Как найти полупериметр параллелограмма

Общие сведения о фигуре

Параллелограмм — это четырехугольник на плоскости, у которого присутствует равенство противоположных сторон, причем они лежат на параллельных прямых.

Ромб, прямоугольник и квадрат — его частные случаи. Из него состоят более сложные объемные фигуры. Например, параллелепипед и куб.

Высота параллелограмма — отрезок, который является перпендикуляром, проведенным к нижней стороне геометрической фигуры.

Всего можно провести четыре высоты. Две из них можно провести из вершин углов, которые лежат в параллелограмме и являются тупыми. Другие две высоты проводятся из острых углов (находятся вне фигуры). Углы делятся на шесть типов: острые, прямые, тупые, развернутые, выпуклые и полные.

Первый тип, градусная размерность которого меньше 90, является острым. Если значение равно 90, то он является прямым, и соответствует второму типу.

В случае, когда выполняется условие 90 < a < 180, то угол считается тупым. При равенстве a = 180 — развернутый. При неравенстве 180 < a < 360 — выпуклый (смежный с ним угол является острым).

Полным называется угол, градусная мера которого соответствует 360.

Для решения задач и выполнения расчетов необходимо знать следующие аспекты: свойства и признаки параллелограмма, а также уметь находить его углы, стороны, диагонали, периметр и площадь. Кроме того, следует знать не только основные соотношения фигуры, которая вписана в окружность, но и в случае, когда окружность находится внутри нее.

Информация о признаках

Признаки позволяют выяснить принадлежность фигуры к параллелограмму. Например, существует произвольный четырехугольник, и нужно выяснить, является ли он параллелограммом. Необходимо отметить, что при условии совпадения хотя бы одного из признаков, этот четырехугольник является им. Проверку следует производить, руководствуясь следующими утверждениями:

• Параллельность и равенство двух любых сторон.
• Равенство противолежащих сторон.
• Углы, которые являются противолежащими, равны.
• Точка пересечения диагоналей (центр симметрии) делит их на два равных отрезка.
• При выполнении равенства (d — диагонали): (d1)^2 + (d2)^2 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 .

Последний признак можно записать для упрощения расчетов следующим образом: sqr (d1) + sqr (d2) = 2 * (a 2 + b 2 ). Равенство можно упростить, поскольку противоположные стороны равны.

Основные свойства

Для решения задач и проектирования деталей необходимо знать основные свойства параллелограмма. Некоторые из них были получены при доказательстве и следствиях из теорем. К ним относятся следующие:

• Ромб, квадрат и прямоугольник — параллелограммы.
• Противоположные стороны одинаково равны и параллельны.
• Противолежащие углы равны.
• Суммарное значение градусной меры всех внутренних углов параллелограмма составляет 360.
• Сумма углов, прилегающих к одной из вершин, составляет 180 градусов.
• Диагональ делит фигуру на два треугольника, которые равны между собой по всем признакам.
• Две диагонали (одна — большая, а другая — меньшая) делят параллелограмм на две пары треугольников, которые равны между собой.
• Диагонали фигуры пересекаются, а точка пересечения делит их пополам (через нее можно провести среднюю линию, которая параллельна сторонам).
• Точка пересечения двух диагоналей является симметрией фигуры.
• Биссектрисы соседних углов пересекаются под углом в 90 градусов, а противоположных являются параллельными.
• sqr (d1) + sqr (d2) = 2 * ((a)^2 + (b)^2).

Однако для выполнения расчетов признаков и свойств параллелограмма недостаточно. В некоторых случаях требуется вычислить периметр и площадь фигуры. Соотношения используются не только в учебных заведениях, но и в научных исследованиях. Простым примером является нахождение площади поперечного сечения проводника. Это может понадобиться для дальнейшего вычисления электрического сопротивления.

Определение периметра

Периметром (P) любой фигуры является сумма длин всех ее сторон. Следовательно, для параллелограмма найти это значение является несложным. Базовая формула периметра параллелограмма имеет следующий вид: P = a + b + c + d = 2 * (a + b). Кроме того, существуют и другие соотношения для нахождения этой величины:

1. Если известны одна из сторон и две диагонали.
2. Нахождение периметра через сторону, высоту и синус угла.

В первом случае соотношение для стороны «a» записывается следующим образом: P = 2 * a + sqrt [2 * (d1 * d1 + d2 * d2 — 2 * a^(2))]. Для «b» запись изменяется таким образом: P = 2*b + sqrt [2 * (d1^(2) + d2^(2) — 2 * b^(2))].

Во втором случае, когда известна сторона «а», угол BAD и высота Ha, периметр записывается формулой вида: P = 2 * [a + Ha / sin (BAD)]. Для стороны «b», угла BAD и высоты Hb равенство принимает следующий вид: P = 2 * [b + Hb / sin (BAD)]. Если проанализировать последние два соотношения, то величины «Hb / sin (BAD)» и «Hа / sin (BAD)» являются стороной «b» и «a» соответственно.

Вычисление площади

Площадь параллелограмма (S) — это пространство, которое ограничено его сторонами, и равно произведению одной из сторон на высоту, проведенную к одноименному основанию. Базовая формула нахождения значения S является следующей: S = a * Ha = b * Hb. Кроме того, существует два способа нахождения ее значения, когда известны следующие величины:

1. По сторонам и углу.
2. Две диагонали и синус углов f или g между ними.

Можно записать соотношение следующим образом: S = a * b * sin (BAD) = a * b * sin (ABC). В последнем случае математическая запись площади имеет следующий вид: S = 0,5 * d1 * d2 * sin (f) = 0,5 * d1 * d2 * sin (g).

Кроме того, существует формула Герона, которая позволяет вычислить площадь параллелограмма. Для этого необходимо вычислить полупериметр (p) треугольника со сторонами a, b и d: p = P / 2 = (a + b + d).

Формула имеет вид: S = sqrt[p * (p — a) * (p — b) * (p — d)].

Соотношения сторон и диагоналей

В некоторых задачах необходимо определить неизвестные длины сторон или диагонали. Можно попытаться вывести соотношения, однако эта процедура занимает некоторое время. Следовательно, проще воспользоваться уже готовыми формулами. Стороны параллелограмма можно определить четырьмя основными выражениями. При этом следует знать следующие величины:

1. Диагонали и угол.
2. Другую сторону и диагонали.
3. Высоту и значение синуса угла в градусах.
4. Площадь и высоту.

В первом случае для вычисления длины стороны «а», следует воспользоваться следующей формулой: a = [sqrt (d1 *d1 + d2 * d2 — 2 * d1 * d2 * cos (f))] / 2 = [sqrt (d1 * d1 + d2 * d2 + 2 * d1 * d2 * cos (g))] / 2. Значение стороны «b» вычисляется немного иначе: b = [sqrt (d1 * d1 + d2 * d2 + 2 * d1 * d2 * cos (f))] / 2 = [sqrt (sqr (d1) + sqr (d2) — 2 * d1 * d2 * cos (g))] / 2.

При известных значениях диагоналей и одной из сторон, соотношение имеет более простой вид, чем в первом случае: a = [sqrt (2 * (sqr (d1) + sqr (d2) — 2 * b 2 ))] / 2 и b = [sqrt (2 * (sqr (d1) + sqr (d2) — 2 * a 2 ))] / 2.

Когда известны высоты и угол BAD, можно найти стороны a и b: a = Hb / sin (BAD) и b = Ha / sin (BAD). Если известны площадь и высота, то соотношение принимает следующий вид: a = S / Ha и b = S / Hb.

Диагональ параллелограмма — отрезок, который соединяет его противоположные внутренние углы. Фигура имеет две диагонали, одна из которых длинная (d1), а другая является короткой (d2). Их можно найти, используя 4 соотношения. Это возможно в том случае, когда известны следующие данные:

• Стороны и косинус угла ABC.
• Cos (BAD) и стороны.
• Одну известную диагональ и стороны.
• Площадь, диагональ и угол между d1 и d2.

