Как найти порождающее множество

Порождающее множество группы [math]displaystyle{ G }[/math] (или множество образующих^[1], или система образующих) — это подмножество [math]displaystyle{ S }[/math] в [math]displaystyle{ G }[/math], такое, что каждый элемент [math]displaystyle{ G }[/math] может быть записан как произведение конечного числа элементов [math]displaystyle{ S }[/math] и их обратных.

Определение

Пусть [math]displaystyle{ S }[/math] — подмножество группы [math]displaystyle{ G }[/math].
Определим [math]displaystyle{ langle Srangle }[/math] — подгруппу, порождённую [math]displaystyle{ S }[/math], — как наименьшую подгруппу в [math]displaystyle{ G }[/math], содержащую все элементы [math]displaystyle{ S }[/math], то есть пересечение всех подгрупп, содержащих [math]displaystyle{ S }[/math].
Эквивалентно, [math]displaystyle{ langle Srangle }[/math] — это подгруппа всех элементов [math]displaystyle{ G }[/math], которые могут быть представлены как конечные произведения элементов [math]displaystyle{ S }[/math] и их обратных.

Если [math]displaystyle{ G=langle Srangle }[/math], то говорят, что [math]displaystyle{ S }[/math] порождает группу [math]displaystyle{ G }[/math].
При этом элементы [math]displaystyle{ S }[/math] называются образующими группы.
Если в группе [math]displaystyle{ G }[/math] можно выбрать конечное множество образующих, то её называют конечно порождённой группой.

Замечания

• Заметим, что если [math]displaystyle{ S }[/math] пусто, то по определению [math]displaystyle{ langle Srangle }[/math] является тривиальной группой, состоящей из нейтрального элемента.

• Когда [math]displaystyle{ S }[/math] содержит только один элемент [math]displaystyle{ x }[/math], обычно пишут [math]displaystyle{ langle xrangle }[/math] вместо [math]displaystyle{ langle {x}rangle }[/math]. В таком случае [math]displaystyle{ langle xrangle }[/math] — циклическая подгруппа степеней [math]displaystyle{ x }[/math] в [math]displaystyle{ G }[/math].

Порождающие полугруппы и моноида

Для случая, когда [math]displaystyle{ G }[/math] является полугруппой или моноидом, тоже можно ввести аналогичное понятие порождающего множества: [math]displaystyle{ S }[/math] порождает [math]displaystyle{ G }[/math] как полугруппу или моноид, если [math]displaystyle{ G }[/math] является минимальной полугруппой или минимальным моноидом соответственно, содержащим [math]displaystyle{ S }[/math].

Такое определение тоже можно изложить на языке представимости элемента в виде комбинации. Для полугруппы можно сказать, что [math]displaystyle{ S }[/math] является порождающим множеством, если каждый элемент [math]displaystyle{ G }[/math] можно представить как конечное произведение элементов из [math]displaystyle{ S }[/math]. Для моноида можно сказать, что [math]displaystyle{ S }[/math] является порождающим множеством, если каждый элемент [math]displaystyle{ G }[/math], кроме нейтрального, можно представить как конечное произведение элементов из [math]displaystyle{ S }[/math].

Из-за разницы определений одно и то же множество может быть порождающим в одном смысле, но не быть в другом. Например, для моноида неотрицательных целых чисел [math]displaystyle{ (mathbb{N}_{geq 0},+) }[/math] порождающим множеством будет [math]displaystyle{ S={1} }[/math], но для полугруппы [math]displaystyle{ (mathbb{N}_{geq 0},+) }[/math] [math]displaystyle{ S }[/math] уже не является порождающим множеством, так как 0 нельзя представить в виде суммы единиц. Аналогично, для [math]displaystyle{ mathbb{Z} }[/math] как группы [math]displaystyle{ {1} }[/math] является порождающим множеством, а для моноида — нет, так как в определении порождающего множества для моноида не включено взятие обратных.

См. также

• Граф Кэли
• Задание группы

Примечания

Литература

• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968. — 564 с.
• Курош А. Г. Теория групп. — М.: Наука, 1967. — 648 с.

