Как найти порядок всех элементов группы - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

From Wikipedia, the free encyclopedia

In mathematics, the order of a finite group is the number of its elements. If a group is not finite, one says that its order is infinite. The order of an element of a group (also called period length or period) is the order of the subgroup generated by the element. If the group operation is denoted as a multiplication, the order of an element a of a group, is thus the smallest positive integer m such that a^m = e, where e denotes the identity element of the group, and a^m denotes the product of m copies of a. If no such m exists, the order of a is infinite.

The order of a group G is denoted by ord(G) or |G|, and the order of an element a is denoted by ord(a) or |a|, instead of where the brackets denote the generated group.

Lagrange’s theorem states that for any subgroup H of a finite group G, the order of the subgroup divides the order of the group; that is, |H| is a divisor of |G|. In particular, the order |a| of any element is a divisor of |G|.

Example[edit]

The symmetric group S₃ has the following multiplication table.

•	e	s	t	u	v	w
e	e	s	t	u	v	w
s	s	e	v	w	t	u
t	t	u	e	s	w	v
u	u	t	w	v	e	s
v	v	w	s	e	u	t
w	w	v	u	t	s	e

This group has six elements, so ord(S₃) = 6. By definition, the order of the identity, e, is one, since e ¹ = e. Each of s, t, and w squares to e, so these group elements have order two: |s| = |t| = |w| = 2. Finally, u and v have order 3, since u³ = vu = e, and v³ = uv = e.

Order and structure[edit]

The order of a group G and the orders of its elements give much information about the structure of the group. Roughly speaking, the more complicated the factorization of |G|, the more complicated the structure of G.

For |G| = 1, the group is trivial. In any group, only the identity element a = e has ord(a) = 1. If every non-identity element in G is equal to its inverse (so that a² = e), then ord(a) = 2; this implies G is abelian since $ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba$ . The converse is not true; for example, the (additive) cyclic group Z₆ of integers modulo 6 is abelian, but the number 2 has order 3:

The relationship between the two concepts of order is the following: if we write

${displaystyle langle arangle ={a^{k}colon kin mathbb {Z} }}$

for the subgroup generated by a, then

operatorname {ord} (a)=operatorname {ord} (langle arangle ).

For any integer k, we have

a^k = e if and only if ord(a) divides k.

In general, the order of any subgroup of G divides the order of G. More precisely: if H is a subgroup of G, then

ord(G) / ord(H) = [G : H], where [G : H] is called the index of H in G, an integer. This is Lagrange’s theorem. (This is, however, only true when G has finite order. If ord(G) = ∞, the quotient ord(G) / ord(H) does not make sense.)

As an immediate consequence of the above, we see that the order of every element of a group divides the order of the group. For example, in the symmetric group shown above, where ord(S₃) = 6, the possible orders of the elements are 1, 2, 3 or 6.

The following partial converse is true for finite groups: if d divides the order of a group G and d is a prime number, then there exists an element of order d in G (this is sometimes called Cauchy’s theorem). The statement does not hold for composite orders, e.g. the Klein four-group does not have an element of order four). This can be shown by inductive proof.^[1] The consequences of the theorem include: the order of a group G is a power of a prime p if and only if ord(a) is some power of p for every a in G.^[2]

If a has infinite order, then all non-zero powers of a have infinite order as well. If a has finite order, we have the following formula for the order of the powers of a:

ord(a^k) = ord(a) / gcd(ord(a), k)^[3]

for every integer k. In particular, a and its inverse a⁻¹ have the same order.

In any group,

operatorname {ord} (ab)=operatorname {ord} (ba)

There is no general formula relating the order of a product ab to the orders of a and b. In fact, it is possible that both a and b have finite order while ab has infinite order, or that both a and b have infinite order while ab has finite order. An example of the former is a(x) = 2−x, b(x) = 1−x with ab(x) = x−1 in the group . An example of the latter is a(x) = x+1, b(x) = x−1 with ab(x) = x. If ab = ba, we can at least say that ord(ab) divides lcm(ord(a), ord(b)). As a consequence, one can prove that in a finite abelian group, if m denotes the maximum of all the orders of the group’s elements, then every element’s order divides m.

Counting by order of elements[edit]

Suppose G is a finite group of order n, and d is a divisor of n. The number of order d elements in G is a multiple of φ(d) (possibly zero), where φ is Euler’s totient function, giving the number of positive integers no larger than d and coprime to it. For example, in the case of S₃, φ(3) = 2, and we have exactly two elements of order 3. The theorem provides no useful information about elements of order 2, because φ(2) = 1, and is only of limited utility for composite d such as d = 6, since φ(6) = 2, and there are zero elements of order 6 in S₃.

In relation to homomorphisms[edit]

Group homomorphisms tend to reduce the orders of elements: if f: G → H is a homomorphism, and a is an element of G of finite order, then ord(f(a)) divides ord(a). If f is injective, then ord(f(a)) = ord(a). This can often be used to prove that there are no homomorphisms or no injective homomorphisms, between two explicitly given groups. (For example, there can be no nontrivial homomorphism h: S₃ → Z₅, because every number except zero in Z₅ has order 5, which does not divide the orders 1, 2, and 3 of elements in S₃.) A further consequence is that conjugate elements have the same order.

Class equation[edit]

An important result about orders is the class equation; it relates the order of a finite group G to the order of its center Z(G) and the sizes of its non-trivial conjugacy classes:

$|G|=|Z(G)|+sum _{i}d_{i};$

where the d_i are the sizes of the non-trivial conjugacy classes; these are proper divisors of |G| bigger than one, and they are also equal to the indices of the centralizers in G of the representatives of the non-trivial conjugacy classes. For example, the center of S₃ is just the trivial group with the single element e, and the equation reads |S₃| = 1+2+3.

Notes[edit]

^ Conrad, Keith. «Proof of Cauchy’s Theorem» (PDF). Retrieved May 14, 2011.
^ Conrad, Keith. «Consequences of Cauchy’s Theorem» (PDF). Retrieved May 14, 2011.
^ Dummit, David; Foote, Richard. Abstract Algebra, ISBN 978-0471433347, pp. 57

References[edit]

Dummit, David; Foote, Richard. Abstract Algebra, ISBN 978-0471433347, pp. 20, 54–59, 90
Artin, Michael. Algebra, ISBN 0-13-004763-5, pp. 46–47

Источник

Как найти порядок элементов в группе?

Порядок элемента A группы G — это минимальное положительное число k, для которого справедливо равенство Ak=J (где J — единичный элемент группы). То есть — порядок элемента группы — это минимальная положительная степень, в которой данный элемент равен единице. Теорема.

Чему равен порядок группы?

Порядок группы делится на порядок ее любой подгруппы, в частности, на порядок любой циклической подгруппы. Этот порядок равен порядку образующего элемента.

Кто придумал теорию групп?

История У теории групп три исторических корня: теория алгебраических уравнений, теория чисел и геометрия. Математики, стоящие у истоков теории групп, — это Леонард Эйлер, Карл Фридрих Гаусс, Жозеф Луи Лагранж, Нильс Хенрик Абель и Эварист Галуа.

Как доказать что подгруппа нормальная?

Подгруппа H называется нормальной подгруппой (или нормальным делителем) группы G, если для каждого элемента a ∈ S его левые и правые смежные классы совпадают, т. е. если ∀a ∈ S aH = Ha. Заметим, что каждая подгруппа абелевой группы нормальна.

Как доказать что группа циклическая?

называется циклической, если она порождена одним элементом a, то есть все её элементы являются степенями a (или, если использовать аддитивную терминологию, представимы в виде na, где n — целое число.) }. Иначе говоря, группа G циклическая, если в G любая подгруппа, содержащая a, совпадает с G.

Как делятся группы?

В короткопериодном варианте периодической системы группы подразделяются на подгруппы — главные (или подгруппы A), начинающиеся с элементов первого и второго периодов, и побочные (подгруппы В), содержащие d-элементы.

Что такое группа факторов?

Факторгруппа — множество смежных классов группы по её нормальной подгруппе, само являющееся группой с определённой специальным образом групповой операцией. Образ группы при гомоморфизме изоморфен её факторгруппе по ядру этого гомоморфизма.

Кто дал определение группа?

Понятие группы ввёл Эварист Галуа, изучая многочлены в 1830-е годы. Современная теория групп является активным разделом математики.

Почему математика называется математикой?

Термин «математика» используется в русском языке с конца XVII в. Слово пришло из западноевропейских языков, хотя первоосновой является греческое слово, обозначающее «познающий». Математика — это «наука, которая изучает величины, их количественные отношения, а также пространственные формы».

Какая подгруппа называется нормальной?

Норма́льная подгру́ппа (также инвариа́нтная подгру́ппа или нормальный делитель) — подгруппа особого типа, левый и правый смежные классы по которой совпадают. Такие группы важны, поскольку позволяют строить факторгруппу.

Какая подгруппа у меди?

Подгру́ппа ме́ди — химические элементы 11-й группы периодической таблицы химических элементов (по устаревшей классификации — элементы побочной подгруппы I группы). В группу входят переходные металлы, из которых традиционно изготавливают монеты: медь Cu, серебро Ag и золото Au.

Что такое левый смежный класс?

