Как найти посторонние корни уравнения

Посторонние и потерянные корни.

Комплекс уравнений,

при решении которых выполняются тождественные преобразования, приводящие к появлению посторонних корней или их потере.

Рассмотрим несколько конкретных примеров, где некоторые преобразования уравнений приводят к новым уравнениям,  неравносильным данному, что ведёт к появлению посторонних корней или их потере.

Пример 1.

Дано уравнение 3х(х – 1) = 5(х – 1).

1 способ решения:

Раскроем скобки в данном уравнении, перенесём все члены в левую часть и решим квадратное уравнение.

3х² — 8х + 5 = 0

Корни уравнения  х = 1, х= .

2 способ решения:

Сократить обе части уравнения на общий множитель (х – 1), то получится уравнение

3х = 5, которое имеет всего лишь один корень х = .

Таким образом, деление обеих частей уравнения на множитель, содержащий неизвестное, может привести к потере корней.

Пример 2.

Дано уравнение 2х -3 = 5 .

Данное уравнение имеет единственный корень х = 4.

Возведём обе части этого уравнения в квадрат, получим (2х – 3)² = 25.

Решая это уравнение, найдём корни: х = -1, х = 4.

Новое уравнение(2х – 3)² = 25 неравносильно исходному уравнению 2х – 3= 5.

Корень х = -1 не является корнем исходного уравнения, следовательно, является посторонним корнем.

Посторонний корень может появиться при возведении обеих частей уравнения в квадрат, вообще в чётную степень.

Пример 3.

= 0.

Сократим дробь, стоящую в левой части уравнения  на х и получим уравнение

  х·(х – 1) = 0

   Решим данное уравнение: х = 0 или х – 1= 0

                                                                     х = 1,

т.е. корни данного уравнения 0 и 1.

Корнем исходного уравнения 0 не является, так как в исходном уравнении придётся делить на ноль, а так как на 0 делить нельзя, то х =  0  — посторонний корень.

Ответ:1.

Посторонний корень может появиться при сокращении дроби на выражение, содержащее неизвестное.

Пример 4.

 = 2 — х

Решение:

Возведём обе части уравнения в квадрат (возведение в чётную степень)

х + 4 = 4 – 4х + х²

х² -5х = 0

х = 0

х=  5

х= 5 – посторонний корень

Так как уравнение f²(х) = g²(х) является уравнением —  следствием не только для уравнения

 f(х) = g(х),  но и для уравнения f(х) = — g(х). Поэтому при возведении в квадрат корни не теряются, но посторонние корни появиться могут. Уравнения не равносильны, но они равносильны на области определения: х 2.

Уравнение исходное можно заменить на равносильную систему

При решении иррациональных уравнений надо делать проверку подстановкой корней в исходное уравнение или использовать ОDЗ в зависимости от того, где вычисления выполняются легче.

Пример 5.

= х – 2

Возведём обе части уравнения в квадрат.

()²= (х – 2)²

2х – 1 = х²- 4х + 4

2х – 1 — х² + 4х – 4 = 0

— х²- 6х + 5 = 0

х =  3 + 2 = 5

х = 3 – 2 = 1

                                                          Проверка.                                                      

х= 1                                                                                                    х= 5                                                                                        

 = 1 – 2                                                                             = 5 — 2                    

1 = — 1 – неверное                                                                    3 = 3 – верное

 х= 1 – посторонний корень                                                     х= 5 – корень

Ответ:5.

Пример 6.

 = —х

Возведём обе части уравнения в квадрат (возведение в чётную степень).

()² = (-х)²

1 + х = х²

х² — х – 1 = 0

4х² — 81х – 81 = 0

х=

х=           х=

Проверка подстановкой в данном случае будет сопровождаться значительными трудностями при вычислении, поэтому прибегнем к использованию ОDЗ:

 Из уравнения    = —х        —х  0

Подставим в данное неравенство полученные корни.

1)   х=  Имеем:         —·   0 – неверное, т.к. произведение положительного и отрицательного числа отрицательно. Значит, х=   — посторонний корень.

2) х= .   Имеем:         —·   0 – верное, т.к. произведение двух отрицательных чисел положительно. Значит, х=    — корень уравнения.

Ответ: .

Посторонние корни могут появиться также при умножении обеих частей уравнения на множитель, содержащий неизвестное, если этот множитель при действительных значениях х обращается в нуль.

