Как найти потенциал следующих электростатических полей - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

2018-05-14

Найти потенциал $phi (x,y)$ электростатического поля $vec{E} = 2axy vec{i} + a (x^{2} — y^{2}) vec{j}$, где $a$ — постоянная, $vec{i}$ и $vec{j}$ — орты осей $x$ и $y$.

Решение:

$- d phi = vec{E} cdot d vec{r} = [2 axy vec{i} + 2 (x^{2} — y^{2}) vec{j}] cdot [dx vec{i} + dy vec{j}]$

или, $d phi = 2axy dx + a (x^{2} — y^{2}) dy = ad (x^{2} y) — ay^{2} dy$

При интегрировании получаем:

$phi = ay left ( frac{y^{2} }{3} — x^{2} right ) + C$

Источник

Задание:

Найти потенциал φ (х, у) электростатического поля Е = a (yi + xj), где а — постоянная, i и j — орты осей x и y.

Решение:

Источник

Сообщение было отмечено Том Ардер как решение

Решение

Странное обозначение «Е». Обычно векторное поле обозначается или , или .
Значки векторов в условии не помешали бы — осваивайте редактор формул. Пора бы уже — 94 сообщения на форуме…
Потенциал — это скалярная функция векторного аргумента такая, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?bar{left(frac{partial U}{partial x}; frac{partial U}{partial y}; frac{partial U}{partial z} right)}=bar{a}left(bar{r} right)$
Ну вот, в задаче 1 берёте первую координату вашего векторного поля (т.е. ay) и приравниваете к $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?frac{partial U}{partial x}$ . Интегрируете по х с константой, зависящей от других координат (в вашей задаче это +С(y) , а в задаче 3 +С(y,z) ). Получаете выражение для U с этой константой. Далее от этого выражения берёте $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?frac{partial U}{partial y}$ и тождественно приравниваете ко второй координате вашего векторного поля. Тождественно означает, что равенство должно выполняться для всех значений координат (в этой и следующей задаче это х, y, для 3-й задачи это x,y,z). Получаете диф. уравнение, из которого находите С(y) с точностью до постоянного слагаемого, которое можно не писать. Если есть третья координата (z), то нужно выражение для U дифференцировать ещё раз, но уже по z и обратно решать диф. уравнение, из которого найти неизвестное слагаемое С.
Ответы:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1) Uleft(bar{r} right)=axy \2) Uleft(bar{r} right)=ax^2y-frac{ay^3}{3} \3) Uleft(bar{r} right)=axy+byz$
P.S. «Можно поподробнее?» в смысле «напишите полное решение» — нельзя .

Источник

1 .Потенциал электрического поля точечного заряда q.

Рассмотрим
в этом поле некоторую
точку, удалённую на расстояние r от
заряда, и найдём потенциал в этой
точке относительно бесконечности. Т.к.
разность потенциалов не зависит
от формы пути, то мы предположим, что
заряд (+1) перемещается из точки r в
бесконечность вдоль радиуса, т.е. вдоль
силовой линии. Тогда

U
=
=
(q/4pe₀)=
(1/4pe₀)q/r.

Потенциал
убывает пропорционально 1/r.

2.Плоский
конденсатор. Вычислим
разность потенциалов между положительно
заряженной пластиной и произвольной
точкой, удалённой на
расстояние
х от нее. Вспомним, напряжённость поля
в плоском конденсаторе
Е = s/e₀,
поэтому

U
=
=
s/e₀
=sx/e₀.Полное
напряжение между электродами

U_0

=sd/e₀,

где
d
— расстояние между пластинами. Поэтому

U
= U₀x/d.

В
плоском конденсаторе потенциал изменяется
с расстоянием по линейному
закону. Искажения электрического поля
вблизи краёв мы не учитываем.

3. Шаровой конденсатор.

Имеются
два электрода в виде концентрических
сфер
с радиусами а (внутренний) и в (внешний).
Напряжённость Е между электродами

Е
= q/4pe₀r²
(как и для точечного заряда).

Следовательно,
разность потенциалов между внутренней
сферой и какой-либо точкой внутри
конденсатора, удалённой на расстояние
r
от центра конденсатора, равна

U
=
=
(q/4pe₀r²
)=
(q/4pe₀r²
)(1/a – 1/r).

Если
r®¥,
то

U
= q/4pe₀a.

Разность
потенциалов между электродами U₀

U₀
=(q/4pe₀)(1/a
– 1/b).

Откуда

U
= U₀(1/a
–1/r)(1/a – 1/b),

т.о.
измеряя U₀,
можно вычислить U
в любой точке поля.

Электроёмкость. Конденсаторы.

Рассмотрим
заряженный уединенный проводник,
находящийся в неподвижном
диэлектрике (вдали от заряженных тел и
других проводников). При
сообщении ему некоторого заряда последний
распределяется по его поверхности с
различной плотностью s.
Однако характер
этого распределения зависит не от общего
заряда q,
а
только от формы проводника. Каждая новая
порция зарядов распределяется по
поверхности
проводника подобно предыдущей. Т.о., s
изменяется пропорционально
q.
Между
зарядом проводника q
и его потенциалом U
существует прямая пропорциональность:

q
= CU (1)

Коэффициент
С зависит только от размеров и формы
проводника, а также
от диэлектрической проницаемости
окружающего диэлектрика и ее распределения
в пространстве.

Он
называется емкостью
уединённого проводника.

