Как найти портфель минимального риска

Портфель Марковица минимального риска.

Рассмотрим
математическую формализацию задачи
формирования оптимального портфеля,
которую предложил американский экономист
Г. Марковиц в 1952г., за что позднее получил
Нобелевскую премию.

Найдём
доли вложений в ценные бумаги,
минимизирующие вариацию портфеляпри условии, что обеспечивается заданное
значение эффективности портфеля().
В такой постановке минимизация вариации
портфеля равносильна минимизации риска
портфеля, поэтому задача Марковица
может быть сформулирована следующим
образом: найти,
минимизирующие риск портфеляпри условии, что обеспечивается заданное
значение эффективности портфеля,.Обозначим– оптимальное решение этой задачи. Если,
это означает рекомендацию вложить долюналичного капитала в ценные бумагиi-ого
вида. Если
,
то это означает рекомендацию провести
операцию «short
sale»
(«короткая продажа»). Если такие операции
невозможны, необходимо ввести ограничение
.

Что
это за операция? Инвестор, формирующий
портфель, обязуется через какое-то
время поставить ценные бумаги i-ого
вида (вместе с доходом, какой они принесли
бы их владельцу за это время). За это
сейчас он получает их денежный эквивалент.
Эти деньги он присоединяет к своему
капиталу и покупает рекомендуемые
оптимальным решением ценные бумаги.
Т.к. ценные бумаги других видов более
эффективны, то инвестор оказывается в
выигрыше. Можно обойтись без операции
«short
sale»,
если инвестору доступны займы денежных
средств по безрисковой ставке. Этот
портфель минимального риска из всех
портфелей заданной эффективности
называется портфелем Марковица
минимального риска. Риск
есть
функция его заданной эффективности.

Портфель Тобина минимального риска.

Через
несколько лет после исследования
Марковица другой крупнейший американский
экономист Д. Тобин (также впоследствии
лауреат Нобелевской премии) заметил,
что если на рынке есть безрисковые
бумаги (к таким можно с некоторой натяжкой
отнести государственные ценные бумаги),
то решение задачи об оптимальном портфеле
сильно упрощается и приобретает
замечательное новое качество.

Пусть
– эффективность безрисковых ценных
бумаг, а– доля капитала, в них вложенного, тогда
в рисковую часть портфеля вложена (1 –)
часть всего капитала. Пусть– эффективность и– дисперсия рисковой части портфеля и– риск этой части. Тогда эффективность
всего портфеля равна,
дисперсия всего портфеля равнаи риск портфеля равен(считается, что безрисковые ценные
бумаги некоррелированы с остальными).
Исключая,
получим,
т.е. эффективность портфеля линейно
зависит от его риска.

Задача
Марковица об оптимальном портфеле
ценных бумаг в этом случае формулируется
следующим образом:

,

.

Изложим
теперь окончательное решение этой
задачи, полученное Тобиным. Пусть V
– матрица ковариаций рисковых видов
ценных бумаг,
– вектор-столбцы долейх
капитала, вкладываемых в i-тый
вид рисковых ценных бумаг и ожидаемых
эффективностей этого вида, i
= 1,…, n.
Пусть также I
– n-мерный
вектор-столбец, компоненты которого
равны 1. Тогда оптимальное значение
долей
есть:

.

В
числителе дроби стоит число, в знаменателе
– тоже число, причём константа,
определяемая рынком и не зависящая от
инвестора,
– вектор-столбец размерностиn,
не зависящий от эффективности портфеля
.
Таким образом, вектор долей рисковых
видов ценных бумаг также не зависит от.
Однако сумма компонент векторазависит
от,
а именно, компоненты векторапропорционально
увеличиваются с ростом,
поэтому долябезрисковых вложений будет при этом
сокращаться.

