Понятие электрического потенциала является одним из важных основ теории электростатики и электродинамики. Понимание его сущности является необходимым условием для дальнейшего изучения этих разделов физики.
Содержание
- 1 Что такое электрический потенциал
- 2 Свойства потенциала
- 3 Разность потенциалов
- 4 Эквипотенциальные поверхности
Что такое электрический потенциал
Пусть в поле, создаваемым неподвижным зарядом Q, помещён единичный заряд q, на который действует сила Кулона F=k*Qq/r.
Здесь и далее k=((1/4)*π* ε0* ε), где ε0 — электрическая постоянная (8,85*10-12 Ф/м), а ε – диэлектрическая постоянная среды.
Внесённый заряд под действием этой силы может перемещаться, а сила при этом совершит определенную работу. Это означает, что система из двух зарядов обладает потенциальной энергией, зависящей от величины обоих зарядов и расстояния между ними, причём величина этой потенциальной энергии не зависит от величины заряда q. Здесь и вводится определение электрического потенциала – он равен отношению потенциальной энергии поля к величине заряда:
φ=W/q,
где W – потенциальная энергия поля, создаваемого системой зарядов, а потенциал является энергетической характеристикой поля. Чтобы переместить заряд q в электрическом поле на какое-то расстояние, надо затратить определённую работу на преодоление кулоновских сил. Потенциал точки равен работе, которую надо затратить для перемещения единичного заряда из этой точки в бесконечность. При этом надо отметить, что:
- эта работа будет равна убыли потенциальной энергии заряда (A=W2-W1);
- работа не зависит от траектории перемещения заряда.
В системе СИ единицей измерения потенциала является один Вольт (в русскоязычной литературе обозначается буквой В, в зарубежной – V). 1 В=1Дж/1 Кл, то есть, можно говорить о потенциале точки в 1 вольт, если для перемещения заряда в 1 Кл в бесконечность потребуется совершить работу в 1 Джоуль. Название выбрано в честь итальянского физика Алессандро Вольта, внесшего значительный вклад в развитие электротехники.
Чтобы наглядно представить, что такое потенциал, его можно сравнить с температурой двух тел или температурой, замеренной в разных точках пространства. Температура служит мерой нагрева объектов, а потенциал – мерой электрической заряженности. Говорят, что одно тело нагрето более другого, также можно сказать, что одно тело заряжено более, а другое – менее. Эти тела обладают разным потенциалом.
Значение потенциала зависит от выбора системы координат, поэтому требуется какой-то уровень, который надо принять за ноль. При измерении температуры за базовую границу можно принять, например, температуру тающего льда. Для потенциала за нулевой уровень обычно принимают потенциал бесконечно удаленной точки, но для решения некоторых задач за нулем можно считать, например, потенциал земли или потенциал одной из обкладок конденсатора.
Свойства потенциала
Среди важных свойств потенциала надо отметить следующие:
- если поле создается несколькими зарядами, то потенциал в конкретной точке будет равен алгебраической (с учетом знака заряда) сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов φ=φ1+φ2+φ3+φ4+φ5+…+φn;
- если расстояния от зарядов таковы, что сами заряды можно считать точечными, то суммарный потенциал считается по формуле φ=k*(q1/r1+q2/r2+q3/r3+…+qn/rn), где r – расстояние от соответствующего заряда то рассматриваемой точки.
Если поле образовано электрическим диполем (двумя связанными зарядами противоположного знака), то потенциал в любой точке, находящейся на расстоянии r от диполя будет равен φ=k*p*cosά/r2, где:
- p – электрическое плечо диполя, равное q*l, где l – расстояние между зарядами;
- r – расстояние до диполя;
- ά – угол между плечом диполя и радиус-вектором r.
Если точка лежит на оси диполя, то cosά=1 и φ=k*p/r2.
Разность потенциалов
Если две точки обладают определённым потенциалом, и если они не равны, то говорят о том, что между двумя точками существует разность потенциалов. Разность потенциалов возникает между точками:
- потенциал которых определяется зарядами разных знаков;
- точкой с потенциалом от заряда любого знака и точкой с нулевым потенциалом;
- точками, имеющими потенциал равного знака, но отличающимися по модулю.
То есть, разность потенциалов не зависит от выбора системы координат. Можно провести аналогию с бассейнами с водой, расположенными на разной высоте относительно нулевой отметки (например, уровня моря).
Вода каждого бассейна имеет определенную потенциальную энергию, но если соединить два любых бассейна трубкой, то в каждой из них возникнет поток воды, расход которой определяется не только размерами трубки, но и разностью потенциальных энергий в гравитационном поле Земли (то есть, разностью высот). Абсолютное значение потенциальных энергий значения в данном случае не имеет.
Точно так же, если соединить проводником две точки с разным потенциалом, по нему потечёт электрический ток, определяемый не только сопротивлением проводника, но и разностью потенциалов (но не их абсолютным значением). Продолжая аналогию с водой, можно сказать, что вода в верхнем бассейне скоро закончится, и если не найдется той силы, которая переместит воду обратно наверх (например, насоса), то и поток очень быстро прекратится.
Так и в электрической цепи – чтобы поддерживать разность потенциалов на определенном уровне, потребуется сила, переносящая заряды (точнее, носители зарядов) к точке с наибольшим потенциалом. Такая сила называется электродвижущей силой и сокращенно обозначается ЭДС. ЭДС может носить различную природу – электрохимическую, электромагнитную и т.п.
На практике имеет значение в основном разность потенциалов между начальной и конечной точками траектории движения носителей зарядов. В этом случае эту разность называют напряжением, и оно в СИ также измеряется в вольтах. О напряжении в 1 Вольт можно говорить, если поле совершает работу в 1 Джоуль при перемещении заряда в 1 Кулон из одной точки в другую, то есть 1В=1Дж/1Кл, и Дж/Кл также может являться единицей измерения разности потенциалов.
Эквипотенциальные поверхности
Если потенциал нескольких точек одинаков, и эти точки образуют поверхность, то такая поверхность называется эквипотенциальной. Таким свойством обладает, например, сфера, описанная вокруг электрического заряда, ведь электрическое поле убывает с расстоянием одинаково во все стороны.
Все точки этой поверхности имеют одинаковую потенциальную энергию, поэтому при перемещении заряда по такой сфере работа затрачиваться не будет. Эквипотенциальные поверхности систем из нескольких зарядов имеют более сложную форму, но у них есть одно интересное свойство – они никогда не пересекаются. Силовые линии электрического поля всегда перпендикулярны поверхностям с одинаковым потенциалом в каждой их точке. Если эквипотенциальную поверхность рассечь плоскостью, получится линия равных потенциалов. Она имеет те же свойства, что и эквипотенциальная поверхность. На практике равный потенциал имеют, например, точки на поверхности проводника, помещенного в электростатическое поле.
Разобравшись с понятием потенциала и разности потенциалов, можно приступать к дальнейшему изучению электрических явлений. Но не ранее, потому что без понимания базовых принципов и понятий углубить знания не получится.
Потенциал. Разность потенциалов.
Разность потенциалов (напряжение) между 2-мя точками поля равняется отношению работы поля по перемещению заряда из начальной точки в конечную к этому заряду:
,
Так как работа по перемещению заряда в потенциальном поле не зависит от формы траектории, то, зная напряжение между двумя точками, мы определим работу, которая совершается полем по перемещению единичного заряда.
