Как найти потенциал шара формула - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Формулировка
закона Кулона: «Сила
электростатического взаимодействия
между двумя точечными электрическими
зарядами прямо пропорциональна
произведению величин зарядов, обратно
пропорциональна квадрату расстояния
между ними и направлена вдоль соединяющей
их прямой так, что одноименные заряды
отталкиваются, а разноименные
притягиваются».

Следует
отметить, что закон Кулона применим для
расчета взаимодействия точечных зарядов
и тел шарообразной формы при равномерном
распределении заряда по их поверхности
или объёму.

Точечным
зарядом называется
заряженное тело, размерами которого
можно пренебречь по сравнению с
расстояниями до других тел, несущих
электрический заряд.

Напряженность
электрического поля. Количественной
характеристикой силового действия
электрического поля на заряженные тела
служит векторная величина E,
называемая напряжённостью
электрического поля.

E = F / q_пр.

Она определяется
отношением силы F,
действующей со стороны поля на точечный
пробный заряд q_пр,
помещенный в рассматриваемую точку
поля, к величине этого заряда

Принцип
суперпозиции. Напряжённость
поля, создаваемого системой неподвижных
точечных зарядов q₁, q₂, q₃, , q_n,
равна векторной сумме напряжённостей
электрических полей, создаваемых каждым
из этих зарядов в
отдельности:

где r_i –
расстояние между зарядом q_i и
рассматриваемой точкой поля.

Принцип
суперпозиции,
позволяет рассчитывать не только
напряжённость поля системы точечных
зарядов, но и напряженность поля в
системах, где имеет место непрерывное
распределение заряда. Заряд тела можно
представить как сумму элементарных
точечных зарядов dq

Поток
вектора напряжённости
электрического поля через
любую произвольно выбранную замкнутую
поверхность пропорционален заключённому
внутри этой поверхности электрическому
заряду

—
поток
вектора напряжённости электрического
поля через замкнутую поверхность .

Напряженность
поля, создаваемого, бесконечной равномерно
заряженной плоскостью.

Пусть
плоскость имеет бесконечную протяженность
и заряд на единицу площади равен σ. Из
законов симметрии следует, что поле
направлено всюду перпендикулярно
плоскости, и если не существует никаких
других внешних зарядов, то поля по обе
стороны плоскости должны быть одинаковы.
Ограничим часть заряженной плоскости
воображаемым цилиндрическим ящиком,
таким образом, чтобы ящик рассекался
пополам и его образующие были
перпендикулярны, а два основания, имеющие
площадь S каждое, параллельны заряженной
плоскости (рис 1.10).

Суммарный
поток вектора; напряженности равен
вектору  ,
умноженному на площадь S первого
основания, плюс поток вектора  через
противоположное основание. Поток
напряженности через боковую поверхность
цилиндра равен нулю, т.к. линии напряженности
их не пересекают. Таким образом,  С
другой стороны по теореме Гаусса

Следовательно

но тогда
напряженность поля бесконечной равномерно
заряженной плоскости будет равна

Напряженность
поля равномерно заряженной бесконечной
прямолинейной нити (или цилиндра).

Предположим,
что полая цилиндрическая поверхность
радиуса R заряжена с постоянной линейной
плотностью .

Проведем
коаксиальную цилиндрическую поверхность
радиуса Поток
вектора напряженности через эту
поверхность

По
теореме Гаусса

Из
последних двух выражений определяем
напряженность поля, создаваемого
равномерно заряженной нитью:

Электростатическое
поле шара.

Пусть
имеем шар радиуса R, равномерно заряженный
с объемной плотностью .

В
любой точке А, лежащей вне шара на
расстоянии r от его центра (r>R), его поле
аналогично полю точечного заряда ,
расположенного в центре шара. Тогда вне
шара

(13.10)

а
на его поверхности (r=R)

(13.11)

В
точке В, лежащей внутри шара на расстояний
r от его центра (r>R), поле определяется
лишь зарядом ,
заключенным внутри сферы радиусом r.
Поток вектора напряженности через эту
сферу равен

с
другой стороны, в соответствии с теоремой
Гаусса

Из
сопоставления последних выражений
следует

Электростатический
потенциа́л (см.
также кулоновский
потенциал) — скалярная энергетическая характеристика электростатического
поля,
характеризующая потенциальную
энергию поля,
которой обладает единичный заряд,
помещённый в данную точку поля. Единицей
измерения потенциала
является, таким образом, единица
измерения работы,
деленная на единицу измерения заряда

Напряжённость
электростатического поля и
потенциал связаны
соотношением

или
обратно:

Физический
смысл потенциала —
работа по переносу заряда из точки в
бесконечность.

потенциал
точечного заряда.

Потенциал
поля в данной точке пространства равен
работе, которую совершают электрические
силы при удалении единичного положительного
заряда из данной точки в бесконечность.

Потенциал
φ∞ поля точечного заряда Q на расстоянии
r от него относительно бесконечно
удаленной точки вычисляется следующим
образом:

Потенциал
от заряженного шара вычислим через
электрическое поле, при этом удобно
ноль потенциала установить на
бесконечности. Общая формула для
потенциала всевозможных шаров (полых,
сплошных):

Подставляя
вместо E найденные
значения, получим:

любой шар, потенциал вне шара (такой же, как от точечного заряда):
внутри полого шара потенциал не меняется (R — радиус шара):
внутри заряженного равномерно по объёму сплошного шара:

Электри́ческий
ди́польный моме́нт — векторная физическая
величина,
характеризующая, наряду с суммарным
зарядом (и реже используемыми высшими
мультипольными моментами), электрические
свойства системы заряженных
частиц (распределения зарядов)
в смысле создаваемого ею поля и действия
на нее внешних полей. Главная после
суммарного заряда и положения системы
в целом (ее радиус-вектора) характеристика
конфигурации зарядов системы при
наблюдении ее издали.

Вектор
поляризации —
векторная физическая величина,
равная дипольному
моменту единицы
объёма вещества, возникающему при его
поляризации, количественная
характеристика диэлектрической
поляризации

Диэлектрическая
поляризация обусловлена смещением
связанных зарядов вещества
во внешнем электрическом поле относительно
их расположения при отсутвии внешнего
электрического поля. Если выделить
какой либо объём в диэлектрике,
то в результате приложения поля на его
поверхности могут возникнуть поверхностные
электрические заряды .
Такие заряды могут возникнуть или
благодаря смещению электронной
оболочки относительно ядра
атома, или же в результате переориентации
молекул, которые имеют собственный дипольный
момент.

Нормальную
к поверхности составляющую вектора
поляризации определяют как

где — орт нормали
к поверхности.

Из-за
поляризации диэлектрика на поверхность
пластины, об-ращенную в сторону
положительно заряженной плоскости,
выступают отрицательно за-ряженные
части молекул, а с противоположной
стороны пластины — соответственно
вы-ступают части молекул, заряженные
положительно. Эти заряды называют
связанными. Они возникают на поверхности
диэлектрика лишь при наличии внешнего
электри-ческого поля. Плотность связанных
зарядов пропорциональна величине
Е_n(нормальной
к поверхности диэлектрика составляющей
напряженности внешнего элек-трического
поля Е).

Для
количественного описания эффекта
ослабления внешнего электрического
поля в диэлектрике вводится безразмерная
величина ε,
называемая диэлектрической
проницаемостью среды.
Она показывает, во сколько раз в
диэлектрике ослабляется нормальная
составляющая Е_n внешнего
элек-трического поля. В рассмотренном
примере поле Е_д в
диэлектрике равно

Е_д =
Е/ε (1.62)Напряженность поля точечного
заряда q, помещенного в однородный
диэлектрик с диэлектрической
проницае-мостью ε, будет равна

Для
описания электрического поля в
диэлектриках поми-мо напряженности
электрического поля часто используют
еще одну векторную величину,
называемую электрическим
смещением (индукцией) D.

D =
ε₀εE(1.64)

Удобство
применения этой величины обусловлено
тем, что нормальная составляющая вектора
электрического смещения D не
изменяется при переходе через границу
диэлектрика. Единицей электрического
смещения служит кулон на квадратный
метр (Кл/м²).

Электрическое
смещение —
векторная величина, равная сумме вектора
напряжённости электрического поля и
вектора поляризации (Кл/м²).

Поток
вектора D сквозь
поверхность:

Уравнения
для вектора индукции в СГС имеют вид
(2ая пара уравнений
Максвелла)

Здесь — плотность свободных зарядов,
а — плотность
тока свободных зарядов.
Введение вектора ,
таким образом, позволяет исключить из
уравнений Максвелла неизвестные
молекулярные токи и поляризационные
заряды.

Если
уединенный проводник имеет заряд q, то
вокруг него существует электрическое
поле, потенциал которого на поверхности
проводника равен  ,
а емкость — С. Увеличим заряд на величину
dq. При переносе заряда dq из бесконечности
должна быть совершена работа равная  .
Но потенциал электростатического поля
данного проводника в бесконечности
равен нулю  .
Тогда

При
переносе заряда dq с проводника в
бесконечность такую же работу совершают
силы электростатического поля.
Следовательно, при увеличении заряда
проводника на величину dq возрастает
потенциальная энергия поля, т.е.

