Как найти порядок касания

Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения

1.Понятие кривизны и ее вычисление.

Рассмотрим концентрические
окружности. Будем определять кривизну
окружности радиуса Rкак величину k=1/R.
Центром кривизны назовем центр окружности,
а ее радиус – радиусом кривизны. Обобщим
эти понятия на произвольную гладкую
кривую. Рассмотрим гладкую кривую с
параметризацией x(t),y(t),для
краткости будем использовать обозначения:

x₀=x(t₀),x=x(t),y₀=y(t₀),y=y(t),u₀=x(t₀),u=x(t),v₀=y(t₀),v=y(t).

В процессе рассмотрения
t₀будет
фиксирована, а t
будет рассматриваться, как текущая
точка. Составим уравнения нормалей в
точках (x₀,y₀),
(x,y).

..

Найдем точку пересечения этих прямых.

или

Умножим первое
уравнение на u,
а второе на –vи
сложим.

(uv₀ -vu₀)p=u(x₀-x)
+v(y₀–y)откуда

.

Далее перейдем к
пределу при tt₀(uu₀,vv₀).Получим

.

Подставляя найденной значение параметра
для предельной точки пересечения
нормалей, получим координаты предельной
точки

,

.

Полученная таким образом точка называется
центром кривизны кривой в заданной
точке, а расстояние от этой точки до
центра кривизны называется радиусом
кривизны.

.
Величина обратная радиусу кривизны
называется кривизной

.

Окружность с центром
в (X₀,Y₀)и радиуса R₀называется
соприкасающейся окружностью.

2.Выражение центра и радиуса кривизны для явно заданной кривой.

Рассмотрим кривую , заданную в виде y=f(x),x[a,b].В качестве
параметризации выберем x=t,y=f(t),t[a,b].Тогда

,
,.

3.Порядок соприкосновения кривых.

Пусть ₁,₂представлены
функциями y=f₁(x),y=f₂(x)и пересекаются
в точке (x₀,y₀).Кривые
₁,₂имеют порядок
соприкосновения nв точке (x₀,y₀),если

,
для всех k=0,1,…,n,и
.

Достаточными условиями
для того, чтобы кривые имели порядок
касания nявляются
следующие условия:

Функции n+1непрерывно
дифференцируемы в окрестности точки
x₀и

,
k=0,…,n,
.

Для доказательства
обозначим f(x)=f₂(x)
-f₁(x).Тогда в окрестности
точки x₀имеет
место разложение по формуле Тейлора с
остатком в форме Лагранжа

,
тогда

,
k=0,1,…,n+1.

Таким образом, будут выполнены условия
из определения порядка касания.

Ответ.

80

Конспект лекций
Логинов А.С. ЭТФ 1 семестр loginov_1999@mail.ru

Соседние файлы в папке ma

• #
• #
• #
• #
• #
• #

Касание

Соприкасающиеся плоскости и окружности

Говорят, что кривые (y = fleft( x right)) и (y = gleft( x right)) имеют в точке (left( <,> right)) касание (n)-го порядка , если выполняются следующие условия: [ > right) = gleft( <> right),>;; > right) = g’left( <> right),>;; > right) = g»left( <> right),;ldots,;> <>left( <> right) = >left( <> right),>;; <right)>>left( <> right) ne right)>>left( <> right).> ] В частности, если (n = 1,) то кривые (y = fleft( x right)) и (y = gleft( x right)) имеют общую касательную .

Случай (n = 0) означает, что кривые имеют общую точку (left( <,> right):) (fleft( <> right) = gleft( <> right),) но их первые производные при этом не совпадают: (f’left( <> right) ne g’left( <> right).) В этом случае кривые просто пересекаются в точке (.)

Можно рассмотреть разность функций (varphi left( x right) = gleft( x right) — fleft( x right)) в окрестности точки () и разложить ее в ряд Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Если кривые (gleft( x right)) и (fleft( x right)) имеют порядок касания (n,) то первые (n) членов ряда равны нулю и разность (varphi left( x right)) представляется в виде [ <varphi left( x right) = frac<<<varphi ^<left( right)>>left( <> right) + alpha >> <<left( right)!>><left( > right)^> > = <frac<<right)>>left( <> right) — right)>>left( <> right) + alpha >> <<left( right)!>><left( > right)^>,> ] т.е. пропорциональна (<left( > right)^>.) Следовательно, при четном значении (n) разность (varphi left( x right)) имеет разные знаки слева и справа от точки касания (,) т.е. в этом случае кривые пересекаются в точке (.) Частный случай (n = 0) рассмотрен выше.

При нечетном (n) кривые (y = fleft( x right)) и (y = gleft( x right)) касаются друг друга в точке () без взаимного пересечения.

