Электрический потенциал — это скалярная энергетическая характеристика электростатического поля, характеризующая потенциальную энергию, которой обладает единичный положительный пробный заряд, помещённый в данную точку поля.
Если вы хотите расширить свои знания об электрическом потенциале или сначала узнать, что такое электрический потенциал, то вы пришли по адресу.
Простое объяснение
В классической механике рассмотрение проблемы с точки зрения энергии может значительно упростить ситуацию по сравнению с рассмотрением ее с точки зрения сил, действующих на систему. В частности, в этом контексте существенную роль играет тот факт, что энергия является сохраняющейся переменной.
Также в классической электродинамике рассмотрение на энергетическом уровне оказывается очень полезным. Поэтому электрический потенциал φ (также называемый электростатическим потенциалом) определяется как отношение потенциальной энергии Eпот пробного электрического заряда и его величины электрического заряда q: φ = Eпот / q .
Возможность определения такого электрического потенциала обусловлена тем, что электрическое поле E распределения заряда и результирующая электростатическая сила Fc на пробном электрическом заряде является консервативной силой, подобной гравитационной силе.
Электрический потенциал имеет единицу измерения вольт В или также джоуль на кулон Дж / Кл .
Формулы
В этом разделе мы познакомим вас с двумя важными формулами для электрического потенциала определенных распределений электрических зарядов. Мы также кратко обсудим аналогию между электрическим потенциалом и гравитацией.
Пластинчатый конденсатор
Мы рассматриваем ситуацию, когда две плоские пластины расположены параллельно на расстоянии d друг от друга. Кроме того, пусть одна из двух пластин заряжена положительно, а другая — отрицательно. Такая комбинация также называется пластинчатым конденсатором. Обозначим точку на положительной пластине через A, а точку на отрицательной пластине через B. Тогда для разности потенциалов между этими двумя точками получим:
φВ — φA = — E * d .
Здесь E — величина электрического поля между двумя пластинами, которое предполагается однородным. Такая разность потенциалов также называется электрическим напряжением, которое существует между этими двумя точками.
Из этого уравнения видно, что электрический потенциал на положительно заряженной пластине (пластина A) выше, чем потенциал на отрицательно заряженной пластине (пластина B). Поэтому положительный заряд в пластинчатом конденсаторе перемещается к отрицательной пластине. В общем случае электрическое поле — а значит, и направление движения положительного заряда — направлено в ту сторону, в которой электрический потенциал убывает быстрее всего.
Аналогия с гравитационным полем
Если умножить уравнение (приведенное выше в статье) на величину электрического заряда q пробного электрического заряда и предположить, что отрицательно заряженная пластина имеет электрический потенциал, равный нулю, то электрическая потенциальная энергия на расстоянии h от пластины равна:
Eпот. эл = q * φ = q * E * h
Здесь φ обозначает электрический потенциал в точке пробного электрического заряда.
Сравним это уравнение с потенциальной энергией в однородном гравитационном поле:
Eпот. гр = m * g * h .
Мы определяем, что количество заряда электрического q играет роль массы m, а величина электрического поля E играет роль гравитационного ускорения g. Масса, находящаяся на высоте h над землей, ускоряется по направлению к земле под действием земного притяжения.
Таким образом, масса движется в том направлении, в котором уменьшается ее потенциальная энергия. Аналогично, положительный электрический заряд движется в направлении, в котором его электрическая потенциальная энергия будет уменьшаться. Поскольку электрическая потенциальная энергия и электрический потенциал линейно связаны, это наблюдение аналогично тому, что положительно заряженная частица движется в направлении уменьшения электрического потенциала.
Подобно потенциальной энергии, только разность потенциалов имеет физический смысл, поскольку при определении электрического потенциала необходимо произвольно определить точку отсчета, от которой затем можно обозначить другие точки в пространстве. В этом смысле электрический потенциал сам по себе не имеет реального физического смысла, поскольку для данной точки в пространстве его значение можно изменить, выбрав другую точку отсчета. Таким образом, электрический потенциал ведет себя подобно высоте, потому что вы не можете говорить о высоте, пока у вас нет точки отсчета.
На топографической карте — пути, вдоль которых высота не меняется, называются изолиниями. Аналогично, пути, вдоль которых электрический потенциал постоянен, называются эквипотенциальными линиями.
Заряженные частицы
Предположим, что частица с зарядом q находится в начале выбранной нами системы координат. Пусть положение другой точки равно r и пусть r — расстояние между двумя точками. Для электрического потенциала в точке r действует следующее соотношение:
φ (r) = q / 4 * π * ε0 * r ,
здесь ε0 — электрическая постоянная.
В этом уравнении предполагается, что под действием электрического поля положительный пробный электрический заряд переносится из бесконечности в положение r.