Проинтегрировав
данное выражение, найдем потенциальную
энергию электростатического поля
заряженного проводника при увеличении
его заряда от нуля до q:

Применяя
соотношение ,
можно получить следующие выражения для
потенциальной энергии W:

(16.2)

Для
заряженного конденсатора разность
потенциалов (напряжение) равна поэтому
соотношение для полной энергии его
электростатического поля имеют вид

Будем
рассматривать уединенный
проводник,
т. е. проводник, значительно удаленный
от других проводников, тел и зарядов.
Его потенциал, как известно, прямо
пропорционален заряду проводника. Из
опыта известно, что разные проводники,
будучи при этом одинаково заряженными,
имеют различные потенциалы. Поэтому
для уединенного проводника можно
записать

Величину

(1)

называют электроемкостью (или
просто емкостью)
уединенного проводника. Емкость
уединенного проводника задается зарядом,
сообщение которого проводнику изменяет
его потенциал на единицу.

Емкость
уединенного проводника зависит от его
размеров и формы, но не зависит от
материала, формы и размеров полостей
внутри проводника, а также его агрегатного
состояния. Причиной этому есть то, что
избыточные заряды распределяются на
внешней поверхности проводника. Емкость
также не зависит ни от заряда проводника,
ни от его потенциала.

Единица
электроемкости — фарад (Ф):
1 Ф — емкость такого уединенного
проводника, у которого потенциал
изменяется на 1 В при сообщении ему
заряда 1 Кл.

Согласно
формуле потенциала точечного заряда,
потенциал уединенного шара радиуса R,
который находится в однородной среде
с диэлектрической проницаемостью ε,
равен

Применяя
формулу (1), получим, что емкость
шара

(2)

Из
этого следует, что емкостью 1 Ф обладал
бы уединенный шар, находящийся в вакууме
и имеющий радиус R=C/(4πε₀)≈9•10⁶ км,
что примерно в 1400 раз больше радиуса
Земли (электроемкость Земли С≈0,7 мФ)

Конденса́тор (от лат. condensare —
«уплотнять», «сгущать») — двухполюсник с
определённым значением ёмкости и
малой омической проводимостью;
устройство для накопления заряда и
энергии электрического поля. Конденсатор
является пассивным электронным
компонентом. В простейшем варианте
конструкции состоит из двух электродов
в форме пластин (называемых обкладками),
разделённых диэлектриком,
толщина которого мала по сравнению с
размерами обкладок

Примерами
конденсаторов с другой конфигурацией
обкладок могут служить сферический и
цилиндрический конденсаторы. Сферический
конденсатор –
это система из двух концентрических
проводящих сфер радиусов R₁ и R₂. Цилиндрический
конденсатор –
система из двух соосных проводящих
цилиндров радиусов R₁ и R₂ и
длины L.
Емкости этих конденсаторов, заполненных
диэлектриком с диэлектрической
проницаемостью ε, выражаются формулами:

(сферический конденсатор),
(цилиндрический конденсатор).

Основной
характеристикой конденсатора является
его ёмкость,
характеризующая способность конденсатора
накапливать электрический
заряд.
В обозначении конденсатора фигурирует
значение номинальной ёмкости, в то время
как реальная ёмкость может значительно
меняться в зависимости от многих
факторов. Реальная ёмкость конденсатора
определяет его электрические свойства.
Так, по определению ёмкости, заряд на
обкладке пропорционален напряжению между
обкладками (q
= CU).
Типичные значения ёмкости конденсаторов
составляют от единиц пикофарад до тысяч
микрофарад. Однако существуют конденсаторы
(ионисторы)
с ёмкостью до десятков фарад.

Ёмкость
плоского конденсатора, состоящего из
двух параллельных металлических пластин
площадью S каждая,
расположенных на расстоянии d друг
от друга, в системе СИ
выражается формулой: ,
где — относительная
диэлектрическая проницаемость среды,
заполняющей пространство между пластинами
(в вакууме равна единице), —электрическая
постоянная,
численно равная 8,854187817·10⁻¹² Ф/м. Эта
формула справедлива, лишь когда d много
меньше линейных размеров пластин.

Для
получения больших ёмкостей конденсаторы
соединяют параллельно. При этом напряжение
между обкладками всех конденсаторов
одинаково. Общая ёмкость батареи
параллельно соединённых
конденсаторов равна сумме ёмкостей
всех конденсаторов, входящих в батарею.

Электрический
ток — упорядоченное
движение заряженных частиц под действием
сил электрического поля или сторонних
сил.

За
направление тока выбрано направление
движения положительно заряженных
частиц.

Электрический
ток называют постоянным,
если сила тока и его направление не
меняются с течением времени.

Сила
тока —
скалярная физическая величина, равная
отношению заряда, прошедшего через
проводник, ко времени, за которое этот
заряд прошел.

где I —
сила тока, q — величина
заряда (количество электричества), t —
время прохождения заряда.

Как
правило, большая часть работы электрического
тока выделяется в виде тепла. Мощностью тепловых
потерь называется величина, равная количеству
выделившегося тепла в единицу
времени. Согласно закону Джоуля —
Ленца мощность тепловых потерь в
проводнике пропорциональна силе
протекающего тока и приложенному
напряжению:

Мощность
измеряется в ваттах.

Плотность
тока —
векторная физическая величина, равная
отношению силы тока к площади поперечного
сечения проводника.

где j —плотность
тока, S — площадь
сечения проводника.

Направление
вектора плотности тока совпадает с
направлением движения положительно
заряженных частиц.

Напряжение — скалярная
физическая величина, равная отношению
полной работе кулоновских и сторонних
сил при перемещении положительного
заряда на участке к значению этого
заряда.

где A — полная
работа сторонних и кулоновских сил, q —
электрический заряд.

Электрическое
сопротивление —
физическая величина, характеризующая
электрические свойства участка цепи.

где ρ —
удельное сопротивление проводника, l — длина
участка проводника, S — площадь
поперечного сечения проводника.

Проводимостью называется
величина, обратная сопротивлению

где G — проводимость.

Для
существования постоянного электрического
тока необходимо наличие свободных
заряженных частиц и наличие источника
тока. в котором осуществляется
преобразование какого-либо вида энергии
в энергию электрического поля.

Источник
тока —
устройство, в котором осуществляется
преобразование какого-либо вида энергии
в энергию электрического поля. В источнике
тока на заряженные частицы в замкнутой
цепи действуют сторонние силы. Причины
возникновения сторонних сил в различных
источниках тока различны. Например в
аккумуляторах и гальванических элементах
сторонние силы возникают благодаря
протеканию химических реакций, в
генераторах электростанций они возникают
при движении проводника в магнитном
поле, в фотоэлементах — при действия
света на электроны в металлах и
полупроводниках.

Электродвижущей
силой источника тока называют
отношение работы сторонних сил к величине
положительного заряда, переносимого
от отрицательного полюса источника
тока к положительному.

Закон
Ома для однородного участка цепи.

Сила
тока в однородном участке цепи прямо
пропорциональна напряжению при постоянном
сопротивлении участка и обратно
пропорциональна сопротивлению участка
при постоянном напряжении.

где U — напряжение
на участке, R —
сопротивление участка.

Закон
Ома для произвольного участка цепи,
содержащего источник постоянного тока.

где φ₁— φ₂+ ε = U напряжение
на заданном участке цепи, R —
электрическое сопротивление заданного
участка цепи.

Закон
Ома для полной цепи.

Сила
тока в полной цепи равна отношению
электродвижущей силы источника к сумме
сопротивлений внешнего и внутреннего
участка цепи.

где R — электрическое
сопротивление внешнего участка цепи, r —
электрическое сопротивление внутреннего
участка цепи.

Исходя
из закона Ома имеем:

А
мы знаем, что или .
Отсюда можно записать

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Теорема Гаусса и постулат Максвелла, представленные в интегральной форме, дают возможность решить ряд задач в тех случаях, когда условия симметрии таковы, что в каждой точке замкнутой поверхности интегрирования (поверхности симметрии), охватывающей заряды, вектор напряженности поля (или электрического смещения )

имеет одно и то же значение и может быть вынесен из-под интеграла.

Пример 1. Точечный заряд q = 10^-9 Кл помещен в начале сферической системы координат. Определить напряжение между точками а (R_a = 4см, q_а = 45^°, j_а = 0^°) и b (R_b = 8см, , q_b = 180^°, j_b = 90^°) и напряженность в тех же точках, если окружающей средой является воздух.

Решение.

Решение будем проводить с помощью теоремы Гаусса (1.9), так как среда однородна.

Поскольку поле точечного заряда характеризуется сферической симметрией, то, если в качестве поверхности интегрирования взять поверхность сферы с центром в точке, где расположен заряд (в нашем случае это начало системы координат), то в любой точке на поверхности этой сферы напряженность поля будет иметь одно и то же значение. Направление же вектора будет совпадать с направлением радиуса, то есть перпендикулярно к поверхности сферы. В связи с этим, интеграл по этой поверхности, составленный по теореме Гаусса, можно преобразовать следующим образом:

Поскольку данный интеграл (согласно теореме Гаусса) равен отношению заряда, помещенного внутри сферы, к диэлектрической проницаемости среды, то напряженность поля будет определяться соотношением

Е_r = q/(4pe₀r²).

