Как найти постоянную притяжения

В современной формулировке закона всемирного тяготения присутствует коэффициент , называющийся гравитационной постоянной и стоящий перед формулой особняком. Интересно, что Ньютон, открывший закон притяжения, не использовал явную форму константы, численно она была определена больше века спустя со дня смерти учёного.

Что такое и чему равна гравитационная постоянная

Формула закона всемирного тяготения, известная по курсу школьной механики:

G – коэффициент пропорциональности или гравитационная постоянная;

m_1, m₂ – массы двух тел, испытывающих взаимное притяжение;

r – расстояние между ними.

Коэффициент пропорциональности G обозначает силу, с которой притягивается пара килограммовых объектов, расположенных друг от друга на метровом расстоянии. Значение константы обычно принимается равным:

Столь маленькое число объясняет, почему несмотря на постоянное действие гравитации люди, находящиеся рядом, не чувствуют силу тяготения – она проявляется на объектах огромных масс, имеющих высокие порядки, например, массе планет, Солнца, других звёзд.

В чём измеряется гравитационная постоянная

Несмотря на то, что гравитационная постоянная численно равна силе, её единицы измерения не ньютоны. Размерность коэффициента может показаться страшной –

, но её возникновение легко объясняется.

Согласно Международной системе единиц (системе интернациональной или СИ), сила измеряется в ньютонах, причём

то есть 1 ньютон – сила, изменяющая скорость килограммового объекта на 1 м/с за одну секунду.

После открытия закона тяготения определено: пара килограммовых тел притягивается друг к другу силой со значением, зависящим обратно пропорционально от квадрата расстояния между объектами.

То есть единица измерения гравитационной силы –

и размерность не совпадает с привычной . Требуется коэффициент, который должен уравнять единицы измерения привычной силы и силы гравитационного взаимодействия.

Проведём математические вычисления самостоятельно.

Нужно уравнять

и .

Для этого нужно разделить на 1с² и 1кг, а также умножить на м³, получим:

Получилась требуемая размерность.

Следовательно, постоянная имеет размерность .

Как найти гравитационную постоянную – история открытия

Коэффициент G – универсальная константа, измерение которой осуществляется экспериментальным путём. Доподлинно неизвестно, кто открыл значение гравитационной постоянной, первое употребление в «Трактате по механике» Пуассона датируется 1811 годом.

Работы Ньютона

При публикации закона тяготения в трактате Ньютона отсутствовало явное обозначение константы, характеризующее гравитацию и её действие. Коэффициент не появлялся в работах по физике вплоть до конца восемнадцатого века, его точное значение не было вычислено.

Вместо известной сегодня постоянной присутствовал гравитационный параметр:

M – масса объекта, причём, масса планеты или звезды, так как гравитационный параметр нашёл широкое распространение в астрофизике.

Сегодня для объектов Солнечной системы значение параметра рассчитано точнее, чем гравитационная постоянная G и масса по отдельности, так как она не требует серьёзных экспериментов, вычисляется на основании астрономических наблюдений.

Например:

Подробнее о использовании закона всемирного тяготения в астрономии вы можете прочитать в нашей статье.

Как была экспериментально определена гравитационная постоянная – эксперимент Кавендиша

Естествоиспытатель Джон Митчел придумал эксперимент для определения массы Земли при помощи крутильных весов, однако не реализовал его. После его смерти идея опыта и аппаратура перешли к английскому физику и химику Генри Кавендишу, который, усовершенствовав прибор, провёл ряд экспериментов и осуществил задумку своего предшественника.

Главенствующая роль в опытах отводилась установке. На метровой нити из меди подвешивалось коромысло длиной 1,8 метра, на его концах устанавливалась пара свинцовых шариков диаметром 5 сантиметров, массой 775 грамм. Чуть выше крепилась поворотная ферма, причём тщательно соблюдалось требование совпадения оси вращения фермы с медной нитью. На концах поворотной штанги находилось по одному большому свинцовому шару диаметром 20 сантиметров, массой 49,5 килограмм. Чтобы избежать влияния конвекционных воздушных потоков, вся установка накрывалась плотным деревянным кожухом. Вследствие взаимодействия лёгкие шарики притягивались к тяжёлым, закручивая нить и отклоняя коромысло. Угол отклонения фиксировался двумя телескопами, а сила упругости нити приравнивалась гравитационному взаимодействию шаров.

Величина определённой силы притяжения составляла 0,17 микроньютона. Если сравнивать это значение с весом маленького шара, то оно меньше последнего примерно в 45 миллионов раз.

В результате своего эксперимента Генри Кавендиш рассчитал среднюю плотность Земли, причём его эксперимент был точным – погрешность измеренного значения в сравнении с современным значением составляет всего 0,7%. Именно Кавендишу приписывают открытие значения гравитационной постоянной, однако он никогда не задавался подобной целью при проведении своих опытов. Очевидно, величина константы определена на основании результатов его эксперимента, но кто сделал это первым, неизвестно.

Измерение гравитационной постоянной

Значение константы, полученное по измеренной Кавендишем плотности, по разным источникам разнится. Британская энциклопедия называет число, равное , с каковым некоторые современные физики. Леон Нил Купер утверждает, что экспериментально полученное число равно , а Олег Павлович Спиридонов в сборнике  постоянных приводит значение .

Коэффициент пропорциональности определяли после Генри Кавендиша, причём зачастую его установку модернизировали новыми материалами. Например, в 1872 году Корню и Байль для измерения гравитационной постоянной использовали платиновые маленькие шарики и стеклянные, наполненные ртутью, большие. Результаты опыта показали значение

с относительной погрешностью 5*10^-3.

Современная история изменений гравитационной постоянной

Гравитационная постоянная – десятичная дробь, её значение постоянно уточняется, причём измерение коэффициента G происходит путём усовершенствования прибора Митчела и улучшения методов наблюдения. Например, в 2018 году учёные из России и Китая проводили опыты на установках разной конструкции. В первой группе применялся метод «time of swing» (TOS), где коэффициент пропорциональности зависит от колебательной частоты весов. Во второй – метод «angular acceleration feedback» (AAF), где угловое ускорение независимо вращающихся коромысел шаров измеряется системой управления с обратной связью, при этом нить поддерживается незакрученной.

По результатам команды первый метод продемонстрировал значение гравитационной постоянной , второй метод – . Относительная погрешность составила 11,6*10^-6

Комитет по данным для науки и техники (CODATA) рекомендовал на 2020 год значение коэффициента пропорциональности, равное:

Таким образом, гравитационная постоянная всё время уточняется, требуя новые, более точные способы измерения и вычисления.

Наблюдая за перемещением небесных объектов, люди пытались найти объяснение происходящим на небе событиям. У древних людей преобладали версии мистического характера. Но в 17-м веке Исааком Ньютоном было предложено первое научное объяснение перемещению астрономических тел. Теория гравитации совершенствовалась еще несколько столетий, пока не приобрела современный вид.

Однако, несмотря на наблюдения и опыт, в современной астрофизике есть много пробелов и нестыковок, которые ученые затрудняются объяснить. Например, гравитационная константа, значение которой до сих пор не получается определить с достаточной степенью точности. А в последнее время появились предположения, что эта величина не совсем и константа. В этой статье мы и рассмотрим данный вопрос.