Примеры задач
Наконец, давайте вместе рассчитаем небольшой пример. Предположим, что электрон ускоряется от отрицательно заряженной пластины к положительно заряженной через разность потенциалов 2000 В. Как изменяется потенциальная энергия электрона?
Для разности электрических потенциалов между двумя пластинами: φB — φA = ΔEпот / q , преобразованной в искомое изменение потенциальной энергии, получаем:
ΔEпот = q * ( φB — φA ) .
Величина электрического заряда электрона равна qe = e = — 1,6 * 10-19 Кл и поэтому получаем:
ΔEпот = e * ( φB — φA ) = — 1,6 * 10-19 Кл * 2000 В = -3,2 * 10-19 Дж.
Обратите внимание, что [ В ] = Дж / Кл. Кроме того, мы предположили, что пластина с точкой B заряжена положительно, поэтому перед 2000 В нет знака минус. Расчет показывает, что потенциальная энергия электрона уменьшается.
Список использованной литературы
- Соколович Ю. А., Богданова Г. С. Физика: Справочник с примерами решения задач. – 2-е издание передел. – X.: Веста: Издательство «Ранок», 2005. – 464 с.
- Мякишев Г. Я., Буховцев Б. Б., Сотский Н. Н. Физика: Учеб. для общеобразоват. учреждений. Базовый и профильный уровни. 19-е издание – М.: Просвещение, 2010.
Потенциал. Эквипотенциальные поверхности.
В механике взаимодействие тел характеризует силой или потенциальной энергией. Электрическое поле, которое обеспечивает взаимодействие между электрически заряженными телами, также характеризуют двумя величинами. Напряженность электрического поля — это силовая характеристика. Теперь введем энергетическую характеристику — потенциал. С помощью этой величины можно будет сравнивать между собой любые точки электрического поля. Таким образом, потенциал как характеристика поля должен зависеть от значения заряда, содержащегося в этих точках. Поделим обе части формулы A = W1 — W2 на заряд q, получим
Отношение W/q не зависит от значения заряда и принимается за энергетическую характеристику, которую называют потенциалом поля в данной точке. Обозначают потенциал буквой φ.
Потенциал электрического поля φ — скалярная энергетическая характеристика поля, которая определяется отношением потенциальной энергии W положительного заряда q в данной точке поля к величине этого заряда:
Единица потенциала — вольт:
Подобно потенциальной энергии значения потенциала в данной точке зависит от выбора нулевого уровня для отсчета потенциала. Чаще всего в электродинамике за нулевой уровень берут потенциал точки, лежащей в бесконечности, а в электротехнике — на поверхности Земли.
С введением потенциала формулу для определения работы по перемещению заряда между точками 1 и 2 можно записать в виде
Поскольку при перемещении положительного заряда в направлении вектора напряженности электрическое поле выполняет положительную работу A = q (φ1 — φ2 )> 0, то потенциал φ1 больше чем потенциал φ2 . Таким образом, напряженность электрического поля направлена в сторону уменьшения потенциала.
Если заряд перемещать с определенной точки поля в бесконечность, то работа A = q (φ — φ∞ ). Поскольку φ∞ = 0, то A = qφ. Таким образом, величина потенциала φ определенной точки поля определяется работой, которую выполняет электрическое поле, перемещая единичный положительный заряд из этой точки в бесконечность,
Если электрическое поле создается точечным зарядом q, то в точке, лежащей на расстоянии r от него, потенциал вычисляют по формуле
По этой формуле рассчитывают и потенциал поля заряженного шара. В таком случае r — это расстояние от центра шара до выбранной точки поля. С этой формулы видно, что на одинаковых расстояниях от точечного заряда, который создает поле, потенциал одинаков. Все эти точки лежат на поверхности сферы, описанной радиусом r вокруг точечного заряда. Такую сферу называют эквипотенциальной поверхностью.
Эквипотенциальные поверхности — геометрическое место точек в электрическом поле, которые имеют одинаковый потенциал, — один из методов наглядного изображения электрических полей.
Силовые линии всегда перпендикулярны эквипотенциальных поверхностей. Это означает, что работа сил поля по перемещению заряда по эквипотенциальной поверхности равна нулю.
В случае наложения электрических полей, созданных несколькими зарядами, потенциал электрического поля равен алгебраической сумме потенциалов полей, созданных отдельными зарядами, φ = φ1 + φ2 + φ3 . Эквипотенциальные поверхности таких систем имеют сложную форму. Например, для системы из двух одинаковых по значению одноименных зарядов эквипотенциальные поверхности имеют вид, изображенный на рисунке. Эквипотенциальные поверхности однородного поля явлются плоскостями.
