Как найти потенциал поля в определенной точке

Нахождение потенциала

В предыдущем разделе мы доказали, что если выполняются условия потенциальности поля $bar { a } (mathbf { textit { M } } )$, то $varphi (M)=intlimits_ { mathop { M_0 M } limits^cup } { bar { a } dbar { r } } $, где $M_0 in V$ — фиксированная точка. Обычно, если в точке $mathbf { textit { O } } (0,0,0)$ поле не имеет особенностей, то в качестве точки $M_0 (x_0 ,y_0 ,z_0 )$ берётся именно эта точка, если в этой точке поле не определено, берётся другая точка.

Интегрирование ведут по пути, состоящим из отрезков, параллельных координатным осям. В результате получим $varphi (M)=intlimits_ { x_0 } ^x { P(x,y_0 ,z_0 )dx } +intlimits_ { y_0 } ^y { Q(x,y,z_0 )dy } +intlimits_ { z_0 } ^z { R(x,y,z)dz } $.

Пример 1

Доказать, что поле $bar { a } (x,y,z)=frac { ycos (xy) } { z } bar { i } +frac { xcos (xy) } { z } bar { j } -frac { sin (xy) } { z^2 } bar { k } $ потенциально и найти потенциал этого поля.

Решение

Мы будем доказывать, что это поле потенциально в любой односвязной области $mathbf { textit { V } } $, не содержащей точку $mathbf { textit { O } } (0,0,0)$. Условие безвихревости поля $bar { a } $:

$rotbar { a } (M)=left| { begin{array} { l } ,bar { i } ,,,,bar { j } ,,,bar { k } \ frac { partial } { partial x } ,,frac { partial } { partial y } ,,frac { partial } { partial z } \ ,P,,Q,,,R \ end{array} }right|=left( { frac { partial R } { partial y } -frac { partial Q } { partial z } }right)bar { i } +left( { frac { partial P } { partial z } -frac { partial R } { partial x } }right)bar { j } +left( { frac { partial Q } { partial x } -frac { partial P } { partial y } }right)bar { k } =0$ в координатной форме сводится к равенствам $frac { partial R } { partial y } =frac { partial Q } { partial z } , frac { partial P } { partial z } =frac { partial R } { partial x } , frac { partial Q } { partial x } =frac { partial P } { partial y } $.

В нашем поле $P(x,y,z)=frac { ycos (xy) } { z } , Q(x,y,z)=frac { xcos (xy) } { z } ,R(x,y,z)=-frac { sin (xy) } { z^2 } $. Находим производные:

$frac { partial R } { partial y } =-frac { xcos (xy) } { z^2 } $,

$frac { partial Q } { partial z } =-frac { xcos (xy) } { z^2 } =frac { partial R } { partial y } $,

$frac { partial P } { partial z } =-frac { ycos (xy) } { z^2 } $,

$frac { partial R } { partial x } =-frac { ycos (xy) } { z^2 } =frac { partial P } { partial z } $,

$frac { partial Q } { partial x } =frac { cos (xy)-xysin (xy) } { z } $,

$frac { partial P } { partial y } =frac { cos (xy)-xysin (xy) } { z } =frac { partial Q } { partial x } $ Потенциальность поля доказана.

Ищем потенциал. Интеграл $varphi (M)=intlimits_ { mathop { M_0 M } limits^cup } { bar { a } dbar { r } } $ вычисляем по изображённому на рисунке пути, отправляясь от точки $mathbf { textit { M } } _ { 0 } $(0,0,1). $varphi (x,y,z)=intlimits_0^x { frac { 0cdot cos (xcdot 0) } { 1 } dx } +intlimits_0^y { frac { xcdot cos (xy) } { 1 } dy } -intlimits_1^z { frac { sin (xy) } { z^2 } dz } = =left. { sin (xy) }right|_0^y +left. { frac { sin (xy) } { z } }right|_1^z =sin (xy)+left[ { frac { sin (xy) } { z } -sin (xy) }right]=frac { sin (xy) } { z } $.