Левые смежные классы по подгруппе либо не пересекаются, либо совпадают. Достаточно доказать, что если классы пересекаются, то они совпадают.

Какие бывают группы людей?

Виды групп

Первичная (члены группы непосредственно взаимодействуют друг с другом, взаимоотношения отличаются интимностью, взаимной симпатией и пониманием. Примеры: семья, группа друзей)
Вторичная (члены группы связаны между собой опосредованно, деятельностью по достижению общей цели.

Как разделяются химические элементы?

Классификация по ИЮПАК Щелочные металлы — металлы первой группы: Li, Na, K, Rb, Cs, Fr. Щелочноземельные металлы — металлы второй группы: Be, Mg, Ca, Sr, Ba, Ra. Пниктогены (пниктиды) — элементы пятой группы: N, P, As, Sb, Bi, Mc.

Что такое управляемые факторы риска?

Управляемые факторы риска – это, напротив те факторы, которые вы можете изменить, приняв соответствующие меры или внеся коррективы в свой образ жизни. Курящие люди умирают от Курение. ишемической болезни сердца в 2 раза чаще, чем те, кто никогда не курил.

Что относится к факторам риска?

Факторы риска – это обстоятельства (внешние или внутренние), отрицательно влияющие на здоровье человека и создающие благоприятную среду для возникновения и развития заболеваний….Среди ведущих факторов, негативно влияющих на здоровье, следует отметить:

Курение. …
Злоупотребление алкоголем. …
Переедание. …
Гиподинамия. …
Стрессы.

14 мар. 2016 г.

Что означает понятие группа?

ГРУППА – объединение людей, соответствующее состоянию общности (см. ОБЩНОСТЬ), наиболее узкая форма общества, в котором отношение общности определяет характер целого.

Источник

Материал из Викиконспекты

Перейти к: навигация, поиск

Определение:

Порядком элемента группы называется наименьшее , что . Если такого не существует, то говорят, что порядок бесконечен.

Примеры

Порядок любого ненулевого элемента в группе целых чисел по сложению равен бесконечности.
Порядок элемента в группе вычетов по модулю конечен и равен двум, поскольку .

Свойства

Утверждение:

Действительно, необходимо при некоторых совпадение степеней (иначе получится бесконечное число различных элементов в группе). Но тогда порядок не больше : .

Определение:

-группа — группа, все элементы в которой имеют порядок, равный некоторой степени простого числа . Порядок разных элементов может быть разным.

Примеры

Группа вычетов по модулю простого числа относительно сложения: .
Циклическая группа порядка .

Источник

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте

его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву

, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения

и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему

Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена

или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Найти порядок группы

28.04.2008, 15:36

Заслуженный участник

11/04/08
2701
Физтех

Профессор Снэйп

28.04.2008, 16:03

Заморожен

18/12/07
8774
Новосибирск

Из следует, что группа абелева и что любой её элемент представляется в виде . Из остальных двух соотношений вытекает, что можно считать и . Таким образом, порядок группы уже .

Далее, для любого справедливо $x^8=e$ . Значит, порядок группы есть степень двойки и, следовательно, .

Получается, что возможностей для $G$ не так уж и много.

1) $G = mathbb{Z}_2^k$ , ;

2) $G = mathbb{Z}_2^k times mathbb{Z}_4$ , ;

3) $G = mathbb{Z}_4^2$ ;

4) $G = mathbb{Z}_8$ ;

5) $G = mathbb{Z}_2 times mathbb{Z}_8$ .

В этом перечислении только 3 циклических группы: $mathbb{Z}_2$ , $mathbb{Z}_4$ и $mathbb{Z}_8$ . Наверное, надо просто посмотреть, что ни одна из них не подходит (или, наоборот, какая-то подходит).

Хет Зиф

28.04.2008, 16:14

Заслуженный участник

20/05/06
668
куда, зачем, почему?

Профессор Снэйп

28.04.2008, 16:21

Заморожен

18/12/07
8774
Новосибирск

Хет Зиф писал(а):

Вот это не совсем понял. Почему эти элементы должны быть различны?

Хет Зиф

28.04.2008, 16:32

Заслуженный участник

20/05/06
668
куда, зачем, почему?

Да, я и не говорю что они не различны, по крайней мере все другие элементы, выражаются через них.

Профессор Снэйп

28.04.2008, 16:34

Заморожен

18/12/07
8774
Новосибирск

Вроде понял. Возьмём группу $mathbb{Z}_2 times mathbb{Z}_8$ , и . Все соотношения выполняются… Группа явно порождается этими двумя элементами.

Кроме того, . Значит, из определяющих соотношений не следует и остаётся лишь 2 варианта: $mathbb{Z}_8$ и $mathbb{Z}_2 times mathbb{Z}_8$ .