Что такое гравитационная постоянная

Гравитационной постоянной (постоянной Ньютона) называют коэффициент, входящий в формулу закона всемирного тяготения. Численное значение константы гравитации (G, G_N или g) равно:

Постоянная Ньютона не зависит от характеристик взаимодействующих объектов и внешних критериев. Данный показатель активно используется практиками при вычислении орбит небесных объектов, в геолого-разведывательных процессах, в геодезии и геофизике.

Единица измерения гравитационной постоянной

Сила в физике сила измеряется в ньютонах:

Гравитационная постоянная численно равна силе, но при этом имеет другую размерность:

Данная единица измерения выводится при помощи несложных расчетов. Два тела весом по 1кг будут взаимно притягиваться с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:

Коэффициент, уравнивающий Н и единицу измерения гравитационной постоянной, вычисляется следующим образом:

Как найти гравитационную постоянную, история открытия

Открытию явления гравитации предшествовали труды многих исследователей. Еще в древней Греции были предложены гипотезы, которые пытались объяснить, почему материальные тела падают на землю, а не летят в произвольном направлении. История открытия гравитации представлена в таблице.

Николай Коперник	Обосновал модель мира, в которой Солнце занимает центральное место, а остальные объекты вращаются вокруг него (гелиоцентрическая модель).
Уильям Гилберт	Высказал предположение, что наша планета и ее спутник являются магнитами друг для друга, при этом магнитная сила Земли больше из-за того, что больше ее масса.
Иоганн Кеплер	Сформулировал ряд законов, в том числе 3-й, который был использован при разработке теории гравитации: период обращения планет в квадрате соотносится как большие полуоси орбит в кубе.
Галилео Галилей	Обосновал, что если на тело не оказывать никаких воздействий, то оно будет оставаться в бездействии. Сформулировал закон, смысл которого заключался в том, что все тела, независимо от их тяжести, падают вниз с одинаковой скоростью, при этом пройденный путь пропорционален квадрату времени, за которое тело достигло поверхности Земли.
Роберт Гук	Сформулировал закон всемирного тяготения для некруговых орбит и предложил Ньютону обосновать его математически. Создал теорию об универсальной силе тяжести.
Эдмунд Галлей	Просчитал обратно пропорциональную зависимость силы тяжести и квадрата расстояния.
Исаак Ньютон	На основании работ предшественников вывел закон всемирного тяготения.
Генри Кавендиш	Собрал приспособление, с помощью которого можно определить величину константы гравитации.
Симеон Дени Пуассон	В его трудах впервые появляется понятие  гравитационной константы.

Ньютона интересовало выведение научных правил, а не чистота искомых значений. Экспериментаторы, которые применяли формулу Ньютона на практике, столкнулись с необходимостью введения поправочного коэффициента, который позже получил название ньютоновская константа. Возник вопрос, чему равна гравитационная постоянная. Последовавшие в данном направлении работы показали, что найти гравитационную постоянную можно только опытным путем.

 Работы Ньютона

Научная почва для обоснования закона всемирного тяготения была основательно подготовлена предшественниками Ньютона. Большая часть расчетов базировалась на 3-м законе Кеплера. Сила, благодаря которой планеты удерживаются на орбитах, соизмерима с центростремительным ускорением, и должна быть обратно пропорциональна квадрату расстояния от центра планеты до центра Солнца. Сила, вызывающая падение предметов (пресловутого яблока) на землю, была сопоставлена ученым с силой,  удерживающей Луну на ее орбите. Кроме того, физик установил центростремительное ускорение Луны относительно Земли.

Ранее опытным путем было установлено значение ускорения свободного падения объектов. Ученый применил удобные для вычислений цифры: дистанция от Луны до центра Земли в 60 раз больше, чем дистанция от объекта, находящегося на поверхности Земли. Если объект направить к центру Земли, то он за 1 секунду пролетит такой же путь, который пройдет Луна за 1 минуту. Эксперименты подтвердили точность теоретических выкладок с погрешностью около 1%. Это указывало на общность природы происхождения сил тяготения.

Из этого можно заключить, что сила обоюдного притяжения должна соответствовать каждой из масс. Также было подтверждено, что гравитация обратно пропорциональна квадрату расстояния между объектами. Исходя из вышесказанного, формула закона всемирного тяготения будет иметь следующий вид:

где F – сила гравитационного тяготения, g – гравитационная постоянная,  m1 и m2 – массы объектов, R – расстояние между объектами.

Работы Ньютона внесли вклад в решение следующих вопросов:

1. перемещения тел по космическим орбитам;
2. ускорение свободного падения;
3. приливы океанических вод;
4. причины экваториальной выпуклости.

Эйнштейн использовал закон всемирного тяготения при разработке теории относительности. Постоянная гравитационная показывает соотношение между такими характеристиками уравнений поля, как геометрия пространства-времени и тензор энергии-импульса.

Вместо G Ньютон применял в расчетах «гравитационный параметр» µ.  Практические наблюдения за космическими телами позволили определить для ряда небесных объектов значение µ с минимальной погрешностью. Рассчитывают µ по формуле:

µ=GM;

где G – константа гравитации, M – масса объекта

В трудах Кеплера также  фигурирует гравитационный параметр. В физике с его помощью упрощают некоторые громоздкие формулы.

Экспериментальное определение гравитационной постоянной, эксперимент Кавендиша

Британец Джон Мичелл увековечил свое имя как создатель крутильных весов, с помощью которых впервые смогли определить величину g. Экспериментальное определение гравитационной постоянной не входило в планы исследователя. Он хотел «взвесить» нашу планету. Однако воплотить свои планы Мичелл не успел, и сконструированное им устройство после его кончины досталось Генри Кавендишу.

Кавендиш доработал установку. Конструкция включала шестифутовый стержень, закрепленный на медном волокне длиной 1 м. К плечам коромысла ученый прикрепил два шара из свинца по 775 грамм каждый, соорудив таким образом гантельку. Затем рядом с маленькими шариками он разместил крупные шары по 49,5 кг, что привело к возникновению явления гравитации между объектами. Стержень конструкции отклонился от первоначального положения, что дало возможность найти величину угла поворота гантельки. Опыт Кавендиша оказался успешным: увязав упругие свойства волокна, массу шаров, размер установки и значение угла, он определил массу Земли и ее среднюю плотность. Сегодня эксперимент Кавендиша по-прежнему актуален, исследователями разрабатываются инновационные модификации прибора.

 Измерение гравитационной постоянной

С измерением степени точности гравитационной постоянной g сложилась парадоксальная ситуация. Последние многочисленные эксперименты определяют отклонение с точностью 10-4. Это хуже на несколько порядков по сравнению с точностью определения прочих базисных величин. Сравнительно аккуратные результаты можно получить в условиях лаборатории, измеряя силу гравитации между двумя телами с известной массой (модификации эксперимента Кавендиша). Новые атомно-интерферометрические устройства оказались непригодными в измерении гравитационной постоянной в связи с гораздо большей величиной погрешности, чем при эксперименте на механических устройствах.