Если бы мы взяли в качестве точки $mathbf { textit { M } } _ { 0 } $ другую точку $mathbf { textit { M } } _ { 1 } $, то получили бы выражение, отличающееся на некоторую постоянную { более точно, на $C=intlimits_ { mathop { M_0 M_1 } limits^cup } { bar { a } dbar { r } } )$, поэтому $varphi (x,y,z)= frac { sin (xy) } { z } +C$.

Потенциал. Разность потенциалов. ЗАДАЧИ с решениями

Формулы, используемые на уроках «Решение задач на тему: Работа перемещения заряда в электрическом поле. Потенциал. Разность потенциалов» для подготовки к ЕГЭ.

---

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

---

Задача № 1.
 Металлический шар диаметром d заряжен с поверхностной плотностью зарядов σ. Найти потенциал φ этого шара, если он окружен заземленной проводящей сферой, имеющей общий с шаром центр. Диаметр сферы D. Среда — воздух.

---

Задача № 2.
 Потенциал заряженного шара φ₁ = 300 В. Чему равен потенциал φ₂ электрического поля этого шара в точке, отстоящей на расстоянии l = 50 см от его поверхности, если радиус шара R = 25 см?

---

Задача № 3.
 Определить потенциал φ точки поля, находящейся на расстоянии а =  9 см от поверхности заряженного шара радиусом R = 1 см, если поверхностная плотность зарядов на шаре σ = 1 • 10^–11 Кл/см². Среда — воздух.

---

Задача № 4.
 В точке 1 поля точечного заряда-источника потенциал φ₁ = 40 В, а в точке 2 φ₂ = 10 В. Найти потенциал φ в точке М, лежащей посередине между точками 1 и 2 (рис. 3-6). 

---

Задача № 5.
 В трех вершинах квадрата со стороной а = 20 см находятся заряды q₁ = 1 • 10^–8 Кл, q₂ = 2 • 10^–8 Кл и q₃ = 2 • 10^–8 Кл (рис. 3-7). Определить потенциал φ электрического поля, созданного этими зарядами в четвертой вершине. 

---

Задача № 6.
 Четыре одинаковых точечных заряда q расположены на одной прямой на расстоянии r друг от друга. Какую работу А надо совершить, чтобы переместить эти заряды в вершины тетраэдра со стороной r? Среда — вакуум.

---

Задача № 7.
Два одинаково заряженных шарика диаметрами d = 0,5 см каждый расположены на расстоянии l = 2 см между их поверхностями (рис. 3-14). До какого потенциала φ они заряжены, если сила их отталкивания друг от друга F = 2 мкН? Среда — воздух. 

---

Задача № 8.
 В однородном электрическом поле напряженностью Е = 2 кВ/см переместили заряд q = –20 нКл в направлении силовой линии поля на расстояние d = 10 см. Найти работу поля А, изменение потенциальной энергии поля ΔW_п и напряжение (разность потенциалов) U между начальной и конечной точками перемещения.

---

Задача № 9.
 Между двумя горизонтальными плоскостями, заряженными разноименно и расположенными на расстоянии d = 5 мм друг от друга, находится в равновесии капелька масла массой 20 нг (нанограмм) (рис. 3-10). Найти число избыточных электронов N на этой капельке. Среда — воздух. Разность потенциалов между плоскостями U = 2 кВ. 

---

Задача № 10.
 На пластине М поддерживается потенциал φ₁ = +80 В, а на пластине N – φ₂ = –80 В (рис. 3-11, а). Расстояние между пластинами d = 10 см. На расстоянии d₁ = 4 см от пластины М помещают заземленную пластину Р (рис. 3-11, б). Найти изменение напряженности ΔЕ₁ поля на участке МР и изменение напряженности поля ΔЕ₂ на участке PN при этом. Построить графики зависимостей напряженностей Е = Е(х) и потенциала φ = φ(х) от расстояния между точками поля и пластинами. 

---

Это конспект по теме «Потенциал. Разность потенциалов. ЗАДАЧИ с решениями». Выберите дальнейшие действия:

• Вернуться к списку конспектов по Физике.
• Проверить свои знания по Физике.

