Как найти полупериметр треугольника формула герона - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

В данной публикации мы рассмотрим формулу Герона, пользуясь которой можно найти площадь треугольника. Также разберем примеры решения задач для того, чтобы закрепить представленный материал.

Формула площади
Примеры задач

Формула площади

Площадь треугольника (S) равняется квадратному корню из произведения его полупериметра (p) на разности полупериметра и каждой из его сторон (a, b, c).

S = √p(p-a)(p-b)(p-c)

Полупериметр (p) вычисляется таким образом:

Примечание: для использования формулы необходимо знать/найти длину всех сторон треугольника.

Формула получила такое название в честь греческого математика и механика Герона Александрийского, который изучал треугольники с целочисленными сторонами и площадью (героновские). К таким, например, относится прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5, который также называют египетским.

Примеры задач

Задание 1
Найдите площадь треугольника со сторонами 6, 8 и 10 см.

Решение
Для начала найдем полупериметр:
p = (6 + 8 + 10) / 2 = 12 см.

Теперь воспользуемся формулой Герона, подставив в нее заданные значения:
S = √12(12 – 6)(12 – 8)(12 – 10) = √12 ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ 2 = 24 см².

Задание 2
В прямоугольном треугольнике длина гипотенузы равняется 15 см, а одного из катетов – 9 см. Вычислите площадь фигуры.

Решение
Пусть гипотенуза – это c, известный катет – a, а неизвестный – b.

Применим Теорему Пифагора, чтобы найти длину катета b:
b² = c² – a² = 15² – 9² = 144 см², следовательно, b = 12 cм.

Полупериметр треугольника равен:
p = (9 + 12 + 15) / 2 = 18 см.

Остается только использовать формулу для нахождения площади:
S = √18(18 – 9)(18 – 12)(18 – 15) = √18 ⋅ 9 ⋅ 6 ⋅ 3 = 54 см².

Источник

Треугольник – это фигура, которая образуется после соединения трех точек, не лежащих на одной прямой отрезками. Точки называются вершинами, а отрезки сторонами. Для расчета треугольника существует множество формул, которые помогают найти как длины сторон, радиусы углов и прочие составляющие фигуры, так и площадь треугольника.

Самой распространенной формулой для расчета площади треугольника по трем сторонам является формула Герона . Если известны длины всех сторон, то можно вычислить площадь фигуры, применив формулу Герона для площади треугольника.

где a, b, c – длины сторон, а p– полупериметр.
Полупериметр – это сумма длин всех сторон поделенная на два.

Пример расчета формулы Герона для площади треугольника
Дан треугольник, в котором a = 5, b = 6, c = 7. Найдем полупериметр:

Теперь подставим данные в формулу для нахождения площади:

В итоге мы нашли площадь треугольника. Она равна 14,7 кв. см.

Калькулятор нахождения площади треугольника по формуле Герона

Сторона a=	Сторона b=	Сторона c=
Ответ: Площадь треугольника = 6.000

Источник

Площадь треугольника через стороны

Площадь треугольника через стороны — это
площадь треугольника, которая выражена через
три стороны треугольника и полупериметр.

Полупериметр — это половина суммы
длин всех сторон треугольника.

Площадь любого треугольника можно рассчитать по
разным формулам. Одна из популярных формул:

С помощью этой формулы можно найти площадь
треугольника зная длину основания и высоту.
Но, иногда требуется найти площадь треугольника,
зная только стороны треугольника. Так, как у
каждого треугольника три стороны, то соответственно
три длины. Но, как же найти площадь?

Площадь треугольника через стороны легко рассчитать
зная Формулу Герона.Герон — греческий математик, в
честь которого и была названа эта формула. В чем суть
формулы Герона? Как найти площадь треугольника через длины сторон?

Площадь произвольного треугольника равна квадратному
корню из произведения полупериметра на разницу
между полупериметром и стороной a, полупериметром
и стороной b, полупериметром и стороной c.

Можно сделать вывод, что, чтобы рассчитать площадь треугольника
по Формуле Герона, нужно знать все стороны данного треугольника.

Формула Герона:

a, b, c — длины сторон треугольника;
p — полупериметр;
S — площадь;

Формула полупериметра:

Обобщение площади треугольника через стороны:

Подставив в вышеперечисленные формулы длины всех сторон,
можно найти площадь любого треугольника. С помощью формулы
площади треугольника через три стороны, можно также
найти не только площадь, но и периметр.

Формула Герона для треугольника

Формула площади

Площадь треугольника ( S ) равняется квадратному корню из произведения его полупериметра ( p ) на разности полупериметра и каждой из его сторон ( a, b, c ).

Полупериметр ( p ) вычисляется таким образом:

Примечание: для использования формулы необходимо знать/найти длину всех сторон треугольника.

Примеры задач

Задание 1
Найдите площадь треугольника со сторонами 6, 8 и 10 см.

Решение
Для начала найдем полупериметр:
p = (6 + 8 + 10) / 2 = 12 см.

Теперь воспользуемся формулой Герона, подставив в нее заданные значения:
= .