Выразим
риск оптимального портфеля в зависимости
от его доходности. Для этого в формулу
вариации портфеля
подставим
оптимальный вектор,
обозначив знаменатель дроби через.
Получим

Окончательно:
или.
Можно также написать выражение
эффективности оптимального портфеля
от его риска:или.
Видно, что эти зависимости линейные.
Полученный оптимальный портфель
называетсяпортфелем
Тобина минимального риска,
т.е. портфель Тобина – это портфель
Марковица при наличии на рынке безрисковых
ценных бумаг.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

С каждым годом популярность розничных инвестиций растет. Однако далеко не все инвесторы профессионально подходят к процессу. Чаще всего физлица совершают точечные инвестиции, пробуя те или иные инструменты, так как отсутствует должная подготовка и финансовые знания. В реальности же нужно определиться с инвестиционными целями, составить свой инвестиционный портфель и далее следить за тем, какую доходность он вам приносит.

Советами для начинающих инвесторов поделился Михаил Ханов, управляющий директор ИК «Алго Капитал». Он имеет двадцатилетний опыт на руководящих позициях в сфере финансов, страхования и телекоммуникаций в крупных российских компаниях. Также Михаил является постоянным колумнистом ТАСС, Banki.ru, приглашенным спикером ежегодного бизнес-завтрака «Ведомостей», участником и спикером конференций по алгоритмической торговле и управлению активами.

Что такое инвестиционный портфель

Инвестиционный портфель — это набор различных финансовых инструментов, в которые вы инвестируете. Можно сказать, что это совокупность ценных бумаг, разных по сроку действия, ликвидности, эмитенту, собранных в одну «корзину». Причем собранные в портфель активы должны соответствовать целям конкретного инвестора, то есть вашим.  

Размер инвестиционного портфеля — это тот объем средств, который вы вкладываете в инструменты фондового рынка. Он может содержать элементы как пассивного, так и активного инвестирования: например, у вас есть 1 млн руб., из которых 250 тыс. руб. вы размещаете на вкладе в банке, 250 тыс. руб. — в управляющую компанию — это ваша пассивная часть инвестпортфеля. А 500 тыс. руб. вы можете вложить в биткоин, диджитал-компании, акции на российском и иностранных рынках — это активная часть.

Таким образом, в инвестиционный портфель могут входить разные инвестиционные инструменты, потенциально приносящие доход: акции и облигации, индексные биржевые фонды (ETF) и ПИФы, вклады, валюта, драгметаллы, недвижимость и др.

Портфельное инвестирование позволяет снизить риски с помощью диверсификации, то есть распределения вложений в несколько видов активов, и с большей вероятностью заработать желаемую доходность, чем инвестиции в один или два актива. 

Диверсификация не только для консервативных, осторожных инвесторов — портфели собирают и активные инвесторы, в том числе занимающиеся агрессивной стратегией. В этом случае инвестиционный портфель просто наполняется соответствующими инструментами, например, ценными бумагами высокорискованных эмитентов. 

Виды инвестиционных портфелей

Инвестиционные портфели могут быть сгруппированы абсолютно по-разному, и это зависит от ваших целей и риск-аппетита, проще говоря, склонности к риску. 

По рискам портфели делятся на:

• низкорискованные, пассивные, или консервативные. Сюда входят банковские депозиты  и государственный долг (гособлигации различных стран). Данный портфель характеризуется низкими рисками и стабильной доходностью, однако доходность может быть столь низкой, что не покроет и инфляцию;
• портфели среднего риска, куда входят фонды акций и облигаций, акции и облигации крупных, стабильных компаний;
• высокорискованные или активные портфели, включают высокодоходные облигации, опционы, фьючерсы. Такие портфели, как правило, формируют с помощью профессиональных управляющих, они краткосрочны, и их нужно постоянно контролировать.

Также портфели варьируются по способу получения дохода: 

• портфель роста, в который активы подбираются с учетом перспектив их роста. Инвестор получит доход с роста стоимости портфеля;
• дивидендный, или купонный портфель. В него входят активы, которые приносят регулярный доход, к примеру, дивиденды, купонные выплаты. В этом случае инвестор зарабатывает, именно получая такие регулярные выплаты.

Наиболее часто встречаются следующие варианты инвестиционных портфелей: 

• портфель активного роста, в него входят ценные бумаги компаний, которые быстро и активно растут;
• портфель на потенциальный рост — это портфель компаний, которые пока недооценены на рынке. Для формирования такого портфеля нужно оценить финансовое состояние компании и спрогнозировать доходность. Для этого смотрят отчетность компании, разные мультипликаторы;
• портфель минимального риска, его формируют из активов, которые характеризуются минимальными рисками и приносят невысокий, но стабильный доход. Это, к примеру, банковские вклады, ОФЗ, дивидендные облигации;
• всесезонный, или вечный портфель, в который могут входить как низкорисковые активы, так и активы с высоким риском. Управлять доходностью помогает балансировка, как правило, это делают профессиональные управляющие;
• индексный портфель составляется из индексных фондов. ETF и ПИФ позволяют вкладываться не в отдельные бумаги, а сразу в индексы, еще более диверсифицируя инвестиции. К примеру, широкий индекс S&P или NASDAQ. Это могут быть индексы разных стран — так инвестор выбирает, в экономику какого государства он хотел бы вложиться; индексы разных отраслей – к примеру, сырьевой фонд, ИТ-фонд, и др.  

Еще один параметр, который важно учитывать — аллокация, т.е. распределение инструментов в портфеле в зависимости от целей инвестора. Аллокация может и должна периодически меняться вместе с изменением макроэкономической ситуации в мире, монетарной политики крупнейших экономик или страны, в активы которой вы инвестируете и т.д. 

В целом стратегия контроля аллокации активов между финансовыми инструментами (группами инструментов) в портфеле предполагает размещение средств на долгий срок и активное управление портфелем. Простыми словами, это комбинация различных стратегий в одном портфеле, что позволяет инвестору зарабатывать на любом рынке.

В ее основе лежит концепция A, B, C — альфа, бета и купон (Coupon). При аллокации портфель будет состоять из альфа-стратегий, бета-активов и инструментов, приносящих купонный доход. Распределение долей, безусловно, зависит от риск-аппетита инвестора. 

А — доля альфа-стратегий, зарабатывающих вне зависимости от движения рынка, позволит получать некоррелированный с рынком доход.  B — доля бета-активов, куда относятся индексные инструменты (корзина акций, ETF на индекс или на сектор). Бета-активы — это те активы, которые растут тогда, когда рынок растет, и падают, когда рынок падает, то есть их движение можно спрогнозировать по рынку. И наконец, С — это активы с купонным фиксированным доходом.

Как составить портфель начинающему инвестору

Что касается оптимальных пропорций в инвестиционном портфеле, то классическая теория сформулирована следующим образом:

• 50% инвестпортфеля должно приходиться на низкодоходные и низкорискованые инструменты, например, гособлигации или вклады (3-4% доходности);
• 30% распределяется в более рискованные активы, скажем, в развивающиеся экономики, такие как Индонезия, Чили, Вьетнам. Там доходность может быть выше, порядка 6-7%, сюда могут быть также включены бонды крупных международных компаний; 
• 20% рекомендуется отвести на высокорискованные и высокодоходные инструменты, именно эта «боевая» часть портфеля сможет принести вам доходность выше рынка.

Возможна некоторая корректировка в зависимости от возраста и инвестиционных целей инвестора. У молодых и только начинающих свой путь аппетит к риску часто неоправданно высок — 70% инвестиций может приходиться на более рискованные инструменты (акции), 30% — на консервативные (облигации). С возрастом эта пропорция зеркально меняется, и более зрелый инвестор будет вкладывать все меньше в рискованные активы. 

В общем случае начинающему инвестору подойдет комбинированный тип портфеля. Он позволит и получать некий фиксированный доход и, возможно, получить доход на росте стоимости инструментов, входящих в него. Составить его можно из «голубых фишек» (ценных бумаг крупных, надежных компаний) и гособлигаций. Можно вложить в разные сектора экономики для обеспечения диверсификации. 

Еще один вариант — индексные инструменты, благодаря которым вы сможете добиться максимальной диверсификации, вкладываться в экономики разных стран, отрасли, индексы. По доходности вы точно опередите инфляцию. Многие известные инвесторы делают свои портфели публичными, можете посмотреть и сориентироваться на их тактику и стратегию, поучиться на них. 

Получив определенный опыт, вы сможете собрать неплохой портфель самостоятельно, однако рекомендуется все же обращаться к экспертам. Профессиональный управляющий сможет дать советы по стратегии инвестирования и пояснит сложные, но потенциально более интересные по доходности инструменты. Кроме того, с профессионалом можно также обратиться к стратегиям с меняющейся аллокацией, которые дают возможность зарабатывать высокую доходность без привязки к рынку.

Важное правило при формировании инвестиционного портфеля — оглядываться назад только с целью анализа случившегося, а не пускаться в философию «как могло бы быть». Если какие-то ценные бумаги уже очень сильно выросли, то, скорее всего, покупать их уже поздно. И, наоборот, если кажется, что мир летит в тартарары (как, например, в марте 2020 года), самое время присмотреться к неоправданно подешевевшим активам.

Постоянно учитесь и следуйте холодному расчету и здравому смыслу, а не эмоциям, особенно, когда речь идет об инвестициях.

Фото на обложке: dian ardi/shutterstock.com

Если вас не напугал подзаголовок, углубимся в портфельную теорию и разберем, как оптимизировать инвестиционную стратегию.

На фондовом рынке много факторов, влияющих на поведение активов, — как макроэкономических, так и свойственных отдельным секторам и компаниям.

Например, финансовый отчет компании может разочаровать инвесторов — и котировки ее акций рухнут.

Изначально нельзя предугадать все факторы, поэтому рынку свойственна неопределенность и риски. В этой статье рассмотрим, как можно снизить их, при этом не сильно потеряв в доходности.

Алгоритм действий следующий:

1. Отберем оптимальные портфели на основе классического подхода Марковица.
2. Составим матрицу выигрышей на основе критерия эффективности Шарпа.
3. Найдем показатели эффективности по критерию Вальда.
4. Рассчитаем матрицу рисков и определим цену игры по критерию Сэвиджа в чистых стратегиях.
5. Свяжем критерии Вальда и Сэвиджа.
6. Определим приоритетную последовательность инвестиционных портфелей.

Поиск оптимального портфеля

Ключевой способ снизить риски при инвестициях — диверсификация. Ее суть заключается в том, что деньги распределяются между различными классами активов, а также между активами внутри одного класса.

В этом отношении инвестору могут помочь ETF — фонды, которые уже состоят из широкой корзины активов. Например, купив пай фонда FXUS, можно разом вложиться в более чем 500 американских компаний из 11 секторов экономики.

Подобное распределение по многим активам позволяет устранить специфические риски — связанные с конкретной компанией или отраслью. Остается только рыночный риск, который нельзя исключить.

Ведь всегда может произойти природный катаклизм, геополитическое событие или появится новый штамм коронавируса, который приведет к панике на фондовом рынке. В этом случае портфель инвестора, скорее всего, уйдет в просадку. Весь вопрос — насколько сильную.

Таким образом, грамотная диверсификация позволит уравновесить портфель и не даст ему сильно просесть в кризис. Принципы диверсификации заложил в 1952 году Гарри Марковиц, предложив миру современную теорию портфеля.

Современная теория портфеля. Основная ее мысль заключается в том, что на фондовом рынке доходность и риск взаимосвязаны.

При этом доходность актива выражается в так называемом математическом ожидании, а риск — в стандартном отклонении доходности. Стандартное отклонение показывает, насколько доходность актива или портфеля может отличаться от его средней доходности. Чем выше стандартное отклонение, тем сильнее разброс возможных результатов и тем выше риск. Простой пример расчета стандартного отклонения можно найти в статье про всепогодную стратегию.

Что же касается математического ожидания, простыми словами — это средний результат или значение показателя, который можно получить при прочих равных условиях.

Среднюю ожидаемую доходность портфеля мы можем посчитать, умножив вес каждого актива на его доходность.

Например, мы имеем портфель, который состоит из активов А и В в пропорции 50/50. При этом ожидаемая доходность актива А равна 10%, а В — 15%. Таким образом, средняя ожидаемая доходность портфеля: 0,5 × 10 + 0,5 × 15 = 12,5%.

Современная теория портфеля утверждает, что для каждого набора активов существует оптимальная смесь, которая дает лучшую доходность при заданном риске. Такой портфель считается оптимальным. А все множество оптимальных портфелей образуют так называемую эффективную границу. К этому понятию мы вернемся чуть позже — и даже нарисуем, как она выглядит.

Если два актива движутся синхронно, коэффициент корреляции будет ближе к +1. Если в противоположных направлениях — ближе к −1. А если корреляция близка к нулю, значит, взаимосвязи почти нет. То есть при росте или падении одного актива другой может никак себя не проявлять.

Например, корреляция акций и облигаций на рынке США в период с 1950 по 2012 год была 0,11. Это значение ближе к 0, чем к 1, поэтому оба инструмента исторически служат отличным диверсификатором друг для друга. И, например, добавив 10% акций к портфелю из облигаций, зачастую можно не только повысить ожидаемую доходность, но и снизить риск портфеля.

С теорией закончили, теперь перейдем к практике. Возьмем две условные акции и составим для них оптимальный портфель.

ШАГ 1

Поиск оптимального портфеля классическим методом по Марковицу

Возвращаясь к теории Марковица, следует отметить, что она подразумевает некоторые допущения:

1. Финансовый рынок обладает высокой ликвидностью, то есть любой актив можно быстро и в любом объеме реализовать на рынке. В действительности же на рынке далеко не у всех ценных бумаг высокая ликвидность. Например, есть акции третьего эшелона, по которым проходит низкий объем торгов. Тем не менее для голубых фишек предположение справедливо.
2. Не учитываются транзакционные издержки и налоги. На деле же издержки в долгосрочной перспективе могут сильно повлиять на итоговую доходность. Об их оптимизации можно прочитать в статье «4 правила успешного инвестирования».
3. Рынок эффективен — то есть вся возникающая информация немедленно и в полном объеме отражается в стоимости активов. В действительности на рынке существует информационная асимметрия — например, кто-то обладает инсайдерскими данными.

В процессе дальнейшего анализа мы будем исходить из перечисленных допущений.

Для начала скачаем данные котировок с сайта mfd.ru — я взял дневную доходность акций за период с 14.01.2015 по 03.04.2020.

Затем посчитал дневную логарифмическую доходность для каждой акции. Это делается, чтобы сгладить сильные колебания цены в течение каждого дня и сделать данные более симметричными, что улучшает точность расчета.

Описательная статистика. Теперь мы можем посчитать ожидаемую доходность каждой бумаги, то есть среднее значение из всех рассчитанных доходностей за период по ценной бумаге, и ее риск — стандартное отклонение и дисперсию.

Еще нужно определить, как ценные бумаги взаимосвязаны между собой, то есть узнать их корреляцию.

Для этого воспользуемся встроенной функцией КОРРЕЛ в «Экселе»: раздел «Анализ данных» — «Корреляция».

На выбранном временном отрезке корреляция между акциями «Русгидро» и «Лукойл» составляет 0,32. То есть они связаны положительно — при росте цены одной бумаги вторая тоже покажет рост. Но все же корреляция не такая сильная, как, скажем, у «Лукойла» с другой компанией из нефтегазовой отрасли, например «Роснефтью». Ведь это компании со схожей бизнес-моделью, зависящие от тех же факторов, в частности от котировок на нефть.

А при корреляции 0,32 между «Лукойлом» и «Русгидро» диверсификация будет работать неплохо, так что мы сможем снизить уровень риска портфеля.

Поиск самых доходных портфелей. Обратимся к вкладке «Анализ» нашей гугл-таблицы. Соберем различные варианты портфелей из выбранных акций, меняя долю каждой с шагом 10%. То есть портфель № 1 состоит только из акций «Русгидро», портфель № 2 — на 90% из акций «Русгидро» и на 10% из акций «Лукойла» и так далее. Получится 11 портфелей.

Для каждого портфеля рассчитаем его ожидаемую доходность и риск, а именно дисперсию. Для оценки последней задействуем следующую формулу:

Сигма в этом случае обозначает стандартное отклонение ценной бумаги, а тета — удельный вес ценной бумаги в портфеле, r₁₂ — коэффициент корреляции между ценными бумагами в портфеле.

График границы эффективности. По полученным данных построим график, который будет показывать связь риска и доходности каждого портфеля. По оси Y выделяем математическое ожидание, по оси Х — дисперсию портфеля. Ниже представлен получившийся график.

В дальнейшем мы будем использовать только эти оптимальные портфели, а именно № 7, 8, 9, 10, 11.

ШАГ 2

Составляем матрицу выигрышей на основе критерия эффективности Шарпа

Чтобы оценить, какой из пяти полученных портфелей подходит лучше всего, необходимо задать условия неопределенности. Ведь инвестор всегда действует в таких условиях. Например, он не знает, какими будут через год курс доллара и политическая ситуация в стране.

«Условия неопределенности» будем рассматривать на промежутках 2016, 2017, 2018, 2019 годов. А сама неопределенность заключается в том, что мы наверняка не можем знать доходность и риск активов из года в год.

Теперь нам необходимо рассчитать доходность и риск двух ценных бумаг для каждого года, а не за весь период, как делали ранее. Для расчета мы также будем использовать эксель-программу «Описательная статистика» из раздела «Анализ данных». Мы оцениваем данные отдельно за каждый период, чтобы можно было составить матрицу рисков для полноценного использования инструментария теории игр, в частности критериев Вальда и Сэвиджа.

Результаты расчетов представлены на вкладке «Описательные статистики». Там же мы аналогично составим корреляционные матрицы, математическое ожидание и дисперсии для каждого года.

Оценка эффективности. Для оценки эффективности управления портфелем ценных бумаг существует довольно много коэффициентов, но базовые — Шарпа и Трейнора.

Формулы для расчета данных коэффициентов Шарпа и Трейнора следующие:

Числители у коэффициентов одинаковы — разница между доходностью портфеля и доходностью безрискового вложения, то есть реальная доходность от инвестиций. А в знаменателе учитывается риск, который мы на себя приняли.

Эти коэффициенты показывают, сколько пунктов доходности мы получили на единицу риска.

Получившаяся таблица — лишь промежуточные данные, которые понадобятся для дальнейших расчетов, а именно при расчете критериев Вальда и Сэвиджа. О них пойдет речь ниже.

В каждой ячейке таблицы содержатся данные о коэффициенте Шарпа для определенного портфеля в определенном году.

ШАГ 3

Ищем показатели эффективности по критерию Вальда

Синтетический критерий Вальда — Сэвиджа — популярный метод нахождения оптимальных стратегий в теории игр. Он позволяет в полной мере отразить портфельную теорию Марковица, так как связывает выигрыши игрока в условиях неопределенности с его рисками. Рассмотрим критерии Вальда и Сэвиджа более детально.

Критерий Вальда. Определяет оптимальность стратегии с позиции выигрыша. Суть критерия Вальда такой: он обеспечивает максимальный среди минимальных выигрышей. Например, если есть три безрисковых портфеля, мы выберем тот, что имеет наибольшую доходность. Здесь можно провести аналогию с эффективной границей Марковица.

В итоге мы должны получить «гарантированный результат» — тот, на который рассчитывает инвестор независимо от неопределенности на рынке. Поэтому в литературе критерий Вальда также называют принципом гарантированного результата.

Критерию Вальда соответствует столбец Wi в таблице ниже: сначала оцениваем минимальные выигрыши по каждому портфелю, а затем берем максимальный среди этих минимальных. Такое значение помечено синим цветом. Оно соответствует портфелю № 11.

Критерий Сэвиджа. С другой стороны, оптимальной стратегией для инвестора по критерию Сэвиджа будет та, что обеспечит минимальный среди максимальных рисков. Этот критерий еще называют критерием крайнего пессимизма.

Инвестор изначально ориентируется на портфели, которые обеспечивают ему максимальный риск. Таким образом, критерии Вальда и Сэвиджа по своей сути противоположны друг другу.

