Как найти полюс скоростей

Содержание:

1. Плоское движение тела
2. Определение скоростей точек тела
3. Уравнения плоского движения
4. Скорости точек фигуры. Мгновенный центр скоростей
5. Определение положения мгновенного центра скоростей
6. Порядок решения задач на тему: Определение скоростей точек тела
7. Примеры решения задач на тему: Определение скоростей точек тела
8. Решение задачи графоаналитическим способом
9. Решение задачи с помощью мгновенного центра скоростей
10. Определение ускорений точек тела
11. Ускорения точек плоской фигуры
12. Порядок решения задач на тему: Определение ускорений точек тела
13. Примеры решения задач на тему: Определение ускорений точек тела
14. План скоростей
15. Порядок решения задач на тему: План скоростей
16. Примеры решения задач на тему: План скоростей
17. План ускорений
18. Примеры решения задач на тему: План ускорений

Плоское движение тела — это такое движение, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой неподвижной плоскости.

На странице -> решение задач по теоретической механике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретической механики.

Плоское движение тела

Плоскопараллельное движение (плоское движение) — вид движения абсолютно твёрдого тела, при котором траектории всех точек тела располагаются в плоскостях, параллельных заданной плоскости. Примером плоскопараллельного движения по отношению к вертикальной плоскости, относительно которой тело движется в параллельном направлении, является качение колеса по горизонтальной дороге

Определение скоростей точек тела

Скорости точек тела пропорциональны их расстояниям до мгновенного центра скоростей, и это отношение определяет угловую скорость тела в данный момент времени: Частные случаи определения положения мгновенного центра скоростей. Если плоскопараллельное движение осуществляется путем качения без скольжения одного цилиндрического тела по поверхности другого, то точка касания Р имеет в данный момент времени скорость равную нулю, и, следовательно является мгновенным центром скоростей .

Уравнения плоского движения

Плоским называется такое движение тела, при котором траектории всех его точек лежат в плоскостях, параллельных данной неподвижной плоскости.

При таком движении все точки твердого тела, лежащих на перпендикуляре к этой плоскости, имеют одинаковые траектории, скорости и ускорения.

Плоское движение фигуры можно рассматривать как сложное (то есть, абсолютное) движение, которое включает поступательное движение вместе с произвольно выбранной точкой , что называется полюсом (переносное движение), и на вращательное движение фигуры вокруг этой точки (относительное движение).

На рис.4.1 с телом связана подвижная система координат . При движении тела начало координат и угол поворота  подвижной системы координат относительно неподвижной системы со временем меняются. Таким образом, чтобы однозначно задать положение тела при плоском движении нужно задать закон движения начала подвижной системы координат (полюса ) и угол поворота подвижной системы относительно неподвижной системы координат, то есть:

Уравнения (4.1) называются уравнениями плоского движения твердого тела.

При этом, поступательная часть плоского движения описывается двумя уравнениями:

а относительная вращательная вокруг полюса — третьим уравнением:

Координаты любой точки плоской фигуры  (рис.4.1), если за полюс выбрана точка и задан угол , определяются по уравнениям:

Скорости точек фигуры. Мгновенный центр скоростей

Поскольку плоское движение тела состоит из поступательного вместе с полюсом и вращательного вокруг него, то скорость любой точки тела (рис.4.2) геометрически состоит из абсолютной скорости точки , которую принято за полюс, и относительной скорости в относительном вращательном движении точки вместе с телом вокруг полюса :

Вектор относительной скорости точки в относительном вращательном движении вместе с телом вокруг полюса направлен перпендикулярно в сторону угловой скорости.

Модуль и направление абсолютной скорости находится построением соответствующего параллелограмма на векторах и (рис.4.2). Таков путь решения векторного уравнения, когда по записанному уравнению строят векторную фигуру, называется графоаналитическим.

Относительная скорость в относительном вращательном движении точки вместе с телом вокруг полюса по модулю равна:

где — угловая скорость вращения тела вокруг полюса.

Найти скорость любой точки тела можно также на основе теоремы, которая гласит:

Проекции скоростей двух точек фигуры на прямую, что соединяет эти точки, равны между собой.

Согласно этой теореме (рис.4.3) :

или

Если известна скорость точки тела, то:

При плоском движении тела в каждый момент времени существует точка тела, скорость которой равна нулю. Эта точка называется мгновенным центром скоростей и, как правило, обозначается буквой .

Если мгновенный центр скоростей известен, то легко можно найти мгновенное распределение скоростей всех точек тела (рис.4.4).

Выберем за полюс поступательного движения мгновенный центр скоростей . Тогда для точек  и  тела можно записать векторные уравнения (4.3):

где  — вектор абсолютной скорости полюса ;

 — вектор относительной скорости точки в относительном вращательном движении вместе с телом вокруг полюса , направлен перпендикулярно ;

 — вектор относительной скорости точки в относительном вращательном движении вместе с телом вокруг полюса , направлен перпендикулярно .

Поскольку скорость выбранного полюса равна нулю , то:

По модулю скорости вращения точек  и  вокруг полюса равны:

Разделив на получим:

Таким образом, мгновенное распределение скоростей точек тела при его плоском движении, такое же, какое было бы при его вращательном движении вокруг мгновенного центра скоростей.

Определение положения мгновенного центра скоростей

Существует несколько способов нахождения положения мгновенного центра скоростей.

Случай 1. Известна скорость одной точки тела и угловая скорость его вращения (рис.4.5).

Мгновенный центр скоростей лежит на перпендикуляре к скорости точки , на расстоянии:

Для нахождения направления перпендикуляра надо повернуть вектор относительно точки на угол в сторону угловой скорости.

Случай 2. Известны направления скоростей и двух точек  и  тела (рис.4.6).

Мгновенный центр скоростей должен лежать как на перпендикуляре к вектору , так и на перпендикуляре к вектору , то есть мгновенный центр скоростей лежит в точке пересечения этих перпендикуляров.

Случай 3. Скорости двух точек  и  тела параллельны между собой, а перпендикуляры к ним не совпадают (рис.4.7).

Говорят, что в этом случае мгновенный центр скоростей лежит на бесконечности. Угловая скорость вращения равна нулю, а скорости всех точек тела геометрически равны, то есть в данный момент времени тело выполняет поступательное движение.

Случай 4. Скорости двух точек  и  параллельны, направлены в одну сторону и не равны по модулю. Кроме того, и перпендикулярны отрезку (рис.4.8).

Мгновенный центр скоростей находится на продолжении отрезка той точки, скорость которой меньше. Расстояние от точки к мгновенному центру скоростей можно найти из пропорции (4.6):

Решив это уравнение относительно , получим:

Таким образом, для определения положения мгновенного центра скоростей надо знать не только направления скоростей, но и их величину.

Случай 5. Скорости двух точек  и  тела параллельны друг другу, перпендикулярны отрезку , но направлены в разные стороны (рис.4.9).

Мгновенный центр скоростей лежит на отрезке и делит его на части пропорциональные скоростям. Поскольку , то по формуле (4.6) можно записать:

Решив уравнение относительно , получим:

Таким образом, для нахождения положения мгновенного центра скоростей надо знать величины и направления скоростей обеих точек.

Случай 6. Тело катится без проскальзывания по неподвижной поверхности (рис.4.10).

В этом случае мгновенный центр скоростей находится в точке прикосновения тела к поверхности. Действительно, если отсутствует скольжение тела относительно поверхности, то скорости точек прикосновения тела и поверхности должны быть одинаковыми. Но скорости точки , принадлежащей неподвижной поверхности, равна нулю.

Тогда и скорость точки , которой в данный момент времени движущееся тело прикасается к неподвижной поверхности, тоже равна нулю.

Порядок решения задач на тему: Определение скоростей точек тела

а) решение графоаналитическим методом:

• выбрать за полюс ту точку тела, скорость которой известна по величине и направлению или легко определяется из условий задачи;
• найти точку тела, направление скорости которой известно;
• пользуясь формулами плоского движения найти скорость этой точки;
• определить угловую скорость тела в данный момент времени;
• по известной угловой скорости и скорости полюса, пользуясь формулами плоского движения найти скорости других точек тела.

б) решение с помощью мгновенного центра скоростей:

• определить положение мгновенного центра скоростей одним из известных способов;
• определить значение мгновенного радиуса той точки тела, скорость которой известна, и найти угловую скорость тела;
• найти скорости других точек тела.

Примеры решения задач на тему: Определение скоростей точек тела

Задача №1

Стержень (рис.4.11) длиной выполняет плоское движение. Вектор скорости точки образует угол с осью стержня и в данный момент времени равен . Вектор скорости точки в этот же момент времени образует угол с осью стержня.

Определить величину скорости точки , положение мгновенного центра скоростей, угловую скорость стержня и скорость точки , которая лежит на середине стержня.

Решение задачи графоаналитическим способом

1. Выберем за полюс точку (рис.4.11), поскольку известны направление и величина скорости этой точки.

2. Используя формулу распределения скоростей при плоском движении, запишем векторное уравнение для определения скорости точки :

где  — скорость полюса точки ;

 — относительная скорость точки в ее относительном вращательном движении вместе с телом вокруг полюса .

Данное векторное уравнение можно решить построением векторного треугольника скоростей (рис.4.12). Для этого из произвольной точки плоскости надо построить правую и левую часть векторного уравнения (1).

При построении правой части уравнения (1) из точки в произвольном масштабе отложим вектор скорости , который является известным и по величине и по направлению. К вектору надо добавить вектор относительной скорости , направление которого является известным, поскольку скорость точки у ее относительном вращательном движении вокруг полюса перпендикулярна радиусу вращения, в данном случае радиус вращения — отрезок . Величина вектора неизвестна и поэтому через точку проводится только его направление (прямая рис.4.12).

Теперь из точки построим левую часть уравнения (1). Направление скорости точки является известным (по условию задачи), но неизвестна ее величина, и потому, из точки проводим линию параллельную .

Точка пересечения прямых, параллельных и , и будет решением данного векторного уравнения.

В результате построения получили замкнутый треугольник скоростей, стороны которого в выбранном масштабе определяют искомую скорость точки и относительную скорость этой же точки при ее вращении вместе с телом вокруг полюса .

В этом треугольнике известны все углы и одна сторона . С треугольника находим:

3. Определим угловую скорость вращения стержня . Поскольку , то :

4. Найдем скорость точки , лежащей посередине отрезка . Для этого запишем формулу для скорости точки относительно того же самого полюса точки :

где  — скорость полюса точки ;

 — относительная скорость точки в ее относительном вращательном движении вместе с телом вокруг полюса .

Скорость имеет то же направление, что и , а по модулю равна:

Отложив от точки (рис.4.12) вектор , равный половине вектора , получим точку . Вектор, проведенный из точки начала построения (точки ) в точку изображает скорость точки .

Поскольку стороны и треугольника равны между собой и угол между ними , то треугольник равносторонний. Таким образом:

Решение задачи с помощью мгновенного центра скоростей

1. Определим положение мгновенного центра скоростей. Для этого с точек  и  (рис.4.13) проведем перпендикуляры к скоростям и . Пересечение этих перпендикуляров (точка ) будет мгновенным центром скоростей.

2. Определим мгновенные радиусы. Поскольку треугольник прямоугольный, то:

3. Вычислим угловую скорость вращения фигуры вокруг мгновенного центра скоростей:

4. Найдем скорости точек  и :

где  — мгновенный радиус точки , поскольку треугольник равносторонний ( угол между ними ), то 

Если надо было бы определить только величину скорости , то можно было бы воспользоваться теоремой о равенстве проекций двух точек плоской фигуры на прямую, соединяющую эти точки:

Тогда:

Ответ: 

Задача №2

Колесо радиусом катится по горизонтальной поверхности. В момент рассматриваемого времени скорость центра и угловая скорость колеса (рис.4.14).

