Как найти потенциал поля созданного двумя зарядами

Решение: заряды разноимённые. Каждый из зарядов создаёт  в точке А поле. Пусть напряжённость поля первого заряда E₁ и направлена от него, второго заряда – E₂  и направлена к нему (отрицательный) (см. рис.).
[ E_{1} =frac{kcdot q_{1}}{r_{1}^{2}} {rm ,; ; ; ; ; }E_{2} =frac{kcdot q_{2} }{r_{2}^{2}}. ]
Здесь k = 9∙10⁹ Н∙м²/Кл². Результирующая напряжённость E подчиняется принципу суперпозиции. Воспользуемся теоремой косинусов: для треугольника расстояний и для треугольника напряжённостей:
[ begin{array}{l} {d^{2} =r_{1}^{2} +r_{2}^{2} -2cdot r_{1} cdot r_{2} cdot cos varphi ,{rm ; ; ; ; ; ; ; }cos varphi =frac{r_{1}^{2} +r_{2}^{2} -d^{2}}{2cdot r_{1} cdot r_{2}},} \ {vec{E}=vec{E}_{1} +vec{E}_{2} ,{rm ; ; ; ; ; ; ; }E^{2} =E_{1}^{2} +E_{2}^{2} -2cdot E_{1} cdot E_{2} cdot cos varphi ,} \ {E=kcdot sqrt{left(frac{q_{1} }{r_{1}^{2} } right)^{2} +left(frac{q_{2} }{r_{2}^{2}} right)^{2} -frac{q_{1} cdot q_{2}}{r_{1}^{3} cdot r_{2}^{3}} cdot left(r_{1}^{2} +r_{2}^{2} -d^{2} right)}.} end{array} ]
Потенциал поля точечного заряда также подчиняется принципу суперпозиции, и для системы двух зарядов (причём второй отрицательный, поэтому потенциал поля этого заряда отрицательный)
[ begin{array}{l} {varphi _{1} =frac{kcdot q_{1}}{r_{1}} ,{rm ; ; ; ; }varphi _{2} =frac{kcdot left|q_{2} right|}{r_{2}},} \ {varphi =varphi _{1} -varphi _{2} =kcdot left(frac{q_{1} }{r_{1} } -frac{left|q_{2} right|}{r_{2}} right).} end{array} ]
Ответ: 23,57 кВ/м, 1500 В.

III. Основы электродинамики

Тестирование онлайн

Работа электростатического поля

Рассмотрим ситуацию: заряд q₀ попадает в электростатическое поле. Это электростатическое поле тоже создается каким-то заряженным телом или системой тел, но нас это не интересует. На заряд q₀ со стороны поля действует сила, которая может совершать работу и перемещать этот заряд в поле.

Работа электростатического поля не зависит от траектории. Работа поля при перемещении заряда по замкнутой траектории равна нулю. По этой причине силы электростатического поля называются консервативными, а само поле называется потенциальным.

Потенциал

Система «заряд — электростатическое поле» или «заряд — заряд» обладает потенциальной энергией, подобно тому, как система «гравитационное поле — тело» обладает потенциальной энергией.

Физическая скалярная величина, характеризующая энергетическое состояние поля называется потенциалом данной точки поля. В поле помещается заряд q, он обладает потенциальной энергией W. Потенциал — это характеристика электростатического поля.

Вспомним потенциальную энергию в механике. Потенциальная энергия равна нулю, когда тело находится на земле. А когда тело поднимают на некоторую высоту, то говорят, что тело обладает потенциальной энергией.

Касательно потенциальной энергии в электричестве, то здесь нет нулевого уровня потенциальной энергии. Его выбирают произвольно. Поэтому потенциал является относительной физической величиной.

В механике тела стремятся занять положение с наименьшей потенциальной энергией. В электричестве же под действием сил поля положительно заряженное тело стремится переместится из точки с более высоким потенциалом в точку с более низким потенциалом, а отрицательно заряженное тело — наоборот.