Рассмотрим следующую задачу. Дано уравнение кривой (y = fleft( x right)) и семейство кривых [Gleft( right) = 0] с (n + 1) параметрами (.) Требуется, изменяя значения параметров, выбрать из данного семейства такую кривую, которая с кривой (y = fleft( x right)) в точке (left( <,> right)) имела бы наивысший возможный порядок касания. Такая кривая будет называться соприкасающейся кривой .

Введем обозначение [Phi left( right) = Gleft( right).] Условия касания записываются в виде: [left< begin Phi left( <,a,b, ldots ,ell> right) = 0\ <Phi’_x>left( <,a,b, ldots ,ell> right) = 0\ <Phi»_>left( <,a,b, ldots ,ell> right) = 0\ cdots cdots cdots cdots cdots cdots cdots \ Phi _<>^<left( n right)>left( <,a,b, ldots ,ell> right) = 0 end right..] В результате мы получаем систему из (n + 1) уравнений с (n + 1) неизвестными значениями параметров. Решая эту систему, находим параметры () и уравнение соприкасающейся кривой. Обычно ее порядок касания будет не ниже, чем (n) (в случае (n + 1) параметров). Таким образом, порядок касания соприкасающейся кривой, как правило, на единицу меньше числа параметров.

Выведем уравнение соприкасающейся окружности. Пусть задана функция (y = fleft( x right),) которая является по меньшей мере дважды дифференцируемой. Семейство окружностей описывается уравнением [ <left( right)^2> + <left( right)^2> = .] Как видно, здесь мы имеем дело с тремя параметрами − координатами центра окружности (a, b) и ее радиусом (R.) Ясно, что в данном случае максимально возможный порядок касания равен (2.)

Будем считать, что парабола задана уравнением (y = gleft( x right) = a + bx + c.) Данная функция содержит (3) параметра. Поэтому можно предположить, что порядок касания кривых равен (2.) Тогда коэффициенты (a, b, c) находятся из следующих условий: [left< begin fleft( <> right) = gleft( <> right)\ f’left( <> right) = g’left( <> right)\ f»left( <> right) = g»left( <> right) end right..] Производные функций (fleft( x right) = ) и (gleft( x right) = a + bx + c) выражаются формулами [ > right)^prime > = ,>;;; > right)^prime > = ;> ] [ + bx + c> right)^prime > = 2ax + b,>;;; right)^prime > = 2a.> ] Тогда система уравнений принимает такой вид: [left< begin >> = ax_0^2 + b + c\ >> = 2a + b\ >> = 2a end right..] Подставляя ( = 0,) получаем: [ left< begin c = 1\ b = 1\ 2a = 1 end right. ;;text<или>;; left< begin a = frac<1><2>\ b = 1\ c = 1 end right.. ] Итак, парабола, соприкасающаяся с экспоненциальной функцией в точке ( = 0,) имеет второй порядок касания и определяется формулой [y = frac<<>> <2>+ x + 1.] Если записать ее уравнение в виде [ >> <2>+ x + 1 > = <frac<1><2>left( <+ 2x> right) + 1 > = <frac<1><2>left( <+ 2x + 1 — 1> right) + 1 > = <frac<1><2> <left( right)^2> + frac<1><2>,> ] то видно, что вершина параболы находится в точке (left( < — 1,largefrac<1><2>normalsize> right).) Схематически обе соприкасающиеся кривые показаны на рисунке (2.)

Полагая, что семейство парабол является трехпараметрическим, т.е. описывается уравнением [y = a + bx + c] с тремя параметрами (a, b) и (c,) введем функцию [Phi left( right) = a + bx + c — fleft( x right)] и запишем условие касания в точке () в виде [left< begin Phi left( <,a,b,c> right) = 0\ <Phi ‘_x>left( <,a,b,c> right) = 0\ <Phi »_>left( <,a,b,c> right) = 0 end right..] В нашем случае (fleft( x right) = cos x.) Следовательно, [ right)^prime > = — sin x,>;;; right)^prime > = — cos x.> ] В результате имеем следующую систему для определения коэффициентов (a, b, c:) [left< begin ax_0^2 + b + c — cos = 0\ 2a + b + sin = 0\ 2a + cos = 0 end right..] Подставляя ( = 0,) получаем: [left< begin c — 1 = 0\ b = 0\ 2a + 1 = 0 end right.,;; Rightarrow left< begin a = — frac<1><2>\ b = 0\ c = 1 end right..] Таким образом, парабола, соприкасающаяся с функцией косинус в точке ( = 0,) описывается уравнением [y = — frac<<>> <2>+ 1.] Как видно, это уравнение соответствует первым двум членам разложения косинуса в ряд Маклорена .