Определить: скорости точек ,  и , которые лежат на концах вертикального и горизонтального диаметров.

Решение.

1. В качестве полюса выберем точку , направление и величина скорости которой известны.

2.Используя формулу распределения скоростей точек тела при плоском движении определяем скорости других точек колеса.

Для точки колеса:

где  — относительная скорость точки в ее относительном вращательном движении вокруг полюса .

По модулю  равна:

Скорость направлена перпендикулярно в сторону угловой скорости, то есть по направлению и будут совпадать.

Из точки (рис.4.14) строим уравнение (1): откладываем вектор , а с его конца по тому же направлению .

Тогда:

Векторное уравнение для определения скорости точки , будет иметь вид:

где  — скорость точки в ее вращательном движении вокруг полюса .

Эта скорость параллельна скорости , но будет направлена в противоположную сторону и по модулю равна:

Из точки (рис.4.14) строим векторное уравнение (2): откладываем вектор , а с его конца в противоположную сторону .

Поскольку векторы коллинеарны, то:

Таким образом, скорость точки равна и направлена в противоположную сторону от . Колесо катится со скольжением по поверхности.

Составляем векторное уравнение для определения скорости точки :

где  — относительная скорость точки в ее относительном вращательном движении вокруг полюса .

По модулю  равна:

Скорость направлена перпендикулярно в сторону угловой скорости , то есть вертикально вниз.

Из точки  (рис.4.14) строим уравнение (3): откладываем вектор , а с его конца вектор вертикально вниз. Соединив точку с концом вектора получим вектор скорости точки .

Поскольку векторы и между собой перпендикулярны, то вектор является гипотенузой прямоугольного треугольника:

Ответ: 

Задача №3

Колесо радиусом катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности со скоростью центра колеса

Определить: скорости точек , ,  (рис.4.15).

Решение. Решим задачу с помощью мгновенного центра скоростей.

1. Определим положение мгновенного центра скоростей. Поскольку колесо катится по неподвижной поверхности, то мгновенный центр скоростей находится в точке прикосновения колеса к неподвижной поверхности.

2. Мгновенный радиус для точки равен . Тогда с формулы (4.4) получим угловую скорость колеса:

Направлена угловая скорость по ходу часовой стрелки.

3. Определим величину и направление скоростей точек , , .

Соединим точки , ,  с мгновенным центром скоростей . Векторы скоростей , и будут направлены перпендикулярно мгновенным радиусам и , соответственно.

По модулю скорости будут равны:

где

Ответ: 

Задачи, которые рекомендуются для самостоятельной работы: 16.2; 16.4; 16.11; 16.12 [2]

Определение ускорений точек тела

Теорема: ускорение любой точки плоской фигуры равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения этой точки во вращательном движении фигуры вокруг полюса.

Ускорения точек плоской фигуры

Формула распределения ускорений при плоском движении тела имеет вид:

где  — ускорение полюса, точки , в поступательном движении;

 — относительное ускорение точки в ее вращательном движении вместе с телом вокруг полюса ;

 — ускорение любой точки тела.

Графическое определение ускорения точки выполняется следующим образом (рис.4.16):

Вычисление величины ускорения точки с помощью рассматриваемого параллелограмма затрудняет расчеты, поскольку предварительно надо определить угол между векторами  и .

Учитывая, что представляет собой относительное ускорение точки в ее относительном вращательном движении вокруг полюса , то это ускорение можно разложить на относительную тангенциальную (касательную) и относительную нормальную (центростремительную) составляющие:

где

Вектор направлен перпендикулярно в сторону углового ускорения, а вектор всегда направлен от точки к выбранному полюсу (рис.4.17).

Тогда уравнение (4.10) примет вид:

Если точка , которая выбрана за полюс поступательного движения, движется не прямолинейно, то ее ускорение, в свою очередь, тоже можно разложить на тангенциальную и нормальную составляющие:

Порядок решения задач на тему: Определение ускорений точек тела

1. Выбрать точку, которая будет полюсом при записи уравнения плоского движения (как правило выбирают точку, ускорение которой известно).

2. Записать векторное уравнение распределения ускорений.

3. Спроектировать уравнение распределения ускорений на две взаимно перпендикулярные оси, одна из которых совпадает с нормальным ускорением, а вторая – с тангенциальным.

4. Определить мгновенное угловое ускорение плоской фигуры.

5. Найти искомые ускорения точек с помощью уравнения распределения ускорений.

Примеры решения задач на тему: Определение ускорений точек тела

Задача №1

Прямоугольная (рис.4.18, а) пластина движется в плоскости чертежа. Ускорение точки  в данный момент времени равно и образует с прямой угол .

Ускорение точки составляет и образует угол с прямой .

Определить мгновенную угловую скорость и мгновенное угловое ускорение пластины, и ускорение точки , если

Решение.

1. Выберем за полюс точку , поскольку ее ускорение известно (задано в исходных данных).

2. Составим векторное уравнение для ускорения точки пластины:

где  — относительное нормальное ускорение точки в ее вращательном движении вместе с телом вокруг точки . Вектор этого ускорения направлен от точки к точке и по модулю равен: 

 — относительное тангенциальное (касательное) ускорение точки в ее вращении вместе с телом вокруг точки . Направлен вектор этого ускорения перпендикулярно  в сторону углового ускорения и по модулю равен .

Поскольку направление углового ускорения неизвестное, то направлением на рис. 4.18,а задаемся.

3. Спроектируем составленное уравнение (1) на оси и .

В проекции на ось получим:

В проекции на ось :

4. Из уравнения (2) получим величину нормального ускорения:

Найдем мгновенную угловую скорость фигуры:

5. Из уравнения (3) получим величину тангенциального ускорения:

Угловое ускорение фигуры:

Поскольку величина положительная, то направление тангенциального, а соответственно и углового ускорений выбрано верно.

6. Определим ускорение точки .

Для вычисления ускорения точки лучше за полюс выбрать точку , поскольку ускорение этой точки уже известно и задана сторона прямоугольника:

Направление векторов и показано на рис. 4.18,б.

Спроектируем записанное уравнение на оси и :

где

Полное ускорение точки :

Ответ:  

Задача №2

Равносторонний треугольник  движется в плоскости чертежа. Ускорение вершин  и   в данный момент времени равны и направлены вдоль сторон треугольника (рис.4.19).

Определить ускорение вершины .

Решение. Если известны ускорения двух точек плоской фигуры, например  и  , то задачу рекомендуется решать в следующей последовательности:

1. Рассматривая первую точку как полюс поступательного движения, записать векторное уравнение распределения ускорений при плоском движении для точки и спроектировать это уравнение на прямую , соединяющую обе точки.

2. Из уравнения проекций определить величину нормального ускорения и значение  угловой скорости фигуры .

3. Спроектировать векторное уравнение распределения ускорений при плоском движении на прямую, которая перпендикулярна , и определить из уравнения проекций величину тангенциального ускорения и значение углового ускорения фигуры .

4. Если нужно, то, используя формулу распределения ускорений при плоском движении, определить ускорение любой другой точки плоской фигуры.

Решим задачу, придерживаясь приведенной последовательности.

1. Выберем за полюс точку . Для точки треугольника можно записать:

где  — относительное нормальное ускорение точки в ее относительном вращательном движении вокруг точки , направлено вдоль от точки к точке ;

 — относительное тангенциальное ускорение точки в ее относительном вращательном движении вокруг точки , направлено перпендикулярно , направлением задаемся (рис.4.19).

Спроектируем записанное равенство (1) на прямую :

2. Откуда: 

Поскольку  то:

3. Спроектируем векторное уравнение на прямую, которая перпендикулярна :

Откуда: 

Учитывая то, что , получим:

Поскольку величина тангенциального ускорения положительная, то его направление на рис. 4.19 выбрано верно. Отсюда следует, что угловое ускорение направлено против хода часовой стрелки.

4. Определим ускорение точки , приняв за полюс точку :

где  — относительное нормальное ускорение точки в ее относительном вращательном движении вокруг точки , направлено вдоль от точки к точке ;

 — относительное тангенциальное ускорение точки в ее относительном вращательном движении вокруг точки , направлено перпендикулярно  в сторону углового ускорение фигуры .

Учитывая, что , определим модули относительного нормального и тангенциального ускорений:

От точки  (рис.4.20) отложим векторы ускорений, которые составляют правую часть уравнения (2).

Выберем систему координат , причем ось направим вдоль стороны треугольника.

Спроектируем равенство (2) на оси выбранной системы координат:

Подставляя числовые данные, получим:

Таким образом, ускорение вершины треугольника равно:

Поскольку проекция ускорения на ось равна нулю и величина проекции на ось положительная, то вектор ускорения точки будет направлен вдоль стороны треугольника от точки к точке .

Ответ:

Задача № 3

В шарнирном механизме (рис.4.21) в данный момент времени угловая скорость и угловое ускорение кривошипа равны Точка механизма движется по дуге окружности радиусом и в момент времени, что рассматривается, лежит на прямой .

Найти ускорение точки и мгновенное угловое ускорение шатуна , если  

Решение. Скорость точки кривошипа, который вращается вокруг точки равен:

Направлена скорость перпендикулярно в сторону угловой скорости (рис.4.21).

Точка  шатуна вращается вокруг центра и ее линейная скорость направлена перпендикулярно .

Поскольку скорости точек  и  шатуна параллельны, то мгновенный центр скоростей шатуна лежит в бесконечности и мгновенное движение шатуна является поступательным, то есть

Ускорение точки равно геометрической сумме нормального и тангенциального ускорений:

где 

Направления ускорений и показаны на рис.4.21.

Выберем точку за полюс для шатуна . Тогда для точки шатуна:

или

где  — относительное нормальное ускорение точки в ее относительном вращательном движении вокруг точки , направлено вдоль от точки к точке , 

 — относительное тангенциальное ускорение точки в ее относительном вращательном движении вокруг точки , направлено перпендикулярно , направлением задаемся (рис.4.22), 

Свяжем с точкой прямоугольную систему координат (рис.4.22) и спроектируем уравнение (1), помня, что , на оси выбранной системы координат:

С другой стороны, при движении точки по дуге окружности радиуса , точка приобретет ускорения :

где  — нормальное ускорение точки в ее вращательном движении вокруг точки направлено к центру вращения;

 — тангенциальное ускорение точки в ее вращательном движении вокруг точки , направлено перпендикулярно , задаемся направлением (рис.4.22).

По величине нормальное и тангенциальное ускорения соответственно равны:

Спроектируем уравнение (4) на оси выбранной системы координат:

Подставим в (3) все рассчитанные величины:

Поскольку

то

Положительное значение величины указывает на то, что направление было выбрано верно.

Угловое ускорение тела равно:

Угловое ускорение направлено в сторону , то есть против хода часовой стрелки.

Для определения тангенциального ускорения в уравнение (2) подставим из (5):

Откуда

Поскольку величина отрицательная, то направление тангенциального ускорения выбрано не в ту сторону.

Полное ускорение точки :

Ответ: 

Задачи, которые рекомендуются для самостоятельной работы: 18.12; 18.14; 18.22 [2].

План скоростей

План скоростей и план ускорений – физическое изображение векторных уравнений, связывающих скорости и ускорения точек механизма. Изображение механизма, выполненное с помощью условных обозначений (см. выше) называется структурной схемой механизма.

Определение скоростей различных точек движущейся плоской фигуры легко может быть выполнено графически с помощью построения плана скоростей.

План скоростей – это графическое изображение из единого центра (полюса) векторов абсолютных скоростей точек фигуры в фиксированный момент ее движения.

