Как найти последнюю цифру числа по степени

Основная часть

I. Нахождение последней цифры в записи
степени натурального числа.

После изучения темы “Степень с натуральным
показателем” была предложена такая задача:
найти последнюю цифру степеней:

а) , , , , ;

б) , .

Мы заметили, что в первом случае показатели
степеней составные числа, а во втором случае
показатели степеней простые числа. В обоих
случаях есть основания четные и нечетные. Мы
сначала попробовали представить степени в виде
произведения степеней с тем же основанием и
одинаковыми показателями, затем воспользовались
со свойствами степеней с натуральными
показателями

Например, = ***
или

В первом случае узнали последнюю цифру степени . Это 3. А дальше
определили искомую цифру как последнюю цифру
числа .
Получили 1. Во втором случае сначала нашли
последнюю цифру степени . Это 1. А 1 в любой степени -1.
Второй способ нам понравился больше. Аналогично
нашли последнюю цифру остальных степеней.

В ходе решения таких задач мы поняли, чтовсегда оканчивается (при натуральном) n
на 6.

Но вторая задача достаточно сложная, так как
показатели степеней простые числа и мы не
можем представить эти степени в виде
произведения степеней с одинаковыми
показателями, как делали раньше. Но мы нашли
способы решения.

Значит, последняя цифра степени равна 3.

Мы решили найти более удобный,
универсальный способ нахождения последней цифры
степени.

Решили заполнить таблицу, где в первой
строке написаны цифры, которыми оканчиваются
записи натуральных чисел. Во — второй строке —
цифры, которыми оканчиваются соответствующие
квадраты, в третьей – кубы и т.д.

Мы заполнили пятую строку, затем шестую и
удивились. Оказывается, пятая степень числа
оканчивается той же цифрой, что и первая степень
числа; а шестая степень числа оканчивается той же
цифрой, что и вторая степень этого числа; седьмая
степень – что и третья степень этого числа.

К нашему удивлению, результаты в таблице
повторяются через каждые четыре строки.

После решения этих примеров и заполнения
таблицы мы пришли к выводу, что:

• Во-первых, квадрат натурального числа может
  оканчиваться любой цифрой;
• Во-вторых, куб натурального числа может
  оканчиваться любой цифрой;
• В-третьих, четвертая степень натурального числа
  может оканчиваться одной из цифр: 0, 1, 5, 6;
• В-четвертых, пятая степень натурального числа
  оканчивается той же цифрой, что и само число;
• В-пятых, если запись натурального числа
  оканчивается на 1, на 5, на 6, то любая степень этого
  числа оканчивается соответственно на 1, на 5, на 6;
• В-шестых, нечетные степени числа 4 оканчиваются
  цифрой 4, а четные — цифрой 6.

Мы поставили перед собой такую задачу, а
нельзя ли найти способ определения последней
цифры степени по остатку от деления ее
показателя на 4.

II. Составление алгоритма нахождения
последней цифры степени по остатку от деления ее
показателя на 4.

Вернулись к нашим же примерам.

Найти последнюю цифру степеней: , , , ;.

Итак, мы заметили, что если остаток равен 0, то
для всех нечетных оснований, кроме чисел,
оканчивающихся на 5, искомая цифра равна 1, а
для четных, искомая цифра равна 6.

Далее мы начали подбирать такие степени, когда
при делении показателя степени на 4 получаются
остатки 1, 2, 3.

Например, .

Если остаток равен 1, то искомая цифра будет
равна последней цифре основания степени.

Если остаток равен 2, то искомая цифра будет
равна последней цифре в записи квадрата
основания.

Если остаток равен 3, то искомая цифра будет
равна последней цифре в записи куба основания.

А если степени с очень большими показателями?

Например,

Мы легко справились и с этой задачей.

Итак, мы получили алгоритм нахождения
последней цифры степени натурального числа.

Чтобы найти последнюю цифру степени
натурального числа с натуральным показателем,
надо:

Найти остаток от деления показателя степени на
4;

Если остаток равен

а) 1, то искомая цифра будет совпадать с
последней цифрой основания степени;

б) 2, то искомая цифра будет равна последней
цифре в записи квадрата основания;

в) 3, то искомая цифра будет равна последней
цифре в записи куба основания;

г) 0, то для всех нечетных оснований, кроме чисел,
оканчивающихся на 5, искомая цифра равна 1, а для
четных, кроме круглых чисел, искомая цифра равна
6.

Мы научились быстро находить последнюю цифру
степени и попробовали расширить круг знаний.
Например, мы составили такие задачи.

III. Составление упражнений на применение
алгоритма.

1. Доказать, что число кратно 2.

2. Доказать, что -1 кратно 5 (при натуральном n).

3. Верно ли, что 1,6*( -1 ) – целое число при любом
(натуральном) n.

4. Какой цифрой оканчивается произведение всех
двузначных чисел, каждое из которых оканчивается
на 7?