§ 6. Потенциал поля точечного заряда и заряда, равномерно распределённого по сферической поверхности

Примем потенциал бесконечности равным нулю. Тогда, используя (5.2), можно вывести, что на расстоянии $$ r$$ от точечного заряда $$ Q$$ потенциал электростатического поля:

Рис. 6.1

Возьмём теперь заряд $$ Q$$, равномерно распределённый по сфере радиуса $$ R$$ (рис. 6.1). 

Для нахождения потенциала на расстоянии $$ r$$ от центра сферы перенесём мысленно пробный заряд $$ q$$ из исследуемой точки в бесконечность и применим формулу (5.2). Для произвольной точки $$ K$$ вне сферы $$ {varphi }_{K}={A}_{Kinfty }/q$$, где $$ {A}_{Kinfty }$$ – работа сил поля над $$ q$$ при его перемещении из т. $$ K$$ в бесконечность. Эта работа не изменится, если весь заряд $$ Q$$ сферы поместить в  центр сферы, т. к. поля обоих зарядов $$ Q$$ при $$ r>R$$ совпадают (см. §3). Для  точечного заряда $$ Q$$ отношение $$ {A}_{Kinfty }/q$$ есть потенциал его поля в т. $$ K$$,  который находится по формуле (6.1). Итак, для сферы $$ {varphi }_{K}=kQ/r$$. В предельном случае при $$ r=R$$ получим потенциал сферы, равный `kQ//R`.

Для произвольной точки $$ B$$ внутри сферы  $$ {varphi }_{B}={A}_{BCinfty }/q={A}_{BC}+{A}_{Cinfty }/q$$.

Здесь $$ {A}_{Binfty }$$, $$ {A}_{BC}$$ и $$ {A}_{Cinfty }$$ – работа сил поля над зарядом $$ q$$ на участках $$ BCinfty $$,  `BC` и $$ Cinfty .$$ Внутри сферы поля нет, сила на $$ q$$ со стороны поля не действует и $$ {A}_{BC}=0$$. Тогда $$ {varphi }_{B}={A}_{Cinfty }/q$$. Но правая часть последнего равенства есть потенциал т. $$ C$$, т. е. потенциал сферы, равный `kQ//R`. Значит, потенциал любой точки внутри сферы равен потенциалу сферы: $$ {varphi }_{B}=kQ/R$$.

Итак, для заряда $$ Q$$, равномерно распределённого по сфере радиуса $$ R$$ потенциал поля вне сферы равен потенциалу точечного заряда, равного заряду сферы и помещённого в центре сферы (как и для напряжённости), а потенциал внутри сферы один и тот же и равен потенциалу сферы:

§
15. ПОТЕНЦИАЛ. ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ЗАРЯДОВ. РАБОТА ПО ПЕРЕМЕЩЕНИЮ ЗАРЯДА
В ПОЛЕ

Основные
формулы

 Потенциал
электрического поля есть величина,
равная отношению потенциальной энергии
точечного положительного заряда,
помещенную в данную точку поля, к этому
заряду;

=П/Q,

или
потенциал электрического поля есть
величина, равная отношению работы сил
поля по перемещению точечного
положительного заряда из данной точки
поля в бесконечность к этому заряду:

=A/Q.

Потенциал
электрического поля в бесконечности
условно принят равным нулю.

Отметим, что при
перемещении заряда в электрическом
поле работа A_в.с
внешних сил равна по модулю работе A_с.п
сил поля и противоположна ей по знаку:

A_в.с=
– A_с.п.

 Потенциал
электрического поля, создаваемый
точечным зарядом Q на
расстоянии r от заряда,

.

 Потенциал
электрического поля, создаваемого
металлической, несущей заряд Q сферой
радиусом R, на расстоянии
гот центра сферы:

внутри сферы
(r<R) ;

на поверхности
сферы (r=R)

;

вне сферы (r>R) .

Во всех приведенных
для потенциала заряженной сферы формулах
 есть диэлектрическая
проницаемость однородного безграничного
диэлектрика, окружающего сферу.