План скоростей может быть построен, если:

• известная скорость одной точки плоской фигуры и направление скорости другой точки;
• известная скорость одной точки плоской фигуры и мгновенная угловая скорость фигуры

Пусть известные скорости , , и , вершин прямоугольника (рис. 4.23, а). Для построения плана скоростей с произвольной точки  (рис.4.23,б), которая называется полюсом плана скоростей, отложим направленные отрезки и , которые в выбранном масштабе будут изображать скорости , , и . Полученные точки и , которые называются вершинами плана скоростей, соединим между собой прямыми линиями.

Установим свойства и правила построения плана скоростей.

По уравнению распределения скоростей при плоском движении фигуры, если за полюс принять точку , то для точки получим:

где  — вектор абсолютной скорости точки ;

 — вектор относительной скорости точки в относительном вращательном движении вместе с телом вокруг точки , направлена перпендикулярно и по модулю равна

С другой стороны для векторов треугольника плана скоростей (рис.4.23,б) можно записать:

Учитывая, что векторы и изображают в выбранном масштабе абсолютные скорости и и, сравнивая уравнения (4.14) и (4.15), можно сделать вывод, что отрезок изображает в масштабе скорость .

Таким образом, отрезок плана скоростей направлен перпендикулярно стороне фигуры и по модулю равен: 

где  — масштабный коэффициент, который принят при построении плана скоростей.

Аналогично:

Отсюда мгновенная скорость вращения плоской фигуры:

Вектор согласно уравнению (4.14) направлен на плане скоростей от точки к точке . Если этот вектор перенести в точку фигуры, то можно определить направление вращения точки вокруг точки вместе с фигурой (в данном случае, по ходу часовой стрелки). Направление же мгновенной угловой скорости плоской фигуры будет совпадать с направлением ее вращения.

Из рассматриваемого вытекает:

Порядок решения задач на тему: План скоростей

1. Изображают на чертеже в выбранном масштабе плоскую фигуру и вектор скорости той точки, скорость которой известна.

2. Определяют направление скорости второй точки плоской фигуры.

3. Записывают векторное уравнение распределения скоростей при плоском движении, принимая за полюс точку, скорость которой известна, а за искомую ту точку, направление скорости которой известно.

4. Решают записанное векторное уравнение графически путем построения в выбранном масштабе плана скоростей.

5. Определяют мгновенную угловую скорость вращения плоской фигуры.

6. Определяют скорость других точек плоской фигуры.

Примеры решения задач на тему: План скоростей

Задача №1

Найти угловую скорость шатуна 2 и скорость точки ползуна 3 кривошипно-шатунного механизма (рис. 4.24), если : 

Решение.

1. Согласно исходным данным в произвольном масштабе строим схему механизма (рис.4.25, а).

2. Учитывая, что кривошип 1 вращается вокруг неподвижной точки с угловой скоростью определяем скорость точки кривошипа 1 и шатуна 2:

Направлена скорость перпендикулярно в сторону угловой скорости .

3. Следующей точкой шатуна, скорость которого можно определить, является точка , поскольку она, кроме шатуна, одновременно принадлежит и ползуну 3, что движется поступательно в горизонтальных направляющих. То есть направление этой скорости известно.

Для определения скорости точки запишем уравнение распределения скоростей при плоскопараллельном движении, принимая за полюс точку , скорость которой известна:

где — относительная скорость точки в ее относительном вращательном движении вместе с шатуном 2 вокруг точки . Вектор направлен перпендикулярно ;

 — абсолютная скорость точки , которая движется прямолинейно вместе с ползуном 3 в горизонтальных направляющих.

4. Решим уравнение (1) графически (рис.4.25, б). Для этого с произвольной точки (полюса плана скоростей) отложим направленный отрезок , который в определенном масштабе будет изображать вектор скорости . Через точку  этого отрезка проведем линию перпендикулярно , вдоль которой от точки будет направлен вектор скорости , длина и направление которого неизвестны.

Вектор который будет на плане скоростей изображать абсолютную скорость точки , выходит из полюса параллельно к пересечению с линией в точке .

Определим направление отрезка , который на плане скоростей изображает относительную скорость . Поскольку, согласно уравнению (1), вектор надо прибавить к вектору , который на плане скоростей изображается вектором , то вектор будет направлен от точки к точке .

Полученный векторный треугольник представляет собой план скоростей для кривошипно-шатунного механизма в положении, что рассматривается. Стороны этого треугольника в определенном масштабе изображают: — абсолютную скорость точки ; — относительную скорость точки в ее относительном вращательном движении вместе с шатуном вокруг точки ; — абсолютную скорость точки .

Перенесем из плана скоростей в точку на рис.4.25, а найденные направления скоростей и .

Поскольку скорость на плане изображается вектором , а — вектором , то угол при вершине равен углу между этими двумя векторами скоростей. Если на рис.4.25, а перенести и в точку , то угол между ними будет составлять , то есть

Аналогично, равен углу между векторами и . Учитывая, что , с рис.4.25, а получим:

Таким образом, и угол при вершине тоже будет равняться , а треугольник будет равносторонним, то есть:

, или 

5. Определяем мгновенную угловую скорость шатуна 2. Поскольку , то:

где , исходя из того, что треугольник (рис.4.25,а) равнобедренный.

Направление угловой скорости определяется вектором . В данном случае направлена против хода часовой стрелки.

Ответ: 

Задача №2

Найти угловые скорости шатуна 2 и коромысла 3 и абсолютные скорости точек и рычажного механизма (рис.4.26), если:   

Угловая скорость кривошипа 1 —  

Решение.

1. В соответствии с исходными данными в произвольном масштабе строим схему механизма (рис.4.27, а).

2. Так как точка принадлежит кривошипу 1, который вращается вокруг шарнира с угловой скоростью , то:

Вектор скорости направлен перпендикулярно в сторону вращения кривошипа (рис.4.27, а).

2. Шатун 2 механизма движется плоскопараллельно. Скорость точки шатуна 2 равна скорости точки кривошипа 1. Второй точкой шатуна, направление скорости которой известно, есть точка . Точка , кроме шатуна, принадлежит и коромыслу 3, которое вращается вокруг центра . Таким образом, скорость точки направлена перпендикулярно радиусу вращения .

3. Для определения скорости точки запишем формулу распределение скоростей:

где  — абсолютная скорость точки , которая направлена перпендикулярно ;

 — абсолютная скорость точки ;

 — относительная скорость точки в ее относительном вращательном движении вместе с шатуном 2 вокруг полюса . Направлен вектор перпендикулярно .

4. Решаем записанное уравнение графически. Для этого из произвольной точки (полюса плана скоростей) (рис.4.27,б) проводим вектор параллельно , который в определенном масштабе будет изображать скорость точки .

Через конец вектора проводим линию перпендикулярно , вдоль которой от точки будет направлен вектор относительной скорости . Длина и направление этого вектора неизвестны.

Скорость точки направлена перпендикулярно и, по правилу, должна проходить через полюс плана скоростей. Исходя из этого, через точку проводим линию перпендикулярную коромыслу 3 к пересечению в точке с линией .

Полученный на рис. 4.27, б векторный треугольник являет собой план скоростей механизма в данном положении. В этом треугольнике вектор изображает абсолютную скорость точки , вектор  направлен от полюса к точке — абсолютную скорость точки , а вектор направлен от точки к точке — относительную скорость , поскольку, согласно уравнению (2), эта скорость прибавляется к .

Перенесем направления скоростей и в точку на рис. 4.27, а.

Поскольку , а , то угол при вершине равен углу при вершине треугольника на схеме механизма (рис. 4.28), который образован путем продолжения кривошипа и коромысла к пересечению.

Таким образом

Угол при вершине будет равняться углу между продолжением прямой (рис.4.28) и прямой , поскольку сторона , а прямая . Учитывая, что , то:

Тогда угол при вершине :

Для определения сторон плана скоростей воспользуемся теоремой синусов:

Из уравнения (1) получим:

Таким образом:

5. Определим мгновенные угловые скорости шатуна 2 и коромысла 3. Поскольку , то:

Направление угловой скорости определяется направлением относительной скорости . С рис.4.27,а видно, что угловая скорость будет направлена против хода часовой стрелки.

Угловая скорость коромысла 3 равна:

где

Направление  определяет скорость . Направлена угловая скорость коромысла 3 (рис.4.27,а) по ходу часовой стрелки.

6. Определить величины скоростей и можно непосредственно и путем измерения соответствующих отрезков на построенном плане скоростей.

Поскольку вектор на плане скоростей изображается отрезком , то масштабный коэффициент плана скоростей будет равен:

Скорости  на плане скоростей соответствует отрезок , а скорости – .

Тогда:

7. Для определения скорости точки воспользуемся теоремой подобия.

Поскольку фигура  на схеме механизма и фигура на плане скоростей должны быть подобными, то можно составить пропорцию:

В левой части пропорции (2) отношение отрезков на схеме механизма, а в правой — на плане скоростей.

Из уравнения (2) получим расстояние от точки к точке на плане скоростей:

Поскольку на схеме механизма отрезок перпендикулярен , то и на плане скоростей отрезок  надо провести перпендикулярно , причем в ту сторону, чтобы обход точек , и на плане скоростей должен был быть против хода часовой стрелки, как и для точек , и на схеме механизма.

Вектор скорости точки на плане скоростей в масштабе будет изображаться вектором , а величина скорости точки равна:

Ответ:    

Задача №3

В состав рычажного механизма (рис.4.29) входят два кривошипа 1 и 4, и два шатуна 2 и 3. Кривошип 1 вращается с угловой скоростью , а кривошип 4 с угловой скоростью .

Найти угловые скорости шатунов 2 и 3 и абсолютные скорости точек и , если: В данном положении механизма кривошип 1 расположен вертикально, а кривошип 2 – горизонтально.

Решение. Особенность этой задачи заключается в том, что определить сразу направление скорости точки невозможно. Но точка одновременно принадлежит к двум телам (шатуну и шатуну ), и для нее можно записать два векторных уравнения распределения скоростей при плоском движении (относительно точек и ), что позволяет решить задачу.

1. В соответствии с исходными данными в произвольном масштабе строим схему механизма (рис.4.30, а).

2. Так как точка принадлежит кривошипу 1, который вращается вокруг шарнира с угловой скоростью , то:

Вектор скорости направлен перпендикулярно в сторону вращения кривошипа 1 (рис.4.30, а).

Шатун 2 механизма движется плоскопараллельно. Скорость точки шатуна 2 равна скорости точки кривошипа 1.

Для определения скорости точки шатуна 2 запишем формулу распределения скоростей при плоском движении:

где  — абсолютная скорость точки , величина и направление которой является неизвестным;

 — абсолютная скорость точки ;

 — относительная скорость точки при ее вращении вместе с шатуном 2 вокруг полюса . Направлен вектор перпендикулярно .

В уравнении (1) три неизвестных: величина и направление скорости точки ; величина скорости . Поскольку векторное уравнение

для плоскости позволяет определить только две неизвестных, то решить уравнение (1) невозможно.

3. Рассмотрим определение скорости точки шатуна 3 относительно точки .

Скорость точки  кривошипа 4 равна:

Вектор скорости направлен перпендикулярно в сторону вращения кривошипа 4 (рис.4.30, а).

Учитывая, что шатун 3 механизма движется плоскопараллельно, то для определения скорости точки шатуна 3 запишем формулу распределения скоростей при плоском движении:

где  — абсолютная скорость точки ;

 — относительная скорость точки в ее относительном вращательном движении вместе с шатуном 3 вокруг полюса . Направлен вектор перпендикулярно .

В записанной системе векторных уравнений (1,2) четыре неизвестных: величина и направление скорости точки ; величина скорости ; величина скорости . Поскольку из каждого уравнения можно определить две неизвестных, то записанная система является определенной и ее можно решить.