В первом случае можно воспользоваться следующими формулами (теорема косинусов): d1 = sqrt[a 2 + b 2 — 2 * a * b * cos (ABC)] и d2 = sqrt[a 2 + b 2 + 2 * a * b * cos (ABC)]. Во втором: d1 = sqrt[a 2 + b 2 + 2 * a * b * cos (BAD)] и d2 = sqrt[a 2 + b 2 — 2 * a * b * cos (BAD)].

Когда известны две стороны и одна из диагоналей, то можно воспользоваться третьим случаем: d1 = sqrt[2 * a 2 + 2 * b 2 — (d2)^2] и d2 = sqrt[2 * a 2 + 2 * b 2 — (d1)^2]. В последнем случае равенства для нахождения диагоналей имеют такой вид: d1 = 2 * S / [(d2) * sin (f)] = 2 * S / [(d2) * sin (g)] и d2 = 2 * S / [(d1) * sin (f)] = 2 * S / [(d1) * sin (g)].

Параллелограмм и окружность

Существуют определенный тип задач, в которых речь идет о параллелограмме и окружности. Всего бывает два варианта: вписанная и описанная окружности. Следует отметить, что не всегда это возможно. Существуют определенные условия, при которых возможны такие операции. Кроме того, следует обратить особое внимание на дополнительные свойства, которые появляются при комбинации данных фигур. Можно не только чередовать комбинации, но и использовать одновременно.

Для решения сложного типа задач и выполнения расчетов, в некоторых случаях рекомендуется применять вписанные и описанные окружности. Например, при проектировании деталей, необходимо полностью подогнать ее размеры, поскольку они должны быть правильной формы. При помощи окружности (вписанной или описанной) можно выявить ряд дефектов, которые могут привести к некорректной работе механизма.

Круг и прямоугольник

Главное условие: любой четырехугольник можно вписать в окружность, когда сумма его двух противоположных углов составляет 180 градусов. У параллелограмма есть одно свойство: сумма углов, которые прилегают к любой из вершин, составляет 180 градусов. Кроме того, сумма всех его углов составляет 360, а, следовательно, сумму противоположных углов составляет 360 — 180 = 180 (градусов).

Однако при попытке описать около него окружность ничего не выйдет, поскольку есть одно свойство: противоположные углы у него равны. Ими могут быть тупые и острые. Сумма градусной меры тупых углов будет больше 180, а острых — меньше.

Когда противоположные углы будут равны 90, то значит их сумма составит 180. В этом случае нужно рассматривать частный случай — прямоугольник.

Появляется очень важное свойство: диагонали прямоугольника пересекаются и точкой пересечения (центром окружности) делятся пополам, а также являются диаметрами окружности.

Для нахождения радиуса окружности, следует воспользоваться следующим соотношением (при условии, что известны стороны прямоугольника): R = [sqrt (a 2 + b 2 )] / 2 = d / 2. Величина «d» является диаметром.

Ромб и квадрат

В параллелограмм также можно вписать окружность. Однако для этого необходимо выполнение определенного условия. Оно заключается в следующем: суммы противолежащих сторон параллелограмма должны быть равны. Нужно отметить, что это выполняется только для ромба и квадрата.

Ромбом называется параллелограмм, стороны которого равны, а углы не равны 90 градусов. Квадрат — геометрическая фигура, у которой все стороны и углы равны. Из последнего определения можно найти значение градусной меры одного угла: 360 / 4 = 90.

Последняя фигура является частным случаем ромба. Радиус окружности находится с помощью формулы: r = S / p = 0,5 * H. В этом соотношении переменные S, p и H — площадь, полупериметр и высота соответственно.

Для нахождения S можно воспользоваться такими соотношениями:

• Известны длина стороны (а) и высота (H): S = a * H.
• Через диагонали d1 и d2: S = d1 * d2 / 2.

Полупериметром фигуры называется половина от значения ее периметра. Соотношение записывается таким образом: p = P / 2 = 4 * a.

Таким образом, знать основные свойства и признаки параллелограмма необходимо, поскольку от этого может зависеть не только качество сдачи экзаменов, решения задач, но и проектирование различных деталей.

Источник: https://nauka.club/matematika/parallelogramm-ego-svoystva.html

площа па

Параллелограммом называют четырехугольник у которого противоположные стороны параллельны между собой. Основные задачи в школе по данной теме заключаются в вычислении площади параллелограмма, его периметра, высоты, диагоналей. Указанные величины и формулы для их вычисления будут приведены ниже.

Свойства параллелограмма

Противоположные стороны параллелограмма как и противоположные углы равны между собой: AB=CD, BC=AD,

Еще одно замечательное свойство которое часто применяют при решении задач состоит в том, что сумма квадратов диагоналей в параллелограмме равна сумме квадратов всех сторон:

AC^2+BD^2=2*(AB^2+BC^2).

Основные признаки параллелограммов:

1. Четырехугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны является параллелограммом. 2. Четырехугольник с равными противоположными сторонами является параллелограммом. 3. Четырехугольник с равными и параллельными противоположными сторонами является параллелограммом. 4. Если диагонали четырехугольника в точке пересечения делятся пополам то это параллелограмм.

5. Четырехугольник у которого противоположные углы попарно равны является параллелограммом

Биссектрисы параллелограмма

Биссектрисы противоположных углов в параллелограмме могут быть параллельными или совпадать.

Биссектрисы соседних углов ( прилегающие к одной стороне ) пересекаются под прямым углом (перпендикулярные).

Высота параллелограмма

Высота параллелограмма — это отрезок который проведен с угла перпендикулярно к основанию. Из этого следует что из каждого угла можно провести две высоты.

Формула площади параллелограмма

1. Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту проведенную к ней. Формула площади следующая
2. Вторая формула не менее популярная при вычислениях и определяется так: площадь параллелограмма равна произведению соседних сторон на синус угла между ними
3. На основе приведенных формул Вы будете знать как вычислить площадь параллелограмма.

Периметр параллелограмма

Формула для вычисления периметру параллелограмма имеет вид то есть периметр равен удвоенному значению суммы сторон. Задачи на параллелограмм будут рассмотрены в соседних материалах, а пока изучайте формулы. Большинство задач по вычислению сторон, диагоналей параллелограмма достаточно просты и сводятся к знанию теоремы синусов и теоремы Пифагора.

Посмотреть материалы:

Источник: https://yukhym.com/ru/geometriya/perimetr-ploshchad-parallelogramma.html

Формулы параллелограмма

Для расчёта всех основных параметров параллелограмма воспользуйтесь калькулятором.

1. Противоположные стороны параллельны и равны.
2. Противоположные углы равны
3. Точка пересечения диагоналей делит их пополам.
4. Сумма углов четырехугольника прилегающих к любой стороне равна 180°
5. В четырехугольнике сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон
6. Сумма углов параллелограмма равна 360°
7. Каждая диагональ делит параллелограмма на два равных треугольника
8. Биссектрисы противоположных углов параллелограмма всегда параллельны
9. Биссектрисы соседних углов параллелограмма всегда пересекаются под прямым углом (90°)

Длины сторон через диагонали и угол между ними

$$ AB = {1 over 2} * sqrt{AC^2 + BD^2 — 2 * AC * BD * cos(α)} $$ $$ AB = {1 over 2} * sqrt{AC^2 + BD^2 + 2 * AC * BD * cos(β)} $$ $$ BC = {1 over 2} * sqrt{AC^2 + BD^2 — 2 * AC * BD * cos(β)} $$ $$ BC = {1 over 2} * sqrt{AC^2 + BD^2 + 2 * AC * BD * cos(α)} $$

Длина стороны через диагонали и известную сторону

$$ AB = sqrt{AC^2 + BD^2 — 2 * BC^2 over 2} $$ $$ BC = sqrt{AC^2 + BD^2 — 2 * AB^2 over 2} $$