Разность потенциалов
Практическое значение имеет не сам потенциал в точке, а изменение (разница) потенциала φ1 — φ2 , которое не зависит от выбора нулевого уровня отсчета потенциала. Разность потенциалов φ1 — φ2 еще называют напряжением и обозначают латинской буквой U. Тогда формула для работы по перемещению заряда приобретает вид
Напряжение U — это физическая величина, определяемая работой электрического поля по перемещению единичного положительного заряда между двумя точками поля,
Единица разности потенциалов (напряжения), как и потенциала, — вольт,
Поскольку работа сил поля по перемещению заряда зависит только от разности потенциалов, то в случае перемещения заряда с первой эквипотенциальной поверхности на другую (потенциалы которых соответственно φ1 и φ2 ) выполненная полем работа не зависит от траектории этого движения.
Связь напряженности электрического поля с напряжением
Из формул A = Eqd и A = qU можно установить связь между напряженностью и напряжением электрического поля: Ed = U. С этой формулы следует:
- чем меньше меняется потенциал на расстоянии d, тем меньше есть напряженность электрического поля;
- если потенциал не меняется, то напряженность равна нулю;
- напряженность электрического поля направлена в сторону уменьшения потенциала.
Поскольку
то именно из этой формулы и выводится еще одна единица напряженности — вольт на метр,
|
Потенциал. Разность потенциалов. Напряжение. |
|
|
Потенциал электростатического поля — скалярная величина, равная отношению потенциальной энергии заряда в поле к этому заряду: — энергетическая характеристика поля в данной точке. Потенциал не зависит от величины заряда, помещенного в это поле. |
|
|
Т.к. потенциальная энергия зависит от выбора системы координат, то и потенциал определяется с точностью до постоянной. За точку отсчета потенциала выбирают в зависимости от задачи: а) потенциал Земли, б) потенциал бесконечно удаленной точки поля, в) потенциал отрицательной пластины конденсатора. |
|
|
— следствие принципа суперпозиции полей (потенциалы складываютсяалгебраически). |
|
|
Потенциал численно равен работе поля по перемещению единичного положительного заряда из данной точки электрического поля в бесконечность. В СИ потенциал измеряется в вольтах: |
|
|
Разность потенциалов |
|
|
|
|
|
Напряжение — разность значений потенциала в начальной и конечнойточках траектории. Напряжение численно равно работе электростатического поля при перемещении единичного положительного заряда вдоль силовых линий этого поля. Разность потенциалов (напряжение) не зависит от выбора системы координат! |
|
|
Единица разности потенциалов
Напряжение равно 1 В, если при перемещении положительного заряда в 1 Кл вдоль силовых линий поле совершает работу в 1 Дж. |
|
|
Связь между напряженностью и напряжением. |
|
|
Из доказанного выше: напряженность равна градиенту потенциала (скорости изменения потенциала вдоль направления d). |
|
|
Из этого соотношения видно:
|
|
|
Эквипотенциальные поверхности. ЭПП — поверхности равного потенциала. Свойства ЭПП: — работа при перемещении заряда вдоль эквипотенциальной поверхности не совершается; — вектор напряженности перпендикулярен к ЭПП в каждой ее точке. |
|
|
|
|
|
Измерение электрического напряжения (разности потенциалов) Между стержнем и корпусом — электрическое поле. Измерение потенциала кондуктора Измерение напряжения на гальваническом элементе Электрометр дает большую точность, чем вольтметр. |
|
|
Потенциальная энергия взаимодействия зарядов. |
|
|
|
|
|
Потенциал поля точечного заряда |
|
|
|
|
|
Потенциал заряженного шара а) Внутри шара Е=0, следовательно, потенциалы во всех точках внутри заряженного металлического шара одинаковы (!!!) и равны потенциалу на поверхности шара. б) Снаружи поле шара убывает обратно пропорционально расстоянию от центра шара, как и в случае точечного заряда. |
|
|
Перераспределение зарядов при контакте заряженных проводников. Переход зарядов происходит до тех пор, пока потенциалы контактирующих тел не станут равными. |
→ 
— Напряженность поля равна 1 В/м, если между двумя точками поля, находящимися на расстоянии 1 м друг от друга существует разность потенциалов 1 В.
§
15. ПОТЕНЦИАЛ. ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ЗАРЯДОВ. РАБОТА ПО ПЕРЕМЕЩЕНИЮ ЗАРЯДА
В ПОЛЕ
Основные
формулы
Потенциал
электрического поля есть величина,
равная отношению потенциальной энергии
точечного положительного заряда,
помещенную в данную точку поля, к этому
заряду;
=П/Q,
или
потенциал электрического поля есть
величина, равная отношению работы сил
поля по перемещению точечного
положительного заряда из данной точки
поля в бесконечность к этому заряду:
=A/Q.
Потенциал
электрического поля в бесконечности
условно принят равным нулю.
Отметим, что при
перемещении заряда в электрическом
поле работа Aв.с
внешних сил равна по модулю работе Aс.п
сил поля и противоположна ей по знаку:
Aв.с=
– Aс.п.