4. Решаем записанную систему векторных уравнений (1) и (2) графически. Для этого из произвольной точки построим сначала уравнение (1), а затем (2) (рис.4.30, б).

Согласно уравнению (1) из произвольной точки проводим вектор параллельно , который будет изображать скорость точки . Длину отрезка выберем .

Тогда масштабный коэффициент плана скоростей будет равен:

Через конец вектора проводим линию перпендикулярно , вдоль которой от точки будет направлен вектор относительной скорости . Длина и направление этого вектора неизвестны.

Теперь построим из того же самого полюса уравнение (2). Сначала отложим вектор параллельно , который в масштабе будет изображать скорость точки . Длина этого вектора соответственно равна:

Через конец вектора проводим линию перпендикулярно , вдоль которой от точки будет направлен вектор относительной скорости .

Точка пересечения прямых и , которая одновременно удовлетворяет векторным уравнением (1) и (2), и будет решением системы, а вектор который на плане скоростей изображает будет направлен от полюса  к точке .

Полученный на рис. 4.30,б четырехугольник представляет собой план скоростей механизма в данном положении. В этом четырехугольнике: вектор определяет относительную скорость ; вектор — относительную скорость ; — абсолютную скорость точки .

Перенесем направления скоростей и на рис. 4.30,а и, померив длины соответствующих отрезков, определим величины этих скоростей:

5. Определим мгновенные угловые скорости шатунов.

Поскольку , то:

Направление угловой скорости определяется направлением относительной скорости . С рис.4.30, а видно, что будет направлена против хода часовой стрелки.

Аналогично, угловая скорость шатуна 3 равна:

Направление определяется относительной скоростью . Направлена угловая скорость шатуна 3 по ходу часовой стрелки.

Для определения скорости точки  воспользуемся теоремой подобия. Поскольку точка на схеме механизма лежит посередине шатуна , то и на плане скоростей она должна лежать посередине отрезка .

Вектор скорости точки на плане скоростей в масштабе будет изображаться вектором , а величина скорости точки равна:

Ответ:  

План ускорений

План ускорений – построенный в определенном масштабе векторный график, характеризующие ускорения всех точек и звеньев механизма. Произвольная точка ра, из которой производится построение плана ускорений, называется полюсом плана ускорений.

Рассмотрим графический способ определения ускорений точек плоской фигуры (тела) с помощью плана ускорений.

Планом ускорений плоской фигуры является геометрическое место концов векторов ускорений любых точек фигуры, что отложены из одной произвольной точки, которую называют полюсом плана ускорений.

Построение плана ускорений основано на представлении ускорения любой точки фигуры в виде суммы трех векторов:

где   — ускорение точки фигуры, которую принято за полюс поступательного движения;

 — относительное нормальное (центростремительное) ускорение точки в ее относительном вращательном движении вместе с телом вокруг полюса . Направлено это ускорение от точки к точке и по модулю равно

 — относительное тангенциальное (касательное) ускорение точки в ее относительном вращательном движении вместе с телом вокруг полюса . Направлено это ускорение перпендикулярно (отрезка  ) в сторону углового ускорения тела и по модулю равно 

Поскольку для определения величины надо знать угловую скорость плоской фигуры, то, если она не задана, предварительно надо построить план скоростей. Из плана скоростей определить относительную скорость вращения одной точки фигуры относительно второй и найти угловую скорость относительного вращательного движения (занятие 7).

Для того, чтобы уравнение (4.18) можно было решить, должно быть известно ускорение любой точки фигуры, которую выбирают за полюс поступательного движения.

Кроме того, должно быть известно:

Рассмотрим определение ускорений точек и треугольника (рис.4.31, а). Известными являются ускорение точки , направление ускорения точки  и угловая скорость треугольника , то есть случай 1.

Для ускорения точки , если за полюс выбрать точку , будет справедливым векторное уравнение (4.18).

Решим уравнение (4.18) графически. Для этого (рис.4.31, б) из произвольной точки (полюса плана ускорений) построим вектор , который в масштабе будет изображать ускорение . С конца построенного вектора (точки ) построим вектор , который в том же масштабе будет изображать ускорение .

Величину ускорения определим из формулы:

а направлен этот вектор вдоль  от точки  к точке .

К нормальному ускорению добавим, согласно уравнению (4.18), тангенциальное ускорение . Поскольку величина этого ускорения неизвестна, то через точку (конец вектора ) проведем линию перпендикулярно , вдоль которой и будет направлен вектор .

Направление абсолютного ускорения точки известно из условия задачи. Поскольку все абсолютные ускорения точек на плане откладываются от полюса , то через полюс проведем прямую, параллельную направлению ускорения точки . Точка пересечения   линий и будет решением уравнения (4.18), а вектор будет в выбранном масштабе изображать ускорение точки .

Для определения ускорения точки воспользуемся тем, что известными уже являются ускорения двух точек фигуры  и  (случай 2).

Запишем векторные уравнения для ускорения точки относительно полюсов  и :

где  и  — относительные нормальные ускорения точки в ее относительном вращательном движении соответственно вокруг точек  и ;

 и  — относительные тангенциальные ускорения точки в ее относительном вращательном движении вокруг точек  и , соответственно.

Первым решаем уравнение (4.19). Поскольку ускорение точки на плане (рис.4.31, б) уже построено, то с его конца (точки ) строим вектор , который направлен от точки к точке и по модулю в масштабе равен :

Через конец вектора проводим прямую, перпендикулярную , вдоль которой будет направлено ускорение и на которой будет лежать точка конца вектора .

Следующим построим уравнение (4.20). Поскольку ускорение точки на плане уже построено, то с его конца, точки , строим вектор , который направлен от к и по модулю в масштабе равен :

Через конец вектора проводим прямую, перпендикулярную , вдоль которой будет направлено ускорение и на которой будет лежать точка конца вектора .

Таким образом, конец вектора будет лежать на пересечении линий, вдоль которых будут направлены тангенциальные ускорения  и . Вектор  на плане ускорений будет в масштабе изображать абсолютное ускорение точки .

Векторы ,  и , выходящие из полюса плана ускорений, определяют абсолютные ускорения точек ,  и . Отрезки же, соединяющие концы векторов абсолютных ускорений  и  определяют относительные ускорения одних точек при их вращении вокруг других 

Кроме абсолютных и относительных ускорений точек фигуры , определяется величина ее углового ускорения :

 или  или 

Для определения же направления углового ускорения надо перенести в точку вектор тангенциального ускорения и направление этого вектора укажет направление углового ускорения. В данном случае, угловое ускорение направлено по ходу часовой стрелки.

Треугольник , который образовался на плане ускорений будет подобно треугольнику .

Таким образом, для плана ускорений справедливо

правило подобия: фигура, которую образуют концы векторов абсолютных ускорений точек тела на плане ускорений подобная фигуре, которую одноименные точки образуют на теле.

Примеры решения задач на тему: План ускорений

Задача №1

Найти ускорение точки ползуна 3 и угловое ускорение шатуна 2 механизма, изображенном на рис.4.24. Выходные данные: ,  кривошип 1 вращается равномерно

Решение. План скоростей для этого механизма был построен в задаче № 1 занятия № 7 (рис.4.25,б) и была определена угловая скорость шатуна 2  

1.Построим схему механизма (рис. 4.32, а).

2. Сначала найдем ускорение точки механизме, поскольку она принадлежит кривошипу 1, который вращается вокруг точки  с известной угловой скоростью.

Учитывая, что угловая скорость кривошипа постоянная  то  и полное ускорение  будет равняться нормальному ускорению точки в ее вращательном движении вокруг :

По модулю:

Направлено ускорение от точки к точке  по линии .

3. Для определения ускорения точки запишем формулу распределения ускорений при плоском движении, приняв за полюс точку , ускорение которой уже известно:

где  — абсолютное ускорение точки , которое направлено по направлению движения ползуна 3 в горизонтальных направляющих;

 — ускорение точки , известное по величине и по направлению;

 — относительное нормальное ускорение точки в ее относительном вращательном движении вокруг точки , направлено по шатуну от точки к точке и по модулю равно:

 — тангенциальное ускорение точки при ее вращении вокруг точки , направлено перпендикулярно шатуну и по модулю равно:

Поскольку направление ускорения точки известно, то уравнение (1) достаточно для определения .

4. Решим уравнение (1) графически путем построения плана ускорений.

Из произвольной точки полюса плана ускорений (рис.4.32,б) отложим вектор , который будет изображать ускорение , и который направлен параллельно линии от точки к точке . От конца этого вектора отложим вектор , что будет изображать , и который направлен параллельно от точки к точке . Через конец вектора , точку , проведем линию , перпендикулярную , вдоль которой будет направлено тангенциальное ускорение и на этой линии будет лежать точка  — конец вектора абсолютного ускорения точки механизма.

Поскольку ускорение направлено по оси движения ползуна 3, то с полюса проводим горизонтальную прямую. Точка пересечения этой прямой с линией , проведенная перпендикулярно , будет концом вектора ускорения точки , а вектор будет изображать на плане ускорений .

4. Из построенного плана ускорений определим абсолютные величины ускорений и . Для этого с полюса опустим перпендикуляр на продолжение линии . Угол равен углу и составляет .

Из векторного четырехугольника (рис. 4.32, б) вытекает:

Спроектируем векторное уравнение (2) на прямую :

Учитывая, что изображает на плане ускорений , ,  уравнение (3) можно переписать следующим образом:

Откуда:

Теперь спроектируем уравнение (2) на прямую :

Учитывая, что на плане ускорений изображает , получим:

Откуда:

Поскольку , то:

Из полученного результата следует, что в данный момент времени шатун механизма вращается равномерно и план ускорений будет иметь вид как на рис.4.33.

Ответ: 

Если построение плана ускорений выполнять с соблюдением масштаба, то ускорения характерных точек можно определить непосредственно измерением соответствующих отрезков на плане ускорений.

Задача №2

Найти абсолютное ускорение точек и на угловые ускорения шатуна 2 и коромысла 3 шарнирного механизма, схема которого изображена на рис.4.26, если:   .  Кривошип 1 механизма вращается с постоянной угловой скоростью

Решение. План скоростей механизма для положения, что рассматривается, был построен в задаче № 2 занятие № 7 (рис.4.27, б) и определены мгновенные угловые скорости шатуна 2 и коромысла 3:

Решим задачу путем построения в масштабе плана ускорений.

1. Сначала в произвольном масштабе строим схему механизма (рис.4.34, а).

2.Определим ускорение точки кривошипа.

Поскольку кривошип 1 вращается вокруг неподвижной точки с постоянной угловой скоростью (то есть и соответственно ), то ускорение точки :

По модулю  равно:

Направлено ускорение от точки к точке .

3.Запишем векторные уравнения для определения ускорения точки .

Точка принадлежит одновременно шатуну 2 и коромыслу 3 (случай 3). У шатуна 2 известно уже определенное ускорение точки , а в коромысла 3 ускорение точки (точка неподвижная, то есть ). Таким образом, можно записать формулы распределения ускорений для точки , взяв за полюс точку для шатуна 2 в первом уравнении и точку для коромысла 3 во втором уравнении:

где  — относительное нормальное ускорение точки в ее относительном вращательном движении вокруг точки , направлено вдоль  от точки  к точке и по модулю равно:

 — относительное тангенциальное ускорение точки в ее относительном вращательном движении вокруг точки , направлено перпендикулярно и по модулю равно:

 — относительное нормальное ускорение точки в ее относительном вращательном движении вокруг точки , направлено вдоль от точки  к точке и по модулю равно:

 — относительное тангенциальное ускорение точки в ее относительном вращательном движении вокруг точки , направлено перпендикулярно и по модулю равно:

4.Решим графически систему векторных уравнений (1,2).