Если есть несколько точечных зарядов, значит, потенциал поля в некоторой точке пространства определяется как алгебраическая сумма потенциалов электрических полей каждого заряда в данной точке:
.
Эквипотенциальной поверхностью, или поверхностью равного потенциала, является поверхность, для любых точек которой разность потенциалов равна нулю. Это означяет, что работа по перемещению заряда по такой поверхности равна нулю, следовательно, линии напряженности электрического поля перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Эквипотенциальные поверхности однородного поля представляют собой плоскости, а точечного заряда — концентрические сферы.
Вектор напряженности 
(как и сила 
) перпендикулярен эквипотенциальным поверхностям. Эквипотенциальной является поверхность любого проводника в электростатическом поле, так как силовые линии перпендикулярны поверхности проводника. Внутри проводника разность потенциалов между любыми его точками равна нулю.
Напряжение и напряженность однородного поля .
В однородном электрическом поле напряженность E в каждой точке одинакова, и работа A по перемещению заряда q параллельно на расстояние d между двумя точками с потенциалами φ1, и φ2 равна:
,
.
Т.о., напряженность поля пропорциональна разности потенциалов и направлена в сторону уменьшения потенциала. Поэтому положительный заряд будет двигаться в сторону уменьшения потенциала, а отрицательный — в сторону его увеличения.
Единицей напряжения (разности потенциалов) является вольт. Исходя из формулы , 
, разность потенциалов между двумя точками равна одному вольту, если при перемещении заряда в 1 Кл между этими точками поле совершает работу в 1 Дж.
Электрический потенциал простыми словами: формулы, единица измерения
Электрический потенциал – это скалярная энергетическая характеристика электростатического поля, характеризующая потенциальную энергию, которой обладает единичный положительный пробный заряд, помещённый в данную точку поля.
Если вы хотите расширить свои знания об электрическом потенциале или сначала узнать, что такое электрический потенциал, то вы пришли по адресу.
Простое объяснение
В классической механике рассмотрение проблемы с точки зрения энергии может значительно упростить ситуацию по сравнению с рассмотрением ее с точки зрения сил, действующих на систему. В частности, в этом контексте существенную роль играет тот факт, что энергия является сохраняющейся переменной.
Также в классической электродинамике рассмотрение на энергетическом уровне оказывается очень полезным. Поэтому электрический потенциал φ (также называемый электростатическим потенциалом) определяется как отношение потенциальной энергии Eпот пробного электрического заряда и его величины электрического заряда q: φ = Eпот / q .
Возможность определения такого электрического потенциала обусловлена тем, что электрическое поле E распределения заряда и результирующая электростатическая сила Fc на пробном электрическом заряде является консервативной силой, подобной гравитационной силе.
Электрический потенциал имеет единицу измерения вольт В или также джоуль на кулон Дж / Кл .
Формулы
В этом разделе мы познакомим вас с двумя важными формулами для электрического потенциала определенных распределений электрических зарядов. Мы также кратко обсудим аналогию между электрическим потенциалом и гравитацией.
Пластинчатый конденсатор
Мы рассматриваем ситуацию, когда две плоские пластины расположены параллельно на расстоянии d друг от друга. Кроме того, пусть одна из двух пластин заряжена положительно, а другая – отрицательно. Такая комбинация также называется пластинчатым конденсатором. Обозначим точку на положительной пластине через A, а точку на отрицательной пластине через B. Тогда для разности потенциалов между этими двумя точками получим:
Здесь E – величина электрического поля между двумя пластинами, которое предполагается однородным. Такая разность потенциалов также называется электрическим напряжением, которое существует между этими двумя точками.
Из этого уравнения видно, что электрический потенциал на положительно заряженной пластине (пластина A) выше, чем потенциал на отрицательно заряженной пластине (пластина B). Поэтому положительный заряд в пластинчатом конденсаторе перемещается к отрицательной пластине. В общем случае электрическое поле – а значит, и направление движения положительного заряда – направлено в ту сторону, в которой электрический потенциал убывает быстрее всего.
Рис. 1. Пластинчатый конденсатор
Аналогия с гравитационным полем
Если умножить уравнение (приведенное выше в статье) на величину электрического заряда q пробного электрического заряда и предположить, что отрицательно заряженная пластина имеет электрический потенциал, равный нулю, то электрическая потенциальная энергия на расстоянии h от пластины равна:
Eпот. эл = q * φ = q * E * h
Здесь φ обозначает электрический потенциал в точке пробного электрического заряда.
Сравним это уравнение с потенциальной энергией в однородном гравитационном поле:
Eпот. гр = m * g * h .
Мы определяем, что количество заряда электрического q играет роль массы m, а величина электрического поля E играет роль гравитационного ускорения g. Масса, находящаяся на высоте h над землей, ускоряется по направлению к земле под действием земного притяжения.
Таким образом, масса движется в том направлении, в котором уменьшается ее потенциальная энергия. Аналогично, положительный электрический заряд движется в направлении, в котором его электрическая потенциальная энергия будет уменьшаться. Поскольку электрическая потенциальная энергия и электрический потенциал линейно связаны, это наблюдение аналогично тому, что положительно заряженная частица движется в направлении уменьшения электрического потенциала.
Рис. 2. Аналогия с гравитационным полем
Подобно потенциальной энергии, только разность потенциалов имеет физический смысл, поскольку при определении электрического потенциала необходимо произвольно определить точку отсчета, от которой затем можно обозначить другие точки в пространстве. В этом смысле электрический потенциал сам по себе не имеет реального физического смысла, поскольку для данной точки в пространстве его значение можно изменить, выбрав другую точку отсчета. Таким образом, электрический потенциал ведет себя подобно высоте, потому что вы не можете говорить о высоте, пока у вас нет точки отсчета.
На топографической карте – пути, вдоль которых высота не меняется, называются изолиниями. Аналогично, пути, вдоль которых электрический потенциал постоянен, называются эквипотенциальными линиями.
Заряженные частицы
Предположим, что частица с зарядом q находится в начале выбранной нами системы координат. Пусть положение другой точки равно r и пусть r – расстояние между двумя точками. Для электрического потенциала в точке r действует следующее соотношение:
φ (r) = q / 4 * π * ε0 * r ,
здесь ε0 – электрическая постоянная.
В этом уравнении предполагается, что под действием электрического поля положительный пробный электрический заряд переносится из бесконечности в положение r.
Примеры задач
Наконец, давайте вместе рассчитаем небольшой пример. Предположим, что электрон ускоряется от отрицательно заряженной пластины к положительно заряженной через разность потенциалов 2000 В. Как изменяется потенциальная энергия электрона?
Для разности электрических потенциалов между двумя пластинами: φB – φA = ΔEпот / q , преобразованной в искомое изменение потенциальной энергии, получаем:
Величина электрического заряда электрона равна qe = e = – 1,6 * 10 -19 Кл и поэтому получаем:
ΔEпот = e * ( φB – φA ) = – 1,6 * 10 -19 Кл * 2000 В = -3,2 * 10 -19 Дж.
Обратите внимание, что [ В ] = Дж / Кл. Кроме того, мы предположили, что пластина с точкой B заряжена положительно, поэтому перед 2000 В нет знака минус. Расчет показывает, что потенциальная энергия электрона уменьшается.