Потенциал
электрического поля, создаваемый
точечным зарядом Q на
расстоянии r от заряда,
.
Потенциал
электрического поля, создаваемого
металлической, несущей заряд Q сферой
радиусом R, на расстоянии
гот центра сферы:
внутри сферы
(r<R) 
;
на поверхности
сферы (r=R)
;
вне сферы (r>R) 
.
Во всех приведенных
для потенциала заряженной сферы формулах
есть диэлектрическая
проницаемость однородного безграничного
диэлектрика, окружающего сферу.
Потенциал
электрического поля, созданного системой
п точечных зарядов, в данной точке
в соответствии с принципом суперпозиции
электрических полей равен алгебраической
сумме потенциалов 1,
2, … , n,
создаваемых отдельными точечными
зарядами Q1,
Q2, …, Qn:
Энергия W
взаимодействия системы точечных зарядов
Q1, Q2,
…, Qn
определяется работой, которую эта
система зарядов может совершить при
удалении их относительно друг друга
в бесконечность, и выражается формулой
,
где i
— потенциал поля, создаваемого всеми
п–1 зарядами (за исключением 1-го) в
точке, где расположен заряд Qi.
Потенциал связан
с напряженностью электрического поля
соотношением
Е= –grad.
В случае электрического
поля, обладающего сферической симметрией,
эта связь выражается формулой
,
или в скалярной
форме
,
а
в случае однородного поля, т. е. поля,
напряженность которого в каждой точке
его одинакова как по модулю, так и по
направлению,
E=(1–2,)/d,
где 1
и 2
— потенциалы точек двух эквипотенциальных
поверхностей; d —
расстояние между этими поверхностями
вдоль электрической силовой линии.
Работа, совершаемая
электрическим полем при перемещении
точечного заряда Q из
одной точки поля, имеющей потенциал 1,
в другую, имеющую потенциал 2,
A=Q(1—2),
или
,
где El
— проекция вектора напряженности Е
на направление перемещения; dl
— перемещение.
В случае однородного
поля последняя формула принимает вид
A=QElcos,
где l
— перемещение; —
угол между направлениями вектора Е
и перемещения l.
Примеры
решения задач
Пример 1.
Положительные заряды Q1=3
мкКл и Q2=20
нКл находятся в вакууме на расстоянии
r1=l,5
м друг от друга. Определить работу A,
которую надо совершить, чтобы сблизить
заряды до расстояния r2=1
м.
Решение.
Положим, что первый заряд Q1
остается неподвижным, а второй Q2
под действием внешних сил перемещается
в поле, созданном зарядом Q1,
приближаясь к нему с расстояния r1=t,5
м до r2=1 м.
Работа А’
внешней силы по перемещению заряда Q
из одной точки поля с потенциалом
1
в другую, потенциал которой 2,
равна по модулю и противоположна по
знаку работе А сил поля по перемещению
заряда между теми же точками:
А’= —А.
Работа А сил
поля по перемещению заряда A=Q(1—2).
Тогда работа А’ внешних сил может
быть записана в виде
A‘=
–Q(1—2)=Q(2—1). (1)
Потенциалы точек
начала и конца пути выразятся формулами
;
.
Подставляя выражения
1
и 2 в
формулу (1) и учитывая, что для данного
случая переносимый заряд Q=Q2,
получим
. (2)
Если
учесть, что 1/(40)=9109
м/Ф, то после подстановки значений
величин в формулу (2) и вычисления найдем
A‘=180 мкДж.
Пример 2. Найти
работу А поля по перемещению заряда
Q=10 нКл из точки 1
в точку 2 (рис. 15.1), находящиеся между
двумя разноименно заряженными с
поверхностной плотностью =0,4
мкКл/м2 бесконечными параллельными
плоскостями, расстояние l
между которыми равно 3 см.
Р
ешение.
Возможны два способа решения задачи.
1-й способ.
Работу сил поля по перемещению заряда
Q из точки 1 поля с потенциалом 1
в точку 2 поля с потенциалом 2
найдем по формуле
A=Q(1—2). (1)
Для определения
потенциалов в точках 1 и 2 проведем
через эти точки эквипотенциальные
поверхности I и II.
Эти поверхности будут плоскостями, так
как поле между двумя равномерно
заряженными бесконечными параллельными
плоскостями однородно. Для такого поля
справедливо соотношение
1—2=El, (2)
где Е —
напряженность поля; l
— расстояние между эквипотенциальными
поверхностями.
Напряженность
поля между параллельными бесконечными
разноименно заряженными плоскостями
E=/0.
Подставив это выражение Е в формулу
(2) и затем выражение 1—2
в формулу (1), получим
A=Q(/0)l.