 Современная история изменений гравитационной постоянной

Неординарность ситуации с нахождением точного значения гравитационной константы привела к возникновению догадки, что G не является постоянной в классическом понимании и может с течением времени изменяться. В уравнениях общей теории относительности Эйнштейн увязал  гравитационную постоянную и космологическую константу – параметр, который влияет на устойчивость Вселенной.

Хаббл и Фридман обосновали опытным путем модель расширяющейся Вселенной, что противоречило теории стационарной Вселенной Эйнштейна. На долгое время ученые прекратили учитывать при вычислениях космологическую постоянную. В конце 1990-х годов было выявлено и подтверждено ускорение расширения Вселенной. Вновь открытые результаты не вписывались в теорию Хаббла-Фридмана, концепцию пришлось пересматривать, и космологическая постоянная вернулась в физику.

Современная Лямбда-CDM модель Вселенной учитывает космологическую постоянную. Данная концепция объясняет наличие антигравитации, «темной материи», реликтового излучения, и является стандартом в астрофизике с 1998-го года.

Интересно, что Лямбда-CDM модель хорошо коррелирует с космологией черной дыры. Все больше ученых склонны отказываться от Теории большого взрыва, поскольку накопившиеся научные данные противоречат общепринятому взгляду на образование Вселенной. В гипотезу, что видимое нами пространство-время (и мы вместе с ним) бесконечно «падает» в гигантскую черную дыру, отлично вписывается явление ускорения расширения Вселенной, «странности» реликтового излучения, наличие темной материи.

Современная история изменений гравитационной постоянной привела к попыткам астрономов переосмыслить данный физический параметр. Так, Филипп Мангейм считает, что константа g в зависимости от условий ее измерения может менять свое значение. В условиях нашей планеты постоянная g будет иметь известную ученым величину, а вот в космосе значение G будет гораздо меньше.

Космологическая постоянная,  описывающая скорость расширения Вселенной, имеет расчетное значение в 10120 раз превосходящее наблюдаемое. Если бы значение g было верным, то галактики не успели бы образоваться. По мнению Мангейма, в расчеты следует ввести новую величину, которая будет пропорциональна произведению космологической и гравитационной констант.

Такой подход позволит устранить существующие противоречия, но у него есть и свои недостатки: подвергаются сомнению основы теории относительности, не объясняется существование реликтового излучения и двойных пульсаров. Преимуществом идеи Мангейма является возможность синтеза теории гравитации и физики элементарных частиц в одну универсальную доктрину.

По вашему мнению, ньютоновская константа – это объективный параметр, или мы просто не все знаем о физических феноменах?

Общие сведения

Гравитационная постоянная или иначе – постоянная Ньютона – одна из основных констант, используемых в астрофизике. Фундаментальная физическая постоянная определяет силу гравитационного взаимодействия. Как известно, силу, с которой каждое из двух тел, взаимодействующих посредством гравитации, притягивается можно высчитать из современной формы записи закона всемирного тяготения Ньютона:

Здесь:

• m₁ и m₂ — тела, взаимодействующие посредством гравитации
• F₁ и F₂ – векторы силы гравитационного притяжения, направленные к противоположному телу
• r – расстояние между телами
• G – гравитационная постоянная

Данный коэффициент пропорциональности равен модулю силы тяготения первого тела, которая действует на точечное второе тело единичной массы, при единичном расстоянии между этими телами.

G = 6,67408(31)·10⁻¹¹ м³·с⁻²·кг⁻¹, или Н·м²·кг⁻².

Очевидно, что данная формула широко применима в области астрофизики и позволяет рассчитать гравитационное возмущение двух массивных космических тел, для определения дальнейшего их поведения.

Работы Ньютона

Примечательно, что в трудах Ньютона (1684—1686) гравитационная постоянная в явном виде отсутствовала, как и в записях других ученых аж до конца XVIII-го века.

Ранее использовался так называемый гравитационный параметр, который равнялся произведению гравитационной постоянной на массу тела. Нахождение такого параметра в то время было более доступно, поэтому на сегодняшний день значение гравитационного параметра различных космических тел (в основном Солнечной системы) более точно известно, нежели порознь значение гравитационной постоянной и массы тела.

µ = GM

Здесь: µ — гравитационный параметр, G – гравитационная постоянная, а M — масса объекта.

Размерность гравитационного параметра — м³с⁻².

Следует отметить тот факт, что значение гравитационной постоянной несколько варьируется даже до сегодняшнего дня, а чистое значение масс космических тел в то время было определить довольно сложно, поэтому гравитационный параметр нашел более широкое применение.

Эксперимент Кавендиша

Эксперимент по определению точного значения гравитационной постоянной впервые предложил английский естествоиспытатель Джон Мичелл, который сконструировал крутильные весы. Однако, не успев провести эксперимент, в 1793-м году Джон Мичелл умер, а его установка перешла в руки Генри Кавендишу – британскому физику. Генри Кавендиш улучшил полученное устройство и провел опыты, результаты которых были опубликованы в 1798-м году в научном журнале под названием «Философские труды Королевского общества».

Установка для проведения эксперимента состояла из нескольких элементов. Прежде всего она включала 1,8-метровое коромысло, к концам которого крепились свинцовые шарики с массой 775 г и диаметром 5 см. Коромысло было подвешено на медной 1-метровой нити. Несколько выше крепления нити, ровно над ее осью вращения устанавливалась еще одна поворотная штанга, к концам которой жестко крепились два шара массой 49,5 кг и диаметром 20 см. Центры всех четырех шаров должны были лежать в одной плоскости. В результате гравитационного взаимодействия притяжение малых шаров к большим должно быть заметно. При таком притяжении нить коромысла закручивается до некоторого момента, и ее сила упругости должна равняться силе тяготения шаров. Генри Кавендиш измерял силу тяготения посредством измерения угла отклонения плеча коромысла.

Более наглядное описание эксперимента доступно в видео ниже:

https://www.youtube.com/watch?v=iOgrSlzyFMA» frameborder=»0″ allowfullscreen>

Для получения точного значения константы Кавендишу пришлось прибегнуть к ряду мер, снижающих влияние сторонних физических факторов на точность эксперимента. В действительности Генри Кавендиша проводил эксперимент не для того, чтобы выяснить значение гравитационной постоянной, а для расчета средней плотности Земли. Для этого он сравнивал колебания тела, вызванные гравитационным возмущением шара известной массы, и колебания, вызванные тяготением Земли. Он достаточно точно вычислил значение плотности Земли – 5,47 г/см³ (сегодня более точные расчеты дают 5,52 г/см³). Согласно различным источникам, значение гравитационной постоянной, высчитанное из гравитационного параметра с учетом плотности Земли, полученной Кавердишем, составило G=6,754·10⁻¹¹ м³/(кг·с²), G = 6,71·10⁻¹¹м³/(кг·с²) или G = (6,6 ± 0,04)·10⁻¹¹м³/(кг·с²). До сих пор неизвестно, кто впервые получил численное значение постоянной Ньютона из работ Генри Кавердиша.

Измерение гравитационной постоянной

Наиболее раннее упоминание гравитационной постоянной, как отдельной константы, определяющей гравитационное взаимодействие, найдено в «Трактате по механике», написанном в 1811-м году французским физиком и математиком — Симеоном Дени Пуассоном.