Сначала построим уравнение (1). Для этого из произвольной точки полюса плана ускорений (рис.4.34,б) отложим вектор , который будет изображать ускорение . Направлен вектор параллельно линии от точки к точке . Длину этого вектора выберем . Тогда масштабный коэффициент плана ускорений будет равняться:

От конца вектора отложим вектор , который будет изображать . Направлен вектор параллельно от точки к точке , а длина этого вектора равна:

Через конец вектора проведем линию перпендикулярную , вдоль которой будет направлено тангенциальное ускорение и на этой линии будет лежать точка  — конец вектора абсолютного ускорения точки механизма.

Следующим построим уравнение (2).

Поскольку , то точка будет лежать в полюсе плана ускорений.

От точки  отложим вектор , который будет изображать . Направлен вектор параллельно от точки к точке , а длина этого вектора соответственно равна:

Через конец вектора проведем линию перпендикулярную , вдоль которой будет направлено тангенциальное ускорение .

Решением системы (1,2) будет точка , в которой пересекаются линии, проведенные перпендикулярно и , вдоль которых направлены соответственно тангенциальные ускорения  и .

Вектор абсолютного ускорения точки на плане ускорений в масштабе будет изображаться вектором , а величина ускорения точки равна:

Величины тангенциальных ускорений и найдем путем измерения соответствующих отрезков на плане ускорений:

Поскольку  и , то мгновенные угловые ускорения  шатуна 2 и  коромысла 3 соответственно равны:

где  — длина коромысла 3, которая была определена в задаче №2 занятия №7. 

Для определения направления углового ускорения перенесем мысленно в точку относительное тангенциальное ускорение . Направление указывает на то, что будет направлено по ходу часовой стрелки.

Аналогично, для определения направления в точку перенесем . Угловое ускорение  будет направлено против хода часовой стрелки.

5.Для определения ускорения точки воспользуемся теоремой подобия. Для этого сначала построим прямую на плане ускорений (рис.4.34, б). Поскольку фигура на схеме механизма и фигура на плане ускорений должны быть подобными, то можно составить пропорцию:

В левой части пропорции (3) отношение отрезков на схеме механизма, а в правой — на плане ускорений.

Из уравнения (3) получим расстояние от точки к точке на плане ускорений:

Поскольку на схеме механизма отрезок перпендикулярен , то и на плане ускорений отрезок  надо провести перпендикулярно , причем в ту сторону, чтобы расположение точек , и на плане ускорений было против хода часовой стрелки, как и точки , и на схеме механизма.

Вектор абсолютного ускорения точки на плане ускорений в масштабе будет изображаться вектором , а величина ускорения точки равна:

Ответ:  

Задача №3

В состав рычажного механизма (рис.4.35) входят два кривошипа 1 и 4, и два шатуна 2 и 3. Кривошип 1 в настоящий момент времени вращается равномерно с угловой скоростью , а кривошип 4 – замедленно с угловой скоростью  и угловым ускорением 

Найти угловые ускорения шатунов 2 и 3 и абсолютные ускорения точек и , если:  . В данном положении механизма кривошип 1 расположен вертикально, а кривошип 4 — горизонтально.

Решение. План скоростей механизма для положения, что рассматривается, был построен в задаче №3 занятия №7 (рис.4.30, б) и определены мгновенные угловые скорости шатуна 2 и шатуна 3:

1. В произвольном масштабе построим схему механизма (рис. 4.36, а).

2.Сначала определим абсолютные ускорения точек и , принадлежащие соответственно кривошипам 1 и 4, угловые скорости которых известны.

Поскольку кривошип 1 вращается вокруг неподвижной точки  с постоянной угловой скоростью то есть , то:

Направлено ускорение вдоль кривошипа от точки к точке .

Кривошип 4 вращается вокруг неподвижной точки с угловой скоростью и угловым ускорением . Поскольку кривошип 4 вращается замедленно, то угловое ускорение направлено противоположно угловой скорости (рис.4.35.)

Абсолютное ускорение точки кривошипа 4 представляет собой векторную сумму нормальной и тангенциальной составляющих: 

Нормальная составляющая ускорения точки направлена вдоль от точки  к точке и по модулю равна:

а тангенциальная — перпендикулярно в сторону углового ускорения и по модулю равна:

3. Запишем векторные уравнения для определения ускорения точки .

Точка  принадлежит одновременно шатуну 2 и шатуну 3. У шатуна 2 известно ускорение точки , а у шатуна 3 — точки . Таким образом, можно записать формулы распределения ускорений для точки , взяв за полюс точку  для шатуна 2 в первом уравнении и точку шатуна 3 во втором:

В уравнении (2):

 — направлено вдоль от точки к точке и по модулю равно:

 — направлено перпендикулярно , величина и направление этого ускорения неизвестны.

В уравнении (3):

 — направлено вдоль от точки к точке и по модулю равно:

 — направлено перпендикулярно , величина и направление этого ускорения неизвестны.

4. Решим графически систему векторных уравнений (2,3).

Сначала построим уравнение (2). Для этого из произвольной точки полюса плана ускорений (рис.4.36,б) отложим вектор , который будет изображать ускорение . Направлен вектор  параллельно линии  от  точки к точке . Длину этого вектора выберем . Тогда масштабный коэффициент плана ускорений будет равняться:

От конца вектора отложим вектор , который будет изображать . Направлен вектор параллельно от точки к точке , а длина этого вектора равна:

Через конец вектора проведем линию перпендикулярную , вдоль которой будет направлено тангенциальное ускорение и на этой линии будет лежать точка — конец вектора абсолютного ускорения точки механизма.

Следующим построим уравнение (3).

Для построения вектора от полюса согласно уравнению (1) отложим вектор , а с его конца . Эти векторы в масштабе будут изображать ускорения и и будут направлены им параллельно (рис. 4.36, а).

Длины векторов и соответственно равны:

Абсолютное ускорение точки на плане ускорений будет изображаться вектором .

От точки отложим вектор , который будет изображать. Направлен вектор параллельно от точки к точке , а длина этого вектора равна:

Через конец вектора проведем линию перпендикулярную , вдоль которой будет направлено тангенциальное ускорение .

Решением системы (2,3) будет точка , в которой пересекаются линии, проведенные перпендикулярно и , вдоль которых направлены соответственно тангенциальные ускорения и .

Вектор абсолютного ускорения точки на плане ускорений в масштабе будет изображаться вектором , а величина ускорения точки равна:

Величины тангенциальных ускорений и найдем путем измерения соответствующих отрезков на плане ускорений:

Поскольку  и , то мгновенные угловые ускорение шатуна 2 и  шатуна 3 соответственно равны:

Направления угловых ускорений  и  определяем путем перенесения мысленно в точку относительных тангенциальных ускорений и (аналогично задаче №2). Угловое ускорение направлено по ходу часовой стрелки, а — против хода часовой стрелки.

5. Для определения ускорения точки воспользуемся теоремой подобия. Поскольку точка на схеме механизма лежит посередине шатуна , то и на плане ускорений она должна лежать посередине отрезка . Вектор ускорения точки плане ускорений в масштабе будет изображаться вектором , а величина абсолютного ускорения точки равна:

Ответ:  

Услуги по теоретической механике:

1. Заказать теоретическую механику
2. Помощь по теоретической механике
3. Заказать контрольную работу по теоретической механике

Учебные лекции:

1. Статика
2. Система сходящихся сил
3. Момент силы
4. Пара сил
5. Произвольная система сил
6. Плоская произвольная система сил
7. Трение
8. Расчет ферм
9. Расчет усилий в стержнях фермы
10. Пространственная система сил
11. Произвольная пространственная система сил
12. Плоская система сходящихся сил
13. Пространственная система сходящихся сил
14. Равновесие тела под действием пространственной системы сил
15. Естественный способ задания движения точки
16. Центр параллельных сил
17. Параллельные силы
18. Система произвольно расположенных сил
19. Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки
20. Кинематика
21. Кинематика твердого тела
22. Движения твердого тела
23. Динамика материальной точки
24. Динамика механической системы
25. Динамика плоского движения твердого тела
26. Динамика относительного движения материальной точки
27. Динамика твердого тела
28. Кинематика простейших движений твердого тела
29. Общее уравнение динамики
30. Работа и мощность силы
31. Обратная задача динамики
32. Поступательное и вращательное движение твердого тела
33. Плоскопараллельное (плоское) движение твёрдого тела
34. Сферическое движение твёрдого тела
35. Движение свободного твердого тела
36. Сложное движение твердого тела
37. Сложное движение точки
38. Статика твердого тела
39. Равновесие составной конструкции
40. Равновесие с учетом сил трения
41. Центр масс
42. Колебания материальной точки
43. Относительное движение материальной точки
44. Статические инварианты
45. Дифференциальные уравнения движения точки под действием центральной силы и их анализ
46. Динамика системы материальных точек
47. Общие теоремы динамики
48. Теорема об изменении кинетической энергии
49. Теорема о конечном перемещении плоской фигуры
50. Потенциальное силовое поле
51. Метод кинетостатики
52. Вращения твердого тела вокруг неподвижной точки

3.2.1. Метод полюса

Рис.3.4

На рис.3.4 представлено положение плоской
фигуры S и ее
отрезка PM в
неподвижной системе координат OXYZ,
Для произвольного момента времени
справедливо векторное равенство:

(3.3)

При движении плоской фигуры векторы

и

изменяются и по модулю и по направлению,
вектор же

изменяется только по направлению,
так как его модуль равен для твердого
тела расстоянию между точками P
и M. Продифференцировав
по времени равенство (3.3), получим:

Обозначив

и назвав

скоростью точки M
тела при вращении его вокруг оси Pz’,
проходящей через полюс P
перпендикулярно плоскости плоской
фигуры, получим

(3.4)

Рассмотрим вектор

.
Поскольку вектор

 вектор
постоянного модуля, то

=


,
где


вектор, лежащий в плоскости фигуры,
перпендикулярный

и направленный против хода
часовой стрелки. Тогда вектор

лежит в плоскости фигуры, перпендикулярен
отрезку PM,
соединяющему точку M
с полюсом P, и
направлен в сторону вращения плоской
фигуры вокруг оси Pz’
(рис.3.4).

Модуль вектора определяется как:

(3.5)

Применив векторную формулу Эйлера,
определяющую вектор скорости точки
тела, вращающегося вокруг оси, равный
векторному произведению вектора угловой
скорости тела на радиус-вектор точки
относительно какой-либо точки, лежащей
на оси вращения тела (см. 2.14):

можно представить выражение (3.5) в
векторной форме:

Окончательно имеем выражение для
определения скоростей точек плоской
фигуры методом полюса:

(3.6)

Таким образом, скорость любой точки
плоской фигуры при ее плоском движении
по методу полюса равна
векторной сумме скорости полюса,
построенной при рассматриваемой точке
M, и скорости данной
точки при вращении фигуры вокруг оси
Pz^’,
проходящей через полюс перпендикулярно
плоскости плоской фигуры.

3.2.2. Метод мгновенного центра скоростей

Мгновенным центром скоростей называется
точка на плоскости, скорость которой в
данный момент времени равна нулю. Найдем
эту точку, обозначив ее

.
Пусть в данный момент времени скорость
точки P, принятой за
полюс, равна

и фигура S вращается
с угловой cкоростью

Проведем прямую РNH,
перпендикулярную вектору
,
в направлении вращения

(рис.3.5),
отложим на этой прямой отрезок P

=

и определим скорость полученной точки

,
выбрав за полюс точку P:

Отсюда следует, что векторы

и

должны быть равны по модулю и противоположны
по направлению. Так как вектор

перпендикулярен отрезку P
,
то прямая, на которой должна

н

аходиться
точка

,
перпендикулярна вектору

.
Чтобы

Рис.3.5

выполнялось условие

=

,
точка

должна находиться на прямой PNH.
Поскольку

=
,
а

,

мгновенный радиус (расстояние от
точки до мгновенного центра скоростей

)
будет равен: P

=
.