Потенциальная энергия поля — это работа, которую выполняет электростатическая сила при перемещении заряда из данной точки поля в точку с нулевым потенциалом.

Рассмотрим частный случай, когда электростатическое поле создается электрическим зарядом Q. Для исследования потенциала такого поля нет необходимости в него вносить заряд q. Можно высчитать потенциал любой точки такого поля, находящейся на расстоянии r от заряда Q.

Диэлектрическая проницаемость среды имеет известное значение (табличное), характеризует среду, в которой существует поле. Для воздуха она равна единице.

Разность потенциалов

Работа поля по перемещению заряда из одной точки в другую, называется разностью потенциалов

Эту формулу можно представить в ином виде

Эквипотенциальная поверхность (линия) — поверхность равного потенциала. Работа по перемещению заряда вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю.

Напряжение

Разность потенциалов называют еще электрическим напряжением при условии, что сторонние силы не действуют или их действием можно пренебречь.

Напряжение между двумя точками в однородном электрическом поле, расположенными по одной линии напряженности, равно произведению модуля вектора напряженности поля на расстояние между этими точками.

От величины напряжения зависит ток в цепи и энергия заряженной частицы.

Принцип суперпозиции

Потенциал поля, созданного несколькими зарядами, равен алгебраической (с учетом знака потенциала) сумме потенциалов полей каждого поля в отдельности

Как определить знак потенциала

Зависимость напряженности и потенциала от расстояния

Напряжение в природе

Энергия взаимодействия зарядов*

Условие задачи:

Найти потенциал электрического поля в точке, лежащей посредине между двумя зарядами по 50 нКл, расположенными на расстоянии 1 м в вакууме.

Задача №6.3.9 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

(q=50) нКл, (r=frac{l}{2}), (l=1) м, (varphi-?)

Решение задачи:

Так как заряды одинаковы, и они находятся на одинаковом расстоянии (r) от точки A, в которой нужно определить потенциал, значит потенциалы электрических полей в точке A, создаваемых каждым зарядом, также одинаковы. Это видно из формулы:

[{varphi _0} = frac{{kq}}{r}]

Здесь (k) – коэффициент пропорциональности, равный 9·10⁹ Н·м²/Кл².

Учитывая, что точка A находится посредине между двумя зарядами ((r=frac{l}{2})), то:

[{varphi _0} = frac{{2kq}}{l}]

Искомый потенциал (varphi) равен сумме потенциалов электрических полей в точке A, создаваемых каждым зарядом, поскольку потенциал – величина скалярная. Учитывая вышесказанное, имеем:

[varphi = {varphi _0} + {varphi _0}]

[varphi = 2{varphi _0}]

В итоге решение задачи в общем виде выглядит так:

[varphi = frac{{4kq}}{l}]

Произведём вычисления:

[varphi = frac{{4 cdot 9 cdot {{10}^9} cdot 50 cdot {{10}^{ – 9}}}}{1} = 1800;В = 1,8;кВ]

Ответ: 1,8 кВ.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

6.3.8 На расстоянии 1 м от центра заряженного металлического шара радиусом 3 м
6.3.10 Сколько электронов следует передать металлическому шарику радиусом 7,2 см
6.3.11 Определить разность потенциалов (по модулю) между точками, отстоящими

Электростатическое
поле точечного заряда характеризуется
не только вектором напряженности

(см. (3.1)), но и потенциалом :

. (4.1)

Из (4.1) видно,
что потенциал – это скалярная величина,
которая может быть как положительная,
так и отрицательная в зависимости от
знака заряда.

Используя
принцип суперпозиции полей, можно
найти потенциал результирующего
электрического поля в заданной точке
О как алгебраическую сумму
потенциалов полей, созданных каждым
зарядом независимо друг от друга (см.
рис. 1):

(4.2)

Задача 5.

Используя
условие задачи 4, найти потенциал 
электрического поля в точке Р.