Пример7.

 +  =  |• (х-1).(х-2)0

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей, не равный нулю.

1 + 3х – 6 =  — х ² + 4х -3

х ²  — х – 2 = 0

х = -1      х=  2

Проверку в дробно – рациональных уравнениях делаем по условию неравенства нулю знаменателя, проверяем условие (х-1).(х-2)0

х = -1                                                         х = 2                  

(-1 – 1)(-1 – 2) 0                                      (2 -1 )(2 – 2) 0

60- верное                                           00 – неверное

х— корень уравнения                                 х— посторонний корень

Ответ: -1.

 Причиной изменения множества корней уравнения во время его преобразования является применение равенств, правая и левая части которых имеют разные области определения. Вот некоторые из них:

• х = ()²

•  =  ·

•  log(х·у) = logх + logу

• logх² =  2logх

• tg(x +y) =

• sin x =

В каждом из этих равенств область определения выражения, стоящего в правой части, является подмножеством  области выражения, стоящего в левой части. Поэтому использование этих равенств слева направо может привести к потере корней, а справа налево – к появлению посторонних корней.

Пример  8. 

log(х – 2) + log(х+3) = 2

Решение:

По свойству логарифмов имеем:

log(х – 2)(х + 3) = 2

(х – 2)(х + 3) = 36

х² + х — 6 -36 = 0

х² + х – 42 = 0

х =6 и х =-7     х = -7 – посторонний корень

Исходное и последнее уравнения неравносильны в ОDЗ

 Чтобы исключить посторонний корень надо использовать ОDЗ  или уравнение заменить равносильной системой            

Пример 9.

3sinx + 4 cos x = 5

3 + 4 = 5

 = 0

(3tg-1)² =0

tg =

 = arctg +, n

х = 2arctg+ 2, n

При переходе от уравнения (1) к уравнению(2) могла произойти потеря корней, значит необходимо проверить, являются ли корни уравнения cos=0 корнями данного уравнения.

cos=0

 =  + 2, n

х = , n

Проверка.

Если х = , n,тогда 3sin() + 4cos () = 5, х

0 + 4(-1) = 5 – не верно, значит х = , n, не является корнями исходного уравнения.

Ответ: х = 2arctg+ 2, n

Итак, в процессе решения каждое уравнение заменялось на какое-то новое, а у нового уравнения естественно могут быть свои корни. Проследить за изменением корней, не допустить их потери и отбросить лишние корни – это и есть задача правильного решения уравнений.

Источник

Проверка корней и потеря корней

В ходе решения уравнений, выполняя различные преобразования, можем получить уравнение-следствие. Это может произойти, если применить одну из теорем — (4), (5) или (6) — не проверив факт выполнения ограничений, заложенных в формулировке теоремы.

Пример:

возведём в квадрат левую и правую части равенства

x−2=4

.

x−22=16;x2−4x+4=16;x2−4x−12=0;x1=6,x2=−2.

Второй корень (-2) не является корнем исходного уравнения

x−2=4

. Мы получили посторонний корень, так как левая часть уравнения может быть отрицательной,  и при возведении левой и правой частей в квадрат не выполнено условие теоремы (5).

Область определения уравнения может увеличиться, если при его решении:

1) избавляемся от знаменателя, содержащего переменную;

2) избавляемся от знака корня чётной степени;

3) избавляемся от знака логарифма.

Обрати внимание!

Для выявления посторонних корней при переходе к уравнению-следствию необходима проверка всех найденных корней.

Посторонние корни могут появиться при:

1) расширении области определения уравнения;

2) возведении левой и правой частей уравнения в одинаковую чётную степень;

3) умножении левой и правой частей уравнения на имеющее смысл выражение с переменной.

При решении уравнений, при замене одного уравнения другим может как появиться посторонний корень, так и потеряться какой-то корень.

Корень можно потерять при:

1) делении левой и правой частей уравнения на выражение (h(x)) (при h(x)≠0);

2) сужении области определения уравнения.

(1) способ:                    (2) способ:

x2=104;2lgx=4;x2=10000;lgx=2;x1=100,x=100.x2=−100.

При решении вторым способом  произошла потеря корня (x=-100).