Найти потенциал электрического поля в точке, лежащей посредине между двумя
Найти потенциал электрического поля в точке, лежащей посредине между двумя зарядами по 50 нКл, расположенными на расстоянии 1 м в вакууме.
Задача №6.3.9 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Решение задачи:
Так как заряды одинаковы, и они находятся на одинаковом расстоянии (r) от точки A, в которой нужно определить потенциал, значит потенциалы электрических полей в точке A, создаваемых каждым зарядом, также одинаковы. Это видно из формулы:
Здесь (k) – коэффициент пропорциональности, равный 9·10 9 Н·м 2 /Кл 2 .
Учитывая, что точка A находится посредине между двумя зарядами ((r=frac)), то:
Искомый потенциал (varphi) равен сумме потенциалов электрических полей в точке A, создаваемых каждым зарядом, поскольку потенциал – величина скалярная. Учитывая вышесказанное, имеем:
В итоге решение задачи в общем виде выглядит так:
Ответ: 1,8 кВ.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
|
Потенциал. Разность потенциалов. Напряжение. |
|
|
Потенциал электростатического поля — скалярная величина, равная отношению потенциальной энергии заряда в поле к этому заряду: — энергетическая характеристика поля в данной точке. Потенциал не зависит от величины заряда, помещенного в это поле. |
|
|
Т.к. потенциальная энергия зависит от выбора системы координат, то и потенциал определяется с точностью до постоянной. За точку отсчета потенциала выбирают в зависимости от задачи: а) потенциал Земли, б) потенциал бесконечно удаленной точки поля, в) потенциал отрицательной пластины конденсатора. |
|
|
— следствие принципа суперпозиции полей (потенциалы складываютсяалгебраически). |
|
|
Потенциал численно равен работе поля по перемещению единичного положительного заряда из данной точки электрического поля в бесконечность. В СИ потенциал измеряется в вольтах: |
|
|
Разность потенциалов |
|
|
|
|
|
Напряжение — разность значений потенциала в начальной и конечнойточках траектории. Напряжение численно равно работе электростатического поля при перемещении единичного положительного заряда вдоль силовых линий этого поля. Разность потенциалов (напряжение) не зависит от выбора системы координат! |
|
|
Единица разности потенциалов
Напряжение равно 1 В, если при перемещении положительного заряда в 1 Кл вдоль силовых линий поле совершает работу в 1 Дж. |
|
|
Связь между напряженностью и напряжением. |
|
|
Из доказанного выше: напряженность равна градиенту потенциала (скорости изменения потенциала вдоль направления d). |
|
|
Из этого соотношения видно:
|
|
|
Эквипотенциальные поверхности. ЭПП — поверхности равного потенциала. Свойства ЭПП: — работа при перемещении заряда вдоль эквипотенциальной поверхности не совершается; — вектор напряженности перпендикулярен к ЭПП в каждой ее точке. |
|
|
|
|
|
Измерение электрического напряжения (разности потенциалов) Между стержнем и корпусом — электрическое поле. Измерение потенциала кондуктора Измерение напряжения на гальваническом элементе Электрометр дает большую точность, чем вольтметр. |
|
|
Потенциальная энергия взаимодействия зарядов. |
|
|
|
|
|
Потенциал поля точечного заряда |
|
|
|
|
|
Потенциал заряженного шара а) Внутри шара Е=0, следовательно, потенциалы во всех точках внутри заряженного металлического шара одинаковы (!!!) и равны потенциалу на поверхности шара. б) Снаружи поле шара убывает обратно пропорционально расстоянию от центра шара, как и в случае точечного заряда. |
|
|
Перераспределение зарядов при контакте заряженных проводников. Переход зарядов происходит до тех пор, пока потенциалы контактирующих тел не станут равными. |
→ 
— Напряженность поля равна 1 В/м, если между двумя точками поля, находящимися на расстоянии 1 м друг от друга существует разность потенциалов 1 В.
Условие задачи:
Найти потенциал электрического поля в точке, лежащей посредине между двумя зарядами по 50 нКл, расположенными на расстоянии 1 м в вакууме.
Задача №6.3.9 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
(q=50) нКл, (r=frac{l}{2}), (l=1) м, (varphi-?)
Решение задачи:
Так как заряды одинаковы, и они находятся на одинаковом расстоянии (r) от точки A, в которой нужно определить потенциал, значит потенциалы электрических полей в точке A, создаваемых каждым зарядом, также одинаковы. Это видно из формулы:
[{varphi _0} = frac{{kq}}{r}]
Здесь (k) – коэффициент пропорциональности, равный 9·109 Н·м2/Кл2.
Учитывая, что точка A находится посредине между двумя зарядами ((r=frac{l}{2})), то:
[{varphi _0} = frac{{2kq}}{l}]
Искомый потенциал (varphi) равен сумме потенциалов электрических полей в точке A, создаваемых каждым зарядом, поскольку потенциал – величина скалярная. Учитывая вышесказанное, имеем:
[varphi = {varphi _0} + {varphi _0}]
[varphi = 2{varphi _0}]
В итоге решение задачи в общем виде выглядит так:
[varphi = frac{{4kq}}{l}]
Произведём вычисления:
[varphi = frac{{4 cdot 9 cdot {{10}^9} cdot 50 cdot {{10}^{ – 9}}}}{1} = 1800;В = 1,8;кВ]
Ответ: 1,8 кВ.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
6.3.8 На расстоянии 1 м от центра заряженного металлического шара радиусом 3 м
6.3.10 Сколько электронов следует передать металлическому шарику радиусом 7,2 см
6.3.11 Определить разность потенциалов (по модулю) между точками, отстоящими
Измерение потенциалов точек электрической цепи и построение потенциальной диаграммы
Электротехника
Электротехника
Страницы работы
7
страниц
(Word-файл)
Посмотреть все страницы
Скачать файл
Фрагмент текста работы
любой ветви схемы можно найти по закону Ома для
участка цепи, содержащего ЭДС. Для того чтобы можно было применить закон Ома,
необходимо знать потенциалы узлов схемы. Метод расчета электрических цепей, в
котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, называют методом
узловых потенциалов.
Допустим, что в схеме n узлов.
Так как любая (одна) точка схемы может быть заземлена без изменения
токораспределения в схеме, то один из узлов схемы можно мысленно заземлить, т.
е. принять потенциал его равным нулю. При этом число неизвестных уменьшается с n до n-1.
Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно
числу уравнений, которые необходимо составить для схемы по первому закону
Кирхгофа. Метод узловых потенциалов, как и метод контурных токов, — один из
основных расчетных приемов. В том случае, когда число узлов без единицы меньше
числа независимых контуров в схеме, данный метод является более экономичным,
чем метод контурных токов.
Вывод основных расчетных уравнений проведем применительно
к схеме рис. 2, в которой три узла. Если узел 3 мысленно заземлить, т. е.
принять =0, то необходимо определить потенциалы
только двух узлов:,.
Запишем уравнения по первому закону Кирхгофа для
независимых узлов, причем токи, направленные к узлу берем со знаком минус, а от
узла – со знаком плюс.
Для первого узла ,
Для второго узла .
Рис. 2. Схема для
расчета по методу узловых потенциалов
Запишем токи по закону Ома:
, , , ,
, .
