Как найти потенциал стержня

§
15. ПОТЕНЦИАЛ. ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ЗАРЯДОВ. РАБОТА ПО ПЕРЕМЕЩЕНИЮ ЗАРЯДА
В ПОЛЕ

Основные
формулы

 Потенциал
электрического поля есть величина,
равная отношению потенциальной энергии
точечного положительного заряда,
помещенную в данную точку поля, к этому
заряду;

=П/Q,

или
потенциал электрического поля есть
величина, равная отношению работы сил
поля по перемещению точечного
положительного заряда из данной точки
поля в бесконечность к этому заряду:

=A/Q.

Потенциал
электрического поля в бесконечности
условно принят равным нулю.

Отметим, что при
перемещении заряда в электрическом
поле работа A_в.с
внешних сил равна по модулю работе A_с.п
сил поля и противоположна ей по знаку:

A_в.с=
– A_с.п.

 Потенциал
электрического поля, создаваемый
точечным зарядом Q на
расстоянии r от заряда,

.

 Потенциал
электрического поля, создаваемого
металлической, несущей заряд Q сферой
радиусом R, на расстоянии
гот центра сферы:

внутри сферы
(r<R) ;

на поверхности
сферы (r=R)

;

вне сферы (r>R) .

Во всех приведенных
для потенциала заряженной сферы формулах
 есть диэлектрическая
проницаемость однородного безграничного
диэлектрика, окружающего сферу.

 Потенциал
электрического поля, созданного системой
п точечных зарядов, в данной точке
в соответствии с принципом суперпозиции
электрических полей равен алгебраической
сумме потенциалов ₁,
₂, … , _n,
создаваемых отдельными точечными
зарядами Q₁,
Q₂, …, Q_n:

 Энергия W
взаимодействия системы точечных зарядов
Q₁, Q₂,
…, Q_n
определяется работой, которую эта
система зарядов может совершить при
удалении их относительно друг друга
в бесконечность, и выражается формулой

,

где _i
— потенциал поля, создаваемого всеми
п–1 зарядами (за исключением 1-го) в
точке, где расположен заряд Q_i.

 Потенциал связан
с напряженностью электрического поля
соотношением

Е= –grad.

В случае электрического
поля, обладающего сферической симметрией,
эта связь выражается формулой

,

или в скалярной
форме

,

а
в случае однородного поля, т. е. поля,
напряженность которого в каждой точке
его одинакова как по модулю, так и по
направлению,

E=(₁–₂,)/d,

где ₁
и ₂
— потенциалы точек двух эквипотенциальных
поверхностей; d —
расстояние между этими поверхностями
вдоль электрической силовой линии.

 Работа, совершаемая
электрическим полем при перемещении
точечного заряда Q из
одной точки поля, имеющей потенциал ₁,
в другую, имеющую потенциал ₂,

A=Q(₁—₂),
или
,

где E_l
— проекция вектора напряженности Е
на направление перемещения; dl
— перемещение.

В случае однородного
поля последняя формула принимает вид

A=QElcos,

где l
— перемещение;  —
угол между направлениями вектора Е
и перемещения l.

Примеры
решения задач

Пример 1.
Положительные заряды Q₁=3
мкКл и Q₂=20
нКл находятся в вакууме на расстоянии
r₁=l,5
м друг от друга. Определить работу A,
которую надо совершить, чтобы сблизить
заряды до расстояния r₂=1
м.

Решение.
Положим, что первый заряд Q₁
остается неподвижным, а второй Q₂
под действием внешних сил перемещается
в поле, созданном зарядом Q₁,
приближаясь к нему с расстояния r₁=t,5
м до r₂=1 м.

Работа А’
внешней силы по перемещению заряда Q
из одной точки поля с потенциалом
₁
в другую, потенциал которой ₂,
равна по модулю и противоположна по
знаку работе А сил поля по перемещению
заряда между теми же точками:

А’= —А.

Работа А сил
поля по перемещению заряда A=Q(₁—₂).
Тогда работа А’ внешних сил может
быть записана в виде

A‘=
–Q(₁—₂)=Q(₂—₁). (1)

Потенциалы точек
начала и конца пути выразятся формулами

;

.