Причина здесь — в неправильном применении формулы, которая сузила область определения выражения, т. е. вместо правильной формулы

lgx2=2lg|x|

 (область определения (x) — любое число, кроме (0)) мы воспользовались неправильной формулой

lgx2=2lgx

, перешли к выражению с областью определения (x>0), т. е. только положительные числа. Область определения уменьшилась и в неё не вошёл отрицательный корень уравнения.

Поэтому, применяя при решении уравнения какую-либо формулу, необходимо проследить, чтобы в правой и левой части формулы ОДЗ переменной были бы одинаковыми.

Источник

Самостоятельная работа      «Разложение многочлена на множители»
1 вариант
№1. Разложить многочлен на множители:
1. 14 – 14m2,        2) 3a – 3a3,         3) 3×2 – 24xy + 48y2,     4) ­3a4 – 12a3 – 12a2,
5) a2 ­ 2ab + b2 – 25,    6) a + 5b + a2 ­25b2,        7) x2 – y2 – 6x + 9.
№2. Решить уравнение:
1. 7х3 – 63х = 0,     2) 49х3 – 14х2 + х =0,      3) х3 – 5х2 – х + 5 =0,
4) х3 – 3х2 – 4х + 12 =0,      5) х4 + 2х3 + 8х + 16 = 0.
…………………………………………………………………………………………………
Самостоятельная работа      «Разложение многочлена на множители»
1 вариант
№1. Разложить многочлен на множители:
2. 14 – 14m2,        2) 3a – 3a3,         3) 3×2 – 24xy + 48y2,     4) ­3a4 – 12a3 – 12a2,
5) a2 ­ 2ab + b2 – 25,    6) a + 5b + a2 ­25b2,        7) x2 – y2 – 6x + 9.
№2. Решить уравнение:
2. 7х3 – 63х = 0,     2) 49х3 – 14х2 + х =0,      3) х3 – 5х2 – х + 5 =0,
4) х3 – 3х2 – 4х + 12 =0,      5) х4 + 2х3 + 8х + 16 = 0.
………………………………………………………………………………………………
Самостоятельная работа      «Разложение многочлена на множители»
1 вариант
№1. Разложить многочлен на множители:
3. 14 – 14m2,        2) 3a – 3a3,         3) 3×2 – 24xy + 48y2,     4) ­3a4 – 12a3 – 12a2,
5) a2 ­ 2ab + b2 – 25,    6) a + 5b + a2 ­25b2,        7) x2 – y2 – 6x + 9.
№2. Решить уравнение:
3. 7х3 – 63х = 0,     2) 49х3 – 14х2 + х =0,      3) х3 – 5х2 – х + 5 =0,
4) х3 – 3х2 – 4х + 12 =0,      5) х4 + 2х3 + 8х + 16 = 0.
Самостоятельная работа      «Разложение многочлена на множители»
2 вариант
№1. Разложить многочлен на множители:
1. 7х2 ­ 28,        2) 3a3 – 108a,         3) 3×2 – 48xy + 192y2,     4) ­75a6 + 30a4 – 3a2,
5) х2 + 2ху + у2 – 64,    6) m2 + 16n2 + 8mn –b2,        7) a2 – c2 – 6a + 9.
№2. Решить уравнение:
1. 7х3 – 28х = 0,     2) 81х3 + 36х2 + 4х =0,      3) х3 + 4х2 + 4х + 16 =0,
4) х3 – 2х2 – 9х + 18 =0,      5) a4 + 2a3 + 8a + 16 = 0.
…………………………………………………………………………………………….
Самостоятельная работа      «Разложение многочлена на множители»
2 вариант
№1. Разложить многочлен на множители:
1. 7х2 ­ 28,        2) 3a3 – 108a,         3) 3×2 – 48xy + 192y2,     4) ­75a6 + 30a4 – 3a2,
5) х2 + 2ху + у2 – 64,    6) m2 + 16n2 + 8mn –b2,        7) a2 – c2 – 6a + 9.
№2. Решить уравнение:
1. 7х3 – 28х = 0,     2) 81х3 + 36х2 + 4х =0,      3) х3 + 4х2 + 4х + 16 =0,
4) х3 – 2х2 – 9х + 18 =0,      5) a4 + 2a3 + 8a + 16 = 0.
………………………………………………………………………………………………..
Самостоятельная работа      «Разложение многочлена на множители»
2 вариант
1 №1. Разложить многочлен на множители:
1. 7х2 ­ 28,        2) 3a3 – 108a,         3) 3×2 – 48xy + 192y2,     4) ­75a6 + 30a4 – 3a2,
5) х2 + 2ху + у2 – 64,    6) m2 + 16n2 + 8mn –b2,        7) a2 – c2 – 6a + 9.
№2. Решить уравнение:
1. 7х3 – 28х = 0,     2) 81х3 + 36х2 + 4х =0,      3) х3 + 4х2 + 4х + 16 =0,
4) х3 – 2х2 – 9х + 18 =0,      5) a4 + 2a3 + 8a + 16 = 0.
Ответы:
1 вариант
№1  1) 14(1 – m)(1 + m),
              2)3a(1 – a)(1 + a),
              3) 3(x – 4y)2,
              4) – 3a2(a + 2)2,
              5) (a + b – 5)(a + b + 5),
              6) ( a + 5b)(1 + a – 5b),
              7) (x – 3 – y)(x – 3 + y).
       №2.  1) 0, 3, ­3,
   2)0, 
,
   3) 5, 1, ­1,
   4) 3, 2, ­2,
   5) ­2.
2 вариант
№1  1) 7(х – 2)(х + 2),
              2)3a(а – 6)(а + 6),
              3) 3(x – 8y)2,
              4) – 3a2(5a2 ­ 1)2,
              5) (х + у – 8)(х + у + 8),
              6) ( m + 4n ­b)(m + 4n + b),
              7) (a – 3 – c)(f – 3 + c).
       №2.  1) 0, 2, ­2,
   2)0, 
,
   3) ­ 4,
   4) 2, 3, ­3,
   5) ­2.
2