Здесь индекс r у напряженности проставлен для того, чтобы показать, что напряженность поля имеет одну составляющую, направленную по радиусу.

Отметим, что данная формула полностью соответствует выражению (1.1), полученному из закона Кулона.

Поскольку напряженность электрического поля в данном случае имеет только радиальную составляющую, величина которой является функцией радиуса и не зависит от угловой координаты, то в указанных в исходном задании точках она будет равна:

E(r_a)=q/(4pe₀r_a²)=10^-9/(4p?8.85·10^-12·0.04²)=5.62кВ/м.

E(r_в)=q/(4pe₀r_в²)=10^-9/(4p8.85·10^-12·0.08²)=1.405кВ/м.

Разность потенциалов между точками а и в определяется при помощи выражения (1.6). Эта разность в потенциальном поле не зависит от пути интегрирования. Поэтому, если разбить путь интегрирования на две части и сначала проводить интегрирование вдоль радиуса от точки а до точки, которая является точкой пересечения продолжения этого радиуса с поверхностью воображаемой сферы с центром в начале координат и радиусом r_в, а затем проводить интегрирование по любой линии, лежащей на поверхности этой серы от данной точки до точки в, то интеграл вдоль этой линии будет равен нулю, поскольку вектор напряженности поля имеет одну составляющую, направленную вдоль радиуса, а подинтегральным выражением в формуле (1.6) является скалярное произведение вектора напряженности поля и вектора dl, который совпадает с касательной к поверхности сферы.

Таким образом, разность потенциалов между точками а и в будет равна

В.

Пример 2. Уединенный проводящий шар радиусом R₀ = 6 см, поверхностная плотность заряда которого s = 0,1*10^-6 Кл/м², помещен в диэлектрик (e_r = 3).

Определить закон изменения напряженности поля и потенциала в функции расстояния r от центра шара, приняв потенциал равным нулю в бесконечности. Рассчитать напряжение между точками, одна из которых лежит на поверхности шара, а другая – на расстоянии 20 см от его поверхности. Вычислить емкость шара.

Решение.

Поле внутри проводящего шара отсутствует. Поле вне шара обладает сферической симметрией, поэтому рассчитывается с помощью теоремы Гаусса точно так же как и для точечного заряда.

Здесь в качестве поверхности интегрирования взята поверхность сферы радиуса r ?

R₀ с центром, совпадающим с центром шара.

Заряд шара определяется через поверхностную плотность

q = s·4p·R₀².

Таким образом, напряженность поля вне шара имеет только одну радиальную составляющую и равна

Е_r = s·R₀²/(e_re₀r²) =

0,1·10^-6·0,06²/(3·8,85·10^-12r²).

Потенциал в любой точке вне шара, находящейся на расстоянии r от его центра, определяется с помощью выражения (1.5), которое с учетом того, что напряженность поля направлена вдоль радиуса, будет иметь следующий вид:

Потенциал шара равен потенциалу любой точки, лежащей на поверхности шара (r = R₀) U =

13,56/0,06 = 173,8 В.

Разность потенциалов между любыми точками А (r = R_A) и В (r = R_В) определяется с помощью следующей формулы:

UA – UВ = 13,56· (1/RA – 1/RВ).

Таким образом, разность потенциалов между точкой, лежащей на поверхности шара, и точкой, отстоящей от поверхности на расстоянии 20 см, равна

UAВ = 13,56· (1/0,06 – 1/0,26) = 173,8 В.

Емкость шара можно определяется выражением (1.19)

С = 4·p·ere0·R0 = 4·p·3·8,85·10-12·0,06 = 2·10-11 Ф.

Пример 3.

Шар из диэлектрика (e_r = 4) заряжен и расположен в воздухе. Объемная плотность заряда является функцией расстояния r от центра шара: r = k*r,

где k = 0,05p [Кл/м⁴].

Радиус шара R = 2см. Рассчитать и построить графики изменения потенциала и напряженности поля вдоль радиуса.

Решение. В

данном случае поле также обладает сферической симметрией, но область не однородна. Поэтому здесь удобнее применять постулат Максвелла (1.10).

Так, при 0 ? r ? R где s – сферическая поверхность радиусом r с

центром, совпадающим с центром шара; v – объем, заключенный внутри этой поверхности.

Перепишем уравнение с учетом симметрии поля

Отсюда находим радиальную составляющую вектора электрического смещения:

D_r = 0,25·k·r².

Напряженность электрического поля, которая также как и вектор электрического смещения направлена по радиусу, внутри шара будет равна

(1.8):

E₁_r = D_r/e_re₀ = 0,25·k·r²/e_re₀.

Вне шара (r ? R) электрическое смещение, исходя из постулата Максвелла, определяется следующим образом:

Следовательно, электрическое смещение и напряженность поля будут равны:

D_r = 0,25·k·R⁴/r²; E_r = D_r/e₀.

Графики изменения напряженности поля и вектора электрического смещения представлены на рис.1.4. Значения напряженности поля и вектора электрического смещения даны в относительных единицах. За базисные значения приняты значения этих величин на поверхности шара, которые для заданных исходных данных соответственно равны E_rb = 4,435·10⁵В/м; D_rb = 1,571·10^-5Кл/м².

Потенциал поля внутри шара можно определить по формуле

где С₁ – постоянная интегрирования.

Принимая потенциал бесконечно удаленной точки равным нулю, определим потенциал любой произвольной точки в области вне шара.

Постоянную интегрирования С₁ можно определить из условия равенства потенциалов U₁ и U₂ на поверхности шара (при r = R)

Отсюда

График изменения потенциала вдоль радиуса также в относительных единицах показан на рис.1.4. За базисное значение потенциала принято значение потенциала на поверхности шара U_b = 35.5кВ.

Отметим, что если бы объемная плотность заряда r оставалась постоянной, то напряженность поля и потенциалы поля в соответствующих подобластях определялись бы следующими выражениями:

E₁ = r·r/(3·e_re₀); U₁ = – r·r²/(6·e_re₀) + C₁;

E₂ = r·R³/(3·e₀·r²);

U₂ = r·R³/(3·e₀·r).

Постоянная С₁ в этом случае определяется также из условия равенства потенциалов U₁ и U₂ на поверхности шара

С₁ = r·R³· (1+2·e_r)/(6·e₀·e_r).

Пример 4. Сферический конденсатор с двухслойным диэлектриком имеет радиус внутренней сферы r₁=12 мм, внутренний радиус наружной сферы – r₃=22 мм и радиус поверхности раздела диэлектриков – r₂=16 мм.

Относительное значение диэлектрической проницаемости внутреннего слоя диэлектрика e_r₁=5, наружного слоя – e_r₂=3. Разрез конденсатора показан на рис.1.5. Заряд конденсатора q = 10^-8Кл.

Определить и построить график изменения напряженности поля вдоль радиуса. Найти разность потенциалов между электродами. Вычислить емкость конденсатора. Изменяя радиус поверхности раздела диэлектриков r₂ и значение диэлектрической проницаемости наружного слоя e_r₂ получить конденсатор с наилучшим использованием двухслойного диэлектрика. Рассчитать емкость данного конденсатора и сопоставить ее с емкостью исходного конденсатора.

Решение. Используя постулат Максвелла для любой сферической поверхности радиусом r, построенной внутри k-го слоя (k=1,2) диэлектрика с диэлектрической проницаемостью e_rk, получим выражение для вектора электрического смещения и напряженности электрического поля

D_k= q/(4pr²); E_k= D_k/(e_rk·e₀) = q/(4pr²·e_rk·e₀).

Максимальное значение напряженности поля в первом слое, очевидно, будет на поверхности внутреннего электрода

E₁_max= q/(4p·r₁²·e_r₁e₀)=10^-8/(4p·12²·10^-6·5·8,85·10^-12) = 1,249·10⁵ В/м.

Максимальное значение напряженности поля во втором слое на сферической поверхности раздела диэлектриков

E₂_max= q/(4pr₂²·e_r₂·e₀)=10^-8/(4p16²·10^-6·3·8,85·10^-12) =1,171*10⁵ В/м.

Графики изменения напряженности поля в диэлектрике вдоль радиуса представлены на рис.1.6. Значения напряженности на графиках приведены в относительных единицах. За базисное значение принято максимальное значение напряженности в первом слое E_b= E₂_max.

Разность потенциалов между электродами определяется при помощи следующего выражения:

Емкость конденсатора равна (1.15)

C=q/U₁₂ = 10^-8/885,6 = 1,129·10^-11Ф.

Отметим, что емкость сферического конденсатора с двухслойным диэлектриком можно определить и по такой формуле

С=С₁С₂/(С₁+С₂),

где С₁ – емкость сферического конденсатора с однослойным диэлектриком с радиусами обкладок r₁ и r₂ и диэлектрической проницаемостью диэлектрика, равной диэлектрической проницаемости первого слоя; С₂ – емкость сферического конденсатора с однослойным диэлектриком с радиусами обкладок r₂ и r₃ и диэлектрической проницаемостью диэлектрика, равной диэлектрической проницаемости второго слоя.

