Как найти полюс сферического зеркала

Сферические зеркала

Сферическое зеркало представляет собой сферический сегмент, зеркально отражающий свет. 

Сферические зеркала бывают вогнутые (рис. 16.13, а) — у них отражающее покрытие нанесено на внутреннюю поверхность, и выпуклые (рис. 16.13, б) — у них отражающее покрытие нанесено на внешнюю поверхность.

Геометрический центр О сферической поверхности зеркала радиусом R называется центром зеркала, а точка Р, являющаяся вершиной сферического сегмента — полюсом зеркала. Любая прямая (например, ОМ и ОР), проходящая через центр О зеркала, называется оптической осью. Оптическая ось ОР, проходящая через полюс зеркала, называется главной оптической осью, все остальные оси — побочными оптическими осями. Ясно, что любая оптическая ось в точке пересечения с поверхностью зеркала является нормалью к последней (любой радиус перпендикулярен к касательной к поверхности сферы). Точка F на главной оптической оси, через которую проходят после отражения от зеркала лучи (или их продолжения), падающие на зеркало параллельно главной оптической оси, называется фокусом зеркала. У вогнутого зеркала фокус действительный, у выпуклого зеркала фокус мнимый. Расстояние от фокуса сферического зеркала до его полюса PF называется фокусным расстоянием. Его принято обозначать также буквой F. Плоскость KL, проходящая через фокус перпендикулярно к главной оптической оси, называется фокальной плоскостью. В фокальной плоскости пересекаются после отражения от зеркала лучи (или их продолжения), падающие на зеркало параллельно какой-либо побочной оптической оси.

Определим положение фокуса сферического зеркала. Пусть на зеркало (рис. 16.14) падает луч NM, параллельный главной оптической оси. Отраженный от зеркала луч MF пройдет через фокус F. Луч NM составляет с радиусом ОМ угол (~alpha). Угол отражения (~ang OMF=alpha) и (~ang MOF=alpha) как накрест лежащие при параллельных прямых MN и РО и секущей МО. Следовательно, (~Delta MOF) — равнобедренный (FO = MF). Угол MFE = 2(~alpha) (угол внешний по отношению к (~Delta MOF)).

Будем рассматривать только так называемые параксиальные пучки, т.е. узкие пучки, составляющие с оптической осью зеркала очень малые углы (в широком пучке три луча, образующие значительные углы друг с другом, не пересекаются в одной точке). Тогда ( PE ll R, EF approx PF) и (tg alpha approx sin alpha = alpha ).

Из (~Delta MOC) ( sin alpha = frac{h}{R} Rightarrow alpha approx frac{h}{R} ) Из (~Delta MEF) ( tg 2 alpha = frac{h}{EF} Rightarrow 2 alpha approx frac{h}{PF}. )

Отсюда (2 frac{h}{R}=frac{h}{PF} Rightarrow PF=frac{R}{2}.) Таким образом, точка F лежит на главной оптической оси и делит радиус зеркала ОР на две одинаковые части. Значит, фокусное расстояние (F=frac{F}{2}.)

Аналогично можно доказать, что фокус выпуклого сферического зеркала лежит на главной оптической оси за зеркалом и удален от полюса зеркала на расстояние, равное половине радиуса зеркала. Фокусное расстояние выпуклого зеркала принято считать отрицательным (так как увыпуклого зеркала фокус мнимый), т.е. у выпуклого зеркала (F=-frac{F}{2}.)

Формула сферического зеркала. Пусть точечный источник света S (рис. 16.15) расположен на главной оптической оси зеркала на расстоянии SP = d. Угол падения луча SM на поверхность зеркала (~ang SMO = alpha). Отраженный луч пересекает главную оптическую ось в точке S’. Угол отражения ( ang OMS’ = alpha) (по закону отражения). Обозначим угол наклона падающего луча к главной оптической оси (ang MSO = varphi), угол наклона отраженного луча (ang MS’P = gamma), угол наклона радиуса (ang MOP = beta,) расстояние от точки М до главной оптической оси через ME = h.

Угол (~beta) — внешний по отношению к (Delta OMS). Поэтому (beta = alpha + varphi).

Угол (~gamma) — внешний по отношению к (Delta S’OM). Поэтому (~gamma = alpha + beta).

Из этих равенств получаем

16.1

(gamma + varphi = 2 beta)

Из (Delta S’EM) находим ( tg gamma= frac{h}{ES’} approx frac{h}{f}). Из (Delta OME) имеем (tg beta=frac{h}{OE} approx frac{h}{R}.)