 Потенциал
электрического поля, созданного системой
п точечных зарядов, в данной точке
в соответствии с принципом суперпозиции
электрических полей равен алгебраической
сумме потенциалов ₁,
₂, … , _n,
создаваемых отдельными точечными
зарядами Q₁,
Q₂, …, Q_n:

 Энергия W
взаимодействия системы точечных зарядов
Q₁, Q₂,
…, Q_n
определяется работой, которую эта
система зарядов может совершить при
удалении их относительно друг друга
в бесконечность, и выражается формулой

,

где _i
— потенциал поля, создаваемого всеми
п–1 зарядами (за исключением 1-го) в
точке, где расположен заряд Q_i.

 Потенциал связан
с напряженностью электрического поля
соотношением

Е= –grad.

В случае электрического
поля, обладающего сферической симметрией,
эта связь выражается формулой

,

или в скалярной
форме

,

а
в случае однородного поля, т. е. поля,
напряженность которого в каждой точке
его одинакова как по модулю, так и по
направлению,

E=(₁–₂,)/d,

где ₁
и ₂
— потенциалы точек двух эквипотенциальных
поверхностей; d —
расстояние между этими поверхностями
вдоль электрической силовой линии.

 Работа, совершаемая
электрическим полем при перемещении
точечного заряда Q из
одной точки поля, имеющей потенциал ₁,
в другую, имеющую потенциал ₂,

A=Q(₁—₂),
или
,

где E_l
— проекция вектора напряженности Е
на направление перемещения; dl
— перемещение.

В случае однородного
поля последняя формула принимает вид

A=QElcos,

где l
— перемещение;  —
угол между направлениями вектора Е
и перемещения l.

Примеры
решения задач

Пример 1.
Положительные заряды Q₁=3
мкКл и Q₂=20
нКл находятся в вакууме на расстоянии
r₁=l,5
м друг от друга. Определить работу A,
которую надо совершить, чтобы сблизить
заряды до расстояния r₂=1
м.

Решение.
Положим, что первый заряд Q₁
остается неподвижным, а второй Q₂
под действием внешних сил перемещается
в поле, созданном зарядом Q₁,
приближаясь к нему с расстояния r₁=t,5
м до r₂=1 м.

Работа А’
внешней силы по перемещению заряда Q
из одной точки поля с потенциалом
₁
в другую, потенциал которой ₂,
равна по модулю и противоположна по
знаку работе А сил поля по перемещению
заряда между теми же точками:

А’= —А.

Работа А сил
поля по перемещению заряда A=Q(₁—₂).
Тогда работа А’ внешних сил может
быть записана в виде

A‘=
–Q(₁—₂)=Q(₂—₁). (1)

Потенциалы точек
начала и конца пути выразятся формулами

;

.

Подставляя выражения
₁
и ₂ в
формулу (1) и учитывая, что для данного
случая переносимый заряд Q=Q₂,
получим

. (2)

Если
учесть, что 1/(4₀)=910⁹
м/Ф, то после подстановки значений
величин в формулу (2) и вычисления найдем

A‘=180 мкДж.

Пример 2. Найти
работу А поля по перемещению заряда
Q=10 нКл из точки 1
в точку 2 (рис. 15.1), находящиеся между
двумя разноименно заряженными с
поверхностной плотностью =0,4
мкКл/м² бесконечными параллельными
плоскостями, расстояние l
между которыми равно 3 см.

Решение.
Возможны два способа решения задачи.

1-й способ.
Работу сил поля по перемещению заряда
Q из точки 1 поля с потенциалом ₁
в точку 2 поля с потенциалом ₂
найдем по формуле

A=Q(₁—₂). (1)

Для определения
потенциалов в точках 1 и 2 проведем
через эти точки эквипотенциальные
поверхности I и II.
Эти поверхности будут плоскостями, так
как поле между двумя равномерно
заряженными бесконечными параллельными
плоскостями однородно. Для такого поля
справедливо соотношение

₁—₂=El, (2)

где Е —
напряженность поля; l
— расстояние между эквипотенциальными
поверхностями.

Напряженность
поля между параллельными бесконечными
разноименно заряженными плоскостями
E=/₀.
Подставив это выражение Е в формулу
(2) и затем выражение ₁—₂
в формулу (1), получим

A=Q(/₀)l.