Решение:

Подставим данные из задачи 4 в формулу
(4.2):

кВ

Ответ: _рез
= 34,1 кВ

4.1
Заряд

находится в вершине квадрата со стороной

,
а заряд

– в центре. Найти потенциал электрического
поля в точке Р, находящейся в другой
вершине этого квадрата (см. рис.).

мкКл,

мкКл,

м.

Ответ: 34,5 кВ

4.2 З
аряды

и

находятся в соседних вершинах квадрата
со стороной

.
Найти потенциал электрического поля в
точке Р, делящей сторону квадрата на
два равных отрезка (см. рис.).

мкКл,

мкКл,

м.

Ответ: 44 кВ

4.3 З
аряды

и

находятся в соседних вершинах квадрата
со стороной

.
Найти потенциал электрического поля в
точке Р, находящейся на середине
противоположной стороны квадрата (см.
рис.).

мкКл,

мкКл,

м.

Ответ: 24 кВ

4.4
Заряд

находится в вершине квадрата со стороной

,
а заряд

– на середине стороны. Найти потенциал
электрического поля в точке Р, находящейся
на середине противоположной стороны
квадрата (см. рис.).

мкКл,

мкКл,

м.

Ответ: 26 кВ

4.5 З
аряд

находится в вершине квадрата со стороной

,
а заряд

– на середине стороны. Найти потенциал
электрического поля в точке Р, находящейся
на середине стороны квадрата (см. рис.).

мкКл,

мкКл,

м.

Ответ: 34 кВ

4.6 З
аряд

находится в вершине квадрата со стороной

,
а заряд

– на середине стороны. Найти потенциал
электрического поля в точке Р, находящейся
в противоположной вершине квадрата
(см. рис.).

мкКл,

мкКл,

м.

Ответ: 22 кВ

5. Расчет потенциала электрического поля, с озданного распределенным зарядом.

Электрическое
поле часто создается не дискретными
зарядами, а распределенными в пространстве
с плотностью

.
Тогда необходимо разбить заряженную
область на малые элементы с объемом

и зарядом

(см. рис.3). При расчете потенциала в
некоторой точке пространства О принцип
суперпозиции (4.2) для бесконечного числа
таких элементов будет выглядеть следующим
образом:

(5.1)

– где

– расстояние от малого элемента с
зарядом

до точки О.

Часто заряд
распределяется вдоль тонкой линии,
тогда заряд малого элемента длины

лучше выражать через линейную плотность
заряда

,
и уравнение (5.1) преобразуется в

(5.2)

Задача 6.

Положительный
заряд распределен по тонкому полукольцу
радиуса R = 1 м с линейной
плотностью

,
где 0< < ,

₀ = 1
мкКл/м. Определить потенциал, создаваемый
этим зарядом в центре полукольца.

Решение:

Выделим элемент
dl = Rd
на полуокружности и, учитывая, что
расстояние от элемента до точки О
равно

,
по формуле (5.2) рассчитаем потенциал в
точке О:

= 9,42 кВ

Ответ:
9,42 кВ

Задача 7

Тонкий
стержень заряжен неравномерно.
Электрический заряд распределен по
нему с линейной плотностью

,
где х – координата точки на стержне,
b = 1 м – длина стержня, ₀
= 1 мкКл/м. Чему равна величина потенциала,
создаваемого этим зарядом в начале
координат О, совпадающем с концом
стержня?

Решение:

Выделим
элементарный заряд dq
на стержне длиной dx
на расстоянии х от начала координат
О (см. рис.5). Учитывая, что r
= x, а

dq
= dx,
найдем по формуле (5.2) потенциал в точке
О:

= 4,5 кВ

Ответ: 4,5 кВ

5.1
Вдоль стержня длины

равномерно распределен заряд

.
Найти потенциал в точке

на продолжении стержня на расстоянии

от его конца (см. рис.).

м,

м,

мкКл.

Ответ: 6,2 кВ

5.2
Вдоль стержня длины

равномерно распределен заряд с линейной
плотностью

.
Найти потенциал в точке

на продолжении стержня на расстоянии

от его конца (см. рис.).

м,

м,

мкКл/м.