2-й способ. Так
как поле однородно, то сила, действующая
на заряд Q, при его перемещении
постоянна. Поэтому работу перемещения
заряда из точки 1 в точку 2 можно
подсчитать по формуле
A=Fr
cos, (3)
где F
— сила, действующая на заряд; r
— модуль перемещения заряда Q
из точки 1 в точку 2;
— угол между направлениями перемещения
и силы. Но F=QE=Q(/0).
Подставив это выражение F в равенство
(3), а также заметив, что rcos=l,
получим
A=Q(/0)l. (4)
Таким образом, оба
решения приводят к одному и тому же
результату.
Подставив в
выражение (4) значение величин Q,
, 0
и l, найдем
A=13,6
мкДж.
Пример 3. По
тонкой нити, изогнутой по дуге окружности
радиусом R,
равномерно распределен заряд с линейной
плотностью =10 нКл/м.
Определить напряженность Е и
потенциал
электрического поля, создаваемого таким
р
аспределенным
зарядом в точке О, совпадающей с
центром кривизны дуги. Длина l
нити составляет 1/3 длины окружности и
равна 15 см.
Решение. Выберем
оси координат так, чтобы начало координат
совпадало с центром кривизны дуги, а
ось у была симметрично расположена
относительно концов дуги (рис. 15.2). На
нити выделим элемент длины dl.
Заряд dQ=dl,
находящийся на выделенном участке,
можно считать точечным.
Определим
напряженность электрического поля в
точке О. Для этого найдем сначала
напряженность dE
поля, создаваемого зарядом dQ:
,
где r
—радиус-вектор, направленный от элемента
dl к
точке, напряженность в которой вычисляется.
Выразим вектор dE через проекции dEx
c и dEy
на оси координат:
,
где i
и j — единичные векторы
направлений (орты).
Напряженность Е
найдем интегрированием:
.
Интегрирование
ведется вдоль дуги длины l.
В силу симметрии интеграл
равен нулю. Тогда
, (1)
где
.
Так как r=R=const
и dl=Rd.
то
Подставим найденное
выражение dEy
в (1) и, приняв во внимание симметричное
расположение дуги относительно оси Оу,
пределы интегрирования возьмем от 0 до
/3, а результат
удвоим;
.
Подставив указанные
пределы и выразив R
через длину дуги (3l=2r),
получим
.
Из этой формулы
видно, что вектор Е совпадает с
положительным направлением оси Оу
Подставив значение
и l в последнюю формулу и сделав
вычисления, найдем
E=2,18
кВ/м.
Определим потенциал
электрического поля в точке О. Найдем
сначала потенциал d,
создаваемый точечным зарядом dQ
в точке О:
Заменим r
на R и произведем
интегрирование:
.Так
как l=2R/3,
то
=/(60).
Произведя вычисления
по этой формуле, получим
=188 В.
Пример 4.
Электрическое поле создана длинным
цилиндром радиусом R=1
см, равномерно заряженным с
линейной плотностью =20
нКл/м. Определить разность потенциалов
двух точек этого поля, находящихся на
расстояниях a1=0,5
см и а2=2 см от поверхности
цилиндра, в средней его части.
Решение. Для
определения разности потенциалов
воспользуемся соотношением между
напряженностью поля и изменением
потенциала Е= —grad.
Для поля с осевой симметрией, каким
является поле цилиндра, это соотношение
можно записать в виде
Е= –(d/dr),
или d=
—Еdr.
Интегрируя последнее
выражение, найдем разность потенциалов
двух точек, отстоящих на r1
и r2 от оси
цилиндра;
. (1)
Так как цилиндр
длинный и точки взяты вблизи его средней
части, то для выражения напряженности
поля можно воспользоваться формулой
.
Подставив это выражение Е в равенство
(1), получим
(2)
Так как величины
r2 и r1
входят в формулу в виде отношения, то
их можно выразить в любых, но только
одинаковых единицах:
r1=R+a1=1,5
см; r2=R+a2=3
см.
Подставив значения
величия , 0,
r1 и r2
в формулу (2) и вычислив, найдем
1—2=250
В.
Пример 5.
Электрическое поле создано тонким
стержнем, несущим равномерно распределенный
по длине заряд =0,1
мкКл/м. Определить потенциал
поля в точке, удаленной от концов стержня
на расстояние, равное длине стержня.
Решение. Заряд,
находящийся на стержне, нельзя считать
точечным, поэтому непосредственно
применить для вычисления потенциала
формулу
, (1)
справедливую
только для точечных зарядов, нельзя. Но
если разбить стержень на элементарные
отрезки dl,
то заряд dl,
находящийся на каждом из них, можно
рассматривать как точечный и тогда
формула (1) будет справедлива. Применив
эту формулу, получим
, (2)
где r
— расстояние точки, в которой
определяется потенциал, до элемента
стержня.
Из рис. 15.3 следует,
что dl=(rd/cos).
Подставив это выражение dl
в формулу (2), найдем
.