ПОСЛЕДНЯЯ ЦИФРА СТЕПЕНИ

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

 Введение

«Математику уже затем учить следует,

что она ум в порядок приводит»

М. В. Ломоносов

Эти слова раскрывают сущность предмета математика, так как именно она, прежде всего, учит нас мыслить, рассуждать, анализировать, делать выводы, умозаключения и подводить итоги. Математика является одним из основных школьных предметов, потому, что все перечисленные качества необходимы не только математику, но и представителю любой другой науки. Развитием этих качеств занимается, прежде всего, математика. Существуют специальные задачи, которые направлены на формирование названных умений. Готовясь к различным математическим конкурсам, мы столкнулись с таким заданием « Какой будет последняя цифра числа ?» На первый взгляд эта задача может показаться достаточно сложной и я принялся за вычисления…

В ходе решения этой задачи возникла идея исследовать, а какой будет последняя цифра любого натурального числа в любой степени, есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра степени натурального числа?

Цели работы

Составить опорную таблицу «Последние цифры степени», найти закономерности в них, научится вычислять последние цифры степеней.

Актуальность темы исследования обусловлена насущной необходимостью поиска быстрых алгоритмов решения практически важных задач, отработки навыков устного счета.

2. Последняя цифра степени

Выясним есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра числа , где N , n – натуральные числа, с изменением показателя n. Для этого составим таблицу:

N n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024	2048	4096	8192
3	3	9	27	81	243	729	2187	6561	19683	59049	177147	531441	1594323
4	4	16	64	256	1024	4096	16384	65536	262144	1048576	4194304	16777216	67108864
5	5	25	125	625	3125	15625	78125	390625	1953125	9765625	48828125	244140625	1220703125
6	6	36	216	1296	7776	46656	279936	1679616	10077696	60466176	362797056	2176782336	13060694016
7	7	49	343	2401	16807	117649	823543	5764801	40353607	282475249	1977326743	13841287201	96889010407
8	8	64	512	4096	32768	262144	2097152	16777216	134217728	1073741824	8589934592	68719476736	549755813888
9	9	81	729	6561	59049	531441	4782969	43046721	387420489	3486784401	31381059609	282429536481
10	10	100	1000	10000	100000	1000000	10000000	100000000	1000000000	10000000000	100000000000	1000000000000
11	11	121	1331	14641	161051	1771561	19487171	214358881	2357947691	25937424601	285311670611
12	12	144	1728	20736	248832	2985984	35831808	429981696	5159780352	61917364224	743008370688
13	13	169	2197	28561	371293	4826809	62748517	815730721	10604499373	137858491849

Для наглядности составим таблицу, где будут записаны цифры, которыми оканчиваются записи натуральных чисел:

N n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	2	4	8	6	2	4	8	6	2	4
3	3	9	7	1	3	9	7	1	3	9
4	4	6	4	6	4	6	4	6	4	6
5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5
6	6	6	6	6	6	6	6	6	6	6
7	7	9	3	1	7	9	3	1	7	9
8	8	4	2	6	8	4	2	6	8	4
9	9	1	9	1	9	1	9	1	9	1
10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
11	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
12	2	4	8	6	2	4	8	6	2	4
13	3	9	7	1	3	9	7	1	3	9
14	4	6	4	6	4	6	4	6	4	6

Заполняя столбики получаем такой результат: пятая и девятая и т. д. степень числа оканчивается той же цифрой, что и первая степень числа; шестая, десятая, четырнадцатая степень и т. д степень оканчивается той же цифрой, что и вторая степень числа; седьмая степень числа будет оканчиваться той же цифрой, что и третья степень числа.

3. Закономерности возведения в степень

Результаты в таблице повторяются через каждые четыре столбца.

Про числа 1 и 10 писать не будем, т.к. результат всегда будет 1 или 0 соответственно.

Любая степень чисел 5 и 6 оканчивается соответственно на 5 и на 6.

Последние цифры степеней чисел 4 и 9 повторяются через каждые два шага, при возведении в четную степень последняя цифра не меняется, будет соответственно 4 или 9, при возведении в нечетную степень изменится на 6 или 1 соответственно.

Квадрат любого натурального числа может оканчиваться на 0, 1,4, 5, 6 и 9,

Куб натурального числа может оканчиваться любой цифрой

Используя полученные результаты попробуем найти последние цифры степени по остатку от деления её показателя на 4

	24: 4=5(остаток 0)	1
	48:4=12(остаток 0)	1
	2016:4=504(остаток0)	6
	28:4=7(остаток0)	6

Если остаток равен 0 и основание нечетное, то число будет оканчиваться на 1(кроме чисел оканчивающихся на цифру 5), если основание четное (кроме круглых чисел), то числа будут оканчиваться на цифру 6.