Длины сторон через высоты и угол между сторонами

$$ AB = {BH_{AD} over sin(α)} = {BH_{AD} over sin(β)} $$ $$ BC = {BH_{DC} over sin(α)} = {BH_{DC} over sin(β)} $$

Длина диагонали через стороны и углы между ними

$$ AC = sqrt{AB^2 + BC^2 — 2 * AB * BC * cos(β)} $$ $$ AC = sqrt{AB^2 + BC^2 + 2 * AB * BC * cos(α)} $$ $$ BD = sqrt{AB^2 + BC^2 + 2 * AB * BC * cos(β)} $$ $$ BD = sqrt{AB^2 + BC^2 — 2 * AB * BC * cos(α)} $$

Длина диагонали через стороны и известную диагональ

$$ AC = sqrt{2 * AB^2 + 2 * BC^2 — BD^2} $$ $$ BD = sqrt{2 * AB^2 + 2 * BC^2 — AC^2} $$

Длина диагонали через площадь параллелограмма, известную диагональ и угол между диагоналями

$$ AC = {2 * S over BD * sin(α)} = {2 * S over BD * sin(β)} $$ $$ BD = {2 * S over AC * sin(α)} = {2 * S over AC * sin(β)} $$

• Косинус острого угла
• Косинус тупого угла
• Синус острого и тупого угла через площадь и стороны параллелограмма

$$ cos(α) = {AB^2 + BC^2 — BD^2 over 2 * AB * BC} $$ $$ cos(β) = {AB^2 + BC^2 — AC^2 over 2 * AB * BC} $$ $$ sin(α) = sin(β) = {S over AB * BC} $$

1. Косинус острого угла через стороны и диагонали
2. Косинус тупого угла через стороны и диагонали
3. Синус острого и тупого угла через площадь и диагонали

$$ cos(α) = {AC^2 + BD^2 — 4 * AB^2 over 2 * AC * BD} $$ $$ cos(α) = {BC^2 — AB^2 over AC * BD} $$ $$ cos(β) = {AC^2 + BD^2 — 4 * BC^2 over 2 * AC * BD} $$ $$ cos(β) = {AB^2 — BC^2 over AC * BD} $$ $$ sin(α) = sin(β) = {2 * S over AC * BD} $$

$$ BH_{AD} = AB * sin(α) = AB * sin(β) $$ $$ BH_{DC} = BC * sin(α) = BC * sin(β) $$

$$ AA_1 = 2 * AB * sin({β over 2}) = AB * sqrt{2 — 2 * cos(β)} $$ $$ AA_1 = 2 * AB * cos({α over 2}) $$ $$ DD_1 = 2 * AB * sin({β over 2}) = AB * sqrt{2 — 2 * cos(β)} $$ $$ DD_1 = 2 * AB * cos({α over 2}) $$

Источник: http://calc-online24.ru/formula/parallelogram

Периметр параллелограмма

Параллелограмм это геометрическая фигура имеющая четыре параллельные стороны, противоположных друг другу. В школьной программе все задания по решению параллелограмма, направлены на нахождение высоты, площади, диагонали и периметра. О них и пойдет речь.

Параллелограмм обладает свойствами, такими как:
В параллелограмме и углы и стороны, которые противоположны между собой одинаковы: АВ = CD, BC =AD. Так же как углы АВС = ADC и ВАD = BCD.
Диагонали проведенные из углов параллелограмма в месте пересечения разделятся на две одинаковые части. АО = ОС, ОВ = OD.
Сумма двух углов, одной стороны всегда 180 градусов.
углы: А + В = 1800, В + С = 1800, С + D =1800, A + D = 1800 .
Любая диагональ разделяет параллелограмм на две одинаковые фигуры (треугольник) как по площади так и по размеру.

• 
  У параллелограмма есть несколько основных признаков.

Зачастую встречается такое интересное свойство как, сума диагоналей в квадрате одинакова с суммой сторон в квадрате.
АС2 + BD2 = (AB2 + BC2). AC2 + BD2 = 2 * (AB2 + BC2)

— Четырехугольная фигура с противоположными сторонами параллельными друг другу и есть параллелограмм. — Четырехугольная фигура имеющая одинаковые противоположные стороны, есть параллелограмм.

— Четырехугольная фигура имеющая одинаковые параллельные и противоположные стороны, есть параллелограмм.
— Когда встречающиеся диагонали четырехугольной фигуры в месте пересечения разделяются на равные части. Данная фигура является параллелограммом.

— Четырехугольная фигура в которой противоположные углы одинаковы называется параллелограммом.

1. Периметр параллелограмма находится по формуле

Р = 2 (а+b)

• что означает что периметр равняется двойной сумме сторон.
• Биссектриса параллелограмма

Из школьной программы помню определение которое засело в памяти на всю жизнь — Биссектриса это крыса, что ходит по углам и делит угол пополам. Если же говорить научным языком, то: Биссектрисы углов находящихся на одной стороне встречаются в точке пересечения под углом в 90 градусов.

Так же они могут совпадать и быть параллельны друг другу.
Так же в параллелограмме можно найти высоту, она обозначается в виде отрезка исходящего из угла к основанию, следовательно, от каждого угла их можно провести две.

Площадь параллелограмма это произведение стороны и высоты приведенную к ней. Находится по формуле.

S = a * ha = b * hb

Есть еще один способ вычисления, но им не так часто пользуются в расчетах. Она звучит как площадь параллелограмма это произведение рядом лежащих сторон умноженный на синус угла находящегося между ними.

S = a * b * sin(?) = a * b * sin(?)

Все приведенные в данной статье формулы помогут Вам в решении различных задач по нахождению величин параллелограмма, это не сложно но очень интересно.

Заметка: если Вы находитесь в поиске персонала. Империя кадров поможет вам в этом вопросе. Просто перейдите по ссылке персонал временный (http://www.imperia.ru/client/temp_staff/) и узнайте подробнее.

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Источник: https://reshit.ru/perimetr-parallelogramma

Формула площади и периметра параллелограмма

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого стороны попарно параллельны. Частными вариантами параллелограмма являются ромб, прямоугольник и квадрат.

Любой параллелограмм характеризуется сторонами a и b и высотой h (см. рисунок). Также при решении задач может понадобиться угол α между сторонами параллелограмма. Именно эти характеристики используются в формулах параллелограмма при вычислении площади и периметра.

Формула периметра параллелограмма

Периметр P параллелограмма можно получить, зная его стороны:

Формулы площади параллелограмма

• Площадь параллелограмма S можно вычислить, зная его сторону и высоту h, проведенную к этой стороне:
• Также площадь параллелограмма S можно вычислить, зная его стороны и угол α между ними:
• Поделитесь статьей с одноклассниками «ПАРАЛЛЕЛОГРАММ формулы площади и периметра».

Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, т.е. лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Формула площади параллелограмма:

Площадь геометрической фигуры – часть поверхности, ограниченная замкнутым контуром данной фигуры. Величина площади параллелограмма выражается числом заключающихся в него квадратных единиц.

1) Площадь параллелограмма равна произведению длины его основания на длину высоты (a, h).

1. S – площадь параллелограмма
2. a – длина основания
3. h – длина высоты

Формула периметра параллелограмма:

Периметр геометрической фигуры – суммарная длина границ плоской геометрической фигуры. Периметр имеет ту же размерность величин, что и длина.

1) Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме 2-х его смежных сторон (a, b).

• P – периметр параллелограмма
• a – длина 1-ой стороны параллелограмма
• b – длина 2-ой стороны параллелограмма

Параллелограмм – это четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны и не образуют прямой угол. Диагонали в точке пересечения делятся пополам, но они не равны и не перпендикулярны.

Высоты – это перпендикулярные расстояния между двумя противоположными сторонами, их длина определяется с помощью функции синуса прямоугольных треугольников, которые они совместно со сторонами параллелограмма образуют.