Ответ: 6,2 кВ

5.3 П
оложительный
заряд распределен по тонкому кольцу
радиуса

с линейной плотностью

.
Определить потенциал, создаваемый этим
зарядом в центре кольца.

R
= 1 м,

мкКл/м.

Ответ: 28 кВ

5.4. П
оложительный
заряд распределен по тонкому кольцу
радиуса

с линейной плотностью

.
Определить потенциал, создаваемый этим
зарядом в центре кольца.

R
= 1 м,

мкКл/м.

Ответ: 57 кВ

5.5
Положительный заряд распределен по
тонкому кольцу радиуса

с линейной плотностью

.
Определить потенциал, создаваемый этим
зарядом в центре кольца.

R
= 1 м,

мкКл/м.

Ответ: 75 кВ

5.6
Тонкий стержень заряжен неравномерно.
Электрический заряд распределен по
нему с линейной плотностью

,
где х — координата точки на стержне,
b — длина стержня. Чему равна величина
потенциала, создаваемого этим зарядом
в начале координат О, совпадающем с
концом стержня?

м,

мкКл/м.

Ответ: 9 кВ

5.7 П
оложительный
заряд распределен по тонкому полукольцу
радиуса

с линейной плотностью

.
Определить потенциал, создаваемый этим
зарядом в центре полукольца.

м,

мкКл/м.

Ответ: 14 кВ

5.8
Положительный заряд распределен по
тонкому полукольцу радиуса

с линейной плотностью

.
Определить потенциал, создаваемый этим
зарядом в центре полукольца.

R
= 1 м,

мкКл/м.

Ответ: 14 кВ

5
.9э.
Электрон перемещается в кулоновском
поле заряженной частицы из точки А в
точку В в одном случае по траектории 1,
в другом случае по траектории 2. Как
соотносятся величины работ, совершаемых
электрическим полем над электроном, в
этих двух случаях?

а)

;
б)

;
в)

;
г)

6. Расчет напряженности электрического
поля,

созданного распределенным зарядом.

Применение
принципа суперпозиции (3.2) для нахождения
напряженности электрического поля

в векторной форме вызывает большие
трудности из-за бесконечного числа
элементарных зарядов dq,
распределенных в пространстве. В этом
случае необходимо воспользоваться не
векторным сложением вкладов полей

,
а сложением их проекций:

,

(6.1)

Задача 8

З
аряд
распределен по тонкому полукольцу
радиуса

= 1 м с линейной плотностью

.

Определить
проекцию на ось

напряженности электрического поля,
создаваемого этим зарядом в центре
полукольца, если

мкКл/м.

Решение:

Как видно из
рис.6, проекция на ось х напряженности
электрического поля, созданного
элементарным зарядом

в точке О равна:

(6.3)

Учитывая, что

,
а

,
получим

Ответ: 4,5
кВ/м

6.1
Вдоль стержня длины

равномерно распределен заряд

.
Найти величину напряженности электрического
поля в точке

на продолжении стержня на расстоянии

от его конца (см. рис.).

м,

м,

мкКл.

Ответ: 4,5 кВ/м

6.2
Вдоль стержня длины

равномерно распределен заряд с линейной
плотностью

.
Найти величину напряженности электрического
поля в точке

на продолжении стержня на расстоянии

от его конца (см. рис.).

м,

м,

мкКл/м.

Ответ: 4,5 кВ/м

6.3
Заряд распределен по тонкому кольцу
радиуса

с линейной плотностью

.

Определить
величину проекции на ось

напряженности электрического поля,
создаваемого этим зарядом в центре
кольца, если

R
= 1 м,

мкКл/м.

Ответ: 12 кВ/м

6.4
Тонкий стержень заряжен неравномерно.
Электрический заряд распределен по
нему с линейной плотностью

,
где х — координата точки на стержне,
b — длина стержня. Чему равна величина
напряженности электрического поля,
создаваемого этим зарядом в начале
координат О, совпадающем с концом
стержня?