Здесь мы имеем дело с семейством функций, содержащих (4) параметра. Следовательно, наивысший возможный порядок касания кривых равен (3.) Для определения коэфициентов (a, b, c) и (d) запишем следующие условия касания: [left< begin fleft( <> right) = gleft( <> right)\ f’left( <> right) = g’left( <> right)\ f»left( <> right) = g»left( <> right)\ f»’left( <> right) = g»’left( <> right) end right..] Производные кубической функции имеют такой вид: [g’left( x right) = <left( + b + cx + d> right)^prime > = 3a + 2bx + c,] [g»left( x right) = <left( <3a+ 2bx + c> right)^prime > = 6ax + 2b,] [g»’left( x right) = <left( <6ax + 2b>right)^prime > = 6a.] Вычислим производные тангенса: [f’left( x right) = <left( <tan x>right)^prime > = frac<1><<<<cos >^2>x>>,] [ <<<<cos >^2>x>>> right)^prime > > = <<left[ <<<left( <cos x>right)>^< — 2>>> right]^prime > > = < — 2<left( <cos x>right)^< — 3>> cdot left( < — sin x>right) > = <frac<<2sin x>><<<<cos >^3>x>>,> ] [ ><<<<cos >^3>x>>> right)^prime > > = <frac<<<<left( <2sin x>right)>^prime ><<cos >^3>x — 2sin x<<left( <<<cos >^3>x> right)>^prime >>><<<<cos >^6>x>> > = <frac<<2,cos x,<<cos >^3>x — 2sin x cdot 3,<<cos >^2>x cdot left( < — sin x>right)>><<<<cos >^6>x>> > = <frac<<2,<<cos >^3>x + 6,<<sin >^2>x,<<cos >^2>x>><<<<cos >^6>x>> > = <frac<<<<cos >^2>xleft( <2,<<cos >^2>x + 2,<<sin >^2>x + 4,<<sin >^2>x> right)>><<<<cos >^6>x>> > = <frac<<2 + 4,<<sin >^2>x>><<<<cos >^4>x>>.> ] Тогда система уравнений принимает вид: [left< begin tan = ax_0^3 + bx_0^2 + c + d\ frac<1><<<<cos >^2>>> = 3ax_0^2 + 2b + c\ frac<<2sin >><<<<cos >^3>>> = 6a + 2b\ frac<<2 + 4<<sin >^2>>><<<<cos >^4>>> = 6a end right..] Подставляя значение ( = 0,) получаем: [left< begin d = 0\ c = 1\ 2b = 0\ 6a = 2 end right.,;; Rightarrow left< begin a = frac<1><3>\ b = 0\ c = 1\ d = 0 end right..] Таким образом, соприкасающаяся кубическая функция записывается как [y = frac<<>> <3>+ x.] Данная кривая имеет третий порядок касания с кривой тангенса в начале координат.

Заметим, что найденная кубическая функция представляет собой разложение тангенса в ряд Маклорена до третьего порядка.

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Касательная, нормальная плоскость, соприкасающаяся плоскость, бинормаль, главная нормаль, репер Френе

Краткие теоретические сведения

Кривая в пространстве

Рассмотрим в пространстве гладкую кривую $gamma$.

Пусть точка $M$ принадлежит данной кривой и отвечает значению параметра $t=t_0$. Тогда радиус-вектор и координаты данной точки равны:

begin vec=vec(t_0), quad x_0=x(t_0),, y_0=y(t_0), , z_0=z(t_0). end

Пусть в точке $M$ $ vec(t_0)neqvec<0>$, то есть $M$ не является особой точкой.

Касательная к кривой

Касательная к кривой, проведенная в точке $M$, имеет направляющий вектор коллинеарный вектору $vec(t_0)$.

Пусть $vec$ — радиус-вектор произвольной точки касательной, тогда уравнение этой касательной имеет вид

Здесь $lambdain(-infty,+infty)$ — параметр, определяющий положение точки на касательной (то есть разным значениям $lambda$ будут соответствовать разные значения $vec$).

Если $vec=$, $M = (x(t_0), y(t_0), z(t_0))$, то можно записать уравнение касательной в каноническом виде:

Нормальная плоскость

Плоскость, проходящую через данную точку $M$ кривой $gamma$ перпендикулярно касательной в этой точке, называют нормальной плоскостью.