This is an example from Miller, Sturmfels «Combinatorial Commutative Algebra».

Let $pi:mathbb{Z}^3 rightarrow mathbb{Z}$ be the group homomorphism defined by the matrix $left(begin{array}{ccc} 3 & 4 & 5 end{array} right)$. Thus

$$
ker(pi)={(u,v,w) in mathbb{Z}^3 | 3u+4v+5w=0}.
$$

A lattice basis for the kernel is $mathbb{Z}{(3,-1,-1),(2,1,-2)}$. I am trying to understand how one goes from a lattice basis for $ker(pi)$ to a generating set for the corresponding lattice ideal

$$
I_L=langle mathbf{x}^{mathbf{u}}-mathbf{x}^{mathbf{v}} | u,v in mathbb{N}^3 textrm{with} mathbf{u}-mathbf{v} in L rangle.
$$

In this example it is said that $I_L = langle x^3-yz, x^2y-z^2, xz-y^2 rangle$. Why is $I_L neq langle x^3-yz, x^2y-z^2 rangle$ i.e. the analogue of the lattice basis above?

I want to be able to go from the lattice basis to a minimal generating set for $I_L$.

Понятие множества. Способы задания множеств.

Данная тема содержит немало терминологии, поэтому я добавлю содержание темы, которое позволит легче ориентироваться в материале.

1. Обозначение множеств. Принадлежность элемента множеству. Пустое множество.
2. Подмножество. Универсальное множество. Равенство множеств. Булеан.
3. Способы задания множеств.

Начнём с того, что же, собственно, понимать под словом «множество». На интуитивном уровне под множеством понимают некую совокупность объектов, именуемых элементами множества. Например, можно говорить о множестве груш на столе, множестве букв в слове «множество» и так далее. Георг Кантор (немецкий математик, основатель современной теории множеств) писал, что под «множеством я понимаю вообще всё то многое, которое возможно мыслить как единое, т.е. такую совокупность определённых элементов, которая посредством одного закона может быть соединена в одно целое». Некоторое время понятие множества, введённое Кантором, полагалось довольно очевидным и не требующим дополнительных пояснений. Казалось, что появление работ Больцано, а затем и Кантора в конце 19 — начале 20 века, положит конец многим вопросам (например, окончательно разрешит апории Зенона, разрешит проблему бесконечности и т.д.) и станет началом новой математики. Гениальный немецкий математик Давид Гильберт отмечал, что «Никто не изгонит нас из рая, созданного Кантором».

Однако появление парадоксов (Рассел, Бурали-Форти) положило конец «канторовскому раю». Одна из формулировок парадокса Рассела, известная под названием «парадокс брадобрея» звучит так: в некотором селе брадобрей бреет тех и только тех жителей села, которые не бреются сами. Кто же тогда бреет самого брадобрея? Допустим, он бреет себя самостоятельно. Т.е. он принадлежит к тем жителям села, которые бреются сами, – а ведь согласно условию этих жителей брадобрей не имеет права брить. Следовательно, допущение о том, что брадобрей бреется сам, приводит к противоречию. Попробуем иначе: пусть брадобрей не бреется сам. Если он сам не бреется, то согласно условию его обязан брить брадобрей – вновь противоречие! Были предприняты попытки разрешить противоречия теории множеств, предложенной Кантором. Саму канторовскую теорию множеств математики назвали «наивной». Целью многих математических трудов стало построение такой системы аксиом, в которой подобные парадоксы были бы невозможны. Но задача оказалась не столь уж проста. На данный момент, насколько мне известно, единой аксиоматики теории множеств нет. Наиболее распространенной считается система аксиом Цермело-Френкеля (ZFC), в которой особняком стоит так называемая «аксиома выбора». Есть и вариации этой системы: например, автор B-метода Жан-Раймонд Абриал предложил типизированную теорию множеств, на основании которой создал формальный метод разработки программ.

Обозначение множеств. Принадлежность элемента множеству. Пустое множество.

