Как найти потенциал в центре кольца

По тонкому проволочному кольцу равномерно распределен заряд с линейной плотностью τ = 100 пКл/м. Определить потенциал Φ электрического поля в центре кольца.

Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 8 октября 2007 года.

Решение:

Потенциал в центре проволочного кольца определим по принципу суперпозиции, разбив кольцо на элементарные участки с зарядом q_i. Получим формулу (на рисунке слева), в которой:

i — количество разбиений,

потенциал Φ_i, создаваемый в центре кольца элементарным зарядом q_i, равен:

Из формулы линейной плотности заряда кольца

выразим:

Произведем суммирование Φ:

Φ =

1

•

qiN

=

1

•

q

=

2πτR

=

τ

.

4πεo

R

4πεo

R

4πεoR

2εo

---

11

Семестр 3. Лекция 2.

Лекция 2. Потенциал электростатического
поля.

Работа
электростатического поля при перемещении
зарядов. Циркуляция вектора напряжённости.
Связь напряжённости и потенциала.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОТСТУПЛЕНИЕ

Будем
предполагать, что в некоторой области
пространства задано непрерывно-дифференцируемое
векторное поле
.

1) Поток
векторного поля через поверхность.

Потоком
вектора

через некоторую поверхность называется
величина
.

В
простейшем случае плоской поверхности
S и однородного векторного
поля поток определяется как

,

где 
— угол между вектором

и нормалью

к площадке S.

Если
поверхность S не
является плоской, то она разбивается
на элементарные участки величиной dS,
такие, что каждый из них можно рассматривать
как малую часть плоскости, а поле вблизи
площадки – постоянным. Затем для каждого
из участков ищется соответствующая
величина
,
а потом производится суммирование по
всей поверхности
.

Если
ввести вектор, перпендикулярный к каждой
площадке:
,
где

— единичная нормаль к площадке dS,
то величину потока записать можно в
виде
.

Тогда
поток через всю поверхность
.

Пример.
Найдем объем жидкости протекающей через
некоторую малую наклонную площадку за
единицу времени.

Пусть
скорость жидкости равна v
и в пределах площадки её можно считать
постоянной, тогда объём жидкости,
пошедшей через площадку за малый
промежуток времени dt
заполнит внутренность косого
параллелепипеда, объём которого равен
.
Здесь  — угол
отклонения вектора скорости жидкости

от направления, перпендикулярного
площадке — т.е. угол между вектором
единичной нормали к площадке и вектором
скорости жидкости. Если ввести вектор
,
то объёмный расход жидкости, т.е. объём
жидкости, протекающей через площадку
в единицу времени, определяется
соотношением
.

2) Интеграл
от векторного поля вдоль кривой линии
Г:

,
где

— касательный вектор к каждой точке
кривой. Таким образом, кривая является
ориентированной – она имеет начальную
и конечную точки (так как задано
направление вдоль кривой с помощью
вектора
).

В случае,
когда векторное поле постоянное, а
кривая – отрезок прямой линии длиной
L, интеграл равен

где 
— угол между векторами поля и касательным
вектором.

В случае
если кривая линия не является прямой и
векторное поле не постоянное, нужно
разбить линию на малые почти прямолинейные
участки длиной dl ,
такие, что на каждом из участков поле
можно рассматривать как постоянное.
Для каждого участка найти величину
,
а затем просуммировать полученные все
выражения

.

Пусть
кривая линия является замкнутой (без
самопересечений во внутренних точках).
Такую линию будем в дальнейшем называть
контуром. Интеграл от векторного
поля

по замкнутой кривой Г:

называется циркуляцией этого
векторного поля вдоль контура Г.

3) Теорема
Стокса.

Если
рассмотреть незамкнутую поверхность
S, то край этой
поверхности будет являться замкнутой
кривой. Будем считать, что поверхность
является ориентируемой (т.е. она –
двусторонняя). (Односторонней поверхностью
является, например, лента Мёбиуса –
поэтому она не ориентируемая). Если Г –
кривая, являющаяся краем поверхности
S, то можно рассмотреть
циркуляцию векторного поля вдоль края
Г:
.

Векторному
полю

можно сопоставить ещё одно векторное
поле
,
которое называется ротором
векторного поля
.
В декартовой системе координат оно
определяется соотношением

где
,
,

— орты декартовой системы координат.

Теорема
Стокса гласит:

.

Циркуляция
векторного поля вдоль края ориентируемой
поверхности равна потоку ротора этого
поля через эту поверхность. Направление
касательного вектора

к краю Г выбирается так чтобы поверхность
оставалась слева при обходе, а нормаль
направлена наружу (правый винт).