Измерение гравитационной постоянной проводится различными группами ученых и по сей день. При этом, несмотря на обилие доступных исследователям технологий, результаты экспериментов дают различные значения данной константы. Из этого можно было бы сделать вывод, что, возможно, гравитационная постоянная на самом деле непостоянная, а способна менять свое значение, с течением времени или от места к месту. Однако, если значения константы по результатам экспериментов разнятся, то неизменность этих значений в рамках этих экспериментов уже проверена с точностью до 10^-17. Кроме того, согласно астрономическим данным постоянная G не изменилась в значительной степени за несколько последних сотен миллионов лет. Если постоянная Ньютона и способна меняться, то ее изменение не превысило б отклонение на число 10^-11 – 10^-12 в год.

Примечательно, что летом 2014-го года совместно группа итальянских и нидерландских физиков провели эксперимент по измерению гравитационной постоянной совсем иного вида. В эксперименте использовались атомные интерферометры, которые позволяют отследить влияние земной гравитации на атомы. Значение константы, полученное таким образом, имеет погрешность 0,015% и равняется G = 6.67191(99) × 10⁻¹¹ м³·с⁻²·кг⁻¹.

Gravitational constant
Common symbols	G
SI unit	m3⋅kg−1⋅s−2
Dimension

The gravitational constant (also known as the universal gravitational constant, the Newtonian constant of gravitation, or the Cavendish gravitational constant),^[a] denoted by the capital letter G, is an empirical physical constant involved in the calculation of gravitational effects in Sir Isaac Newton’s law of universal gravitation and in Albert Einstein’s theory of general relativity.

In Newton’s law, it is the proportionality constant connecting the gravitational force between two bodies with the product of their masses and the inverse square of their distance. In the Einstein field equations, it quantifies the relation between the geometry of spacetime and the energy–momentum tensor (also referred to as the stress–energy tensor).

The measured value of the constant is known with some certainty to four significant digits. In SI units, its value is approximately 6.674×10⁻¹¹ m³⋅kg⁻¹⋅s⁻².^[1]

The modern notation of Newton’s law involving G was introduced in the 1890s by C. V. Boys. The first implicit measurement with an accuracy within about 1% is attributed to Henry Cavendish in a 1798 experiment.^[b]

Definition[edit]

According to Newton’s law of universal gravitation, the magnitude of the attractive force (F) between two point-like bodies is directly proportional to the product of their masses, m₁ and m₂, and inversely proportional to the square of the distance, r, directed along the line connecting their centers of mass:

The constant of proportionality, G, in this non-relativistic formulation is the gravitational constant. Colloquially, the gravitational constant is also called «Big G», distinct from «small g» (g), which is the local gravitational field of Earth (equivalent to the free-fall acceleration).^[2][3] Where is the mass of the Earth and is the radius of the Earth, the two quantities are related by:

The gravitational constant appears in the Einstein field equations of general relativity,^[4][5]

where G_μν is the Einstein tensor, Λ is the cosmological constant, g_μν is the metric tensor, T_μν is the stress–energy tensor, and κ is the Einstein gravitational constant, a constant originally introduced by Einstein that is directly related to the Newtonian constant of gravitation:^[5][6][c]

Value and uncertainty[edit]

Value of G	Unit
6.67430(15)×10−11[1]	N⋅m2⋅kg−2
6.67430(15)×10−8	dyn⋅cm2⋅g−2
4.3009172706(3)×10−3	pc⋅M⊙−1⋅(km/s)2

The gravitational constant is a physical constant that is difficult to measure with high accuracy.^[7] This is because the gravitational force is an extremely weak force as compared to other fundamental forces at the laboratory scale.^[d]

In SI units, the 2018 Committee on Data for Science and Technology (CODATA)-recommended value of the gravitational constant (with standard uncertainty in parentheses) is:^[1][8]

This corresponds to a relative standard uncertainty of 2.2×10⁻⁵ (22 ppm).

Natural units[edit]

The gravitational constant is a defining constant in some systems of natural units, particularly geometrized unit systems, such as Planck units and Stoney units. When expressed in terms of such units, the value of the gravitational constant will generally have a numeric value of 1 or a value close to it. Due to the significant uncertainty in the measured value of G in terms of other known fundamental constants, a similar level of uncertainty will show up in the value of many quantities when expressed in such a unit system.

Orbital mechanics[edit]

In astrophysics, it is convenient to measure distances in parsecs (pc), velocities in kilometres per second (km/s) and masses in solar units M_⊙. In these units, the gravitational constant is:

For situations where tides are important, the relevant length scales are solar radii rather than parsecs. In these units, the gravitational constant is:

In orbital mechanics, the period P of an object in circular orbit around a spherical object obeys

where V is the volume inside the radius of the orbit. It follows that

This way of expressing G shows the relationship between the average density of a planet and the period of a satellite orbiting just above its surface.

For elliptical orbits, applying Kepler’s 3rd law, expressed in units characteristic of Earth’s orbit:

where distance is measured in terms of the semi-major axis of Earth’s orbit (the astronomical unit, AU), time in years, and mass in the total mass of the orbiting system (M = M_☉ + M_Earth + M_☾^[e]).

The above equation is exact only within the approximation of the Earth’s orbit around the Sun as a two-body problem in Newtonian mechanics, the measured quantities contain corrections from the perturbations from other bodies in the solar system and from general relativity.

From 1964 until 2012, however, it was used as the definition of the astronomical unit and thus held by definition:

Since 2012, the AU is defined as 1.495978707×10¹¹ m exactly, and the equation can no longer be taken as holding precisely.

The quantity GM—the product of the gravitational constant and the mass of a given astronomical body such as the Sun or Earth—is known as the standard gravitational parameter (also denoted μ). The standard gravitational parameter GM appears as above in Newton’s law of universal gravitation, as well as in formulas for the deflection of light caused by gravitational lensing, in Kepler’s laws of planetary motion, and in the formula for escape velocity.

This quantity gives a convenient simplification of various gravity-related formulas. The product GM is known much more accurately than either factor is.