Интегрируя
полученное выражение в пределах от 1
да 2,
получим потенциал, создаваемый всем
зарядом, распределенным на стержне:
.
В
силу симметрии расположения точки А
относительно концов стержня имеем 2=1
и поэтому
.
Следовательно,
.Так
как
Рис 15.3
(см. табл. 2), то
.
Подставляя пределы
интегрирования, получим
Сделав вычисления
по этой формуле, найдем
=990 В.
Пример 6.
Электрон со скоростью v=1,83106
м/с влетел в однородное электрическое
поле в направлении, противоположном
вектору напряженности поля. Какую
разность потенциалов U
должен пройти электрон, чтобы обладать
энергией Ei=13,6
эВ*? (Обладая такой энергией, электрон
при столкновении с атомом водорода
может ионизировать его. Энергия 13,6 эВ
называется энергией ионизации водорода.)
Решение.
Электрон должен пройти такую разность
потенциалов U, чтобы приобретенная
при этом энергия W в
сумме с кинетической энергией T,
которой обладал электрон перед вхождением
в поле, составила энергию, равную энергии
ионизации Ei,
т. е. W+T=Ei.
Выразив в этой формуле W=eU
и Т =(mv2/2),
получим eU+(mv2/2)=Ei.
Отсюда
.
___________________
* Электрон-вольт
(эВ) — энергия, которую приобретает
частица, имеющая заряд, равный заряду
электрона, прошедшая разность потенциалов
1 В. Эта внесистемная единица энергии в
настоящее время допущена к применению
в физике.
Произведем
вычисления в единицах СИ:
U=4,15 В.
Пример 7. Определить
начальную скорость υ0
сближения протонов, находящихся
на достаточно большом расстоянии друг
от друга, если минимальное расстояние
rmin, на которое
они могут сблизиться, равно 10-11
см.
Р е ш е н и е. Между
двумя протонами действуют силы
отталкивания, вследствие чего
движение протонов будет замедленным.
Поэтому задачу можно решить как в
инерциальной системе координат
(связанной с центром масс двух протонов),
так и в неинерциальной (связанной с
одним из ускоренно движущихся
протонов). Во втором случае законы
Ньютона не имеют места. Применение
же принципа Даламбера затруднительно
из-за того, что ускорение системы будет
переменным. Поэтому удобно рассмотреть
задачу в инерциальной системе отсчета.
Поместим начало
координат в центр масс двух протонов.
Поскольку мы имеем дело с одинаковыми
частицами, то центр масс будет находиться
в точке, делящей пополам отрезок,
соединяющий частицы. Относительно
центра масс частицы будут иметь в любой
момент времени одинаковые по модулю
скорости. Когда частицы находятся
на достаточно большом расстоянии друг
от друга, скорость υ1 каждой
частицы равна половине υ0,
т. е. υ1 =υ0/2.
Для решения задачи
применим закон сохранения энергии,
согласно которому полная механическая
энергия Е изолированной системы
постоянна, т. е.
Е=Т+П,
где Т — сумма
кинетических энергий обоих протонов
относительно центра масс; П — потенциальная
энергия системы зарядов.
Выразим потенциальную
энергию в начальный П1 и конечный
П2 моменты движения.
В начальный момент,
согласно условию задачи, протоны
находились на большом расстоянии,
поэтому потенциальной энергией можно
пренебречь (П1=0). Следовательно,
для начального момента полная энергия
будет равна кинетической энергии T1
протонов, т. е.
E=Tl.
(1)
В конечный момент,
когда протоны максимально сблизятся,
скорость и кинетическая энергия
равны нулю, а полная энергия будет равна
потенциальной энергии П2, т. е.
Е=П2.
(2)
Приравняв правые
части равенств (1) и (2), получим
T1=П2.
(3)
Кинетическая
энергия равна сумме кинетических энергий
протонов:
(4)
Потенциальная
энергия системы двух зарядов Q1
и Q2, находящихся
в вакууме, определяется по формуле
,
где r — расстояние
между зарядами. Воспользовавшись этой
формулой, получим
(5)
С учетом равенств
(4) и (5) формула (3) примет вид
откуда
Выполнив вычисления
по полученной формуле, найдем υ0=2,35
Мм/с.
Пример
8. Электрон без начальной скорости
прошел разность потенциалов U0=10
кВ и влетел в пространство между
пластинами плоского конденсатора,
заряженного до разности потенциалов
Ul=100 В, по линии АВ,
параллельной пластинам (рис. 15.4).
Расстояние d между пластинами
равно 2 см. Длина l1
пластин конденсатора в направлении
полета электрона, равна 20 cм.
Определить расстояние ВС на
экране Р, отстоящем от конденсатора
на l2=1 м.
