Как найти потенциал если известно сопротивление - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Понятие электрического потенциала является одним из важных основ теории электростатики и электродинамики. Понимание его сущности является необходимым условием для дальнейшего изучения этих разделов физики.

Содержание

1 Что такое электрический потенциал
2 Свойства потенциала
3 Разность потенциалов
4 Эквипотенциальные поверхности

Что такое электрический потенциал

Пусть в поле, создаваемым неподвижным зарядом Q, помещён единичный заряд q, на который действует сила Кулона F=k*Qq/r.

Здесь и далее k=((1/4)*π* ε₀* ε), где ε_{0 —}электрическая постоянная (8,85*10^-12 Ф/м), а ε – диэлектрическая постоянная среды.

Внесённый заряд под действием этой силы может перемещаться, а сила при этом совершит определенную работу. Это означает, что система из двух зарядов обладает потенциальной энергией, зависящей от величины обоих зарядов и расстояния между ними, причём величина этой потенциальной энергии не зависит от величины заряда q. Здесь и вводится определение электрического потенциала – он равен отношению потенциальной энергии поля к величине заряда:

φ=W/q,

где W – потенциальная энергия поля, создаваемого системой зарядов, а потенциал является энергетической характеристикой поля. Чтобы переместить заряд q в электрическом поле на какое-то расстояние, надо затратить определённую работу на преодоление кулоновских сил. Потенциал точки равен работе, которую надо затратить для перемещения единичного заряда из этой точки в бесконечность. При этом надо отметить, что:

эта работа будет равна убыли потенциальной энергии заряда (A=W₂-W₁);
работа не зависит от траектории перемещения заряда.

В системе СИ единицей измерения потенциала является один Вольт (в русскоязычной литературе обозначается буквой В, в зарубежной – V). 1 В=1Дж/1 Кл, то есть, можно говорить о потенциале точки в 1 вольт, если для перемещения заряда в 1 Кл в бесконечность потребуется совершить работу в 1 Джоуль. Название выбрано в честь итальянского физика Алессандро Вольта, внесшего значительный вклад в развитие электротехники.

Чтобы наглядно представить, что такое потенциал, его можно сравнить с температурой двух тел или температурой, замеренной в разных точках пространства. Температура служит мерой нагрева объектов, а потенциал – мерой электрической заряженности. Говорят, что одно тело нагрето более другого, также можно сказать, что одно тело заряжено более, а другое – менее. Эти тела обладают разным потенциалом.

Значение потенциала зависит от выбора системы координат, поэтому требуется какой-то уровень, который надо принять за ноль. При измерении температуры за базовую границу можно принять, например, температуру тающего льда. Для потенциала за нулевой уровень обычно принимают потенциал бесконечно удаленной точки, но для решения некоторых задач за нулем можно считать, например, потенциал земли или потенциал одной из обкладок конденсатора.

Свойства потенциала

Среди важных свойств потенциала надо отметить следующие:

если поле создается несколькими зарядами, то потенциал в конкретной точке будет равен алгебраической (с учетом знака заряда) сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов φ=φ₁+φ₂+φ₃+φ₄+φ₅+…+φ_n;
если расстояния от зарядов таковы, что сами заряды можно считать точечными, то суммарный потенциал считается по формуле φ=k*(q₁/r₁+q₂/r₂+q₃/r₃+…+q_n/r_n), где r – расстояние от соответствующего заряда то рассматриваемой точки.

Если поле образовано электрическим диполем (двумя связанными зарядами противоположного знака), то потенциал в любой точке, находящейся на расстоянии r от диполя будет равен φ=k*p*cosά/r², где:

p – электрическое плечо диполя, равное q*l, где l – расстояние между зарядами;
r – расстояние до диполя;
ά – угол между плечом диполя и радиус-вектором r.

Если точка лежит на оси диполя, то cosά=1 и φ=k*p/r².

Разность потенциалов

Если две точки обладают определённым потенциалом, и если они не равны, то говорят о том, что между двумя точками существует разность потенциалов. Разность потенциалов возникает между точками:

потенциал которых определяется зарядами разных знаков;
точкой с потенциалом от заряда любого знака и точкой с нулевым потенциалом;
точками, имеющими потенциал равного знака, но отличающимися по модулю.

То есть, разность потенциалов не зависит от выбора системы координат. Можно провести аналогию с бассейнами с водой, расположенными на разной высоте относительно нулевой отметки (например, уровня моря).

Вода каждого бассейна имеет определенную потенциальную энергию, но если соединить два любых бассейна трубкой, то в каждой из них возникнет поток воды, расход которой определяется не только размерами трубки, но и разностью потенциальных энергий в гравитационном поле Земли (то есть, разностью высот). Абсолютное значение потенциальных энергий значения в данном случае не имеет.

Точно так же, если соединить проводником две точки с разным потенциалом, по нему потечёт электрический ток, определяемый не только сопротивлением проводника, но и разностью потенциалов (но не их абсолютным значением). Продолжая аналогию с водой, можно сказать, что вода в верхнем бассейне скоро закончится, и если не найдется той силы, которая переместит воду обратно наверх (например, насоса), то и поток очень быстро прекратится.

Так и в электрической цепи – чтобы поддерживать разность потенциалов на определенном уровне, потребуется сила, переносящая заряды (точнее, носители зарядов) к точке с наибольшим потенциалом. Такая сила называется электродвижущей силой и сокращенно обозначается ЭДС. ЭДС может носить различную природу – электрохимическую, электромагнитную и т.п.

На практике имеет значение в основном разность потенциалов между начальной и конечной точками траектории движения носителей зарядов. В этом случае эту разность называют напряжением, и оно в СИ также измеряется в вольтах. О напряжении в 1 Вольт можно говорить, если поле совершает работу в 1 Джоуль при перемещении заряда в 1 Кулон из одной точки в другую, то есть 1В=1Дж/1Кл, и Дж/Кл также может являться единицей измерения разности потенциалов.

Эквипотенциальные поверхности

Если потенциал нескольких точек одинаков, и эти точки образуют поверхность, то такая поверхность называется эквипотенциальной. Таким свойством обладает, например, сфера, описанная вокруг электрического заряда, ведь электрическое поле убывает с расстоянием одинаково во все стороны.

Все точки этой поверхности имеют одинаковую потенциальную энергию, поэтому при перемещении заряда по такой сфере работа затрачиваться не будет. Эквипотенциальные поверхности систем из нескольких зарядов имеют более сложную форму, но у них есть одно интересное свойство – они никогда не пересекаются. Силовые линии электрического поля всегда перпендикулярны поверхностям с одинаковым потенциалом в каждой их точке. Если эквипотенциальную поверхность рассечь плоскостью, получится линия равных потенциалов. Она имеет те же свойства, что и эквипотенциальная поверхность. На практике равный потенциал имеют, например, точки на поверхности проводника, помещенного в электростатическое поле.

Разобравшись с понятием потенциала и разности потенциалов, можно приступать к дальнейшему изучению электрических явлений. Но не ранее, потому что без понимания базовых принципов и понятий углубить знания не получится.

Источник

ads

При изучении основ электротехники приходится сталкиваться с необходимостью расчета тех или иных параметров различных схем. И самое простое, что приходится делать – это расчет токов ветвей в цепях постоянного тока.

Существует несколько наиболее применяемых методов расчетов для таких цепей: с помощью законов Кирхгофа, методом контурных токов, узловых потенциалов, методом эквивалентного генератора, эквивалентного источника тока, методом наложения. Для расчета более сложных цепей, например, в нелинейных схемах, могут применяться метод аппроксимации, графические методы и другие.
В данном разделе рассмотрим один из методов определения токов в цепи постоянного тока – метод узловых потенциалов.