Values for GM

Body	μ = GM	Value	Relative uncertainty
Sun	GM☉	1.32712440018(8)×1020 m3⋅s−2[9]	6×10−11
Earth	GMEarth	3.986004418(8)×1014 m3⋅s−2[10]	2×10−9

Calculations in celestial mechanics can also be carried out using the units of solar masses, mean solar days and astronomical units rather than standard SI units. For this purpose, the Gaussian gravitational constant was historically in widespread use, k = 0.01720209895, expressing the mean angular velocity of the Sun–Earth system measured in radians per day.^{[citation needed]} The use of this constant, and the implied definition of the astronomical unit discussed above, has been deprecated by the IAU since 2012.^{[citation needed]}

History of measurement[edit]

Early history[edit]

The existence of the constant is implied in Newton’s law of universal gravitation as published in the 1680s (although its notation as G dates to the 1890s),^[11] but is not calculated in his Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica where it postulates the inverse-square law of gravitation. In the Principia, Newton considered the possibility of measuring gravity’s strength by measuring the deflection of a pendulum in the vicinity of a large hill, but thought that the effect would be too small to be measurable.^[12] Nevertheless, he had the opportunity to estimate the order of magnitude of the constant when he surmised that «the mean density of the earth might be five or six times as great as the density of water», which is equivalent to a gravitational constant of the order:^[13]

G ≈ (6.7±0.6)×10⁻¹¹ m³⋅kg⁻¹⋅s⁻²

A measurement was attempted in 1738 by Pierre Bouguer and Charles Marie de La Condamine in their «Peruvian expedition». Bouguer downplayed the significance of their results in 1740, suggesting that the experiment had at least proved that the Earth could not be a hollow shell, as some thinkers of the day, including Edmond Halley, had suggested.^[14]

The Schiehallion experiment, proposed in 1772 and completed in 1776, was the first successful measurement of the mean density of the Earth, and thus indirectly of the gravitational constant. The result reported by Charles Hutton (1778) suggested a density of 4.5 g/cm³ (4+1/2 times the density of water), about 20% below the modern value.^[15] This immediately led to estimates on the densities and masses of the Sun, Moon and planets, sent by Hutton to Jérôme Lalande for inclusion in his planetary tables. As discussed above, establishing the average density of Earth is equivalent to measuring the gravitational constant, given Earth’s mean radius and the mean gravitational acceleration at Earth’s surface, by setting^[11]

Based on this, Hutton’s 1778 result is equivalent to G ≈ 8×10⁻¹¹ m³⋅kg⁻¹⋅s⁻².

The first direct measurement of gravitational attraction between two bodies in the laboratory was performed in 1798, seventy-one years after Newton’s death, by Henry Cavendish.^[16] He determined a value for G implicitly, using a torsion balance invented by the geologist Rev. John Michell (1753). He used a horizontal torsion beam with lead balls whose inertia (in relation to the torsion constant) he could tell by timing the beam’s oscillation. Their faint attraction to other balls placed alongside the beam was detectable by the deflection it caused. In spite of the experimental design being due to Michell, the experiment is now known as the Cavendish experiment for its first successful execution by Cavendish.

Cavendish’s stated aim was the «weighing of Earth», that is, determining the average density of Earth and the Earth’s mass. His result, ρ_🜨 = 5.448(33) g·cm⁻³, corresponds to value of G = 6.74(4)×10⁻¹¹ m³⋅kg⁻¹⋅s⁻². It is surprisingly accurate, about 1% above the modern value (comparable to the claimed standard uncertainty of 0.6%).^[17]

19th century[edit]

The accuracy of the measured value of G has increased only modestly since the original Cavendish experiment.^[18] G is quite difficult to measure because gravity is much weaker than other fundamental forces, and an experimental apparatus cannot be separated from the gravitational influence of other bodies.

Measurements with pendulums were made by Francesco Carlini (1821, 4.39 g/cm³), Edward Sabine (1827, 4.77 g/cm³), Carlo Ignazio Giulio (1841, 4.95 g/cm³) and George Biddell Airy (1854, 6.6 g/cm³).^[19]

Cavendish’s experiment was first repeated by Ferdinand Reich (1838, 1842, 1853), who found a value of 5.5832(149) g·cm⁻³,^[20] which is actually worse than Cavendish’s result, differing from the modern value by 1.5%. Cornu and Baille (1873), found 5.56 g·cm⁻³.^[21]

Cavendish’s experiment proved to result in more reliable measurements than pendulum experiments of the «Schiehallion» (deflection) type or «Peruvian» (period as a function of altitude) type. Pendulum experiments still continued to be performed, by Robert von Sterneck (1883, results between 5.0 and 6.3 g/cm³) and Thomas Corwin Mendenhall (1880, 5.77 g/cm³).^[22]

Cavendish’s result was first improved upon by John Henry Poynting (1891),^[23] who published a value of 5.49(3) g·cm⁻³, differing from the modern value by 0.2%, but compatible with the modern value within the cited standard uncertainty of 0.55%. In addition to Poynting, measurements were made by C. V. Boys (1895)^[24] and Carl Braun (1897),^[25] with compatible results suggesting G = 6.66(1)×10⁻¹¹ m³⋅kg⁻¹⋅s⁻². The modern notation involving the constant G was introduced by Boys in 1894^[11] and becomes standard by the end of the 1890s, with values usually cited in the cgs system. Richarz and Krigar-Menzel (1898) attempted a repetition of the Cavendish experiment using 100,000 kg of lead for the attracting mass. The precision of their result of 6.683(11)×10⁻¹¹ m³⋅kg⁻¹⋅s⁻² was, however, of the same order of magnitude as the other results at the time.^[26]

Arthur Stanley Mackenzie in The Laws of Gravitation (1899) reviews the work done in the 19th century.^[27] Poynting is the author of the article «Gravitation» in the Encyclopædia Britannica Eleventh Edition (1911). Here, he cites a value of G = 6.66×10⁻¹¹ m³⋅kg⁻¹⋅s⁻² with an uncertainty of 0.2%.

Modern value[edit]

Paul R. Heyl (1930) published the value of 6.670(5)×10⁻¹¹ m³⋅kg⁻¹⋅s⁻² (relative uncertainty 0.1%),^[28] improved to 6.673(3)×10⁻¹¹ m³⋅kg⁻¹⋅s⁻² (relative uncertainty 0.045% = 450 ppm) in 1942.^[29]

Published values of G derived from high-precision measurements since the 1950s have remained compatible with Heyl (1930), but within the relative uncertainty of about 0.1% (or 1,000 ppm) have varied rather broadly, and it is not entirely clear if the uncertainty has been reduced at all since the 1942 measurement. Some measurements published in the 1980s to 2000s were, in fact, mutually exclusive.^[7][30] Establishing a standard value for G with a standard uncertainty better than 0.1% has therefore remained rather speculative.

By 1969, the value recommended by the National Institute of Standards and Technology (NIST) was cited with a standard uncertainty of 0.046% (460 ppm), lowered to 0.012% (120 ppm) by 1986. But the continued publication of conflicting measurements led NIST to considerably increase the standard uncertainty in the 1998 recommended value, by a factor of 12, to a standard uncertainty of 0.15%, larger than the one given by Heyl (1930).

The uncertainty was again lowered in 2002 and 2006, but once again raised, by a more conservative 20%, in 2010, matching the standard uncertainty of 120 ppm published in 1986.^[31] For the 2014 update, CODATA reduced the uncertainty to 46 ppm, less than half the 2010 value, and one order of magnitude below the 1969 recommendation.