Таким образом, приняв за полюс плоской
фигуры S точку

,
можно определить скорость любой точки
(пусть точки M) по формуле:

(3.7)

где

 расстояние от точки
M до мгновенного
центра скоростей

.
Вектор


перпендикулярен отрезку

и направлен в сторону вращения фигуры
вокруг оси

,
проходящей через

z’,
а его модуль пропорционален мгновенному
радиусу =

.

Таким образом, скорости точек плоской
фигуры в данный момент времени вычисляются
так же, как если бы фигура вращалась
вокруг оси, проходящей через

z’
перпендикулярно плоскости плоской
фигуры и плоскости движения, с той же
угловой скоростью

.

Метод МЦС значительно упрощает
определение скоростей точек твердого
тела при плоском движении. Поэтому важно
уметь определять положение МЦС, т.е.
точки

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Плоско-параллельное движение твердого тела:

Плоско-параллельным или плоским называется такое движение твердого тела, при котором все его точки движутся в плоскостях, параллельных данной неподвижной плоскости.

Рис. 171.

Пусть неподвижная плоскость Н и тело А совершают плоское движение (рис. 171). Рассекая это тело плоскостями

Отсюда следует, что при изучении плоского движения тела достаточно изучить движение некоторой плоской фигуры, взятой в теле параллельно неподвижной плоскости, движущейся в своей плоскости (рис. 172). Выберем на подвижной фигуре любую точку О (полюс); тогда при движении фигуры полюс будет описывать некоторую кривую.

Рис.172.

Если бы все точки плоской фигуры двигались так же, как и выбранная нами точка О, то движение фигуры было бы поступательным. В общем, же случае движение плоской фигуры S можно рассматривать как поступательное движение вместе с полюсом О и в то же время делающей поворот вокруг О.

Если через полюс О провести две любые прямые, и (рис. 172), из которых прямая  все время остается горизонтальной, а прямая ОА, связанная с фигурой S, совершит поворот вместе с ней, то положение подвижной фигуры в данный момент вполне определится тремя величинами — координатами х и у полюса О и углом поворота прямой ОА. Координаты х, у и , определяющие положение фигуры S, меняются с течением времени, а поэтому являются функциями времени:

Уравнения (105) называются уравнениями плоско-параллельного движения.

Покажем, что при изучении движения подвижной фигуры достаточно изучить движение двух каких-либо ее точек. Пусть фигура из положения I перейдет в положение II (рис. 173).

Рис. 173.

Тогда взятые на ней точки А и В, переместившись вместе с фигурой, займут в новом положении II фигуры места  , т. е. отрезок АВ переместится в положение . Нетрудно видеть, что при этом может быть определено и новое положение любой точки С фигуры путем построения треугольника , равного треугольнику ABC.

Отсюда следует, что для исследования движения подвижной плоскости по неподвижной достаточно.исследовать движение отрезка, принадлежащего к подвижной плоскости.

Пусть прямая АВ, принадлежащая к подвижной фигуре, переместится при своем движении в положение (рис. 174). 

Рис. 174.

Если за полюс принять точку А, то это перемещение можно представить как поступательное движение отрезка вместе с полюсом А в положение и затем поворот отрезка вокруг полюса в положение на угол . Если бы в качестве полюса мы выбрали точку В, то отрезок АВ следовадс бы сначала переместить поступательно в положение , а затем повернуть на угол вокруг выбранного полюса .

Таким образом, перемещение отрезка может быть выполнено при помощи двух операций: параллельного переноса до совпадения одной из точек с ее конечным положением и поворота около этой точки до совпадения отрезка с требуемым положением. Независимо от того, какой из концов отрезка А или В выбран нами за полюс, поворот отрезков йли вокруг выбранного полюса до совмещения с заданным положением следует производить в обоих случаях на один и тот угол .

В нашем случае поворот отрезка на угол происходит по. часовой стрелке по отношению к полюсу. Отсюда следует, что при движении подвижной фигуры ее угол поворота, а следовательно, и угловая скорость не зависят от выбора полюса.

Докажем теперь следующую теорему Эйлера.

Всякое непоступательное перемещение плоской фигуры в ее плоскости можно осуществить путем вращения вокруг некоторого центра.

Пусть фигура вместе с прямой АВ переместится в положение (рис. 175). Соединим точки и и из середин отрезков и восстановим перпендикуляры до пересечения их в точке О.

Рис. 175.

Полученные треугольники ОАВ и равны между собой, так как в силу неизменяемости фигуры и  а также по построению; отсюда: или , откуда

Если мы повернем отрезок АВ вокруг точки О на угол , равный углу , то ОА совпадет с , и ОВ совпадет с , в силу равенства этих углов, и отрезок АВ займет положение , что и доказывает, теорему Эйлера.

Переходя к изучению плоского движения как непрерывного процесса, рассматриваем его состоящим из бесконечно большого числа бесконечно малых элементарных перемещений.

Применяя к каждому из них теорему Эйлера, приходим к заключению, что плоское движение может быть рассматриваемо в пределе, как непрерывный ряд бесконечно малых вращений около различных центров, которые называются полюсами мгновенных вращений или мгновенными центрами вращения.

Мы уже знаем, что движение плоскости можно рассматривать как сложное, состоящее из поступательного движения вместе с полюсом и из вращательного — около полюса. Если бы полюс А (рис. 176) был неподвижным, то скорость любой точки В  фигуры определилась бы как вращательная по отношению к точке А по формуле (89):

Рис. 176.

В общем же случае скорость полюса А (произвольно выбранной нами точки) не равна нулю, а поэтому к вращательной скорости точки В по отношению к А присоединится еще и скорость поступательного движения фигуры вместе с полюсом А.

Полная скорость точки В получится как сумма двух скоростей: скорости точки А и скорости точки В по отношению к полюсу А. Складывая эти скорости как векторы по правилу параллелограмма, находим:    

или

Проектируя обе’части векторного равенства (106) на направление АВ и замечая, что ввиду перпендикулярности вектора к АВ, найдем, что   т. е. проекции скоростей двух точек твердого тела на направление прямой, соединяющей эти точки, равны, между собой и направлены в одну сторону.

Покажем теперь, что при непоступательном движении плоской фигуры существует точка этой фигуры, скорость которой в данный момент равна нулю. Эта точка называется мгновенным центром скоростей и, как было отмечено выше, расположена на самой подвижной плоскости.

Та же точка неподвижной плоскости, с которой в данный момент совпадает мгновенный центр скоростей, называется мгновенным центром вращения, или полюсом мгновенного вращения. Очевидно, что положения мгновенных центров скоростей и мгновенных центров вращения при движении плоской фигуры по неподвижной плоскости будут непрерывно меняться.

Допустим, что некоторая подвижная плоскость движется по неподвижной плоскости.

Вместо подвижной плоскости рассмотрим движение отрезка АВ, принадлежащего этой плоскости (рис. 177). Обозначим мгновенную угловую скорость отрезка и, приняв точку А за полюс, построим вращательную скорость точки В вокруг полюса А, отложив ее перпендикулярно к прямой ВА. Соединив полюс А с концом М скорости  , заключаем, что концы вращательных скоростей всех точек отрезка АВ будут расположены на прямой AM ввиду того, что скорости эти пропорциональны расстояниям точек от полюса А. Если скорость полюса А нам известна, то полная скорость точки В найдется по формуле (106), для чего к вектору следует прибавить вектор .

Легко видеть, что концы векторов, изображающих полные скорости точек прямой АВ (или ее продолжения), лягут на прямой KN, параллельной АМ ; например, скорость точки С изобразится вектором СТ. Однако движение плоскости мы могли бы задать каким-либо другим отрезком АЕ, составляющим, например, с вектором скорости полюса А угол 90°. Построив вращательную скорость точки Е вокруг полюса А в виде вектора , отложенного в том же масштабе, что и вращательные скорости точек В и С, проведем из конца вектора прямую KD || AL.

Рис. 177.

По предыдущему заключаем, что концы векторов полных скоростей точек отрезка АЕ должны лежать на прямой DK. Тогда полная скорость точки Е изобразится вектором В пересечении же прямых АЕ и KD получается точка Р, скорость которой равна в данный момент нулю; эта точка, как было указано выше, называется мгновенным центром скоростей, а совпадающая с ней точка на неподвижной плоскости — мгновенным центром вращения, или полюсом мгновенного вращения.

Мгновенный центр скоростей не следует смешивать с другими точками подвижной плоскости, в частности с полюсами. Эта неподвижная точка фигуры для данного момента только одна, тогда как в качестве полюсов, вообще говоря, могут быть выбраны любые точки фигуры. Выбирая в качестве полюса точку Р—мгновенный центр скоростей, найдем по формуле (106,а), например, скорость точки В:    

но так как , то , и мы приходим к формуле (89).

Отсюда следует, что скорости всех точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям до мгновенного центра вращения (так называемым мгновенным радиусам) и перпендикулярны к этим радиусам.

Для нахождения положения мгновенного центра вращения достаточно знать вид траекторий двух точек плоской фигуры. Пусть, например, отрезок АВ, принадлежащий этой фигуре, перемещается так, что точка А его движется по траектории , а точка В по траектории b (рис. 178). Тогда мгновенный центр вращения отрезка АВ в данный момент будет находиться в точке Р пересечения нормалей к траекториям точек А к В отрезка АВ, так как направлены по касательным к их траекториям.

Рис. 178.

Задача №1

Найти построением мгновенный центр Р отрезка АВ в следующих случаях:

1) линейки АВ, могущей перемещаться своими концами А и В по сторонам угла АСВ (рис. 179, а);

Рис. 179.

2)    шатуна АВ кривошипно-шатунного механизма (рис.. 179, б);

3)    линейки АВ, могущей перемещаться своими концами А и В по направляющим двух кругов с центрами и (рис. 179, в);

4)    шатуна АВ шарнирного четырехзвенника ОABC (рис. 179, г).

Найти также направление линии, вдоль которой направлена скорость точки D конца прилива шатуна АВ.

Указание: полюс мгновенного вращения Р найдется для всех случаев на пересечении нормалей к траекториям точек А и В. Линию, вдоль которой направлена скорость точки D (рис. 179, г), найдем, если соединим точку D с полюсом-мгновенного вращения Р и проведем через точку D прямую, перпендикулярную к направлению мгновенного радиуса PD.

Задача №2

Определить построением ту точку М шатуна АВ кривошипно-шатунного механизма; скорость которой направлена вдоль шатуна АВ, а также найти величину этой скорости (рис. 180), Длина кривошипа и угловая скорость его вращения .

Рис. 180.

Решение. Найдем полюс Р мгновенного вращения шатуна АВ; он находится на пересечении нормалей к траекториям точек А и В. Опуская из .точки Р перпендикуляр на направление шатуна АВ, получим ту точку М, скорость которой направлена вдоль шатуна АВ.

Если мы обозначим мгновенную угловую скорость вращения шатуна АВ вокруг мгновенного центра Р через , то линейная скорость точки М, согласно формуле (89), будет:

Для определения мгновенной угловой скорости выразим линейную скорость точки А через угловые скорости и ; ; с другой стороны: или , откуда

а поэтому

Задача №3

Показать, что при качении без скольжения подвижной фигуры по неподвижной кривой MN (рис. 181) мгновенный центр подвижной фигуры находится в точке касания катящегося периметра и неподвижной кривой.

Рис. 181.