Подставляя выражения
₁
и ₂ в
формулу (1) и учитывая, что для данного
случая переносимый заряд Q=Q₂,
получим

. (2)

Если
учесть, что 1/(4₀)=910⁹
м/Ф, то после подстановки значений
величин в формулу (2) и вычисления найдем

A‘=180 мкДж.

Пример 2. Найти
работу А поля по перемещению заряда
Q=10 нКл из точки 1
в точку 2 (рис. 15.1), находящиеся между
двумя разноименно заряженными с
поверхностной плотностью =0,4
мкКл/м² бесконечными параллельными
плоскостями, расстояние l
между которыми равно 3 см.

Решение.
Возможны два способа решения задачи.

1-й способ.
Работу сил поля по перемещению заряда
Q из точки 1 поля с потенциалом ₁
в точку 2 поля с потенциалом ₂
найдем по формуле

A=Q(₁—₂). (1)

Для определения
потенциалов в точках 1 и 2 проведем
через эти точки эквипотенциальные
поверхности I и II.
Эти поверхности будут плоскостями, так
как поле между двумя равномерно
заряженными бесконечными параллельными
плоскостями однородно. Для такого поля
справедливо соотношение

₁—₂=El, (2)

где Е —
напряженность поля; l
— расстояние между эквипотенциальными
поверхностями.

Напряженность
поля между параллельными бесконечными
разноименно заряженными плоскостями
E=/₀.
Подставив это выражение Е в формулу
(2) и затем выражение ₁—₂
в формулу (1), получим

A=Q(/₀)l.

2-й способ. Так
как поле однородно, то сила, действующая
на заряд Q, при его перемещении
постоянна. Поэтому работу перемещения
заряда из точки 1 в точку 2 можно
подсчитать по формуле

A=Fr
cos, (3)

где F
— сила, действующая на заряд; r
— модуль перемещения заряда Q
из точки 1 в точку 2; 
— угол между направлениями перемещения
и силы. Но F=QE=Q(/₀).
Подставив это выражение F в равенство
(3), а также заметив, что rcos=l,
получим

A=Q(/₀)l. (4)

Таким образом, оба
решения приводят к одному и тому же
результату.

Подставив в
выражение (4) значение величин Q,
, ₀
и l, найдем

A=13,6
мкДж.

Пример 3. По
тонкой нити, изогнутой по дуге окружности
радиусом R,
равномерно распределен заряд с линейной
плотностью =10 нКл/м.
Определить напряженность Е и
потенциал 
электрического поля, создаваемого таким
распределенным
зарядом в точке О, совпадающей с
центром кривизны дуги. Длина l
нити составляет 1/3 длины окружности и
равна 15 см.

Решение. Выберем
оси координат так, чтобы начало координат
совпадало с центром кривизны дуги, а
ось у была симметрично расположена
относительно концов дуги (рис. 15.2). На
нити выделим элемент длины dl.
Заряд dQ=dl,
находящийся на выделенном участке,
можно считать точечным.

Определим
напряженность электрического поля в
точке О. Для этого найдем сначала
напряженность dE
поля, создаваемого зарядом dQ:

,

где r
—радиус-вектор, направленный от элемента
dl к
точке, напряженность в которой вычисляется.
Выразим вектор dE через проекции dE_x
c и dE_y
на оси координат:

,

где i
и j — единичные векторы
направлений (орты).

Напряженность Е
найдем интегрированием:

.

Интегрирование
ведется вдоль дуги длины l.
В силу симметрии интеграл

равен нулю. Тогда

, (1)

где
.
Так как r=R=const
и dl=Rd.
то

Подставим найденное
выражение dE_y
в (1) и, приняв во внимание симметричное
расположение дуги относительно оси Оу,
пределы интегрирования возьмем от 0 до
/3, а результат
удвоим;

.

Подставив указанные
пределы и выразив R
через длину дуги (3l=2r),
получим

.

Из этой формулы
видно, что вектор Е совпадает с
положительным направлением оси Оу
Подставив значение 
и l в последнюю формулу и сделав
вычисления, найдем

E=2,18
кВ/м.

Определим потенциал
электрического поля в точке О. Найдем
сначала потенциал d,
создаваемый точечным зарядом dQ
в точке О:

Заменим r
на R и произведем
интегрирование:

.Так
как l=2R/3,
то

=/(6₀).

Произведя вычисления
по этой формуле, получим

=188 В.

