В этом уроке будем учиться строить эпюры для балок, работающих на поперечный изгиб — эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Важно уметь правильно построить и проанализировать эти эпюры, потому что большинство современных инженерных сооружений состоят из элементов, которые работают на изгиб.
В статье рассмотрим 2 примера: один попроще — консольная балка, загруженная сосредоточенными силами и моментом, другой посложнее — двухопорная балка, загруженная распределённой нагрузкой.
Чтобы освоить материал этого урока, уже нужно знать, как определяются опорные реакции. Умеешь — отлично, но если же нет, то можешь изучить этот урок.
Подробно рассматривать в этом уроке нахождения реакций не будем, я буду приводить только их расчёт.
Поперечные силы и изгибающие моменты
При поперечном изгибе, в поперечных сечениях балки, возникает два внутренних силовых фактора (ВСФ) – поперечная сила (Q) и изгибающий момент (Mизг).
Наша задача, научиться определять их и строить эпюры. Чтобы потом, используя полученные эпюры, можно было проводить различные расчёты. Например, подбирать размеры поперечных сечений балки или проверять прочность балки, если эти размеры уже заданы и т. д.
Поперечные силы и изгибающие моменты определяются с помощью метода сечений. Когда балка мысленно рассекается на две части. Затем действие частей балки друг на друга заменяется внутренними силовыми факторами (ВСФ) – поперечными силами и изгибающими моментами. Потом путём рассмотрения равновесия одной из частей находятся ВСФ.
Если пока не очень понятно — это нормально, когда начнём это всё делать на практике, ты обязательно всё поймёшь!
Обозначения поперечных сил и изгибающих моментов
Теперь поговорим по поводу обозначений для поперечных сил и изгибающих моментов. Как правило, задачи в сопромате, и механике в целом, решаются относительно каких-то координатных осей. А поперечные силы и изгибающие моменты, имеют индексы в зависимости от выбранной системы координат.
Например, если выбрать следующие обозначения для координатных осей:
То, поперечная сила, будет обозначаться, как Qy (параллельна оси y), а изгибающий момент, как Mx (поворачивает относительно оси x). Это наиболее частый вариант. Однако, можно встретить обозначения – Qy, Mz или Qz, Mx. Самые ленивые, предпочитают подписывать данные величины, как просто Q и M. Как видишь, здесь всё зависит от предпочтений твоего преподавателя. Чтобы изучая этот урок, ты не привыкал (- а) к каким-то индексам, т. к. твой преподаватель тебя всё равно будет учить по-своему, я решил использовать в статье для поперечной силы, просто букву – Q, а для изгибающего момента – Mизг. Такое обозначение изгибающего момента, тоже используется часто, а сам индекс «изг» нужен, чтобы не путать внутренний – изгибающий момент, с внешними моментами, которые почти всегда подписываются просто буквой – M.
Расчётная схема балки
Также нужно понимать, что когда мы рассчитываем поперечные силы и изгибающие моменты, мы считаем их непросто для какой-то линии:
А подразумеваем, что мы рассчитываем некоторый элемент конструкции — балку, которая обязательно имеет некоторую форму, либо для которой впоследствии будет рассчитана эта форма, в зависимости от целей расчёта.
К примеру, балка может иметь прямоугольное поперечное сечение:
Если в расчётах эпюр при растяжении (сжатии) или кручении, форма стержня указывалась явно, и в этом был определённый смысл, так как те стержня имели ступенчатую форму – разную жёсткость на участках. То здесь, как правило, балки имеют одинаковое сечение, по всей длине, поэтому для экономии времени, балку показывают в виде такой линии. Затем, после построения эпюр, традиционно, для балки либо подбирается поперечное сечение из условия прочности, либо проверяется прочность уже заданного сечения.
Правила знаков для поперечных сил и изгибающих моментов
В этом разделе поговорим о правилах знаков для поперечных сил и изгибающих моментов. Для примера возьмём самую простую расчётную схему — консольную балку, загруженную сосредоточенной силой (F).
Расчётная схема
Предположим, что нужно определить поперечную силу и изгибающий момент в каком-то поперечном сечении. Пока не будем строить никаких эпюр, а просто поставим перед собой простейшую задачу — рассчитать внутренние силовые факторы (Q и Мизг) для одного, конкретного сечения. Например, рассмотрим сечение в заделке (А).
Чтобы вычислить внутренние силовые факторы для этого сечения, нужно учесть всю внешнюю нагрузку, либо справа от сечения, либо слева. Если учитывать нагрузку справа — нужно учесть силу F, а если учитывать нагрузку слева — нужно учесть тогда реакции в заделке. Чтобы не вычислять реакции, пойдём по короткому пути и учтём всю нагрузку — справа.
Правило знаков для поперечных сил
Поперечная сила в сечении будет равна алгебраической сумме всех внешних сил (с учётом знака) по одну сторону от рассматриваемого сечения.
А знаки внешних сил определяются следующим образом — если внешняя сила, относительно рассматриваемого сечения, стремится повернуть:
• ПО часовой стрелке, то её нужно учесть с «плюсом»;
• ПРОТИВ часовой стрелки — учитываем её с «минусом».
Таким образом, для нашего случая, поперечная сила в сечении A будет равна:
Правило знаков для изгибающих моментов
Изгибающий момент в сечении будет равен алгебраической сумме всех моментов внешних сил (с учётом знака) по одну сторону от рассматриваемого сечения.
Перед тем как поговорить о правилах знаков для изгибающих моментов. Необходимо понять ещё одну особенность — когда на балку действует какая-то внешняя нагрузка, балка деформируется. При деформации балки принято различать «верхние волокна» и «нижние волокна», относительно линии (нейтральной оси), проходящей через центр тяжести поперечного сечения балки.
Одни волокна при поперечном изгибе, будут растягиваться, а другие сжиматься.
В нашем случае, «верхние волокна», как видишь, будут растянуты, а нижние – сжаты.
На основании этой особенности, часто используется следующее правило для изгибающих моментов — если момент силы стремится растянуть:
• верхние волокна, то учитываем его с «минусом»;
• нижние волокна, то нужно учесть его с «плюсом».