Смысл
ротора можно прояснить следующим
примером. Рассмотрим диск, вращающийся
вокруг оси симметрии с угловой скоростью
. Скорость любой
точки определяется расстоянием до оси
вращения
.
Вектор скорости любой точки направлен
по касательной к её траектории –
окружности с центром на оси вращения.
Можно сказать, что на диске задано
векторное поле – поле векторов скоростей
всех точек
.
Найдем ротор этого поля
.
Воспользуемся теоремой Стокса

.

Если
взять малую площадку S,
то по теореме о среднем для интеграла
можно приближенно записать

,

где

— проекция ротора на нормаль к площадке
S.

В
качестве контура Г возьмём окружность
малого радиуса R с
центром на оси вращения. Длина этой
окружности
,
она охватывает площадку S,
площадь которой
.

В каждой
точке этой окружности вектор скорости
направлен по касательной к ней, поэтому
угол между малым касательным вектором

и вектором скорости

равен нулю. Следовательно

.

На
выбранной окружности Г величина скорости
не меняется
.
Тогда

.

Интеграл

равен длине окружности Г, поэтому
циркуляция
.

Откуда

После
сокращений устремим радиус окружности
R к нулю, и получим проекцию
ротора на ось вращения

.

Т.е.
ротор векторного равен удвоенной угловой
скорости вращения точек области, где
задано векторное поле. Поэтому иногда
ротор также называют вихрем поля.
Поля, для которых ротор отличен от нуля
называют вихревыми или соленоидальными.
Оказывается, для любого вихревого поля

существует некоторое векторное поле
,
такое, что выполняется равенство

.

4)
Векторное поле
,
для которого существует
непрерывно-дифференцируемая функция
Ф, такая, что выполняется равенство

называется
потенциальным.

Ротор
потенциального поля равен нулевому
вектору
.

Действительно,
т.к.
,
то

.

5) Теорема
Остроградского-Гаусса.

Любому
векторному полю

соответствует функция, называемая
дивергенцией этого векторного поля

.

Теорема
Остроградского-Гаусса гласит

поток
векторного поля через замкнутую
поверхность, ориентированную наружу,
равен интегралу от дивергенции этого
поля по объёму, охваченному этой
поверхностью

Смысл
дивергенции. Рассмотрим выпуклую
поверхность, охватывающую достаточно
малый объём. Тогда по теореме о среднем
для интеграла

Предположим,
что векторное поле «втекает» внутрь
объёма V, т.е. в каждой
точке поверхности S
векторы

направлены против векторов нормалей
.
Поэтому в каждой точке скалярное
произведение

отрицательно.

Тогда
интеграл
.
Так как величина объёма V>0,
то

.

Говорят,
что в этом случае поле имеет внутри
поверхности S «сток» —
«оно как бы стекает в некоторую дырку».

Если же
,
то говорят, что у поля есть «источник».

Можно
заметить, что в случае стока или
источника поля, при стягивании
поверхности S в точку,
векторное поле становится похожим на
картину силовых точечных зарядов.

В этом
случае положительные заряды являются
источниками электрического поля и
для них
.

Отрицательные
заряды являются стоками электрического
поля. Для них
.

Электрические
заряды принято называть просто источниками
(положительными и отрицательными)
электрического поля.

Таким
образом, силовые линии электрического
поля не являются непрерывными линиями
– они имеют начало и конец.

Вихревое
электрическое поле

не имеет источников. Действительно,
в случае вихревого поля

существует некоторое поле
,
такое, что
,
поэтому

Но

поэтому

Так как
вихревое поле не имеет источников, то
его силовые линии нигде не разрываются,
т.е. они непрерывные и замкнутые.

ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Работа, совершаемая силами поля, при
относительном изменении положения двух
зарядов равна:

.

Пусть
теперь один заряд q₁=Q
закреплен неподвижно, так что перемещаться
будет второй заряд q₂=q,
поэтому выражение для работы примет
вид

.

Поэтому
отношение

не зависит от заряда q, а
определяется полем.

Энергетическая характеристика
электрического поля – отношение энергии
взаимодействия точечного заряда с полем
W к величине этого заряда
q называется потенциалом
поля в данной точке

.

Единица
измерения потенциала Вольт (В). 1 В =1 Дж/
1 Кл.

Таким
образом, если поле создается точечным
зарядом Q, то на расстоянии
R от него потенциал
определяется по формуле (С=0)

.