Подставим токи в уравнения по первому закону Кирхгофа:
,
.
Перепишем уравнения:
,
;
,
;
,
, где ,
, , ,
,
,
G11— сумма проводимостей
ветвей, сходящихся в первом узле,
G12— сумма проводимостей
ветвей, соединяющих первый и второй узлы, взятая со знаком минус,
G21— сумма проводимостей
ветвей, соединяющих первый и второй узлы, взятая со знаком минус,
G11— сумма проводимостей
ветвей, сходящихся во втором узле,
I11— узловой ток первого
узла,
I22 — узловой ток второго
узла.
Запишем уравнения в матричной форме:
,
, , .
Решим эти уравнения относительно искомых потенциалов и
выразим токи ветвей, используя закон Ома.
После нахождения токов ветвей любым методом всегда
делается проверка по первому закону Кирхгофа.
Потенциальная диаграмма.
Под потенциальной диаграммой понимают график
распределения потенциала вдоль какого-либо участка цепи или замкнутого контура.
По оси абсцисс на нем откладывают сопротивления вдоль контура, начиная с какой-либо
произвольной точки, по оси ординат – потенциалы. Каждой точке участка цепи или
замкнутого контура соответствует своя точка на потенциальной диаграмме.
Построим потенциальную диаграмму для контура на рис.3. Пусть R1=10 Ом, R2=5 Ом, R3=15
Ом, E1=20 В, E2=10 В, I=1A.
Рис.3. Контур для
построения потенциальной диаграммы
,
,
,
,
,
.
Построим график.
Рис. 4. Потенциальная
диаграмма для контура на рис.3.
Таблица 1. Исходные
данные
|
Схема |
R1 |
R2 |
R3 |
R4 |
R5 |
R6 |
E1 |
E2 |
|
|
Рис. |
Ом |
Ом |
Ом |
Ом |
Ом |
Ом |
В |
В |
|
|
Вариант 1 |
5 |
15 |
10 |
25 |
20 |
10 |
30 |
100 |
60 |
|
Вариант 2 |
6 |
4 |
6 |
3 |
2 |
5 |
6 |
35 |
25 |
|
Вариант 3 |
7 |
5 |
1 |
6 |
4 |
2 |
6 |
10 |
30 |
|
Вариант 4 |
8 |
3 |
6 |
9 |
10 |
6 |
8 |
55 |
40 |
|
Вариант 5 |
5 |
6 |
6 |
8 |
8 |
10 |
12 |
70 |
45 |
|
Вариант 6 |
6 |
4 |
2 |
4 |
5 |
6 |
3 |
15 |
35 |
|
Вариант 7 |
7 |
1 |
2 |
5 |
1 |
3 |
3 |
10 |
15 |
|
Вариант 8 |
8 |
25 |
50 |
15 |
25 |
20 |
30 |
150 |
75 |
Порядок выполнения работы:
1.
Нарисовать
схему. Записать данные.
2. Найти токи
ветвей методом контурных токов.
3. Сделать
проверку по первому закону Кирхгофа.
4. Найти токи
ветвей методом узловых потенциалов.
5. Рассчитанные
токи занести в таблицу 2.
Таблица
2
|
I1,A |
I2,A |
I3,A |
I4,A |
I5,A |
I6,A |
|
|
расчет |
||||||
|
эксперимент |
6.
Составить баланс мощностей.
7. Потенциалы точек отмеченных на схеме занести в таблицу
3.
Таблица 3
|
A, B |
B, B |
C, B |
D, B |
F, B |
|
|
расчет |
|||||
|
эксперимент |
8.
Собрать
схему в программе Electronics Workbench.
9. Измерить
токи во всех ветвях. Для чего в каждую ветвь включить амперметр. Результаты
измерений занести в таблицу 2.
10. Заземлить узел, который
заземляли при расчете по методу узловых потенциалов.
11. Измерить потенциалы точек,
отмеченных на схеме. Результаты занести в таблицу 3.
12. Построить потенциальную
диаграмму заданного контура.
13. Сравнить измеренные данные с
расчетными.
14. Сделать вывод.
Содержание отчета:
1. Тема,
цель, приборы и оборудование.
2. Схема
заданной цепи. Исходные данные.
3. Расчет по
методу контурных токов и методу узловых потенциалов.
4. Заполненная
таблица 2.
5. Проверка
по первому закону Кирхгофа.
6. Баланс
мощностей.
7. Заполненная
таблица 3.
8. Токи
ветвей и потенциалы узлов цепи, измеренные в программе Electronics Workbench .
9. Потенциальная
диаграмма.
10. Вывод.
Вопросы на защиту:
1.
Суть
метода контурных токов.
2. Суть
метода узловых потенциалов.
3. Какой
используется закон Кирхгофа для составления уравнений по методу контурных
токов? Сформулировать его.
4. Какой
используется закон Кирхгофа для составления уравнений по методу узловых
потенциалов? Сформулировать его.
5. Как
называется сопротивление R11? Как оно
находится?
6. Как
называется сопротивление R12? Как оно
находится?
7. Что такое
Е11 в матричной записи уравнений по методу контурных токов?
8. Как
находится собственная проводимость узла по методу узловых потенциалов?
9. Матричная
форма записи уравнений по методу узловых потенциалов.
10. Как строится потенциальная
диаграмма контура сложной цепи
Похожие материалы
Информация о работе
Скачать файл
РАСЧЕТ ПОТЕНЦИАЛОВ ТОЧЕК ЦЕПИ — Мегаобучалка
Чтобы найти ток в цепи с несколькими источниками надо:
1) Сложить все Е, направленные в одну сторону;
2) Вычесть все Е, направленные в другую сторону
3) Разделить на сумму всех сопротивлений цепи
Ток течет в сторону большей суммы Е.
Пусть Е1 > Е2, тогда
Если ток и ЭДС совпадают по направлению, то источник работает в режиме генератора, если нет, то в режиме потребителя.
Е1 — генератор; Е2— потребитель
Потенциалом точки цепи называется напряжение между данной точкой и заземлённой.
φ0 = 0
При переходе через источник в режиме генератора потенциал повышается на величину ЭДС минус падение напряжения внутри источника.
φА = φ0 + Е1 — I∙Ri1
При переходе через резистор потенциал понижается на величину падения напряжений в нём:
φВ = φА — I∙R
При переходе через источник в режиме потребителя потенциал понижается на величину ЭДС и на величину падения напряжения внутри источника.
φ0 = φB — E2 — I∙Ri2
Потенциальная диаграмма — это график зависимости потенциалов точек цепи от величины сопротивления цепи.
Рассмотрим построение потенциальной диаграммы на конкретном примере. Одну точку цепи заземляем. Расставляем точки вдоль направления тока. При расчете снова должен получиться равным нулю
Пример решения задачи:
Дано:
Е1 = 25 B
Е2 = 35 В
Е3 = 18 В
Ri1 = 2 Ом
Ri2 = 1 Ом
Ri3 =2 Ом
R1 = 12 Ом
R2 = 5 Ом
R3 = 14 Ом
R4 = 6 Ом
1) Рассчитаем ток в цепи и определяем его направление:
A
2) Рассчитаем потенциалы точек:
φ0 = 0
φ1 = φ0 — I∙R1 = 0 — 12 = -12 B
φ2 = φ1 + Е1 — I∙Ri1 = -12 + 25 — 2 = 11 B
φ3 = φ2 — I∙R2 = 11 — 5 = 6 B
φ4 = φ3 + E2 — I∙Ri2 = 6 + 35 — 1 = 40 B
φ5 = φ4 — E3 — I∙Ri3 = 40 — 18 — 2 = 20 B
φ6 = φ5 — I∙R3 = 20 — 14 = 6 B
φ0 = φ6 — I∙R4 = 6 — 6 = 0
Вывод: При переходе через резистор потенциал понижается плавно, через источник в режиме генератора резко увеличивается, а в режиме потребителя резко уменьшается.