Важно отличать метод узловых напряжений (потенциалов) от метода узлового напряжения (метод двух узлов).

Метод узловых потенциалов примеры решения задач

Для того, чтобы лучше разобраться в этом вопросе, рассмотрим конкретный пример схемы, показанной на рис.1.

Рис.1. Схема постоянного тока

Для начала обозначают направления токов в ветвях. Направление можно выбирать любым. Если в результате вычислений какой-то из токов получится с отрицательным значением, значит, его направление в действительности будет направлено в противоположную сторону относительно ранее обозначенного. Если в ветви имеется источник, то для удобства лучше обозначить направление тока в этой ветви совпадающим с направлением источника в этой ветви, хотя и не обязательно. Далее один из узлов схемы заземляем. Заземленный узел будет называться опорным, или базисным. Такой метод заземления на общее токораспределение в схеме влияния не оказывает.

Какой именно узел заземлять, значения не имеет. Заземлим, например, узел 4 φ₄ = 0.

Каждый из этих узлов будет обладать своим значением потенциала относительно узла 4. Именно значения этих потенциалов для дальнейшего определения токов и находят. Соответственно, для удобства этим потенциалам присваивают номера в соответствии с номером узла, т.е. φ₁, φ₂, φ₃. Далее составляется система уравнений для оставшихся узлов 1, 2, 3.

В общем виде система имеет вид:

Использованные в этой системе уравнений буквенно-цифровые обозначения

имеют следующий смысл:

– сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле 1. В данном случае

– сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле 2. В данном случае

– сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле 3. В данном случае

– сумма проводимостей ветвей, соединяющих узлы 1 и 2, взятая со знаком «минус». Для этого единица и взята с отрицательным знаком:

– сумма проводимостей ветвей, соединяющих узлы 1 и 3, взятая со знаком «минус». Для этого единица и в этом случае взята с отрицательным знаком:

Аналогично находятся и остальные проводимости:

J₁₁ – узловой ток узла 1, в котором участвуют ветви, подходящие именно к этому узлу, и содержащие в своем составе ЭДС. При этом, если ЭДС ветви, входящий в узел, направлена к рассматриваемому узлу (в данном случае к узлу 1), то такой узловой ток записывается с плюсом, если от узла, то с минусом. В данном случае

Аналогично

В результате всех ранее приведенных вычисленных значений исходная система уравнений примет вид:

Решать данную систему можно всеми доступными методами, мы же для упрощения решим ее в пакете Mathcad:

В результате получены следующие значения потенциалов в узлах цепи:

Токи в ветвях находятся в соответствии с законом Ома. Поясним это простыми словами.

В ветви с сопротивлением и источником, учитывая ранее обозначенное направление тока в рассматриваемой ветви, необходимо из потенциала узла, находящегося у начала стрелки направления тока, вычесть потенциал узла, находящегося у конца стрелки направления тока, а затем прибавить значение ЭДС в этой ветви. Далее все это разделить на сопротивление, имеющееся в ветви. Если бы ток и ЭДС в рассматриваемой ветви не совпадали по направлению, тогда значение ЭДС вычиталось. В ветви без ЭДС действует то же самое правило, только ЭДС в числителе, разумеется, отсутствует. В нашем примере получим, что

Значение тока первой ветви, как видно из расчета, получилось отрицательным. Значит, в действительности, этот ток направлен в противоположную сторону относительно его обозначенного направления на рис.1.

Правильность расчетов можно проверить, например, составлением баланса мощностей либо, к примеру, моделированием, схемы. Выполним моделирование в программе Multisim.

Рис.2. Моделирование в Multisim

Как видим, результаты моделирования совпадают с расчетными значениями. Незначительная разница в тысячных долях из-за округлений промежуточных вычислений.

Источник

Как измерить потенциалы точек электрической цепи

Электротехника Методические указания по выполнению лабораторной работы

Лабораторная работа № 1

Измерение потенциалов точек электрической цепи

Научиться измерять потенциалы точек электрической цепи и строить потенциальные диаграммы.

Экспериментально проверить справедливость второго закона Кирхгофа.

2. Теоретические сведения и методические указания

Для расчета тока в замкнутом контуре с несколькими источниками ЭДС применяется второй закон Кирхгофа, который гласит, что алгебраическая сумма ЭДС, входящих в контур, равна алгебраической сумме падений напряжения на сопротивлениях этого контура:

Как известно, ЭДС внутри источника направлена от отрицательного зажима к положительному. ЭДС и токи, совпадающие с произвольно выбранным направлением обхода контура, считаются положительными, а ЭДС и токи, направленные в противоположном направлении – отрицательными.

Уравнение второго закона Кирхгофа можно представить в таком виде:

из чего следует, что алгебраическая сумма изменений потенциала при полном обходе контура равна нулю.

Наглядной иллюстрацией второго закона Кирхгофа является потенциальная диаграмма, которая дает возможность определить падение напряжения на отдельных участках электрической цепи.

Сущность понятия потенциальной разницы

Для изучения свойств заряженных частиц, помещенных в электростатическое поле, введено понятие потенциала. Оно означает отношение энергии заряда, помещенного в электростатическое поле, к его величине.

При переносе заряженной частицы в другую точку поля меняется его потенциальная энергия, а величина заряда остается неизменной. Для переноса требуется затратить некоторое количество энергии. Данная энергия по переносу единицы заряда получила название электрического напряжения. Соответственно, больший запас энергии будет ускорять перенос, то есть, чем больше напряжение, тем больше ток в цепи.

В данном случае разность потенциалов – это численное равенство напряжению между точками нахождения единичного заряда. Для общего случая здесь должна добавляться работа сторонних сил, которая называется электродвижущей силой (ЭДС). По своей сути, электричество – это работа стороннего источника (генератора) по поддержанию в электросхеме заданных уровней напряжения и тока.

Лабораторные работы по электротехнике Оформление защита

Лабораторная работа № 1

Измерение потенциалов точек электрической цепи

Научиться измерять потенциалы точек электрической цепи и строить потенциальные диаграммы.

Экспериментально проверить справедливость второго закона Кирхгофа.

2. Теоретические сведения и методические указания

Уравнение второго закона Кирхгофа можно представить в таком виде:

из чего следует, что алгебраическая сумма изменений потенциала при полном обходе контура равна нулю.

Для построения потенциальной диаграммы замкнутого контура АВСDEA (рис. 3) необходимо определить потенциалы отдельных точек контура.

Рис. 3. Схема замкнутого контура с двумя источниками ЭДС

Будем считать, что известны величины сопротивлений, величины и направления ЭДС E1 и E2.

Точка А контура соединена с землей («заземлена») и, следовательно, потенциал ее равен нулю (φA = 0).

Произвольно выбираем направления тока I в контуре и направление обхода контура (по часовой стрелке). Начнем обход контура от точки A по выбранному направлению. При этом мы проходим через сопротивление R1 по направлению тока. Так как ток направлен от точки с высшим потенциалом к точке с низшим потенциалом, то потенциал точки B ниже потенциала точки A на величину падения напряжения IR1.

Разность потенциалов φA – φB есть падение напряжения между точками A и B, т. е.

так как φA = 0, то потенциал точки B по отношению к земле

При переходе от точки B к точке C мы проходим через источник с ЭДС E1 от отрицательного полюса к положительному. В результате действия сторонних сил источника должно произойти повышение потенциала точки C на величину E1. так как источник ЭДС обладает внутренним сопротивлением r01, то в нем происходит падение напряжения I∙r01, что вызывает некоторое уменьшение потенциала точки C. Следовательно, потенциал точки C по отношению к земле равен:

φC = φB + E1 – I r01 = – IR1+ E1 – I r01.