Теперь будем подбирать такие числа, что при делении показателя степени на 4 будут давать остатки 1, 2, 3

	45:4=11 (остаток 1)	7
	37:4=9 (остаток 1)	2
	18:4=4 (остаток 2)	1
	102:4=25 (остаток 2)	6
	31:4=7(остаток3)	2
	1199:4=299(остаток3)	9

Если остаток равен 1, то последняя цифра степени будет равна последней цифре в записи основания степени;

Если остаток равен 2, то последняя цифра степени будет равна последней цифре в записи квадрата основания;

Если остаток равен 3, то последняя цифра степени будет равна последней цифре в записи куба основания.

Значит чтобы найти последнюю цифру степени натурального числа с натуральным показателем, нужно найти остаток от деления показателя степени на 4.

Последние цифры степеней чисел 2 , 12, 22 и т. д. (3, 13, 23 и т.д.) и т. д. будут совпадать.

4. Последние две цифры степени

Мы видим, что последняя цифра рано или поздно будет повторяться, а как будет обстоять дело с 2-мя и 3-мя последними цифрами ? Вероятно, они тоже будут повторяться. Для наглядности составим таблицу, где будут записаны две цифры, которыми оканчиваются записи натуральных чисел:

N n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	2	4	8	16	32	64	28	56	12	24	48	96	92	84	68	36	72	44	88	76	52	04	08	16
3	3	9	27	81	43	29	87	61	83	49	47	41	23	69	07	21	63	89	67	01	03	09	27	81
4	4	16	64	56	24	96	84	36	44	76	04	16	64	56	24	96	84	36	44	76	04	16	64	56
5	5	25	25	25	25	25	25	25	25	25	25	25	25	25	25	25	25	25	25	25	25	25	25	25
6	6	36	16	96	76	56	36	16	96	76	56	36	16	96	76	56	36	16	96	76	56	36	16	96
7	7	49	43	01	07	49	43	01	07	49	43	01	07	49	43	01	07	49	43	01	07	49	43	01
8	8	64	12	96	68	44	52	16	28	24	92	36	88	04	32	56	48	84	72	76	08	64	12	96
9	9	81	29	61	49	41	69	21	89	01	09	81	29	61	49	41	69	21	89	01	09	81	29	61
10	10	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00
11	11	21	31	41	51	61	71	81	91	01	11	21	31	41	51	61	71	81	91	01	11	21	31	41
12	12	44	28	36	32	84	08	96	52	24	88	56	72	64	68	16	92	04	48	76	12	44	28	36
13	13	69	97	61	93	09	17	21	73	49	37	81	53	89	57	41	33	29	77	01	13	69	97	61
14	14	96	44	16	24	36	04	56	84	76	64	96	44	16	24	36	04	56	84	76	64	96	44	16
15	15	25	75	25	75	25	75	25	75	25	75	25	75	25	75	25	75	25	75	25	75	25	75	25
16	16	56	96	36	76	16	56	96	36	76	16	56	96	36	76	16	56	96	36	76	16	56	96	36
17	17	89	13	21	57	69	73	41	97	49	33	61	37	29	93	81	77	09	53	01	17	89	13	21
18	18	24	32	76	68	24	32	76	68	24	32	76	68	24	32	76	68	24	32	76	24	24	32	76
19	19	61	59	21	99	81	39	41	79	01	19	61	59	21	99	81	39	41	76	01	19	61	59	21
20	20	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00
21	21	41	61	81	01	21	41	61	81	01	21	41	61	81	01	21	41	61	81	01	21	41	61	81

Глядя на таблицу, замечаем что последние две цифры тоже повторяются, только период повторения увеличивается, кроме того у некоторых чисел 1-е не входит в период, так например:

Но начиная с 21 степени по 40 последние две цифры будут повторяться.

Последние цифры чисел 3,13 и 8 тоже будут повторятся с периодом 20, но последние две цифры чисел 3 и 13 совпадать не будут, не будут совпадать последние две цифры для степеней чисел 4 и 14 и т.д.

Последние цифры чисел 4 и 9 будут повторяться с периодом 10,последние цифры числа 6 будут повторятся с периодом 5, но число 6 не входит в период, последние цифры числа 7 будут повторятся с периодом – 4. Любая степень числа 5 (начиная со 2 –ой) и 25 будет оканчиваться на 25, а число 15 в четной степени будет оканчиваться на 25, а в нечетной на 75. Период чисел 11, тоже будет равен 10, но здесь есть еще одна закономерность:

Для числа 11 в степени – число десятков будет равно показателю степени

Для числа 21 – период равен 4, а число десятков будет равно числу, полученному , если число 2 умножить на показатель степени

.

5. Заключение

Определить последнюю цифру степени числа не сложно, мы легко составили алгоритм, для двух последних цифр степени числа такой алгоритм уже не составишь, закономерности есть , но их меньше. Считаю, что таблицу с тремя последними цифрами составлять не имеет смысла – не рационально.

