Как найти полупериметр треугольной пирамиды

В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности различных видов правильных пирамид: треугольной, четырехугольной и шестиугольной.

Правильная пирамида – это пирамида, вершина которой проецируется в центр основания, являющегося правильным многоугольником.

  • Формула площади правильной пирамиды

    • 1. Общая формула

    • 2. Площадь правильной треугольной пирамиды

    • 3. Площадь правильной четырехугольной пирамиды

    • 4. Площадь правильной шестиугольной пирамиды

Формула площади правильной пирамиды

Формула площади поверхности правильной пирамиды

1. Общая формула

Площадь (S) полной поверхности пирамиды равняется сумме площади ее боковой поверхности и основания.

Sполн. = Sбок. + Sосн.

Боковой гранью правильной пирамиды является равнобедренный треугольник.

Нахождение площади правильной пирамиды: формулы

Площадь треугольника вычисляется по формулам:

1. Через длину основания (a) и высоту (h):

Формула площади треугольника

2. Через основание (a) и боковую сторону (b):

Формула площади равнобедренного треугольника

Формула площади основания правильной пирамиды зависит от вида многогранника. Далее мы рассмотрим самые популярные варианты.

2. Площадь правильной треугольной пирамиды

2. Площадь правильной треугольной пирамиды

Основание: равносторонний треугольник.

L (апофема) – перпендикулярная линия, опущенная из вершины пирамиды на ребро основания. Т.е. апофема пирамиды является высотой (h) ее боковой грани.

3. Площадь правильной четырехугольной пирамиды

Площадь правильной четырехугольной пирамиды

Основание: квадрат.

Площадь Формула
основание Sосн. = a2
боковая поверхность Sбок. = 2aL
Нахождение площади правильной пирамиды: формулы
полная Sполн. = a2 + 2aL
Нахождение площади правильной пирамиды: формулы

microexcel.ru

4. Площадь правильной шестиугольной пирамиды

Площадь поверхности правильной шестиугольной пирамиды

Основание: правильный шестиугольник

Здесь собраны основные сведения о пирамидах и связанных с ней формулах и понятиях. Все они изучаются с репетитором по математике при подготовке к ЕГЭ.

Рассмотрим плоскость alpha , многоугольник A_1A_2...A_n, лежащий в ней и точку S, не лежащую в ней. Соединим S со всеми вершинами многоугольника. Полученный при этом многогранник называется пирамидой. Отрезки SA_1,SA_2,...,SA_n называются боковыми ребрами.Пирамида Многоугольник называется основанием, а точка S — вершиной пирамиды. В зависимости от числа n пирамида называется треугольной (n=3), четырехугольной (n=4), птяиугольной (n=5) и так далее. Альтернативное название треугольной пирамиды – тетраэдр. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из ее вершины к плоскости основания.
Виды пирамид

Пирамида называется правильной, если A_1A_2...A_n правильный многоугольник, а основание высоты пирамиды (основание перпендикуляра) является его центром.

Комментарий репетитора:
Не путайте понятие «правильная пирамида» и «правильный тетраэдр». У правильной пирамиды боковые ребра совсем не обязательно равны ребрам основания, а в правильном тетраэдре все 6 ребер ребра равные. Это его определение. Легко доказать, что из равенства SA_1=SA_2=...=SA_n следует совпадение центра P многоугольникаA_1A_2...A_n с основанием высоты, поэтому правильный тетраэдр является правильной пирамидой.

Что такое апофема?
Апофемой пирамиды называется высота ее боковой грани. Если пирамида правильная, то все ее апофемы равны. Обратное неверно.
апофемы
Репетитор по математике о своей терминологии: работа с пирамидами на 80% строится через два вида треугольников:
1) Содержащий апофему SK и высоту SP
2) Содержащий боковое ребро SA и его проекцию PA
Реберный и апофемный треугольники
Чтобы упростить ссылки на эти треугольники репетитору по математике удобнее называть первый из них апофемным, а второй реберным. К сожалению, этой терминологии вы не встретите ни в одном из учебников, и преподавателю приходится вводить ее в одностороннем порядке.