Решение. Пусть катящаяся фигура в моменты  и  занимает положения ; в момент t точкой касания подвижной и неподвижной кривых является точка К, а в момент — точка О. Покажем, что скорость точки К равна нулю. В самом деле, принимая приближенно дугу КК’, которую опишет точка К за время М, за дугу окружности, имеем:

или

и

при

а отсюда скорость точки в данный момент равна нулю.

Задача №4

Колесо автомобиля радиусом R= 40 см катится без скольжения по неподвижной прямой так, что скорость его центра . Найти величины и исправления скоростей точек А и В обода колеса, лежащих на горизонтальном и вертикальном диаметрах колеса (рис. 182).

Рис. 182.

Решение. Так как полюс мгновенного вращения колеса находится в точке Р касания колеса с прямой, то скорости точек А и В будут перпендикулярны к их мгновенным радиусам РА и РВ. Угловая скорость мгновенного вращения;

Величины же скоростей точек А и В найдутся по формуле (89):

Задача №5

Кривошипы ОС и шарнирного четырехзвенника (рис. 184),    представляющего собой шарнирный параллелограмм, вращаются с постоянной угловой скоростью . Внутри четырехзвенника имеется звено АВ, которое соединено в точке В шарнирно с звеном CD, а в точке А —с ползуном, могущим перемещаться по неподвижной прямой . Для положения механизма, показанного на чертеже, определить скорости точек В и А, если

Рис. 183.

Решение. Мгновенный центр звена CD находится в бесконечности, так как кривошипы ОС и параллельны.

Рис. 184.

Отсюда заключаем, что звено CD движется поступательно. Для нахождения мгновенного центра звена АВ проведем нормали к траекриям точек А и В, т. е.  и ; в пересечении их получим точку Р, которая является полюсом мгновенного вращения звена АВ. Обозначив мгновенную угловую скорость вращения звена АВ вокруг Р через , по формуле (89) найдем скорости точек А и В:

Проведя , найдем из треугольников АКВ и ABP величины мгновенных радиусов РА и РВ:

Величина мгновенной угловой скорости  определится из условия, что звено CD движется поступательно, а поэтому ; с другой стороны: . Следовательно,  , откуда .

Скорость же точки А:

Задача №6

Найти скорость и ускорение ползуна В кривошипно-шатунного механизма ОАВ (рис. 185), если длины шатуна и кривошипа одинаковы:  и кривошип OA вращается с постоянной угловой скоростью .

Найти также угловую скорость шатуна АВ и скорость средней его точки М при четырех положениях кривошипа, для которых угол АОВ соответственно равен: .

Рис. 185.    

Решение. Полюс Р мгновенного вращения шатуна АВ найдется в пересечении прямых OA и . Так как ОА=АР, то и скорость точки В найдется по формуле (89):

Точка В движется прямолинейно, поэтому она обладает только касательным ускорением:

При мгновенный центр шатуна находится в точке В, а угловая скорость шатуна ; скорость же точки М:

При  мгновенный центр шатуна находится в бесконечности; в этом случае шатун движется поступательно, его мгновенная угловая скорость

При мгновенный центр шатуна находится опять в точке В, но при этом его мгновенное вращение будет происходить вокруг В также по часовой стрелке, поэтому: .

При  шатун движется поступательно, его мгновенная угловая скорость

Задача №7

Двухповодковая группа состоит из двух стержней AM и MB, соединенных между собой шарниром М (рис. 186). Зная скорости и точек А к В, построить на чертеже скорость точки М. Угол AMВ  равен 60°.

Решение. Скорость точки М найдется из условия, что проекции скорости точки М на направления AM и ВМ соответственно равны проекциям скоростей точек А и В на те же направления. Перенося проекции скоростей точек А и В на направления AM и ВМ в точку М, восстановим из концов проекций скоростей перпендикуляры до взаимного их пересечения и, соединив эту точку с точкой М, получим вектор скорости точки М. Величина этого вектора найдется на основании простых вычислений.

Ответ:

              Рис. 186.                                                    Рис. 187.

Задача №8

Шариковый подшипник достоит из внутреннего кольца диаметра D, вращающегося с угловой скоростью вокруг оси, проходящей через его центр О перпендикулярно плоскости чертежа, и шариков, катящихся без скольжения ,по неподвижной втулке (рис. 187, а). Найти величину линейной скорости центра одного из шариков и его угловую скорость, если диаметр шарика равен d.

Решение. Окружная скорость кольца равна ; этой же скоростью обладает и точка касания каждого из шариков с кольцом (рис. 187, б). Так как полюс мгновенного вращения шарика находится в точке Р —касания его с неподвижной втулкой, то отсюда заключаем, что и угловая скорость вращения шарика: 

Задача №9

Две параллельные рейки АВ и CD (рис. 188) движутся в противоположные стороны с постоянными скоростями

Между рейками находится диск радиуса . Вследствие движения реек и трения диск катится по рейкам без скольжения,

Рис. 188.
 

так что скорости точек М и N касания его с рейками соответственно равны . Определить скорость центра С диска и угловую скорость его вращения.

Решение. Диск совершает плоско-параллельное движение. Полюс мгновенного вращения его Р находится на пересечении прямой, соединяющей концы векторов скоростей и прямой, проходящей через точки М и N касания диска с рейками.

Для определения положения точки Р имеем два уравнении

Отсюда находим, что РМ=0,5а и, следовательно, .

Угловая скорость вращения диска определится из равенства , откуда:

Задача №10

Кривошип ОА = 30 см вращается вокруг оси О с угловой скоростью . Зубчатое колесо радиуса катится без скольжения по неподвижному колесу радиуса и приводит в движение связанный с ним шатун . Определить угловую скорость шатуна и скорости точек В и С в момент, когда радиус АВ перпендикулярен к кривошипу ОА (рис. 189).

Рис. 189.

Решение. Линейная скорость точки А колеса:

Колесо радиуса совершает плоско-параллельное движение; его мгновенный центр вращения находится в точке Р касания с неподвижным колесом радиуса . Следовательно, мгновенная угловая скорость подвижного колеса будет:

Скорость точки В колеса:

Шатун СВ совершает также плоско-параллельное движение; зная скорость точки В и то, что скорость другой точки С направлена по прямой АС, находим мгновенный центр шатуна Р на пересечении перпендикуляров к скоростям точек В и С.

Мгновенная угловая скорость шатуна ВС определится:

Теперь легко находим скорость точки С шатуна:

• Заказать решение задач по теоретической механике

Задача №11

Для данного положения механизма шарнирного четырехзвенника (рис. 190, а) найти скорости точек А, В, С и D, если кривошип OA вращается с угловой скоростью и стержень CD соединен жестко с звеном АВ.

Рис. 190.

Решение. Найдем сначала полюс мгновенного вращения звена АВ; он будет находиться в точке пересечения нормалей OA и к траекториям точек A и В.

Обозначив угловую скорость вращения звена АВ вокруг Р через находим, что, с одной стороны, , а с другой— , поэтому , откуда:

Величины отрезков OA и АР могут быть определены путем непосредственного измерения по чертежу.

Соединяя точки С и D, принадлежащие звену АВ, с полюсом мгновенного вращения Р звена АВ и проведя и перпендикулярно к мгновенным радиусам PD к PC в сторону вращения звена АВ, находим величины скоростей всех точек звена АВ:

Скорости точек звена АВ можно было бы найти иначе, применив графический способ. Перейдем сейчас к изложению этого способа. Зная положение мгновенного центра Р звена АВ, находим, что и , т. е. величины скоростей точек звена АВ пропорциональны расстояниям (или мгновенным радиусам) этих точек от мгновенного центра Р звена.

Возьмем теперь произвольно точку О (рис. 190, б) и отложим по направлениям, параллельным РА и РВ, отрезки Оа и Ob, пропорциональные величинам скоростей . Обозначив коэффициент пропорциональности через а, сможем написать:

Соединив точки а и b между собой, получим треугольник Oab, подобный’ треугольнику РАВ; это следует из того, что стороны этих треугольников пропорциональны.   

Согласно выражениям (107) в треугольнике Oab стороны Оа и Ob изображают в масштабе а скорости точек А и В звена АВ, но повернутые при этом относительно истинных направлений на 90°. Следовательно, стороны Оа и Ob представляют собой векторы повернутых скоростей  и .

Из треугольника Oab следует: .

Умножая обе части на масштаб а, получим: , что согласно равенствам (107) может быть представлено в виде: .

Сравнивая это равенство с формулой (106), находим, что .

Следовательно, сторона ab треугольника Oab представляет собой в масштабе а повернутую на 90° скорость точки В по отношению к точке А.

Треугольник Oab называется планом скоростей отрезка АВ, точка О — полюсом плана скоростей, а — масштабом плана скоростей.

Для построения плана скоростей механизма нет необходимости отыскивать полюсы мгновенных вращений, которые иногда уходят за пределы чертежа. Чтобы построить план скоростей какого-либо звена, например АВ, достаточно знать направления нормалей РА и РВ к траекториям точек А и В.

Для нахождения скорости точки С звена АВ можно было бы на плане скоростей разделить отрезок ab точкой с на части, пропорциональные отрезкам АС и СВ звена, т. е.:

или провести из полюса плана скоростей О отрезок . Тогда величина скорости точки С будет .

Найдем теперь скорость точки D.

Так как точка D принадлежит тому же звену, что и точки А и В, то, как мы видели, направление нормали к траектории точки D будет PD. Проводя из того же полюса плана скоростей О параллель к этой нормали, а из точки а параллель к отрезку AD, получаем в пересечении этих двух прямых точку d, которая определит скорость точки D, а именно: .

Легко видеть, что прямая bd параллельна прямой BD. Из изложенного получаем следующие правила построения плана скоростей.

• 1.    Для построения плана скоростей какого-либо звена, например АВ, надо иметь вектор скорости одной точки звена и направление нормали к траектории (или раму траекторию) другой точки.
• 2.    Должно быть соответствие между планом скоростей и чертежом, т. е. векторы плана скоростей изображающие в масштабе а повернутые относительные скорости точек А — по отношению к В; D — по отношению к В; В — по отношению к С, должны быть параллельны соответствующим отрезкам АВ, DB, ВС механизма.
• 3.    Для каждого звена на плане скоростей получается фигура, подобная фигуре звена и одинаково с ней расположенная.

Так, например, на рисунках 190, а и б треугольник abd подобен треугольнику ABD и, кроме того, .

Перейдем теперь к вопросу о центроидах (или полодиях). Пусть отрезок АВ (рис. 191), принадлежащий подвижной плоскости, движется так, что за последующие промежутки времени он занимает положения при этом траекторией одного из его концов является кривая , а другого конца — кривая . Найдем для каждого из положений отрезка мгновенные центры и, соединяя их ломаной линией, получим в пределе при кривую, проходящую через точки . Эта кривая является геометрическим местом полюсов мгновенных вращений отрезка АВ и называется неподвижной центроидой.

Таким образом, неподвижная центроида является геометрическим местом мгновенных центров скоростей на неподвижной плоскости при плоском движении неизменяемой фигуры.

Перенесем теперь все треугольники в одно из положений, например  тогда эти треугольники займут положения . Вершины перенесенных треугольников образуют геометрическое место, которое называется подвижной центроидой. Если теперь отрезок будет при своем движении занимать последовательно положения то точка совпадает с точкой  , затем  .

Рис. 191.

Следовательно, подвижная центроида связана с подвижной фигурой и является геометрическим местом мгновенных центров скоростей на движущейся фигуре. Ясно, что в каждый момент времени подвижная и неподвижная центроида имеют общую точку касания.

Следовательно, всякое плоское перемещение подвижной фигуры происходит так, как если бы соединенная с ней подвижная центроида  катилась без скольжения по неподвижной центроиде .

Задача №12

Найти неподвижную и подвижную центроиды шатуна АВ (рис. 192), длина которого равна длине кривошипа .