Обычно множества записываются в фигурных скобках. Например, множество всех гласных букв русского алфавита будет записано так:

$${а, е, ё, и, о, у, ы, э, ю, я } $$

А множество всех целых целых чисел, больших 8, но меньших 15, будет таким:

$${9,10,11,12,13,14 } $$

Множество может вообще не содержать ни одного элемента. В этом случае его именуют пустым множеством и обозначают как $varnothing$.

Чаще всего в математической литературе множества обозначаются с помощью больших букв латинского алфавита. Например:

$$A={0, 5, 6, -9 },; B={Delta, +, -5, 0}.$$

Есть и устоявшиеся обозначения определённых множеств. Например, множество натуральных чисел принято обозначать буквой $N$; множество целых чисел – буквой $Z$; множество рациональных чисел – буквой $Q$; множество всех действительных чисел – буквой $R$. Есть и иные устоявшиеся обозначения, но к ним мы станем обращаться по мере необходимости.

Множество, которое содержит конечное количество элементов, именуют конечным множеством. Если множество содержит бесконечное количество элементов, его называют бесконечным.

Например, указанное выше множество $A={0, 5, 6, -9 }$ – конечное множество, ибо содержит 4 элемента (т.е. конечное число элементов). Множество натуральных чисел $N$ является бесконечным. Вообще говоря, мы не всегда можем сразу с уверенностью сказать, бесконечно некое множество или нет. Например, пусть $F$ – множество простых чисел.

Что такое простое число: показатьскрыть

Возникает вопрос: бесконечно множество $F$ или нет? Существует ли наибольшее простое число? Для ответа на этот вопрос понадобилась целая теорема, доказанная Эвклидом, о том, что множество простых чисел – бесконечно.

Под мощностью множества для конечных множеств понимают количество элементов данного множества. Мощность множества $A$ обозначается как $|A|$.

Например, так как конечное множество $A={0, 5, 6, -9 }$ содержит 4 элемента, то мощность множества $A$ равна 4, т.е. $|A|=4$.

Если нам известно, что некий объект $a$ принадлежит множеству $A$, то записывают это так: $ain A$. Например, для вышеуказанного множества $A$ можно записать, что $5in A$, $-9in A$. Если же объект $a$ не принадлежит множеству $A$, то обозначается это следующим образом: $anotin A$. Например, $19notin A$. Кстати, сказать, элементами множеств могут быть и иные множества, например:

$$
M={-9,1,0, { a, g}, varnothing }
$$

Элементами множества $M$ являются числа -9, 1, 0, а также множество $ { a,; g}$ и пустое множество $varnothing$. Вообще, для упрощения восприятия множество можно представлять как портфель. Пустое множество – пустой портфель. Эта аналогия пригодится чуть далее.

Подмножество. Универсальное множество. Равенство множеств. Булеан.

Множество $A$ называют подмножеством множества $B$, если все элементы множества $A$ являются также элементами множества $B$. Обозначение: $Asubseteq B$.

Например, рассмотрим множества $K={ -9,5}$ и $T={8,-9,0,5,p, -11}$. Каждый элемент множества $K$ (т.е. -9 и 5) является также элементом множества $T$. Следовательно, множество $K$ есть подмножество множества $T$, т.е. $Ksubseteq T$.

Так как все элементы любого множества $A$ принадлежат самому множеству $A$, то множество $A$ является подмножеством самого множества $A$. Пустое множество $varnothing$ является подможеством любого множества. Т.е. для произвольного множества $A$ верно следующее:

$$Asubseteq A; ; varnothingsubseteq A.$$

Введём ещё одно определение – универсальное множество.

Универсальное множество (универсум) $U$ обладает тем свойством, что все иные множества, рассматриваемые в данной задаче, являются его подмножествами.