Источник

Рациональные уравнения – это уравнения, в которых и левая и правая части – рациональные выражения. Рациональное уравнение называется целым, или алгебраическим, если в нем нет деления на выражение, содержащее переменную. Решением, или корнем уравнения, называется всякое значение неизвестного х, при подстановке которого в обе части уравнения получается истинное числовое равенство. Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Если в результате преобразований мы заменим исходное уравнение следствием, то при решении нового уравнения мы можем получить корни, не являющиеся корнями исходного уравнения, т. е. посторонние корни. Однако, это не страшно, так как от посторонних корней, как правило, можно легко избавиться с помощью проверки.

Дробно-рациональные уравнения

Если в рациональном уравнении есть деление на выражение, содержащее переменную, то уравнение называется дробно-рациональным.

Решение дробно-рационального уравнения сводится в конечном итоге к замене исходного уравнения целым уравнением, которое равносильно исходному уравнению или является его следствием.

При решении дробного уравнения целесообразно поступать следующим образом:

  1. определить область допустимых значений переменной х (ОДЗ);
  2. найти наименьший общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
  3. умножить обе части уравнения на общий знаменатель и привести подобные;
  4. решить получившееся целое уравнение.

Пример. Ре­шить урав­не­ние: (frac{x}{x-2}-frac{7}{x+2}=frac8{x^2-4}). 

Ре­ше­ние: В самом на­ча­ле пе­ре­не­сем все сла­га­е­мые в левую сто­ро­ну, чтобы спра­ва остал­ся 0. По­лу­ча­ем:

(frac{x}{x-2}-frac{7}{x+2}-frac8{x^2-4}=0).

Те­перь при­ве­дем левую часть урав­не­ния к об­ще­му зна­ме­на­те­лю:

(begin{aligned} &frac{x}{x-2}-frac{7}{x+2}-frac8{(x-2)(x+2)}=0 \[6pt] &frac{x(x+2)-7(x-2)-8}{(x-2)(x+2)}=0 \[6pt] &frac{x^2+2x-7x+14-8}{(x-2)(x+2)}=0 \[6pt] &frac{x^2-5x+6}{(x-2)(x+2)}=0. end{aligned})

Дан­ное урав­не­ние эк­ви­ва­лент­но си­сте­ме: (begin{cases} x^2-5x+6=0\ (x-2)(x+2)ne0 \ end{cases})

Пер­вое урав­не­ние си­сте­мы – это квад­рат­ное урав­не­ние.

Вы­чис­ля­ем дис­кри­ми­нант: (D=b^2-4ac=(-5)^2-4cdot1cdot6=25-24=1=1^2).

Далее, по фор­му­ле кор­ней квад­рат­но­го урав­не­ния на­хо­дим:

(x_1=frac{-b+sqrt{D}}{2a}=frac{-(-5)+1}{2}=3; \x_2=frac{-b-sqrt{D}}{2a}=frac{-(-5)-1}{2}=2.)