Пример 4.
Электрическое поле создана длинным
цилиндром радиусом R=1
см, равномерно заряженным с
линейной плотностью =20
нКл/м. Определить разность потенциалов
двух точек этого поля, находящихся на
расстояниях a₁=0,5
см и а₂=2 см от поверхности
цилиндра, в средней его части.

Решение. Для
определения разности потенциалов
воспользуемся соотношением между
напряженностью поля и изменением
потенциала Е= —grad.
Для поля с осевой симметрией, каким
является поле цилиндра, это соотношение
можно записать в виде

Е= –(d/dr),
или d=
—Еdr.

Интегрируя последнее
выражение, найдем разность потенциалов
двух точек, отстоящих на r₁
и r₂ от оси
цилиндра;

. (1)

Так как цилиндр
длинный и точки взяты вблизи его средней
части, то для выражения напряженности
поля можно воспользоваться формулой
.
Подставив это выражение Е в равенство
(1), получим

(2)

Так как величины
r₂ и r₁
входят в формулу в виде отношения, то
их можно выразить в любых, но только
одинаковых единицах:

r₁=R+a₁=1,5
см; r₂=R+a₂=3
см.

Подставив значения
величия , ₀,
r₁ и r₂
в формулу (2) и вычислив, найдем

₁—₂=250
В.

Пример 5.
Электрическое поле создано тонким
стержнем, несущим равномерно распределенный
по длине заряд =0,1
мкКл/м. Определить потенциал 
поля в точке, удаленной от концов стержня
на расстояние, равное длине стержня.

Решение. Заряд,
находящийся на стержне, нельзя считать
точечным, поэтому непосредственно
применить для вычисления потенциала
формулу

, (1)

справедливую
только для точечных зарядов, нельзя. Но
если разбить стержень на элементарные
отрезки dl,
то заряд dl,
находящийся на каждом из них, можно
рассматривать как точечный и тогда
формула (1) будет справедлива. Применив
эту формулу, получим

, (2)

где r
— расстояние точки, в которой
определяется потенциал, до элемента
стержня.

Из рис. 15.3 следует,
что dl=(rd/cos).
Подставив это выражение dl
в формулу (2), найдем.

Интегрируя
полученное выражение в пределах от ₁
да ₂,
получим потенциал, создаваемый всем
зарядом, распределенным на стержне:.

В
силу симметрии расположения точки А
относительно концов стержня имеем ₂=₁
и поэтому.

Следовательно,

.Так
как

Рис 15.3

(см. табл. 2), то.

Подставляя пределы
интегрирования, получим

Сделав вычисления
по этой формуле, найдем

=990 В.

Пример 6.
Электрон со скоростью v=1,8310⁶
м/с влетел в однородное электрическое
поле в направлении, противоположном
вектору напряженности поля. Какую
разность потенциалов U
должен пройти электрон, чтобы обладать
энергией E_i=13,6
эВ*? (Обладая такой энергией, электрон
при столкновении с атомом водорода
может ионизировать его. Энергия 13,6 эВ
называется энергией ионизации водорода.)

Решение.
Электрон должен пройти такую разность
потенциалов U, чтобы приобретенная
при этом энергия W в
сумме с кинетической энергией T,
которой обладал электрон перед вхождением
в поле, составила энергию, равную энергии
ионизации E_i,
т. е. W+T=E_i.
Выразив в этой формуле W=eU
и Т =(mv²/2),
получим eU+(mv²/2)=E_i.
Отсюда.

___________________

* Электрон-вольт
(эВ) — энергия, которую приобретает
частица, имеющая заряд, равный заряду
электрона, прошедшая разность потенциалов
1 В. Эта внесистемная единица энергии в
настоящее время допущена к применению
в физике.

Произведем
вычисления в единицах СИ:

U=4,15 В.

Пример 7. Определить
начальную скорость υ₀
сближения про­тонов, нахо­дя­щихся
на достаточно большом расстоянии друг
от друга, если минимальное расстояние
r_min, на которое
они могут сблизиться, равно 10^-11
см.

Р е ш е н и е. Между
двумя протонами действуют силы
оттал­кивания, вслед­ствие чего
движение протонов будет замедленным.
Поэтому задачу можно ре­шить как в
инерциальной системе коор­динат
(связанной с центром масс двух протонов),
так и в неинер­циальной (связанной с
одним из ускоренно движу­щихся
протонов). Во втором случае законы
Ньютона не имеют места. Примене­ние
же принципа Даламбера затруднительно
из-за того, что ускорение системы будет
переменным. Поэтому удобно рассмотреть
задачу в инерциальной сис­теме отсчета.