При переходе от точки C к точке D мы проходим через сопротивление R2 по направлению тока, поэтому потенциал точки D ниже потенциала точки C на величину падения напряжения IR2.

Потенциал точки D по отношению к земле равен:

φD = φC – IR2 = – IR1 + E1 – I r01 – IR2.

При переходе к точке E мы проходим через источник с ЭДС E2 от положительного полюса к отрицательному. Следовательно, должно произойти уменьшение потенциала на величину ЭДС E2. Наличие сопротивления r02 у источника ЭДС вызывает в нем падение напряжения Ir02. Следовательно, потенциал точки E по отношению к земле равен:

φE = φD – E2 – Ir02 = – IR1 + E1 – Ir01 – IR2 – E2 – Ir02.

От точки E через сопротивление R3 мы приходим к точке А по направлению тока. Потенциал точки А ниже потенциала точки E на величину падения напряжения IR3, поэтому:

φA = φE – IR3 = – IR1 + E1 + Ir01 – IR2 – E2 – Ir02 –IR3.

Так как потенциал точки А равен нулю (UA = 0), то

– IR1 + E1 + Ir01 – IR2 – E2 – Ir02 –IR3 = 0,

т. е. мы получили уравнение второго закона Кирхгофа для контура ABCDEA.

Это уравнение можно переписать так:

E1 – E2 = IR1 + IR2 + IR3 + Ir01 + Ir02 =i(R1 + R2 + R3 + r01 + r02).

Откуда ток в контуре:

Зная потенциалы точек цепи и сопротивления участков, можно построить потенциальную диаграмму.

При построении потенциальной диаграммы по оси абсцисс откладывают сопротивления между точками цепи, а по оси ординат – потенциалы этих точек. Потенциальная диаграмма для рассмотренной электрической цепи показана на рис. 4.

Рис. 4. Потенциальная диаграмма рассматриваемой электрической цепи

Потенциальная диаграмма может быть построена не только аналитическим путем, но и по опытным данным. Для этого потенциалы точек электрической цепи измеряют вольтметром.

Расчёт электрических цепей по методу узловых потенциалов: методика

В дополнение к выводу метода рассмотрим методику расчёта электрических цепей по методу узловых потенциалов.

Воспользуйтесь программой онлайн-расчёта электрических цепей. Программа позволяет рассчитывать электрические цепи по закону Ома, по законам Кирхгофа, по методам контурных токов, узловых потенциалов и эквивалентного генератора, а также рассчитывать эквивалентное сопротивление цепи относительно источника питания.

Последовательность расчёта следующая.

Пронумеровать все узлы и задать произвольное направление токов в схеме.
Стянуть узлы с одинаковым потенциалом. Узлы будут иметь одинаковый потенциал, если между ними находится чистая ветвь с нулевым сопротивлением – закоротка (ветви между узлами 2 − 4 и 3 − 5 на рис. 1). Перерисовывать схему со стянутыми узлами не обязательно, но тогда следует учесть, что потенциалы узлов по концам закоротки будут одинаковыми.

Выбрать базисный узел (рис. 2) и приравнять его потенциал нулю $ underline_ = 0 space textrm $. В качестве базисного узла можно выбрать любой, за исключением случая, когда имеются особые ветви. Если в схеме есть хотя бы одна особая ветвь, то за базисный узел следует принимать один из концов одной из таких ветвей. При этом потенциал другого конца будет равен ЭДС $ underline_ = underline_ $, если источник напряжения направлен в этот узел, и равен минус ЭДС $ underline_ =- underline_ $, если источник направлен к базисному узлу.

Составить уравнения для узлов без особых ветвей, потенциалы которых неизвестны. Уравнения записываются по следующему принципу:

потенциал рассматриваемого узла умножается на сумму проводимостей всех примыкающих к нему ветвей;

вычитаются потенциалы узлов, находящихся на противоположных концах примыкающих ветвей, умноженные каждый на свою проводимость соединяющей их ветви;

приравнивается алгебраической сумме примыкающих к данному узлу источников тока и источников ЭДС, последние умножаются на проводимость ветви, в которой они расположены. Под алгебраической суммой подразумевается необходимость учёта направленности источников, если источник направлен в рассматриваемый узел, то он записывается со знаком «+», в противном случае со знаком «-».

В случае, если имеется более одной особой ветви, и они не имеют общие узлы, то уравнения для узлов, в состав которых входит особая ветвь, не примыкающая к базисному узлу, записываются следующим образом:

потенциал рассматриваемого узла умножается на сумму проводимостей всех примыкающих к нему ветвей и проводимостей ветвей, примыкающих к узлу противоположного конца особой ветви;
вычитаются потенциалы узлов, находящихся на противоположных концах примыкающих ветвей к узлам особой ветви, умноженные каждый на свою проводимость примыкающей ветви;
приравнивается алгебраической сумме примыкающих к узлам особой ветви источников тока и источников ЭДС, последние умножаются на проводимость ветви, в которой они расположены, за исключением источника ЭДС особой ветви, который умножается на сумму проводимости ветвей, примыкающих к узлу противоположного конца особой ветви.
При составлении уравнения проводимость особой ветви не учитывается ( 1 /=∞). Следует также учитывать, что направление ЭДС особой ветви и соответственно её знак учитываются относительно рассматриваемого узла.

Рассчитать токи в ветвях по закону Ома как алгебраическую сумму разности потенциалов и ЭДС в ветви с искомым током, делённую на сопротивление этой ветви. Вычитаемым будет тот потенциал, в который направлен ток, а знак ЭДС выбирается в зависимости от направления: в случае сонаправленности с током ЭДС берётся со знаком «+», в противном случае со знаком «-». Ток в закоротке следует искать по первому закону Кирхгофа, составленному для одного из узлов рассматриваемой ветви в исходной схеме, после расчета всех остальных токов в схеме.
Правильность расчёта по методу узловых потенциалов проще всего проверить по первому закону Кирхгофа для уникальных узлов без особых ветвей, подставив полученные значения токов. Под уникальными узлами подразумеваются те узлы, при рассмотрении которых имеется хотя бы одна ветвь, не примыкающая к другим из рассмотренных узлов.

Пример решения. В качестве примера рассмотрим схему с двумя особыми ветвями и источником тока (рис. 3). Количество уравнений составляемых для нахождения узловых потенциалов равно

6 (всего узлов) – 1 (базисный узел) – 2 (узла особых ветвей) = 3.

Произвольно обозначим узлы и токи на схеме. Один из узлов одной из особой ветви (1-4 и 3-6) примем за базисный, к примеру узел 4, в таком случае $ underline_ = 0 $, а $ underline_ = underline_ $.