Поскольку емкость сферического конденсатора с однослойным диэлектриком определяется с помощью выражения (1.18), то емкости С₁, С₂ и С будут равны:

С1 = 4·p·8,85·10-12·5·0,012·0,016/(0,016-0,012) = 2,669·10-11Ф;

С2=4·p·8,85·10-12·3·0,016·0,022/(0,022-0,016) = 1,957·10-11Ф;

С=2,669·1,957·10-11(2,669+1,957) = 1,129·10-11Ф.

Для наилучшего использования диэлектриков в конденсаторе необходимо так подобрать толщину слоев, чтобы максимальное значение напряженности поля было одинаковым. Поскольку напряженность поля имеет максимальное значение у внутренней поверхности слоя, то для выполнения этого условия, необходимо, чтобы произведение квадрата внутреннего радиуса слоя на его диэлектрическую проницаемость было постоянным, то есть r₁²e₁= r₂²e₂=const.

Если значение диэлектрической проницаемости оставлять неизменным, а изменять толщину слоев, то с помощью данного выражения можно определить радиус поверхности раздела диэлектриков.

м.

Разность потенциалов U₁₂ и емкость такого конденсатора будут равны: U₁₂=910,13В; C=1,099*10^-11Ф.

Пример 5.

Бесконечно длинная тонкая заряженная нить расположена в воздухе вдоль оси z цилиндрической системы координат (рис. 1.7). Линейная плотность заряда t=10^-9Кл/м. Рассчитать и построить график изменения напряженности поля вдоль радиуса. Определить разность потенциалов между точками

m (r_m=10cм; q_m=270^°) и n (r_n=40cм; q_n=180^°).

Решение. В этом случае поле характеризуется цилиндрической симметрией, то есть во всех точках цилиндрической поверхности, охватывающей заряженную нить, произвольного радиуса r напряженность поля имеет одно и то же значение и направлена перпендикулярно к поверхности. Поэтому, если окружить нить цилиндрической поверхностью длиной l и радиусом r и использовать теорему Гаусса, то можно получить выражение для напряженности поля Е.

График изменения напряженности поля вдоль радиуса представлен на рис. 1.8.

Значение напряженности поля на графике даны в относительных единицах. За базисное значение принято значение напряженности на расстоянии одного миллиметра от начала координат (Е_b=1,798·10⁴ В/м).

Потенциал поля в любой точке m, расположенной на расстоянии r_m от оси провода, равен:

Здесь r_p – расстояние от оси провода до некоторой фиксированной точки пространства р, в которой потенциал принимается равным нулю.

Если за такую точку принять точку, расположенную на расстоянии одного метра от оси провода, то потенциал точки m будет равен:

Изменение потенциала вдоль радиуса представлено на рис. 1.8. Значения потенциала даны также в относительных единицах. За базисное значение потенциала принято значение потенциала в той же точке, что и базисное значение напряженности поля (U_b=124,226 В).

Разность потенциалов между точками, указанными в условии задачи, равна 24,931 В.

Пример 6.

Бесконечно длинный цилиндрический конденсатор с двухслойным диэлектриком имеет радиус внутреннего электрода r₁=1 мм, внутренний радиус внешнего электрода – r₃=4 мм и радиус поверхности раздела диэлектриков – r₂=2 мм.

Относительное значение диэлектрической проницаемости внутреннего слоя диэлектрика e_r₁=5, наружного слоя – e_r₂=2,5. Поперечное сечение конденсатора показано на рис.1.9. Линейная плотность заряда конденсатора t = 10^-8 Кл/м.

Определить и построить график изменения напряженности поля вдоль радиуса. Найти разность потенциалов между электродами.

Вычислить емкость конденсатора на единицу длины.

Решение. Для решения задачи используем обобщенную теорему Гаусса. В качестве поверхности интегрирования возьмем замкнутую цилиндрическую поверхность длиной l и радиусом r (r₁?r?r₃).

Ввиду цилиндрической симметрии (вектор электрического смещения на этой поверхности не изменяется по величине и направлен по радиусу) последнее уравнение можно переписать следующим образом:

D·2·p·r·l = t·l,

откуда

D = D_r = t/(2·p·r).

Напряженность поля в первом слое диэлектрика (r₁ ?r ? r₂) будет при этом равна:

E₁ = D/(e_r₁e₀) = t/(2·p·e_r₁e₀·r).

Во втором слое (r₂ ?r ? r₃) –

E₂ = D/(e_r₂e₀) = t/(2·p·e_r₂e₀·r).

График изменения напряженности поля представлен на рис.1.10. На графике значения напряженности поля представлены в относительных единицах. За базисное значение принято значение напряженности в первом слое при r = r₁, ( E_b = 35,970 кВ/м).

Как видно из рис. 1.10, напряженность поля на границе раздела диэлектриков испытывает скачек. Для лучшего использования изоляции стараются подобрать толщину слоев диэлектрика и их диэлектрическую проницаемость таким образом, чтобы максимальное значение напряженности поля в обоих слоях было одинаково. Это будет соблюдаться при условии r₁e₁ = r₂e₂, как в данном примере.

Разность потенциалов между электродами определяется при помощи выражения (1.6), которое для цилиндрического конденсатора можно переписать в следующем виде:

74,792В.

Емкость конденсатора на единицу его длины будет равна:

С = t/U = 10^-8/74,792 = 0,1337 нФ/м.

Отметим, что емкость цилиндрического конденсатора с двухслойным диэлектриком можно определить и по такой формуле

С=С1С2/(С1+С2),

где С₁ – емкость цилиндрического конденсатора с однослойным диэлектриком с радиусами обкладок r₁ и r₂ и диэлектрической проницаемостью диэлектрика, равной диэлектрической проницаемости первого слоя; С₂ – емкость цилиндрического конденсатора с однослойным диэлектриком с радиусами обкладок r₂ и r₃ и диэлектрической проницаемостью диэлектрика, равной диэлектрическойпроницаемости второго слоя.

Поскольку емкость цилиндрического конденсатора с однослойным диэлектриком определяется с помощью выражения (1.23), то емкости С₁, С₂ и С будут равны:

С = С₁·С₂/(С₁ + С₂) = 0,1337 нФ/м.

Пример 7.

Бесконечно длинный цилиндр, выполненный из диэлектрика, относительное значение диэлектрической проницаемости которого e_r₁ = 4, заряжен и находится в минеральном масле (e_r₂ = 2,5).

Радиус цилиндра r₀ = 5мм (рис. 1.11). Объемная плотность заряда является функцией расстояния от оси цилиндра r = r/10.

Найти законы изменения потенциала и напряженности поля внутри и вне цилиндра в функции расстояния r от оси, приняв потенциал равным нулю на оси цилиндра (r = 0). Построить графики этих функций.

Решение. В

качестве поверхности интегрирования выбирается боковая поверхность цилиндра длиной один метр, радиусом r и с осью, совпадающей с осью исходного цилиндра. При 0 ? r ? r₀ внутри этой поверхности будет находиться заряд, величина которого может быть определена с помощью следующего выражения:

Таким образом, с учетом цилиндрической симметрии поля,

получим

Отсюда

где А₁=9.416·10⁸ В/м³.

В области вне цилиндра (r₀?r??)

Из этого выражения легко определяется напряженность поля вне цилиндра

где А₂=183.432 В.

Потенциал электрического поля внутри цилиндра (при условии, что точка, в которой потенциал поля принимается равным нулю, лежит на оси цилиндра) можно определить следующим образом:

Потенциал поля в области вне цилиндра равен

Здесь В₂ – постоянная интегрирования, которую можно найти из условия равенства потенциалов на поверхности цилиндра.

В.

Распределение напряженности электрического поля и потенциала представлено в относительных единицах на рис. 1.12. За базисные значения напряженности поля и потенциала приняты максимальное значение напряженности на границе раздела сред (Е_max=3.669·10⁴ В/м) и значение потенциала при r=0.019 м (j_в=-284 В).

В частном случае, когда объемная плотность заряда r является постоянной величиной, решение упрощается, и выражения для функции напряженности поля и потенциала будут иметь вид:

где

Пример 8.

Рассчитать электростатическое поле, создаваемое зарядом, который равномерно распределен между двумя цилиндрическими бесконечно длинными поверхностями.

Объемная плотность заряда r=10^-6 Кл/м³.

Радиус внешнего цилиндра R₁=20 см, внутреннего – R₂ =4 см, расстояние между осями цилиндров – а=10 см. Относительное значение диэлектрической проницаемости окружающей среды и обоих цилиндров равно e_r₁=1.

Определить распределение составляющих напряженности электрического поля и потенциала вдоль осей Х и Y (рис. 1.13).

Решение.