  Функция кнопки insert 7 букв сканворд

Формулы

• P – периметр
• S – площадь
• a,b – стороны

• d1,2 – диагонали
• h a – высота на сторону a
• h b – высота на сторону b

При предоставлении услуг веб-сайт «Calculat.org» использует файлы куки.

Вы не любите рекламу? Мы ее тоже не любим, тем не менее доходы от рекламы предоставляют возможность функционирования нашего веб-сайта и бесплатного обслуживания наших посетителей. Пожалуйста, подумайте, не стоит ли отменить блокировку рекламы на этом веб-сайте. Спасибо.

• Мария Сухоруких
• Распечатать

Источник: https://4apple.org/formula-ploshhadi-i-perimetra-parallelogramma/

Формула периметра параллелограмма

Параллелограмм это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

По свойству параллелограмма его противоположные стороны равны. Поэтому для нахождения периметра параллелограмма ABCD со сторонами AB = CD = a и AC = BD = b будет справедлива формула:

• Чтобы найти периметр параллелограмма, нужно сумму двух непараллельных сторон умножить на два.
• [ P_{ riangle ABCD} = a+b+a+b = 2cdot a+2cdot b=2cdot left (a+b
  ight) ]
• [ LARGE P_{ riangle ABCD} = 2cdot left (a+b
  ight) ]
• где: P — периметр параллелограмма a — длина малой стороны параллелограмма b — длина большой стороны параллелограмма

Формулы периметраРасчёт Площадь Математика Тригонометрия Формулы Теория

Найти периметр параллелограмма ABCD со сторонами a = 7.62 см и b = 9.33 см.

Для нахождения периметра параллелограмма воспользуемся формулой ( P_{ riangle ABCD} = 2cdot left (a+b
ight) )

Подставляя данные задачи в эту формулу, получим:

( P_{ riangle ABCD} = 2cdot left (7.62 + 9.33
ight) = 2 cdot 16.95 = 33.9 ) см

( P_{ riangle ABCD} = 33.9 ) см

Не можешь написать работу сам?

Доверь её нашим специалистам

от 100 р.стоимость заказа

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

• Формула периметра треугольникаПериметр треугольника равен сумме длин его сторон
• Формула периметра равнобедренного треугольникаПериметр равнобедренного треугольника равен сумме длин его сторон
• Формула периметра равностороннего треугольникаПериметр равностороннего треугольника равен тройной сумме длины его стороны
• Периметр круга радиуса r равен удвоенному произведению радиуса r на число пи (~3.1415)
• Формула периметра трапецииПериметр трапеции равен сумме длин всех четырех сторон
• Формула периметра прямоугольникаПериметр прямоугольника — это сумма длины и ширины, умноженная на «2».
• Формула периметра квадратаПериметр квадрата равен сумме 4-х длин его сторон или произведению длины любой его стороны на четыре (так как у квадрат длины всех сторон равны)
• Периметр ромба равен сумме длин всех его сторон, или длинна стороны умноженная на 4

• Сила взаимодействия двух неподвижных точечных электрических зарядов в вакууме прямо пропорциональна произведению их модулей и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.
• Согласно нормам Всемирной Организацией Здравоохранения (ВОЗ)
• 1 Ампер это сила тока, при которой через проводник проходит заряд 1 Кл за 1 сек.
• 1 ом представляет собой электрическое сопротивление между двумя точками проводника, когда постоянная разность потенциалов 1 вольт, приложенная к этим точкам, создаёт в проводнике ток 1 ампер, а в проводнике не действует какая-либо электродвижущая сила.
• Сколько в ампере ватт, как перевести амперы в ватты и киловаттыМощность – это скорость расходования энергии, выраженная в отношении энергии ко времени: 1 Вт = 1 Дж/1 с. Один ватт равен отношению одного джоуля (единице измерения работы) к одной секунде.

Источник: https://calcsbox.com/post/formula-perimetra-parallelogramma.html

Калькулятор периметра параллелограмма через диагонали

Параллелограмм — четырехугольник, стороны которого являются попарно параллельными отрезками. Параллелограмм представляет собой фигуру, частными случаями которой являются ромб, прямоугольник и квадрат — четырехугольники, знакомые нам с самого детства.

Геометрия параллелограмма

Четырехугольник считается параллелограммом, если соблюдается хотя бы одно из нижеперечисленных условий:

• противоположные стороны параллельны друг другу;
• противоположные стороны равны друг другу;
• пересекающиеся диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Параллелограмм и его частные случаи — наиболее встречающаяся в реальной жизни фигура.

В трехмерном пространстве параллелограмм превращается в четырехугольную призму, форму которой имеет большинство рукотворных объектов: кирпичи, системные блоки компьютеров, стены, книги или коробки.

Косоугольные фигуры встречаются реже, однако форму таких параллелограммов имеют грани резцов металлообрабатывающих станков или элементы дизайна и декора, такие как ковры или геометрические узоры на стенных покрытиях.

Параллелограмм также можно увидеть прямо на улице. Прямоугольные или косоугольные окна — это параллелограммы. Кроме того, прямо под ногами вы можете увидеть один из наиболее банальных воплощений ромба в реальности — тротуарную плитку. Столь широкое распространение данной фигуры в повседневной жизни делает вопрос определения площади и периметра параллелограмма актуальной задачей.

Периметр параллелограмма

Периметр представляет собой количественную оценку общей длины сторон любой фигуры. Параллелограмм имеет четыре стороны, которые попарно равны и параллельны друг другу. Исходя из этого, периметр геометрической фигуры выражается простой формулой:

P = 2 (a + b)

Путем подстановок мы можем найти стороны геометрической фигуры при помощи диагоналей и одной из ее высот. Наш онлайн-калькулятор позволяет определить периметр параллелограмма, зная три переменных: две диагонали и высоту четырехугольника.

Естественно, что вы можете воспользоваться и самой простой формулой для подсчета периметра, однако программный код калькулятора требует введения 3 переменных, поэтому для его корректной работы помимо длин сторон введите значение высоты, равное ha = b или hb = a.

К примеру, если a = 3, b = 4, то укажите, что hb = 3 или ha = 4. Такая подстановка превратит параллелограмм в квадрат, однако при известных сторонах периметр не зависит от величины углов геометрической фигуры, что позволит нам корректно рассчитать требуемый параметр.

Рассмотрим пару примеров.

Примеры из жизни

Пример №1

Давайте определим периметр четырехугольника, зная, что его диагонали равны 3 и 5 см, а высота фигуры составляет 2 см. Свойства четырехугольника подсказывают нам, что высота численно не может быть больше длин диагоналей, поэтому параметр h всегда меньше и d1, и d2. Введем эти данные в форму калькулятора и получим мгновенный ответ:

P = 11,45 см

Зная эти переменные, мы можем определить периметр любого параллелограмма.

Пример №2

Определить периметр абстрактного параллелограмма можно и по стандартной, самой простой формуле. Если стороны четырехугольника равны a = 3 и b = 4, то нам понадобится ввести эти данные в калькулятор, а также указать, что ha = 4. Мы получим ответ в виде:

P = 14,

что полностью соответствует расчетам по классической формуле P = 2 (a + b).

Заключение

Параллелограмм и его частные случаи занимают в деятельности человека важное место.

В реальной жизни вам понадобится определять периметры и площади прямоугольников, квадратов, ромбов или параллелограммов, которые являются гранями соответствующих призм или полноценными фигурами на плоскости.

Используйте наши калькуляторы для выполнения расчетов при решении повседневных, школьных или профессиональных задач.

Источник: https://BBF.ru/calculators/131/

Как найти периметр параллелограмма

В школьной программе, по геометрии, можно часто встретить задания, в которых необходимо найти периметр параллелограмма. Для его нахождения нужно использовать всего лишь одну простую формулу.

1

Что такое параллелограмм?