В ветви 3-6 необходимо найти потенциал только одного из узлов (рассчитаем для узла 6), так как второй (потенциал узла 3) будет отличаться на значение ЭДС, т.е. $ underline_ = underline_— underline_ $. Далее необходимо составить уравнения для нахождения оставшихся потенциалов в узлах 2, 5 и 6. Следует отметить, что ёмкость ветви с источником тока не повлияет на расчёты, поскольку проводимость этой ветви бесконечно большая, а ток задаётся самим источником.

$$ begin underline_ cdot (underline_ + underline_ + underline_)- underline_ cdot underline_— underline_ cdot underline_— underline_ cdot underline_ = 0 \ underline_ cdot (underline_ + underline_ + underline_)- underline_ cdot underline_— underline_ cdot underline_— underline_ cdot underline_ = 0 \ underline_ cdot (underline_ + underline_ + underline_)- underline_ cdot underline_— underline_ cdot underline_— underline_ cdot underline_ = underline_ cdot (underline_ + underline_) + underline_ end $$

Подставим известные значения потенциалов, сократив количество неизвестных:

$$ begin underline_ cdot (underline_ + underline_ + underline_)- 0 cdot underline_— underline_ cdot underline_— underline_ cdot underline_ = 0 \ underline_ cdot (underline_ + underline_ + underline_)- underline_ cdot underline_— underline_ cdot underline_— (underline_— underline_) cdot underline_ = 0 \ underline_ cdot (underline_ + underline_ + underline_)- underline_ cdot underline_— underline_ cdot underline_— underline_ cdot underline_ = underline_ cdot (underline_ + underline_) + underline_ end $$

Перенесём все свободные составляющие в правую часть равенств и получим конечную систему уравнений с тремя неизвестными узловыми потенциалами:

$$ begin underline_ cdot (underline_ + underline_ + underline_)- underline_ cdot underline_— underline_ cdot underline_ = 0 \ underline_ cdot (underline_ + underline_ + underline_)- underline_ cdot underline_— underline_ cdot underline_ = underline_ cdot underline_— underline_ cdot underline_ \ underline_ cdot (underline_ + underline_ + underline_)- underline_ cdot underline_— underline_ cdot underline_ = underline_ cdot underline_ + underline_ cdot (underline_ + underline_) + underline_ end $$

Для решения системы уравнений с неизвестными узловыми потенциалами, можно воспользоваться Matlab. Для этого представим систему уравнений в матричной форме:

$$ begin underline_ + underline_ + underline_ & -underline_ & -underline_ \ -underline_ & underline_ + underline_ + underline_ & -underline_ \ -underline_ & -underline_ & underline_ + underline_ + underline_ end cdot begin underline_ \ underline_ \ underline_ end = \ = begin 0 \ underline_ cdot underline_— underline_ cdot underline_ \ underline_ cdot underline_ + underline_ cdot (underline_ + underline_) + underline_ end $$

Запишем скрипт в Matlab для нахождения неизвестных:

Примечание. Для решения в численном виде необходимо заменить символьное задание переменных реальными значениями проводимостей, ЭДС и тока источника.

В результате получим вектор-столбец $ underline> $ из трёх элементов, состоящий из искомых узловых потенциалов, при этом токи в ветвях через потенциалы узлов:

Для проверки правильности расчёта можно воспользоваться уравнениями по первому закону Кирхгофа: если суммы токов в узлах 2 и 5 равны нулям, значит расчёт выполнен верно:

$$ underline_ + underline

_— underline
_ = 0, $$
$$ underline_ + underline

_— underline
_ = 0. $$
Итак, метод узловых потенциалов позволяет рассчитывать меньшее количество сложных уравнений для расчёта электрической цепи в сравнении с другими методами при меньшем числе узлов в сравнении с количеством контуров.

Измерение потенциалов точек электрической цепи и построение потенциальной диаграммы

Электротехника
Электротехника

Страницы работы

7
страниц
(Word-файл)

Посмотреть все страницы

Скачать файл

Фрагмент текста работы

любой ветви схемы можно найти по закону Ома для
участка цепи, содержащего ЭДС. Для того чтобы можно было применить закон Ома,
необходимо знать потенциалы узлов схемы. Метод расчета электрических цепей, в
котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, называют методом
узловых потенциалов.

Допустим, что в схеме n узлов.
Так как любая (одна) точка схемы может быть заземлена без изменения
токораспределения в схеме, то один из узлов схемы можно мысленно заземлить, т.
е. принять потенциал его равным нулю. При этом число неизвестных уменьшается с n до n-1.

Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно
числу уравнений, которые необходимо составить для схемы по первому закону
Кирхгофа. Метод узловых потенциалов, как и метод контурных токов, — один из
основных расчетных приемов. В том случае, когда число узлов без единицы меньше
числа независимых контуров в схеме, данный метод является более экономичным,
чем метод контурных токов.

Вывод основных расчетных уравнений проведем применительно
к схеме рис. 2, в которой три узла. Если узел 3 мысленно заземлить, т. е.
принять =0, то необходимо определить потенциалы
только двух узлов:,.

Запишем уравнения по первому закону Кирхгофа для
независимых узлов, причем токи, направленные к узлу берем со знаком минус, а от
узла – со знаком плюс.

Для первого узла ,

Для второго узла .

Рис. 2. Схема для
расчета по методу узловых потенциалов

Запишем токи по закону Ома:

, , , ,
, .

Подставим токи в уравнения по первому закону Кирхгофа:

Перепишем уравнения:

;

, где ,
, , ,

,
,

G₁₁— сумма проводимостей
ветвей, сходящихся в первом узле,

G₁₂— сумма проводимостей
ветвей, соединяющих первый и второй узлы, взятая со знаком минус,

G₂₁— сумма проводимостей
ветвей, соединяющих первый и второй узлы, взятая со знаком минус,

G₁₁— сумма проводимостей
ветвей, сходящихся во втором узле,

I₁₁— узловой ток первого
узла,

I₂₂— узловой ток второго
узла.

Запишем уравнения в матричной форме:

, , .

Решим эти уравнения относительно искомых потенциалов и
выразим токи ветвей, используя закон Ома.

После нахождения токов ветвей любым методом всегда
делается проверка по первому закону Кирхгофа.

Потенциальная диаграмма.

Под потенциальной диаграммой понимают график
распределения потенциала вдоль какого-либо участка цепи или замкнутого контура.
По оси абсцисс на нем откладывают сопротивления вдоль контура, начиная с какой-либо
произвольной точки, по оси ординат – потенциалы. Каждой точке участка цепи или
замкнутого контура соответствует своя точка на потенциальной диаграмме.
Построим потенциальную диаграмму для контура на рис.3. Пусть R1=10 Ом, R2=5 Ом, R3=15
Ом, E1=20 В, E2=10 В, I=1A.

Рис.3. Контур для
построения потенциальной диаграммы

Построим график.

Рис. 4. Потенциальная
диаграмма для контура на рис.3.

Таблица 1. Исходные
данные

	Схема	R1	R2	R3	R4	R5	R6	E1	E2
	Рис.	Ом	Ом	Ом	Ом	Ом	Ом	В	В
Вариант 1	5	15	10	25	20	10	30	100	60
Вариант 2	6	4	6	3	2	5	6	35	25
Вариант 3	7	5	1	6	4	2	6	10	30
Вариант 4	8	3	6	9	10	6	8	55	40
Вариант 5	5	6	6	8	8	10	12	70	45
Вариант 6	6	4	2	4	5	6	3	15	35
Вариант 7	7	1	2	5	1	3	3	10	15
Вариант 8	8	25	50	15	25	20	30	150	75

Порядок выполнения работы:

1. Нарисовать
схему. Записать данные.

2. Найти токи
ветвей методом контурных токов.

3. Сделать
проверку по первому закону Кирхгофа.

4. Найти токи
ветвей методом узловых потенциалов.

5. Рассчитанные
токи занести в таблицу 2.

Таблица
2

	I1,A	I2,A	I3,A	I4,A	I5,A	I6,A
расчет
эксперимент

6. Составить баланс мощностей.

7. Потенциалы точек отмеченных на схеме занести в таблицу
3.

Таблица 3

	_A,B	_B,B	_C,B	_D,B	_F,B
расчет
эксперимент

8. Собрать
схему в программе Electronics Workbench.

9. Измерить
токи во всех ветвях. Для чего в каждую ветвь включить амперметр. Результаты
измерений занести в таблицу 2.

10. Заземлить узел, который
заземляли при расчете по методу узловых потенциалов.

11. Измерить потенциалы точек,
отмеченных на схеме. Результаты занести в таблицу 3.

12. Построить потенциальную
диаграмму заданного контура.

13. Сравнить измеренные данные с
расчетными.

14. Сделать вывод.