Поместим начало
координат в центр масс двух протонов.
По­скольку мы имеем дело с одинаковыми
частицами, то центр масс будет находиться
в точке, делящей пополам отрезок,
соединяющий частицы. Относительно
центра масс частицы будут иметь в любой
момент времени одинаковые по модулю
скоро­сти. Когда частицы находятся
на достаточно большом расстоянии друг
от друга, скорость υ₁ каждой
частицы равна половине υ₀,
т. е. υ₁ =υ₀/2.

Для решения задачи
применим закон сохранения энергии,
со­гласно кото­рому полная механическая
энергия Е изолированной системы
постоянна, т. е.

Е=Т+П,

где Т — сумма
кинетических энергий обоих протонов
относительно центра масс; П — потенциальная
энергия системы зарядов.

Выразим потенциальную
энергию в начальный П₁ и конечный
П₂ моменты движения.

В начальный момент,
согласно условию задачи, протоны
нахо­дились на большом расстоянии,
поэтому потенциальной энергией можно
пренебречь (П₁=0). Следовательно,
для начального момента полная энергия
будет равна кинетической энергии T₁
протонов, т. е.

E=T_l.
(1)

В конечный момент,
когда протоны максимально сблизятся,
скорость и кинети­ческая энергия
равны нулю, а полная энергия будет равна
потенциальной энер­гии П₂, т. е.

Е=П₂.
(2)

Прирав­няв правые
части равенств (1) и (2), получим

T₁=П₂.
(3)

Кинети­ческая
энергия равна сумме кинетических энергий
про­тонов:

(4)

Потенциальная
энергия системы двух зарядов Q₁
и Q₂, находя­щихся
в вакууме, определяется по формуле
,
где r — расстоя­ние
между зарядами. Воспользовавшись этой
формулой, полу­чим

(5)

С учетом равенств
(4) и (5) формула (3) примет вид

откуда

Выполнив вычисления
по полученной формуле, найдем υ₀=2,35
Мм/с.

Пример
8. Электрон без на­чальной скорости
прошел разность потен­циалов U₀=10
кВ и влетел в пространство между
пластинами плоского конденсатора,
заряжен­ного до разности потенциалов
U_l=100 В, по ли­нии АВ,
парал­лельной пластинам (рис. 15.4).
Рас­стояние d между пла­стинами
равно 2 см. Длина l₁
­пластин конденсатора в нап­равлении
по­лета элек­трона, равна 20 cм.
Определить рас­стояние ВС на
экране Р, от­стоящем от конденсатора
на l₂=1 м.

Р е ш е н и е. Движение
электрона внутри конденсато­ра
складыва­ется из двух дви­жений: 1)
по инерции вдоль линии АВ с постоянной
скоро­стью υ₀, приобретенной
под действием разности потенциалов U₀,
кото­рую электрон прошел до
конденсатора; 2) равномерно ускоренного
дви­жения в вертикальном направлении
к положительно заряженной пла­стине
под действием постоянной силы поля
конденсатора. По вы­ходе из конденсатора
электрон будет двигаться равномерно
со скоро­стью υ, которую он имел
в точке М в момент вылета из
кон­денсатора.

Из рис. 15.4 видно,
что искомое расстояние |BC|=h₁+h₂,
где с h₁ — рас­стояние, на
которое сместится электрон в вертикальном
направлении во время движения в
конденсаторе; h₂ — расстояние
между точкой D на эк­ране, в которую
электрон попал бы, двигаясь по выходе
из конденса­тора по направлению
начальной скорости υ₀, и точкой
С, в которую электрон попадет в
действительности.

Выразим отдельно
h₁ и h₂. Пользуясь
формулой длины пути равно­мерно
ускоренного движе­ния, найдем

.
(1)

где а — ускорение,
полученное электроном под действием
поля конден­сатора; t- время полета
электрона внутри конденсатора.

