%}{100} right)cdot left( 1+frac{100%}{100} right)=5000cdot 8=40000) — капитал компании «Звезда» в 2003 году.

Либо мы можем написать кратко:

( displaystyle {{b}_{n}}={{b}_{1}}cdot q{{ }^{n-1}})

Для нашего случая:

( displaystyle {{b}_{1}}=5000)

( displaystyle n=4) — 2000 год, 2001 год, 2002 год и 2003 год.
( displaystyle q =2) — увеличивается на 100%, то есть в 2 раза.

Соответственно:

( displaystyle {{b}_{2003 года}}=5000cdot 2{{ }^{4-1}}=5000cdot {{2}^{3}}=5000cdot 8=40000) рублей

Заметь, в данной задаче у нас нет деления ни на ( displaystyle 12), ни на ( displaystyle 365), так как процент дан ЕЖЕГОДНЫЙ и начисляется он ЕЖЕГОДНО.

То есть, читая задачу на сложные проценты, обрати внимание, какой процент дан, и в какой период он начисляется, и только потом приступай к вычислениям.

Теперь ты знаешь о геометрической прогрессии все.

Бонус: Вебинар из нашего курса по подготовке к ЕГЭ по математике

Экономические задачи на вклады очень часто требуют знания геометрической прогрессии.

Эти задачи требуют также очень подробного и чёткого описания решения.

По сути, мы составляем математическую модель какой-то жизненной ситуации (например, связанной с банковскими вкладами или кредитами), и важно научиться ничего не пропускать при описании этой модели: описывать словами все введённые обозначения, обосновывать уравнения, которые мы записываем, и всё в таком духе.

Если не написать эти объяснения, вы гарантированно получите 0 баллов даже за правильно найденный ответ!

В этом видео мы узнаем, как работают вклады, научимся решать и, главное, правильно оформлять решение таких задач.

ЕГЭ №17. Экономическая задача. Вклады

Геометрическая прогрессия, наряду с арифметической, является важным числовым рядом, который изучается в школьном курсе алгебры в 9 классе. В данной статье рассмотрим знаменатель геометрической прогрессии, и то, как его значение влияет на ее свойства.

Определение прогрессии геометрической

Для начала приведем определение этого числового ряда. Прогрессией геометрической называют такой ряд рациональных чисел, который формируется путем последовательного умножения его первого элемента на постоянное число, носящее название знаменателя.

Например, числа в ряду 3, 6, 12, 24, … — это прогрессия геометрическая, поскольку если умножить 3 (первый элемент) на 2, то получим 6. Если 6 умножить на 2, то получим 12, и так далее.

Члены рассматриваемой последовательности принято обозначать символом a_i, где i — это целое число, указывающее на номер элемента в ряду.

Приведенное выше определение прогрессии можно записать на языке математики следующим образом: a_n = b^n-1 * a₁, где b — знаменатель. Проверить эту формулу легко: если n = 1, то b^1-1 = 1, и мы получаем a₁ = a_1. Если n = 2, тогда a_n = b * a₁, и мы снова приходим к определению рассматриваемого ряда чисел. Аналогичные рассуждения можно продолжить для больших значений n.

Знаменатель прогрессии геометрической

Число b полностью определяет, какой характер будет носить весь числовой ряд. Знаменатель b может быть положительный, отрицательный, а также иметь значение больше единицы или меньше. Все перечисленные варианты приводят к разным последовательностям:

• b > 1. Имеет место возрастающий ряд рациональных чисел. Например, 1, 2, 4, 8, … Если элемент a₁ будет отрицательным, тогда вся последовательность будет возрастать только по модулю, но убывать с учетом знака чисел.
• b < -1. В этом случае речь идет о переменном ряде, то есть соседние элементы будут отличаться знаком. Например, 1, -2, 4, -8, 16, …
• -1 < b < 1. Это особый случай, который имеет собственное название — убывающая бесконечно прогрессия геометрическая. Ее главное свойство состоит в том, что независимо от знака знаменателя, она стремится к некоторой конечной сумме при сложении бесконечного числа ее элементов.
• b = 1. Часто такой случай не называют прогрессией, поскольку имеет место обычный ряд одинаковых рациональных чисел. Например, -4, -4, -4.

Формула для суммы

Перед тем как перейти к рассмотрению конкретных задач с использованием знаменателя рассматриваемого вида прогрессии, следует привести важную формулу для суммы ее первых n элементов. Формула имеет вид: S_n = (bⁿ — 1) * a₁ / (b — 1).

Получить это выражение можно самостоятельно, если рассмотреть рекурсивную последовательность членов прогрессии. Также заметим, что в приведенной формуле достаточно знать только первый элемент и знаменатель, чтобы найти сумму произвольного числа членов.