Мы провели большую работу: составили таблицы для последней и двух последних цифр степеней и получили интересные с нашей точки зрения выводы. Результаты работы могут быть использованы на занятиях математического кружка и факультативах в 5- 7 классах для развития интереса к математике у учащихся, а так же для индивидуальной работы с теми учениками, кто интересуется математикой. Кроме того, данными выводами можно воспользоваться при подготовке к различным олимпиадам и конкурсам. Кроме того сам процесс проведённого исследования позволил нам ещё раз убедиться в своих возможностях.

6. Задачи

1. Определите последнюю цифру в записи числа (ответ

2. Найдите последнюю цифру числа 2017 в степени 4207.(ответ 3)

3. Найдите последнюю цифру числа 12^39+13^41 .

(8+3=11, последняя цифра 1)

1. Найдите последнюю цифру суммы степеней числа 2 с показателями, равными 32, 69, 469, 1995, 19951995.

(6+2+2+8+8=26 последняя цифра 6)

1. В книге рекордов Гиннеса написано, что наибольшее известное простое число равно (− 1). Не опечатка ли это?

(опечатка. Число 23021³³⁷ оканчивается единицей Поэтому последняя цифра числа (23021³³⁷ − 1) равна 0, а значит, это число делится на 10 и потому составное.)

1. Делится ли число+ на 10 ?

(Число 4730 оканчивается цифрой 9, а число 3950 — цифрой 1 Значит, их сумма оканчивается на 0 и потому делится на 10.)

1. Найдите последнюю цифру числа . Степени считаются сверху вниз: =

Последние две цифры числа 7⁷ образуют число 43 (это можно вычислить непосредственно, отбрасывая при каждом умножении все цифры результата, кроме последних двух). Значит, число 7⁷ делится на 4 с остатком 3. Степени семёрки могут оканчиваться на 7, 9, 3 или 1 (в зависимости от того, с каким остатком делится на 4 показатель степени). В нашем случае 43 делится на 4 с остатком 3, значит, и 7⁷ делится на 4 с остатком 3 (согласно признаку делимости на 4). А у всех степеней семёрки, показатели которых делятся на 4 с остатком 3, последняя цифра равна 3).

1. Найдите 2 последние цифры числа 8¹⁹⁸⁹ .

В таблице 2-х последних цифр, у числа 8 период 20, (1989:20=99 остаток 9 , число 8 в 9 степени оканчивается цифрами 28, последние 2 цифры числа 8¹⁹⁸⁹ – 28).

1. На контрольной работе по перекрашиванию юный хамелеон перекрашивается по очереди из красного -> в желтый -> зелёный -> синий -> фиолетовый -> красный -> жёлтый -> зелёный и т.д. перекрасился он 2010 раз и начав с красного он в конце стал синим, но известно что он допустил ошибку, покраснел в тот момент, когда должен был приобрести другой цвет. Какого он был цвета перед этим покраснением?

(Заметим, что здесь период повторения цветов равен 5. Красный цвет будет встречаться на числах оканчивающихся на 0 и 5. Значит и должен он был закончить снова на красном. Поэтому чтобы найти ошибку перейдём сразу к 2005 перекрашиванию. Теперь просто будем считать по очереди меняя цвета до 2010-го. Сразу же смотрим что он сделал ошибку допустим после жёлтого, тогда получается 2005-красный, 2006 – жёлтый 2007- снова красный (это его ошибка), 2008 — жёлтый, 2009 -зелёный, 2010 – синий, перед ошибочным покраснением хамелеон был жёлтым).

1. Сейчас на часах 10:00. Какое время они будут показывать через 102938475 часов?

(У часов период повторения равен 24, значит число 102938475 разделить на 24 = 4289103,12… 102938475 — (4289103 * 24) = 3. Значит время которое часы будут показывать через 102938475 часов равно 10+3 = 13 часов, через 102938475 часы будут показывать 13:00).

11. Доказать, что число кратно 2.

12. Доказать, что -1 кратно 5 (при натуральном n).

13. Верно ли, что 1,6*( -1 ) – целое число при любом (натуральном) n. 14. Какой цифрой оканчивается произведение всех двузначных чисел, каждое из которых оканчивается на 7?

7. Использованная литература

1. «Все задачи «Кенгуру» 1994-2008- Санкт-Петербург, 2008.

2. «Задачи для подготовки к олимпиадам. Математика 5-8 классы» сост. Н.В. Заболотнева. – Волгоград: Учитель, 2007.- 99с.

3. Лихтарников Л.М. Занимательные логические задачи. (Для учащихся начальной школы) Оформление С. Григорьева — СПб.: Лань, МИК, 1996.- 125с.

4. Л.М.Лоповок 1000 проблемных задач по математике. Книга для учащихся Москва : Просвещение, 1995

5. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры: Книга для учащихся 7-9 кл. средней школы — М.: Просвещение, 1990.- 224 с.: ил.