м,

мкКл/м.

Ответ: 9,0 кВ/м

6.5
Тонкий стержень заряжен неравномерно.
Электрический заряд распределен по
нему с линейной плотностью

,
где х — координата точки на стержне,
b — длина стержня. Чему равна величина
напряженности электрического поля,
создаваемого этим зарядом в начале
координат О, совпадающем с концом
стержня?

м,

мкКл/м.

Ответ: 4,5 кВ/м

6.6
Заряд распределен по тонкому
полукольцу радиуса

с линейной плотностью

.

Определить
проекцию на ось

напряженности электрического поля,
создаваемого этим зарядом в центре
полукольца, если R =
1 м,

мкКл/м.

Ответ: 12 кВ/м

6.7
Заряд распределен по тонкому кольцу
радиуса

с линейной плотностью

.

Определить
величину проекции на ось

напряженности электрического поля,
создаваемого этим зарядом в центре
кольца, если

R
= 1 м,

мкКл/м.

Ответ: 7,2 кВ/м

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Понятие электрического потенциала является одним из важных основ теории электростатики и электродинамики. Понимание его сущности является необходимым условием для дальнейшего изучения этих разделов физики.

Что такое электрический потенциал

Пусть в поле, создаваемым неподвижным зарядом Q, помещён единичный заряд q, на который действует сила Кулона F=k*Qq/r.

Здесь и далее k=((1/4)*π* ε₀* ε), где ε_{0 —} электрическая постоянная (8,85*10^-12 Ф/м), а ε – диэлектрическая постоянная среды.

Внесённый заряд под действием этой силы может перемещаться, а сила при этом совершит определенную работу. Это означает, что система из двух зарядов обладает потенциальной энергией, зависящей от величины обоих зарядов и расстояния между ними, причём величина этой потенциальной энергии не зависит от величины заряда q. Здесь и вводится определение электрического потенциала – он равен отношению потенциальной энергии поля к величине заряда:

φ=W/q,

где W – потенциальная энергия поля, создаваемого системой зарядов, а потенциал является энергетической характеристикой поля. Чтобы переместить заряд q в электрическом поле на какое-то расстояние, надо затратить определённую работу на преодоление кулоновских сил. Потенциал точки равен работе, которую надо затратить для перемещения единичного заряда из этой точки в бесконечность. При этом надо отметить, что:

• эта работа будет равна убыли потенциальной энергии заряда (A=W₂-W₁);
• работа не зависит от траектории перемещения заряда.

В системе СИ единицей измерения потенциала является один Вольт (в русскоязычной литературе обозначается буквой В, в зарубежной – V). 1 В=1Дж/1 Кл, то есть, можно говорить о потенциале точки в 1 вольт, если для перемещения заряда в 1 Кл в бесконечность потребуется совершить работу в 1 Джоуль. Название выбрано в честь итальянского физика Алессандро Вольта, внесшего значительный вклад в развитие электротехники.

Чтобы наглядно представить, что такое потенциал, его можно сравнить с температурой двух тел или температурой, замеренной в разных точках пространства. Температура служит мерой нагрева объектов, а потенциал – мерой электрической заряженности. Говорят, что одно тело нагрето более другого, также можно сказать, что одно тело заряжено более, а другое – менее. Эти тела обладают разным потенциалом.

Значение потенциала зависит от выбора системы координат, поэтому требуется какой-то уровень, который надо принять за ноль. При измерении температуры за базовую границу можно принять, например, температуру тающего льда. Для потенциала за нулевой уровень обычно принимают потенциал бесконечно удаленной точки, но для решения некоторых задач за нулем можно считать, например, потенциал земли или потенциал одной из обкладок конденсатора.

Свойства потенциала

Среди важных свойств потенциала надо отметить следующие:

• если поле создается несколькими зарядами, то потенциал в конкретной точке будет равен алгебраической (с учетом знака заряда) сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов φ=φ₁+φ₂+φ₃+φ₄+φ₅+…+φ_n;
• если расстояния от зарядов таковы, что сами заряды можно считать точечными, то суммарный потенциал считается по формуле φ=k*(q₁/r₁+q₂/r₂+q₃/r₃+…+q_n/r_n), где r – расстояние от соответствующего заряда то рассматриваемой точки.