Данная задача решается методом наложения. Сначала рассчитывается поле в любой точке М от заряда с объемной плотностью +r, равномерно распределенного по объему всего большого цилиндра. Затем в этой же точке рассчитывается поле от заряда, объемная плотность которого равна -r, равномерно распределенного по объему малого цилиндра. Результирующая напряженность поля Е в любой точке М определяется как векторная сумма напряженности Е₁ и Е₂. Потенциал любой точки определяется также как сумма потенциалов U₁ и U₂.

Так, в точке М, которая находится на расстоянии r₁ от оси большого цилиндра и r₂ от оси малого цилиндра и имеет координаты r₁ и a (рис. 1.14) модули напряженности поля от соответствующих зарядов определяются согласно теореме Гаусса по следующим формулам:

Вектор напряженности Е₁ направлен по радиусу r₁ от оси О большого цилиндра, а вектор Е₂ – по радиусу r₂ к оси О₁ малого цилиндра (рис. 1.14).

Потенциалы поля при этом будут равны:

Здесь С₁ и С₂ – постоянные интегрирования.

Потенциал поля в области между цилиндрами определяется следующим выражением:

Принимая потенциал равным нулю на оси большого цилиндра (r₁=0; r₂=a), найдем постоянную интегрирования С.

С учетом этого, выражение для потенциала в области между цилиндрами окончательно можно записать в следующем виде:

Если поле определяется в области, лежащей внутри малого цилиндра, то напряженность поля в произвольной точке этой области будет определяться при помощи следующего выражения:

Здесь i – единичный орт, направленный вдоль оси Х.

Таким образом, внутри малого цилиндра напряженность поля будет иметь только одну составляющую, направленную вдоль оси Х и являющуюся постоянной величиной.

Потенциал поля при этом будет равен

где В – постоянная интегрирования.

Эта постоянная определяется исходя из равенства потенциалов для точки, лежащей на поверхности малого цилиндра, один из которых рассчитывается по последнему уравнению, а второй – по выражению, справедливому для точек, находящихся в области между цилиндрами.

Определяя с помощью теоремы косинусов r₂ через r₁, выражения для потенциала и напряженности поля можно преобразовать.

Если точка, в которой определяется поле, лежит в области вне цилиндров (r₁?R₁), то модули напряженности поля будут определяться при помощи следующих выражений:

где t₁ и t₂ – линейная плотность зарядов большого и малого цилиндров.

Направление векторов напряженности поля определяется так же, как и для области, лежащей между цилиндрами.

Потенциал поля для области вне цилиндров будет равен

Постоянная интегрирования В₁ определяется из условия равенства потенциалов на поверхности большого цилиндра (r₁=R₁, r₂=R₁-a), один из которых рассчитывается по последнему уравнению, а второй – по выражению, справедливому для точек, находящихся в области между цилиндрами.

Следовательно, окончательно можно записать следующее выражение для определения потенциала в данной области:

Построим графики изменения модуля напряженности поля и потенциала вдоль оси Y при х=0, для чего положим r₁=y; r₂=(y²+a²)^0,5.

При этом выражения для напряженности поля и потенциала можно несколько преобразовать. Так, при 0?y?R₁ они будут иметь следующий вид:

В области вне цилиндров (у?R₁) эти выражения можно записать следующим образом:

Графики изменения данных функций представлены на рис. 1.15.

На графиках все величины даны в относительных величинах. За базисные значения потенциала и напряженности поля приняты значения соответствующих функций на поверхности цилиндра радиусом R₁ (x=0; y=R₁), которые оказались равными U_б=-1057 В,

Е_б=10,94 кВ/м.

На рис. 1.16 представлены графики распределения потенциала и напряженности поля (в относительных единицах) вдоль оси Х (при Y=0).

Пример 9.

Рассчитать электростатическое поле от двух бесконечно длинных, равномерно заряженных, параллельных, тонких проводников, расположенных в воздухе на расстоянии 2d=6 м друг от друга. Проводники имеют одинаковые по величине, но противоположные по знаку заряды, линейная плотность которых равна t=4*10^-9 Кл/м.

Построить график изменения напряженности поля вдоль оси Y (при х=0) и вывести уравнения для построения эквипотенциальных линий и линий поля.

Решение.

Поскольку среда линейна, то данную задачу можно решить методом наложения.

Вначале рассчитываем напряженность поля в любой точке М от правого провода (рис. 1.17), а затем в этой же точке от левого провода. Задача по расчету поля от бесконечно длинного заряженного провода решена в примере 5. Поэтому сразу запишем выражения для определения напряженности поля от правого и левого провода

Направление векторов напряженности поля показано на рис. 1.17. Результирующая напряженность поля определяется как векторная сумма этих векторов

Модуль данной результирующей напряженности поля рассчитывается по формуле

где

E₁_x, E₂_x,

E₁_y, E₂_y—

проекции векторов напряженности поля на соответствующие декартовы оси координат.

Здесь y_м и x_м – координаты произвольной точки М.

В частности, если точка М лежит на оси Y, то (r₁=r₂) результирующая напряженность поля будет направлена вдоль оси Х (Е=Е_х). График распределения данной величины вдоль оси Y представлен на рис. 1.18. Значения напряженности поля на графике даны в относительных единицах, при этом за базисное значение принято значение напряженности в начале координат (x=0, y=0), которое оказалось равным 47,956 В/м.

Потенциал поля в любой точке М определяется также, как сумма потенциалов поля от одного и другого провода

Здесь С – постоянная интегрирования. Эта постоянная будет равна нулю, если принять потенциал точки, которая находится в начале координат, равным нулю.

В этом случае ось OY будет являться эквипотенциальной линией нулевого потенциала.

Все остальные линии равного потенциала являются окружностями с центрами, лежащими на оси ОХ. Координаты этих центров и радиусы окружностей определяются с помощью следующих формул:

Таким образом, если необходимо провести линию равного потенциала через точку, потенциал которой задан (например, 100 В), то надо определить k, используя формулу для потенциала

При построении картины поля, для того чтобы приращение потенциала при переходе от любой линии равного потенциала к соседней оставалось постоянным, должно соблюдаться условие

Здесь В – постоянная; n – порядковый номер линии равного потенциала.

Таким образом, число k при возрастании порядкового номера линии равного потенциала n должно изменяться в геометрической прогрессии.

Линиями поля данной системы заряженных проводников являются дуги окружностей, пересекающихся с проводниками. При этом, центры этих дуг лежат на оси OY и имеют координаты, которые определяются при помощи следующей формулы:

Чтобы при построении картины поля подразделить поле на трубки равного потенциала, необходимо при переходе от любой линии напряженности поля к соседней изменять угол J на постоянную величину.

Пример 10.

Два одинаковых бесконечно длинных проводящих цилиндра расположены в воздухе. Радиус цилиндров R=0.04 м, расстояние между геометрическими осями 2h=0.12 м (рис.1.19).

Напряжение, приложенное к цилиндрам U₁₂=100 В.

Рассчитать электростатическое поле, построить графики изменения напряженности поля и потенциала вдоль оси х.

Найти емкость системы проводов на единицу длины.

Решение.

Поле внутри проводящих проводов отсутствует. Поле же в воздухе будет точно таким, как и поле от двух бесконечно тонких линейных проводников, проходящих через электрические оси данных проводов.

Таким образом, задача по расчету поля двух проводов круглого сечения сводится к нахождению электрических осей проводов, поскольку в дальнейшем расчет поля в воздухе будет аналогичным расчету поля, проведенному в предыдущем примере.

Поскольку поверхность проводящих проводов является поверхностью равного потенциала, то, используя выражения для координаты центра и радиуса линий равного потенциала, которые приведены в примере 9, можно получить формулу для определения координат центра электрических осей проводов b.

В условии задачи задана не линейная плотность зарядов, а разность потенциалов между проводами (разность потенциалов между точками m и n).

Поэтому, прежде всего, следует определить линейную плотность зарядов t. Для этого используем выражение для потенциалов, которое также приведено в предыдущем примере

Здесь r₁ и r₂ – расстояние от электрической оси первого (левого) и второго провода, соответственно, до точки m, которая находится на поверхности первого провода, а r₁^/ и r₂^/ – расстояние от электрической оси первого и второго провода, соответственно, до точки n, которая находится на поверхности второго провода.

С учетом последних соотношений, можно записать выражение для определения линейной плотности зарядов

После определения линейной плотности зарядов и расположения электрических осей проводов, выражения для расчета напряженности поля и потенциала в области вне проводов полностью аналогичны тем, которые приведены в примере 9.

Графики распределения напряженности поля и потенциала вдоль оси ОХ (при y=0) приведены на рис. 1.20. Все значения на графике даны в относительных единицах, причем, за базисные значения приняты значения напряженности поля и потенциала на поверхности правого провода, которые оказались равными Е_б=2904 В/м, j_б=-50 В.

С учетом того, что ось OY является осью симметрии для напряженности поля и осью антисимметрии для потенциала, графики построены только для положительных значений х.

Емкость между двумя проводниками на единицу их длины определяется при помощи следующего выражения:

Пример 11. Рассчитать

электростатическое поле от двух параллельных бесконечно длинных заряженных несоосных проводящих цилиндров, расположенных в воздухе. Радиусы цилиндров R₁=0.02 м и R₂=0.04 м. Расстояние между геометрическими осями D=0.08 м (рис. 1.21). Цилиндры имеют одинаковый по величине, но противоположный по знаку заряд, линейная плотность которого t₁=-t₂=t=10^-8 Кл/м.