По второму закону
Ньютона a=F/m, где F — сила, с которой
поле дей­ствует на электрон; т- его
масса. В свою очередь, F
=eE=eU₁/d, где е — заряд
электрона; U₁ — разность
потенциалов между пластинами конден­сатора;
d — расстояние между ними. Время
полета электрона внутри конденсатора
найдем из фор­мулы пути равномерного
движения
,
откуда

где l₁
— длина конденсатора в направлении
полета электрона. Выраже­ние скорости
найдем из условия равенства работы,
совер­шенной полем при перемещении
электрона, и приобретенной им кинетической
энер­гии:.
Отсюда

(2)

Подставляя в
формулу (1) последовательно значения а,
F, t и υ₀²
из со­ответствующих выражений,
получим

Длину отрезка h₂
найдем из подобия треугольников MDC
и век­тор­ного:

(3)

где υ₁
— скорость электрона в вертикальном
направлении в точке М; l₂—
расстояние от конденсатора до экрана.

Скорость υ₁
найдем по формуле υ₁=at, которая
с учетом выра­жений для а, F и t
примет вид

Подставив выражение
υ₁ в формулу (3), получим
,
или, заменив υ₀² по
формуле (3), найдем

Окончательно для
искомого расстояния |BC|
будем иметь

|BC|=­

­Подставив
значения величин U₁, U₀,
d, l₁ и l₂
в последнее выражение и произведя
вычисления, получим |BC|=5,5cм.

Задачи

Потенциальная
энергия и потенциал поля точечных
зарядов

15.1. Точечный
заряд Q = 10 нКл, находясь в некоторой
точке поля, обладает потенциальной
энергией П = 10 мкДж. Найти потенциал φ
этой точки поля.

5.2. При перемещении
заряда Q=20 нКл между двумя точками
поля внеш­ними силами была совершена
работа А=4 мкДж. Определить работу
A₁ сил поля и разность Δφ
потенциалов этих точек поля.

15.3. Электрическое
поле создано точечным положительным
заря­дом Q₁=6 нКл. Положительный
заряд Q₂ переносится из точки
А этого поля в точку В (рис. 15.5).
Каково изменение потенциаль­ной
энергии ΔП, приходящееся на единицу
переносимого заряда, если r₁=20
см и r₂=50 см?

15.4. Электриче­ское
поле создано точечным зарядом Q_l=50
нКл. Не пользуясь понятием потенциала,
вычислить работу А в
нешних
сил по пе­ремещению точечного заряда
Q₂= -2 нКл из точки С в точку
В

(рис. 15.6), если r₁=10
см, r₂=20 см.
Определить также измене­ние ΔП
потенциальной энергии сис­темы
зарядов.

15.5. Поле создано
точечным зарядом Q=1 нКл. Определить
потен­циал φ поля в точке, удаленной
от заряда на расстояние r=20
см.

15.6. Определить
потенциал φ электрического поля в точке,
,удаленной от зарядов Q₁= -0,2
мкКл и Q₂=0,5 мкКл соответственно
на r₁=15 см и r₂=25
см. Определить также минимальное и
мак­симальное расстояния между
зарядами, при которых возможно решение.

15.7. Заряды Q₁=1
мкКл и Q₂= -1 мкКл находятся
на рас­стоянии d=10 см. Определить
напряженность Е и потенциал φ поля
в точке, уда­ленной на рас­стояние
r= 10 см от первого
заряда и лежащей на линии, проходящей
через первый заряд перпенди­кулярно
направлению от Q₁ к Q₂.

15.8. Вычислить
потенциальную энергию П системы двух
точеч­ных зарядов Q₁=100 нКл
и Q₂=10 нКл, находящихся на
рас­стоянии d=10 см друг от друга.

15.9. Найти
потенциальную энергию П системы трех
точечных за­рядов Q₁=10 нКл,
Q₂=20 нКл и Q₃= -30
нКл, расположенных в вершинах
равностороннего треугольника со стороной
длиной a=10 см.

15.10. Какова
потенциальная энергия П системы четырех
одинако­вых то­чечных зарядов Q=10
нКл, расположенных в верши­нах квадрата
со стороной дли­ной а=10 см? .

15.11. Определить
потенциальную энергию П системы четырех
то­чечных зарядов, расположенных в
вершинах квадрата со стороной дли­ной
a=10 см. За­ряды одинаковы по модулю
Q=10 нКл,но два из них отрицательны.
Рассмотреть два возможных случая
расположения зарядов.