The following table shows the NIST recommended values published since 1969:

Recommended values for G

Year	G (10−11·m3⋅kg−1⋅s−2)	Standard uncertainty	Ref.
1969	6.6732(31)	460 ppm	[32]
1973	6.6720(49)	730 ppm	[33]
1986	6.67449(81)	120 ppm	[34]
1998	6.673(10)	1,500 ppm	[35]
2002	6.6742(10)	150 ppm	[36]
2006	6.67428(67)	100 ppm	[37]
2010	6.67384(80)	120 ppm	[38]
2014	6.67408(31)	46 ppm	[39]
2018	6.67430(15)	22 ppm	[40]

In the January 2007 issue of Science, Fixler et al. described a measurement of the gravitational constant by a new technique, atom interferometry, reporting a value of G = 6.693(34)×10⁻¹¹ m³⋅kg⁻¹⋅s⁻², 0.28% (2800 ppm) higher than the 2006 CODATA value.^[41] An improved cold atom measurement by Rosi et al. was published in 2014 of G = 6.67191(99)×10⁻¹¹ m³⋅kg⁻¹⋅s⁻².^[42][43] Although much closer to the accepted value (suggesting that the Fixler et al. measurement was erroneous), this result was 325 ppm below the recommended 2014 CODATA value, with non-overlapping standard uncertainty intervals.

As of 2018, efforts to re-evaluate the conflicting results of measurements are underway, coordinated by NIST, notably a repetition of the experiments reported by Quinn et al. (2013).^[44]

In August 2018, a Chinese research group announced new measurements based on torsion balances, 6.674184(78)×10⁻¹¹ m³⋅kg⁻¹⋅s⁻² and 6.674484(78)×10⁻¹¹ m³⋅kg⁻¹⋅s⁻² based on two different methods.^[45] These are claimed as the most accurate measurements ever made, with a standard uncertainties cited as low as 12 ppm. The difference of 2.7σ between the two results suggests there could be sources of error unaccounted for.

Constancy[edit]

Analysis of observations of 580 type Ia supernovae shows that the gravitational constant has varied by less than one part in ten billion per year over the last nine billion years.^[46]

See also[edit]

References[edit]

Footnotes

Citations

Sources[edit]

External links[edit]

• Newtonian constant of gravitation G at the National Institute of Standards and Technology References on Constants, Units, and Uncertainty
• The Controversy over Newton’s Gravitational Constant — additional commentary on measurement problems

Содержание:

Закон всемирного тяготения:

В таблице представлены орбитальные скорости планет и карликовых планет Солнечной системы. Исследуя эту информацию, с легкостью можно определить, что небесные тела этой системы, близко расположенные к Солнцу, имеют более высокую орбитальную скорость.

Орбитальная скорость Луны вокруг Земли, по сравнению со скоростями из повседневной жизни, так же очень большая: -3682,8 км/час. Однако эта скорость во много раз меньше скорости Земли вокруг Солнца.

Планеты и карликовые планеты	Орбитальная скорость
км/с	км/с
Меркурий	47,87	172 332
Венера	35,02	126 072
Земля	29,78	107 208
Марс	24,13	86 868
Церера	17,88	64 368
Юпитер	13,07	47 052
Сатурн	9,69	34 884
Уран	6,81	24 516
Нептун	5,43	19 548
Плутон	4,67	16 812
Хаумеа	4,48	16 128
Макемаке	4,41	15 876
Эрида	3,44	12 384

Вы знаете, что все тела во Вселенной, имеющие массу — звезды, галактики, Солнце и планеты, тела Земной системы, молекулы, атомы и другие, взаимно притягиваются друг к другу с силой, называемой силой тяготения (или гравитационной силой). Исследовав, от каких величин и как зависит эта сила, Исаак Ньютон сформулировал закон всемирного тяготения.

Закон всемирного тяготения

Между любыми двумя материальными точками действует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению их масс и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними:

Где

Гравитационная постоянная

Единица гравитационной постоянной в СИ:   

Гравитационная постоянная численно равна силе притяжения друг к другу двух материальных точек массами по 1 кг каждый, если расстояние между ними равно 1 м.

Численное значение гравитационной постоянной опытным путем определил английский ученый Генри Кавендиш (1731—1810) в 1798 году. Это значение одинаково для всех тел во Вселенной вне зависимости от их размеров и масс:

Как видно, численное значение гравитационной постоянной очень мало. Поэтому между телами с относительно малыми массами сила притяжения не чувствуется. Эта сила принимает ощутимые значения при взаимодействии тел с очень большой массой, например, между звездой и планетой, планетой и спутником и т.д.

Формула закона всемирного тяготения

Сила притяжения между двумя произвольными телами, не являющимися материальными точками при данных условиях, также определяется формулой закона всемирного тяготения. В этом случае эти тела рассматриваются как совокупность материальных точек, вычисляются силы притяжения между всеми материальными точками этих тел, результаты вычислений суммируются и определяются сила притяжения между этими телами. Такие вычисление представляет собой сложную математическую операцию. Однако формула Всемирного тяготения легко применяется для тел шарообразной формы. За расстояние между телами при этом принимается расстояние между их центрами (а). Поэтому для вычисления силы притяжения между произвольным телом и Землей можно применить формулу закона всемирного тяготения. В этом случае расстояние между ними берется до центра Земли:  Силы взаимодействия между Землей и телом,  и  направлены вдоль линии, соединяющей эти тела.

Согласно III закону Ньютона  их модули равны:

Где  — радиус земного шара, — масса Земли, — расстояние от поверхности Земли до центра тела, вдоль радиуса. Для тел, находящихся на поверхности Земли закон всемирного тяготения записывается в виде:

Измерение гравитационной постоянной

С этой целью Г. Кавендиш использовал крутильные весы. Схема весов показана на рисунке: на концах стержня длиной 2 м он установил два свинцовых шарика массой по  г каждый и диаметром приблизительно 5 см. Стержень подвешен на упругой нити. У каждого шарика разместили большие свинцовые шары массами по  В результате притяжения между большими и малыми шарами нить закручивается на очень небольшой угол. Угол поворота определяется перемещением по шкале светового «зайчика», отраженного от плоского зеркала, закрепленного на нити, (b).

Зная угол поворота, можно определить силу упругости  возникающую в результате закручивания нити. Сила упругости уравновешивает силу притяжения между шарами, т.е. эти силы равны по модулю:

Таким образом, ученый, подставив известные величины в формулу закона всемирного тяготения, получил для гравитационной постоянной значение, очень близкое к его современному значению:

Что такое закон всемирного тяготения

Все тела во Вселенной, как небесные, так и находящиеся на Земле, взаимно притягиваются. Даже если мы не замечаем притягивания между обычными предметами, которые окружают нас в повседневной жизни (например, между книгами, тетрадями, мебелью и т. п.), то это потому, что оно в таких случаях очень слабое.

Взаимодействие, свойственное всем телам во Вселенной и проявляющееся взаимным притягиванием друг к другу, называют гравитационным, а само явление всемирного тяготения — гравитацией (лат. gravitas — «тяжесть»).

Гравитационное взаимодействие осуществляется с помощью особенного вида материи, который называют гравитационным полем. Такое поле существует вокруг любого тела — планеты, камня, человека или листа бумаги. При этом тело, создающее гравитационное поле, действует им на любое другое тело так, что у того появляется ускорение, всегда направленное к источнику поля. Появление такого ускорения и значит, что между телами возникает притяжение.

Гравитационное поле не следует путать с электромагнитными полями, существующими вокруг наэлектризованных тел, проводников с током и магнитов.

Интересной особенностью гравитационного поля, которую не имеют электромагнитные поля, является его всепроникающая способность. Если от электрических и магнитных полей можно защититься с помощью специальных металлических экранов, то от гравитационного поля защититься ничем нельзя: оно проникает сквозь любые материалы.