Тестовые задания:
| Задание | Варианты ответов |
| 1.Являются ли напряжение между данной точкой цепи и заземленной потенциалом точки этой цепи? | Да; Нет. |
| 2. Источник работает в режиме генератора если… | а) ЭДС и ток направлены в разные стороны; б) ЭДС и ток направлены в одну сторону. |
РАБОТА ИСТОЧНИКА НА НАГРУЗКУ С ПЕРЕМЕННЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ.
Построение зависимостей I, U, η = F(R).
Пусть сопротивление нагрузки изменяется от Rкз=0 до Rxx= . Рассмотрим величину тока в трех режимах короткое замыкание, холостой ход и согласованный режим.
1) Iкз = =
2) Iхх =
3)
Вывод 1: с ростом величины сопротивления ток в цепи уменьшается;
Вывод 2: ток максимальный в режиме короткого замыкания;
Рассмотрим величину напряжения в трех режимах
1) Uкз=
2)
3)
Вывод 1: с ростом величины сопротивления напряжение на зажимах источника растет;
Вывод 2: напряжение максимально в режиме Х.
Х.
Рассмотрим величину К.П.Д. в трех режимах
Вывод: η стремиться к 1 в режиме Х.Х., но использовать на практике этот режим невозможно, так как цепь разомкнута.
Построение зависимостей Pu, Pн = F(R)
Рассмотрим величину мощности источника в трех режимах
Pu = E∙I = E∙
Вывод: мощность источника максимальна в режиме короткого замыкания.
Рассмотрим величину мощности нагрузки в трех режимах
Исследуя функцию Pн = f(R) на экстремум доказано, что максимальная мощность выделяется в нагрузке при согласованном режиме. Поэтому линии связи и другие устройства работают в этом режиме. И хотя η = 50%, но в слаботочных цепях это не имеет значения.
Тестовые задания:
| Задание | Режим работы | Варианты ответов |
4. Укажите при каких режимах работы перечисленные в ответах величины максимальны.
|
1) режим холостого хода; 2) режим короткого замыкания; 3) согласованный режим. |
а) мощность источника; б) ток цепи; в) мощность нагрузки напряжение на зажимах источника. |
Калькулятор электрического потенциала
Автор Purnima Singh, PhD
Отзыв Стивена Вудинга
Последнее обновление: 02 февраля 2023 г.
Содержание:
- Разность электрических потенциалов
- Что такое электрический потенциал? – Определение электрического потенциала
- Формула электрического потенциала
- Как рассчитать электрический потенциал?
- Как пользоваться калькулятором электрического потенциала
- Единицы измерения электрического потенциала
- Размерная формула электрического потенциала
- Часто задаваемые вопросы
Используйте калькулятор электрического потенциала, чтобы определить электрический потенциал в точке либо за счет одиночного точечного заряда, либо за счет системы точечных зарядов.
Вы также можете использовать этот инструмент для определения разности электрических потенциалов между двумя точками.
Если вы хотите рассчитать электрическое поле, создаваемое точечным зарядом, воспользуйтесь калькулятором электрического поля.
Продолжайте читать эту статью, чтобы узнать:
- Что такое электрический потенциал?
- Какая связь между электрическим потенциалом и электрической потенциальной энергией?
- Как рассчитать электрический потенциал?
- Что такое единица электрического потенциала?
Разность электрических потенциалов
Чтобы понять идею разности электрических потенциалов, рассмотрим некоторое распределение заряда. Это распределение заряда создаст электрическое поле. Теперь, если мы хотим переместить небольшой заряд qqq между любыми двумя точками в этом поле, необходимо совершить некоторую работу против кулоновской силы (вы можете использовать наш калькулятор закона Кулона, чтобы определить эту силу).
Эта проделанная работа сохраняется в заряде в виде его потенциальной электрической энергии.
Если мы рассмотрим две произвольные точки, скажем A и B, то выполненная работа (WABW_{AB}WAB) и изменение потенциальной энергии (ΔUDelta UΔU) при перемещении заряда (qqq) из A в B можно записать как:
- WAB=ΔU=(VA−VB)qW_{AB} = Delta U = (V_A — V_B)qWAB=ΔU=(VA−VB)q …… (1)
, где VAV_AVA и VBV_BVB — электрические потенциалы в точках A и B соответственно (мы объясним, что это значит, в следующем разделе).
Если величина qqq равна единице (мы называем положительный заряд единичной величины пробным зарядом), уравнение меняется на:
- ΔV=(VA−VB)=WABq Delta V = (V_A — V_B) = frac{W_{AB}}{q}ΔV=(VA−VB)=qWAB …. .. (2)
Используя приведенное выше уравнение, мы можем определить разность электрических потенциалов (ΔVDelta VΔV) между двумя точками (B и A) как работу, выполненную для перемещения пробного заряда из A в B против электростатической силы .
Помните, что потенциальную электрическую энергию нельзя рассчитать по стандартной формуле потенциальной энергии E=mghE=mghE=mgh.
Что такое электрический потенциал? – Определение электрического потенциала
Если мы возьмем одну из точек в предыдущем разделе, скажем, точку A, находящуюся в бесконечности, и выберем потенциал на бесконечности равным нулю, мы можем изменить формулу разности электрических потенциалов (уравнение 2) следующим образом:
- VB=W ∞Бк V_B = frac{W_{infty B}}{q}VB=qW∞B
Следовательно, мы можем определить электрический потенциал в любой точке как количество работы, выполненной при перемещении пробного заряда из бесконечности в эту точку .
Мы также можем определить электрический потенциал как электрическую потенциальную энергию на единицу заряда, т.е.:
- V=ΔUq V = frac{Delta U}{q}V=qΔU
Итак, вы видите, что электрический потенциал и электрическая потенциальная энергия — это не одно и то же.
Формула электрического потенциала
Для расчета электрического потенциала в любой точке A от одного точечного заряда (см. рис. 1) воспользуемся формулой:
В=кквscriptsize
V = k frac{q}{r}V=krq
где:
- qqq — электростатический заряд;
- rrr — расстояние между точкой А и точечным зарядом; и
- k=14πϵ0k = frac{1}{4 pi epsilon_0}k=4πϵ01 — постоянная Кулона.
Рис. 1: Электрический потенциал точечного заряда.
Заметим, что когда заряд qqq положителен, электрический потенциал положителен. Когда заряд qqq отрицателен, электрический потенциал отрицателен.
Теперь рассмотрим случай, когда имеются четыре точечных заряда: q1q_1q1, q2q_2q2, q3q_3q3 и q4q_4q4 (см. рис. 2). Потенциал в точке A от заряда q1q_1q1 равен:
V1=kq1r1scriptsize
V_1 = k frac{q_1}{r_1}V1=kr1q1
Рис. 2: Электрический потенциал, обусловленный системой точечных зарядов.