• Параллелограмм – в переводе с греческого означает параллельный.
• По своей структуре параллелограмм – это четырехугольник, стороны которого параллельны друг другу. Две его боковые стороны ложатся наискось. Каждая из сторон равна друг другу, т. е, равны противоположные углы. Но каждая из прилегающих сторон может отличаться размером.
• В основном четырехугольник обозначается большими заглавными буквами ABCD.
• Еще одной особенностью параллелограмма, является тот факт, что он может являться квадратом, прямоугольником или ромбом.
• Чтобы вычислить является ли четырехугольник параллелограммом, необходимо использовать правила нахождения параллелограмма. Одним из таких  правил является тот факт, когда его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
• Считается, что общая сумма углов, которые лежат параллельно, должна равняться 180 °С, т.е. A + B + C + D = 180 °С. Чтобы вычислить, нужно использовать правило параллельных прямых.

2

Что такое площадь параллелограмма?

• Площадью параллелограмма называется геометрическая фигура, у которой есть основание, высота, а также боковые стороны равны между собой.
• Для того, чтобы приступить к вычислению площади параллелограмма необходимо знать его высоту, а также измерить боковые стороны.
• Существуют специальные теоремы и доказательства, при помощи которых легко вычислить площадь параллелограмма.

3

Как найти периметр параллелограмма?

• Чтобы найти общую численную характеристику параллелограмма необходимо использовать формулу. Такая формула может изменяться, зависимости от заданных значений.
• Чтобы найти периметр необходимо воспользоваться основной формулой: P = 2 * (a + b), где а – верхняя сторона, b – боковая сторона.
• Например, одна из боковых сторон параллелограмма  – а равна 4 см, а сторона b, которая перпендикулярно ей  – 6 см. Вычисли периметр, используя формулу: a = 6 см, b  = 4 см. P = 2 * (6+4) = 10 * 2 = 20 см.
• Значит, периметр данного параллелограмма будет равен 20 см.
• Значение периметра может измеряться при помощи единицы измерения длины.
• Периметр параллелограмма всегда равен удвоенной сумме двух его сторон.

Кроме периметра, также при помощи формул можно найти любое значение данной геометрической фигуры: высоту, площадь, площадь по вписанной окружности и другие необходимые параметры.

Источник: https://sovetclub.ru/kak-najti-perimetr-parallelogramma

Учебный курс

Решаем задачи по геометрии

Параллелограмм. Формулы, признаки и свойства параллелограмма

Признаки параллелограмма

AB||CD, AB = CD (или BC||AD, BC = AD)

∠DAB = ∠BCD, ∠ABC = ∠CDA

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

AC 2 + BD 2 = AB 2 + BC 2 + CD 2 + AD 2

Основные свойства параллелограмма

∠ABC = ∠CDA, ∠BCD = ∠DAB

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

8. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делят друг друга пополам:

AO = CO =	d 1
2
BO = DO =	d 2
2

AC 2 + BD 2 = 2AB 2 + 2BC 2

Стороны параллелограмма

Формулы определения длин сторон параллелограмма:

1. Формула сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними:

2. Формула сторон параллелограмма через диагонали и другую сторону:

a =	√ 2 d 1 2 + 2 d 2 2 — 4 b 2
2

b =	√ 2 d 1 2 + 2 d 2 2 — 4 a 2
2

3. Формула сторон параллелограмма через высоту и синус угла:

4. Формула сторон параллелограмма через площадь и высоту:

Диагонали параллелограмма

Формулы определения длины диагонали параллелограмма:

d ₁ = √ a 2 + b 2 — 2 ab·cosβ

d ₂ = √ a 2 + b 2 + 2 ab·cosβ

d ₁ = √ a 2 + b 2 + 2 ab·cosα

d ₂ = √ a 2 + b 2 — 2 ab·cosα

d ₁ = √ 2 a 2 + 2 b 2 — d ₂ 2

d ₂ = √ 2 a 2 + 2 b 2 — d ₁ 2

4. Формула диагонали параллелограмма через площадь, известную диагональ и угол между диагоналями:

d 1 =	2S	=	2S
d 2· sinγ	d 2· sinδ

d 2 =	2S	=	2S
d 1· sinγ	d 1· sinδ

Периметр параллелограмма

Формулы определения длины периметра параллелограмма:

P = 2 a + 2 b = 2( a + b )

P = 2 a + √ 2 d ₁ 2 + 2 d ₂ 2 — 4 a 2

P = 2 b + √ 2 d ₁ 2 + 2 d ₂ 2 — 4 b 2

3. Формула периметра параллелограмма через одну сторону, высоту и синус угла:

Площадь параллелограмма

Формулы определения площади параллелограмма:

3. Формула площади параллелограмма через две диагонали и синус угла между ними:

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Параллелограмм — его основные свойства, признаки и формулы

Общие сведения о фигуре

Параллелограмм — это четырехугольник на плоскости, у которого присутствует равенство противоположных сторон, причем они лежат на параллельных прямых. Ромб, прямоугольник и квадрат — его частные случаи. Из него состоят более сложные объемные фигуры. Например, параллелепипед и куб. Высота параллелограмма — отрезок, который является перпендикуляром, проведенным к нижней стороне геометрической фигуры.

Всего можно провести четыре высоты. Две из них можно провести из вершин углов, которые лежат в параллелограмме и являются тупыми. Другие две высоты проводятся из острых углов (находятся вне фигуры). Углы делятся на шесть типов: острые, прямые, тупые, развернутые, выпуклые и полные.

Первый тип, градусная размерность которого меньше 90, является острым. Если значение равно 90, то он является прямым, и соответствует второму типу. В случае, когда выполняется условие 90 2 + b 2 + c 2 + d 2 .

Последний признак можно записать для упрощения расчетов следующим образом: sqr (d1) + sqr (d2) = 2 * (a 2 + b 2 ). Равенство можно упростить, поскольку противоположные стороны равны.

Основные свойства

Для решения задач и проектирования деталей необходимо знать основные свойства параллелограмма. Некоторые из них были получены при доказательстве и следствиях из теорем. К ним относятся следующие:

• Ромб, квадрат и прямоугольник — параллелограммы.
• Противоположные стороны одинаково равны и параллельны.
• Противолежащие углы равны.
• Суммарное значение градусной меры всех внутренних углов параллелограмма составляет 360.
• Сумма углов, прилегающих к одной из вершин, составляет 180 градусов.
• Диагональ делит фигуру на два треугольника, которые равны между собой по всем признакам.
• Две диагонали (одна — большая, а другая — меньшая) делят параллелограмм на две пары треугольников, которые равны между собой.
• Диагонали фигуры пересекаются, а точка пересечения делит их пополам (через нее можно провести среднюю линию, которая параллельна сторонам).
• Точка пересечения двух диагоналей является симметрией фигуры.
• Биссектрисы соседних углов пересекаются под углом в 90 градусов, а противоположных являются параллельными.
• sqr (d1) + sqr (d2) = 2 * ((a)^2 + (b)^2).

Однако для выполнения расчетов признаков и свойств параллелограмма недостаточно. В некоторых случаях требуется вычислить периметр и площадь фигуры. Соотношения используются не только в учебных заведениях, но и в научных исследованиях. Простым примером является нахождение площади поперечного сечения проводника. Это может понадобиться для дальнейшего вычисления электрического сопротивления.

Определение периметра

Периметром (P) любой фигуры является сумма длин всех ее сторон. Следовательно, для параллелограмма найти это значение является несложным. Базовая формула периметра параллелограмма имеет следующий вид: P = a + b + c + d = 2 * (a + b). Кроме того, существуют и другие соотношения для нахождения этой величины:

1. Если известны одна из сторон и две диагонали.
2. Нахождение периметра через сторону, высоту и синус угла.

В первом случае соотношение для стороны «a» записывается следующим образом: P = 2 * a + sqrt [2 * (d1 * d1 + d2 * d2 — 2 * a^(2))]. Для «b» запись изменяется таким образом: P = 2*b + sqrt [2 * (d1^(2) + d2^(2) — 2 * b^(2))].