Определить разность потенциалов между цилиндрами, емкость системы на единицу длины.

Построить график изменения потенциала поля вдоль оси ОХ (при y=0).

Решение.

Расположим оси цилиндров (О₁ и О₂) так, чтобы их поверхности совпали с поверхностями равного потенциала. Обозначим через h₁ и h₂ расстояние от геометрических осей первого и второго цилиндра до плоскости постоянного (нулевого) потенциала, а через b – расстояние от электрических осей-до этой плоскости. После определения данных величин задача по расчету поля в области вне цилиндров сводится к расчету электростатического поля от двух заряженных бесконечно длинных линейных проводов, проходящих через центры зарядов, и оказывается, таким образом, полностью аналогичной задачам, рассмотренным в предыдущих примерах.

Используя выражение для определения координат центров зарядов, справедливое как для одного, так и для второго провода, составим следующее уравнение:

или

При заданном расположении цилиндров (рис. 1.21) имеем

h₁+h₂=D

и, следовательно,

В этом случае

Разность потенциалов между двумя цилиндрами можно определить по следующей формуле (как и в примере 10):

Здесь r₁^/ и r₂^/ – расстояние от центра электрических осей первого и второго цилиндра, соответственно, до точки n, лежащей на поверхности первого цилиндра; r₁^// и r₂^// – расстояние от центра электрических осей первого и второго цилиндра, соответственно, до точки m, лежащей на поверхности второго цилиндра

r₁^/ = (R₁ + b – h₁) = 0.0131м; r₂^/ = 2b – r₁^/ = 0.0381м;

r₂^// = (R₂ + b – h₂) = 0.0181м; r₁^// = 2b – r₂^// = 0.0331м.

Потенциал любой произвольной точки d будет равен

где r₁ и r₂ – расстояние от электрических осей первого и второго провода до точки d.

Если точка d лежит на оси ОХ между цилиндрами, то

r₂ = b – x; r₁ = b + x;

График изменения потенциала вдоль оси ОХ (при (R₁ – h₁) < x < (h₂ – – R₂)) показан на рис. 1.22.

Емкость системы цилиндров на единицу длины определяется по следующей формуле:

Построение линий равного потенциала и линий поля в области вне цилиндров проводится таким же образом, как и для линейных проводов, которые совпадают с электрическими осями (см. пример 9).

Пример 12. Бесконечно длинный проводящий цилиндр радиусом R₁=2см расположен внутри другого бесконечно длинного проводящего цилиндра радиусом R₂=6см.

Расстояние между геометрическими осями цилиндров D=3см (рис. 1.23). Область между цилиндрами заполнена диэлектриком с относительным значением диэлектрической проницаемости e_r=2.

Цилиндры имеют одинаковый по величине, но противоположный по знаку заряд, линейная плотность которого t₁=-t₂=t=10^-8Кл/м.

Определить разность потенциалов между цилиндрами, емкость системы на единицу длины. Построить график изменения напряженности поля вдоль оси Х (при Y=0) между цилиндрами.

Решение.

Решение данной задачи, как и в предыдущих примерах, сводится к отысканию положения электрических осей.

Полагая, что оси проводов расположены так, что их поверхности совпадают с эквипотенциальными поверхностями электростатического поля, будем иметь:

где h₁ и h₂ – расстояние от геометрических осей цилиндров до плоскости постоянного (нулевого) потенциала; b – расстояние от электрических осей до этой же плоскости.

Последнее выражение можно переписать следующим образом:

Но, поскольку при расположении цилиндров один внутри другого, выполняется равенство

то

Таким образом, выражения для определения h₁, h₂, и b будут иметь следующий вид:

После нахождения положения электрических осей задача по расчету поля в диэлектрике между цилиндрами становится полностью аналогичной задаче по расчету поля от линейных проводов, совпадающих с электрическими осями цилиндров.

Так, потенциал любой точки М, находящейся в области между цилиндрами, будет равен

где r₁ и r₂ – расстояние от электрических осей первого и второго цилиндров соответственно до точки М.

Разность потенциалов между цилиндрами (между точками m и n) при этом будет равна

Здесь r₁^/ и r₂^/ – расстояние от электрических осей первого и второго цилиндров соответственно до точки m, а r₁^// и r₂^// – расстояние от электрических осей этих цилиндров до точки n.

При заданном расположении цилиндров указанные расстояния будут равны

Таким образом, разность потенциалов между цилиндрами U_mn будет составлять величину, равную 67.1В.

Напряженность электрического поля в любой точке, лежащей на оси ОХ между цилиндрами (между точками m и n), находится методом наложения

График изменения данной величины вдоль оси ОХ представлен на рис. 1.24.

Для удобства изображения все величины на рисунке представлены в относительных единицах. За базисное значение напряженности поля принято значение напряженности поля на поверхности малого цилиндра в точке m (E_b =Е_m=8020 В/м), а за базисное значение переменной х – абсолютное значение координаты этой же точки (х_b=|х_m|= 0.0183 м).

Емкость системы проводов на единицу их длины определяется с помощью следующей формулы:

Зная разность потенциалов между цилиндрами и линейную плотность зарядов t емкость С, согласно определению, можно найти и как отношение линейной плотности зарядов к разности потенциалов

Для построения силовых линий и линий равного потенциала можно воспользоваться рекомендациями, данными в предыдущих примерах.

Источник

Электрическое поле

Электродинамика – раздел физики, изучающий свойства и взаимодействия электрических зарядов, осуществляемые посредством электромагнитного поля.

Электростатикой называется раздел электродинамики, в котором рассматриваются свойства и взаимодействия неподвижных электрически заряженных тел или частиц.

Электромагнитное взаимодействие – это взаимодействие между электрически заряженными частицами или макротелами.

Точечный заряд – заряженное тело, размер которого мал по сравнению с расстоянием, на котором оценивается его действие.

Содержание

Электризация тел
Взаимодействие зарядов. Два вида зарядов
Закон сохранения электрического заряда
Закон Кулона
Действие электрического поля на электрические заряды
Напряженность электрического поля
Принцип суперпозиции электрических полей
Потенциальность электростатического поля
Потенциал электрического поля. Разность потенциалов
Проводники в электрическом поле
Диэлектрики в электрическом поле
Электрическая емкость. Конденсатор
Энергия электрического поля конденсатора
Основные формулы раздела «Электрическое поле»

Электризация тел

Электризация – процесс сообщения телу электрического заряда, т. е. нарушение его электрической нейтральности. Процесс электризации представляет собой перенесение с одного тела на другое электронов или ионов. В результате электризации тело получает возможность участвовать в электромагнитном взаимодействии.

Способы электризации:

трением, – например, электризация эбонитовой палочки при трении о мех. При тесном соприкосновении двух тел часть электронов переходит с одного тела на другое; в результате этого на поверхности у одного из тел создается недостаток электронов и тело получает положительный заряд, а у другого – избыток, и тело заряжается отрицательно. Величины зарядов тел одинаковы;
через влияние (электростатическая индукция) – тело остается электрически нейтральным, электрические заряды внутри него перераспределяются так, что разные части тела приобретают разные по знаку заряды;
при соприкосновении заряженного и незаряженного тела – заряд при этом распределяется между этими телами пропорционально их размерам. Если размеры тел одинаковы, то заряд распределяется между ними поровну;
при ударе;
под действием излучения – под действием света с поверхности проводника могут вырываться электроны, при этом проводник приобретает положительный заряд.

Взаимодействие зарядов. Два вида зарядов

Электрический заряд – скалярная физическая величина, характеризующая способность тела участвовать в электромагнитных взаимодействиях.

Обозначение – ( q ), единица измерения в СИ – кулон (Кл).

Существуют два вида электрических зарядов: положительный и отрицательный. Наименьший отрицательный заряд имеет электрон (–1,6·10^-19 Кл), наименьший положительный заряд (1,6·10^-19 Кл) – протон. Минимальный заряд, который может быть сообщен телу, равен заряду электрона (элементарный заряд). Если тело имеет избыточные (лишние) электроны, то тело заряжено отрицательно, если у тела недостаток электронов, то тело заряжено положительно.

Величина заряда тела будет равна

где ( N ) — число избыточных или недостающих электронов;
( e ) — элементарный заряд, равный 1,6·10^-19 Кл.

Важно!
Частица может не иметь заряда, но заряд без частицы не существует.

Электрические заряды взаимодействуют:

заряды одного знака отталкиваются:

заряды противоположных знаков притягиваются:

Прибор для обнаружения электрического заряда называется электроскоп. Основная часть прибора – металлический стержень, на котором закреплены два листочка металлической фольги, помещенные в стеклянный сосуд. При соприкосновении заряженного тела со стержнем электроскопа заряды распределяются между листочками фольги. Так как заряд листочков одинаков по знаку, они отталкиваются.