Не забываем, что мы ведём расчёт моментов, поэтому все силы нужно умножать на соответствующие плечи.
Таким образом, в нашем случае, изгибающий момент в сечении A будет равен:
Если на балку действуют сосредоточенные моменты, то правило знаков аналогичное:
Сосредоточенные моменты, конечно, уже не нужно ни на что умножать. Например, для верхней схемы, изгибающий момент в сечении A будет равен:
Как построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов ?
В пределах участков, и эпюра Q и эпюра M меняются по определённому закону. Границами участков являются точки приложения сил, моментов, а также начало и конец распределённой нагрузки (будем рассматривать во второй задаче). Поэтому, чтобы построить эпюры в пределах участка, сначала необходимо написать уравнения, которые будут описывать изменение поперечных сил и изгибающих моментов в пределах участка. А затем, подставляя в уравнения координаты начала и конца участка, получить значения на эпюрах в характерных точках, и построить эпюры на участке. Рассчитав таким образом все участки, можно построить эпюры для балки.
Чувствую, опять перегрузил тебя информацией…давай лучше, наконец, посмотрим, как это всё делается на практике 😉
Построение эпюр для консольной балки
В качестве первого примера, возьмём консольную балку, жёстко закреплённую с левого торца и загруженной следующим образом:
Будем рассчитывать балку справа налево.
Рассмотрим первый участок
Обозначим некоторое сечение 1-1 на расстоянии x1, от свободного торца балки, при этом x1 будет находиться в диапазоне: 0 ≤ x1 ≤ 4м.
Так как расчёт выполняется справа налево, то в уравнениях необходимо учесть всю нагрузку, которая находится правее рассматриваемого сечения. Как видишь, на этом участке действует всего лишь одна сила F. Её и будем учитывать.
Поперечные силы на первом участке
Сила F, относительно сечения 1-1, поворачивает ПО часовой стрелке, поэтому с учётом правила знаков, записываем её с «плюсом»:
Как видишь, поперечная сила будет постоянна на первом участке:
Уже можем отразить это на эпюре поперечных сил:
Изгибающие моменты на первом участке
Теперь запишем уравнение для изгибающих моментов. Сила F растягивает верхние волокна, поэтому с учётом правила знаков, нужно учесть момент силы F со знаком «минус»:
Здесь уже изгибающие моменты будут меняться по линейному закону. Как я уже писал, чтобы построить эпюру изгибающих моментов на участке, нужно вычислить значения на границах участка:
Откладываем полученные значения:
Расчёт второго участка
Переходим ко второму участку. Также будем рассматривать некоторое сечение 2-2, на расстоянии x2 от начала участка (0 ≤ x2 ≤ 6м). Здесь также нужно учесть ВСЮ нагрузку, которая находится справа от сечения 2-2.
Поперечные силы на втором участке
Теперь на участке будут действовать 2 силы (сосредоточенный момент — M, никак не влияет на эпюру поперечных сил), учитываем их с учётом правила знаков:
Теперь можем показать окончательную эпюру поперечных сил:
Изгибающие моменты на втором участке
Для изгибающих моментов, с учётом правила знаков, второе уравнение будет выглядеть следующим образом:
Вычисляем значения на границах второго участка:
Показываем окончательную эпюру изгибащих моментов:
Проверка построенных эпюр
Балку можно рассчитать и слева направо. При этом очевидно, должны получаться те же эпюры. Давай проверим себя и рассчитаем эту балку с другой стороны.
Определение реакций в жёсткой заделке
Первым делом, нам потребуется определить реакции в заделке:
Расчёт эпюр поперечных сил и изгибающих моментов
Рассчитываем все участки теперь слева направо:
Ожидаемо, получили те же эпюры поперечных сил и изгибающих моментов:
Причём не обязательно считать все участки балки только слева направо или справа налево. Можно считать балку с разных сторон:
Такой подход позволяет минимизировать расчёт: когда балка имеет много расчётных участков. Как раз так и будем считать вторую двухопорную балку.
Эпюра моментов со стороны растянутых или сжатых волокон
По построенной эпюре можно явно сказать, какие волокна балки будут растянуты, а какие сжаты. Это очень полезная информация, при проведении прочностных расчётов.
Причем сама эпюра была построенна со стороны растянутых волокон:
Однако, студентов некоторых специальностей учат строить эпюры, с другой стороны – со стороны сжатых волокон:
Как видишь, в первом случае, отрицательные значения на эпюре моментов откладываются выше нулевой линии, а во втором – ниже. При этом правила знаков для расчета эпюр и сами расчёты не меняются. Обычно эпюры «на растянутых волокнах» строят студенты — строители, а эпюры «на сжатых волокнах» строятся студентами машиностроительных специальностей. В конечном счёте с какой стороны ты будешь строить эпюры, будет зависеть от твоего преподавателя, как он учит. В своих уроках я буду строить эпюры моментов со стороны растянутых волокон.
Учёт распределённой нагрузки
Перед тем как пойдём дальше и рассмотрим вторую задачу – двухопорную балку, нужно научиться работать с распределённой нагрузкой.
Давай рассмотрим ещё одну простенькую схему — консольную балку, загруженную распределённой нагрузкой:
Определение поперечной силы и изгибающего момента в сечении A
Чтобы определить поперечную силу в сечении A, первым делом нужно «свернуть» распределённую нагрузку (q) до сосредоточенной силы. Для этого нужно интенсивность нагрузки (q) умножить на длину участка действия нагрузки.
После чего получим силу — ql, приложенную ровно посередине участка, на котором действует распределённая нагрузка:
Тогда поперечная сила QA будет равна:
Изгибающий момент Mизг, A будет равен:
Расчёт эпюр поперечных сил и изгибающих моментов
Для написания уравнений для расчёта эпюр рассмотрим сечение 1-1:
Уравнение для поперечных сил будет следующее:
Рассчитаем значения на эпюре поперечных сил:
Уравнение для изгибающих моментов будет следующее:
Тогда значения на эпюре будут такими:
На участке с распределённой нагрузкой, на эпюре изгибающих моментов всегда будет либо выпуклость, либо вогнутость. Так как эпюра на этом участке будет меняться по квадратичному закону.