Иными словами, универсум содержит в себе элементы всех множеств, которые рассматриваются в рамках некоей задачи. Например, рассмотрим такую задачу: проводится опрос студентов некоей академгруппы. Каждому студенту предлагается указать мобильных операторов РФ, сим-карты которых он использует. Данные этого опроса можно представить в виде множеств. Например, если студент Василий использует сим-карты от МТС и Life, то можно записать следующее:

$$
Vasilij={MTC, Life }
$$

Подобные множества можно составить для каждого студента. Универсумом в этой модели будет множество, в котором перечислены все операторы России. В принципе, в качестве универсума можно взять также множество, в котором перечислены все операторы СНГ, а также множество всех мобильных операторов мира. И это не будет противоречием, ибо любой оператор России входит в множество операторов как СНГ, так и всего мира. Итак, универсум определяется только в рамках некоей конкретной задачи, при этом зачастую можно рассмотреть несколько универсальных множеств.

Множества $A$ и $B$ называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Иными словами, если каждый элемент множества $A$ является также элементом множества $B$, и каждый элемент множества $B$ является также элементом множества $A$, то $A=B$.

Определение равенства множеств можно записать и по-иному: если $Asubseteq B$ и $Bsubseteq A$, то $A=B$.

Рассмотрим пару множеств: первое будет ${Delta, k }$, а второе – ${k, Delta}$. Каждый элемент первого множества (т.е. $Delta$ и $k$) является также элементом второго множества. Каждый элемент второго множества (т.е. $k$ и $Delta$) является также элементом второго множества. Вывод: ${Delta, k }={k, Delta}$. Как видите, порядок записи элементов в множестве роли не играет.

Рассмотрим ещё пару множеств: $X={k, Delta, k, k,k }$ и $Y={Delta, k }$. Каждый элемент множества $X$ является также элементом множества $Y$; каждый элемент множества $Y$ является также элементом множества $X$. Следовательно, ${k, Delta, k, k, k }={Delta, k }$. С учётом подобных равенств в теории множеств принято одинаковые элементы не повторять в записи дважды. Например, множество цифр числа 1111111555559999 будет таким: ${1,5,9}$. Есть, конечно, исключения: так называемые мультимножества. В записи мультимножеств элементы могут повторяться, однако в классической теории множеств повторения элементов не допускаются.

Используя понятие равенства множеств, можно классифицировать подмножества.

Если $Asubseteq B$, при этом $Aneq B$, то множество $A$ называют собственным (строгим) подмножеством множества $B$. Также говорят, что множество $A$ строго включено в множество $B$. Записывают это так: $A subset B$.

Если же некое подмножество множества $A$ совпадает с самим множеством $A$, то это подмножество называют несобственным. Иными словами, множество $A$ является несобственным подмножеством самого множества $A$.

Например, для рассмотренных выше множеств $K={ -9,5}$ и $T={8,-9,0,5,p, -11}$ имеем: $Ksubseteq T$, при этом $Kneq T$. Следовательно, множество $K$ является собственным подмножеством множества $T$, что записывается как $Ksubset T$. Можно сказать и так: множество $K$ строго включено в множество $T$. Запись $Ksubset T$ более конкретна, нежели $Ksubseteq T$. Дело в том, что записывая $Ksubset T$ мы гарантируем, что $Kneq T$. В то время как запись $Ksubseteq T$ не исключает случая равенства $K=T$.

Примечание относительно терминологии: показатьскрыть

Множество всех подмножеств некоего множества $A$ называют булеаном или степенью множества $A$. Обозначается булеан как $P(A)$ или $2^A$.

Пусть множество $A$ содержит $n$ элементов. Булеан множества $A$ содержит $2^n$ элементов, т.е.

$$
left| P(A) right|=2^{n},;; n=|A|.
$$

Рассмотрим пару примеров на использование введённых выше понятий.

Пример №1

Из предложенного списка выберите те утверждения, которые являются верными. Ответ аргументируйте.

1. ${-3,5, 9 }subseteq {-3, 9, 8, 5, 4, 6 } $;
2. ${-3,5, 9 }subset {-3, 9, 8, 5, 4, 6 } $;
3. ${-3,5, 9 }in {-3, 9, 8, 5, 4, 6 } $;
4. $varnothing subseteq varnothing$;
5. $varnothing={varnothing }$;
6. $varnothing in varnothing$;
7. $A={9, -5, 8 {7, 6 } };; |A|=5$.