Для измерения зарядов можно использовать и электрометр. Основные части его – металлический стержень и стрелка, которая может вращаться вокруг горизонтальной оси. Стержень со стрелкой закреплен в пластмассовой втулке и помещен в металлический корпус, закрытый стеклянными крышками. При соприкосновении заряженного тела со стержнем стержень и стрелка получают электрические заряды одного знака. Стрелка поворачивается на некоторый угол.

Закон сохранения электрического заряда

Систему называют замкнутой (электрически изолированной), если в ней не происходит обмена зарядами с окружающей средой.

В любой замкнутой (электрически изолированной) системе сумма электрических зарядов остается постоянной при любых взаимодействиях внутри нее.

Полный электрический заряд ( (q) ) системы равен алгебраической сумме ее положительных и отрицательных зарядов ( (q_1, q_2 … q_N) ):

Важно!
В природе не возникают и не исчезают заряды одного знака: положительный и отрицательный заряды могут взаимно нейтрализовать друг друга, если они равны по модулю.

Закон Кулона

Закон Кулона был открыт экспериментально: в опытах с использованием крутильных весов измерялись силы взаимодействия заряженных шаров.

Закон Кулона формулируется так:
сила взаимодействия ( F ) двух точечных неподвижных электрических зарядов в вакууме прямо пропорциональна их модулям ( q_1 ) и ( q_2 ) и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними ( r ):

где ( k=frac{1}{4pivarepsilon_0}=9cdot10^9 ) (Н·м²)/Кл² – коэффициент пропорциональности,
( varepsilon_0=8.85cdot10^{-12} ) Кл²/(Н·м²) – электрическая постоянная.

Коэффициент ( k ) численно равен силе, с которой два точечных заряда величиной 1 Кл каждый взаимодействуют в вакууме на расстоянии 1 м.

Сила Кулона направлена вдоль прямой, соединяющей взаимодействующие заряды. Заряды взаимодействуют друг с другом с силами, равными по величине и противоположными по направлению.

Значение силы Кулона зависит от среды, в которой они находятся. В этом случае формула закона:

где ( varepsilon ) – диэлектрическая проницаемость среды.

Закон Кулона применим к взаимодействию

неподвижных точечных зарядов;
равномерно заряженных тел сферической формы.

В этом случае ( r ) – расстояние между центрами сферических поверхностей.

Важно!
Если заряженное тело протяженное, то его необходимо разбить на точечные заряды, рассчитать силы их попарного взаимодействия и найти равнодействующую этих сил (принцип суперпозиции).

Действие электрического поля на электрические заряды

Электрическое поле – это особая форма материи, существующая вокруг электрически заряженных тел.

Впервые понятие электрического поля было введено Фарадеем. Он объяснял взаимодействие зарядов следующим образом: каждый заряд создает вокруг себя электрическое поле, которое с некоторой силой действует на другой заряд.

Свойства электрического поля заключаются в том, что оно:

материально;
создается зарядом;
обнаруживается по действию на заряд;
непрерывно распределено в пространстве;
ослабевает с увеличением расстояния от заряда.

Действие заряженного тела на окружающие тела проявляется в виде сил притяжения и отталкивания, стремящихся поворачивать и перемещать эти тела по отношению к заряженному телу.

Силу, с которой электрическое поле действует на заряд, можно рассчитать по формуле:

где ( vec{E} ) – напряженность электрического поля, ( q ) – заряд.

Решение задач о точечных зарядах и системах, сводящихся к ним, основано на применении законов механики с учетом закона Кулона и вытекающих из него следствий.

Алгоритм решения задач о точечных зарядах и системах, сводящихся к ним:

сделать рисунок; указать силы, действующие на точечный заряд, помещенный в электрическое поле;
записать для заряда условие равновесия или основное уравнение динамики материальной точки;
выразить силы электрического взаимодействия через заряды и поля и подставить эти выражения в исходное уравнение;
если при взаимодействии заряженных тел между ними происходит перераспределение зарядов, к составленному уравнению добавить уравнение закона сохранения зарядов;
записать математически все вспомогательные условия;
решить полученную систему уравнений относительно неизвестной величины;
проверить решение

Напряженность электрического поля

Напряженность электрического поля ( vec{E} ) – векторная физическая величина, равная отношению силы ( F ), действующей на пробный точечный заряд, к величине этого заряда ( q ):

Обозначение – ( vec{E} ), единица измерения в СИ – Н/Кл или В/м.

Напряженность поля точечного заряда в вакууме вычисляется по формуле:

где ( k=frac{1}{4pivarepsilon_0}=9cdot10^9 ) (Н·м²)/Кл²,
( q_0 ) – заряд, создающий поле,
( r ) – расстояние от заряда, создающего поле, до данной точки.

Напряженность поля точечного заряда в среде вычисляется по формуле:

где ( varepsilon ) – диэлектрическая проницаемость среды.

Важно!
Напряженность электрического поля не зависит от величины пробного заряда, она определяется величиной заряда, создающего поле.

Направление вектора напряженности в данной точке совпадает с направлением силы, с которой поле действует на положительный пробный заряд, помещенный в эту точку.

Линией напряженности электрического поля называется линия, касательная к которой в каждой точке направлена вдоль вектора напряженности ( vec{E} ).

Линии напряженности электростатического поля начинаются на положительных электрических зарядах и заканчиваются на отрицательных электрических зарядах или уходят в бесконечность от положительного заряда и приходят из бесконечности к отрицательному заряду.

Распределение линий напряженности вокруг положительного и отрицательного точечных зарядов показано на рисунке.

Определяя направление вектора ( vec{E} ) в различных точках пространства, можно представить картину распределения линий напряженности электрического поля.

Поле, в котором напряженность одинакова по модулю и направлению в любой точке, называется однородным электрическим полем. Однородным можно считать электрическое поле между двумя разноименно заряженными металлическими пластинами. Линии напряженности в однородном электрическом поле параллельны друг другу.

Принцип суперпозиции электрических полей

Каждый электрический заряд создает в пространстве электрическое поле независимо от наличия других электрических зарядов.

Принцип суперпозиции электрических полей: напряженность электрического поля системы ( N ) зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым из них в отдельности:

Электрические поля от разных источников существуют в одной точке пространства и действуют на заряд независимо друг от друга.

Потенциальность электростатического поля

Электрическое поле с напряженностью ( vec{E} ) при перемещении заряда ( q ) совершает работу. Работа ( A ) электростатического поля вычисляется по формуле:

где ( d ) – расстояние, на которое перемещается заряд,
( alpha ) – угол между векторами напряженности электрического поля и перемещения заряда.

Важно!
Эта формула применима для нахождения работы только в однородном электростатическом поле.

Работа сил электростатического поля при перемещении заряда из одной точки поля в другую не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положением заряда.

Потенциальным называется поле, работа сил которого по перемещению заряда по замкнутой траектории равна нулю.

Важно!
Работа сил электростатического поля при перемещении заряда по любой замкнутой траектории равна нулю. Электростатическое поле является потенциальным.

Работа электростатического поля по перемещению заряда равна изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком. В электродинамике энергию принято обозначать буквой ( W ), так как буквой ( E ) обозначают напряженность поля:

Потенциальная энергия заряда ( q ), помещенного в электростатическое поле, пропорциональна величине этого заряда. Потенциальная энергия взаимодействия зарядов вычисляется относительно нулевого уровня (аналогично потенциальной энергии поля силы тяжести). Выбор нулевого уровня потенциальной энергии определяется исходя из соображений удобства при решении задачи.

Потенциал электрического поля. Разность потенциалов

Потенциал – скалярная физическая величина, равная отношению потенциальной энергии электрического заряда в электростатическом поле к величине этого заряда.

Обозначение – ( varphi ), единица измерения в СИ – вольт (В).

Потенциал ( varphi ) является энергетической характеристикой электростатического поля.

Разность потенциалов численно равна работе, которую совершает электрическая сила при перемещении единичного положительного заряда между двумя точками поля:

Обозначение – ( Deltavarphi ), единица измерения в СИ – вольт (В).

Иногда разность потенциалов обозначают буквой ( U ) и называют напряжением.

Важно!
Разность потенциалов ( Deltavarphi=varphi_1-varphi_2 ), а не изменение потенциала ( Deltavarphi=varphi_2-varphi_1 ). Тогда работа электростатического поля равна:

Важно!
Эта формула позволяет вычислить работу электростатических сил в любом поле.

В электростатике часто вычисляют потенциал относительно бесконечно удаленной точки. В этом случае потенциал поля в данной точке равен работе, которую совершают электрические силы при удалении единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность.

Потенциал поля точечного заряда ( q ) в точке, удаленной от него на расстояние ( r ), вычисляется по формуле:

Для наглядного представления электрического поля используют эквипотенциальные поверхности.

Важно!
Внутри проводящего шара потенциал всех точек внутри шара равен потенциалу поверхности шара и вычисляется по формуле потенциала точечного заряда (( r =R ), где ( R ) – радиус шара). Напряженность поля внутри шара равна нулю.

Эквипотенциальной поверхностью, или поверхностью равного потенциала, называется поверхность, во всех точках которой потенциал имеет одинаковое значение.