2-й способ. Так
как поле однородно, то сила, действующая
на заряд Q, при его перемещении
постоянна. Поэтому работу перемещения
заряда из точки 1 в точку 2 можно
подсчитать по формуле

A=Fr
cos, (3)

где F
— сила, действующая на заряд; r
— модуль перемещения заряда Q
из точки 1 в точку 2; 
— угол между направлениями перемещения
и силы. Но F=QE=Q(/₀).
Подставив это выражение F в равенство
(3), а также заметив, что rcos=l,
получим

A=Q(/₀)l. (4)

Таким образом, оба
решения приводят к одному и тому же
результату.

Подставив в
выражение (4) значение величин Q,
, ₀
и l, найдем

A=13,6
мкДж.

Пример 3. По
тонкой нити, изогнутой по дуге окружности
радиусом R,
равномерно распределен заряд с линейной
плотностью =10 нКл/м.
Определить напряженность Е и
потенциал 
электрического поля, создаваемого таким
распределенным
зарядом в точке О, совпадающей с
центром кривизны дуги. Длина l
нити составляет 1/3 длины окружности и
равна 15 см.

Решение. Выберем
оси координат так, чтобы начало координат
совпадало с центром кривизны дуги, а
ось у была симметрично расположена
относительно концов дуги (рис. 15.2). На
нити выделим элемент длины dl.
Заряд dQ=dl,
находящийся на выделенном участке,
можно считать точечным.

Определим
напряженность электрического поля в
точке О. Для этого найдем сначала
напряженность dE
поля, создаваемого зарядом dQ:

,

где r
—радиус-вектор, направленный от элемента
dl к
точке, напряженность в которой вычисляется.
Выразим вектор dE через проекции dE_x
c и dE_y
на оси координат:

,

где i
и j — единичные векторы
направлений (орты).

Напряженность Е
найдем интегрированием:

.

Интегрирование
ведется вдоль дуги длины l.
В силу симметрии интеграл

равен нулю. Тогда

, (1)

где
.
Так как r=R=const
и dl=Rd.
то

Подставим найденное
выражение dE_y
в (1) и, приняв во внимание симметричное
расположение дуги относительно оси Оу,
пределы интегрирования возьмем от 0 до
/3, а результат
удвоим;

.

Подставив указанные
пределы и выразив R
через длину дуги (3l=2r),
получим

.

Из этой формулы
видно, что вектор Е совпадает с
положительным направлением оси Оу
Подставив значение 
и l в последнюю формулу и сделав
вычисления, найдем

E=2,18
кВ/м.

Определим потенциал
электрического поля в точке О. Найдем
сначала потенциал d,
создаваемый точечным зарядом dQ
в точке О:

Заменим r
на R и произведем
интегрирование:

.Так
как l=2R/3,
то

=/(6₀).

Произведя вычисления
по этой формуле, получим

=188 В.

Пример 4.
Электрическое поле создана длинным
цилиндром радиусом R=1
см, равномерно заряженным с
линейной плотностью =20
нКл/м. Определить разность потенциалов
двух точек этого поля, находящихся на
расстояниях a₁=0,5
см и а₂=2 см от поверхности
цилиндра, в средней его части.

Решение. Для
определения разности потенциалов
воспользуемся соотношением между
напряженностью поля и изменением
потенциала Е= —grad.
Для поля с осевой симметрией, каким
является поле цилиндра, это соотношение
можно записать в виде

Е= –(d/dr),
или d=
—Еdr.

Интегрируя последнее
выражение, найдем разность потенциалов
двух точек, отстоящих на r₁
и r₂ от оси
цилиндра;

. (1)

Так как цилиндр
длинный и точки взяты вблизи его средней
части, то для выражения напряженности
поля можно воспользоваться формулой
.
Подставив это выражение Е в равенство
(1), получим

(2)

Так как величины
r₂ и r₁
входят в формулу в виде отношения, то
их можно выразить в любых, но только
одинаковых единицах:

r₁=R+a₁=1,5
см; r₂=R+a₂=3
см.

Подставив значения
величия , ₀,
r₁ и r₂
в формулу (2) и вычислив, найдем

₁—₂=250
В.