Тогда,
с учетом определения потенциала работу
сил поля по перемещению заряда q
можно записать в виде

.

Т.е.
разность потенциалов между двумя
точками поля – это отношение работы
сил поля (кулоновских сил) по переносу
заряда между этими точками к величине
этого заряда

.

В
частности, если заряд q
удаляется от заряда Q на
очень большое расстояние (R_КОН
=), то

,

где
.
Тогда потенциал данной точки поля можно
определить как отношение работы сил
поля по перемещению заряда q
на очень большое расстояние из данной
точки к величине этого заряда.

Поверхности
в пространстве, на которых потенциал
остается постоянным, называются
эквипотенциальными поверхностями.

Силовые линии направлены перпендикулярно
эквипотенциальным поверхностям в каждой
их точке.

СВЯЗЬ НАПРЯЖЕННОСТИ И ПОТЕНЦИАЛА.

Так как
энергия взаимодействия точечного заряда
с электрическим полем и сила, действующая
на этот заряд со стороны поля, связаны
соотношением
,
то из определений получаем
.

Таким
образом, связь между напряженностью и
потенциалом электростатического поля
дается выражением (в дифференциальной
форме)

.

Следовательно,
электростатическое поле является
потенциальным полем.

Из
свойств градиента следует, что вектор
напряжённости электрического поля
направлен в сторону наибольшего убывания
потенциала, перпендикулярно
эквипотенциальной поверхности.

Работа
сил электрического поля

.

В то же
время
.

Сравниваем
эти выражения и получаем

.

Если
обозначить изменение потенциала как

(НЕ ПУТАЙТЕ С ОПЕРАТОРОМ ЛАПЛАСА!), то
получим связь напряженности и потенциала
в интегральной форме

Из этого
выражения следует теорема о циркуляции
для электростатического поля.

Для
любой замкнутой траектории (любой кривой
линии) Г находящейся в области
пространства, где создано электростатическое
поле значение интеграла

.

вдоль
этой замкнутой линии Г всегда равно
нулю.

Действительно,
в случае, когда точечный заряд перемещается
вдоль какой-то замкнутой траектории Г,
выполняется равенство
,
поэтому

.

Из
теоремы Стокса следует дифференциальная
форма теоремы о циркуляции:

т.к.
электростатическое поле потенциальное,
то его ротор равен нулевому вектору в
каждой точке:

.

Пример.
Можно ли создать неоднородное
электростатическое поле, силовые линии
которого параллельны друг другу?

В
электростатическом поле для любого
замкнутого контура Г выполняется
равенство
.
Если возьмём в качестве контура Г
прямоугольник ABCD, то
интеграл можно разбить на 4 интеграла
вдоль сторон этого прямоугольника:

.

Но на
сторонах AB и CD
векторы

и

перпендикулярны друг другу, т.е.
,
поэтому

и
.

На
стороне BC векторы

и

направлены одинаково, на стороне DA
направлены противоположно, откуда

.

Вблизи
стороны BC силовые линии
расположены гуще, чем вблизи стороны
DA, поэтому

,
следовательно

.

То есть
для такого поля не выполняется теорема
о циркуляции.

Принцип суперпозиции для потенциалов.

Из
принципа суперпозиции следует

,

т.е.
.

Потенциал
в данной точке поля, создаваемого
системой зарядов равен алгебраической
сумме потенциалов поля, создаваемых
каждым из зарядов в отдельности.

Пример.
Рассмотрим электрическое поле,
создаваемое заряженным кольцом, радиус
которого R. Найдем
потенциал на оси кольца на расстоянии
z от плоскости кольца.

Решение.
Разобьем кольцо на большое количество
участков, опирающихся на центральный
угол
.
(Длина одного участка
.)
Заряд одного участка
,
где Q – заряд кольца. Будем
считать, что Q>0. Принимая
малый участок кольца за точечный заряд
можно найти потенциал поля на оси кольца,
создаваемого одним участком:
,
где
.
Тогда, в соответствии с принципом
суперпозиции, суммарный потенциал

.

Из этой
формулы видно, что потенциал в центре
кольца (z=0) равен
.

Энергия
системы зарядов равна сумме энергий
попарных взаимодействий

Здесь
множитель

учитывает, что одна и та же пара индексов
встречается в этом выражении два раза
— один раз как (ij), а
второй раз как (ji).

Запишем
это выражение через потенциалы

.

Последнее
выражение включает в себя сумму
потенциалов полей
,
создаваемых всеми зарядами, за исключением
номера i, в том месте,
где находится заряд c
номером i.