Решение. Полюс мгновенного вращения шатуна АВ находится в точке пересечения прямых ОА и BP, нормалей к траекториям точек А и В. Как видно из чертежа, при всяком положении шатуна , т. е. полюс мгновенного вращения шатуна находится на постоянном расстоянии от неподвижной точки О и на одном и том же расстоянии от точки А шатуна.

Отсюда заключаем, что неподвижной центроидой является окружность радиуса с центром в точке О, а подвижной центроидой — окружность радиуса с центром в точке А.

Рис. 192.

Если из прозрачной бумаги вырезать круг радиуса , совместить его с подвижной центроидой шатуна (рис. 192), затем вычертить на нем отрезок АВ и начать катить круг так, чтобы подвижная центроида катилась без скольжения по неподвижной, то точка В нашего отрезка будет двигаться по прямой ОВ, а точка А по окружности радиуса ОА. Такой прием получения истинного движения шатуна АВ посредством центроид называется воспроизведением движения и часто применяется при анализе работы механизмов.

Задача №13

Шарнирный четырехзвенник EBAD (рис. 193), в котором и (при этом ), движется так, что вращается DA при неподвижном звене DE. Определить подвижную и неподвижную центроиды звена ВА.

Рис. 193.

Решение. Так как точки А и В движутся по окружностям радиусов и DА и ЕВ, то полюсом мгновенного вращения звена ВА является точка Р пересечения прямых DA и ЕВ.

Из равенства треугольников DAE и ВАЕ заключаем, что . Кроме того, .

Отсюда следует, что полюс мгновенного вращения Р отстоит от неподвижных точек D и Е, а также от точек А и В звена АВ так, что , т. е. подвижная и неподвижная центроиды являются одинаковыми эллипсами с большей осью, равной , и фокусами в точках D и Е — для неподвижной и в точках В и А— для подвижной центроид. Нетрудно убедиться, что если , то подвижной и неподвижной центроидами звена ВА будут две одинаковые гиперболы с действительными осями, равными , и фокусами в точках Е и D  — для неподвижной и в точках А и В —для подвижной центроид.

Изучив вопрос о скоростях точек подвижной фигуры, обратимся к нахождению ускорений ее точек. Для этого достаточно изучить вопрос об ускорениях точек любого ее отрезка АВ (рис. 194).

Рис. 194.

Если известно ускорение какой-либо точки А отрезка, то принимая точку А за полюс и рассматривая на основании доказанной выше теоремы движение отрезка, как поступательное вместе с полюсом и как вращательное вокруг полюса, найдем ускорение точки В по равенству:

Здесь ускорения  и от поступательной и вращательной частей движения складываются, так же как и скорости (106), по правилу параллелограмма.

Если известна мгновенная угловая скорость и мгновенное угловое ускорение отрезка АВ, то ускорение точки В по отношению к точке А может быть разложено на составляющие по направлению ВА и к нему перпендикулярное:

где

Покажем теперь, что в каждый момент существует точка движущейся фигуры, ускорение которой равно нулю. Пусть движение фигуры задано отрезком АВ (рис. 195) и пусть ускорение точки А, а и —мгновенные угловая скорость и угловое ускорение отрезка. Если принять точку А за полюс, то ускорения любых точек отрезка С, В…  могут быть найдены по формуле (108):

Отсюда следует простой способ построения векторов ускорений точек отрезка, если известно ускорение какой-либо одной его точки, например А, и мгновенные угловая скорость и угловое ускорение отрезка. 

Принимая сначала точку А (полюс) за неподвижную, найдем, что ускорения всех точек  отрезка пропорциональны расстояниям этих точек от полюса и параллельны между собой; тогда концы векторов, изображающих эти ускорения, лягут на прямую AM. Если мы дадим теперь всему отрезку поступательное перемещение с ускорением полюса, то к ускорениям прибавится ускорение полюса и концы векторов полных ускорений точек лягут на прямую . Изложенный метод определения ускорений применим к любому отрезку плоской фигуры.

Отложив, например, от точки А отрезок АЕ, составляющий угол с направлением вектора , и построив для точки Е этого отрезка вектор , изображающий ускорение точки Е по отношению к полюсу А, найдем, что полное ускорение точки Е изобразится вектором . Ускорение точки Е легко получить, если соединить точку А с С и провести из точки N отрезок ND || AL.

Рис. 195.

Таким образом, прямая ND аналогична прямой NF является геометрическим местом концов векторов, изображающих полные ускорения точек отрезка АЕ. Нетрудно видеть, что ускорение точки О отрезка АЕ равно нулю; эта точка называется мгновенным центром ускорений.

Если принять мгновенный центр ускорения G за полюс, то, вычисляя ускорения точек В, С отрезка АВ по формуле (108), найдем:

но так как , то , и, кроме того, по формуле (92), получаем:

Следовательно, ускорения точек фигуры пропорциональны расстояниям их от мгновенного центра ускорений и образуют с отрезками, соединяющими эти точки с мгновенным центром ускорений, один и тот же угол , определяемый равенством (93).

Подобно тому, как скорости, точек плоской, фигуры пропорциональны расстояниям их до мгновенного центра скоростей и образуют с мгновенными радиусами углы , так и ускорения точек плоской фигуры пропорциональны расстояниям их до мгновенного центра ускорений и образуют с этими направлениями один и тот же угол , определяемый равенством:

Не следует, однако, думать, что мгновенный центр скоростей Р и мгновенный центр ускорений G совпадают между собой. Это имеет место только для случая вращения тела вокруг неподвижной оси.

Рис. 196.

Если за полюс принята точка G, то полное ускорение какой-либо точки В плоской фигуры (рис. 196) может быть представлено в виде двух составляющих: — центростремительного и — вращательного ускорений; при этом:

Если же за полюс принята точка Р, то полное ускорение точки В удобно разложить на нормальное  и касательное  где:

при этом радиус кривизны траектории направлен по BP, но не равен BP.

Задача №14

Найти ускорение любой точки обода колеса, катящегося без скольжения по прямолинейному рельсу с постоянной скоростью , если радиус колеса (рис. 197).

Рис. 197. 

Решение. Мгновенный центр ускорений О находится в центре колеса С, так как эта точка движется прямолинейно и равномерно. Мгновенный же центр скоростей находится в точке Р касания колеса с рельсом, поэтому угловая скорость и угловое ускорение колеса соответственно равны:

Отсюда заключаем, что ускорение любой точки обода направлено к центру колеса и равно по величине:

Задача №15

Колесо катится без скольжения в вертикальной плоскости по наклонному прямолинейному пути. Найти ускорения концов двух взаимно-перпендикулярных диаметров колеса, из которых один параллелен рельсу, если в рассматриваемый момент времени скорость центра колеса , ускорение центра колеса , радиус колеса  (рис. 198).    V

Рис. 198.

Решение. Центр мгновенного вращения колеса находится в точке касания, поэтому его угловая скорость:  

Центр колеса движется прямолинейно, следовательно его ускорение:

Отсюда находим, что в данный момент времени угловое ускорение колеса:    

Зная ускорение какой-либо точки плоской фигуры, в нашем случае ускорение точки С, а также для данного момента величину и направление угловой скорости  и углового ускорения , найдем положение мгновенного центра ускорений G. Он должен лежать на полупрямой, выходящей из точки С, ускорение которой нам известно, и образующей с вектором этого ускорения угол , определяемый равенством (93):

При этом угол отсчитывается от вектора ускорения в направлении .

Положение мгновенного центра ускорений на полупрямой определится посредством равенства (92):

Найдя мгновенный центр ускорений, можно построить вектор ускорения любой точки колеса, например соединив точку G с точкой и отложив ускорение от прямой на угол в сторону, противоположную направлению. Величина же ускорения точки найдется по формуле:

Так как

то окончательно находим: 

Аналогично находим ускорения остальных точек колеса:

Векторы ускорений для рассматриваемых точек колеса построены на чертеже.

Задача №16

Найти ускорения пальца кривошипа А, ползуна В и точки С середины шатуна АВ кривошипно-шатунного механизма, если длины шатуна и кривошипа одинаковы: и кривошип OA вращается с постоянной угловой скоростью (рис. 199).

Рис. 199.

Решение. Ускорение точки А равно и направлено от А к О.

Полюс мгновенного вращения шатуна АВ найдется в пересечении прямых OA и . Так как » и , то угловая скорость шатуна и будет постоянна. Поэтому угловое ускорение шатуна .

Мгновенный центр ускорений шатуна АВ будет находиться на полупрямой, выходящей из точки А, ускорение которой нам известно, и образующей с вектором этого ускорения угол , определяемый равенством:

откуда .

Положение точки G на полупрямой АО определится равенством (92):

т. е. мгновенный центр ускорений G совпадает с осью вращения О кривошипа. Отсюда ускорения точек В и С определятся:

и будут направлены к точке О.

Задача №17

Кривошип ОА механизма режущего аппарата сенокосилки вращается с постоянной угловой скоростью и с помощью шатуна АВ приводит в движение нож, соединенный с ползуном В, движущимся вдоль горизонтальных направляющих (рис. 200).

Рис. 200.

Найти угловую скорость и угловое ускорение шатуна, а также ускорение ползуна В в положении, когда кривошип и шатун взаимно перпендикулярны и образуют с горизонтальной прямой углы 45°. Длины: АО = 5 см, АВ = 50 см.

Решение. Найдем мгновенный центр Р шатуна АВ; тогда скорость точки А будет:

Отсюда угловая скорость шатуна:

Ускорение точки В может быть найдено из равенств (108) и (109):

Это уравнение можно переписать иначе:

Знак минус у вектора указывает на то, что в многоугольнике векторов, построенном на основании полученного векторного уравнения, направление стрелки вектора. противоположно течению стрелок остальных векторов. Определим ускорения:  и направлено от А к О; и направлено от В к А.

Зная, что вектор перпендикулярен к АВ, а вектор направлен горизонтально, строим многоугольник векторов (рис. 200), из которого находим:

Угловое ускорение шатуна:

Задача №18

Равносторонний треугольник ABC со стороной а = 6 см движется в плоскости чертежа. Ускорения вершин А и В в данный момент времени равны и направлены по сторонам треугольника (рис. 201). Определить ускорение третьей вершины С треугольника.

Рис. 201.

Решение. Применяя равенство (108), имеем: , откуда находим, что .

Из последнего равенства следует, что для нахождения вектора следует в точке В построить вектор , противоположный заданному вектору , а затем векторы и сложить геометрически. Проектируя вектор на направления АВ и перпендикулярное к нему, находим:

откуда 

Откладывая от векторов и в направлении против часовой стрелки полупрямые под углом , получим в пересечении их мгновенный центр ускорений G. Соединив G с точкой С и отложив от GC в направлении по часовой стрелке угол , получим направление вектора ускорения точки С.

Определим угловую скорость и угловое ускорение треугольника.

Согласно равенствам (110) имеем:

откуда:

Ускорение:    

и направлено по CВ от С к В.

72,2% бесплатных материалов

967 руб. средняя цена курсовой работы

353 руб. средняя цена домашнего задания

116 руб. средняя цена решённой задачи

161 руб. средняя цена лабораторной работы

174 руб. средняя цена реферата

177 руб. средняя цена доклада

1626 руб. средняя цена ВКР

665 руб. средняя цена диссертации

596 руб. средняя цена НИР

358 руб. средняя цена отчёта по практике

277 руб. средняя цена ответов (шпаргалок)

202 руб. средняя цена лекций

232 руб. средняя цена семинаров

280 руб. средняя цена рабочей тетради

187 руб. средняя цена презентации

67 руб. средняя цена перевода

143 руб. средняя цена изложения

150 руб. средняя цена сочинения

308 руб. средняя цена статьи

Гарантия возврата средств