Формула объема пирамиды:
1) V=frac{1}{3} cdot S_{OCH} cdot h, где S_{OCH} – площадь основания пирамиды, а h-высота пирамиды
2) V=frac{1}{3} cdot r cdot S_{0}, где r – радиус вписанного шара, а S_0 – площадь полной поверхности пирамиды.
3) V= frac{2}{3} cdot MN cdot S_0, где MN – расстояние любыми двумя скрещивающимися ребрами, а S_0 – площадь параллелограмма, образованного серединами четырех оставшихся ребер.

Свойство основания высоты пирамиды:

Свойство основания высотыТочка P (смотри рисунок) совпадает с центром вписанной окружности в основание пирамиды, если выполняется одно из следующих условий:
1) Все апофемы равны
2) Все боковые грани одинаково наклонены к основанию
3) Все апофемы одинаково наклонены к высоте пирамиды
4) Высота пирамиды одинаково наклонена ко всем боковым граням

Комментарий репетитора по математике: обратите внимание, что все пункты объединяет одно общее свойство: так или иначе везде участвуют боковые грани (апофемы — это их элементы). Поэтому репетитор может предложить менее точную, но более удобную для заучивания формулировку: точка P совпадает с центром вписанной окружности основание пирамиды, если имеется любая равная информация о ее боковых гранях. Для доказательства достаточно показать, что все апофемные треугольники равны.

Свойство основания высоты 2Точка P совпадает с центром описанной около основания пирамиды окружностью, если верно одно их трех условий:
1) Все боковые ребра равны
2) Все боковые ребра одинаково наклонены к основанию
3) Все боковые ребра одинаково наклонены к высоте

Комментарий репетитора. Аналогично предыдущему пункту текст можно упростить и вместо этих условий произнести : «если имеется любая равная информация о боковых ребрах». При этом все апофемные треугольники будут равны implies все проекции боковых ребер будет равны implies P будет равноудалена от всех вершин основания и поэтому окажется центром описанной окружности.

Площадь полной поверхности пирамиды:
Полощадью поверности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней S=S_{OCH}+S_1+S_2+...+S_n.
Площадь боковой поверхностии — сумма площадей всех боковых граней S=S_1+S_2+...+S_n.
Если все апофемы равны (например в правильной пирамиде), то площадь ее боковой поверхности вычисляется по формуле S_b=p cdot SK , где p — полупериметр основания, а SK-апофема.

Правильная треугольная пирамида однозначно определяется двумя параметрами: один плоский, а другой пространственный: к плоскому я отношу любой элемент правильного треугольника (кроме угла), а к пространственному любой связующий параметр между основанием и точкой S: апофема, высота, углы наклона ребер, граней, объем, площадь поверхности и др. При наличие в условии задачи этих двух начальных данных репетитор с учеником может найти у такой пирамиды все что угодно.

Пирамида — обязательный пункт подготовки к ЕГЭ по математике. Програмный минимум по стереометрии включает в себя все вышеуказанные сведения, кроме третьей формулы вычисления объема пирамиды.

Колпаков Александр,
репетитор по математике в Москве. Строгино

Вы уже знакомы с пирамидой, т. е. многогранником, одна грань которого является многоугольником, а остальные грани-треугольники имеют общую вершину.

Треугольные грани пирамиды, имеющие общую вершину, называют боковыми гранями, а эту общую вершину — вершиной пирамиды. Ребра боковых граней, сходящиеся в вершине пирамиды, называют боковыми ребрами пирамиды. Многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды, называют основанием пирамиды (рис. 107).

Пирамиды разделяют на треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. д. в зависимости от количества сторон их оснований. Пирамида, изображенная на рисунке 107, — пятиугольная, а на рисунке 108, — восьмиугольная. Треугольную пирамиду называют еще тетраэдром. У тетраэдра все грани являются треугольниками (рис. 109).

Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости ее основания, называется высотой пирамиды. На рисунке 108 показана высота Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Плоскость, проходящая через два боковых ребра пирамиды, не принадлежащие одной грани, называется диагональной плоскостью, а сечение пирамиды диагональной плоскостью — диагональным сечением. На рисунке 111 показано диагональное сечение шестиугольной пирамиды.

Пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а основание ее высоты совпадает с центром этого многоугольника, называется правильной пирамидой (рис. 112).

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой пирамиды.

Отметим, что в правильной пирамиде:

  • боковые ребра равны;
  • боковые грани равны;
  • апофемы, равны;
  • двугранные углы при основании равны;
  • двугранные углы при боковых ребрах равны;
  • каждая точка высоты равноудалена от вершин основания;
  • каждая точка высоты равноудалена от ребер основания;
  • каждая точка высоты равноудалена от боковых граней.

Отметим, что если в пирамиде равны все:

  • боковые ребра, то около ее основания можно описать окружность, и центр этой окружности совпадает с основанием высоты пирамиды (рис. 113);
  • двугранные углы при основании, то в это основание можно вписать окружность, и центр этой окружности совпадает с основанием высоты пирамиды (рис. 114).

Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Боковые грани составляют боковую поверхность пирамиды, а боковые грани вместе с основанием — полную поверхность пирамиды.

Вы знаете, что боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра ее основания и апофемы.

Теорема 1.

Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной основанию, то:

  • а) боковые ребра и высота разделяются на пропорциональные части;
  • б) в сечении получается многоугольник, подобный основанию;
  • в) площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний от вершины пирамиды.

Используя рисунок 115, докажите эту теорему самостоятельно.

Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Секущая плоскость, параллельная основанию пирамиды, разделяет ее на две части (рис. 116). Одна из этих частей также является пирамидой, а другая — многогранником, который называется усеченной пирамидой.

Параллельные грани усеченной пирамиды называются ее основаниями (рис. 117). Основания усеченной пирамиды — подобные многоугольники, стороны которых попарно параллельны, поэтому ее боковые грани являются трапециями.

Высотой усеченной пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного основания пирамиды к плоскости другого основания.

Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Усеченная пирамида называется правильной, если она является частью правильной пирамиды. Высота боковой грани правильной усеченной пирамиды называется апофемой усеченной пирамиды. На рисунке 118 показана четырехугольная правильная усеченная пирамида и одна из ее апофем.

Теорема 2.

Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров ее оснований и апофемы:

Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Доказательство:

Пусть есть правильная Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами-угольная усеченная пирамида (рис. 119). Пусть Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами — соответственно периметры нижнего и верхнего оснований и Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами — апофема пирамиды.

Боковая поверхность данной пирамиды состоит из Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами равных трапеций. Пусть Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами — основания одной из этих трапеций, тогда ее площадь равна Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами. Учитывая, что боковая поверхность пирамиды состоит из Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами таких трапеций, получим, что

Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Теперь установим формулу для вычисления объема пирамиды.

Тела, имеющие равные объемы, называются равновеликими.

Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Теорема 3.

Треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами равновелики.

Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Доказательство:

Пусть есть две треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами (рис. 120). Разделим высоты одной и другой пирамид на Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами долей и через точки деления проведем плоскости, параллельные основаниям. Этим самым пирамиды разделяются на Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами частей. Для каждой части первой пирамиды построим наибольшие по объему призмы, целиком содержащиеся в пирамиде, а для каждой части другой пирамиды — наименьшие по объему призмы, целиком содержащие эту часть.

Пусть Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами — объемы первой и второй пирамид, a Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами — суммарные объемы призм, построенных для этих пирамид. При счете от оснований пирамид призма в Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами-й части первой пирамиды равновелика призме для Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами-й части второй пирамиды, так как у этих призм равновелики основания и равные высоты. Поэтому объем Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами больше объема Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами на объем первой призмы, у которой основанием является основание второй пирамиды, а высота равна Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, где Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами — высота пирамиды (см. рис. 120), т.е. Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, или Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, где Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами — площадь основания пирамиды. Теперь учтем, что Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, a Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами. Поэтому Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, или Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами. При увеличении значения переменной Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами значение выражения Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами стремится к нулю, а это означает, что Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, или

Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Такие же рассуждения можно провести, если первую и вторую пирамиды поменять ролями. В результате получим неравенство

Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Из неравенств (1) и (2) следует, что Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами.

Теорема 4.