Содержание отчета:

1. Тема,
цель, приборы и оборудование.

2. Схема
заданной цепи. Исходные данные.

3. Расчет по
методу контурных токов и методу узловых потенциалов.

4. Заполненная
таблица 2.

5. Проверка
по первому закону Кирхгофа.

6. Баланс
мощностей.

7. Заполненная
таблица 3.

8. Токи
ветвей и потенциалы узлов цепи, измеренные в программе Electronics Workbench .

9. Потенциальная
диаграмма.

10. Вывод.

Вопросы на защиту:

1. Суть
метода контурных токов.

2. Суть
метода узловых потенциалов.

3. Какой
используется закон Кирхгофа для составления уравнений по методу контурных
токов? Сформулировать его.

4. Какой
используется закон Кирхгофа для составления уравнений по методу узловых
потенциалов? Сформулировать его.

5. Как
называется сопротивление R₁₁? Как оно
находится?

6. Как
называется сопротивление R₁₂? Как оно
находится?

7. Что такое
Е₁₁ в матричной записи уравнений по методу контурных токов?

8. Как
находится собственная проводимость узла по методу узловых потенциалов?

9. Матричная
форма записи уравнений по методу узловых потенциалов.

10. Как строится потенциальная
диаграмма контура сложной цепи

Информация о работе

Скачать файл

РАСЧЕТ ПОТЕНЦИАЛОВ ТОЧЕК ЦЕПИ — Мегаобучалка

Чтобы найти ток в цепи с несколькими источниками надо:

1) Сложить все Е, направленные в одну сторону;

2) Вычесть все Е, направленные в другую сторону

3) Разделить на сумму всех сопротивлений цепи

Ток течет в сторону большей суммы Е.

Пусть Е₁ > Е₂, тогда

Если ток и ЭДС совпадают по направлению, то источник работает в режиме генератора, если нет, то в режиме потребителя.

Е₁ — генератор; Е₂— потребитель

Потенциалом точки цепи называется напряжение между данной точкой и заземлённой.

φ₀ = 0

При переходе через источник в режиме генератора потенциал повышается на величину ЭДС минус падение напряжения внутри источника.

φ_А = φ₀+ Е₁— I∙R_i₁

При переходе через резистор потенциал понижается на величину падения напряжений в нём:

φ_В= φ_А — I∙R

При переходе через источник в режиме потребителя потенциал понижается на величину ЭДС и на величину падения напряжения внутри источника.

φ₀ = φ_B — E₂ — I∙R_i₂

Потенциальная диаграмма — это график зависимости потенциалов точек цепи от величины сопротивления цепи.

Рассмотрим построение потенциальной диаграммы на конкретном примере. Одну точку цепи заземляем. Расставляем точки вдоль направления тока. При расчете снова должен получиться равным нулю

Пример решения задачи:

Дано:

Е₁ = 25 B

Е₂ = 35 В

Е₃ = 18 В

R_i₁ = 2 Ом

R_i₂ = 1 Ом

R_i₃ =2 Ом

R₁ = 12 Ом

R₂ = 5 Ом

R₃ = 14 Ом

R₄ = 6 Ом

1) Рассчитаем ток в цепи и определяем его направление:

2) Рассчитаем потенциалы точек:

φ₀ = 0

φ₁ = φ₀ — I∙R₁ = 0 — 12 = -12 B

φ₂ = φ₁ + Е₁ — I∙R_i₁ = -12 + 25 — 2 = 11 B

φ₃ = φ₂ — I∙R₂ = 11 — 5 = 6 B

φ₄ = φ₃ + E₂ — I∙R_i₂ = 6 + 35 — 1 = 40 B

φ₅ = φ₄ — E₃ — I∙R_i₃ = 40 — 18 — 2 = 20 B

φ₆ = φ₅ — I∙R₃ = 20 — 14 = 6 B

φ₀ = φ₆ — I∙R₄ = 6 — 6 = 0

Вывод: При переходе через резистор потенциал понижается плавно, через источник в режиме генератора резко увеличивается, а в режиме потребителя резко уменьшается.

Тестовые задания:

Задание	Варианты ответов
1.Являются ли напряжение между данной точкой цепи и заземленной потенциалом точки этой цепи?	Да; Нет.
2. Источник работает в режиме генератора если…	а) ЭДС и ток направлены в разные стороны; б) ЭДС и ток направлены в одну сторону.

РАБОТА ИСТОЧНИКА НА НАГРУЗКУ С ПЕРЕМЕННЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ.

Построение зависимостей I, U, η = F(R).

Пусть сопротивление нагрузки изменяется от R_кз=0 до R_xx= . Рассмотрим величину тока в трех режимах короткое замыкание, холостой ход и согласованный режим.

1) I_кз = =

2) I_хх =

Вывод 1: с ростом величины сопротивления ток в цепи уменьшается;

Вывод 2: ток максимальный в режиме короткого замыкания;

Рассмотрим величину напряжения в трех режимах

1) U_кз=

Вывод 1: с ростом величины сопротивления напряжение на зажимах источника растет;

Вывод 2: напряжение максимально в режиме Х. Х.

Рассмотрим величину К.П.Д. в трех режимах

Вывод: η стремиться к 1 в режиме Х.Х., но использовать на практике этот режим невозможно, так как цепь разомкнута.

Построение зависимостей P_u, P_н = F(R)

Рассмотрим величину мощности источника в трех режимах

P_u = E∙I = E∙

Вывод: мощность источника максимальна в режиме короткого замыкания.

Рассмотрим величину мощности нагрузки в трех режимах

Исследуя функцию P_н = f(R) на экстремум доказано, что максимальная мощность выделяется в нагрузке при согласованном режиме. Поэтому линии связи и другие устройства работают в этом режиме. И хотя η = 50%, но в слаботочных цепях это не имеет значения.

Тестовые задания:

Задание	Режим работы	Варианты ответов
4. Укажите при каких режимах работы перечисленные в ответах величины максимальны.	1) режим холостого хода; 2) режим короткого замыкания; 3) согласованный режим.	а) мощность источника; б) ток цепи; в) мощность нагрузки напряжение на зажимах источника.

Калькулятор электрического потенциала

Автор Purnima Singh, PhD

Отзыв Стивена Вудинга

Последнее обновление: 02 февраля 2023 г.

Содержание:

Разность электрических потенциалов
Что такое электрический потенциал? – Определение электрического потенциала
Формула электрического потенциала
Как рассчитать электрический потенциал?
Как пользоваться калькулятором электрического потенциала
Единицы измерения электрического потенциала
Размерная формула электрического потенциала
Часто задаваемые вопросы

Используйте калькулятор электрического потенциала, чтобы определить электрический потенциал в точке либо за счет одиночного точечного заряда, либо за счет системы точечных зарядов. Вы также можете использовать этот инструмент для определения разности электрических потенциалов между двумя точками.

Если вы хотите рассчитать электрическое поле, создаваемое точечным зарядом, воспользуйтесь калькулятором электрического поля.

Продолжайте читать эту статью, чтобы узнать:

Что такое электрический потенциал?
Какая связь между электрическим потенциалом и электрической потенциальной энергией?
Как рассчитать электрический потенциал?
Что такое единица электрического потенциала?

Разность электрических потенциалов

Чтобы понять идею разности электрических потенциалов, рассмотрим некоторое распределение заряда. Это распределение заряда создаст электрическое поле. Теперь, если мы хотим переместить небольшой заряд qqq между любыми двумя точками в этом поле, необходимо совершить некоторую работу против кулоновской силы (вы можете использовать наш калькулятор закона Кулона, чтобы определить эту силу). Эта проделанная работа сохраняется в заряде в виде его потенциальной электрической энергии.