Пример:
Для
уединенного проводящего шара радиуса
R,
несущего заряд q
и находящегося в однородной среде с
относительной диэлектрической
проницаемостью
e
потенциал

U
= q/4pe₀eR,

oткуда
С
= 4pe₀eR. (2)

Из
последней формулы видно, что ни от
материала проводника, ни от формы и
размеров возможных полостей внутри
проводника его электроёмкость не
зависит.

За
единицу электроёмкости в СИ,
называемой
фарадой
(Ф),
принимается электроёмкость
такого уединённого проводника, потенциал
которого изменяется
на один вольт при сообщении ему заряда
в один кулон: 1Ф=1К/В.

Если
проводник А не уединённый, т.е. вблизи
него имеются другие проводники,
то его электроемкость больше, чем у
такого же, но уединённого проводника,
потому что при сообщении проводнику А
заряда q
окружающие его проводники заряжаются
через влияние. Причём ближайшие
к наводящему заряду q
оказываются заряды противоположного
знака. Эти заряды несколько ослабляют
поле, создаваемое зарядом q.
Т.о. они
понижают потенциал проводника А и
повышают его электроёмкость.

Наибольший
интерес представляет система, состоящая
из двух близко расположенных
друг от друга проводников, заряды которых
численно равны, но
противоположны по знаку. Если проводники
находятся вдали от каких бы
то ни было заряженных тел и иных
проводников, то

U₁-U₂=
U = q
/C,
или
С
= q/U, (3)

где
С — взаимная электроёмкость двух
проводников, зависит от их формы, размеров
и взаимного расположения, а также от
диэлектрической проницаемости
среды.

Важным
для практики является случай, когда два
разноименно заряженных
проводника имеют такую форму и так
расположены друг относительно друга,
что
создаваемое ими электрическое поле
полностью или почти полностью
сосредоточено
в ограниченной части пространства.
Такая система проводников называется
простым конденсатором или
просто конденсатором, а сами проводники
—
его
обкладками.

Электроёмкость
конденсатора представляет собой взаимную
ёмкость его
обкладок и выражается формулой (3). В
зависимости от формы обкладок
конденсаторы делятся на плоские,
сферические и цилиндрические.

Вычислим
емкость
плоского конденсатора. Будем
считать, что зазор между
пластинами мал по сравнению с их
размерами, так что краевыми эффектами
можно пренебречь. Если поверхностная
плотность заряда s
и диэлектриком
является вакуум, то

U=sd/e₀
,

где
d
— расстояние между пластинами.

Но
q
= sS,

поэтому

С
=q/U
= e₀S
/d.

Если
диэлектриком является не вакуум, а
вещество с диэлектрической проницаемостыо
e,
заполняющее все пространство, где
имеется электрическое поле (пространство
между обкладками), то ёмкость будет в e
раз больше:

С
= ee₀S/d.

При
уменьшении расстояния d
между пластинами ёмкость увеличивается,
что можно наблюдать на опыте.

Конденсатор
характеризуется не только электроёмкостью,
но и так называемым «пробивным
напряжением» — разностью потенциалов
между его обкладками, при которой
может произойти его пробой, т.е.
электрический разряд через слой
диэлектрика в конденсаторе. Величина
пробивного напряжения зависит
от свойств диэлектрика, его толщины и
формы обкладок.

Для
получения больших электроёмкостей
конденсаторы соединяют параллельно,
рис.15. C₁

1
C₂
2

C₃
Рис. 15.

Пусть
электроёмкость конденсаторов С₁,
С₂,…С_n.

В
этом
случае общим для всех конденсаторов
является напряжение U
и мы
имеем: q₁
= С₁U,

q₂=
С₂U
,…

Суммарный
заряд, находящийся на батарее, равен

q
= Sq_i
= USC_i

и
поэтому емкость батареи

C
= q/U = SC_i.

Емкость
батареи конденсаторов, соединенных
параллельно, равна сумме емкостей
отдельных конденсаторов. Допустимое
напряжение на батарее будет
равно меньшему допустимому напряжению
из всех конденсаторов.

Если
к концам батареи последовательно
соединенных конденсаторов приложить
разность потенциалов U,
то крайние пластины зарядятся
разноименными
зарядами ± q.
Вследствие электростатической индукции
на всех
промежуточных пластинах индуцируются
заряды, также численно равные ±
q,
как
это показано на рис.16.

С₁
С₂
С₃

+q
-q
+q
-q
+q
-q

Рис.16.

Т.е.
при последовательном соединении
одинаковым
для всех конденсаторов является заряд
q,
равный полному заряду
батареи, и мы можем записать : U₁=q/C₁,
U₂=q/C₂,…

Напряжение
же батареи будет равно сумме напряжений
на отдельных конденсаторах:

U
=
=
q,

Поэтому

1/С = S1/C_i

При
последовательном соединении конденсаторов
суммируются обратные величины
емкостей. В этом случае напряжение на
каждом конденсаторе
будет меньше напряжения на батарее, и
поэтому допустимое рабочее напряжение
батареи будет больше, чем у одного
конденсатора. В отдельных
случаях используют смешанное соединение
конденсаторов.

Соседние файлы в предмете Физика

Источник

Найти потенциал φ (х, у) электростатического…

Задание:

Найти потенциал φ (х, у) электростатического поля Е = a (yi + xj), где а — постоянная, i и j — орты осей x и y.

3.49. (объединены) Найти потенциал φ (х, у) электростатического поля Е = 2ахуi + а (x² — y²)j, где a — постоянная, i и j — орты осей х и у.

3.50. (объединены) Определить потенциал φ (х, у, z) электростатического поля Е = ayi + (ах + bz)j + byk, где a и b — постоянные, i, j, k — орты осей х, у, z.

Решение:

Источник