Пример 5.
Электрическое поле создано тонким
стержнем, несущим равномерно распределенный
по длине заряд =0,1
мкКл/м. Определить потенциал 
поля в точке, удаленной от концов стержня
на расстояние, равное длине стержня.

Решение. Заряд,
находящийся на стержне, нельзя считать
точечным, поэтому непосредственно
применить для вычисления потенциала
формулу

, (1)

справедливую
только для точечных зарядов, нельзя. Но
если разбить стержень на элементарные
отрезки dl,
то заряд dl,
находящийся на каждом из них, можно
рассматривать как точечный и тогда
формула (1) будет справедлива. Применив
эту формулу, получим

, (2)

где r
— расстояние точки, в которой
определяется потенциал, до элемента
стержня.

Из рис. 15.3 следует,
что dl=(rd/cos).
Подставив это выражение dl
в формулу (2), найдем.

Интегрируя
полученное выражение в пределах от ₁
да ₂,
получим потенциал, создаваемый всем
зарядом, распределенным на стержне:.

В
силу симметрии расположения точки А
относительно концов стержня имеем ₂=₁
и поэтому.

Следовательно,

.Так
как

Рис 15.3

(см. табл. 2), то.

Подставляя пределы
интегрирования, получим

Сделав вычисления
по этой формуле, найдем

=990 В.

Пример 6.
Электрон со скоростью v=1,8310⁶
м/с влетел в однородное электрическое
поле в направлении, противоположном
вектору напряженности поля. Какую
разность потенциалов U
должен пройти электрон, чтобы обладать
энергией E_i=13,6
эВ*? (Обладая такой энергией, электрон
при столкновении с атомом водорода
может ионизировать его. Энергия 13,6 эВ
называется энергией ионизации водорода.)

Решение.
Электрон должен пройти такую разность
потенциалов U, чтобы приобретенная
при этом энергия W в
сумме с кинетической энергией T,
которой обладал электрон перед вхождением
в поле, составила энергию, равную энергии
ионизации E_i,
т. е. W+T=E_i.
Выразив в этой формуле W=eU
и Т =(mv²/2),
получим eU+(mv²/2)=E_i.
Отсюда.

___________________

* Электрон-вольт
(эВ) — энергия, которую приобретает
частица, имеющая заряд, равный заряду
электрона, прошедшая разность потенциалов
1 В. Эта внесистемная единица энергии в
настоящее время допущена к применению
в физике.

Произведем
вычисления в единицах СИ:

U=4,15 В.

Пример 7. Определить
начальную скорость υ₀
сближения про­тонов, нахо­дя­щихся
на достаточно большом расстоянии друг
от друга, если минимальное расстояние
r_min, на которое
они могут сблизиться, равно 10^-11
см.

Р е ш е н и е. Между
двумя протонами действуют силы
оттал­кивания, вслед­ствие чего
движение протонов будет замедленным.
Поэтому задачу можно ре­шить как в
инерциальной системе коор­динат
(связанной с центром масс двух протонов),
так и в неинер­циальной (связанной с
одним из ускоренно движу­щихся
протонов). Во втором случае законы
Ньютона не имеют места. Примене­ние
же принципа Даламбера затруднительно
из-за того, что ускорение системы будет
переменным. Поэтому удобно рассмотреть
задачу в инерциальной сис­теме отсчета.

Поместим начало
координат в центр масс двух протонов.
По­скольку мы имеем дело с одинаковыми
частицами, то центр масс будет находиться
в точке, делящей пополам отрезок,
соединяющий частицы. Относительно
центра масс частицы будут иметь в любой
момент времени одинаковые по модулю
скоро­сти. Когда частицы находятся
на достаточно большом расстоянии друг
от друга, скорость υ₁ каждой
частицы равна половине υ₀,
т. е. υ₁ =υ₀/2.

Для решения задачи
применим закон сохранения энергии,
со­гласно кото­рому полная механическая
энергия Е изолированной системы
постоянна, т. е.

Е=Т+П,

где Т — сумма
кинетических энергий обоих протонов
относительно центра масс; П — потенциальная
энергия системы зарядов.