Те­перь решим вто­рое нера­вен­ство: про­из­ве­де­ние мно­жи­те­лей не равно 0 тогда и толь­ко тогда, когда ни один из мно­жи­те­лей не равен 0.

Необ­хо­ди­мо, чтобы вы­пол­ня­лись два усло­вия: (begin{cases} x-2ne0\ x+2ne0 \ end{cases} Leftrightarrow begin{cases} xne2\ xne-2 \ end{cases} )

По­лу­ча­ем, что из двух кор­ней пер­во­го урав­не­ния под­хо­дит толь­ко один – 3.

Ответ: (x=3).

Источник


Загрузить PDF


Загрузить PDF

Иррациональное уравнение – это уравнение, в котором переменная находится под знаком корня. Для решения такого уравнения необходимо избавиться от корня. Однако это может привести к появлению посторонних корней, которые не являются решениями исходного уравнения. Для выявления таких корней необходимо подставить все найденные корни в исходное уравнение и проверить, соблюдается ли равенство.

Шаги

  1. Изображение с названием Solve Radical Equations with Extraneous Solutions Step 1

    1

    Запишите уравнение.

    • Рекомендуется использовать карандаш, чтобы иметь возможность исправлять ошибки.
    • Рассмотрим пример: √(2x-5) — √(х-1) = 1.
    • Здесь √ — это квадратный корень.

  2. Изображение с названием Solve Radical Equations with Extraneous Solutions Step 2

    2

    Обособьте один из корней на одной стороне уравнения.

    • В нашем примере: √(2x-5) = 1 + √(х-1)

  3. Изображение с названием Solve Radical Equations with Extraneous Solutions Step 3

    3

    Возведите обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от одного корня.

  4. Изображение с названием Solve Radical Equations with Extraneous Solutions Step 4

    4

    Упростите уравнение, сложив/вычтя подобные члены.

  5. 5

    Повторите описанный выше процесс для избавления от второго корня.

    • Для этого обособьте оставшийся корень на одной стороне уравнения.

      Изображение с названием Solve Radical Equations with Extraneous Solutions Step 5Bullet1

    • Возведите обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от оставшегося корня.

      Изображение с названием Solve Radical Equations with Extraneous Solutions Step 5Bullet2

  6. 6

    Упростите уравнение, сложив/вычтя подобные члены.

    • Изображение с названием Solve Radical Equations with Extraneous Solutions Step 6Bullet1

    • Сложите/вычтите подобные члены, а затем перенесите все члены уравнения влево и приравняйте их к нулю. Вы получите квадратное уравнение.

      Изображение с названием Solve Radical Equations with Extraneous Solutions Step 6Bullet2

  7. 7

    Решите квадратное уравнение через формулу нахождения корней квадратного уравнения.

    • Решение квадратного уравнения показано на следующем рисунке:

      Изображение с названием Solve Radical Equations with Extraneous Solutions Step 7Bullet1

    • Вы получите: (х — 2,53)(х – 11,47) = 0.

      Изображение с названием Solve Radical Equations with Extraneous Solutions Step 7Bullet2

    • Таким образом, х1 = 2,53 и х2 = 11,47.

      Изображение с названием Solve Radical Equations with Extraneous Solutions Step 7Bullet3

  8. 8

    Подставьте найденные корни в исходное уравнение и отбросьте посторонние корни.

    • Подставьте х = 2,53.

      Изображение с названием Solve Radical Equations with Extraneous Solutions Step 8Bullet1

    • — 1 = 1, то есть равенство не соблюдено и х1 = 2,53 является посторонним корнем.
    • Подставьте х2 = 11,47.

      Изображение с названием Solve Radical Equations with Extraneous Solutions Step 8Bullet4

    • Равенство соблюдено и х2 = 11,47 является решением уравнения.
    • Таким образом, отбросьте посторонний корень х1 = 2,53 и запишите ответ: x2 = 11,47.

      Изображение с названием Solve Radical Equations with Extraneous Solutions Step 8Bullet6

    Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 12 715 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти мужчину для любви
  • Как найти удаленную музыку на телефоне андроид
  • Как узнать свое древо составить
  • Приложение клавиатура samsung остановлено как исправить на телефоне
  • Как исправить сзв тд если неправильно указана дата приема на работу