Пусть $vec$ — радиус-вектор произвольной точки нормальной плоскости, тогда ее уравнение можно записать в векторном виде через скалярное произведение векторов $vec-vec(t_0)$ и $vec(t_0)$:

Если расписать покоординатно, то получим следующее уравнение:

begin x'(t_0)cdot(X-x(t_0))+y'(t_0)cdot(Y-y(t_0))+z'(t_0)cdot(Z-z(t_0))=0. end

Соприкасающаяся плоскость

Плоскость, проходящую через заданную точку $M$ кривой $gamma$ параллельно векторам $vec(t_0)$, $vec(t_0)$, когда они неколлинеарны, называют соприкасающейся плоскостью кривой.

Если $vec$ — радиус-вектор произвольной точки соприкасающейся плоскости, то ее уравнение можно записать через смешанной произведение трех компланарных векторов $vec-vec(t_0)$, $vec(t_0)$, $vec(t_0)$:

Зная координаты точки и векторов, определяющих плоскость, запишем смешанное произведение через определитель. Получим следующее уравнение соприкасающейся плоскости:

begin left| begin X-x(t_0) & Y-y(t_0) & Z-z(t_0) \ x'(t_0) & y'(t_0) & z'(t_0)\ x»(t_0) & y»(t_0) & z»(t_0) \ end right|=0 end

Бинормаль и главная нормаль

Прямая, проходящая через точку $M$ кривой $gamma$ перпендикулярно касательной к кривой в этой точке, называется нормалью.

Таких кривых можно провести бесконечно много, все они образуют нормальную плоскость. Мы выделим среди нормалей две — бинормаль и главную нормаль.

Нормаль, перпендикулярную соприкасающейся плоскости, называют бинормалью.

Нормаль, лежащую в соприкасающейся плоскости, называют главной нормалью.

Из определения бинормали (перпендикулярна касательной и перпендикулярна соприкасающейся плоскости) следует, что в качестве ее направляющего вектора мы можем взять векторное произведение $ vec(t_0)timesvec(t_0)$, тогда ее уравнение можно записать в виде:

Как и раньше, $vec$ — радиус-вектор произвольной точки бинормали. Каноническое уравнение прямой:

Из определения главной нормали (перпендикулярна касательной и перпендикулярна бинормали) следует, что в качестве ее направляющего вектора можно взять векторное произведение $vec(t_0) timesleft[vec(t_0),vec(t_0)right]$:

Уравнение в каноническом виде распишите самостоятельно.

Спрямляющая плоскость

Плоскость, проходящую через заданную точку $M$ кривой $gamma$ перпендикулярно главной нормали, называют спрямляющей плоскостью.

Другое определение: Плоскость, определяемую касательной к кривой и бинормалью в той же точке, называют спрямляющей плоскостью.

Второе определение позволяет записать уравнение спрямляющей плоскости через смешанное произведение трех компланарных векторов, определяющих эту плоскость $vec-vec(t_0)$, $vec(t_0)$, $vec(t_0)timesvec(t_0)$: begin left(vec-vec(t_0),, vec(t_0),, vec(t_0)timesvec(t_0)right)=0. end Зная координаты соответствующих векторов, можно легко записать это смешанное произведение через определитель, раскрыв который, вы получите общее уравнение спрямляющей плоскости.

Репер Френе

Орт (то есть единичный вектор) касательной обозначим: $$ vec<tau>=frac<vec(t_0)><|vec(t_0)|>. $$ Орт бинормали: $$ vec<beta>=frac<vec(t_0)timesvec(t_0)><|vec(t_0)timesvec(t_0)|>. $$ Орт главной нормали: $$ vec<nu>=frac<vec(t_0) times[vec(t_0),,vec(t_0)]><|vec(t_0) times [vec(t_0),,vec(t_0)]|>. $$

Правая тройка векторов $vec<tau>$, $vec<nu>$, $vec<beta>$ называется репером Френе.

Решение задач

Задача 1

Кривая $gamma$ задана параметрически:

Точка $M$, принадлежащая кривой, соответствует значению параметра $t=0$. Записать уравнения касательной, бинормали, главной нормали, нормальной плоскости, соприкасающейся плоскости и спрямляющей плоскости, проведенных к данной кривой в точке $M$. Записать векторы репера Френе.

Решение задачи 1

Задачу можно решать разными способами, точнее в разном порядке находить уравнения прямых и плоскостей.

Начнем с производных.

begin 1cdot X+0cdot Y+1cdot (Z-1)=0,, Rightarrow ,, X+Z=1. end

begin left| begin X-0 & Y-0 & Z-1 \ 1 & 0 & 1\ 0 & 2 & 1 \ end right|=0 end Раскрываем определитель, получаем уравнение: begin -2X-Y+2Z-2=0 end

begin 1cdot X-4cdot Y-1cdot (Z-1)=0,, Rightarrow ,, X-4Y-Z+1=0. end

Поскольку направляющий вектор главной нормали у нас был найден как векторное произведение направляющих векторов касательной и бинормали, тройка $vec<tau>$, $vec<nu>$, $vec<beta>$ не будет правой (по определению векторного произведения вектор $vec<tau>timesvec<beta>$ направлен так, что тройка векторов $vec<tau>$, $vec<beta>$, $vec<nu>=vec<tau>timesvec<beta>$

— правая). Изменим направление одного из векторов. Например, пусть

Теперь тройка $vec<tau>$, $vec<nu>$, $vec<tilde<beta>>$ образует репер Френе для кривой $gamma$ в точке $M$.

Задача 2

Написать уравнение соприкасающейся плоскости к кривой $$ x=t,,, y=frac<2>,,, z=frac<3>, $$ проходящей через точку $N(0,0,9)$.

Решение задачи 2

Нетрудно заметить, что точка $N$ не принадлежит заданной кривой $gamma$. Следовательно соприкасающаяся плоскость проведена в какой-то точке $M(t=t_0)ingamma$, но при этом плоскость проходит через заданную точку $N(0,0,9)$.

Найдем значение параметра $t_0$.

Для этого запишем уравнение соприкасающейся плоскости, проведенной в произвольной точке $M(t=t_0)$. И учтем, что координаты $N$ должны удовлетворять полученному уравнению.

Соприкасающаяся плоскость определяется векторами $vec(t_0)$, $vec(t_0)$, поэтому записываем определитель begin left| begin X-t_0 & Y-t_0^2/2 & Z-t_0^3/3 \ &&\ 1 & t_0 & t^2_0 \ &&\ 0 & 1 & 2t_0 end right|=0 quad Rightarrow end

begin (X-t_0)cdot t_0^2 — (Y-t_0^2/2)cdot 2t_0 + (Z-t_0^3/3)=0. end Подставляем вместо $X$, $Y$, $Z$ координаты точки $N$: $X=0$, $Y=0$, $Z=9$, упрощаем и получаем уравнение относительно $t_0$: begin 9-t_0^3/3=0 quad Rightarrow quad t_0=3. end Подставив найденное $t_0$ в записанное ранее уравнение, запишем искомое уравнение соприкасающейся плоскости: $$ 9X-6Y+Z-9=0. $$

Задача 3

Через точку $Pleft(-frac45,1,2right)$ провести плоскость, являющуюся спрямляющей для кривой: $$ x=t^2,,, y=1+t,,, z=2t. $$

Решение задачи 3

Как и в предыдущей задаче нам неизвестны координаты точки, в которой проведена спрямляющая плоскость к заданной кривой. Найдем их.

Спрямляющая плоскость определяется касательной и бинормалью, то есть векторами $vec(t_0)$ и $vec(t_0)timesvec(t_0)$.

Записываем уравнение спрямляющей плоскости: begin left| begin X-t_0^2 & Y-1-t_0 & Z-2t_0 \ 2t_0 & 1 & 2\ 0 & 4 & -2 end right|= 0 end

Раскрываем определитель. Подставляем в уравнение координаты точки $P$: $X=-4/5$, $Y=1$, $Z=2$. Упрощаем и получаем уравнение для нахождения $t_0$: begin 5t_0^2-8t_0-4=0 ,, Rightarrow ,, t_<01>=2,, t_<02>=-frac25. end

Уравнения соприкасающихся плоскостей к заданной кривой, проходящих через $P$, принимают вид: begin & 5X-4Y-8Z+24=0,\ & 25X+4Y+8Z=0. end

Соприкасающаяся плоскость

Плоскость, проходящую через касательную и главную нормаль в данной точке кривой, называют соприкасающейся плоскостью.

Отсюда и из определения главной нормали следует, что соприкасающаяся плоскость определена для точек кривой, в которых кривизна (kneq 0).

Если гладкая кривая (Gamma=<textbf=textbf(t),;alphaleq tleqbeta>) дважды дифференцируема и ее кривизна в точке (M_<0>=M(t_<0>)) не равна нулю, то уравнение соприкасающейся плоскости (Q) в точке (M_<0>) имеет вид
$$
(r-r(t_0),r'(t_0),r″(t_0))=0.label
$$

(circ) Если (s=s(t)) — переменная длина дуги кривой (Gamma), то дифференцируя (r(t)) как сложную функцию и используя эту и эту формулы, получаем
$$
textbf_’=textbf_’s_’=s_’tau,quad textbf_″=frac

(s_’tau)=s_″tau+s_’tau_’s_’=s_″tau+(s_’)^<2>knu,nonumber
$$
где индексы указывают, по каким переменным производится дифференцирование. Отсюда следует, что векторы (textbf_’) и (textbf_″) параллельны плоскости (Q). По условию (kneq 0), и поэтому ([textbf_’,textbf_″]neq 0). Следовательно, векторы (textbf_’) и (textbf_″) не коллинеарны.

Рис. 22.8

Так как векторы (textbf-textbf(t_<0>), textbf'(t_<0>)=textbf_'(t_<0>), textbf″(t_0)=textbf_″(t_<0>)) параллельны плоскости (Q) (рис. 22.8), то их смешанное произведение равно нулю, то есть во всех точках плоскости (Q) (и только в этих точках) должно выполняться условие eqref. (bullet)

Запишем уравнение eqref в координатной форме:
$$
beginx-x(t_0)&y-y(t_0)&z-z(t_0)\x'(t_0)&y'(t_0)&z'(t_0)\x″(t_0)&y″(t_0)&z″(t_0)end=0nonumber
$$

источники:

http://vmath.ru/vf5/diffgeom/seminar1

http://univerlib.com/mathematical_analysis/derivative/osculating_plane/

Тогда получатся тождества относительноxm+1 , …, xn :F1 (ϕ1 , …, ϕm , xm+1 , …, xn ) = 0, …, Fm (ϕ1 , …, ϕm , xm+1 , …, xn ) = 0.4. Условный экстремум93Дифференцируя эти тождества в точке M0 и используя инвариантность формы первого дифференциала, приходим к равенствам⎧∂F∂F11⎪(M)dϕ+…+(M)dϕ +⎪m100⎪∂x∂x⎪1mMM0⎪0⎪⎪∂F1∂F1⎪⎪(M)dx+…+(M0 ) dxn = 0,+⎪m+10⎨∂x1∂xn. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .⎪∂Fm∂Fm⎪⎪⎪(M(M)dϕ+…+)dϕ +m100⎪⎪∂x∂x1mMM0⎪0⎪⎪∂F∂F⎪⎩+ m (M0 ) dxm+1 + … + m (M0 ) dxn = 0.∂x1(10.52)∂xnЭти равенства представляют собой системуурав m линейныхнений относительно дифференциалов dϕ1 M , …, dϕm M , причем0 0D (F1 , …, Fm ) определитель системы равен якобиану, отличD (x1 , …, xm ) M0ному от нуля в силу (10.40).Следовательно, из этой системы однозначно находятся искомые дифференциалы dϕi M (i = 1, …, m), как функции от0dxm+1 , …, dxn . Подставляя выражения для dϕi вместо dxiM0(i = 1, …, m) в формулу (10.51), получаем искомую квадратичную формуd2 g M = Q (dxm+1 , …, dxn ) .(10.53)0Пример.

Найдем экстремумы функции u = x + y при условиисвязи xy − 1 = 0.В данном случае для решения задачи можно было бы использовать первый метод, поскольку из условия связи можно выразить в явном виде один из аргументов функции через другой (на1пример, y = ), после чего задача сводится к отысканию точекx1безусловного экстремума функции одной переменной u = x +x(решите задачу этим методом), но мы применим для решенияметод Лагранжа.Введем функцию ЛагранжаΦ = x + y + λ(xy − 1),94Гл.

10. Неявные функциигде λ — пока не определенный множитель, и составим системууравнений (10.49), которая в нашем примере имеет вид⎧F1 := xy − 1 = 0,⎪⎪⎪⎨ ∂Φ= 1 + λy = 0,∂x⎪⎪∂Φ⎪⎩= 1 + λx = 0.∂yЭта система имеет два решения:x = 1, y = 1, λ = −1иx = −1, y = −1, λ = 1.Таким образом, имеем две точки возможного условного экстремума функции u = x + y при условии связи xy − 1 = 0:точка M1 (1; 1), при этом Φ = x + y − (xy − 1), иточка M2 (−1; −1), при этом Φ = x + y + (xy − 1).Далее в соответствии с описанным алгоритмом вычислимвторой дифференциал функции Лагранжа, причем так, как еслибы x и y были независимыми переменными.