6. Чулков П.В. Математика. Школьные олимпиады: методическое пособие. 5- кл./ П.В. Чулков.- М.: Издательство НЦ ЭНАС, 2007.- 88с. (Портфель учителя).

7. Шуба М.Ю. Занимательные задачи в обучении математике: Книга для учителя. — 2-е изд.-М.: Просвещение, 1995.- 22с.

4

Просмотров работы: 75117

муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя школа №14»

 Исследовательская работа                                                                     

Последние цифры степеней

Выполнила:

Ученица 7 «А» МБОУ СШ №14

 г.Арзамаса,

Половникова Елизавета,          Руководитель:

Власова Татьяна Борисовна-

учитель математики первой категории

.Адрес:  607233 Нижегородская обл.,

г. Арзамас, 11мик-н, д.11

тел. рабочий:  8 (83147)2-65-49

 эл. почта: www.school14.org

E-mail:school14info@rambler.ru

г.Арзамас, 2017г.

Содержание

Введение…………………………………………………………………………1

Цели и задачи исследования……………..……………………………………1  

Глава 1. Обзор литературы

1.1.Степень числа…….…………………………………………………………………..2

1.2.Последняя цифра степени…….………………………………………..….2

1.3.Закономерности изменения последней цифры степени натурального числа…………………………..…………………………………………………2

1.4.Алгоритм нахождения последней цифры степени по остатку от деления её показателя на 4………………………………………………………………….3

Глава 2. Практическая часть…………..……………………………………4

Выводы…..……………….………………………………………..……………5

Литература………………………………………….………………………….6

Приложение……………………………………………………………………7

Введение.

      Алгебру называют нередко «арифметикой семи действий», с четырьмя математическими операциями мы знакомы ещё с начальной школы, в 5 классе познакомились с пятым действием: возведение в степень. Вызвана ли потребность в этом новом действии практической жизнью? Безусловно. Мы очень часто сталкиваемся с ним в реальной действительности. Вспомним о многочисленных случаях вычисления площадей и объемов, где обычно приходится возводить числа во вторую и третью степени. 

     Однажды, листая страницы сборника олимпиадных задач по матеамтике, я увидела с первого взгляда очень трудную задачу, точнее сказать пример. Надо было найти последнюю цифру суммы 19811989 + 19821989 + 19831989 + 19841989 +19851989 +…+ 19891989. Потом я подумала, а ведь должен же быть, какой-нибудь рациональный способ вычисления. Мне стало интересно, есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра степени натурального числа?

Гипотеза: Можно ли сказать какой будет последняя цифра у любой степени?

Цели и задачи исследования.

Цель работы: построить алгоритм нахождения последней цифры числа.

Задачи:

• изучить литературу по данной теме;
• построить таблицу последних цифр различных степеней;
• выявить закономерность изменения последней цифры степени натурального числа;
• применить данные закономерности при решении задач.

Метод исследования: теоретический (изучение, анализ и синтез), системно-поисковый, практический.

1

Глава 1. Обзор литературы.

                                                 1.1.Степень числа

      Мы уже знаем, что сумму одинаковых слагаемых обычно записывают короче и называют произведением: а + а + а + а = 4а.

     Произведение одинаковых множителей также записывают короче и называют степенью:  а⋅а⋅а⋅ а= а 4.

Читают: «а в степени 4» (или просто «а в четвертой»). При этом число а, называют основанием степени, а число 4 – показателем степени.

     Степенью числа а с натуральным показателем n (n>1) называется произведение  n множителей, каждый из которых равен а:  

1.2.Последняя цифра степени

    Проведем небольшое исследование: выясним есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра числа 2n, где n – натуральное число, с изменением показателя n. Для этого рассмотрим таблицу:

21 = 2 25 = 32 29 = 512

22 = 4 26 = 64 210 = 1024

23 = 8 27 = 128 211 = 2048

24 = 16 28 = 256 212 = 4096

     Мы видим, что через каждые четыре шага последняя цифра повторяется. Заметив это, нетрудно определить последнюю цифру степени 2n для любого показателя n.

     В самом деле, возьмем число 2100. Если бы мы продолжили таблицу, то оно попало бы в столбец, где находятся степени 24, 28, 212, показатели которых кратны четырем. Значит, число 2100, как и эти степени, оканчивается цифрой 6.

     Возьмем к примеру, 222, если проверить, просто посчитав, используя калькулятор, то получится 4194304 – последняя цифра 4.

     Теперь попробуем пользоваться таблицей, но в таблице 4 числа, а показатель степени 22, однако, после последнего числа этот «круг» начинается заново. Поэтому, показатель степени 22 делим на 4, получаем число 5 и остаток 2,  т.е мы сделаем 5 «кругов», и отсчитаем ещё 2 в перед, а второе число – это 4, значит, таблица работает.

     А теперь посмотрим, можно ли составить таблицы для остальных чисел. Все описывать не буду, лишь скажу, что у меня получилось составить таблицу для всех чисел от 1 до 10, а далее будет повторяться, допустим, у 12 последние числа будут такие же, как и у 2, а у 25 – так же, как и у 5.