15.12.
Поле создано двумя точечными зарядами
+2Q и -Q, находящимися на
расстоянии d=12 см друг от друга.
Определить геометрическое место точек
на плоскости, для которых потенциал
равен нулю (написать уравнение линии
нулевого потенциала).

5.13. Система
состоит из трех зарядов — двух одинаковых
по величине Q₁=|Q₂|=1
мкКл и противоположных по знаку и заряда
Q=20 нКл, расположенного точке 1
посередине между двумя другими зарядами
системы (рис. 15.7). Определить изменение
потенциальной энергии ΔП системы при
переносе заряда Q из точ­ки 1 в
точку 2. Эти точки удалены от отрицательного
заряда Q₁ на расстояние а=0,2
м.

---

---

Нашли ошибку? Сообщите в комментариях (внизу страницы)

Раздел: Физика Полное условие: 15 пример 5. Электрическое поле создано тонким стержнем, несущим равномерно распределенный по длине заряд τ=0,1 мкКл/м. Определить потенциал φ поля в точке, удаленной от концов стержня на расстояние, равное длине стержня. Решение, ответ задачи 5673 из ГДЗ и решебников: Этот учебный материал представлен 1 способом: Для просмотра в натуральную величину нажмите на картинку Идея нашего сайта — развиваться в направлении помощи ученикам школ и студентам. Мы размещаем задачи и решения к ним. Новые задачи, которые недавно добавляются на наш сайт, временно могут не содержать решения, но очень скоро решение появится, т.к. администраторы следят за этим. И если сегодня вы попали на наш сайт и не нашли решения, то завтра уже к этой задаче может появится решение, а также и ко многим другим задачам. основной поток посетителей к нам — это из поисковых систем при наборе запроса, содержащего условие задачи

Счетчики: 7272 | Добавил: Admin

Добавить комментарий Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи. [ Регистрация | Вход ]

15.16.Тонкий стержень длиной l=10 см несет равномерно распределенный заряд Q=1 нКл. Определить потенциал  электрического
поля в точке, лежащей на оси стержня на расстоянии, а=20 см от ближайшего его конца.

Дано:       Решение:

l=0,1 м

Q=Кл

а=0,2 м

_-?

15.17.Тонкие стержни образуют квадрат со
стороной длиной а.
Стержни заряжены
с линейной плотностью =1,33 нКл/м. Найти потенциал  в центре
квадрата.

_{Дано:                                                Решение:}

= Кл/м

 _-?

15.18.Бесконечно длинная тонкая прямая
нить несет равномерно
распределенный по длине нити заряд с линейной плотностью =0,01 мкКл/м. Определить разность
потенциалов  двух
точек поля,
удаленных от нити на =2
см и =4
см.

Дано:                 Решение:

= Кл/м

 

_{=0,04 м}

_-?

Потенциал поля зарядов,
распределенных по поверхности

15.19.Тонкая круглая пластина несет
равномерно распределенный
по плоскости заряд Q=1 нКл.
Радиус R пластины равен 5 см. Определить
потенциал  электрического поля в двух
точках: 1)в центре
пластины; 2) в точке, лежащей на оси, перпендикулярной плоскости пластины и
отстоящей от центра пластины на а=5 см.

Дано:       Решение:

Q=Кл

R=0,05 м

а=0,05 м

 _-?

15.20.Имеются две концентрические
металлические сферы радиусами
=3 см и =6 см. Пространство между
сферами заполнено парафином. Заряд  внутренней сферы равен -1 нКл, внешний =2 нКл. Найти потенциал  электрического поля на расстоянии: 1) =1 см; 
2) =5 см; 3) =9 см от центра сфер.

_{Дано:                 Решение:}

=0,03 м

=0,06
м

= Кл

 Кл

 м

 м

 м

 _-?      

Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения

2017-05-27   

Тонкий стержень длины $l = 10 см$ равномерно заряжен зарядом $Q = — 3 cdot 10^{-9} Кл$ (рис.). Найти напряженность поля и потенциал в точке С, лежащей на оси стержня. Расстояние от середины стержня до этой точки $x_{0} = 20 см$. Определить, при каком наименьшем значении $x_{0}/l$ напряженность можно рассчитывать по формуле поля точечного заряда, если относительная погрешность не превышает 5%.