Если мы рассмотрим две произвольные точки, скажем A и B, то выполненная работа (WABW_{AB}WAB) и изменение потенциальной энергии (ΔUDelta UΔU) при перемещении заряда (qqq) из A в B можно записать как:

WAB=ΔU=(VA−VB)qW_{AB} = Delta U = (V_A — V_B)qWAB=ΔU=(VA−VB)q …… (1)

, где VAV_AVA и VBV_BVB — электрические потенциалы в точках A и B соответственно (мы объясним, что это значит, в следующем разделе).

Если величина qqq равна единице (мы называем положительный заряд единичной величины пробным зарядом), уравнение меняется на:

ΔV=(VA−VB)=WABq Delta V = (V_A — V_B) = frac{W_{AB}}{q}ΔV=(VA−VB)=qWAB …. .. (2)

Используя приведенное выше уравнение, мы можем определить разность электрических потенциалов (ΔVDelta VΔV) между двумя точками (B и A) как работу, выполненную для перемещения пробного заряда из A в B против электростатической силы .

Помните, что потенциальную электрическую энергию нельзя рассчитать по стандартной формуле потенциальной энергии E=mghE=mghE=mgh.

Что такое электрический потенциал? – Определение электрического потенциала

Если мы возьмем одну из точек в предыдущем разделе, скажем, точку A, находящуюся в бесконечности, и выберем потенциал на бесконечности равным нулю, мы можем изменить формулу разности электрических потенциалов (уравнение 2) следующим образом:

VB=W ∞Бк V_B = frac{W_{infty B}}{q}VB=qW∞B

Следовательно, мы можем определить электрический потенциал в любой точке как количество работы, выполненной при перемещении пробного заряда из бесконечности в эту точку .

Мы также можем определить электрический потенциал как электрическую потенциальную энергию на единицу заряда, т.е.:

V=ΔUq V = frac{Delta U}{q}V=qΔU

Итак, вы видите, что электрический потенциал и электрическая потенциальная энергия — это не одно и то же.

Формула электрического потенциала

Для расчета электрического потенциала в любой точке A от одного точечного заряда (см. рис. 1) воспользуемся формулой:

В=кквscriptsize
V = k frac{q}{r}V=krq

где:

qqq — электростатический заряд;
rrr — расстояние между точкой А и точечным зарядом; и
k=14πϵ0k = frac{1}{4 pi epsilon_0}k=4πϵ01 — постоянная Кулона.

Рис. 1: Электрический потенциал точечного заряда.

Заметим, что когда заряд qqq положителен, электрический потенциал положителен. Когда заряд qqq отрицателен, электрический потенциал отрицателен.

Теперь рассмотрим случай, когда имеются четыре точечных заряда: q1q_1q1, q2q_2q2, q3q_3q3 и q4q_4q4 (см. рис. 2). Потенциал в точке A от заряда q1q_1q1 равен:

V1=kq1r1scriptsize
V_1 = k frac{q_1}{r_1}V1=kr1q1

Рис. 2: Электрический потенциал, обусловленный системой точечных зарядов.

Мы можем написать аналогичные выражения для потенциала в точке A от других зарядов:

V2=kq2r2V3=kq3r3V4=kq4r4scriptsize
начать{выравнивать*}
V_2 &= k frac{q_2}{r_2} \ \
V_3 &= k frac{q_3}{r_3} \ \
V_4 &= k frac{q_4}{r_4}
end{align*}V2V3V4=kr2q2=kr3q3=kr4q4

Чтобы получить результирующий потенциал в точке A, воспользуемся принципом суперпозиции, т. е. , добавим отдельные потенциалы:

V=V1+V2+V3+V4V=k(q1r1+q2r2+q3r3+q4r4)размер сценария
начать{выравнивать*}
V &= V_1 + V_2 + V_3 + V_4 \ \
V &= k left (frac{q_1}{r_1} + frac{q_2}{r_2} + frac{q_3}{r_3} + frac{q_4}{r_4}right ) \
end{align*}VV=V1+V2+V3+V4=k(r1q1+r2q2+r3q3+r4q4)

Для системы nnn точечных зарядов результирующий потенциал можно записать в виде: кирискриптсайз
начать{выравнивать*}
V &= V_1 + V_2 + V_3 + …. +V_n \ \
V &= k left (frac{q_1}{r_1} + frac{q_2}{r_2} + frac{q_3}{r_3} + …. +frac{q_n}{r_n}right ) \\
V & = k sum frac{q_i}{r_i}
end{align*}VVV=V1+V2+V3+….+Vn=k(r1q1+r2q2+r3q3+…. +rnqn)=k∑riqi 94 rm В3,6×104 В.

Как пользоваться калькулятором электрического потенциала

Теперь посмотрим, как можно решить ту же задачу с помощью нашего калькулятора электрического потенциала:

В раскрывающемся меню выберите электрический потенциал за счет точечного заряда .
Введите значение электрического заряда , т. е. 4e−074e-074e−07 и расстояние между точечным зарядом и точкой наблюдения (10 см10 rm см10 см). 94 rm В3,595×104 В.

Единицы электрического потенциала

Единицей электрического потенциала СИ является вольт (В) . Мы можем сказать, что электрический потенциал в точке равен 1 В , если 1 Дж работы совершается при переносе положительного заряда 1 Кл из бесконечности в эту точку против электростатической силы.

Единицей измерения разности потенциалов также является вольт. Возможно, вы более знакомы с напряжением, а не с термином «разность потенциалов». Например, когда мы говорим о 3 В , мы просто имеем в виду, что разность потенциалов между двумя его клеммами составляет 3 В .

💡 Наш калькулятор емкости аккумулятора — это удобный инструмент, который поможет вам узнать, сколько энергии хранится в вашем аккумуляторе.

Размерная формула электрического потенциала

Чтобы написать размерную формулу электрического потенциала (или разности электрических потенциалов), мы сначала напишем уравнение для электрического потенциала:

V=Wq V = frac{W}{q} V=qW 9{-1}]V=[AT][M1L2T−2]=[M1L2T−3A−1]

Часто задаваемые вопросы

Как рассчитать электрический потенциал точечного заряда?

Для расчета электрического потенциала точечного заряда (q) на расстоянии (r) следуйте приведенным инструкциям:
1. Умножить заряд q на постоянную Кулона .
2. Разделить значение из шаг 1 на расстояние р.
3. Поздравляю! Вы вычислили электрический потенциал точечного заряда.
Может ли электрический потенциал быть отрицательным?

Да , электрический потенциал может быть отрицательным. Электростатический потенциал в точке из-за положительного заряда положителен. Если заряд отрицательный, электрический потенциал также отрицателен.

Что такое разность электрических потенциалов?

Разность электрических потенциалов между двумя точками A и B определяется как работа, совершаемая для перемещения единичного положительного заряда из A в B . Единицей разности потенциалов в системе СИ является вольт (В).

Является ли электрический потенциал скалярной или векторной величиной?

Электрический потенциал является скалярной величиной , поскольку он не имеет направления.

Какова единица измерения электрического потенциала?

Электрический потенциал – электрическая потенциальная энергия на единицу заряда. Единицей электрической потенциальной энергии в системе СИ является джоуль (Дж), а единицы заряда — кулон (Кл). Следовательно, единицей электрического потенциала СИ является Дж/Кл, т. е. вольт (В) .

Чему равен электрический потенциал заряда в точке, удаленной на бесконечность?

Ноль . Электрический потенциал в точке P , обусловленный зарядом q , обратно пропорционален расстоянию между ними. Следовательно, когда расстояние бесконечно, электрический потенциал равен нулю.

Пурнима Сингх, доктор философии

Я хочу вычислить…..