Если эпюра моментов откладывается со стороны растянутых волокон, распределённая нагрузка будет направлена «внутрь вогнутости» (выпуклости) эпюры изгибающих моментов:
Если же эпюра моментов откладывается со стороны сжатых волокон, то наоборот:
Построение эпюр для двухопорной балки
А теперь давай рассмотрим более сложную схему – двухопорную балку, загруженную всеми типами нагрузок:
Определим реакции опор:
Рассчитываем первый участок:
Строим эпюры на первом участке:
Определение экстремума на эпюре моментов
Так как эпюра поперечных сил пересекает нулевую линию на первом участке, это значит, что в месте пересечения — на эпюре изгибающих моментов будет экстремум — точка, в которой эпюра моментов часто имеет наибольшее значение. Это значение, обязательно следует рассчитывать, потому — что экстремумы часто являются не только максимальными значениями в пределах участка, но и для всей балки в целом. Поэтому так важно, вычислять это значение, для дальнейшего проведения прочностных расчётов.
Чтобы найти экстремум, сначала нужно найти координату, где эпюра поперечных сил пересекает нулевую линию. Для этого уравнение для поперечных сил нужно приравнять к нулю:
Отсюда найти значение координаты:
Затем подставить это значение в уравнение для изгибающих моментов:
Теперь можем указать экстремум на эпюре:
Расчет эпюр на остальных участках
Расчёты остальных участков не вижу смысла комментировать, потому что здесь будет применяться всё то, о чём я уже рассказывал по ходу урока. Поэтому просто приведу решение:
Определение экстремума:
Оценка правильности построенных эпюр поперечных сил и изгибающих моментов
И напоследок хочу рассказать как можно проверить себя – оценить правильность построенных эпюр визуально. Собственно так, как проверяют эпюры — преподаватели, ведь они не проверяют у всех студентов каждое уравнение, каждый знак или цифру, т.к. это бы занимало слишком много времени.
Вот несколько признаков, правильно построенных эпюр:
- На эпюре поперечных сил, в местах приложения сосредоточенных сил, должны быть скачки на величину этих сил.
- На эпюре изгибающих моментов, в местах приложения сосредоточенных моментов, должны быть скачки на величину этих моментов.
- Эпюра поперечных сил, на участках без распределённой нагрузки, должна быть постоянна. А на участках, где действует распределённая нагрузка – меняться по линейному закону.
- Эпюра изгибающих моментов, на участках без распределённой нагрузки, должна меняться по линейному закону или быть постоянна (если действуют только сосредоточенные моменты). А на участках, где действует распределённая нагрузка – иметь вогнутость или выпуклость.
Определение поперечных сил и изгибающих моментов.
Как уже было сказано, при плоском
поперечном изгибе в поперечном сечении
балки возникают два внутренних силовых
фактора
и
.
Перед определением
и
определяют реакции опор балки (рис. 6.3,
а), составляя уравнения равновесия
статики.
Для определения
и
применим метод сечений. В интересующем
нас месте сделаем мысленный разрез
балки, например, на расстоянии
от левой опоры. Отбросим одну из частей
балки, например правую, и рассмотрим
равновесие левой части (рис. 6.3, б).
Взаимодействие частей балки заменим
внутренними усилиями
и
.
Установим следующие правила знаков для
и
:
-
Поперечная сила
в сечении положительна, если ее векторы
стремятся вращать рассматриваемое
сечение по часовой стрелке; -
Изгибающий момент
в сечении положителен, если он вызывает
сжатие верхних волокон.
в сечении положительна, если ее векторы
в сечении положителен, если он вызывает
Рис. 6.3
Для определения данных усилий используем
два уравнения равновесия:
1.
;
;
.
2.
;
;
Таким образом,
а) поперечная сила
в поперечном сечении балки численно
равна алгебраической сумме проекций
на поперечную ось сечения
всех внешних сил, действующих по одну
сторону от сечения;
б) изгибающий момент в поперечном сечении
балки численно равен алгебраической
сумме моментов (вычисленных относительно
центра тяжести сечения) внешних сил,
действующих по одну сторону от данного
сечения.
При практическом вычислении руководствуются
обычно следующим:
-
Если внешняя нагрузка стремится
повернуть балку относительно
рассматриваемого сечения по часовой
стрелке, (рис. 6.4, б) то в выражении для
она дает положительное слагаемое. -
Если внешняя нагрузка создает относительно
рассматриваемого сечения момент,
вызывающий сжатие верхних волокон
балки (рис. 6.4, а), то в выражении для
в этом сечении она дает положительное
слагаемое.
она дает положительное слагаемое.
в этом сечении она дает положительное
Рис. 6.4
Построение эпюр ив балках.
Рассмотрим двухопорную балку
(рис. 6.5, а). На балку действует в точке
сосредоточенный момент
,
в точке
— сосредоточенная сила
и на участке
— равномерно распределенная нагрузка
интенсивностью
.
Определим опорные реакции
и
(рис. 6.5, б).
Равнодействующая распределенной
нагрузки равна
,
а линия действия ее проходит через центр
участка
.
Составим уравнения моментов относительно
точек
и
.
Определим поперечную силу и изгибающий
момент в произвольном сечений,
расположенном на участке
на расстоянии
от точки А(рис. 6.5, в).
Расстояние
может изменяться в пределах (
).
|
Значение поперечной силы не зависит
Изгибающий момент изменяется по
Для построения эпюры вычисляем ординаты
При
При
|
Рис. 6.5 |
,
поперечные силы одинаковы и эпюра
имеет вид прямоугольника.
:
Определим поперечную силу и изгибающий
момент в произвольном сечений,
расположенном на участке
на расстоянии
от точки
(рис. 6.5, г).Расстояние
может изменяться в пределах (
).