Мы можем написать аналогичные выражения для потенциала в точке A от других зарядов:
V2=kq2r2V3=kq3r3V4=kq4r4scriptsize
начать{выравнивать*}
V_2 &= k frac{q_2}{r_2} \ \
V_3 &= k frac{q_3}{r_3} \ \
V_4 &= k frac{q_4}{r_4}
end{align*}V2V3V4=kr2q2=kr3q3=kr4q4
Чтобы получить результирующий потенциал в точке A, воспользуемся принципом суперпозиции, т.
е. , добавим отдельные потенциалы:
V=V1+V2+V3+V4V=k(q1r1+q2r2+q3r3+q4r4)размер сценария
начать{выравнивать*}
V &= V_1 + V_2 + V_3 + V_4 \ \
V &= k left (frac{q_1}{r_1} + frac{q_2}{r_2} + frac{q_3}{r_3} + frac{q_4}{r_4}right ) \
end{align*}VV=V1+V2+V3+V4=k(r1q1+r2q2+r3q3+r4q4)
Для системы nnn точечных зарядов результирующий потенциал можно записать в виде: кирискриптсайз
начать{выравнивать*}
V &= V_1 + V_2 + V_3 + …. +V_n \ \
V &= k left (frac{q_1}{r_1} + frac{q_2}{r_2} + frac{q_3}{r_3} + …. +frac{q_n}{r_n}right ) \\
V & = k sum frac{q_i}{r_i}
end{align*}VVV=V1+V2+V3+….+Vn=k(r1q1+r2q2+r3q3+…. +rnqn)=k∑riqi 94 rm В3,6×104 В.
Как пользоваться калькулятором электрического потенциала
Теперь посмотрим, как можно решить ту же задачу с помощью нашего калькулятора электрического потенциала:
-
В раскрывающемся меню выберите электрический потенциал за счет точечного заряда .
-
Введите значение электрического заряда , т. е. 4e−074e-074e−07 и расстояние между точечным зарядом и точкой наблюдения (10 см10 rm см10 см). 94 rm В3,595×104 В.
Единицы электрического потенциала
Единицей электрического потенциала СИ является вольт (В) . Мы можем сказать, что электрический потенциал в точке равен 1 В , если 1 Дж работы совершается при переносе положительного заряда 1 Кл из бесконечности в эту точку против электростатической силы.
Единицей измерения разности потенциалов также является вольт. Возможно, вы более знакомы с напряжением, а не с термином «разность потенциалов». Например, когда мы говорим о 3 В , мы просто имеем в виду, что разность потенциалов между двумя его клеммами составляет 3 В .
💡 Наш калькулятор емкости аккумулятора — это удобный инструмент, который поможет вам узнать, сколько энергии хранится в вашем аккумуляторе.
Размерная формула электрического потенциала
Чтобы написать размерную формулу электрического потенциала (или разности электрических потенциалов), мы сначала напишем уравнение для электрического потенциала:
- V=Wq V = frac{W}{q} V=qW 9{-1}]V=[AT][M1L2T−2]=[M1L2T−3A−1]
Часто задаваемые вопросы
Как рассчитать электрический потенциал точечного заряда?
Для расчета электрического потенциала точечного заряда (q) на расстоянии (r) следуйте приведенным инструкциям:
-
Умножить заряд q на постоянную Кулона .
-
Разделить значение из шаг 1 на расстояние р.
-
Поздравляю! Вы вычислили электрический потенциал точечного заряда.
Может ли электрический потенциал быть отрицательным?
Да , электрический потенциал может быть отрицательным.
Электростатический потенциал в точке из-за положительного заряда положителен. Если заряд отрицательный, электрический потенциал также отрицателен. Что такое разность электрических потенциалов?
Разность электрических потенциалов между двумя точками A и B определяется как работа, совершаемая для перемещения единичного положительного заряда из A в B . Единицей разности потенциалов в системе СИ является вольт (В).
Является ли электрический потенциал скалярной или векторной величиной?
Электрический потенциал является скалярной величиной , поскольку он не имеет направления.
Какова единица измерения электрического потенциала?
Электрический потенциал – электрическая потенциальная энергия на единицу заряда. Единицей электрической потенциальной энергии в системе СИ является джоуль (Дж), а единицы заряда — кулон (Кл). Следовательно, единицей электрического потенциала СИ является Дж/Кл, т. е. вольт (В) .
Чему равен электрический потенциал заряда в точке, удаленной на бесконечность?
Ноль . Электрический потенциал в точке
P, обусловленный зарядомq, обратно пропорционален расстоянию между ними. Следовательно, когда расстояние бесконечно, электрический потенциал равен нулю.Пурнима Сингх, доктор философии
Я хочу вычислить…..
Электрический потенциал
Заряд (q)
Расстояние (r)
Электрический потенциал (В)
Ознакомьтесь с 40 похожими калькуляторами электромагнетизма 🧲
Ускорение частицы в электрическом полеВатт переменного токаЕмкость… еще 37
3.3 Расчеты электрического потенциала – введение в электричество, магнетизм и электрические цепи
ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ
К концу этого раздела вы сможете:
- Расчет потенциала точечного заряда
- Расчет потенциала системы множественных точечных зарядов
- Описать электрический диполь
- Определить дипольный момент
- Расчет потенциала непрерывного распределения заряда
Точечные заряды, такие как электроны, являются одними из основных строительных блоков материи.
Кроме того, сферические распределения заряда (например, заряд на металлическом шаре) создают внешние электрические поля точно так же, как точечный заряд. Электрический потенциал, обусловленный точечным зарядом, является, таким образом, случаем, который нам необходимо рассмотреть. Мы можем использовать исчисление, чтобы найти работу, необходимую для перемещения пробного заряда с большого расстояния на расстояние от точечного заряда. Отмечая связь между работой и потенциалом, как и в предыдущем разделе, мы можем получить следующий результат.
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ
В ТОЧЕЧНЫЙ ЗАРЯД
Электрический потенциал точечного заряда определяется как
(3.3.1)
где постоянная, равная .
Потенциал на бесконечности выбран равным нулю. Таким образом, для точечного заряда уменьшается с расстоянием, тогда как для точечного заряда уменьшается с квадратом расстояния:
Напомним, что электрический потенциал — скаляр и не имеет направления, тогда как электрическое поле — вектор.
Чтобы найти напряжение из-за комбинации точечных зарядов, вы складываете отдельные напряжения в виде чисел. Чтобы найти полное электрическое поле, вы должны сложить отдельные поля в виде векторов, принимая во внимание величину и направление. Это согласуется с тем фактом, что тесно связано с энергией, скаляром, тогда как тесно связано с силой, вектором. ПРИМЕР 3.3.1
Какое напряжение создает небольшой заряд на металлическом шаре?
Заряды статического электричества обычно находятся в диапазоне от нанокулонов () до микрокулонов (). Каково напряжение вдали от центра твердого металлического шара диаметром, имеющего статический заряд?
Стратегия
Как мы обсуждали в разделе «Электрические заряды и поля», заряд на металлическом шаре распространяется равномерно и создает поле, похожее на поле точечного заряда, расположенного в его центре. Таким образом, мы можем найти напряжение, используя уравнение.