Решение
Пусть гипотенуза – это c , известный катет – a , а неизвестный – b .

Применим Теорему Пифагора, чтобы найти длину катета b :
b 2 = = = , следовательно,

Полупериметр треугольника равен:
p = (9 + 12 + 15) / 2 = 18 см.

Остается только использовать формулу для нахождения площади:
= = .

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

По формуле Герона

Формула Герона для нахождения площади треугольника:

Через основание и высоту

Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:

Через две стороны и угол

Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:

Через сторону и два прилежащих угла

Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:

Площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник — треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

Площадь равностороннего треугольника через стороны

Равносторонний треугольник — треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:

источники:

Формула Герона для треугольника

http://mozgan.ru/Geometry/AreaTriangle

Источник

Формула Герона

Формула Герона носит такое название в честь греческого математика и инженера Герона Александрийского. Он жил в I веке нашей эры. Герон занимался механикой, оптикой, геометрией и гидростатикой. Учёный интересовался треугольниками с целочисленными сторонами и целочисленными площадями. Такие фигуры получили название Героновых треугольников.

Формулировка теоремы Герона

Формула Герона – это арифметическая формула для вычисления площади треугольника по длинам его сторон. В таком случае площадь равна корню из произведения разностей полупериметра и каждой из его сторон.

Формула и доказательство

Формула Герона выглядит следующим образом:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

(S;=;sqrt{pleft(p-aright)left(p-bright)left(p-cright)})

где S – это площадь треугольника; a, b, c – это стороны треугольника; p – это полупериметр треугольника.

Чтобы вычислять полупериметр, нужно пользоваться формулой:

(p;=;frac{a+b+c}2)

Приведем доказательство.

Для этого рассмотрим треугольник ABC.

CH – высота треугольника.

Тогда (c=x+y).

По теореме Пифагора из треугольников ACH и BCH получаем:

(h^2=b^2-x^2=a^2-y^2)

Из этого:

(y^2-x^2=a^2-b^2)

((y-x)(y+x)=a^2-b^2)

(x+y=c)

Соответственно:

((y-x)c=a^2-b^2) и (y-x=frac1c (a^2-b^2))

Если сложить последнее равенство с (y+x=c), то получается

(y;=;frac{c^2+a^2-b^2}{2c})

Треугольник

Найдем высоту треугольника.

(h^2;=;a^2-y^2=left(a-yright)left(a+yright)=left(a-frac{c^2+a^2-b^2}{2c}right)left(a+frac{c^2+a^2-b^2}{2c}right)=frac{2ac-c^2-a^2+b^2}{2c}timesfrac{2ac+c^2+a^2-b^2}{2c}=frac{b^2-left(a-cright)^2}{2c}timesfrac{left(a+cright)^2-b^2}{2c}=frac{left(b-a+cright)timesleft(b+a-cright)}{2c}timesfrac{left(a+c-bright)timesleft(a+c+bright)}{2c})

Так как (p=frac12left(a+b+cright)), то ( b+c=2p-a),( a+b=2p-c), (a+c=2p-b), (a+b+c=2p).

С помощью этих равенств найдем высоту.

(h^2=frac{left(2p-2aright)left(2p-2cright)left(2p-2bright)2p}{4c^2}=frac{4pleft(p-aright)left(p-cright)left(p-bright)}{c^2})

А так как (S=frac12ch), то теорема доказана.

Для каких треугольников действует теорема

Применение формулы Герона допустимо для треугольников, у которых известны длины всех их сторон.

Примеры решения задач

Задача 1

Рассчитать площадь треугольника, если a=6, b=8, c=6.

Решение

(p=frac{6+8+6}2=10)

Тогда площадь треугольника равна:

(S=10sqrt{left(10-6right)left(10-8right)left(10-6right)}=320)

Ответ: 320 см².

Задача 2

Вычислить площадь параллелограмма, если одна из его сторон равна 51, а диагонали равны 40 и 74.

Решение

Диагонали AC и BD пересекаются в точке O.

Если AD = 51, AC = 40 и BD = 74, то AO = 20, OD = 37.

По формуле Герона:

(S_{ABCD} = 4S_{AOD} = sqrt{54left(54-51right)left(54-37right)left(54-20right)}=1224)

Ответ: 1224 см².

Задача 3

В треугольнике ABC три стороны: AB = 26, BC = 30 и AC = 28. Найти часть площади этого треугольника, заключённую между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины B.

Решение

Задача 3

BP и BQ – высота и биссектриса треугольника.

По формуле Герона:

(S=sqrt{42left(42-30right)left(42-28right)left(42-26right)}=336)

(S = ½ AC·BP)

Поэтому (BP =frac{2S}{AC}=frac{2times336}{28}=24).

По свойству биссектрисы треугольника:

(frac{AQ}{QC}=frac{AB}{BC}=frac{26}{30}=frac{13}{15})

Соответственно (AQ=frac{13}{28}AC = 13).