1.3.Закономерности изменения последней цифры степени натурального числа

     Я решила заполнить таблицу, где в первой строке написаны цифры, которыми оканчиваются записи натуральных чисел. Во — второй строке — цифры, которыми оканчиваются соответствующие квадраты, в третьей – кубы и т.д.

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
	1	4	9	6	5	6	9	4	1	0
	1	8	7	4	5	6	3	2	9	0
	1	6	1	6	5	6	1	6	1	0
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
	1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

2

     Я заполнила пятую строку, затем шестую и удивились. Оказывается, пятая степень числа оканчивается той же цифрой, что и первая степень числа; а шестая степень числа оканчивается той же цифрой, что и вторая степень этого числа; седьмая степень – что и третья степень этого числа.

     Итак, результаты в таблице повторяются через каждые четыре строки.

После решения этих примеров и заполнения таблицы я вывела следующие закономерности изменения последней цифры степени натурального числа :

• Во-первых, квадрат натурального числа может оканчиваться любой цифрой;
• Во-вторых, куб натурального числа может оканчиваться любой цифрой;
• В-третьих, четвертая степень натурального числа может оканчиваться одной из цифр: 0, 1, 5, 6;
• В-четвертых, пятая степень натурального числа оканчивается той же цифрой, что и само число;
• В-пятых, если запись натурального числа оканчивается на 1, на 5, на 6, то любая степень этого числа оканчивается соответственно на 1, на 5, на 6;
• В-шестых, нечетные степени числа 4 оканчиваются цифрой 4, а четные — цифрой 6.

     Тогда возник вопрос, а нельзя ли найти способ определения последней цифры степени по остатку от деления ее показателя на 4.

1.4. Алгоритм нахождения последней цифры степени по остатку от деления её показателя на 4

      Найдем последнюю цифру степеней , где показатели степеней делятся на 4 нацело.

	531441	12:4=3(остаток 0)	1
	84934656	4:4=1(остаток 0)	6
	4294167296	16:4=4(остаток 0)	6
	130321	4:4=1(остаток 0)	1
	152387890625	8:4=2(остаток 0)	5

      Вывод: если остаток равен 0, то для всех нечетных оснований, кроме чисел, оканчивающихся на 5, искомая цифра равна 1, а для четных, искомая цифра равна 6.

     Найдем последнюю цифру степеней , где показатели степеней делятся на 4 с остатком, равным 1.

	5153632	5:4=1(остаток 1)	2
	10604499373	9:4=2(остаток 1)	3
	87089010407	13:4=3(остаток 1)	7

     Вывод: если остаток равен 1, то последняя цифра будет равна последней цифре основания степени.

      Найдем последнюю цифру степеней , где показатели степени делятся на 4 с остатком, равным 2.

	16777216	6:4=1(остаток 2)	6
	609623072849	14:4=3(остаток 2)	9
	85766121	10:4=2(остаток 2)	1

     Вывод: : если остаток равен 2, то последняя цифра будет равна квадрату последней цифре в записи основания степени.

     Найдем последнюю цифру степеней

3

	62748517	7:4=1(остаток 3)	7
	31381059609	11:4=2(остаток 3)	9

    Вывод: если остаток равен 3, то последняя цифра будет равна кубу последней цифре в записи основания степени.

Итак, мы получили алгоритм нахождения последней цифры степени натурального числа.

Чтобы найти последнюю цифру степени натурального числа с натуральным показателем, надо:

Найти остаток от деления показателя степени на 4;

Если остаток равен

а) 1, то искомая цифра будет совпадать с последней цифрой основания степени;

б) 2, то искомая цифра будет равна последней цифре в записи квадрата основания;

в) 3, то искомая цифра будет равна последней цифре в записи куба основания;

г) 0, то для всех нечетных оснований, кроме чисел, оканчивающихся на 5, искомая цифра равна 1, а для четных, кроме круглых чисел, искомая цифра равна 6.

Глава 2. Практическая часть.

1.Найти последнюю цифру числа .

Решение:

 

2001:4=500 (остаток 1)

Следовательно, последняя цифра равна последней цифре основания степени, т.е. 2.

187:4=46 (остаток 3)

Следовательно, последняя цифра равна кубу последней цифре в записи основания степени, т.е. 2³=8.

114:4=28 (остаток 2)

Следовательно, последняя цифра равна квадрату последней цифры в записи основания степени, т.е. 3²=9.

2.Какой цифрой оканчивается число ?

Решение:

11:4=3 (остаток 3).

Следовательно, последняя цифра числа  — 1.

12:4=3 (остаток 0).

Следовательно, последняя цифра числа  — 6.

13:4=3 (остаток 1).

Следовательно, последняя цифра  числа  — 3.

Получаем, 1+6+3=10. Итак, последняя цифра числа 0.