Объем пирамиды равен третьей доле произведения площади ее основания и высоты:

Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Доказательство:

Пусть есть треугольная пирамида Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами (рис. 121). Достроим ее до призмы Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами с основанием Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами (рис. 122). Отделим от призмы данную пирамиду, получится четырехугольная пирамида Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами (рис. 122 и 123). Диагональная плоскость Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами разделяет ее на две пирамиды Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, у которых одна и та же высота, проведенная из вершины Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, и равные основания Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами. Поэтому, в соответствии с теоремой 3, пирамиды Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами равновелики. Сравним пирамиду Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами с данной пирамидой Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами. У них равные основания Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и высоты, проведенные из вершин Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, поэтому эти пирамиды также равновелики. Получается, что все три пирамиды Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами равновелики. Поскольку объем призмы Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами равен произведению Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами площади Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами основания Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и высоты призмы Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, которая равна высоте пирамиды Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, то объем пирамиды Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, т. е. третьей части призмы Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, равен третьей доле этого объема, т. е. Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами.

Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Пусть теперь есть произвольная пирамида Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами (рис. 124). Через диагонали Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами основания Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, выходящие из одной вершины Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, проведем диагональные сечения, они разделят данную пирамиду на треугольные пирамиды Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами. Поскольку все они имеют общую высоту Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, то

Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Пример:

Найдем объем усеченной пирамиды, нижнее и верхнее основания которой имеют площади Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, а высота равна Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами (рис. 125).

Для этого достроим данную усеченную пирамиду до полной. Пусть высота дополнительной пирамиды равна Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами. Искомый объем Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами можно найти как разность объемов полной и дополнительной пирамид:

Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Чтобы найти высоту Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, используем установленное в теореме 1 утверждение о том, что площади сечений пирамиды относятся как квадраты их расстояний от вершины:

Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Решим это уравнение, учитывая, что Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами — положительные числа:

Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Таким образом, объем Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами усеченной пирамиды равен третьей доле произведения высоты Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами пирамиды и суммы площадей Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами оснований пирамиды и их среднего геометрического Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами.

  • Конус в геометрии
  • Сфера в геометрии
  • Шар в геометрии
  • Правильные многогранники в геометрии
  • Возникновение геометрии
  • Призма в геометрии
  • Цилиндр в геометрии
  • Стереометрия — формулы, определение и вычисление

Площадь пирамиды: определение, нахождение полной и боковой поверхности

Описание фигуры

С древнегреческого языка пирамида переводится, как многогранник с несколькими гранями — боковыми и основанием. Первые имеют вид треугольников с одной вершиной. С учётом количества углов фигура делится на треугольную (тетраэдр), четырёхугольную, пятиугольную, шестиугольную, n-угольную. Элементы многогранника:

Описание фигуры пирамида

  1. Апофема или высота. Проводится из вершины боковой грани (БГ).
  2. БГ. Формируют треугольники с одной вершиной.
  3. Боковые рёбра (БР). Являются общими сторонами БГ.
  4. Вершина или точка. Соединяет БР, не принадлежит плоскости, в которой находится основание.
  5. Высота или часть перпендикуляра. Элемент проведён через вершину к основанию. Чтобы найти высоту, измеряется отрезок между вершинами и нижней стороной фигуры.
  6. Диагональное сечение. Пересекает диагональ и вершину нижней части фигуры.
  7. Основание либо многоугольник. На данной поверхности не лежат вершины.

Развертка — плоская фигура, образованная путём совмещения поверхности тела с плоскостью. Грани и другие элементы не накладываются друг на друга. Развёртка поверхности похожа на гибкую плёнку. По факту, это пятиугольная пирамида с равными сторонами и углами. В плоскости она напоминает звезду.

Свойства и теоремы

Для фигуры характерны некоторые свойства. БР одинаковы, если нижняя сторона вписывается в сферу либо окружность так, что вершина приходится на центр. Другие особенности фигуры:

Свойства и теоремы пирамиды

  1. Боковые рёбра и плоскость нижней стороны формируют равные углы.
  2. Если БР образуют с плоскостью одинаковые углы либо вблизи основания описывается окружность с вершиной в её центре, тогда все БР одинаковые.
  3. Если грани наклонены к плоскости основания под определённым углом, тогда площадь боковой поверхности (БП) пирамиды равна ½ произведения периметра нижней стороны на высоту грани.