Электрический потенциал

Заряд (q)

Расстояние (r)

Электрический потенциал (В)

Ознакомьтесь с 40 похожими калькуляторами электромагнетизма 🧲

Ускорение частицы в электрическом полеВатт переменного токаЕмкость… еще 37

3.3 Расчеты электрического потенциала – введение в электричество, магнетизм и электрические цепи

ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ

К концу этого раздела вы сможете:
- Расчет потенциала точечного заряда
- Расчет потенциала системы множественных точечных зарядов
- Описать электрический диполь
- Определить дипольный момент
- Расчет потенциала непрерывного распределения заряда
Точечные заряды, такие как электроны, являются одними из основных строительных блоков материи. Кроме того, сферические распределения заряда (например, заряд на металлическом шаре) создают внешние электрические поля точно так же, как точечный заряд. Электрический потенциал, обусловленный точечным зарядом, является, таким образом, случаем, который нам необходимо рассмотреть.

Мы можем использовать исчисление, чтобы найти работу, необходимую для перемещения пробного заряда с большого расстояния на расстояние от точечного заряда. Отмечая связь между работой и потенциалом, как и в предыдущем разделе, мы можем получить следующий результат.

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ

В ТОЧЕЧНЫЙ ЗАРЯД

Электрический потенциал точечного заряда определяется как

(3.3.1)

где постоянная, равная .

Потенциал на бесконечности выбран равным нулю. Таким образом, для точечного заряда уменьшается с расстоянием, тогда как для точечного заряда уменьшается с квадратом расстояния:

Напомним, что электрический потенциал — скаляр и не имеет направления, тогда как электрическое поле — вектор. Чтобы найти напряжение из-за комбинации точечных зарядов, вы складываете отдельные напряжения в виде чисел. Чтобы найти полное электрическое поле, вы должны сложить отдельные поля в виде векторов, принимая во внимание величину и направление. Это согласуется с тем фактом, что тесно связано с энергией, скаляром, тогда как тесно связано с силой, вектором.

ПРИМЕР 3.3.1

Какое напряжение создает небольшой заряд на металлическом шаре?

Заряды статического электричества обычно находятся в диапазоне от нанокулонов () до микрокулонов (). Каково напряжение вдали от центра твердого металлического шара диаметром, имеющего статический заряд?

Стратегия

Как мы обсуждали в разделе «Электрические заряды и поля», заряд на металлическом шаре распространяется равномерно и создает поле, похожее на поле точечного заряда, расположенного в его центре. Таким образом, мы можем найти напряжение, используя уравнение.

Решение

Подставляя известные значения в выражение для потенциала точечного заряда, получаем

Значение

Отрицательное значение напряжения означает, что положительный заряд будет притягиваться с большего расстояния, поскольку потенциал ниже (более отрицательный), чем на больших расстояниях. И наоборот, отрицательный заряд будет отталкиваться, как и ожидалось.

ПРИМЕР 3.3.2

Что такое избыточный заряд генератора Ван де Граафа?

Демонстрационный генератор Ван де Граафа имеет металлическую сферу диаметром, которая создает напряжение вблизи ее поверхности (рис. 3.3.1). Какой избыточный заряд находится на шаре? (Предположим, что каждое числовое значение здесь показано с тремя значащими цифрами.)

(рис. 3.3.1)

Рисунок 3.3.1 Напряжение этого демонстрационного генератора Ван де Граафа измеряется между заряженной сферой и землей. Потенциал Земли принимается равным нулю в качестве эталона. Потенциал заряженной проводящей сферы такой же, как и у равного точечного заряда в ее центре.

Стратегия

Потенциал на поверхности такой же, как и у точечного заряда в центре сферы вдали. (Радиус сферы равен .) Таким образом, мы можем определить избыточный заряд, используя уравнение

Решение

Решение для и ввод известных значений дает

Значение

Это относительно небольшая зарядка, но выдает довольно большое напряжение. У нас есть еще одно указание на то, что трудно хранить изолированные заряды.

ПРОВЕРЬТЕ ВАШЕ ПОНИМАНИЕ 3.8

Каков потенциал внутри металлической сферы в Примере 3.3.1?

Напряжения в обоих этих примерах можно измерить с помощью измерителя, который сравнивает измеренный потенциал с потенциалом земли. Потенциал земли часто принимается равным нулю (вместо того, чтобы принимать потенциал на бесконечности равным нулю). Важна именно разность потенциалов между двумя точками, и очень часто неявно предполагается, что какая-то точка отсчета, например Земля или очень удаленная точка, имеет нулевой потенциал. Как отмечалось ранее, это аналогично уровню моря при рассмотрении потенциальной энергии гравитации.

Системы многоточечных зарядов

Как электрическое поле подчиняется принципу суперпозиции, так и электрический потенциал. Рассмотрим систему, состоящую из зарядов . Каков чистый электрический потенциал в точке пространства от этих зарядов? Каждый из этих зарядов является исходным зарядом, который создает свой собственный электрический потенциал в точке , независимо от того, какие другие изменения могут происходить. Пусть — электрические потенциалы при , создаваемые зарядами соответственно. Тогда суммарный электрический потенциал в этой точке равен сумме этих отдельных электрических потенциалов. Это легко показать, рассчитав потенциальную энергию пробного заряда, когда вы перенесете пробный заряд из точки отсчета на бесконечности в точку:

Обратите внимание, что электрический потенциал следует тому же принципу суперпозиции, что и электрическое поле и электрическая потенциальная энергия. Чтобы показать это более явно, обратите внимание, что тестовый заряд в точке пространства находится на расстоянии от зарядов, зафиксированных в пространстве выше, как показано на рисунке 3.3.2. Используя нашу формулу потенциала точечного заряда для каждого из этих (предполагаемых точечными) зарядов, находим, что

(3.3.2)

Следовательно, электрическая потенциальная энергия пробного заряда равна

, который аналогичен работе по вводу пробного заряда в систему, описанной в первом разделе главы.

(рис. 3.3.2)

Рисунок 3.3.2 Обозначение прямых расстояний от зарядов до точки пространства.

Электрический диполь

Электрический диполь – это система двух равных, но противоположных зарядов, находящихся на фиксированном расстоянии друг от друга. Эта система используется для моделирования многих систем реального мира, включая атомные и молекулярные взаимодействия. Одной из таких систем является молекула воды при определенных обстоятельствах. Эти обстоятельства встречаются внутри микроволновой печи, где электрические поля переменного направления заставляют молекулы воды менять ориентацию. Эта вибрация аналогична теплу на молекулярном уровне.

ПРИМЕР 3.3.3

Электрический потенциал диполя

Рассмотрим диполь на Рисунке 3.3.3 с величиной заряда и расстоянием разделения . Каков потенциал в следующих местах в космосе? (а) ; (б) ; (с) .

(рис. 3.3.3)

Рисунок 3. 3.3 Общая схема электрического диполя и обозначения расстояний от отдельных зарядов до точки в пространстве.

Стратегия

Применить к каждой из этих трех точек.

Решение

а.

б.

в.

Значение

Обратите внимание, что оценка потенциала значительно проще, чем электрического поля, поскольку потенциал является скаляром, а не вектором.

ПРОВЕРЬТЕ ВАШЕ ПОНИМАНИЕ 3.9

Какой потенциал на -оси? -ось?

Теперь рассмотрим частный случай, когда расстояние точки от диполя много больше, чем расстояние между зарядами в диполе, ; например, когда нас интересует электрический потенциал поляризованной молекулы, такой как молекула воды. Это не так далеко (бесконечность), чтобы мы могли просто считать потенциал равным нулю, но расстояние достаточно велико, чтобы мы могли упростить наши вычисления по сравнению с предыдущим примером.

Начнем с того, что на рис. 3.3.4 потенциал представлен как

.

где

(рис. 3.3.4)

Рисунок 3.3.4 Общая схема электрического диполя и обозначения расстояний от отдельных зарядов до точки в пространстве.

Это по-прежнему точная формула. Чтобы воспользоваться тем, что , мы перепишем радиусы в терминах полярных координат, с и . Это дает нам

Мы можем упростить это выражение, вытащив из корня,

, а затем умножить скобки на

.

Последний член в корне достаточно мал, чтобы им можно было пренебречь (помните, что и, следовательно, чрезвычайно мал, фактически равен нулю до уровня, который мы, вероятно, будем измерять), оставляя нам

Использование биномиального приближения (стандартный результат математики рядов, когда небольшое)

и подставив это в нашу формулу для , мы получим

Это может быть записано более удобно, если мы определим новую величину, электрический дипольный момент ,

(3. 3.3)

, где эти векторы указывают от отрицательного заряда к положительному. Обратите внимание, что это имеет величину . Эта величина позволяет нам записать потенциал в точке из-за диполя в начале координат как

.

(3.3.4)

Схема применения этой формулы показана на Рисунке 3.3.5.

(рис. 3.3.5)

Рисунок 3.3.5 Геометрия приложения потенциала диполя.

Существуют также моменты более высокого порядка для квадруполей, октуполей и т. д. Вы увидите их на следующих уроках.

Возможность непрерывного распределения заряда

Мы много работали с точечными зарядами, но как насчет непрерывного распределения заряда? Напомним из уравнения 3.3.2, что

Мы можем рассматривать непрерывное распределение заряда как набор бесконечно малых отдельных точек. Это дает интеграл

(3.3.5)

для потенциала в точке . Обратите внимание, что это расстояние от каждой отдельной точки распределения заряда до точки . Как мы видели в разделе «Электрические заряды и поля», бесконечно малые заряды равны

, где – линейная плотность заряда, – заряд на единицу площади и – заряд на единицу объема.

ПРИМЕР 3.3.4

Потенциал линии заряда

Найдите электрический потенциал однородно заряженного непроводящего провода с линейной плотностью (кулон/метр) и длиной в точке, лежащей на линии, которая делит провод на две равные части.

Стратегия

Для постановки задачи мы выбираем декартовы координаты таким образом, чтобы максимально использовать симметрию в задаче. Поместим начало координат в центр провода и ориентируем -ось вдоль провода так, чтобы концы провода находились в точках . Точка поля находится в -плоскости, и поскольку выбор осей зависит от нас, мы выбираем -ось для прохождения через точку поля, как показано на рисунке 3.3.6.

(рис. 3.3.6)

Рисунок 3.3.6 Мы хотим рассчитать электрический потенциал линии заряда.

Решение

Рассмотрим небольшой элемент распределения заряда между и . Заряд в этой ячейке равен , а расстояние от ячейки до точки поля равно . Таким образом, потенциал становится равным

.

Значение

Обратите внимание, что это было проще, чем эквивалентная задача для электрического поля, из-за использования скалярных величин. Напомним, что мы ожидаем, что нулевой уровень потенциала будет на бесконечности, когда у нас конечный заряд. Чтобы исследовать это, мы берем предел вышеуказанного потенциала по мере приближения к бесконечности; в этом случае члены внутри натурального логарифма стремятся к единице, и, следовательно, потенциал приближается к нулю в этом пределе. Обратите внимание, что мы могли бы решить эту задачу эквивалентно в цилиндрических координатах; единственный эффект будет состоять в том, чтобы заменить на и на .

ПРИМЕР 3.3.5

Потенциал из-за кольца заряда

Кольцо имеет однородную плотность заряда с единицами кулонов на единицу дугового метра. Найти электрический потенциал в точке на оси, проходящей через центр кольца.

Стратегия

Используем ту же процедуру, что и для заряженного провода. Отличие здесь в том, что заряд распределяется по окружности. Мы делим окружность на бесконечно малые элементы в виде дуг на окружности и используем цилиндрические координаты, показанные на рис. 3.3.7.

(рис. 3.3.7)

Рисунок 3.3.7 Мы хотим рассчитать электрический потенциал из-за кольца заряда.

Решение

Общий элемент дуги между и имеет длину и поэтому содержит заряд, равный . Элемент находится на расстоянии от , и поэтому потенциал равен

Значение

Этот результат ожидаем, поскольку все элементы кольца находятся на одинаковом расстоянии от точки . Чистый потенциал при является потенциалом полного заряда, расположенного на общем расстоянии, .

ПРИМЕР 3.3.6

Потенциал за счет однородного диска заряда

Диск радиусом имеет однородную плотность заряда в единицах кулон-метр в квадрате. Найти электрический потенциал в любой точке оси, проходящей через центр диска.

Стратегия

Мы делим диск на кольцеобразные ячейки и используем результат для кольца, полученный в предыдущем примере, затем интегрируем по в дополнение к . Это показано на Рисунке 3.3.8.

(рис. 3.3.8)

Рисунок 3.3.8 Мы хотим рассчитать электрический потенциал заряженного диска.

Решение

Ячейка бесконечно малой ширины между цилиндрическими координатами и изображенная на рис. 3.3.8 будет представлять собой кольцо зарядов, электрический потенциал которого в точке поля имеет следующее выражение

где

Суперпозиция потенциалов всех бесконечно малых колец, составляющих диск, дает суммарный потенциал в точке. Это достигается путем интеграции from to :

Значение

Основная процедура для диска состоит в том, чтобы сначала интегрировать , а затем . Это было продемонстрировано для однородной (постоянной) плотности заряда. Часто плотность заряда зависит от , и тогда последний интеграл будет давать разные результаты.

ПРИМЕР 3.3.7

Потенциал из-за бесконечного заряженного провода

Найдите электрический потенциал бесконечно длинного однородно заряженного провода.

Стратегия

Поскольку мы уже рассчитали потенциал провода конечной длины в примере 3.2.4, мы можем задаться вопросом, сработает ли наш предыдущий результат:

Однако этот предел не существует, потому что аргумент логарифма принимает вид , поэтому этот способ нахождения бесконечной проволоки не работает. Причину этой проблемы можно проследить в том, что заряды не локализованы в каком-то пространстве, а продолжаются на бесконечность в направлении провода. Следовательно, наше (негласное) предположение о том, что нулевой потенциал должен находиться на бесконечном расстоянии от провода, больше не имеет силы.

Чтобы избежать этой трудности при вычислении пределов, давайте воспользуемся определением потенциала путем интегрирования по электрическому полю из предыдущего раздела и значением электрического поля из этой конфигурации заряда из предыдущей главы.

Решение

Используем интеграл

, где — конечное расстояние от линии заряда, как показано на рис. 3.3.9.

(рис. 3.3.9)

Рисунок 3.3.9 Точки интереса для расчета потенциала бесконечной линии заряда.

В этой настройке мы используем и для получения

Теперь, если мы определим опорный потенциал при , это упрощается до

Обратите внимание, что эта форма потенциала вполне пригодна для использования; оно находится в бесконечности и не определено в бесконечности, поэтому мы не можем использовать последнее в качестве ссылки.

Значение

Хотя прямой расчет потенциала может быть весьма удобным, мы только что обнаружили систему, для которой эта стратегия не работает. В таких случаях возвращение к определению потенциала с точки зрения электрического поля может предложить путь вперед.

ПРОВЕРЬТЕ ВАШЕ ПОНИМАНИЕ 3.10

Чему равен потенциал на оси неоднородного кольца заряда, где плотность заряда ?

Цитаты Кандела

Контент под лицензией CC, конкретное указание авторства
- Загрузите бесплатно по адресу http://cnx.