Бесконечно убывающая последовательность

Выше было дано пояснение, что она собой представляет. Теперь, зная формулу для S_n, применим ее к этому числовому ряду. Так как любое число, модуль которого не превышает 1, при возведении в большие степени стремится к нулю, то есть b^∞ => 0, если -1 < b < 1 (|b| < 1), то общая формула для суммы преобразуется в следующее выражение: S_∞ = a₁ / (1 — b).

Поскольку разность (1 — b) всегда будет положительной, независимо от значения знаменателя, то знак суммы убывающей бесконечно прогрессии геометрической S_∞ однозначно определяется знаком ее первого элемента a₁.

Теперь рассмотрим несколько задач, где покажем, как применять полученные знания на конкретных числах.

Задача № 1. Вычисление неизвестных элементов прогрессии и суммы

Дана прогрессия геометрическая, знаменатель прогрессии 2, а ее первый элемент 3. Чему будут равны ее 7-й и 10-й члены, и какова сумма ее семи начальных элементов?

Условие задачи составлено достаточно просто и предполагает непосредственное использование вышеназванных формул. Итак, для вычисления элемента с номером n используем выражение a_n = b^n-1 * a₁. Для 7-го элемента имеем: a₇ = b⁶ * a_1, подставляя известные данные, получаем: a₇ = 2⁶ * 3 = 192. Аналогичным образом поступаем для 10-го члена: a₁₀ = 2⁹ * 3 = 1536.

Воспользуемся известной формулой для суммы и определим эту величину для 7-ми первых элементов ряда. Имеем: S₇ = (2⁷ — 1) * 3 / (2 — 1) = 381.

Задача № 2. Определение суммы произвольных элементов прогрессии

Пусть -2 равен знаменатель прогрессии в геометрической прогрессии b^n-1 * 4, где n — целое число. Необходимо определить сумму с 5-го по 10-й элемент этого ряда включительно.

Поставленная проблема не может быть решена непосредственно с использованием известных формул. Решить ее можно 2-мя различными методами. Для полноты изложения темы приведем оба.

Метод 1. Идея его проста: необходимо рассчитать две соответствующие суммы первых членов, а затем вычесть из одной другую. Вычисляем меньшую сумму: S₁₀ = ((-2)¹⁰ — 1) * 4 / (-2 — 1) = -1364. Теперь вычисляем большую сумму: S₄ = ((-2)⁴ — 1) * 4 / (-2 — 1) = -20. Отметим, что в последнем выражении суммировались только 4 слагаемых, поскольку 5-е уже входит в сумму, которую требуется вычислить по условию задачи. Наконец, берем разницу: S₅¹⁰ = S₁₀ — S₄ = -1364 — (-20) = -1344.

Метод 2. Перед тем, как подставлять цифры и считать, можно получить формулу для суммы между членами m и n рассматриваемого ряда. Поступаем абсолютно так же, как в методе 1, только работаем сначала с символьным представлением суммы. Имеем: Sⁿ_m = (bⁿ — 1) * a₁ / (b — 1) — (b^m-1 — 1) * a₁ / (b — 1) = a₁ * (bⁿ — b^m-1) / (b — 1). В полученное выражение можно подставлять известные числа и вычислять конечный результат: S¹⁰₅ = 4 * ((-2)¹⁰ — (-2)⁴) / (-2 — 1) = -1344.

Задача № 3. Чему равен знаменатель?

Пусть a₁ = 2, найдите знаменатель прогрессии геометрической, при условии, что ее бесконечная сумма составляет 3, и известно, что это убывающий ряд чисел.

По условию задачи нетрудно догадаться, какой формулой следует пользоваться для ее решения. Конечно же, для суммы прогрессии бесконечно убывающей. Имеем: S_∞ = a₁ / (1 — b). Откуда выражаем знаменатель: b = 1 — a₁ / S_∞. Осталось подставить известные значения и получить требуемое число: b = 1 — 2 / 3 = -1 / 3 или -0,333(3). Можно качественно проверить этот результат, если вспомнить, что для этого типа последовательности модуль b не должен выходить за пределы 1. Как видно, |-1 / 3| < 1.

Задача № 4. Восстановление ряда чисел

Пусть даны 2 элемента числового ряда, например, 5-й равен 30 и 10-й равен 60. Необходимо по этим данным восстановить весь ряд, зная, что он удовлетворяет свойствам прогрессии геометрической.