Р е ш е н и е. Движение
электрона внутри конденсатора
складывается из двух движений: 1)
по инерции вдоль линии АВ с постоянной
скоростью υ0, приобретенной
под действием разности потенциалов U0,
которую электрон прошел до
конденсатора; 2) равномерно ускоренного
движения в вертикальном направлении
к положительно заряженной пластине
под действием постоянной силы поля
конденсатора. По выходе из конденсатора
электрон будет двигаться равномерно
со скоростью υ, которую он имел
в точке М в момент вылета из
конденсатора.
Из рис. 15.4 видно,
что искомое расстояние |BC|=h1+h2,
где с h1 — расстояние, на
которое сместится электрон в вертикальном
направлении во время движения в
конденсаторе; h2 — расстояние
между точкой D на экране, в которую
электрон попал бы, двигаясь по выходе
из конденсатора по направлению
начальной скорости υ0, и точкой
С, в которую электрон попадет в
действительности.
Выразим отдельно
h1 и h2. Пользуясь
формулой длины пути равномерно
ускоренного движения, найдем
.
(1)
где а — ускорение,
полученное электроном под действием
поля конденсатора; t- время полета
электрона внутри конденсатора.
По второму закону
Ньютона a=F/m, где F — сила, с которой
поле действует на электрон; т- его
масса. В свою очередь, F
=eE=eU1/d, где е — заряд
электрона; U1 — разность
потенциалов между пластинами конденсатора;
d — расстояние между ними. Время
полета электрона внутри конденсатора
найдем из формулы пути равномерного
движения
,
откуда
где l1
— длина конденсатора в направлении
полета электрона. Выражение скорости
найдем из условия равенства работы,
совершенной полем при перемещении
электрона, и приобретенной им кинетической
энергии:
.
Отсюда
(2)
Подставляя в
формулу (1) последовательно значения а,
F, t и υ02
из соответствующих выражений,
получим
Длину отрезка h2
найдем из подобия треугольников MDC
и векторного:
(3)
где υ1
— скорость электрона в вертикальном
направлении в точке М; l2—
расстояние от конденсатора до экрана.
Скорость υ1
найдем по формуле υ1=at, которая
с учетом выражений для а, F и t
примет вид
Подставив выражение
υ1 в формулу (3), получим
,
или, заменив υ02 по
формуле (3), найдем
Окончательно для
искомого расстояния |BC|
будем иметь
|BC|=
Подставив
значения величин U1, U0,
d, l1 и l2
в последнее выражение и произведя
вычисления, получим |BC|=5,5cм.
Задачи
Потенциальная
энергия и потенциал поля точечных
зарядов
15.1. Точечный
заряд Q = 10 нКл, находясь в некоторой
точке поля, обладает потенциальной
энергией П = 10 мкДж. Найти потенциал φ
этой точки поля.
5.2. При перемещении
заряда Q=20 нКл между двумя точками
поля внешними силами была совершена
работа А=4 мкДж. Определить работу
A1 сил поля и разность Δφ
потенциалов этих точек поля.
15.3. Электрическое
поле создано точечным положительным
зарядом Q1=6 нКл. Положительный
заряд Q2 переносится из точки
А этого поля в точку В (рис. 15.5).
Каково изменение потенциальной
энергии ΔП, приходящееся на единицу
переносимого заряда, если r1=20
см и r2=50 см?
15.4. Электрическое
поле создано точечным зарядом Ql=50
нКл. Не пользуясь понятием потенциала,
вычислить работу А в
нешних
сил по перемещению точечного заряда
Q2= -2 нКл из точки С в точку
В
(рис. 15.6), если r1=10
см, r2=20 см.
Определить также изменение ΔП
потенциальной энергии системы
зарядов.
15.5. Поле создано
точечным зарядом Q=1 нКл. Определить
потенциал φ поля в точке, удаленной
от заряда на расстояние r=20
см.
15.6. Определить
потенциал φ электрического поля в точке,
,удаленной от зарядов Q1= -0,2
мкКл и Q2=0,5 мкКл соответственно
на r1=15 см и r2=25
см. Определить также минимальное и
максимальное расстояния между
зарядами, при которых возможно решение.
15.7. Заряды Q1=1
мкКл и Q2= -1 мкКл находятся
на расстоянии d=10 см. Определить
напряженность Е и потенциал φ поля
в точке, удаленной на расстояние
r= 10 см от первого
заряда и лежащей на линии, проходящей
через первый заряд перпендикулярно
направлению от Q1 к Q2.
15.8. Вычислить
потенциальную энергию П системы двух
точечных зарядов Q1=100 нКл
и Q2=10 нКл, находящихся на
расстоянии d=10 см друг от друга.
15.9. Найти
потенциальную энергию П системы трех
точечных зарядов Q1=10 нКл,
Q2=20 нКл и Q3= -30
нКл, расположенных в вершинах
равностороннего треугольника со стороной
длиной a=10 см.