Решение

1. Нам заданы два множества: ${-3,5, 9 }$ и ${-3, 9, 8, 5, 4, 6 }$. Каждый элемент первого множества является также элементом второго множества. Следовательно, первое множество есть подмножество второго, т.е. ${-3,5, 9 }subseteq {-3, 9, 8, 5, 4, 6 }$. Утверждение первого пункта – верное.
2. В первом пункте мы выяснили, что ${-3,5, 9 }subseteq {-3, 9, 8, 5, 4, 6 }$. При этом данные множества не равны между собой, т.е. ${-3,5, 9 }neq {-3, 9, 8, 5, 4, 6 }$. Значит, множество ${-3,5, 9 }$ является собственным (в иной терминологии строгим) подмножеством множества ${-3, 9, 8, 5, 4, 6 }$. Этот факт записывается как ${-3,5, 9 }subset {-3, 9, 8, 5, 4, 6 } $. Итак, утверждение второго пункта истинно.
3. Множество ${-3,5, 9 }$ не является элементом множества ${-3, 9, 8, 5, 4, 6 }$. Утверждение третьего пункта ложно. Для сравнения: утверждение ${-3,5, 9 }in {9, 8, 5, 4, {-3,5,9}, 6 }$ истинно.
4. Пустое множество является подможеством любого множества. Поэтому утверждение $varnothing subseteq varnothing$ истинно.
5. Утверждение ложно. Множество $varnothing$ не содержит элементов, а множество ${varnothing }$ содержит один элемент, посему равенство $varnothing={varnothing }$ неверно. Чтобы это было нагляднее, можно обратиться к той аналогии, что я описал выше. Множество – это портфель. Пустое множество $varnothing$ – пустой портфель. Множество ${varnothing }$ – портфель, внутри которого лежит пустой портфель. Естественно, что пустой портфель и непустой портфель, внутри которого нечто есть – разные портфели
6. Пустое множество не содержит элементов. Ни единого. Поэтому утверждение $varnothing in varnothing$ ложно. Для сравнения: утверждение $varnothingin{varnothing }$ истинно.
7. Множество $A$ содержит 4 элемента, а именно: 9, -5, 8 и ${7, 6 }$. Поэтому мощность множества $A$ равна 4, т.е. $|A|=4$. Следовательно, утверждение о том, что $|A|=5$ – ложно.

Ответ: Утверждения в пунктах №1, №2, №4 – истинны.

Пример №2

Записать булеан множества $A={-5,10,9}$.

Решение

Множество $A$ содержит 3 элемента. Иными словами: мощность множества $A$ равна 3, $|A|=3$. Следовательно, множество $A$ имеет $2^3=8$ подмножеств, т.е. булеан множества $A$ будет состоять из восьми элементов. Перечислим все подмножества множества $A$. Напомню, что пустое множество $varnothing$ является подмножеством любого множества. Итак, подмножества таковы:

$$
varnothing, {-5 }, { 10}, { 9}, {-5,10 }, {-5, 9 }, {-10, 9 }, {-5, 10, 9 }
$$

Напомню, что подмножество ${-5, 10, 9 }$ является несобственным, так как совпадает с множеством $A$. Все остальные подмножества – собственные. Все записанные выше подмножества являются элементами булеана множества $A$. Итак:

$$
P(A)=left{varnothing, {-5 }, { 10}, { 9}, {-5,10 }, {-5, 9 }, {-10, 9 }, {-5, 10, 9 } right}
$$

Булеан найден, остаётся лишь записать ответ.

Ответ: $P(A)=left{varnothing, {-5 }, { 10}, { 9}, {-5,10 }, {-5, 9 }, {-10, 9 }, {-5, 10, 9 } right}$.

Способы задания множеств.

Первый способ – это простое перечисление элементов множества. Естественно, такой способ подходит лишь для конечных множеств. Например, с помощью данного способа множество первых трёх натуральных чисел будет записано так:

$$
{1,2,3}
$$

Часто в литературе можно встретить обозначения такого характера: $T={0,2,4,6,8, 10, ldots }$. Здесь множество задаётся не перечислением элементов, как кажется на первый взгляд. Перечислить все чётные неотрицательные числа, которые и составляют множество $T$, невозможно, ибо этих чисел бесконечно много. Запись вида $T={0,2,4,6,8, 10, ldots }$ допускается только тогда, когда не вызывает разночтений.