Решение
Подставляя известные значения в выражение для потенциала точечного заряда, получаем
Значение
Отрицательное значение напряжения означает, что положительный заряд будет притягиваться с большего расстояния, поскольку потенциал ниже (более отрицательный), чем на больших расстояниях.
И наоборот, отрицательный заряд будет отталкиваться, как и ожидалось. ПРИМЕР 3.3.2
Что такое избыточный заряд генератора Ван де Граафа?
Демонстрационный генератор Ван де Граафа имеет металлическую сферу диаметром, которая создает напряжение вблизи ее поверхности (рис. 3.3.1). Какой избыточный заряд находится на шаре? (Предположим, что каждое числовое значение здесь показано с тремя значащими цифрами.)
(рис. 3.3.1)
Рисунок 3.3.1 Напряжение этого демонстрационного генератора Ван де Граафа измеряется между заряженной сферой и землей. Потенциал Земли принимается равным нулю в качестве эталона. Потенциал заряженной проводящей сферы такой же, как и у равного точечного заряда в ее центре.
Стратегия
Потенциал на поверхности такой же, как и у точечного заряда в центре сферы вдали. (Радиус сферы равен .) Таким образом, мы можем определить избыточный заряд, используя уравнение
Решение
Решение для и ввод известных значений дает
Значение
Это относительно небольшая зарядка, но выдает довольно большое напряжение.
У нас есть еще одно указание на то, что трудно хранить изолированные заряды. ПРОВЕРЬТЕ ВАШЕ ПОНИМАНИЕ 3.8
Каков потенциал внутри металлической сферы в Примере 3.3.1?
Напряжения в обоих этих примерах можно измерить с помощью измерителя, который сравнивает измеренный потенциал с потенциалом земли. Потенциал земли часто принимается равным нулю (вместо того, чтобы принимать потенциал на бесконечности равным нулю). Важна именно разность потенциалов между двумя точками, и очень часто неявно предполагается, что какая-то точка отсчета, например Земля или очень удаленная точка, имеет нулевой потенциал. Как отмечалось ранее, это аналогично уровню моря при рассмотрении потенциальной энергии гравитации.
Системы многоточечных зарядов
Как электрическое поле подчиняется принципу суперпозиции, так и электрический потенциал. Рассмотрим систему, состоящую из зарядов . Каков чистый электрический потенциал в точке пространства от этих зарядов? Каждый из этих зарядов является исходным зарядом, который создает свой собственный электрический потенциал в точке , независимо от того, какие другие изменения могут происходить.
Пусть — электрические потенциалы при , создаваемые зарядами соответственно. Тогда суммарный электрический потенциал в этой точке равен сумме этих отдельных электрических потенциалов. Это легко показать, рассчитав потенциальную энергию пробного заряда, когда вы перенесете пробный заряд из точки отсчета на бесконечности в точку: Обратите внимание, что электрический потенциал следует тому же принципу суперпозиции, что и электрическое поле и электрическая потенциальная энергия. Чтобы показать это более явно, обратите внимание, что тестовый заряд в точке пространства находится на расстоянии от зарядов, зафиксированных в пространстве выше, как показано на рисунке 3.3.2. Используя нашу формулу потенциала точечного заряда для каждого из этих (предполагаемых точечными) зарядов, находим, что
(3.3.2)
Следовательно, электрическая потенциальная энергия пробного заряда равна
, который аналогичен работе по вводу пробного заряда в систему, описанной в первом разделе главы.
(рис. 3.3.2)
Рисунок 3.3.2 Обозначение прямых расстояний от зарядов до точки пространства.
Электрический диполь
Электрический диполь – это система двух равных, но противоположных зарядов, находящихся на фиксированном расстоянии друг от друга. Эта система используется для моделирования многих систем реального мира, включая атомные и молекулярные взаимодействия. Одной из таких систем является молекула воды при определенных обстоятельствах. Эти обстоятельства встречаются внутри микроволновой печи, где электрические поля переменного направления заставляют молекулы воды менять ориентацию. Эта вибрация аналогична теплу на молекулярном уровне.
ПРИМЕР 3.3.3
Электрический потенциал диполя
Рассмотрим диполь на Рисунке 3.3.3 с величиной заряда и расстоянием разделения . Каков потенциал в следующих местах в космосе? (а) ; (б) ; (с) .
(рис. 3.3.3)
Рисунок 3.
3.3 Общая схема электрического диполя и обозначения расстояний от отдельных зарядов до точки в пространстве.Стратегия
Применить к каждой из этих трех точек.
Решение
а.
б.
в.
Значение
Обратите внимание, что оценка потенциала значительно проще, чем электрического поля, поскольку потенциал является скаляром, а не вектором.
ПРОВЕРЬТЕ ВАШЕ ПОНИМАНИЕ 3.9
Какой потенциал на -оси? -ось?
Теперь рассмотрим частный случай, когда расстояние точки от диполя много больше, чем расстояние между зарядами в диполе, ; например, когда нас интересует электрический потенциал поляризованной молекулы, такой как молекула воды. Это не так далеко (бесконечность), чтобы мы могли просто считать потенциал равным нулю, но расстояние достаточно велико, чтобы мы могли упростить наши вычисления по сравнению с предыдущим примером.
Начнем с того, что на рис. 3.3.4 потенциал представлен как
.
где
(рис. 3.3.4)
Рисунок 3.3.4 Общая схема электрического диполя и обозначения расстояний от отдельных зарядов до точки в пространстве.
Это по-прежнему точная формула. Чтобы воспользоваться тем, что , мы перепишем радиусы в терминах полярных координат, с и . Это дает нам
Мы можем упростить это выражение, вытащив из корня,
, а затем умножить скобки на
.
Последний член в корне достаточно мал, чтобы им можно было пренебречь (помните, что и, следовательно, чрезвычайно мал, фактически равен нулю до уровня, который мы, вероятно, будем измерять), оставляя нам
Использование биномиального приближения (стандартный результат математики рядов, когда небольшое)
и подставив это в нашу формулу для , мы получим
Это может быть записано более удобно, если мы определим новую величину, электрический дипольный момент ,
(3.
3.3) , где эти векторы указывают от отрицательного заряда к положительному. Обратите внимание, что это имеет величину . Эта величина позволяет нам записать потенциал в точке из-за диполя в начале координат как
.
(3.3.4)
Схема применения этой формулы показана на Рисунке 3.3.5.
(рис. 3.3.5)
Рисунок 3.3.5 Геометрия приложения потенциала диполя.
Существуют также моменты более высокого порядка для квадруполей, октуполей и т. д. Вы увидите их на следующих уроках.
Возможность непрерывного распределения заряда
Мы много работали с точечными зарядами, но как насчет непрерывного распределения заряда? Напомним из уравнения 3.3.2, что
Мы можем рассматривать непрерывное распределение заряда как набор бесконечно малых отдельных точек. Это дает интеграл
(3.3.5)
для потенциала в точке . Обратите внимание, что это расстояние от каждой отдельной точки распределения заряда до точки .
Как мы видели в разделе «Электрические заряды и поля», бесконечно малые заряды равны , где – линейная плотность заряда, – заряд на единицу площади и – заряд на единицу объема.
ПРИМЕР 3.3.4
Потенциал линии заряда
Найдите электрический потенциал однородно заряженного непроводящего провода с линейной плотностью (кулон/метр) и длиной в точке, лежащей на линии, которая делит провод на две равные части.