Во втором случае, когда известна сторона «а», угол BAD и высота Ha, периметр записывается формулой вида: P = 2 * [a + Ha / sin (BAD)]. Для стороны «b», угла BAD и высоты Hb равенство принимает следующий вид: P = 2 * [b + Hb / sin (BAD)]. Если проанализировать последние два соотношения, то величины «Hb / sin (BAD)» и «Hа / sin (BAD)» являются стороной «b» и «a» соответственно.

Вычисление площади

Площадь параллелограмма (S) — это пространство, которое ограничено его сторонами, и равно произведению одной из сторон на высоту, проведенную к одноименному основанию. Базовая формула нахождения значения S является следующей: S = a * Ha = b * Hb. Кроме того, существует два способа нахождения ее значения, когда известны следующие величины:

1. По сторонам и углу.
2. Две диагонали и синус углов f или g между ними.

Можно записать соотношение следующим образом: S = a * b * sin (BAD) = a * b * sin (ABC). В последнем случае математическая запись площади имеет следующий вид: S = 0,5 * d1 * d2 * sin (f) = 0,5 * d1 * d2 * sin (g). Кроме того, существует формула Герона, которая позволяет вычислить площадь параллелограмма. Для этого необходимо вычислить полупериметр (p) треугольника со сторонами a, b и d: p = P / 2 = (a + b + d). Формула имеет вид: S = sqrt[p * (p — a) * (p — b) * (p — d)].

Соотношения сторон и диагоналей

В некоторых задачах необходимо определить неизвестные длины сторон или диагонали. Можно попытаться вывести соотношения, однако эта процедура занимает некоторое время. Следовательно, проще воспользоваться уже готовыми формулами. Стороны параллелограмма можно определить четырьмя основными выражениями. При этом следует знать следующие величины:

1. Диагонали и угол.
2. Другую сторону и диагонали.
3. Высоту и значение синуса угла в градусах.
4. Площадь и высоту.

В первом случае для вычисления длины стороны «а», следует воспользоваться следующей формулой: a = [sqrt (d1 *d1 + d2 * d2 — 2 * d1 * d2 * cos (f))] / 2 = [sqrt (d1 * d1 + d2 * d2 + 2 * d1 * d2 * cos (g))] / 2. Значение стороны «b» вычисляется немного иначе: b = [sqrt (d1 * d1 + d2 * d2 + 2 * d1 * d2 * cos (f))] / 2 = [sqrt (sqr (d1) + sqr (d2) — 2 * d1 * d2 * cos (g))] / 2.

При известных значениях диагоналей и одной из сторон, соотношение имеет более простой вид, чем в первом случае: a = [sqrt (2 * (sqr (d1) + sqr (d2) — 2 * b 2 ))] / 2 и b = [sqrt (2 * (sqr (d1) + sqr (d2) — 2 * a 2 ))] / 2.

Когда известны высоты и угол BAD, можно найти стороны a и b: a = Hb / sin (BAD) и b = Ha / sin (BAD). Если известны площадь и высота, то соотношение принимает следующий вид: a = S / Ha и b = S / Hb.

Диагональ параллелограмма — отрезок, который соединяет его противоположные внутренние углы. Фигура имеет две диагонали, одна из которых длинная (d1), а другая является короткой (d2). Их можно найти, используя 4 соотношения. Это возможно в том случае, когда известны следующие данные:

• Стороны и косинус угла ABC.
• Cos (BAD) и стороны.
• Одну известную диагональ и стороны.
• Площадь, диагональ и угол между d1 и d2.

В первом случае можно воспользоваться следующими формулами (теорема косинусов): d1 = sqrt[a 2 + b 2 — 2 * a * b * cos (ABC)] и d2 = sqrt[a 2 + b 2 + 2 * a * b * cos (ABC)]. Во втором: d1 = sqrt[a 2 + b 2 + 2 * a * b * cos (BAD)] и d2 = sqrt[a 2 + b 2 — 2 * a * b * cos (BAD)].

Когда известны две стороны и одна из диагоналей, то можно воспользоваться третьим случаем: d1 = sqrt[2 * a 2 + 2 * b 2 — (d2)^2] и d2 = sqrt[2 * a 2 + 2 * b 2 — (d1)^2]. В последнем случае равенства для нахождения диагоналей имеют такой вид: d1 = 2 * S / [(d2) * sin (f)] = 2 * S / [(d2) * sin (g)] и d2 = 2 * S / [(d1) * sin (f)] = 2 * S / [(d1) * sin (g)].

Параллелограмм и окружность

Существуют определенный тип задач, в которых речь идет о параллелограмме и окружности. Всего бывает два варианта: вписанная и описанная окружности. Следует отметить, что не всегда это возможно. Существуют определенные условия, при которых возможны такие операции. Кроме того, следует обратить особое внимание на дополнительные свойства, которые появляются при комбинации данных фигур. Можно не только чередовать комбинации, но и использовать одновременно.

Для решения сложного типа задач и выполнения расчетов, в некоторых случаях рекомендуется применять вписанные и описанные окружности. Например, при проектировании деталей, необходимо полностью подогнать ее размеры, поскольку они должны быть правильной формы. При помощи окружности (вписанной или описанной) можно выявить ряд дефектов, которые могут привести к некорректной работе механизма.

Круг и прямоугольник

Главное условие: любой четырехугольник можно вписать в окружность, когда сумма его двух противоположных углов составляет 180 градусов. У параллелограмма есть одно свойство: сумма углов, которые прилегают к любой из вершин, составляет 180 градусов. Кроме того, сумма всех его углов составляет 360, а, следовательно, сумму противоположных углов составляет 360 — 180 = 180 (градусов).

Однако при попытке описать около него окружность ничего не выйдет, поскольку есть одно свойство: противоположные углы у него равны. Ими могут быть тупые и острые. Сумма градусной меры тупых углов будет больше 180, а острых — меньше. Когда противоположные углы будут равны 90, то значит их сумма составит 180. В этом случае нужно рассматривать частный случай — прямоугольник. Появляется очень важное свойство: диагонали прямоугольника пересекаются и точкой пересечения (центром окружности) делятся пополам, а также являются диаметрами окружности.

Для нахождения радиуса окружности, следует воспользоваться следующим соотношением (при условии, что известны стороны прямоугольника): R = [sqrt (a 2 + b 2 )] / 2 = d / 2. Величина «d» является диаметром.

Ромб и квадрат

В параллелограмм также можно вписать окружность. Однако для этого необходимо выполнение определенного условия. Оно заключается в следующем: суммы противолежащих сторон параллелограмма должны быть равны. Нужно отметить, что это выполняется только для ромба и квадрата.

Ромбом называется параллелограмм, стороны которого равны, а углы не равны 90 градусов. Квадрат — геометрическая фигура, у которой все стороны и углы равны. Из последнего определения можно найти значение градусной меры одного угла: 360 / 4 = 90. Последняя фигура является частным случаем ромба. Радиус окружности находится с помощью формулы: r = S / p = 0,5 * H. В этом соотношении переменные S, p и H — площадь, полупериметр и высота соответственно. Для нахождения S можно воспользоваться такими соотношениями:

• Известны длина стороны (а) и высота (H): S = a * H.
• Через диагонали d1 и d2: S = d1 * d2 / 2.

Полупериметром фигуры называется половина от значения ее периметра. Соотношение записывается таким образом: p = P / 2 = 4 * a.

Таким образом, знать основные свойства и признаки параллелограмма необходимо, поскольку от этого может зависеть не только качество сдачи экзаменов, решения задач, но и проектирование различных деталей.

Все свойства параллелограмма и окружности

Параллелограмм: свойства и признаки

О чем эта статья:

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

1. В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.
2. Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.

Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма пересекаются под прямым углом.
3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Как найти площадь параллелограмма:

1. S = a × h, где a — сторона, h — высота.
2. S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула примет вид S = a 2 × sinα.
3. Для ромба: S = 0,5 × (d1 × d2), где d1 и d2 — две диагонали.
   Для параллелограмма: S = 0,5 × (d1 × d2) × sinβ, где β — угол между диагоналями.

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

1. Противоположные стороны параллелограмма равны.
   ABCD — параллелограмм, значит, AB = DC, BC = AD.
2. Противоположные углы параллелограмма равны.
   ABCD — параллелограмм, значит, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
   ABCD — параллелограмм, AC и BD — диагонали, AC∩BD=O, значит, BO = OD, AO = OC.
4. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
   ABCD — параллелограмм, AC — диагональ, значит, △ABC = △CDA.
5. Сумма углов в параллелограмме, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам.
   ABCD — параллелограмм, значит, ∠A + ∠D = 180°.
6. В параллелограмме диагонали d1, d2 и стороны a, b связаны следующим соотношением: d1 2 + d2 2 = 2 × (a 2 + b 2 ).

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

1. AB = CD как противоположные стороны параллелограмма.
2. ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD; ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей BD параллельных прямых AB и CD.
3. Следовательно, треугольник AOB равен треугольнику COD по второму признаку равенства треугольников, то есть по стороне и прилежащим к ней углам, из чего следует:
   • CO = AO
   • BO = DO

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

1. AC — общая сторона;
2. По условию AB = CD;
3. ∠1 = ∠2 как внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей АС.

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

• AC — общая сторона;
• AB = CD по условию;
• BC = AD по условию.

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

• CO = OA;
• DO = BO;
• углы между ними равны, как вертикальные, то есть угол AOB равен углу COD.

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

Всё о параллелограммах

Определение параллелограмма

С этой фигурой знакомы все, освоившие курс школьной программы. Впервые с понятием «параллелограмм» встречаются в 8 классе на уроках геометрии.

Параллелограмм — геометрическая фигура, являющаяся разновидностью четырехугольника. Противоположные стороны параллельны.

Стоит отметить, что всем известные фигуры, такие как квадрат, ромб, прямоугольник, являются параллелограммами. Исходя из этого, им можно дать следующие определения:

• Квадрат — параллелограмм с равными сторонами, пересекающимися под углом 90 градусов.
• Ромб — параллелограмм с равными между собой сторонами, не пересекающимися под углом 90 градусов.
• Прямоугольник — параллелограмм с неравными между собой сторонами, но пересекающимися под прямым углом.

Свойства параллелограмма

Для того чтобы определить параллелограмм, нужно обладать знанием о его свойствах. Рассмотрим их на примере четырехугольника MNPK.

• Длина противоположных сторон фигуры одинакова.

• Противоположные стороны параллельны.

• Углы, являющиеся противоположными, равны.

• Сумма всех четырех углов составляет 360 градусов.

∠NMK+∠NPK +∠MNP+∠MKP = 360°

• Сумма двух соседних углов равна 180 градусов.

• Диагонали разделяют параллелограмм на два треугольника, равные между собой.
• При пересечении диагоналей образуется точка пересечения, представляющая собой центр симметрии.
• Диагонали пересекаются и точка их пересечения разделяет каждую диагональ пополам.
• Биссектриса, проведенная из любого угла, отделает от четырехугольника равнобедренный треугольник.

Признаки параллелограмма

Четырехугольник MNPK можно называть параллелограммом при выполнении минимум одного условия:

1. Противоположные стороны равны парами: MK=NP, MN=PK.
2. Противоположные углы равны парами: ∠NMK=∠NPK, ∠MNP=∠MKP.
3. Диагонали пересекаются, и точка их пересечения разделяет каждую диагональ пополам.
4. Противоположные стороны равны и параллельны между собой: MK=NP, MN|PK.
5. Сумма квадратов двух диагоналей равняется сумме квадратов четырех его сторон: MP²+NK²=MN²+NP²+PK²+MK².

Теоремы параллелограмма

Все существующие теоремы доказывают свойства параллелограмма и исходят из определения о том, что это четырехугольник с противоположно расположенными параллельными сторонами.

Основные теоремы доказывают, что:

• параллелограммом является выпуклый четырехугольник;
• противоположные стороны попарно равны;
• углы, являющиеся противоположными, попарно равны;
• точка пересечения диагоналей разделает их пополам.

Параллелограммом является выпуклый четырехугольник

Многоугольник признается выпуклым при условии отсутствия продления до прямой хотя бы одной из сторон, а все оставшиеся стороны будут располагаться по одну сторону от этой прямой.

Пусть дан параллелограмм MNPK, сторона MN противоположна PK, а MK противоположна NP. Следовательно, исходя из определения, следует вывод о том, что MN || PK, а MK || NP.

Параллельные отрезки общих точек соприкосновения не имеют. Следовательно, PK находится со стороной MN по одну сторону. Отрезок NP соединяет точку N отрезка MN с точкой P отрезка PK. Противоположный отрезок MK соединяет оставшиеся две точки отрезков, что дает право утверждать о нахождении отрезков NP и MK по одну сторону от прямой MN. Исходя из всего вышесказанного, можно сделать вывод о том, что три стороны PK, NP и MK располагаются по одну сторону от отрезка MN.

Аналогичный алгоритм доказательства предположения о нахождении трех других сторон по одну сторону относительно остальных.

Противоположные стороны и углы попарно равны

Имеется четырехугольник MNPK, у которого MK=NP, MN=PK, ∠NMK=∠NPK, ∠MNP=∠MKP.

Параллелограмм — это, как мы знаем, четырехугольник. Следовательно, имеет 2 диагонали. Зная о том, что это выпуклая фигура, делаем вывод о делении фигуры на два треугольника. В нашем случае образовались треугольники MNP и MKP.

У треугольников имеется общее — сторона MP. ∠NPM=∠PMK, а ∠NMP=∠MPK, так как накрест лежащие углы, пересекая параллельные прямые, равны.

Следовательно, ΔMNP=ΔMKP, так как одна общая сторона и два равных смежных угла. Отсюда NP=MK, MN=PK.

∠NPM=∠PMK и ∠NMP=∠MPK

Из равенств следует, что ∠NMK=∠NPK.

Таким образом, теорема о равенстве противоположных углов и сторон доказана.

Точка пересечения диагоналей разделяет их пополам

Зная, что параллелограмм представляет собой выпуклый четырёхугольник, можно сказать о наличии двух пересекающихся диагоналей.

Есть четырехугольник MNPK с диагоналями NK и PM, пересекающимися в точке O. Возьмем два полученных треугольника MNO и PKO.

Из свойства противоположно лежащих сторон параллелограмма следует равенство MN=PK. Угол MNO и угол OKP — накрест лежащие, следовательно, они равны. Аналогично, два других угла — NMO и OPK — являются равными. Делаем вывод о равенстве треугольников MNO и PKO по стороне и двум углам.

Из рисунка видно, что углы MON и KOP вертикальные, а значит, они равны.

Зная о равенстве образовавшихся треугольников, можно утверждать и о равенстве всех соответствующих элементов. Сторона MO равна стороне PO, как и сторона NO=OK. Каждая из пар вместе представляет собой диагональ параллелограмма.

Таким образом, теорема о делении диагоналей пополам доказана.

Углы параллелограмма

Для углов действует правило, согласно которому смежные углы в сумме дают 180 градусов, а два противоположных равны друг другу. Основываясь на этих утверждениях, значения остальных углов находятся по формуле:

Свойства диагоналей параллелограмма

1. Точка пересечения диагоналей разделяет их пополам.
2. Любая диагональ разделяет фигуру на два треугольника, равные друг другу.
3. Сумма квадратов его диагоналей равняется сумме квадратов всех его сторон.
4. Площадь фигуры находится путем умножения длины диагоналей на синус угла, расположенного между ними, разделённый на 1/2.

Как вычислить площадь параллелограмма?