Второй способ – задать множество с помощью так называемого характеристического условия (характеристического предиката) $P(x)$. В этом случае множество записывается в таком виде:

$${x| P(x)}$$

Запись ${x| P(x)}$ читается так: «множество всех элементов $x$, для которых высказывание $P(x)$ истинно». Что именно значит словосочетание «характеристическое условие» проще пояснить на примере. Рассмотрим такое высказывание:

$$P(x)=»x; – ;натуральное; число,; последняя; цифра; которого ;равна; 7″$$

Подставим в это высказывание вместо $x$ число 27. Мы получим:

$$P(27)=»27; – ;натуральное; число,; последняя; цифра; которого ;равна; 7″$$

Это истинное высказывание, так как 27 действительно является натуральным числом, последняя цифра которого равна 7. Подставим в это высказывание число $frac{2}{5}$:

$$Pleft(frac{2}{5}right)=»frac{2}{5}; – ;натуральное; число,; последняя; цифра; которого ;равна; 7″$$

Это высказывание ложно, так как $frac{2}{5}$ не является натуральным числом. Итак, для некоторых объектов $x$ высказывание $P(x)$ может быть ложно, для некоторых – истинно (а для некоторых вообще не определено). Нас будут интересовать лишь те объекты, для которых высказывание $P(x)$ будет истинно. Именно эти объекты и образуют множество, заданное с помощью характеристического условия $P(x)$ (см. пример №3).

Третий способ – задать множество с помощью так называемой порождающей процедуры. Порождающая процедура описывает, как получить элементы множества из уже известных элементов или неких иных объектов (см. пример №4).

Пример №3

Записать множество $A={x| xin Z wedge x^2 < 10}$ перечислением элементов.

Решение

Множество $A$ задано с помощью характеристического условия. Характеристическое условие в данном случае выражено записью «$xin Z wedge x^2 < 10$» (знак «$wedge$» означает «и»). Расшифровывается эта запись так: «$x$ – целое число, и $x^2 < 10$». Иными словами, в множество $A$ должны входить лишь целые числа, квадрат которых меньше 10. Таких чисел всего 7, т.е.

$$
A={0,-1,1,-2,2,-3,3}
$$

Множество $A$ теперь задано с помощью перечисления элементов.

Ответ: $A={0,-1,1,-2,2,-3,3}$.

Пример №4

Описать элементы множества $M$, которое задано такой порождающей процедурой:

1. $3in M$;
2. Если элемент $xin M$, то $3xin M$.
3. Множество $M$ – является подмножеством любого множества $A$, удовлетворяющего условиям №1 и №2.

Решение

Давайте пока оставим в покое условие №3 и посмотрим, какие элементы входят в множество $M$. Число 3 туда входит согласно первому пункту. Так как $3in M$, то согласно пункту №2 имеем: $3cdot 3in M$, т.е. $9in M$. Так как $9in M$, то согласно пункту №2 получим: $3cdot 9in M$, т.е. $27in M$. Так как $27in M$, то по тому же пункту №2 имеем: $81in M$. Короче говоря, построенное множество 3, 9, 27, 81 и так далее – это натуральные степени числа 3.

$$3^1=1; ; 3^2=9; ; 3^3=27; ; 3^4=81;; ldots$$

Итак, кажется, что искомое множество задано. И выглядит оно так: ${3,9,27,81,ldots }$. Однако действительно ли условия №1 и №2 определяют только это множество?

Рассмотрим множество всех натуральных чисел, т.е. $N$. Число 3 – натуральное, посему $3in N$. Вывод: множество $N$ удовлетворяет пункту №1. Далее, для любого натурального числа $x$ множество $N$ содержит также и число $3x$. Например, 5 и 15, 7 и 21, 13 и 39 и так далее. Значит, множество $N$ удовлетворяет условию №2. И, кстати сказать, не только множество $N$ удовлетворяет условиям №1 и №2. Например, множество всех нечётных натуральных чисел $N_1={1,3,5,7,9,11, ldots}$ тоже подходит под условия пунктов №1 и №2. Как же указать, что нам нужно именно множество ${3,9,27,81,ldots }$?

