Как найти потенциальную энергию пружины маятника

Формулы пружинного маятника в физике

Формулы пружинного маятника

Определение и формулы пружинного маятника

Допустим, что масса груза равна $m$, коэффициент упругости пружины $k$. Масса пружины в таком маятнике обычно не учитывается. Если рассматривать вертикальные движения груза (рис.1), то он движется под действием силы тяжести и силы упругости, если систему вывели из состояния равновесия и предоставили самой себе.

Уравнения колебаний пружинного маятника

Пружинный маятник, совершающий свободные колебания является примером гармонического осциллятора. Допустим, что маятник совершает колебания вдоль оси X. Если колебания малые, выполняется закон Гука, то уравнение движения груза имеет вид:

[ddot{x}+{omega }^2_0x=0left(1right),]

где ${щu}^2_0=frac{k}{m}$ — циклическая частота колебаний пружинного маятника. Решением уравнения (1) является функция:

[x=A{cos left({omega }_0t+varphi right)=A{sin left({omega }_0t+{varphi }_1right) } }left(2right),]

где ${omega }_0=sqrt{frac{k}{m}}>0$- циклическая частота колебаний маятника, $A$ — амплитуда колебаний; ${(omega }_0t+varphi )$ — фаза колебаний; $varphi $ и ${varphi }_1$ — начальные фазы колебаний.

В экспоненциальном виде колебания пружинного маятника можно записать как:

[Re tilde{x}=Releft(Acdot exp left(ileft({omega }_0t+varphi right)right)right)left(3right).]

Формулы периода и частоты колебаний пружинного маятника

Если в упругих колебаниях выполняется закон Гука, то период колебаний пружинного маятника вычисляют при помощи формулы:

[T=2pi sqrt{frac{m}{k}}left(4right).]

Так как частота колебаний ($nu $) — величина обратная к периоду, то:

[nu =frac{1}{T}=frac{1}{2pi }sqrt{frac{k}{m}}left(5right).]

Формулы амплитуды и начальной фазы пружинного маятника

Зная уравнение колебаний пружинного маятника (1 или 2) и начальные условия можно полностью описать гармонические колебания пружинного маятника. Начальные условия определяют амплитуда ($A$) и начальная фаза колебаний ($varphi $).

Амплитуду можно найти как:

[A=sqrt{x^2_0+frac{v^2_0}{{omega }^2_0}}left(6right),]

начальная фаза при этом:

[tg varphi =-frac{v_0}{x_0{omega }_0}left(7right),]

где $v_0$ — скорость груза при $t=0 c$, когда координата груза равна $x_0$.

Энергия колебаний пружинного маятника

При одномерном движении пружинного маятника между двумя точками его движения существует только один путь, следовательно, выполняется условие потенциальности силы (любую силу можно считать потенциальной, если она зависит только от координат). Так как силы, действующие на пружинный маятник потенциальны, то можно говорить о потенциальной энергии.

Пусть пружинный маятник совершает колебания в горизонтальной плоскости (рис.2). За ноль потенциальной энергии маятника примем положение его равновесия, где поместим начало координат. Силы трения не учитываем. Используя формулу, связывающую потенциальную силу и потенциальную энергию для одномерного случая:

[E_p=-frac{dF}{dx}(8)]

учитывая, что для пружинного маятника $F=-kx$,

тогда потенциальная энергия ($E_p$) пружинного маятника равна:

[E_p=frac{kx^2}{2}=frac{m{{omega }_0}^2x^2}{2}left(9right).]

Закон сохранения энергии для пружинного маятника запишем как:

[frac{m{dot{x}}^2}{2}+frac{m{{omega }_0}^2x^2}{2}=const left(10right),]

где $dot{x}=v$ — скорость движения груза; $E_k=frac{m{dot{x}}^2}{2}$ — кинетическая энергия маятника.

Из формулы (10) можно сделать следующие выводы:

• Максимальная кинетическая энергия маятника равна его максимальной потенциальной энергии.
• Средняя кинетическая энергия по времени осциллятора равна его средней по времени потенциальной энергии.

Примеры задач с решением

Читать дальше: формулы равноускоренного прямолинейного движения.

Рассмотрим процесс превращения энергии при колебательном движении идеального горизонтального пружинного маятника (рис. (1)).

Рис. (1). Колебания горизонтального пружинного маятника

Будем считать, что в системе сил трения и сил сопротивления нет.

Когда эта система находится в равновесии и никакого колебания не происходит, скорость тела равна нулю и отсутствует деформация пружины (рис. (2)) В этом случае энергии у данного маятника нет.

Рис. (2). Положение пружинного маятника в равновесии

Когда тело выводится из положения равновесия, например пружина сжимается на некоторую величину (рис. (3)) телу сообщается некоторый запас потенциальной энергии:

Рис. (3). Положение пружинного маятника при сжатой пружине

Если теперь отпустить груз, не удерживать его, то он начнёт своё движение к положению равновесия, пружина начнёт выпрямляться, и деформация пружины будет уменьшаться (рис. (4)) Следовательно, будет уменьшаться и её потенциальная энергия.