Значение поперечной силы не зависит от
координаты сечения
,
следовательно, во всех сечениях участка
поперечные силы одинаковы и эпюра
имеет вид прямоугольника. Изгибающий
момент
Изгибающий момент изменяется по линейному
закону. Определим ординаты эпюры для
границ участка.
Определим поперечную силу и изгибающий
момент в произвольном сечений,
расположенном на участке
на расстоянии
от точки
(рис. 6.5, д).Расстояние
может изменяться в пределах (
).
Поперечная сила изменяется по линейному
закону. Определим для границ участка.
Изгибающий момент
.
Эпюра изгибающих моментов на этом
участке будет параболической.
Чтобы определить экстремальное значение
изгибающего момента, приравниваем к
нулю производную от изгибающего момента
по абсциссе сечения
:
Отсюда
Для сечения с координатой
значение изгибающего момента будет
составлять
В результате получаем эпюры поперечных
сил (рис. 6.5, е) и изгибающих
моментов(рис. 6.5, ж).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Внутренние поперечная сила и изгибающий момент возникают в поперечных сечениях балки при её изгибе под действием внешних нагрузок.
Поперечным изгибом называется такой вид деформирования бруса, при котором внешние нагрузки действуют перпендикулярно к его продольной оси. Деформация изгиба заключается в искривлении оси бруса.
Брус с прямой осью, работающий на изгиб, называется балкой. Если плоскость действия внешних нагрузок проходит через ось балки и одну из главных центральных осей поперечного сечения, изгиб называется прямым. В этом случае ось балки искривляется в плоскости действия нагрузок и является плоской кривой.
В сечениях балки возникают два внутренних силовых фактора: изгибающий момент Мх и поперечная сила Qy
Правила контроля построения эпюр Q и М при изгибе (рис. 6.1).
Дифференциальные зависимости между q, Qy и Мх имеют вид:
- В сечении, где приложена сосредоточенная сила, — на эпюре Qy скачок по модулю равный этой силе, на эпюре Мх – излом навстречу силе.
- В сечении, где приложена сосредоточенная пара сил m — на эпюре Мх скачок по модулю равный этой паре сил. На эпюре Qy это не сказывается.
- Если на участке имеется равномерно распределенная нагрузка q, то Qy изменяется по линейному закону, Мх – по параболе, выпуклостью навстречу нагрузке q (Мх = Мэкстр – в сечении, где Qy меняет свой знак).
Рис. 6.1
Изгиб называется чистым, если в сечении балки возникает только изгибающий момент Мх.
Примеры решения задач >
Прочность и напряжения при изгибе >
Сохранить или поделиться с друзьями
Вы находитесь тут:
На нашем сайте Вы можете получить решение задач и онлайн помощь
Подробнее
Решение задач и лекции по технической механике, теормеху и сопромату
Поперечная сила и изгибающий момент
При изгибе балки, вызванном действием приложенных к ней внешних моментов, в поперечных сечениях возникают внутренние силовые факторы — изгибающие моменты 
. Аналогичное явление имеет место в случае простого поперечного изгиба, если горизонтальный брус, лежащий на двух опорах, подвергнуть действию вертикальных нагрузок в продольной плоскости симметрии бруса. При этом наряду с изгибающим моментом в поперечных сечениях возникнет поперечная сила 
.
Рассмотрим методику определения изгибающего момента и поперечной силы. Пусть балка, лежащая на опорах 
и 
(рис. 2.24), нагружена вертикальными силами 
распределенной нагрузкой интенсивности 
и моментами 
действующими в вертикальной плоскости симметрии балки. Опорные реакции 
в точках и можно определить из уравнений равновесия всей балки.
Рассмотрим поперечное сечение 
балки, определяемое абсциссой 
. Указанное сечение делит внешние силы и моменты, приложенные к балке, на две взаимно уравновешивающиеся системы, из которых одна действует слева, а другая — справа от данного сечения.
Каждую из этих систем можно привести к центру тяжести 
рассматриваемого сечения. Тогда главный вектор и главный момент относительно центра сил, действующих слева от сечения, должны быть соответственно равны по модулю и противоположны по направлению главному вектору и главному моменту относительно того же центра сил, действующих справа от этого сечения. Указанные главный вектор 
и главный момент являются статическими эквивалентами внутренних сил, возникающих при изгибе в поперечном сечении.
Главный вектор внешних сил, действующих на балку по одну сторону от данного сечения, называется поперечной силой в данном сечении. Если некоторые силы, действующие на балку, не перпендикулярны к ее оси, то поперечной силой называется вертикальная составляющая главного вектора внешних сил, расположенных по одну сторону от данного сечения.
Ограничиваясь случаем параллельных сил, можем поперечную силу (обозначим ее через ) рассматривать как алгебраическую величину, имеющую положительное значение, если для левой части балки она направлена вверх, а для правой — вниз (рис 2.25, а), и отрицательное при противоположном направлении (рис. 2.25, б).
Таким образом, поперечная сила в любом поперечном сечении балки численно определяется как алгебраическая сумма сил, расположенных по одну сторону от сечения.
Для сечения (см. рис. 2.24) в соответствии с установленным правилом знаков имеем
Главный момент внешних сил, действующих на балку по одну сторону от данного сечения, относительно центра тяжести этого сечения, называют изгибающим моментом в данном сечении. Этот момент (обозначим его через ) будем рассматривать как алгебраическую величину, имеющую положительное значение, если он действует так, что ось балки изгибается выпуклостью вниз (рис. 2.25, в), и отрицательное в противоположном случае (рис. 2.25, г). Изгибающий момент в любом сечении балки численно определяется как алгебраическая сумма моментов, действующих на балку внешних сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно центра тяжести этого сечения. При этом для левой части балки моменты сил считаются положительными, если они направлены по отношению к центру тяжести сечения по часовой стрелке, и отрицательными, если против часовой стрелки; для правой части — наоборот.