Пример.
Найдем энергию взаимодействия двух
точечных зарядов q₁
и q₂.

В точке,
где находится заряд q₁,
второй заряд создаёт потенциал
.
В точке, где находится заряд q₂,
первый заряд создаёт потенциал
.
Тогда

.

Очень
часто распределение зарядов в пространстве
можно задать с помощью функции, называемой
плотностью распределения.

1. Объёмная
   плотность распределения
   
   (единицы измерения Кл/м³). Тогда
   суммарный заряд объема
   .
   Энергию взаимодействия некоторого
   точечного заряда q с
   заряженным телом можно определить
   следующим образом
   ,
   где r – расстояние
   от точечного заряда q
   до точки, где задана плотность
   .

2. Поверхностная
   плотность распределения заряда
   
   (единицы измерения Кл/м²). Тогда
   суммарный заряд поверхностности
   .
   Энергия взаимодействия некоторого
   точечного заряда q с
   заряженной поверхностью
   
   где r – расстояние
   от точечного заряда q
   до точки, где задана плотность
   .

3. Линейная
   плотность распределения заряда
   
   (Единицы измерения Кл/м). Тогда суммарный
   заряд кривой линии
   .
   Энергия взаимодействия некоторого
   точечного заряда q с
   заряженной линией
   
   где r – расстояние
   от точечного заряда q
   до точки, где задана плотность
   .

Соседние файлы в папке лекции_3й_семестр

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

---

Задание:

Определить потенциал в центре плоского кольца с внешним диаметром D = 0,8 м и внутренним d = 0,4 м, если на нем равномерно распределен заряд q = 6*10–7 Кл.

Решение:

2017-04-30   

По кольцу радиусом $R$ равномерно распределен заряд $Q$. Определить напряженность и потенциал в центре кольца, а также в точке, отстоящей на расстоянии $h$ от центра кольца по перпендикуляру к его плоскости.

Решение:

Будем считать, что $Q > 0$. Заряд, распределенный по кольцу, нельзя назвать точечным на небольших расстояниях от кольца. Разобьем заряд $Q$ на точечные заряды $q = frac{Q}{N}$, где $N$ — число этих зарядов. Каждый точечный заряд создает в центре кольца напряженность, модуль которой $E = k frac{q}{R^{2}}$.

1. Два точечных заряда, расположенных на концах одного диаметра, создают в центре кольца напряженность $vec{E} = vec{E}_{1} + vec{E}_{2} = 0$ (рис.). Применив аналогичный прием ко всем точечным зарядам, находящимся на кольце, находим, что напряженность в центре кольца $vec{E}_{O} = 0$.

Каждый заряд $q$ в центре кольца создает потенциал $phi = k frac{q}{R}$, по принципу суперпозиции $phi_{O} = N phi = N cdot k frac{q}{R} = k frac{Q}{R}$.

2. Пусть $AO = h$ (рис.). В точке А диаметрально противоположные точечные заряды создают напряженности $E_{1} = E_{2} = k frac{q}{AB^{2}} = k frac{q}{(R^{2} + h^{2})}, vec{E}_{P} = vec{E}_{1} + vec{E}_{2}$.

Четырехугольник АСDF — ромб, поэтому $angle CAD = angle DAF = angle BAO = angle KAO$, т.е. вектор $vec{E}_{p}$ направлен вдоль АО.

$E_{p} = 2AO_{1} = 2 E_{1} cos angle CAD$.

Из $Delta BAO: cos angle BAO = cos angle CAD = frac{AO}{AB} = frac{h}{ sqrt{R^{2} + h^{2}}}$. Поэтому $E_{p} = 2E_{1} cdot frac{h}{ sqrt{R^{2} + h^{2}}}$. Следующая пара точечных зарядов дает такой же вектор $vec{E}_{p}$, и так далее. В точке А получим $frac{N}{2}$ векторов $vec{E}_{p}$.

Следовательно, $E_{A} = frac{N}{2} cdot E_{p} = frac{N}{2} cdot 2E_{1} cdot frac{h}{ sqrt{R^{2} + h^{2}}} = N cdot k frac{q}{R^{2} + h^{2}} cdot frac{h}{ sqrt{R^{2} + h^{2}}} = k frac{Qh}{ (R^{2} + h^{2})^{3/2}}$.

Каждый заряд $q$ создает в точке А потенциал $phi = k frac{q}{ sqrt{R^{2} + h^{2}}}$.

Потенциал точки А: $phi_{A} = N phi = k frac{Q}{ sqrt{ R^{2} + h^{2}}}$.