15.10. Какова
потенциальная энергия П системы четырех
одинаковых точечных зарядов Q=10
нКл, расположенных в вершинах квадрата
со стороной длиной а=10 см? .
15.11. Определить
потенциальную энергию П системы четырех
точечных зарядов, расположенных в
вершинах квадрата со стороной длиной
a=10 см. Заряды одинаковы по модулю
Q=10 нКл,но два из них отрицательны.
Рассмотреть два возможных случая
расположения зарядов.
15.12.
Поле создано двумя точечными зарядами
+2Q и -Q, находящимися на
расстоянии d=12 см друг от друга.
Определить геометрическое место точек
на плоскости, для которых потенциал
равен нулю (написать уравнение линии
нулевого потенциала).
5.13. Система
состоит из трех зарядов — двух одинаковых
по величине Q1=|Q2|=1
мкКл и противоположных по знаку и заряда
Q=20 нКл, расположенного точке 1
посередине между двумя другими зарядами
системы (рис. 15.7). Определить изменение
потенциальной энергии ΔП системы при
переносе заряда Q из точки 1 в
точку 2. Эти точки удалены от отрицательного
заряда Q1 на расстояние а=0,2
м.
Потенциал электростатического поля точечного заряда
4.9
Средняя оценка: 4.9
Всего получено оценок: 169.
4.9
Средняя оценка: 4.9
Всего получено оценок: 169.
Проявление электрического поля заключается в силовом взаимодействии между зарядами. Электрическое поле имеет ряд характеристик, одной из которых является потенциал. Рассмотрим это понятие, выведем формулу потенциала электростатического поля точечного заряда.
Понятие потенциала
Из курса электродинамики в 10 классе известно, что для определения взаимного влияния электрических зарядов используется понятие напряженности.
Однако для электротехники такая характеристика поля неудобна. В самом деле, напряженность — это векторная величина, предполагающая движение зарядов в пространстве. Но в электротехнических схемах заряды могут двигаться только по проводникам, направление которых однозначно определено. И имеет значение только движение вдоль проводников. Здесь было бы удобнее рассматривать не векторную, а скалярную характеристику поля.
Для введения такой скалярной характеристики вспомним, что основной задачей электротехники является получение и преобразование энергии. А электрическое поле — потенциально, и работа в нем не зависит от пути, по которому двигался заряд. Важна лишь разница потенциальных энергий в конечных точках траектории.
Все это позволяет ввести специальную энергетическую характеристику электростатического поля — потенциал.
Потенциальная энергия взаимодействия двух зарядов равна:
$$W_{потенц}=k{q_1q_2over r}$$
Из этой формулы следует, что потенциальная энергия электрического поля пропорциональна заряду, и отношение потенциальной энергии к этому заряду постоянно. Это отношение и есть потенциал $varphi$:
$$varphi={W_{потенц}over q}$$
Как и в случае с потенциальной энергией, конкретная величина потенциала не несет большой информации. Практически всегда используется разность потенциалов между двумя точками. Зная ее, можно рассчитать работу, которую совершает заряд при движении от одной точки к другой.
Потенциал поля точечного заряда
Из двух приведенных выше формул легко получить формулу потенциала точечного заряда. Подставив первую во вторую, получим:
$$varphi=k{qover r}$$
Коэффициент $k$ здесь, как и в законе Кулона, зависит от выбранной системы единиц. Для системы СИ ($varepsilon_0$ — электрическая постоянная):
$$k={1over 4pivarepsilon_0}$$
Таким образом, потенциал электростатического поля точечного заряда пропорционален величине заряда и обратно пропорционален расстоянию от него. Если $r=∞$, то $varphi=0$. По сути, потенциал поля точечного заряда равен энергии, которая необходима для удаления единичного пробного заряда в бесконечность.
Потенциал системы точечных зарядов
Поскольку электрическое поле потенциально, и в нём действует принцип суперпозиции, это позволяет легко находить потенциал системы зарядов. Он равен алгебраической сумме элементарных зарядов:
$$varphi_{общ} =varphi_1+varphi_2+…+varphi_n$$
Эта же формула используется в том случае, если заряд распределен по телу неравномерно. Тело разбивается на множество элементарных областей, в каждой из которых заряд можно считать точечным. После этого потенциал всех областей суммируется.
Что мы узнали
Электростатический потенциал — это скалярная энергетическая характеристика электростатического поля. Она равна работе, которую надо совершить для того, чтобы удалить пробный единичный заряд из поля в бесконечность. Поскольку электрическое поле потенциально, и в нём работает принцип суперпозиции, потенциал системы точечных зарядов равен сумме потенциалов каждого заряда.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
Пока никого нет. Будьте первым!
Оценка доклада
4.9
Средняя оценка: 4.9
Всего получено оценок: 169.
А какая ваша оценка?