При решении задач на сайтах онлайн либо из учебников по геометрии используются теоремы, которые связывают пирамиду с иными телами.

Для расчета нужной величины применяется калькулятор, подходящая формула, свойства многогранников. Учёные доказали, что вокруг пирамиды можно описать сферу, если в основании находится многоугольник с окружностью.

Центр сферы — точка, в которой пересекаются плоскости, проходящие через центральную часть ребер. Из теоремы вытекает, что около прямоугольной, квадратной и правильной пирамиды возможно описать сферу. В фигуру вписывается сфера, если биссекторные плоскости двугранных внутренних углов пересекаются в единой точке. Согласно другой теореме, конус вписан в пирамиду, если их вершины совпадают. Основание фигур и апофемы совпадают. Конус описывается вокруг пирамиды, если БР последней фигуры одинаковые.

Цилиндр находится внутри многоугольника, если любое его основание совмещено с окружностью. Цилиндр описан около пирамиды, если вершина последней фигуры находится на одном из его оснований. Другая его нижняя часть описана внизу пирамиды. Подобное действие возможно, если в основании пирамиды вписан многоугольник.

Правильная пирамида

Для правильной пирамиды (нижняя сторона представлена в виде правильного многоугольника с вершиной в центре) характерны некоторые свойства: равенство БР, гранями являются равнобедренные конгруэнтные (равные) треугольники, внутрь и вокруг легко описывается и вписывается сфера. В последнем случае, когда центры сфер совпадают, сумма плоских углов равняется числу пи, а каждый — π/n, где n — количество сторон фигуры в основании.

Пирамида считается прямоугольной, если одно БР перпендикулярно нижней стороне. В таком случае ребро является высотой. В тетраэдре либо треугольной пирамиде любая грань принимается в качестве основания.

Практические задания

На ЕГЭ выпускники решают задачи с объёмом и площадью куба, правильного многоугольника. Фигуры размещены на плоскости либо в системе координат. Основные формулы, которые применяются для вычисления показателей:

Задачи о пирамиде

  1. Площадь (S) пирамиды с четырьмя углами и сторонами. Для её расчета потребуется суммировать площади нижних сторон (квадрат и 4 треугольника).
  2. Общая S: S основания+S боковой поверхности.
  3. Площадь боковой поверхности пирамиды: S бок. пов.=½Pосн.d.
  4. Площадь полной поверхности пирамиды. Для её вычисления понадобится суммировать площади БП и основания.
  5. Площадь усеченной пирамиды: S1+S2+Sбок, где первые два показателя характерны для оснований, в последний для боковой поверхности.
  6. Объём пирамиды: V=1/3Sосн.H.

Задача 1. Дан четырёхугольный многогранник с равными сторонами в 72 и боковыми ребрами — по 164. Нужно найти площадь четырехугольной пирамиды.

Решение: Так как S=Sбок+Sосн, подставив данные в формулу, получается 4S+a ². Так как Sбок состоит из 4-х одинаковых по площади треугольников, а основание представлено в виде квадрата, поэтому для нахождения площади Sбок используется формула Герона: S=√p (p-a)(p-b)(p-c).

Для вычисления полупериметра потребуется (a+b+c)/2. В формулу поставляются данные. Выходит, что P=(72+164+164)/2=200. Тогда S=√200 (200−72)(200−164)(200−164)=√200х128х36х36=√100х256х36х36=10х16х6х6х=5760. Подставив данные в формулу, находится площадь: S=4х5760+72х72=28224.

Задача 2. Стороны нижней части в шестиугольном многоугольнике равняются 22, а ребра — 61. Нужно найти Sбок. пов.

Решение: Основание фигуры представлено в форме шестиугольника с одинаковыми сторонами. Его площадь соответствует площади шести треугольников. Их стороны равны 61, 61 и 22. Величина вычисляется по формуле S=6S. Чтобы найти S, применяется формула Герона: S=√p (p-a)(p-b)(p-c). Полупериметр равен (a+b+c)/2.

Р=(61+61+22)/2=72. S=√72 (72−61)(72−61)(72−22)=√72х9х9х50=√36х2х9х9х2х25=540.