Таким образом, для сечения (см. рис. 2.24) имеем
Поперечная сила и изгибающий момент в общем случае зависят от положения сечения, т.е. от абсциссы . Найдем зависимость между величинами и , а также и . Для этого определим поперечную силу 
и изгибающий момент в сечении 
смещенном относительно сечения на бесконечно малое расстояние 
(см. рис. 2.24);
Определим изменения 
изгибающего момента и 
— поперечной силы при переходе от сечения к сечению . Вычитая соответственно (2.30) из (2.32) и (2.29) из (2.31), имеем
откуда, учитывая выражение (2.29), получаем
т.е. поперечная сила в данном сечении равна первой производной от изгибающего момента по абсциссе сечения (теорема Д. И. Журавского). Аналогично получим
т. е. вторая производная от изгибающего момента по абсциссе сечения равна интенсивности распределенной нагрузки.
Полученные зависимости используют при построении эпюр изгибающих моментов и поперечных сил. Графики зависимости изгибающего момента и поперечной силы от координаты сечения называют эпюрами изгибающих моментов и поперечных сил. Эпюры дают наглядное представление о характере изменения изгибающего момента и поперечной силы по длине балки и позволяют устанавливать местонахождение опасных сечений.
Рассмотрим методику построения этих эпюр для простейших случаев нагружения.
Случай 1. Консольная балка нагружена сосредоточенной силой 
на конце консоли (рис. 2.26, а).
В месте защемления 
балки возникает реактивный момент 
и опорная реакция 
.
Составим уравнения равновесия сил, действующих на балку:
Отсюда
Определим изгибающий момент в сечении, расположенном на рас-стоянии от опоры . Силы, действующие слева от рассматриваемого сечения, создают момент
После подстановки значений реактивного момента и опорной реакции приходим к следующему уравнению:
При 
и 
получаем изгибающий момент соответственно у опоры и на конце балки:
Построим эпюру изгибающих моментов. Для этого выбираем нулевую линию, параллельную оси балки.
Откладывая в некотором масштабе 
от этой линии вниз (
< 0) под соответствующими сечениями балки найденные значения , получаем искомую эпюру (рис. 2.26, б). Так как зависимость от координаты сечения в данном случае является линейной, то эпюра изгибающих моментов представляет собой наклонную прямую. Абсолютная величина изгибающего момента достигает наибольшего значения у закрепленного конца балки.
Рассмотренную задачу можно решить проще, если за начало отсчета координаты сечения принять точку приложения силы 
и определять главный момент сил, находящихся справа от сечения. Обозначая новую координату сечения через 
имеем 
; на концах балки получаем
Для определения поперечных сил обратимся к теореме Журавского:
т. е. поперечная сила постоянна по всей длине балки. Эпюра поперечных сил в данном случае представляет собой прямую, параллельную нулевой линии и отстоящую от нее на расстоянии (рис. 2.26, в) в масштабе 
.
Случай 2. Консольная балка нагружена по всей длине равномерно распределенной нагрузкой с интенсивностью 
(рис. 2.27, а).
Реактивный момент в этом случае 
опорная реакция 
. Заменив равномерно распределенную нагрузку, действующую на правую часть балки, сосредоточенной силой, равной 
и действующей на расстоянии 
от выбранного сечения, имеем
Определим значение изгибающих моментов для характерных точек:
Как видно из уравнения (2.35), эпюра изгибающих моментов в данном случае представляет собой параболу второй степени, обращенную вогнутостью вниз и с вершиной в начале координат (рис. 2.27, б). Эта парабола может быть построена по точкам. Абсолютная величина изгибающего момента имеет наибольшее значение 
у защемленного конца балки. На основании теоремы Журавского
Из уравнения (2.36) следует, что эпюра поперечных сил наклонная прямая (рис. 2.27, в).
Случай 3. Балка на двух опорах нагружена сосредоточенной силой 
(рис. 2.28, а).
Составим уравнения равновесия балки:
Отсюда
Рассмотрим два сечения, определяемых координатами 
и 
. Первое сечение расположено между опорой 
и точкой приложения силы , второе — между опорой 
и точкой приложения силы .
Изгибающий момент в сечении I-I, если рассматривать левую часть балки.
Изгибающий момент в сечении II-II
т. е. изгибающий момент на двух участках балки определяется двумя линейными уравнениями, и, следовательно, эпюра изгибающих моментов состоит из двух отрезков прямой (рис. 2.28, б). Величина изгибающих моментов в характерных точках
Если сила 
приложена в середине пролета, т. е. 
то
Максимальный изгибающий момент в этом случае
Так как изгибающий момент выражается двумя линейными функциями координаты сечения, то из теоремы Журавского следует, что на каждом из двух участков между опорами и точкой приложения сосредоточенной нагрузки поперечная сила остается постоянной.
Действительно, для участка 
для участка 
Таким образом, эпюра поперечных сил представляет собой два прямолинейных отрезка, параллельных нулевой линии (рис. 2.28, в). В точке приложения нагрузки поперечная сила меняется скачкообразно.
Случай 4. Балка на двух опорах нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью (рис. 2.29, а).
Равнодействующая равномерно распределенной нагрузки равна 
и приложена в середине пролета балки. Поэтому
Изгибающий момент в сечении I-I на расстоянии 
от левой опоры
Изгибающий момент в характерных точках
Эпюра изгибающих моментов представляет собой параболу второй степени (рис. 2.29, б).
Величину поперечной силы в сечении I-I определяем как сумму внешних сил, действующих слева от сечения:
т. е. поперечная сила изменяется по линейному закону. Определим ее величину в характерных точках:
Эпюра поперечных сил представляет собой наклонную прямую, пересекающую нулевую линию в середине пролета балки (рис. 2.29, в).