Выразим потенциальную
энергию в начальный П₁ и конечный
П₂ моменты движения.

В начальный момент,
согласно условию задачи, протоны
нахо­дились на большом расстоянии,
поэтому потенциальной энергией можно
пренебречь (П₁=0). Следовательно,
для начального момента полная энергия
будет равна кинетической энергии T₁
протонов, т. е.

E=T_l.
(1)

В конечный момент,
когда протоны максимально сблизятся,
скорость и кинети­ческая энергия
равны нулю, а полная энергия будет равна
потенциальной энер­гии П₂, т. е.

Е=П₂.
(2)

Прирав­няв правые
части равенств (1) и (2), получим

T₁=П₂.
(3)

Кинети­ческая
энергия равна сумме кинетических энергий
про­тонов:

(4)

Потенциальная
энергия системы двух зарядов Q₁
и Q₂, находя­щихся
в вакууме, определяется по формуле
,
где r — расстоя­ние
между зарядами. Воспользовавшись этой
формулой, полу­чим

(5)

С учетом равенств
(4) и (5) формула (3) примет вид

откуда

Выполнив вычисления
по полученной формуле, найдем υ₀=2,35
Мм/с.

Пример
8. Электрон без на­чальной скорости
прошел разность потен­циалов U₀=10
кВ и влетел в пространство между
пластинами плоского конденсатора,
заряжен­ного до разности потенциалов
U_l=100 В, по ли­нии АВ,
парал­лельной пластинам (рис. 15.4).
Рас­стояние d между пла­стинами
равно 2 см. Длина l₁
­пластин конденсатора в нап­равлении
по­лета элек­трона, равна 20 cм.
Определить рас­стояние ВС на
экране Р, от­стоящем от конденсатора
на l₂=1 м.

Р е ш е н и е. Движение
электрона внутри конденсато­ра
складыва­ется из двух дви­жений: 1)
по инерции вдоль линии АВ с постоянной
скоро­стью υ₀, приобретенной
под действием разности потенциалов U₀,
кото­рую электрон прошел до
конденсатора; 2) равномерно ускоренного
дви­жения в вертикальном направлении
к положительно заряженной пла­стине
под действием постоянной силы поля
конденсатора. По вы­ходе из конденсатора
электрон будет двигаться равномерно
со скоро­стью υ, которую он имел
в точке М в момент вылета из
кон­денсатора.

Из рис. 15.4 видно,
что искомое расстояние |BC|=h₁+h₂,
где с h₁ — рас­стояние, на
которое сместится электрон в вертикальном
направлении во время движения в
конденсаторе; h₂ — расстояние
между точкой D на эк­ране, в которую
электрон попал бы, двигаясь по выходе
из конденса­тора по направлению
начальной скорости υ₀, и точкой
С, в которую электрон попадет в
действительности.

Выразим отдельно
h₁ и h₂. Пользуясь
формулой длины пути равно­мерно
ускоренного движе­ния, найдем

.
(1)

где а — ускорение,
полученное электроном под действием
поля конден­сатора; t- время полета
электрона внутри конденсатора.

По второму закону
Ньютона a=F/m, где F — сила, с которой
поле дей­ствует на электрон; т- его
масса. В свою очередь, F
=eE=eU₁/d, где е — заряд
электрона; U₁ — разность
потенциалов между пластинами конден­сатора;
d — расстояние между ними. Время
полета электрона внутри конденсатора
найдем из фор­мулы пути равномерного
движения
,
откуда

где l₁
— длина конденсатора в направлении
полета электрона. Выраже­ние скорости
найдем из условия равенства работы,
совер­шенной полем при перемещении
электрона, и приобретенной им кинетической
энер­гии:.
Отсюда

(2)

Подставляя в
формулу (1) последовательно значения а,
F, t и υ₀²
из со­ответствующих выражений,
получим

Длину отрезка h₂
найдем из подобия треугольников MDC
и век­тор­ного:

(3)

где υ₁
— скорость электрона в вертикальном
направлении в точке М; l₂—
расстояние от конденсатора до экрана.