Данные, подставив в Sбок. пов., приведут к результату 3240. В задаче 1 и 2 можно вычислить площадь через апофему.

Площадь усеченной пирамиды

Задача 3. Необходимо определить S пов. прав. четырёхугольной пирамиды, когда стороны основания равняются 6, а высота — 4.

Решение: Для определения S вычисляются площади БП и основания. Используется формула Sбок +S осн=4S+ a ². S осн равняется 36, так как оно представлено в виде квадрата со сторонами в 6. БП состоит из 4-х граней либо равных треугольников. Для нахождения площади вычисляется основание и высота фигуры:

S=½ah.

Площадь фигуры соответствует половине произведения апофемы и основания. Первый элемент проведён ко второму. Так как известно, что основание равно 6, поэтому находится высота. Если начертить и рассмотреть треугольник, можно заметить, что катет равен 4. Он же является высотой пирамиды. Значение второго катета — 3 (он соответствует ½ ребра основания).

Для вычисления гипотенузы используется теорема Пифагора:

h= √3²+4²=5.

Площадь БП вычисляется следующим образом:

Sбок=4S=4х½х6х5=60.

S=60+36=96.

На уроке

При решении задач рекомендуется ориентироваться на чертеж, использовать общепринятые теоремы и свойства фигур. Для наглядности фигура размещается в плоскости в нескольких проекциях. В старших классах, чтобы найти объём либо площадь, многогранники отображаются с помощью координат, функций косинуса и синуса.

Последние переменные используются, чтобы найти значение углов, как острых, так и тупых. Через полученное число и дополнительные формулы, аксиомы вычисляется площадь разных составных элементов фигуры.

Как вычислить высоту пирамиды

Задачи на определение каких-либо параметров многогранников, конечно, могут вызвать затруднение. Но, если немного подумать, становится понятно, что решение сводится к рассмотрению свойств отдельных плоских фигур, из которых и состоит данное геометрическое тело.

Как вычислить высоту пирамиды

Инструкция

Пирамида – это многогранник, в основании которого лежит многоугольник. Боковые грани представляют собой треугольники с общей вершиной, которая является одновременно вершиной пирамиды. Если в основании пирамиды лежит правильный многоугольник, т.е. такой, у которого все углы и все стороны равны, то пирамида называется правильной. Поскольку в условии задачи не указывается, какой именно многогранник следует рассматривать в данном случае, можно считать, что имеет место правильная n-угольная пирамида.

В правильной пирамиде все ребра равны между собой, все грани — равные равнобедренные треугольники. Высотой пирамиды является перпендикуляр, опущенный из вершины на ее основание.

Нахождение высоты пирамиды зависит от того, что дано в условии задачи. Применяйте формулы, в которых для нахождения каких–либо параметров пирамиды используется ее высота. К примеру, дано: V – объем пирамиды; S – площадь основания. Используйте формулу нахождения объема пирамиды V=SH/3, где H – высота пирамиды. Отсюда следует: H=3V/S.

Двигаясь в том же направлении, следует отметить, что если площадь основания не дана, ее в некоторых случаях можно найти по формуле нахождения площади правильного многоугольника. Введите обозначения:р — полупериметр основания (полупериметр легко найти, если известно число сторон и величина одной стороны);h – апофема многоугольника (апофемой называется перпендикуляр, опущенный из центра многоугольника на любую из его сторон); а — сторона многоугольника;n – число сторон.Таким образом, p=an/2, а S=ph= (an/2)h. Откуда следует: H=3V/ (an/2) h.

Разумеется, существует множество других вариантов. К примеру, дано:h — апофема пирамиды;n — апофема основания;H — высота пирамиды.Рассмотрите фигуру, образованную высотой пирамиды, ее апофемой и апофемой основания. Она представляет собой прямоугольный треугольник. Решите задачу с помощью всем известной теоремы Пифагора. Применительно к данному случаю можно записать: h²=n²+H², откуда H²=h²-n². Вам остается лишь извлечь квадратный корень из выражения h²-n².

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти премию в рублях
  • Как найди свой стиль тест
  • Как исправить прикус хирургическим путем цена
  • Как найти сопротивление определение
  • Как найти ток в каждой фазе