Стратегия
Для постановки задачи мы выбираем декартовы координаты таким образом, чтобы максимально использовать симметрию в задаче. Поместим начало координат в центр провода и ориентируем -ось вдоль провода так, чтобы концы провода находились в точках . Точка поля находится в -плоскости, и поскольку выбор осей зависит от нас, мы выбираем -ось для прохождения через точку поля, как показано на рисунке 3.3.6.
(рис. 3.3.6)
Рисунок 3.3.6 Мы хотим рассчитать электрический потенциал линии заряда.
Решение
Рассмотрим небольшой элемент распределения заряда между и . Заряд в этой ячейке равен , а расстояние от ячейки до точки поля равно . Таким образом, потенциал становится равным
.
Значение
Обратите внимание, что это было проще, чем эквивалентная задача для электрического поля, из-за использования скалярных величин. Напомним, что мы ожидаем, что нулевой уровень потенциала будет на бесконечности, когда у нас конечный заряд. Чтобы исследовать это, мы берем предел вышеуказанного потенциала по мере приближения к бесконечности; в этом случае члены внутри натурального логарифма стремятся к единице, и, следовательно, потенциал приближается к нулю в этом пределе. Обратите внимание, что мы могли бы решить эту задачу эквивалентно в цилиндрических координатах; единственный эффект будет состоять в том, чтобы заменить на и на .
ПРИМЕР 3.3.5
Потенциал из-за кольца заряда
Кольцо имеет однородную плотность заряда с единицами кулонов на единицу дугового метра.
Найти электрический потенциал в точке на оси, проходящей через центр кольца. Стратегия
Используем ту же процедуру, что и для заряженного провода. Отличие здесь в том, что заряд распределяется по окружности. Мы делим окружность на бесконечно малые элементы в виде дуг на окружности и используем цилиндрические координаты, показанные на рис. 3.3.7.
(рис. 3.3.7)
Рисунок 3.3.7 Мы хотим рассчитать электрический потенциал из-за кольца заряда.
Решение
Общий элемент дуги между и имеет длину и поэтому содержит заряд, равный . Элемент находится на расстоянии от , и поэтому потенциал равен
Значение
Этот результат ожидаем, поскольку все элементы кольца находятся на одинаковом расстоянии от точки . Чистый потенциал при является потенциалом полного заряда, расположенного на общем расстоянии, .
ПРИМЕР 3.3.6
Потенциал за счет однородного диска заряда
Диск радиусом имеет однородную плотность заряда в единицах кулон-метр в квадрате.
Найти электрический потенциал в любой точке оси, проходящей через центр диска. Стратегия
Мы делим диск на кольцеобразные ячейки и используем результат для кольца, полученный в предыдущем примере, затем интегрируем по в дополнение к . Это показано на Рисунке 3.3.8.
(рис. 3.3.8)
Рисунок 3.3.8 Мы хотим рассчитать электрический потенциал заряженного диска.
Решение
Ячейка бесконечно малой ширины между цилиндрическими координатами и изображенная на рис. 3.3.8 будет представлять собой кольцо зарядов, электрический потенциал которого в точке поля имеет следующее выражение
где
Суперпозиция потенциалов всех бесконечно малых колец, составляющих диск, дает суммарный потенциал в точке. Это достигается путем интеграции from to :
Значение
Основная процедура для диска состоит в том, чтобы сначала интегрировать , а затем . Это было продемонстрировано для однородной (постоянной) плотности заряда.
Часто плотность заряда зависит от , и тогда последний интеграл будет давать разные результаты. ПРИМЕР 3.3.7
Потенциал из-за бесконечного заряженного провода
Найдите электрический потенциал бесконечно длинного однородно заряженного провода.
Стратегия
Поскольку мы уже рассчитали потенциал провода конечной длины в примере 3.2.4, мы можем задаться вопросом, сработает ли наш предыдущий результат:
Однако этот предел не существует, потому что аргумент логарифма принимает вид , поэтому этот способ нахождения бесконечной проволоки не работает. Причину этой проблемы можно проследить в том, что заряды не локализованы в каком-то пространстве, а продолжаются на бесконечность в направлении провода. Следовательно, наше (негласное) предположение о том, что нулевой потенциал должен находиться на бесконечном расстоянии от провода, больше не имеет силы.
Чтобы избежать этой трудности при вычислении пределов, давайте воспользуемся определением потенциала путем интегрирования по электрическому полю из предыдущего раздела и значением электрического поля из этой конфигурации заряда из предыдущей главы.
Решение
Используем интеграл
, где — конечное расстояние от линии заряда, как показано на рис. 3.3.9.
(рис. 3.3.9)
Рисунок 3.3.9 Точки интереса для расчета потенциала бесконечной линии заряда.
В этой настройке мы используем и для получения
Теперь, если мы определим опорный потенциал при , это упрощается до
Обратите внимание, что эта форма потенциала вполне пригодна для использования; оно находится в бесконечности и не определено в бесконечности, поэтому мы не можем использовать последнее в качестве ссылки.
Значение
Хотя прямой расчет потенциала может быть весьма удобным, мы только что обнаружили систему, для которой эта стратегия не работает. В таких случаях возвращение к определению потенциала с точки зрения электрического поля может предложить путь вперед.
ПРОВЕРЬТЕ ВАШЕ ПОНИМАНИЕ 3.10
Чему равен потенциал на оси неоднородного кольца заряда, где плотность заряда ?
Цитаты Кандела
Контент под лицензией CC, конкретное указание авторства
- Загрузите бесплатно по адресу http://cnx.
-
Электростатический потенциал в точке из-за положительного заряда положителен. Если заряд отрицательный, электрический потенциал также отрицателен. 
Кроме того, сферические распределения заряда (например, заряд на металлическом шаре) создают внешние электрические поля точно так же, как точечный заряд. Электрический потенциал, обусловленный точечным зарядом, является, таким образом, случаем, который нам необходимо рассмотреть. 
Чтобы найти напряжение из-за комбинации точечных зарядов, вы складываете отдельные напряжения в виде чисел. Чтобы найти полное электрическое поле, вы должны сложить отдельные поля в виде векторов, принимая во внимание величину и направление. Это согласуется с тем фактом, что тесно связано с энергией, скаляром, тогда как тесно связано с силой, вектором. 
И наоборот, отрицательный заряд будет отталкиваться, как и ожидалось. 
У нас есть еще одно указание на то, что трудно хранить изолированные заряды. 
Пусть — электрические потенциалы при , создаваемые зарядами соответственно. Тогда суммарный электрический потенциал в этой точке равен сумме этих отдельных электрических потенциалов. Это легко показать, рассчитав потенциальную энергию пробного заряда, когда вы перенесете пробный заряд из точки отсчета на бесконечности в точку: 
3.3 Общая схема электрического диполя и обозначения расстояний от отдельных зарядов до точки в пространстве.
3.3) 
Как мы видели в разделе «Электрические заряды и поля», бесконечно малые заряды равны 
Найти электрический потенциал в точке на оси, проходящей через центр кольца. 
Найти электрический потенциал в любой точке оси, проходящей через центр диска. 
Часто плотность заряда зависит от , и тогда последний интеграл будет давать разные результаты. 