3.Найти последнюю цифру числа .

Решение:

365:4=91 (остаток 1).

Следовательно, последняя цифра числа  — 2.

241:4=60 (остаток 1).

Следовательно, последняя цифра числа  — 3.

Получаем, 2+3=5. Итак, последняя цифра числа 5.

4

4.Какова последняя цифра числа .

Решение:

358:4=89 (остаток 2).

Следовательно, последняя цифра числа  — 9.

275:4=68 (остаток 3).

Следовательно, последняя цифра числа  — 7.

Получаем, 9+7=16. Итак, последняя цифра числа 6.

5.Доказать, что число  не делится нацело на 15.

Решение: Т.к. 15=5·3, то данное число  должно делиться на 5 и на 3. Выясним, делится ли оно на 5. Для этого, число должно оканчиваться цифрой 5 или 0.

2016:4=504 (остаток 0).

Тогда,  оканчивается цифрой 1,  оканчивается цифрой 6,  оканчивается цифрой 5. Получаем 1+6+5=12. Следовательно, число   оканчивается цифрой 2, а значит, оно не делится на 15.

6.Найдите последнюю цифру суммы 19811989 + 19821989 + 19831989 + 19841989 +19851989 +…+ 19891989 .

1989:4=499 (остаток 3).

Тогда  оканчивается цифрой 1,  — 8,  — 7,   — 4,

 — 5,  — 6,  — 3,  — 2,  — 9.

Получаем: 1+8+7+4+5+6+3+2+9=45. Следовательно, 19811989 + 19821989 + 19831989 + 19841989 +19851989 +…+ 19891989  оканчивается цифрой 5.

Выводы.

     В ходе исследования я выявила закономерности изменения последней цифры степени натурального числа, а также применила данные закономерности при решении задач. При применении данных закономерностей возникают расширенные возможности для решения алгебраических задач. Данная работа будет полезна как для проведения факультативных занятий по математики для более глубокого изучения алгебры, а также для подготовки к олимпиадам по математике.

       Результат моего исследования: выявлены закономерности изменения последней цифры степени натурального числа.

5

Литература

1. Н.Х. Агаханов, Л.П.Купцов и др. Математические олимпиады школьников. – М.: Просвещение, 1997
2. Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др. Алгебра. 7 класс: учебник для общеобразовательных организаций/ — М.: Просвещение, 2013
3. Р.И.Довбыш, Л.Л.Потемкина Математические олимпиады: 906 самых интересных задач – Ростов н/Д: Феникс: издательский центр «Кредо», 2006
4. http//portfolio.1september.ru
5. http://mat.1september.ru/view_article.phpID=201000202 

6

Приложение

7

Последняя цифра степени.

Приведем небольшое исследование: выясним есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра числа 2ⁿ, где n – натуральное число, с изменением показателя n. Для этого рассмотрим таблицу:

21 = 2 25 = 32 29 = 512

22 = 4 26 = 64 210 = 1024

23 = 8 27 = 128 211 = 2048

24 = 16 28 = 256 212 = 4096

Мы видим, что через каждые четыре шага последняя цифра повторяется. Заметив это, нетрудно определить последнюю цифру степени 2ⁿ для любого показателя n.

В самом деле, возьмем число 2¹⁰⁰. Если бы мы продолжили таблицу, то оно попало бы в столбец, где находятся степени 2⁴, 2⁸, 2¹², показатели которых кратны четырем. Значит, число 2¹⁰⁰, как и эти степени, оканчивается цифрой 6.

Возьмем к примеру, 2²², если проверить, просто посчитав, то получится 4194304 – последняя цифра 4.

Теперь попробуем пользоваться таблицей, но в таблице 4 числа, а показатель степени 22, однако, после последнего числа этот «круг» начинается заново. Поэтому, показатель степени 22 делим на 4, получаем число 5 и остаток 2 т.е мы сделаем 5 «кругов», и отсчитаем ещё 2 в перед, а второе число – это 4, значит, таблица работает.

А теперь посмотрим, можно ли составить таблицы для остальных чисел. Все описывать не буду, лишь скажу, что у меня получилось составить таблицу для всех чисел от 1 до 10, а далее будет повторяться, допустим, у 12 последние числа будут такие же, как и у 2, а у 25 – так же, как и у 5.

Закономерности возведения в степень:

• Запись числа, являющегося полным квадратом, может оканчиваться только цифрами 0, 1, 4, 5, 6 или 9.

• Если запись числа оканчивается цифрой 0, 1, 5 или 6,то возведение в любую степень не изменит последние цифры.

• При возведении любого числа в пятую степень его последняя цифра не изменится.

• Если число оканчивается цифрой 4 (или 9), то при возведении в нечетную степень последняя цифра не изменяется, а при возведении в четную степень изменится на 6 (или 1 соответственно).

• Если число оканчивается цифрой 2, 3, 7 или 8, то при возведении в степень возможны четыре различных цифры.