Для точки M1 (1; 1)имеем:dΦ = dx + dy − ydx − xdy ,d2 Φ = −2dxdy.Выразим теперь dy через dx, используя условие связи F1 := xy −− 1 = 0. Система уравнений (10.52) состоит в нашем примере изодного уравнения:∂F1∂F(M1 ) · dx + 1 (M1 ) · dy = 0, то есть dx + dy = 0,∂x∂yоткуда dy = −dx. Подставляя это выражение для dy в равенствоd2 Φ = −2dxdy , находим квадратичную форму Q (см. (10.53)):d2 g x=1 = Q(dx) = 2(dx)2 .Так как Q(dx) — положительно определенная квадратичная форма, то в точке M1 (1; 1) функция u = x + y имеет условныйминимум (u (M1 ) = 2) при условии связи xy − 1 = 0.Аналогично доказывается, что в точке M2 (−1; −1) функцияu = x + y имеет условный максимум (u (M2 ) = −2) при условиисвязи xy − 1 = 0 (проведите доказательство самостоятельно).Рассмотренный пример имеет наглядную геометрическую иллюстрацию.

Линиями уровня функции u = x + y (то есть лини-4. Условный экстремум95Рис. 10.5.ями на плоскости (x, y), на которых функция имеет постоянноезначение) являются прямые x + y = c = const, а условие связиxy − 1 = 0 является уравнением гиперболы. На рис. 10.5 изображены линии уровня для нескольких значений c (c < −2, c = −2,c = 0, c = 2, c > 2) и гипербола xy − 1 = 0, в точках которойищутся экстремумы функции u = x + y .Через точку M1 (1; 1) гиперболы проходит линия уровняx + y = 2, а через любую другую точку гиперболы в окрестноститочки M1 проходит линия уровня x + y = c, где c > 2.

Такимобразом, в точке M1 функция u = x + y имеет наименьшеезначение (u (M1 ) = 2) по отношению ко всем другим точкамгиперболы из окрестности точки M1 (разумеется, окрестностьточки M1 должна быть не слишком большой, чтобы в нее непопали точки другой ветви гиперболы).Также наглядно видно, что в точке M2 (−1; −1), через которую проходит линия уровня x + y = −2, функция u = x + yимеет наибольшее значение (u (M2 ) = −2) по отношению ко всемдругим точкам гиперболы из окрестности точки M2 .Г л а в а 11ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГОИСЧИСЛЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ПЛОСКИХКРИВЫХС помощью дифференциального исчисления мы умеем находить точки локального экстремума функции, промежутки монотонности, направление выпуклости, точки перегиба и асимптотыграфиков функций.

Здесь мы рассмотрим применение дифференциального исчисления к другим геометрическим вопросам: касание плоских кривых, огибающая семейства кривых, кривизнаплоской кривой.§ 1. Касание плоских кривыхРис. 11.1. Прямая L —общая касательная ккривым L1 и L2 в точке M0 .Если две плоские кривые имеют общую точку M0 и в этой точке — общуюкасательную, то говорят, что эти кривыекасаются (соприкасаются) в точке M0(рис.

11.1).Пусть кривые L1 и L2 являются графиками функций y = f1 (x) и y = f2 (x), ипусть они касаются в точке M0 (x0 , f1 (x0 ))(рис. 11.2). Пусть n — натуральное число.Рис. 11.2.Говорят, что порядок касания кривых L1 и L2 в точке M0равен n, если существует отличный от нуля пределlimx→x0|f2 (x) − f1 (x)|.|x − x0 |n+1(11.1)1. Касание плоских кривых97Если предел (11.1) равен нулю, то говорят, что порядок касаниякривых L1 и L2 в точке M0 выше n.Если порядок касания выше любого n, то говорят, что порядок касания бесконечный.Примеры.1) Графики функций y = x4 и y = x3 касаются в точке O(0; 0),общей касательной графиков⎧является ось Ox (докажите это).

3x − x4 ⎨ 0, n < 2,Так как lim= 1, n = 2,⎩x→0 |x|n+1∞, n > 2,то порядок касания данных кривых вточке O равен 2.2e−1/x , x = 0,2) Рассмотрим функции y = 0 и y =0,x = 0.Нетрудно доказать (сделайте это), что порядок касания графиковэтих функций в точке O(0; 0) — бесконечный.Теорема 1. Пусть кривые L1 и L2 являются графиками функций y = f1 (x) и y = f2 (x) и пусть функции f1 (x) и f2 (x) (n + 1)раз дифференцируемы в точке x0 . Тогда:10 .