Чтобы решить задачу, необходимо для начала записать для каждого известного члена соответствующее выражение. Имеем: a₅ = b⁴ * a₁ и a₁₀ = b⁹ * a₁. Теперь разделим второе выражение на первое, получим: a₁₀ / a₅ = b⁹ * a₁ / (b⁴ * a₁) = b⁵. Отсюда определяем знаменатель, взяв корень пятой степени от отношения известных из условия задачи членов, b = 1,148698. Полученное число подставляем в одно из выражений для известного элемента, получаем: a₁ = a₅ / b⁴ = 30 / (1,148698)⁴ = 17,2304966.

Таким образом, мы нашли, чему равен знаменатель прогрессии bn, и геометрическую прогрессию b^n-1 * 17,2304966 = a_n, где b = 1,148698.

Где применяются прогрессии геометрические?

Если бы не существовало применения этого числового ряда на практике, то его изучение сводилось бы к чисто теоретическому интересу. Но такое применение существует.

Ниже перечислены 3 самых знаменитых примера:

• Парадокс Зенона, в котором ловкий Ахиллес не может догнать медленную черепаху, решается с использованием понятия убывающей бесконечно последовательности чисел.
• Если на каждую клетку шахматной доски класть зерна пшеницы так, что на 1-ю клетку положить 1 зерно, на 2-ю — 2, на 3-ю — 3 и так далее, то чтобы заполнить все клетки доски понадобится 18446744073709551615 зерен!
• В игре «Башня Ханоя», чтобы переставить диски с одного стержня на другой, необходимо выполнить 2ⁿ — 1 операций, то есть их число растет в геометрической прогрессии от количества используемых дисков n.

Геометрическая прогрессия

Кусочек теории.

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, не равных нулю, в которой каждый следующий член, начиная со второго, в одно и то же количество раз больше (или меньше) предыдущего.

Последовательность чисел 2; 4; 8; 16; 32; 64; … будет являться геометрической прогрессией, причем возрастающей, т.к. каждое следующее число больше предыдущего в 2 раза. В данном случае число 2 является знаменателем этой прогрессии.

Также геометрической прогрессией будет являться последовательность чисел 12; 6; 3; 1,5; 0,75; 0,375; … , причем убывающей, т.к. в ней числа уменьшаются в 2 раза. Но геометрическую прогрессию прежде всего связывают с умножением, поэтому правильнее сказать, что в последовательности числа увеличиваются в 0,5 раз. Здесь знаменателем будет число 0,5.

Знаменатель геометрической прогрессии обозначают буквой q. Если знаменатель не дан, то найти его можно делением текущего члена прогрессии на предыдущий:

Найти любой по счету член геометрической прогрессии можно, зная ее первый член и знаменатель. Запишем формулу n-ого члена:

Но необязательно знать именно первый член прогрессии. Пригодится может любое по счету число. Только тогда формула чутка изменится:

И держи третью формулу для нахождения n-ого члена геометрической прогрессии через предыдущий и последующий члены (правда по модулю)!

Помимо этих трех формул пригодится еще формула суммы:

Практика.

Задание 1.

Это задание можно решить без формул. Но если уж так хочется, то можно и по формулам, но мне вот не хочется)

Откинем пока минусы…

Если разделить 125 на 100, то мы увидим во сколько раз следующее число меньше предыдущего: в 1,25 раз. То же самое число получится, если 100 разделить на 80.

Найдем 4-ое число в этой последовательности: 80 : 1,25 = 64.

И 5-ое: 64 : 1,25 = 51,2.

Но не забываем, что знаки у чисел чередуются: четвертое число будет отрицательным, а пятое — положительным.

Ответ: 51,2.

Задание 2.

Опять знаки у чисел чередуются, значит число, спрятанное под иксом, будет отрицательным.

Не будем морочить голову формулами, пойдем задом наперед: разделим 4-ое число на 3-ое (найдем знаменатель прогрессии):

96 : 24 = 4 (знаки у чисел мы откинули временно).

Значит, чтобы найти икс надо 24 разделить на знаменатель 4 и взять результат с минусом.

Ответ: -6.

Задание 3.

По данной нам в условии задаче формуле можно сразу понять, что 2 — знаменатель прогрессии. Если это не понятно — вот доказательство:

Здесь схитрить не получится, поэтому используем формулу и находим b₆.

Ответ: -192.

Задание 4.

Каждое следующее число в 4 раза больше предыдущего, значит знаменатель q равен 4.

Зная первый член прогрессии и знаменатель можно найти сумму первых шести членов (n = 6).

Ответ: 682,5.

Задание 5.

Похожее условие уже встречалось в задании 3. Из данной формулы делаем вывод, что знаменатель q = 3.

Находим сумму:

Ответ: -847.

Вот и всё!

С наилучшими пожеланиями, твой персональный препод)