Скорость υ₁
найдем по формуле υ₁=at, которая
с учетом выра­жений для а, F и t
примет вид

Подставив выражение
υ₁ в формулу (3), получим
,
или, заменив υ₀² по
формуле (3), найдем

Окончательно для
искомого расстояния |BC|
будем иметь

|BC|=­

­Подставив
значения величин U₁, U₀,
d, l₁ и l₂
в последнее выражение и произведя
вычисления, получим |BC|=5,5cм.

Задачи

Потенциальная
энергия и потенциал поля точечных
зарядов

15.1. Точечный
заряд Q = 10 нКл, находясь в некоторой
точке поля, обладает потенциальной
энергией П = 10 мкДж. Найти потенциал φ
этой точки поля.

5.2. При перемещении
заряда Q=20 нКл между двумя точками
поля внеш­ними силами была совершена
работа А=4 мкДж. Определить работу
A₁ сил поля и разность Δφ
потенциалов этих точек поля.

15.3. Электрическое
поле создано точечным положительным
заря­дом Q₁=6 нКл. Положительный
заряд Q₂ переносится из точки
А этого поля в точку В (рис. 15.5).
Каково изменение потенциаль­ной
энергии ΔП, приходящееся на единицу
переносимого заряда, если r₁=20
см и r₂=50 см?

15.4. Электриче­ское
поле создано точечным зарядом Q_l=50
нКл. Не пользуясь понятием потенциала,
вычислить работу А в
нешних
сил по пе­ремещению точечного заряда
Q₂= -2 нКл из точки С в точку
В

(рис. 15.6), если r₁=10
см, r₂=20 см.
Определить также измене­ние ΔП
потенциальной энергии сис­темы
зарядов.

15.5. Поле создано
точечным зарядом Q=1 нКл. Определить
потен­циал φ поля в точке, удаленной
от заряда на расстояние r=20
см.

15.6. Определить
потенциал φ электрического поля в точке,
,удаленной от зарядов Q₁= -0,2
мкКл и Q₂=0,5 мкКл соответственно
на r₁=15 см и r₂=25
см. Определить также минимальное и
мак­симальное расстояния между
зарядами, при которых возможно решение.

15.7. Заряды Q₁=1
мкКл и Q₂= -1 мкКл находятся
на рас­стоянии d=10 см. Определить
напряженность Е и потенциал φ поля
в точке, уда­ленной на рас­стояние
r= 10 см от первого
заряда и лежащей на линии, проходящей
через первый заряд перпенди­кулярно
направлению от Q₁ к Q₂.

15.8. Вычислить
потенциальную энергию П системы двух
точеч­ных зарядов Q₁=100 нКл
и Q₂=10 нКл, находящихся на
рас­стоянии d=10 см друг от друга.

15.9. Найти
потенциальную энергию П системы трех
точечных за­рядов Q₁=10 нКл,
Q₂=20 нКл и Q₃= -30
нКл, расположенных в вершинах
равностороннего треугольника со стороной
длиной a=10 см.

15.10. Какова
потенциальная энергия П системы четырех
одинако­вых то­чечных зарядов Q=10
нКл, расположенных в верши­нах квадрата
со стороной дли­ной а=10 см? .

15.11. Определить
потенциальную энергию П системы четырех
то­чечных зарядов, расположенных в
вершинах квадрата со стороной дли­ной
a=10 см. За­ряды одинаковы по модулю
Q=10 нКл,но два из них отрицательны.
Рассмотреть два возможных случая
расположения зарядов.

15.12.
Поле создано двумя точечными зарядами
+2Q и -Q, находящимися на
расстоянии d=12 см друг от друга.
Определить геометрическое место точек
на плоскости, для которых потенциал
равен нулю (написать уравнение линии
нулевого потенциала).

5.13. Система
состоит из трех зарядов — двух одинаковых
по величине Q₁=|Q₂|=1
мкКл и противоположных по знаку и заряда
Q=20 нКл, расположенного точке 1
посередине между двумя другими зарядами
системы (рис. 15.7). Определить изменение
потенциальной энергии ΔП системы при
переносе заряда Q из точ­ки 1 в
точку 2. Эти точки удалены от отрицательного
заряда Q₁ на расстояние а=0,2
м.