По теореме Пифагора из треугольника APB получаем:

(AP=sqrt{AP^2-BP^2}=sqrt{26^2-24^2}=sqrt{2times50}=10)

Следовательно, (PQ = AQ – AP = 13 – 10 = 3)

(S_{BPQ} = ½ PQ·BP = frac{3times24}2=36)

Ответ: 36 см².

Источник

Ирина Алексеевна Антоненко

Эксперт по предмету «Геометрия»

Задать вопрос автору статьи

Предварительные сведения

Для начала введем сведения и обозначения, которые будут необходимы нам в дальнейшем.

Будем рассматривать треугольник $ABC$ с острыми углами $A$ и $C$. Проведем в нем высоту $BH$. Введем следующие обозначения: $AB=c, BC=a, $$AC=b, AH=x, BH=h $(рис. 1).

Рисунок 1.

Введем без доказательств теорему о площади треугольника.

Теорема 1

Площадь треугольника определяется как половина произведения длины его стороны, на высоту, проведенную к ней, то есть

[S=frac{1}{2}bh]

Формула Герона

Введем и докажем теорему о нахождении площади треугольника по трем известным сторонам. Эта формула носит название формулы Герона.

Теорема 2

Пусть нам даны три стороны треугольника $a, b и c$. Тогда площадь этого треугольника выражается следующим образом

[S=sqrt{pleft(p-aright)left(p-bright)(p-c)}]

где $p$ — полупериметр данного треугольника.

Доказательство.

Будем пользоваться обозначениями, введенными на рисунке 1.

Рассмотрим треугольник $ABH$. По теореме Пифагора, получим

[h^2=c^2-x^2]

Очевидно, что $HC=AC-AH=b-x$

Рассмотрим треугольник $ CBH$. По теореме Пифагора, получим

[h^2=a^2-{HC}^2] [h^2=a^2-{(b-x)}^2] [h^2=a^2-b^2+2bx-x^2]

Приравняем значения квадрата высоты из двух полученных соотношений

[c^2-x^2=a^2-b^2+2bx-x^2] [2bx=c^2-a^2+b^2] [x=frac{c^2-a^2+b^2}{2b}]

Из первого равенства найдем высоту

[h^2=c^2-{left(frac{c^2-a^2+b^2}{2b}right)}^2] [h^2=frac{{4b^2c}^2-{left(c^2-a^2+b^2right)}^2}{4b^2}] [h^2=frac{left(2bc-c^2+a^2-b^2right)({2bc+c}^2-a^2+b^2)}{4b^2}] [h^2=frac{left(a^2-{left(c-bright)}^2right)({left(c+bright)}^2-a^2)}{4b^2}] [h^2=frac{left(a-c+bright)left(a+c-bright)left(c+b-aright)(c+b+a)}{4b^2}] [h^2=frac{(a+b+c)left(a+b+c-2cright)left(a+b+c-2bright)left(a+b+c-2aright)}{4b^2}]

Так как полупериметр равен $p=frac{a+b+c}{2}$, то есть $a+b+c=2p$, то

[h^2=frac{2pleft(2p-2cright)left(2p-2bright)left(2p-2aright)}{4b^2}] [h^2=frac{4pleft(p-aright)left(p-bright)left(p-cright)}{b^2}] [h=sqrt{frac{4pleft(p-aright)left(p-bright)left(p-cright)}{b^2}}] [h=frac{2}{b}sqrt{pleft(p-aright)left(p-bright)left(p-cright)}]

По теореме 1, получим

[S=frac{1}{2}bh=frac{b}{2}cdot frac{2}{b}sqrt{pleft(p-aright)left(p-bright)left(p-cright)}=sqrt{pleft(p-aright)left(p-bright)left(p-cright)}]

Теорема доказана.

«Формула Герона» 👇

Примеры задач на использование формулы Герона

Пример 1

Найти площадь треугольника, если его стороны равняются $3$ см, $6$ см и $7$ см.

Решение.

Найдем вначале полупериметр этого треугольника

[p=frac{3+6+7}{2}=frac{16}{2}=8 см]

По теореме 2, получим

[S=sqrt{8left(8-3right)left(8-6right)left(8-7right)}=sqrt{8cdot 5cdot 2cdot 1}=4sqrt{5}]

Ответ: $4sqrt{5}$.

Пример 2

Найти площадь параллелепипеда, со сторонами $8$ см и $5$ см и меньшей диагональю, равной $5$ см.

Решение.

Пусть нам дан параллелограмм $ABCD$, где $AD=8 см, AB=5 см и BD=5 см$ (рис. 2).

Рисунок 2.

Так как диагональ параллелограмма является его осью симметрии, то треугольники $ABD$ и $BDC$ равны между собой. Следовательно

[S=S_{ABD}+S_{BDC}=2S_{ABD}]

Полупериметр треугольника $ABD$ равен

[p=frac{5+5+8}{2}=frac{18}{2}=9 см]

По теореме 2

[S_{ABD}=sqrt{9left(9-5right)left(9-5right)left(9-8right)}=sqrt{9cdot 4cdot 4cdot 1}=12]

Следовательно

[S=2cdot 12=24]

Ответ: $24$.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник