Как найти порядок фактор группы - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Пусть Н
произвольный нормальный делитель группы
G. Т.к. каждый левый
смежный класс gH группы
G по нормальному
делителю Н является одновременно
правым смежным классом Hg
и наоборот, то будем дальше говорить
просто о смежных классах G
по Н. Смежный класс gH,
порожденный элементом g,
будем обозначать

.
Приходя из принятия произведения
подмножеств группы, определим в множестве
смежных классов группы G
по нормальному делителю Н операцию
умножения.

Пусть

–
два произвольных смежных класса.
Рассмотрим произведение

этих смежных классов как подмножество
группы G
. Т.к. умножение подмножеств ассоциативно
и НН=Н,
то

,
т.е.

(3)

Следовательно,
произведением двух смежных классов G
по Н как подмножество группы G
является смежным классом G
по Н. Этим во множестве смежных
классов группы G по
нормальному делителю Н определена
операция умножения.

Равенство (3)
показывает, что для нахождения
произведения двух смежных классов G
по Н надо в каждом из этих смежных
классов выбрать по одному представителю
и потом взять тот смежный класс, к
которому принадлежит произведение
выбранных представителей.

Теорема
3. Множество
смежных классов группы G
по нормальному делителю Н
с определенной
в нем операцией умножения является
группой. Она называется фактор – группой
группы G
нормальному
делителю Н
и обозначается G/H.

□ Действительно,
операция умножения смежных классов
ассоциативна – это вытекает из
ассоциативности умножения подмножеств
группы. Смежный класс

играет роль единичного элемента: для
произвольного смежного класса

справедливы равенства

т.е.

.

Для
каждого смежного класса

существует
обратный смежный класс:

Аналогично,

■

Пример
1. Пусть G
– аддитивная группа целых чисел

,
Н_k={k}
– подгруппа целых чисел, кратных целому
числу k.

Фактор
– группа n-й
степени фактор – группа G/H_k
состоит смежных классов:

Пример
2. Пусть S_n–
симметрическая группа n
–й степени, А_n
знакопеременная группа n
–й степени. Фактор — группа S_n/A_n
состоит из двух смежных классов:
множества четных подстановок A_n
и множество нечетных подстановок B_n.

Пример
3. Пусть

– группа невырожденных матриц над полем
R,

– подгруппа матриц, определитель каждой
из которых равен 1. Фактор – группа R_n/H_n
состоит из смежных классов, каждый из
которых содержит все матрицы, определители
которых равны данному числу а.

Рассмотрим несколько
утверждений о простейших свойствах
фактор – групп.

Терема
4. Каждая
фактор – группа G/H
абелевой группы G
также абелева.

□ Так
как

■

Теорема
5. Каждая
фактор – группа G/H
циклической группы также циклическая
группа.

□ Пусть
G
– циклическая группа, порожденная
элементом G
=(g),
H
некоторая подгруппа группы G
и aH
произвольно выбранный элемент фактор
– группы G/H
. Тогда существует целое число m
такое, что a=g^m
и поэтому

Значит

.■

Теорема
6. Порядок
произведения фактор – группы G/H
конечной группы G
является делителем порядка этой группы.

□ Действительно,
порядок S
фактор – группы G/H
равен индексу нормального делителя Н
в группе G
и поэтому по равенству n=ks,
доказанному ранее, является делителем
порядка группы G.■

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Я не знаю, что здесь: то ли ошибка в условии, то ли это так специально написано. Первое соотношение следует из второго, то есть оно лишнее. Последнюю цепочку равенств можно записать как a^2=b^2=(ab)^2=1. Вторая странность состоит в том, что a^2 — единичный элемент группы G, по условию. Поэтому H — единичная подгруппа, и G/H изоморфна G. То есть надо найти порядок группы G, заданной образующими a,b и определяющими соотношениями a^2=b^2=(ab)^2=1.

Будем исходить из такого условия. Тогда b^{-1}=b, a^{-1}=a, и обратные буквы можно заменить в любом слове. Также можно считать, что нет подслов aa и bb, так как они эквивалентны пустым. Значит, буквы a, b чередуются. Далее, ba ~ b^{-1}a^{-1} = (ab)^{-1} ~ ab ввиду (ab)^2=1. Значит, подслово ba можно заменять на ab (то есть группа абелева).

Из сказанного следует, что каждое слово эквивалентно одному из слов списка: 1, a, b, ab. Указанные слова между собой не эквивалентны, так как при каждом преобразовании у нас не меняется чётность числа вхождений букв a (в степени +1 или -1), и аналогично для b.

Итого здесь 4 класса эквивалентности, и группа G изоморфна прямому произведению двух циклических групп порядка 2.

Источник

Материал из Викиконспекты

Перейти к: навигация, поиск

Факторгруппа

Рассмотрим группу и ее нормальную подгруппу . Пусть — множество смежных классов по . Определим в групповую операцию по следующему правилу.

Определение:

Произведением смежностных классов и назовем смежностный класс .

Утверждение:

Определение произведения смежных классов корректно. То есть произведение смежных классов не зависит от выбранных представителей и .

Пусть . Докажем, что . Достаточно показать, что .

В самом деле, . Элемент лежит в по свойству нормальности . Следовательно, .

Определение:

Таким образом, множество смежных классов с введенной на нем операцией произведения образует группу, которая называется факторгруппой по . Нейтральным элементом является , обратным к — .

Примеры

Рассмотрим и её нормальную подгруппу , тогда (группы вычетов по модулю ) будет являться факторгруппой G по H.
Рассмотрим группу невырожденных матриц . Отображение является гомоморфизмом . Ядро — группа матриц с единичным определителем . Поэтому является нормальной подгруппой в и факторгруппа .

Утверждение:

В группе перестановок из трех элементов и ее не нормальной подгруппе перестановок из двух элементов не затрагивающих третий элемент, не будет являться группой.

Рассмотрим группу (перестановки трех элементов) и ее не нормальную подгруппу (перестановки не затрагивающие третий элемент). Рассмотрим множество перестановок :

класс и ,

класс и .

Это смежные классы для . Теперь рассмотрим произведения:

Противоречие. То есть согласованного с группой умножения нет. не является группой.

Источник

Фактор-группой группы С по нормальному делителю Я называется группа всех смежных классов этой группы С по подгруппе Я.

Таким образом, с группой О можно связать некоторый набор новых групп — ее фактор-групп по различным нормальным делителям.

Отметим, что фактор-группа абелевой группы является абелевой; факторгруппа циклической группы — циклической группой.

Примеры фактор-групп.

1. Пусть С — аддитивная группа целых чисел, Я — подгруппа чисел, делящихся на 3. Найдем фактор группу С/Я. Групповой операцией в данном случае является сложение. Число смежных классов равно трем (см. пример в п. 12.7): множество чисел, делящихся на 3, два множества чисел, дающих при делении на 3 соответственно остатки 1 и 2. Обозначим эти смежные классы [0], [1], [2]. В этом множестве введем операцию сложения следующим образом: сложив соответствующие числа в квадратных скобках, определим, какой остаток при делении на 3 дает их сумма, и будем считать суммой смежных классов тот, которому принадлежит полученный остаток. Таблица умножения для фактор-группы имеет вид [0]+[0] = [1]+[2] = [2]+[1] = [0], [0]+[1] = [1]+[0] = [2]+[2] = [1], [0]+[2] = [2]+[0] = [1]+[1 ]= [2]. Отсюда видно, что фактор-группа абелева. Кроме того, все смежные классы порождаются классом [1], они совпадают со степенями этого класса: [1], Р]+П]=[2], [1]+[1]+[1] = [0]. Поскольку фактор-группа порождена одним элементом, то она циклическая.

2. Пусть— аддитивная группа целых чисел,— подгруппа целых чисел, кратных натуральному числуФактор-группойЯвляется конечная

Группа порядкаСостоящая из классовЭта фактор

Группа циклическая, как и сама группа

3. Пусть— мультипликативная группа всех невырожденных матриц порядка— подгруппа матриц с определителем, равным единице. Фактор-группаИзоморфна мультипликативной группе отличных от нуля действительных чисел.

< Предыдущая		Следующая >

Источник

As $|D_6|=12$ and $|H|=2$, the quotient group $D_6/H$ will have order $12/2=6$.

The group $D_6$ may be written out $${1,x,x^2,x^3,x^4,x^5, y,yx,yx^2,yx^3,yx^4,yx^5}$$
where $x,yin D_6$ represent a rotation of $mathbb{R}^2$ through $60^circ$ and a reflection of $mathbb{R}^2$, about a line through the origin.

The group is characterised by the identities, $x^6=y^2=1, yxy^{-1}=x^{-1}$. To see this just note that the product of any two elements in the list may be reduced to another element in the list using just these identities.

To describe the quotient group, we only need to add the relation that $x^3=1$ (as $H={1,x^3}$). However we may now throw away the relation that $x^6=1$ as it is implied by $x^3=1$. That is in $D_6/H$ we have $$x^3=1, y^2=1, yxy^{-1}=x^{-1}.$$

Our elements are now:
$$D_6/H={1,x,x^2, y,yx,yx^2}$$
Note these must be distinct as we must have $6$ elements. Given the relations these elements satisfy, we may recognise this group as $D_3$.

Источник