Эта теория взята со страницы лекций по предмету «прикладная механика»:
Предмет прикладная механика
Возможно эти страницы вам будут полезны:
В прошлой части мы выяснили, какие нормальные напряжения будут возникать при изгибе. Однако это не все воздействия, которые есть в сечении. Также необходимо учесть и касательные напряжения. Последние обычно возникают либо если сечение скручивают, либо если в нем возникают поперечные силы. О скручивании будет написано в других частях, а сегодня мы обсудим влияние поперечной силы на изгибающийся стержень. Для вычисления изменения поперечной силы и момента нам потребуется теорема Журавского, а для нахождения касательных напряжений формула Журавского
Какие силы действуют в изгибаемом стержне
В случае если на конструкцию давит сила или по ней распределена нагрузка, в ней возникают поперечные силы. Как мы уже говорили, момент – это произведение силы на плечо. И вполне естественно, что действующие в конструкциях поперечные силы будут приводить и к возникновению момента.
Для того, чтобы выяснить, как именно этот момент возникает, проведем мысленный эксперимент:
Жестко (чтобы не менял угол наклона в месте закрепления, противодействовал моменту) закрепим некоторый стержень на стене и надавим на его конец:
Теперь разделим стержень на бесконечное количество пластинок с практически нулевой шириной dx:
Сила P будет пытаться сдвинуть самую крайнюю пластинку вниз. В компенсацию этой силе в стержне возникает поперечная сила сопротивления материала Qy, направленная в противоположную приложенной сторону по плоскости сечения. По закону Ньютона, где действие, там противодействие. И по этому закону в компенсацию поперечной силы сопротивления возникает ей противоположная сила, которая будет воздействовать на следующую пластинку:
В итоге получаем достаточно прозаичную формулу распределения поперечной силы:
Qy=P
Не менее прозаично будет выглядеть и эпюра продольных сил:
Численно она будет равна приложенной к концу стержня силе. При этом, так как между центрами пластинок будет некоторое расстояние dx, на следующий элемент будет передаваться момент равный произведению силы на dx:
Итого, на первой пластинке, так как сила будет приложена к ее центру, момента m1 не будет. Момент m2 на второй пластинке будет равен произведению силы на расстояние между центрами пластинок:
m2=P*dx=P*dx
Момент третьей пластинки будет складываться из момента, который перейдет со второй пластинки и момента возникающего под действием силы:
m3=m2+P*dx=2*P*dx
В конечном счете, каждый раз, когда мы будем смещаться в сторону от места приложения силы на одну пластинку, будет меняться лишь множитель. Общая формула для момента m n-ной пластинки будет выглядеть так:
mn=n*P*dx
Ну если мы умножаем количество пластинок n на их ширину dx, то получаем расстояние от места приложения силы c. В итоге, эпюра момента под действием силы P будет выглядеть вот так:
Впрочем, помимо сил нам может попасться и распределенная нагрузка. Как в таком случае будет изменяться момент?
Рассуждения нашим будут абсолютно аналогичны. Разделим стержень на много тоненьких пластинок.
На каждую пластинку ширины dx будет действовать небольшая сила q и поперечная сила от соседней пластинки:
Сила взаимодействия между пластинками в таком случае будет накапливаться.
Найти ее можно просто перемножив расстояние от начала действия распределенной нагрузки до интересующей нас точки на величину распределенной нагрузки:
Qy=q*n*dx=q*l
Теперь разберемся с моментом. На первой пластинке момента не будет, по допущению, что сила q действует по ее середине.
На вторую пластинку же по касательной будет действовать сила q. Так как между центрами пластинок есть расстояние dx, в ней возникнет момент равный произведению q на dx:
m2=q*dx.
На третью пластинку будет действовать по касательной уже вдвое большая сила. Как следствие, для этой пластинки момент увеличится уже на 2q*dx:
dm2-3=2q*dx
Суммарный момент третьей пластинки будет складываться из момента передавшегося со второй пластинки и момента возникающего под действием нагрузки:
m3=m2+2q*dx=(2+1)dx*q
Если мы будем продолжать данную операцию и дальше, то получим общую формулу для момента m n-ной пластинки:
mn=(n+…+2+1)dx*q
Многочлен Sn=(n+…+2+1)dx- это сумма арифметической прогрессии. Ее находят как полусумму первого и последнего элемента умноженную на количество элементов:
S_n=frac{a_1+a_n}{2}cdot n
Примечание: желающие могут взглянуть на вывод этой формулы в числах (в общем виде вывод практически аналогичен, но на числах он нагляднее), с сайта umath.ru[7]:
По легенде эту формулу вывел Карл Гаусс, когда школьный учитель математики решил подшутить над учениками, заставив посчитать сумму чисел от 1 до 100.
Подставляем нашу последовательность x1=ndx+…+2dx+dx и получаем:
xn=ndx+…+2dx+dx=(dx+ndx)*ndx/2=(n+n2)dx2/2
Так как число пластинок мы сделали ну очень большим (практически бесконечным), по сравнению с n2 обычное n будет пренебрежительно мало. Например, если мы разделим стержень на 1000 пластинок, n2 от n2+n будет отличаться на одну тысячную.
В итоге, получившуюся формулу можно представить как простейшее n2/2.
Подставляем все в исходную формулу:
mn=(n+…+2+1)*q*dx=n2*dx2*q/2=ql2/2
А эпюра момента под равномерно-распределенной нагрузкой будет выглядеть как полупарабола:
Теорема Журавского
Обобщает и упрощает расчет интегрирование. А метод нахождения поперечных сил и моментов известен как теорема Журавского. Для того, чтобы найти момент в определенной точке, необходимо взять интеграл от поперечной силы по длине:
Поперечная сила не всегда постоянна на всем протяжении участка, как это, например, бывает при распределенной нагрузке. Чтобы найти поперечную силу, если балка находится под воздействием распределенной нагрузки, необходимо последнюю проинтегрировать:
Ну а для нахождения момента при распределенной нагрузке, нужно эту нагрузку дважды проинтегрировать:
M_z=int_{0}^{x}int_{0}^{x}q_y dx
Если обобщить, то для нахождения момента в сечении надо дважды проинтегрировать распределенную нагрузку, сложить это с интегралом силы по расстоянию до опоры и с моментами, которые мы приложили к этом сечении.
Теорема Журавского в дифференциальной форме выглядит так:
q=frac{dQ_y}{dx}=frac{d^2M_z}{dx^2}
Теорема Журавского позволяет вычислять попереченые силы и моменты. Отрезок балки под воздействием сложной системы сил:
Изображение расчета балки взято из онлайн-калькулятора.
Подробнее почитать о построении эпюр можно в соответствующей статье.
Выражены формулы взаимосвязи распределенной нагрузки, поперечных напряжений и моментов были Дмитрием Ивановичем Журавским и обобщаются как теорема Журавского.
Формула Журавского
В процессе проектирования железнодорожных мостов деревянные балки часто давали скол. На тот момент не было теоретического аппарата для выяснения точных значений касательных напряжений в сечении. Их либо не учитывали, либо, по аналогии с нормальными напряжениями при растяжении/сжатии, считали равномерно-распределенными по всему сечению (т.е. τ=Qy/F).
Однако реальность упорно не хотела следовать расчетам: конструкции разрушались, хотя не должны были.
При этом нормальных напряжений явно было недостаточно для скола. Журавский данную проблему решил за счет добавления в уравнение касательных напряжений и нашёл закон их распределения по сечению. Попробуем и сами вывести закон распределения касательных напряжений (более известный как формула Журавского).
У нас есть балка произвольного сечения под нагрузкой:
В этом стержне, под действием распределенной нагрузки изменяются момент и нормальные напряжения:
Если мы отсечем верхнюю или нижнюю часть стержня (так, чтобы линия среза была параллельна нейтральной линии), на данном участке возникнет нескомпенсированная продольная сила:
Журавский предположил, что ключом к ответу на вопрос, как именно распределяются по сечению касательные напряжения, может стать решение проблемы этой нескомпенсированной силы.
Разберемся в том, как касательные напряжения вообще могут распространяться в материале.
Для этого вырежем из какой-то не разрушившейся конструкции куб с пренебрежительно малыми сторонами. Затем приложим к одной из его граней силу по касательной. Для того, чтобы куб уравновесить, необходимо приложить к поверхности этой грани касательную силу, но в другом направлении:
От касательных сил возникнет момент. А так как мы вырезаем куб из целой, не разрушенной конструкции, все силы и моменты должны быть скомпенсированы. Поэтому на соседних гранях возникнут такие же касательные напряжения с противоположным моментом:
Иными словами, если конструкция сохраняет свою форму, каждое касательное напряжение по оси x на одной из сторон куба будет уравновешено точно таким же, но в обратном направлении на противоположной стороне куба. А получившийся момент будет скомпенсирован касательными напряжениями по оси y.
Так как касательные напряжения по y приведут к возникновению точно таких же касательных напряжений по x, разумно предположить, что приращение нормальных напряжений можно скомпенсировать касательными напряжениями.
Возвращаемся к нашему стержню. Мы вырезали некоторую его часть и хотим компенсировать избыток продольной силы, за счет касательных напряжений приложенных к поверхности горизонтального сечения:
Для того, чтобы система оставалась неподвижной, необходимо, чтобы продольные и касательные силы в сумме давали ноль:
-N+(N+dN)-τ*b(y)=0
dN-τ*b(y)=0
dN=τ*b(y)
Остается дело за малым: выяснить чему будет равно изменение продольной силы на отсеченной нами части. Для этого нам нужно просуммировать все напряжения в ней возникающие:
dN=∑dσ=∫dσdF
Подставляем формулу из прошлой части для нахождения нормальных напряжений при изгибе и изменения момента под действием поперечной силы из этой:
dσ=ydMz/Jz, dMz=Qy
Примечание: дальше мы будем использовать такие понятия как момент инерции I и статический момент S. Если вы хотите поподробнее узнать про то, откуда появились данные величины, каков их физический смысл и как их находить, то вы можете это сделать прочитав наши статьи:
- Статический момент
- Момент инерции
- Момент сопротивления изгибу
В итоге избыток продольной силы будет равен:
dN=frac{Q_ycdot dx}{I_z} int y dF
Fотс.∫ydF — это статический момент инерции отсеченной фигуры Sотс. Таким образом формулу можно записать чуть элегантнее:
dN=frac{Q_ycdot S_{отс.}cdot dx}{I_z}
Как мы уже говорили, чтобы тело находилось в равновесии необходимо, чтобы избыточная продольная сила компенсировалась касательной:
dN-τcdot bcdot dx=dx(frac{Q_ycdot S_{отс.}}{I_z}-τcdot b)=0;
Или:
τcdot b=frac{Q_ycdot S_{отс.}}{I_z}
Теперь мы можем сказать, по какому закону будут распределяться касательные напряжения при изгибе:
τ=frac{Q_ycdot S_{отс.}}{I_zcdot b}
Вычисление касательных напряжений по формуле Журавского
Разберем распределение касательных нагрузок на простейшем примере. На прямоугольном брусе.
Нам нужно выяснить, какие касательные напряжения будут в каждой точке сечения. Величина Qy нам задана. Ширина b тоже. Момент инерции Iz мы тоже для всего сечения мы тоже знаем:
I_z=frac{bcdot h^3}{12}
Остаётся найти момент отсеченной части. В данном случае мы отсекаем все, что снизу:
Статический момент (посмотреть как вычисляется можно по ссылке) равен произведению площади на центр масс:
Sотс=F*l
Где l расстояние до центра масс (в данном случае до середины) отсеченной фигуры, а F площадь, которую можно найти перемножив высоту отсекаемого прямоугольника (h/2-y) на его ширину b. Расстояние до центра масс же можно найти сложив верхнюю (h/2) и нижнюю (y) границу и поделив это выражение на два (потому-что нам интересно найти середину):
I_z=frac{frac{h}{2}+y}{2}
S_{отс.}=Fcdot l=frac{b(frac{h}{2}+y)(frac{h}{2}-y)}{2}
Получаем напряжение в середине:
τ=frac{Q_ycdot S_{отс.}}{bcdot I_z}=frac{12cdot Q_y cdot bcdot(frac{h^2}{4}-y^2)}{2cdot b^3cdot h^3}=frac{6cdot Q_y cdot (frac{h^2}{4}-y^2)}{b^2cdot h^3}
Теперь остается только подставить в уравнение получившуюся для этого сечения поперечную силу Qy и можно посчитать, какие касательные напряжения будут возникать на каждом расстоянии y от нейтральной линии.