Решение:

Электростатическое поле создано зарядом, распределенным по тонкому стержню. Конфигурация зарядов не позволяет установить точное расположение силовых линий в пространстве, поэтому для определения характеристик поля следует использовать принцип суперпозиции. Разобьем стержень на элементарные участки длины $dl$ с зарядом $dQ$. Каждый такой участок можно принять за точечный заряд, создающий потенциал

$d phi = dQ/(4 pi epsilon_{0} r)$,

где $r$ — расстояние от элемента $dl$ до точки С.

Потенциал результирующего поля

$phi = int_{(Q)} frac{dQ}{4 pi epsilon_{0} r}$, (1)

где $(Q)$ показывает, что интеграл берется по всему заряду $Q$, создающему поле. Поскольку требуется найти напряженность и потенциал поля в точках, лежащих на оси стержня, введем ось ОХ. Тогда длина элемента $dl = dx$, положение элемента определяется его координатой х, а расстояние от этого элемента до точки С

$r = x_{0} — x$. (2)

Вследствие симметрии очевидно, что в точках, лежащих на оси ОХ, вектор $vec{E}$ направлен вдоль этой оси, поэтому

$E_{x} = — d phi / dx, E_{y} = E_{z} = 0$. (3)

Равномерное распределение заряда по стержню позволяет утверждать, что $dQ/dl = Q/l$, откуда $dQ = (Q/l)dl$.

Так как $dl = dx$ и при интегрировании по стержню переменная х изменяется в пределах от $- l/2$ до $+ l/2$, то согласно (1) и (2)

$phi = frac{Q}{4 pi epsilon_{0} l} int_{-l/2}^{+l/2} frac{dx}{x_{0}- x}$.

Производя интегрирование, получаем

$phi = frac{Q}{ 4 pi epsilon_{0} l} ln frac{x + l/2}{x — l/2}$. (4)

Для $x_{0} = 20 см phi_{C} = — 138 В$.

Расстояние $x_{0}$ в выбранной системе координат представляет собой абсциссу х точки С, и выражение (4) можно записать как функцию координаты х:

$phi = frac{Q}{4 pi epsilon_{0} l} ln frac{x_{0} + l/2}{x_{0} — l/2}$.

Тогда

$E_{x} = — frac{d phi}{dx} = frac{Q}{4 pi epsilon_{0} l} left ( frac{1}{X — l/2} — frac{1}{x + l/2} right )^{1}$. (5)

Поскольку заряд $Q < 0$, то $E_{x} < 0$ и $E = — E_{x}$, если $x > l/2$ (справа от стержня), $E_{x} > 0$ и $E = E_{x}$, если $x < — l/2$ (слева от стержня). Следует заметить, что формулы, выведенные для потенциала и напряженности, справедливы только для $| x | > l/2$.

Подставляя $x = x_{0} = 20 см$ в (5), получаем $E_{0} = 720 В/м$, причем вектор $vec{E}_{0}$ направлен противоположно направлению оси ОХ.

Чтобы ответить на второй вопрос задачи, проанализируем выражение (5). Очевидно, что пренебречь $l/2$ по сравнению с х нельзя. В этом случае напряженность электрического поля обратится в нуль. Преобразуем выражение, стоящее в скобках: приведем дроби к общему знаменателю, после чего вынесем в знаменателе $x^{2}$ за скобки:

$frac{1}{x — l/2} — frac{1}{x + l/2} = frac{l}{x^{2} [1 — l^{2} /(4x^{2})]} = frac{1}{x^{2}} left ( 1 + frac{l^{2}}{4x^{2}} right )$

[последнее преобразование возможно, если членами, содержащими $l/(2x)$ в степени, большей 2, пренебречь]. Таким образом [см. (5)],

$E = frac{Q}{4 pi epsilon_{0} x^{2}} left ( 1 + frac{l^{2}}{4x^{2}} right )$. (6)

По приближенной формуле напряженность поля точечного заряда

$E_{прибл} = frac{Q}{4 pi epsilon_{0} x^{2}}$. (7)

Из сравнения выражений (6) и (7) видно, что погрешность приближенного расчета

$delta E = frac{|E — E_{прибл}|}{E_{прибл}} = frac{l^{2}}{4x^{2}}$.

По условию $delta E = 0,05$, следовательно, $x_{0}/l = sqrt{5} approx 2,2$, т. е. даже при таком небольшом удалении от стержня можно пользоваться приближенной формулой напряженности поля точечного заряда, если допустимая погрешность 5%.