Выражение для силы притяжения Исаак Ныотон получил еще в 1666 г., когда ему было 24 года. Сначала ученый установил, как зависит от расстояния ускорение свободного падения. Он заметил, что вблизи поверхности Земли, то есть на расстоянии 6400 км от ее центра, это ускорение равно 9,8 а на расстоянии в 60 раз большем, возле Луны, это ускорение оказывается в 3600 раз меньше, чем на Земле. Но 36 00 = Следовательно, ускорение свободного падения уменьшается обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли. Но ускорение, по второму закону Ньютона, пропорционально силе. Следовательно, причиной такого уменьшения ускорения является аналогичная зависимость силы притяжения от расстояния.

Окончательную формулу силы притяжения можно получить, если учесть, что эта сила должна быть пропорциональна массам тел

где G — гравитационная постоянная.

Так, Ньютон нашел выражение для силы гравитационного взаимодействия Земли с телами, которые притягивались ею. Но интуиция подсказывала ему, что по данной формуле можно рассчитывать и силу притяжения, действующую между любыми другими телами Вселенной, если только их размеры малы по сравнению с расстоянием г между ними. Поэтому он начал рассматривать полученное выражение как закон всемирного тяготения, который выполняется и для небесных тел, и для тел на Земле.

Сила гравитационного притяжения любых двух частиц прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

Закон всемирного тяготения сформулирован для частиц, размеры которых значительно меньше расстояния г между ними. Однако одна особенность закона дает возможность использовать его и в некоторых иных случаях. Такой особенностью является обратно пропорциональная зависимость силы притяжения именно от квадрата расстояния между частицами, а не от третьей или четвертой степени расстояния. Расчеты показывают, что благодаря этой особенности формулу  можно применять еще и для расчета силы притяжения шарообразных тел со сферически симметричным распределением вещества, находящихся на любом расстоянии друг от друга. Под г в этом случае следует понимать не расстояние между ними, а расстояние между их центрами (рис. 281).

Формула выполняется и для случая, когда сферическое тело произвольных размеров взаимодействует с некоторой материальной точкой. Это и дает возможность применять формулу закона всемирного тяготения для расчета силы, с которой земной шар притягивает к себе окружающие тела.

Когда Ньютон открыл закон всемирного тяготения, он не знал ни одного числового значения масс небесных тел, в том числе и Земли. Неизвестно ему было и значение постоянной.

Вместе с тем, гравитационная постоянная G имеет для всех тел Вселенной одно и то же значение и является одной из фундаментальных физических констант. Каким же образом можно определить ее значение? Из закона всемирного тяготения следует, что . Чтобы вычислить G, следует измерить силу притяжения F между телами известных масс и расстояние r между ними.

Первые измерения гравитационной постоянной были осуществлены в середине XVIII в. Оценить, правда очень грубо, значение G в то время удалось в результате рассмотрения притягивания маятника к горе, масса которой была определена с помощью геологических методов.

Точные измерения гравитационной постоянной впервые осуществил в 1798 г. Генри Кавендиш — английский физик, член Лондонского королевского общества. С помощью так называемых крутильных весов (рис. 282) ученый по углу закручивания нити А сумел измерить ничтожно малую силу притяжения между маленькими и большими металлическими шарами. Для этого ему пришлось использовать очень чувствительные приборы, потому что даже слабые воздушные потоки могли исказить измерение. Во избежание посторонних влияний, Кавендиш разместил свои приборы в ящике, который оставил в комнате, а сам проводил наблюдение за приборами с помощью телескопа из другого помещения.

Опыты показали, что

Физическое содержание гравитационной постоянной заключается в том, что она определяется силой, с которой притягиваются два тела массами 1 кг каждое, находящиеся на расстоянии 1 м друг от друга.

Если на тело действует только одна сила, направленная вниз (а все другие уравновешены), то оно осуществляет свободное падение. Ускорение свободного падения можно определить, применив второй закон Ньютона:

Отсюда следует, что ускорение свободного падения не зависит от массы m тела, а следовательно, оно одинаково для всех тел. Такое удивительное свойство силы всемирного притяжения, а значит, и силы притяжения. Ее опытным путем вычислил еще Галилей. Удивительно, потому что по второму закону Ньютона ускорение тела должно быть обратно пропорционально массе. Но сама сила притяжения пропорциональна массе тела, на которое она действует. Именно поэтому ускорение свободного падения одинаково для всех тел.

Теперь для силы притяжения можно записать выражение:

По существу говоря, формула , как и второй закон Ньютона, справедлива, когда свободное падение рассматривается относительно инерциальной системы отсчета.

Приведенные значения показывают, что ускорение свободного падения в разных районах земного шара отличается очень мало от значения, вычисленного по формуле

Поэтому при грубых подсчетах пренебрегают неинерциальностые системы отсчета, связанной с поверхностью Земли, и отличием формы Земли от сферической. Ускорение свободного падения считают всюду одинаковым и вычисляют по формуле

В некоторых районах земного шара ускорение свободного падения отличается от приведенного выше значения еще по одной причине. Такие отклонения наблюдаются там, где в недрах Земли залегают породы, плотность которых больше или меньше средней плотности Земли. Там, где есть залежи пород, имеющих большую плотность, значение g больше. Это дает возможность геологам по измерениям значения g находить месторождения полезных ископаемых.

Следовательно, сила притяжения, а значит, и ускорение свободного падения изменяются с отдалением от поверхности Земли. Если тело находится на высоте h над поверхностью Земли, то выражение для модуля ускорения свободного падения g следует записывать следующим образом:

Так, на высоте 300 км ускорение свободного падения уменьшается на 1 . Из формулы видно, что для высот в несколько десятков или сотен метров над Землей, и даже многих километров, сила притяжения может считаться постоянной, независимо от положения тела. Поэтому свободное падение близ Земли можно считать равноускоренным движением.

Движение тела под действием силы притяжения: тело движется по вертикали. Если предоставить телу начальную скорость д0, направленную вверх, то это не изменит ни направления, ни значения ускорения тела, потому что толчок вверх не может изменить силу притяжения. В обоих случаях траекторией тела является вертикальная прямая.

Решая задачи на такое движение, за тело отсчета удобно выбирать Землю с началом отсчета на ее поверхности или в любой точке выше или ниже от поверхности, а координатную ось направлять по вертикали вверх или вниз. Высоту тела над определенной поверхностью принято обозначать буквой h (рис. 283).

Тогда координата y тела — это просто его высота h над точкой начала отсчета. Проекция вектора перемещения тела соответствует изменению высоты и равна h — , где — начальная высота.

Формулы для вычисления координат (высот) и скоростей ничем не отличаются от формул для прямолинейного равноускоренного движения.

Координата тела (высота):

Скорость тела в любой момент времени:

Скорость тела в любой точке траектории:

Проекция положительна, если ось Оу направлена вниз, и отрицательна, если ось Оу направлена вверх. Проекции положительны, если векторы скоростей направлены вдоль оси Оу, и отрицательны, если векторы скоростей направлены противоположно оси Оу.