Так как в уравнении меняться будет только y, выражение можно представить в виде:
τ=C-B*y^2
Где B и C константы, а при y=h/2 τ=0.
Ну и, очевидно, что когда y=0 (т.е. посередине сечения), напряжение максимально.
Т.е. изменяться касательные напряжения будут по параболе, где максимум будет на средней линии, а ноль на верхней и нижней грани сечения.
Если сечение не прямоугольное, ширину b надо будет представить как некую функцию b(y).
τ=frac{Q_y cdot S_{отс.}(y)}{b(y)cdot I_z}
Форма эпюры напряжений могут меняться, но характер будет будет остаться прежним: по мере движения к центру напряжения будут расти.
Ещё в прошлой части мы вывели закон распределения нормальных напряжений при изгибе: напряжения изменяются по линейному закону от своего минимального (максимальное сжатие) до максимального (максимальное растяжение) значения.
А сейчас мы выяснили, как распределяются по сечению касательные напряжения. Если стержень имеет одинаковую ширину на всей высоте сечения, то напряжения меняются по параболе. Но в прошлой части мы также говорили, что для экономии материала гораздо целесообразнее использовать сечения сложной формы (для нахождения моментов инерции гуглить “сортамент, прокатные профили”).
Например двутавр, у которого максимальная ширина по краям, где нормальные напряжения максимальны. Как мы уже выяснили, касательные напряжения сильно зависят от ширины сечения. Есть точки, где ширина уменьшается и происходит увеличение касательных напряжений, но нормальные напряжения все ещё велики. Их следует проверить, точно ли они выдержат нагрузки. И необходим математический аппарат для предсказания прочности, учитывающий эти два вида нагрузок.
И на него нет однозначного, исчерпывающего ответа. Но есть ответы практические, каждый справедливый для своих границ применимости. И эти ответы называются теориями прочности. И о них мы расскажем в будущем.
В рамках темы изгиба наибольшую применимость имеет теория «Наибольших касательных напряжений» (Третья теория прочности). Чаще всего её используют для металлов или материалов, плохо сопротивляющихся сдвигу.
Для того, чтобы понять, выдержит ли материал, в рамках теории наибольших касательных напряжений, нормальные и касательные напряжения приводят к эквивалентным напряжениям, которые должны быть меньше предельных напряжений при растяжении/сжатии по определенной формуле. Ее вывод мы сейчас производить не будем, предлагаем просто поверить на слово, что эквивалентные напряжения должны быть меньше опасных и рассчитываются так:
σэкв.=√(σ2+4τ2)<[σ]
Возвращаемся к двутавру. Какие у него будут самые опасные точки, которые надо проверить? Такие, где возникают максимальные напряжения и где высокие и нормальные и касательные напряжения:
Из прошлой части мы знаем, что наибольшие нормальные напряжения находятся на самых удаленных от нейтральной линии участках сечения. Так как там отсутствуют касательные напряжения, достаточно чтобы нормальные напряжения были меньше опасных:
134МПа<[σ]
Максимальные касательные напряжения возникают в середине сечения. Так как нормальные напряжения будут равны нулю, формула σэкв.=√(σ2+4τ2) превращается в простейшее σэкв.=√(4τ2)=σэкв.=2τ
Подставляем значение и оказывается, что материал должен выдерживать аж 182 МПа:
2τ=91*2=182МПа<[σ]
Если данный материал такие напряжения выдерживать не способен, придется выбирать другой прокатный профиль (например, с большей шириной промежуточной полки). Ну а если способен, надо рассчитать третью точку. Она будет находиться на месте, где промежуточная узкая полка переходит в широкую. Подставляем в формулу значения нормальных и касательных напряжений:
σэкв.=√(σ2+4τ2)=√(1342+4*642)=√(19.000+4*4.100)=√35400=188,2 МПа<[σ]
Если допускаемые напряжения меньше, значит сечение подходит. Если нет, значит придется искать сечение с лучшей способностью сопротивления касательным и нормальным напряжениям. Например, следующий номер двутавра.
Для того, чтобы выяснить, выдержит ли деталь нагрузку, необходимо проверять эквивалентные напряжения (с чем поможет формула Журавского и третья теория прочности) в максимумах моментов и поперечных сил (с чем поможет теорема Журавского), а также на местах, где совпадают большие моменты и поперечные силы:
Вот мы и разобрались с ещё одним источником опасности для прочности конструкции: с касательными напряжениями от поперечных сил. Главный инструмент в поиске поперечных сил, моментов — теорема Журавского. А найти касательные напряжения поможет формула Журавского.
Теперь в теме изгиба нам остаётся только научиться считать, как будет деформироваться балка под действием момента.
Информация о произведении
Автор: К.А.Овчинников
Редактор, факт-чекер: Д.А. Сабуров, Марк Ершов
Иллюстратор: Михаил Корнев [I]
Информация о произведении:
Условия использования: свободное некоммерческое использование при условии указания людей участвовавших в его создании и ссылку на первоисточник (статьи на действующем сайте интернет-журнала «Стройка Века»).
Для коммерческого использования — обращаться на почту:
buildxxvek@gmail.com
Источники
- Лекции по сопротивлению материалов в СПбПУ им. Петра Великого
- Горшков А. Г., Трошин В. Н., Шалашилин В. И. Сопротивление материалов. – Физматлит, 2002. – С. 548-548.
- iSopromat Формула Журавского // https://youtu.be/4rsFdn5fSrU
- Kirsanov2011 Формула Журавского // https://youtu.be/AZE70B9m2lA
- Основные теории прочности // http://sopromat.in.ua/handbook/teorii-prochnosti
- Гипотезы прочности // http://k-a-t.ru/tex_mex/5-sochetanie_defor2/index.shtml
- https://umath.ru/theory/posledovatelnosti/arifmeticheskaya-progressiya/
5 761