если f1 (x0 ) = f2 (x0 ), f1 (x0 ) = f2 (x0 ), . . . ,(n)(n)(n+1)f1 (x0 ) = f2 (x0 ), f1(n+1)(x0 ) = f2(x0 ),(11.2)то порядок касания кривых L1 и L2 в точке M0 (x0 , f1 (x0 )) равенn;20 . обратно: если порядок касания кривых L1 и L2 в точкеM0 равен n, то выполнены соотношения (11.2).Доказательство. 10 . Пусть выполнены соотношения (11.2). Используя формулу Тейлора и эти соотношения, получаем:f2 (x) − f1 (x) = f2 (x0 ) + · · · +1 (n)f (x0 )(x − x0 )n +n! 21(n+1)f2+(x0 )(x − x0 )n+1 + o (x − x0 )n+1 −(n + 1)!1 (n)− f1 (x0 ) + · · · + f1 (x0 )(x − x0 )n +n!1(n+1)n+1n+1+f(x0 )(x − x0 )+ o (x − x0 )=(n + 1)! 11(n+1)(n+1)=(x0 ) − f1(x0 ) (x − x0 )n+1 + o (x − x0 )n+1 ,f2(n + 1)!1(n+1)(n+1)f2(x0 ) − f1(x0 ) = 0.причем число A =(n + 1)!4 В.Ф.

Бутузов98 Гл. 11. Приложения диф. исчисления к исследованию плоских кривыхОтсюда следует:limx→x0|f2 (x) − f1 (x)|= |A| = 0,|x − x0 |n+1а это и означает, согласно определению, что порядок касаниякривых L1 и L2 в точке M0 равен n. Утверждение 10 доказано.20 . Пусть порядок касания кривых L1 и L2 в точке M0 равенn. Если предположить, что цепочка равенств в (11.2) нарушаетсяпри некотором k n, то получим, в силу доказанного в п.10 , чтопорядок касания кривых L1 и L2 в точке M0 равен k − 1 < n, аесли допустить, что в (11.2) выполняются все равенства и, кроме(n+1)(n+1)того, f1(x0 ) = f2(x0 ), то получим, что порядок касаниявыше n.

И то, и другое противоречит условию. Следовательно,выполнены соотношения (11.2). Теорема доказана.Примеры. 1) Рассмотрим графики функций y = x и y = sin x,они имеют общую точку O(0; 0) (рис. 11.3). В данном примереf1 (x) = x, f2 (x) = sin x. Несложные вычисления (проделайте их)приводят к соотношениям:f1 (0) = f2 (0) = 0, f1 (0) = f2 (0) = 1, f1 (0) = f2 (0) = 0,f1 (0) = 0 = f2 (0) = −1.Отсюда по теореме 1 следует, что порядок касания графиковданных функций в точке O(0; 0) равен 2.2) Пусть криваяL1 является графикомфункции y = f (x), аL2 — касательная кграфику этой функциив точке M0 (x0 , f (x0 )),и пусть существуетf (x0 ).

Докажите, что:если f (x0 ) = 0, тоРис. 11.3.порядок касания кривыхL1 и L2 в точке M0равен 1;если f (x0 ) = 0 и существует f (x0 ), то порядок касания кривыхL1 и L2 в точке M0 не ниже 2.2. Огибающая однопараметрического семейства кривых99§ 2. Огибающая однопараметрического семействакривыхОсобые точки кривыхПусть Oxy — прямоугольная система координат на плоскости.Кривая на плоскости Oxy может быть задана:явно, то есть уравнением вида y = f (x) или x = f (y);неявно, то есть уравнением вида F (x, y) = 0;параметрически, то есть уравнениями x = ϕ(t), y = ψ(t), где t —параметр, принимающий значения из некоторого промежутка.В дальнейшем будем считать, что функции, входящие в уравнения кривых, непрерывно дифференцируемы, то есть имеютнепрерывные производные первого порядка.Пусть кривая L задана неявно уравнением F (x, y) = 0, ипусть точка M0 (x0 , y0 ) ∈ L (то есть F (x0 , y0 ) = 0) и Fx2 (x0 , y0 ) ++ Fy2 (x0 , y0 ) = 0.

Пусть, например, Fy (x0 , y0 ) = 0. Тогда в некоторой окрестности точки M0 в силу теоремы о неявной функциикривая L может быть задана явным уравнением вида y = f (x),причем функция y = f (x) (решение уравнения F (x, y) = 0 относительно y ) дифференцируема и ее производная выражаетсяформулойFx (x, y) f (x) = −(11.3)Fy (x, y)y=f (x)Если же Fx2 (x0 , y0 ) + Fy2 (x0 , y0 ) = 0, то есть Fx (x0 , y0 ) == Fy (x0 , y0 ) = 0, то в окрестности точки M0 (x0 , y0 ) кривая Lможет не иметь явного уравнения.Точку M0 (x0 , y0 ) кривой L, длякоторой Fx2 (x0 , y0 ) + Fy2 (x0 , y0 ) = 0 (== 0) будем называть особой (обыкновенной) точкой этой кривой.Пример. Уравнение x2 − y 2 = 0(здесь F (x, y) = x2 − y 2 ) задаеткривую, состоящую из двух прямых, пересекающихся в точке O(0; 0)(рис.