Критерий Вальда оценивает ситуацию с точки зрения выигрышей инвестора, а критерий Сэвиджа — с точки зрения рисков инвестора. В обоих случаях реализуется концепция Марковица «риск — доходность».

Чтобы воспользоваться критерием Сэвиджа, необходимо рассчитать максимальное значение коэффициента Шарпа для каждого периода. Расчеты представлены в строке Вj таблицы ниже. Это промежуточные данные, которые нам понадобятся на следующем шаге.

ШАГ 4

Считаем матрицу рисков и определяем цену игры по критерию Сэвиджа

Далее необходимо составить матрицу рисков, чтобы мы могли воспользоваться критерием Сэвиджа. Риск в этом случае — отклонение коэффициента Шарпа от своего максимального значения за рассматриваемый период. Другими словами, это риск недополучения доходности.

В итоге по критерию Сэвиджа мы выбираем минимальный риск среди максимальных. Это значение соответствует портфелю № 10.

ШАГ 5

Связать критерии Вальда и Сэвиджа

Теперь нам нужно связать критерии Вальда и Сэвиджа и, соответственно, полученные данные. Линейная комбинация двух критериев позволяет оценить инвестиционный портфель с точки зрения модели «риск — доходность».

Введем уравнение, связывающее два этих показателя. В качестве коэффициента возьмем r, которое задается инвестором и отражает степень его подверженности риску.

В формуле W_i — показатель эффективности стратегии A_i по критерию Вальда; S_i — показатель эффективности стратегии A_i по критерию Сэвиджа, i ∈ I.

Рассчитаем показатели эффективности по указанной выше формуле.

Чтобы понять, пересекаются портфели или нет, необходимо смотреть на пограничные значения при r = 0 и r = 1. Если в каком-то портфеле при r = 0 значения выше, чем у другого, а при r = 1, наоборот, ниже — это значит, что портфели пересекаются.

В нашем случае такая ситуация наблюдается только между портфелями № 10 и 11. При r = 0 значение № 11 меньше значения № 10, а при r = 1 значение № 11 больше значения № 10.

ШАГ 6

Определяем приоритетную последовательность инвестиционных портфелей

Найдем точку пересечения портфелей и проранжируем их. На картинке ниже видно, что портфели № 10 и 11 пересекаются ориентировочно при r = 0,41.

Как видно из результатов ранжирования, степень привлекательности портфеля зависит от значения r — степени подверженности к риску.

Условно можно выделить три типа инвесторов:

1. 0 < r < 0,25 — консервативные инвесторы.
2. 0,25 < r < 0,6 — умеренно-агрессивные инвесторы.
3. 0,6 < r < 1 — агрессивные инвесторы.

В нашем случае, если инвестор консервативен или в небольшой степени разбавляет портфель волатильными бумагами, то есть его склонность к риску от 0 до 0,41, ему следует выбрать портфель № 10: 10% акций «Русгидро» и 90% акций «Лукойла».

Если подверженность инвестора к риску умеренная или агрессивная, то предпочтительнее портфель № 11, состоящий исключительно из акций «Лукойла».

Запомнить

1. Диверсификация портфеля — ключевая методика, которая позволяет сгладить волатильность портфеля и практически полностью устраняет специфические риски, связанные с конкретными эмитентами.
2. Для диверсификации лучше всего подходят активы, которые слабо или отрицательно коррелируют между собой. Например, исторически неплохим диверсификатором для американских акций выступают казначейские облигации и золото.
3. Коэффициенты Шарпа и Трейнора показывают эффективность портфеля — какую доходность дает портфель на единицу риска.
4. Синтетический критерий Вальда — Сэвиджа позволяет связать два ключевых параметра на финансовом рынке: риск и доходность.
5. Суть критерия Вальда — обеспечение максимального среди минимальных выигрышей.
6. По критерию Сэвиджа оптимальной стратегией для инвестора будет та, что обеспечивает минимальный среди максимальных рисков. Это критерий крайнего пессимизма.
7. С помощью критерия Вальда — Сэвиджа мы определяем приоритетную последовательность портфелей для определенного типажа инвестора, в зависимости от его склонности к риску.