Если поле образовано электрическим диполем (двумя связанными зарядами противоположного знака), то потенциал в любой точке, находящейся на расстоянии r от диполя будет равен φ=k*p*cosά/r², где:

• p – электрическое плечо диполя, равное q*l, где l – расстояние между зарядами;
• r – расстояние до диполя;
• ά – угол между плечом диполя и радиус-вектором r.

Если точка лежит на оси диполя, то cosά=1 и φ=k*p/r².

Разность потенциалов

Если две точки обладают определённым потенциалом, и если они не равны, то говорят о том, что между двумя точками существует разность потенциалов. Разность потенциалов возникает между точками:

• потенциал которых определяется зарядами разных знаков;
• точкой с потенциалом от заряда любого знака и точкой с нулевым потенциалом;
• точками, имеющими потенциал равного знака, но отличающимися по модулю.

То есть, разность потенциалов не зависит от выбора системы координат. Можно провести аналогию с бассейнами с водой, расположенными на разной высоте относительно нулевой отметки (например, уровня моря).

Вода каждого бассейна имеет определенную потенциальную энергию, но если соединить два любых бассейна трубкой, то в каждой из них возникнет поток воды, расход которой определяется не только размерами трубки, но и разностью потенциальных энергий в гравитационном поле Земли (то есть, разностью высот). Абсолютное значение потенциальных энергий значения в данном случае не имеет.

Точно так же, если соединить проводником две точки с разным потенциалом, по нему потечёт электрический ток, определяемый не только сопротивлением проводника, но и разностью потенциалов (но не их абсолютным значением). Продолжая аналогию с водой, можно сказать, что вода в верхнем бассейне скоро закончится, и если не найдется той силы, которая переместит воду обратно наверх (например, насоса), то и поток очень быстро прекратится.

Так и в электрической цепи – чтобы поддерживать разность потенциалов на определенном уровне, потребуется сила, переносящая заряды (точнее, носители зарядов) к точке с наибольшим потенциалом. Такая сила называется электродвижущей силой и сокращенно обозначается ЭДС. ЭДС может носить различную природу – электрохимическую, электромагнитную и т.п.

На практике имеет значение в основном разность потенциалов между начальной и конечной точками траектории движения носителей зарядов. В этом случае эту разность называют напряжением, и оно в СИ также измеряется в вольтах. О напряжении в 1 Вольт можно говорить, если поле совершает работу в 1 Джоуль при перемещении заряда в 1 Кулон из одной точки в другую, то есть 1В=1Дж/1Кл, и Дж/Кл также может являться единицей измерения разности потенциалов.

Эквипотенциальные поверхности

Если потенциал нескольких точек одинаков, и эти точки образуют поверхность, то такая поверхность называется эквипотенциальной. Таким свойством обладает, например, сфера, описанная вокруг электрического заряда, ведь электрическое поле убывает с расстоянием одинаково во все стороны.

Все точки этой поверхности имеют одинаковую потенциальную энергию, поэтому при перемещении заряда по такой сфере работа затрачиваться не будет. Эквипотенциальные поверхности систем из нескольких зарядов имеют более сложную форму, но у них есть одно интересное свойство – они никогда не пересекаются. Силовые линии электрического поля всегда перпендикулярны поверхностям с одинаковым потенциалом в каждой их точке. Если эквипотенциальную поверхность рассечь плоскостью, получится линия равных потенциалов. Она имеет те же свойства, что и эквипотенциальная поверхность. На практике равный потенциал имеют, например, точки на поверхности проводника, помещенного в электростатическое поле.

Разобравшись с понятием потенциала и разности потенциалов, можно приступать к дальнейшему изучению электрических явлений. Но не ранее, потому что без понимания базовых принципов и понятий углубить знания не получится.