Ну и ясно, что второй вариант — это искомая группа. Значит, правильный ответ: не циклическая.

Добавлено спустя 1 минуту 40 секунд:

Хет Зиф писал(а):

Да, я и не говорю что они не различны, по крайней мере все другие элементы, выражаются через них.

Тогда я не понял фразу «уже 16 порядок». Может, Вы хотели сказать: «уже порядок «?

Хет Зиф

28.04.2008, 16:40

Заслуженный участник

20/05/06
668
куда, зачем, почему?

Профессор Снэйп

Да я именно это и хотел сказать.

Цитата:

остаётся лишь 2 варианта: $Z_{8}$ и $Z_{2}times Z_{8}$ .

Ну да, это сразу следует если из перечисленных мной элементов нет равных. Ну а также что если мы не считаем возможность $a=b$ . :wink:

ShMaxG

28.04.2008, 16:40

Заслуженный участник

11/04/08
2701
Физтех

Профессор Снэйп

28.04.2008, 16:44

Заморожен

18/12/07
8774
Новосибирск

Хет Зиф писал(а):

Профессор Снэйп

Да я именно это и хотел сказать.

Цитата:

остаётся лишь 2 варианта: $Z_{8}$ и $Z_{2}times Z_{8}$ .

То, что среди перечисленных Вами элементов нет равных, надо доказывать. Вы, когда делали своё утверждение, этого не доказали.

Добавлено спустя 51 секунду:

ShMaxG писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

Почему? А что значат обозначения $G = mathbb{Z}_2^k$ , и $G = mathbb{Z}_2^k times mathbb{Z}_4$ , ?

Что именно у Вас вызывает затруднение. То, что $x^8=e$ понятно?

Хет Зиф

28.04.2008, 16:45

Заслуженный участник

20/05/06
668
куда, зачем, почему?

Профессор Снэйп

Да, можно доказать это пристальным всматриванием

Профессор Снэйп

28.04.2008, 16:47

Заморожен

18/12/07
8774
Новосибирск

Хет Зиф писал(а):

Профессор Снэйп

Да, можно доказать это пристальным всматриванием

Пристальный взгляд к делу не пришьёшь

На самом деле, конечно, пример $G = mathbb{Z}_2 times mathbb{Z}_8$ , и доказывает всё, что надо.

ShMaxG

28.04.2008, 16:47

Заслуженный участник

11/04/08
2701
Физтех

Профессор Снэйп писал(а):

Хет Зиф писал(а):

Профессор Снэйп

То, что $x^8=e$ понятно?

Да, а как порядок элемента связан с порядком группы?

Хет Зиф

28.04.2008, 16:50

Заслуженный участник

20/05/06
668
куда, зачем, почему?

Профессор Снэйп

Не ну группа может быть и меньшего порядка .

То что у вас $a^8=e$ не говорит например о том что $a^2$ не может быть равен $e$ . :wink:

Добавлено спустя 2 минуты 29 секунд:

ShMaxG

Порядок элемента делит порядок группы :wink:

Профессор Снэйп

28.04.2008, 16:52

Заморожен

18/12/07
8774
Новосибирск

Хет Зиф писал(а):

Профессор Снэйп

Не ну группа может быть и меньшего порядка .
То что у вас $a^8=e$ не говорит например о том что $a^2$ не может быть равен $e$ . :wink:

Бр… Вы порядок немножко у себя на чердаке наведите (без обид )

Правильно сказать так: то, что в моём примере говорит о том, что $a^4=e$ не следует

из определяющих соотношений. И, значит, в той группе, которая этими определяющими соотношениями задаётся.

ShMaxG

28.04.2008, 16:55

Заслуженный участник

11/04/08
2701
Физтех

Так, ребят, простите меня за тормознутость, я за вами не успеваю) Скажите пожалуйста только что за обозначения во втором сообщении и какой отсев происходит

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Источник

Example[edit]

Order and structure[edit]

Counting by order of elements[edit]

In relation to homomorphisms[edit]

Class equation[edit]

See also[edit]

Notes[edit]

References[edit]

Как найти порядок элементов в группе?

Чему равен порядок группы?

Кто придумал теорию групп?

Как доказать что подгруппа нормальная?

Как доказать что группа циклическая?

Как делятся группы?

Что такое группа факторов?

Кто дал определение группа?

Почему математика называется математикой?

Какая подгруппа называется нормальной?

Какая подгруппа у меди?

Что такое левый смежный класс?

Какие бывают группы людей?

Как разделяются химические элементы?

Что такое управляемые факторы риска?

Что относится к факторам риска?

Что означает понятие группа?

Примеры

Свойства

Примеры

Правила форума