Существует несколько вариантов нахождения площади:

1. По основанию и высоте: S=a*h.
2. Зная значение двух смежных сторон и угла между ними: S=a*b*sin(α)°.
3. По длине диагоналей и углу между ними: S=1/2*d₁*d₂*sin α.

Разберем подробнее последнюю формулу площади на примере. Дан параллелограмм с диагоналями АС и BD. Точка пересечения — О. Угол пересечения диагоналей в точке O = 60°. Отрезки AO=6 см и OD=5 см Площадь находится по формуле:

Зная свойство деления диагоналей точкой пересечения пополам, получаем:

AC=AO*2=12 см и DB=OD*2=10 см

Подставляем полученные значения в формулу:

S=1/2 * 12*10*1/2√3=51,962 см 2

Как вписать параллелограмм в окружность?

Вписанный параллелограмм — это когда фигура находится внутри окружности.

Не каждый параллелограмм можно поместить внутрь окружности. Эту манипуляцию можно проделать с той фигурой, у которой два противоположных угла в сумме составляют 180 градусов.

Из этого можно прийти к выводу, что у вписанного в окружность параллелограмма все четыре угла равны 90°. Параллелограмм бывает трех видов: квадрат, ромб, прямоугольник. Следовательно вписать в окружность можно прямоугольник, квадрат.

1. Начертить окружность.
2. Найти ее центр, обозначить буквой O.
3. Выбрать любую точку на окружности и назвать ее точкой A.
4. Если вписываем квадрат, то нужно построить два диаметра с углом между ними в 90 градусов. Точки пересечения диагоналей с окружностью соединить прямыми линиями.
5. Для прямоугольника нужно иметь значения угла между диагоналями или размеры сторон. Зная размеры сторон по теореме Пифагора, высчитываем угол между диагоналями. Проведя один диаметр, обозначить точки пересечения с окружностью. От точки O (центр окружности и середина диагонали) отмерить угол между диагоналями. Провести второй диаметр через центр и новую полученную точку. Соединить полученные точки прямыми.

Как вписать окружность в параллелограмм?

В окружность можно вписать параллелограмм при условии равнозначных сумм противолежащих сторон. Из трех вариантов параллелограмма сумма противоположных сторон одинакова только у ромба. Следовательно, если в параллелограмм вписана окружность, то этот параллелограмм является ромбом.

1. Начертить ромб можно, зная длину минимум одной стороны и одного угла.
2. Провести горизонтальную линию, равную длине стороны.
3. Транспортиром отмерить известный угол и провести луч.
4. На луче отмерить тот же самый размер стороны.
5. Оставшиеся две стороны нарисовать параллельно имеющимся.
6. Согласно свойству ромба и вписанной окружности, проводим две биссектрисы из смежных углов (они же диагонали в ромбе).
7. Пересечение биссектрис отметить точкой О.
8. Точка О будет центром окружности.
9. Вписанная окружность должна касаться всех сторон параллелограмма. Следовательно, стороны ромба будут касательными к окружности.
10. Касательные перпендикулярны радиусу, который проходит к точке касания. Таким образом, из центра окружности (точки О) надо опустить перпендикуляр к любой стороне ромба.
11. Иголку циркуля поставить в точку О, а ножку — на точку касания перпендикуляра со стороной ромба.
12. Начертить окружность.
13. Правильно начерченная фигура будет соприкасаться со всеми сторонами ромба.

Как начертить параллелограмм?

Рассмотрим схему построения каждого вида по отдельности.

Алгоритм построения квадрата

1. Узнать размер одной стороны. Этого достаточно, так как все стороны в квадрате равны.
2. Один из признаков квадрата — все углы равны 90 градусов.
3. Чертим прямую, равную длине одной стороны.
4. С каждой стороны проводим перпендикулярную линию.
5. На перпендикулярах отмечаем нужную длину и ставим точку.
6. Соединяем две точки, построенные на перпендикулярных прямых.

Построение ромба

1. Начертить ромб можно, зная длину минимум одной стороны и одного угла.
2. Провести горизонтальную линию, равную длине стороны.
3. Транспортиром отмерить известный угол и провести луч.
4. На луче отмерить тот же самый размер стороны.
5. Оставшиеся две стороны нарисовать параллельно имеющимся.

Как построить прямоугольник

1. Нужно знать значения длины и ширины.
2. Начертить прямую, равную длине.
3. Провести два перпендикуляра с обеих сторон отрезка.
4. Отметить на перпендикулярных линиях отрезок равный ширине прямоугольника.
5. Соединить полученные два отрезка.
6. При правильном построении полученная линия должны быть перпендикулярна длине (первой начерченной линии).

Трапеция — это параллелограмм?

Обе фигуры являются четырехугольниками с двумя противоположными сторонами, которые равны. Трапеция по определению имеет 2 непараллельные стороны. В параллелограмме все 4 стороны попарно параллельны.

Таким образом, трапеция не является параллелограммом.

Средняя линия параллелограмма

Под этим термином понимается отрезок, соединяющий середины противоположных сторон параллелограмма.

Средняя линия всегда равна параллельной ей стороне

Свойства средней линии в параллелограмме:

• точка пересечения диагоналей является точкой пересечения средних линий;
• точка пересечения делит средние линии пополам;
• точка пересечения выступает центром симметрии параллелограмма.

Параллелограмм, у которого все стороны равны

Все четыре стороны имеют равное значение в двух разновидностях фигуры — ромбе и квадрате.

Ось симметрии параллелограмма

Под осью симметрии понимается прямая, разделяющая фигуру на две зеркально равные фигуры.

В прямоугольнике осью симметрии являются прямые, которые проходят через середину противоположной стороны.

В ромбе оси симметрии представляют собой его 2 диагонали.

Квадрат, объединяя в себе две предыдущие фигуры, имеет 4 оси симметрии: 2 диагонали и 2 средние линии.

Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма

Определение параллелограмма

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма

1. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны

2. Противоположные углы параллелограмма попарно равны

3. Сумма смежных (соседних) углов параллелограмма равна 180 градусов

4. Сумма всех углов равна 360°

5. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

6. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма

7. Диагонали параллелограмма и стороны
связаны следующим соотношением:

8. Биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник

Признаки параллелограмма

Четырехугольник является параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Противоположные стороны попарно равны:

2. Противоположные углы попарно равны:

3. Диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам

4. Противоположные стороны равны и параллельны:

5.

Небольшой видеоролик о свойствах параллелограмма (в том числе ромба, прямоугольника, квадрата) и о том, как эти свойства применяются в задачах:

Хорошую подборку задач на нахождение углов и длин в параллелограмме смотрите здесь.

---

1. Формула площади параллелограмма через стороны и углы

a, b — стороны параллелограмма

α, β — углы параллелограмма

Формула площади через стороны и углы параллелограмма, (S):

Калькулятор — вычислить, найти площадь параллелограмма:

a(сторона)=

b(сторона)=

α или β (угол в градусах)= ( sin α=sin β )

S=

2. Формула площади параллелограмма через сторону и высоту

a, b — стороны параллелограмма

H_b — высота на сторону b

H_a — высота на сторону a

Формула площади через стороны и высоты параллелограмма, (S):

---

3. Формула площади параллелограмма через диагонали и угол между ними

D — большая диагональ

d —меньшая диагональ

α, β — углы между диагоналями

Формула площади через диагонали параллелограмма и угол между ними , (S):

Калькулятор — вычислить, найти площадь параллелограмма:

D (большая диагональ)=

d (меньшая диагональ )=

α или β (угол в градусах)= ( sin α=sin β )

S=

---

---

Формулы для параллелограмма:

Как найти стороны параллелограмма

Как найти диагонали параллелограмма

Острый угол и тупой угол параллелограмма

Углы между диагоналями параллелограмма

Формула суммы квадратов диагоналей параллелограмма

Высота параллелограмма и угол пересечения высот

Свойства и длина биссектрисы параллелограмма

Периметр параллелограмма

Все формулы по геометрии