Из (Delta SEM) имеем (tg varphi= frac{h}{SE} approx frac{h}{d})

Так как мы рассматриваем только параксиальные лучи, то тангенсы углов можно заменить значениями самих углов в радианах. 

Следовательно, (gamma = frac{h}{f};) (beta = frac{h}{R};) (varphi = frac{h}{d}.) Подставим в (16.1), получим ( frac{h}{f} + frac{h}{d} = 2 frac{h}{R} Rightarrow frac{1}{d} + frac{1}{f} = frac{2}{R}. )А так как (F=frac{R}{2},) то можно записать

(16.2)

(frac{1}{d} + frac{1}{f} = frac{1}{F})

Это выражение называют формулой сферического зеркала. Формулу (16 2) можно применять и для выпуклых сферических зеркал, если использовать правило знаков: считать знаки величин d, f, R и F положительными, если эти расстояния измерены от полюса зеркала в ту сторону, откуда на зеркало падает свет от предмета, и отрицательными, если они отсчитаны от полюса за зеркало. Для выпуклых зеркал d>0, a R<0, F<0. Если изображение мнимое, то f<0.

Так как в формулу (16.1) не входят значения h и угла (varphi), то это означает, что любой луч, выходящий из S, пройдет через точку S’. Следовательно, точка S’ является изображением точки S.

Литература

Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. — Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. — С. 461-464.

Плоское зеркало — это плоская поверхность, зеркально отражающая свет.

Построение изображения в зеркалах основывается на законах прямолинейного распространения и отражения света.

Изображение в плоском зеркале формируется за плоскостью зеркала на том же расстоянии от зеркала f, на каком находится предмет перед зеркалом d:

f = d

Изображение в плоском зеркале является:

• прямым;
• мнимым;
• равным по величине предмету: h = H.

Если плоские зеркала образуют между собой некоторый угол, то они формируют N изображений источника света, помещенного на биссектрису угла между зеркалами:

где γ — угол между зеркалами (в радианах).

Примечание: Формула справедлива для таких углов γ, для которых отношение 2π/γ является целым числом.

Сферическим зеркалом называют зеркально отражающую поверхность, имеющую форму сферического сегмента.

Центр сферы, из которой вырезан сегмент, называют оптическим центром зеркала. Вершину сферического сегмента называют полюсом. Прямая, проходящая через оптический центр и полюс зеркала, называется главной оптической осью сферического зеркала. Главная оптическая ось выделена из всех других прямых, проходящих через оптический центр, только тем, что она является осью симметрии зеркала.

Сферические зеркала бывают вогнутыми и выпуклыми. Если на вогнутое сферическое зеркало падает пучок лучей, параллельный главной оптической оси, то после отражения от зеркала лучи пересекутся в точке, которая называется главным фокусом F зеркала. Расстояние от фокуса до полюса зеркала называют фокусным расстоянием и обозначают той же буквой F. У вогнутого сферического зеркала главный фокус действительный. Он расположен посередине между центром и полюсом зеркала.

Фокусное расстояние у сферического зеркала равно половине радиуса кривизны, причем у вогнутого зеркала F > 0, у выпуклого F < 0.

Изображение какой-либо точки A предмета в сферическом зеркале можно построить с помощью любой пары стандартных лучей:

• луч AOC, проходящий через оптический центр зеркала; отраженный луч COA идет по той же прямой;
• луч AFD, идущий через фокус зеркала; отраженный луч идет параллельно главной оптической оси;
• луч AP, падающий на зеркало в его полюсе; отраженный луч симметричен с падающим относительно главной оптической оси.
• луч AE, параллельный главной оптической оси; отраженный луч EFA₁ проходит через фокус зеркала.

Положение изображения и его размер можно также определить с помощью формулы сферического зеркала: 

Здесь d – расстояние от предмета до зеркала, f – расстояние от зеркала до изображения. Величины d и f подчиняются определенному правилу знаков:

• d > 0 и f > 0 – для действительных предметов и изображений;
• d < 0 и f < 0 – для мнимых предметов и изображений.

Линейное увеличение сферического зеркала Γ определяется как отношение линейных размеров изображения H и предмета h.

Величине H удобно приписывать определенный знак в зависимости от того, является изображение прямым (H > 0) или перевернутым (H < 0). Величина h всегда считается положительной. При таком определении линейное увеличение сферического зеркала выражается формулой

Оптическая сила зеркала — величина, обратная фокусному расстоянию, измеряется в диоптриях (дптр)

Задачи

Соседние файлы в предмете Оптика

• #
• #
• #