• Заказать решение задач по физике

Движение тела под действием силы притяжения: начальная скорость тела направлена под углом к горизонту. Часто приходится рассматривать движения тел, начальная скорость которых не параллельна силе притяжения, а направлена под определенным углом к ней (или к горизонту). Когда, например, спортсмен толкает ядро, бросает диск или копье, он придает этим предметам именно такую скорость. При артиллерийской стрельбе стволы пушек имеют определенный угол поднятия, так что снаряд в стволе также получает начальную скорость, направленную под углом к горизонту.

Будем считать, что силой сопротивления воздуха можно пренебречь. Как в этом случае движется тело?

На рисунке 284 показан стробоскопический снимок шарика, брошенного под углом 60° к горизонту. Соединив последовательно положения шарика плавной кривой, получим траекторию движения шарика — параболу.

Если пренебречь влиянием воздуха на движение тела, то на тело, брошенное под углом к горизонту, как и на свободно падающее тело, или на тело, которое получило начальную скорость, направленную вертикально, действует только сила притяжения. Как бы ни двигалось тело, сила притяжения может сообщить ему только ускорение , направленное вниз. Этим определяются и траектория движения тела и характер его движения.

Предположим, что из некоторой точки О брошено тело с начальной скоростью , направленной под углом а к горизонту. Возьмем за начало отсчета координат точку, с которой брошено тело, а за начало отсчета времени — момент бросания. Ось Ох направим горизонтально, а ось Оу — вертикально вверх (рис. 285). Из рисунка видим, что проекции вектора на оси Ох и Оу соответственно равны:

Поскольку на тело действует сила притяжения, то при движении тела будет меняться только проекция , а проекция не будет меняться. Поэтому координата х тела с течением времени меняется так же, как при прямолинейном равномерном движении:

А координата у меняется так же, как при прямолинейном равноускоренном движении:

Чтобы найти траекторию движения тела, надо подставить в уравнение значения времени t, какие последовательно увеличиваются, и вычислить координаты х и у для каждого значения t, если известны значения модуля начальной скорости и угла а. По найденным значениям х и у наносим точки, которые изображают последовательные положения тела. Соединяя их плавной кривой, получим траекторию движения тела. Она будет подобна изображенной на рисунке 285.

Что будет если тело брошено горизонтально

Тело можно бросить и так, что его начальная скорость будет направлена горизонтально (а = 0). Например, так направлена начальная скорость тела, оторвавшегося от самолета, который летит горизонтально. Легко выяснить, по какой траектории будет двигаться такое тело. Для этого обратимся опять к рисунку 285, на котором изображена траектория движения тела, брошенного под углом а к горизонту. В наивысшей точке параболы скорость тела как раз и направлена горизонтально. А за этой точкой тело движется по правой ветви параболы. Очевидно, что и любое тело, брошенное горизонтально, также будет двигаться по ветви параболы (рис. 286).

Траекторию движения тел, брошенных горизонтально или под углом к горизонту, можно показать на опыте. Сосуд, заполненный водой, размещают на определенной высоте над столом и соединяют его резиновой трубкой с наконечником, который имеет кран (рис. 287). Выпущенные струи воды непосредственно показывают траектории частиц воды. Таким образом можно наблюдать траекторию для разных значений угла а и скорости

Мы рассмотрели несколько примеров движения тел под действием силы притяжения. Во всех случаях тело движется с ускорением свободного падения, которое не зависит от того, имело ли тело еще и скорость в горизонтальном направлении или нет. Например, пуля, выпущенная стрелком из винтовки в горизонтальном направлении, упадет на землю одновременно с пулей, которую случайно уронил стрелок в момент выстрела. Но вторая пуля упадет у ног стрелка, а пуля, вылетевшая из ствола винтовки, — на определенном расстоянии.

История:

Попытки объяснить наблюдаемую картину мира, и прежде всего строение Солнечной системы, делали многие ученые. Что связывает планеты и Солнце в единую систему? Каким законам подчиняется их движение?

Во II в. н. э. древнегреческий ученый Клавдий Птолемей разработал геоцентрическую систему мира, согласно которой все наблюдаемые перемещения небесных светил объяснялись их движением вокруг неподвижной Земли.

В XVI в. польский астроном Миколай Коперник предложил гелиоцентрическую систему мира: в центре находится Солнце, а вокруг него движутся планеты и их спутники. Что же удерживает планеты, в частности Землю, когда они движутся вокруг Солнца?

Если придерживаться утверждений Аристотеля и связывать силу притяжения тел со скоростью их движения, а не с ускорением, то причиной движения планет является именно направление скорости.

Ньютон связал силу с ускорением. Именно силу притяжения Солнца естественно считать причиной вращения вокруг него Земли и планет.

Но не только планеты притягиваются к Солнцу. Солнце также притягивается планетами. Да и сами планеты взаимодействуют между собой. Одним из первых, кто это понял, был английский ученый Роберт Гук. В 1674 г. он писал: «Все небесные тела имеют притяжение, или силу тяготения к своему центру, вследствие чего они не только притягивают собственные части и препятствуют им разлетаться, как наблюдаем на Земле, но притягивают также все другие небесные тела, находящиеся в сфере их действия. Поэтому не только Солнце и Луна имеют влияние на движение Земли, но и Меркурий, и Венера, и Марс, и Юпитер, и Сатурн также своим притяжением имеют значительное влияние на ее движение. Подобным образом и Земля притяжением влияет на движение каждого из этих тел».

В своем труде «Математические начала натуральной философии» Ньютон сформулировал три фундаментальных закона (известны как законы Ньютона). В соответствии с данными законами, все тела Вселенной, как небесные, так и те, которые находятся на Земле, склонны к взаимному тяготению, причем силы, с которыми притягиваются все эти тела, имеют одинаковую природу и подчиняются одному и тому же закону.

Согласно легенде, мысль о всемирном тяготении озарила Ньютона в тот момент, когда он, отдыхая в своем саду, увидел яблоко, которое падает. Рассказывают даже, что знаменитой яблоне, плод которой сумел так «вовремя» упасть к ногам Ньютона, не дали исчезнуть бесследно и кусочки этого дерева якобы хранятся в Англии и в настоящее время.

Открытие закона всемирного тяготения дало возможность Ньютону создать теорию движения небесных тел, основанную на строгих математических доказательствах. Ничего подобного в науке до того времени не было.

Эта теория, бесспорно, поразила современников Ньютона, но у них возник вопрос: почему все тела притягиваются друг к другу? Ответа на него выдающийся физик не дал. «Причину же свойств силы тяготения я до сих пор не мог вывести из явлений, гипотез же я не выдумываю, — писал он в своих «Математических началах”. — Достаточно того, что притяжение в действительности существует, и действует согласно изложенному закону, и является полностью достаточным для объяснения всех движений небесных тел и моря».

Говоря о море, Ньютон имел в виду явление приливов, обусловленных притягиванием воды Луной и Солнцем. За две тысячи лет до Ньютона над причинами этого явления рассуждал Аристотель, который, однако, объяснить его не смог. Для философа это оказалось трагедией. «Наблюдая длительное время это явление со скалы Негро-понта, он, охваченный отчаянием, бросился в море и нашел там добровольную смерть», — утверждал Г. Галилей.