Свойства эквипотенциальных поверхностей

Вектор напряженности перпендикулярен эквипотенциальным поверхностям и направлен в сторону убывания потенциала.
Работа по перемещению заряда по эквипотенциальной поверхности равна нулю.

В случае однородного поля эквипотенциальные поверхности представляют собой систему параллельных плоскостей. Для точечного заряда эквипотенциальные поверхности представляют собой концентрические окружности.

Разность потенциалов и напряженность связаны формулой:

Из принципа суперпозиции полей следует принцип суперпозиции потенциалов:

Потенциал результирующего поля равен сумме потенциалов полей отдельных зарядов.

Важно!
Потенциалы складываются алгебраически, а напряженности – по правилу сложения векторов.

Решение задач о точечных зарядах и системах, сводящихся к ним, основано на применении законов сохранения, теоремы об изменении кинетической энергии заряда с учетом работы электростатических сил.

Алгоритм решения таких задач:

установить характер и особенности электростатических взаимодействий объектов системы;
ввести характеристики (силовые и энергетические) этих взаимодействий, сделать рисунок;
записать законы сохранения и движения для объектов;
выразить энергию электростатического взаимодействия через заряды, потенциалы, напряженности;
составить систему уравнений и решить ее относительно искомой величины;
проверить решение.

Проводники в электрическом поле

Проводниками называют вещества, в которых может происходить упорядоченное перемещение электрических зарядов, т. е. протекать электрический ток.

Проводниками являются металлы, водные растворы солей, кислот, ионизованные газы. В проводниках есть свободные электрические заряды. В металлах валентные электроны взаимодействующих друг с другом атомов становятся свободными.

Если металлический проводник поместить в электрическое поле, то под его действием свободные электроны проводника начнут перемещаться в направлении, противоположном направлению напряженности поля. В результате на одной поверхности проводника появится избыточный отрицательный заряд, а на противоположной – избыточный положительный заряд.

Эти заряды создают внутри проводника внутреннее электрическое поле, вектор напряженности которого направлен противоположно вектору напряженности внешнего поля. Под действием внешнего электростатического поля электроны проводимости в металлическом проводнике перераспределяются так, что напряженность результирующего поля в любой точке внутри проводника равна нулю. Электрические заряды расположены на поверхности проводника.

Важно!
Если внутри проводника есть полость, то напряженность в ней будет равна нулю независимо от того, какое поле имеется вне проводника и как заряжен проводник. Внутренняя полость в проводнике экранирована (защищена) от внешних электростатических полей. На этом основана электростатическая защита.

Явление перераспределения зарядов во внешнем электростатическом поле называется электростатической индукцией.

Заряды, разделенные электростатическим полем, взаимно компенсируют друг друга, если проводник удалить из поля. Если такой проводник разрезать, не вынося из поля, то его части будут иметь заряды разных знаков.

Важно!
Во всех точках поверхности проводника вектор напряженности направлен перпендикулярно к его поверхности. Поверхность проводника является эквипотенциальной (потенциалы всех точек поверхности проводника равны).

Диэлектрики в электрическом поле

Диэлектриками называют вещества, не проводящие электрический ток. Диэлектриками являются стекло, фарфор, резина, дистиллированная вода, газы.

В диэлектриках нет свободных зарядов, все заряды связаны. В молекуле диэлектрика суммарный отрицательный заряд электронов равен положительному заряду ядра. Различают полярные и неполярные диэлектрики.

В молекулах полярных диэлектриков ядра и электроны расположены так, что центры масс положительных и отрицательных зарядов не совпадают и находятся на некотором расстоянии друг от друга. То есть молекулы представляют собой диполи независимо от наличия внешнего электрического поля. В отсутствие внешнего электрического поля из-за теплового движения молекул диполи расположены хаотично, поэтому суммарная напряженность поля всех диполей диэлектрика равна нулю.

Если в отсутствие внешнего электрического поля центры масс положительных и отрицательных зарядов в молекуле диэлектрика совпадают, то он называется неполярным. Пример такого диэлектрика – молекула водорода. Если такой диэлектрик поместить во внешнее электрическое поле, то направления векторов сил, действующих на положительные и отрицательные заряды, будут противоположными. В результате молекула деформируется и превращается в диполь. При внесении диэлектрика в электрическое поле происходит его поляризация.

Поляризация диэлектрика – процесс смещения в противоположные стороны разноименных связанных зарядов, входящих в состав атомов и молекул вещества в электрическом поле.

Если диэлектрик неполярный, то в его молекулах происходит смещение положительных и отрицательных зарядов. На поверхности диэлектрика появятся поверхностные связанные заряды. Связанными эти заряды называют потому, что они не могут свободно перемещаться отдельно друг от друга.

Внутри диэлектрика суммарный заряд равен нулю, а на поверхностях заряды не скомпенсированы и создают внутри диэлектрика поле, вектор напряженности которого направлен противоположно вектору напряженности внешнего поля. Это значит, что внутри диэлектрика поле имеет меньшую напряженность, чем в вакууме.

Физическая величина, равная отношению модуля напряженности электрического поля в вакууме к модулю напряженности электрического поля в однородном диэлектрике, называется диэлектрической проницаемостью вещества:

В полярном диэлектрике во внешнем электрическом поле происходит поворот диполей, и они выстраиваются вдоль линий напряженности.

Если внесенный в электрическое поле диэлектрик разрезать, то его части будут электрически нейтральны.

Электрическая емкость. Конденсатор

Электрическая емкость (электроемкость) – скалярная физическая величина, характеризующая способность уединенного проводника удерживать электрический заряд.

Обозначение – ( C ), единица измерения в СИ – фарад (Ф).

Уединенный проводник – это проводник, удаленный от других проводников и заряженных тел.

Фарад – электроемкость такого уединенного проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда 1 Кл:

Формула для вычисления электроемкости:

где ( q ) – заряд проводника, ( varphi ) – его потенциал.

Электроемкость зависит от его линейных размеров и геометрической формы. Электроемкость не зависит от материала проводника и его агрегатного состояния. Электроемкость проводника прямо пропорциональна диэлектрической проницаемости среды, в которой он находится.

Конденсатор – это система из двух проводников, разделенных слоем диэлектрика, толщина которого мала по сравнению с размерами проводников.

Проводники называют обкладками конденсатора. Заряды обкладок конденсатора равны по величине и противоположны по знаку заряда. Электрическое поле сосредоточено между обкладками конденсатора. Конденсаторы используют для накопления электрических зарядов.

Электроемкость конденсатора рассчитывается по формуле:

где ( q ) – модуль заряда одной из обкладок,
( U ) – разность потенциалов между обкладками.

Электроемкость конденсатора зависит от линейных размеров и геометрической формы и расстояния между проводниками. Электроемкость конденсатора прямо пропорциональна диэлектрической проницаемости вещества между проводниками.

Плоский конденсатор представляет две параллельные пластины площадью ( S ), находящиеся на расстоянии ( d ) друг от друга.

Электроемкость плоского конденсатора:

где ( varepsilon ) – диэлектрическая проницаемость вещества между обкладками,
( varepsilon_0 ) – электрическая постоянная.

На электрической схеме конденсатор обозначается:

Виды конденсаторов:

по типу диэлектрика – воздушный, бумажный и т. д.;
по форме – плоский, цилиндрический, сферический;
по электроемкости – постоянной и переменной емкости.

Конденсаторы можно соединять между собой.

Параллельное соединение конденсаторов

При параллельном соединении конденсаторы соединяются одноименно заряженными обкладками. Напряжения конденсаторов равны:

Общая емкость:

Последовательное соединение конденсаторов

При последовательном соединении конденсаторов соединяют их разноименно заряженные обкладки.

Заряды конденсаторов при таком соединении равны:

Общее напряжение:

Величина, обратная общей емкости:

При таком соединении общая емкость всегда меньше емкостей отдельных конденсаторов.

Важно!
Если конденсатор подключен к источнику тока, то разность потенциалов между его обкладками не изменяется при изменении электроемкости и равна напряжению источника. Если конденсатор заряжен до некоторой разности потенциалов и отключен от источника тока, то его заряд не изменяется при изменении электроемкости.

Применение конденсаторов
Конденсаторы используются в радиоэлектронных приборах как накопители заряда, для сглаживания пульсаций в выпрямителях переменного тока.

Энергия электрического поля конденсатора

Энергия заряженного конденсатора равна работе внешних сил, которую необходимо затратить, чтобы зарядить конденсатор.

Электрическая энергия конденсатора сосредоточена в пространстве между обкладками конденсатора, то есть в электрическом поле, поэтому ее называют энергией электрического поля. Формулы для вычисления энергии электрического поля:

Так как напряженность электрического поля прямо пропорциональна напряжению, то энергия электрического поля конденсатора пропорциональна квадрату напряженности.

Плотность энергии электрического поля:

где ( V ) – объем пространства между обкладками конденсатора.

Плотность энергии не зависит от параметров конденсатора, а определяется только напряженностью электрического поля.

Основные формулы раздела «Электрическое поле»

Электрическое поле

2.9 (58.67%) 135 votes

Источник