Вот тут на помощь приходит пункт №3. Говоря огрублённо, он означает, что множество $M$ – наименьшее из всех возможных множеств. Так как множества $N$ и ${3,9,27,81,ldots }$ удовлетворяют пунктам №1 и №2, но $Nnsubseteq {3,9,27,81,ldots }$, то множество $N$ не удовлетворяет третьему пункту. Аналогично, так как $N_1nsubseteq {3,9,27,81,ldots }$, то множество $N_1$ также не удовлетворяет пункту №3. Можно показать (если это необходимо, отпишите мне на почту, я распишу подробнее), что всем трём пунктам удовлетворяет лишь множество ${3,9,27,81,ldots }$, т.е.

$$M={3,9,27,81,ldots }.$$

Обычно при задании множества с помощью таких правил (которые часто называют рекурсивными или индуктивными) третий пункт подразумевается, но не оговаривается явно. Но нужно иметь его в виду.

Ответ: $M={3,9,27,81,ldots }$.

Порождающее множество группы

Материал из Большого Справочника

Порождающее множество

Cтраница 1

Порождающее множество Д группы G называется свободныяя порождающим множеством, если все его элементы отличны от единицы и пустое множество соотношений относительно К является определяющим множеством соотношений группы G в смысле теории групп.
 [1]

Порождающие множества выгодно иметь настолько малыми, насколько это возможно.
 [2]

Неприводимое порождающее множество называют часто базисом. Базис имеет любая конечно порожденная ( в частности, конечная) полугруппа, причем любое ее порождающее множество содержит некоторый конечный базис и, следовательно, все ее базисы конечны. Число элементов базиса конечно порожденной полугруппы, вообще говоря, не является ее инвариантом; тривипль-ный пример доставляет циклическая группа а порядка 6, в которой а2, а3 будет базисом.
 [3]

Любое порождающее множество векторов векторного пространства V может быть превращено в базис путем отбрасывания некоторых векторов этого множества, если это необходимо.
 [4]

Группа имеет порождающее множество мощности 1 если и только если она — циклическая.
 [5]

Группы заданы порождающим множеством и определяющей совокупностью соотношений.
 [6]

А задана порождающим множеством alt аъ а3 и определяющей совокупностью соотношений а е, а — е, и пусть В — бесконечная циклическая группа.
 [7]

Каждая группа имеет порождающее множество, порядки элементов которого либо все конечны, либо все бесконечны.
 [8]

Число элементов свободного порождающего множества свободной группы называется ее рангом.
 [9]

G обладает свободным порождающим множеством из п элементов. Доказать, что всякое другое свободное порождающее множество группы G содержит п элементов.
 [10]

Покажем, что это порождающее множество обладает свойством, требуемым в определении 13.11. Возьмем отображение 6 элементов fR в группу.
 [11]

Пусть а — произвольное порождающее множество группы A, f имеет ту же мощность, что и а, F gp ( f) — соответствующая свободная группа.
 [12]

Ограничения могут относиться к порождающим множествам и выделять их типы либо с точки зрения характера порождающих элементов ( напр.
 [13]

Теория абстрактных алгебр с порождающим множеством и определяющими соотношениями, хорошо известная для алгебр с частичными операциями с конечным числом аргументов, без труда переносится и на алгебры с частичными операциями от бесконечного числа аргументов. Однако при проведении этой программы возникает затруднение, состоящее в том, что аксиомы LI — L3 не гарантируют хаусдорфовости L-топологии. Однако полная аксиоматика, указанная, например, Биркгофом [4], содержит аксиомы существенно других типов. Аксиоматика, данная Чогошвили [17] для других классов топологических пространств, также содержит аксиомы нежелательного вида.
 [14]

Группа, обладающая свободным порождающим множеством, называется свободной.
 [15]

Страницы:  

   1

   2

   3

   4