Две последних цифры степени.

Мы теперь знаем, что последняя цифра рано или поздно будет повторяться. Но как же обстоит дело с 2-мя последними цифрами? Я осмелюсь предположить, что не только 2, но и 3 и более последних цифр будут повторяться. Что ж проверим это, так же я заметила, что периоды из прошлой таблицы просто увеличились в 5 раз, кроме чисел 5 и 10, а про число 1 я писать не стала, так как результат всегда будет 1.

Степень	02	03	04	05	06	07	08	09	10
Х2	04	09	16	25	36	49	64	81	00
Х3	08	27	64	25	16	43	12	29	00
Х4	16	81	56	25	96	01	96	61
Х5	32	43	24		76	07	68	49
Х6	64	29	96		56		44	41
Х7	28	87	84		36		52	69
Х8	56	61	36				16	21
Х9	12	83	44				28	89
Х10	24	49	76				24	01
Х11	48	47	04				92	09
Х12	96	41					36
Х13	92	23					88
Х14	84	69					04
Х15	68	07					32
Х16	36	21					56
Х17	72	63					48
Х18	44	89					84
Х20	88	67					72
Х21	76	01					76
Х22	52	03					08
Х23	04
Повтор	20	20	10	1	5	4	20	10	1

(Красным кругом выделен период)

Заметим, что у некоторых чисел, например 1-е не входит в период, так как, например, у числа 2, после последнего числа 52, будет 04, а не 02, поэтому оно само не входит в этот период, следовательно, перед тем как вычислять последние 2 цифры надо будет вычесть из показателя степени 1.

К сожалению, с 2-мя последними цифрами не получится как с 1-й, и последние 2 цифры 3 не будут одинаковы с 2-мя последними цифрами 13, и таблицу для остальных надо составлять отдельно.

Степень	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Х2	21	44	69	96	25	56	89	24	61	00
Х3	31	28	97	44	75	96	13	32	59	00
Х4	41	36	61	16	25	36	21	76	21
Х5	51	32	93	24		76	57	68	99
Х6	61	84	09	36		16	69	24	81
Х7	71	08	17	04			73		39
Х8	81	96	21	56			41		41
Х9	91	52	73	84			97		79
Х10	01	24	49	76			49		01
Х11	11	88	37	64			33		19
Х12		56	81	96			61
Х13		72	53				37
Х14		64	89				29
Х15		68	57				93
Х16		16	41				81
Х17		92	33				77
Х18		04	29				09
Х20		48	77				53
Х21		76	01				01
Х22		12	13				17
Х23
Повтор	10	20	20	10	2	5	20	4	10	1

Введение

При работе с большими числами часто возникает необходимость найти последнюю цифру степени числа. В данной статье мы рассмотрим алгоритм нахождения последней цифры числа 588^588.

Алгоритм

Для нахождения последней цифры числа 588^588 мы будем использовать свойство последней цифры возведения в степень. Последняя цифра степени числа определяется только последней цифрой этого числа.

Шаг 1

Для нахождения последней цифры числа 588^588 необходимо определить последнюю цифру числа 588. Это делается путем вычисления остатка от деления этого числа на 10.

588 % 10 = 8

Шаг 2

Далее вычисляем остаток от деления степени на 4. Поскольку четверка имеет периодический цикл 6, то для определения остатка от деления степени на 4 можно вычислить остаток от деления степени на 6.

588 % 6 = 0

Шаг 3

Определяем степень двойки, которая соответствует остатку от деления степени на 4.

2^0 = 1
2^1 = 2
2^2 = 4
2^3 = 8
2^4 = 6
2^5 = 2
…

Поскольку остаток от деления степени на 4 равен 0, необходимо выбрать степень двойки, которая соответствует 4: 2^2 = 4.

Шаг 4

Определяем последнюю цифру числа 588^588, используя последнюю цифру числа и степень двойки.

8^4 = 4096

Последняя цифра числа 4096 равна 6.

Таким образом, последняя цифра числа 588^588 равна 6.

Примеры вычислений

Пример 1

Найти последнюю цифру числа 588^588.

Решение

1. Последняя цифра числа 588 равна 8.
2. Остаток от деления 588 на 6 равен 0.
3. Степень двойки, соответствующая остатку 0, равна 2^2 = 4.
4. Последняя цифра числа 8^4 равна 6.
5. Ответ: 6.

Пример 2

Найти последнюю цифру числа 12^12.

Решение

1. Последняя цифра числа 12 равна 2.
2. Остаток от деления 12 на 4 равен 0.
3. Степень двойки, соответствующая остатку 0, равна 2^2 = 4.
4. Последняя цифра числа 2^4 равна 6.
5. Ответ: 6.

Заключение

Алгоритм нахождения последней цифры числа 588^588 позволяет быстро и эффективно находить ответ на поставленную задачу. Этот алгоритм может быть использован для нахождения последней цифры степени любого числа.