Скорость же тела будет увеличиваться, и по закону сохранения энергии потенциальная энергия пружины будет превращаться в кинетическую энергию движения тела:

Рис. (4). Движение груза к положению равновесия

В момент прохождения те­лом положения равновесия (рис. (5)) его по­тенциальная энергия равна нулю, а кинетическая будет максимальна.

Рис.(5). Прохождение грузом положения равновесия

Потом вступает в действие явление инерции. Тело, которое обладает некоторой массой, по инерции проходит точку равновесия (рис. (6)). Скорость тела начинает уменьшаться, а деформация, удлинение пружины, увеличивается. Следовательно, кине­тическая энергия тела убывает, а потенциальная, наоборот, возрастает.

Рис. (6). Положение пружинного маятника при удлинении пружины

В точке максимального отклонения тела его кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная — максимальна (рис. (7)).

Рис. (7). Положение пружинного маятника в точке максимального отклонения тела

Таким образом, при колебаниях периодически проис­ходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обрат­но.

Рис. (8). Колебания вертикального пружинного маятника

Если для вертикального пружинного маятника выбрать систему отсчёта таким образом, чтобы в положении равновесия его потенциальная энергия была равна нулю, то всё описанное выше для горизонтального маятника можно применить для данного маятника.

Рассмотрим процесс превращения энергии при колебательном движении идеального горизонтального пружинного маятника.

Будем считать, что в системе сил трения и сил сопротивления нет. Когда эта система находится в равновесии, и никакого колебания не происходит, скорость тела равна нулю, и отсутствует деформация пружины. В этом случае энергии у данного маятника нет.

Выводя тело из положения равновесия, например, сжимая пружину на некоторую величину, ему сообщается некоторый запас потенциальной энергии: Eпkx22.

Если теперь отпустить груз, не удерживать его, то он начнет свое движение к положению равновесия, пружина начнет выпрямляться и деформация пружины будет уменьшаться. Следовательно, будет уменьшатся и ее потенциальная энергия. Скорость же тела будет увеличиваться, и по закону сохранения энергии потенциальная энергия пружины будет превращаться в кинетическую энергию движения тела:

Eкmv

.

В момент прохождения те­лом положения равновесия его по­тенциальная энергия равна нулю, а кинетическая будет максимальна.

Потом вступает в действие явление инерции. Тело, которое обладает некоторой массой, по инерции проходит точку равновесия. Скорость тела начинает уменьшаться, а деформация, удлинение пружины, увеличивается. Следовательно, кине­тическая энергия тела убывает, а потенциальная наоборот, возрастает.

В точке максимального отклонения тела его кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная — максимальна.

Таким образом, при колебаниях периодически проис­ходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обрат­но. Обрати внимание!

Полная механическая энергия пружинного маятника в каждой точке его траектории постоянна и равна сум­ме его кинетической и потенци­альной энергий: Emv22kx22.

Если для вертикального пружинного маятника выбрать систему отсчета таким образом, чтобы в положении равновесия его потенциальная энергия была равна нулю, то все описанное выше для горизонтального маятника можно применить для данного маятника. Источники:

ОпределениеПружинным маятником называют систему, которая состоит из упругой пружины, к которой прикреплен груз.

Допустим, что масса груза равна $m$, коэффициент упругости пружины $k$. Масса пружины в таком маятнике обычно не учитывается. Если рассматривать вертикальные движения груза (рис.1), то он движется под действием силы тяжести и силы упругости, если систему вывели из состояния равновесия и предоставили самой себе.

Уравнения колебаний пружинного маятника

Пружинный маятник, совершающий свободные колебания является примером гармонического осциллятора. Допустим, что маятник совершает колебания вдоль оси X. Если колебания малые, выполняется закон Гука, то уравнение движения груза имеет вид: [ddot{x}+{omega }^2_0x=0left(1right),] где ${щu}^2_0=frac{k}{m}$ – циклическая частота колебаний пружинного маятника. Решением уравнения (1) является функция:

[x=A{cos left({omega }_0t+varphi right)=A{sin left({omega }_0t+{varphi }_1right) } }left(2right),] где ${omega }_0=sqrt{frac{k}{m}}>0$- циклическая частота колебаний маятника, $A$ – амплитуда колебаний; ${(omega }_0t+varphi )$ – фаза колебаний; $varphi $ и ${varphi }_1$ – начальные фазы колебаний. В экспоненциальном виде колебания пружинного маятника можно записать как:

[Re tilde{x}=Releft(Acdot exp left(ileft({omega }_0t+varphi right)right)right)left(3right).].

[custom_ads_shortcode1]

Формулы периода и частоты колебаний пружинного маятника

Если в упругих колебаниях выполняется закон Гука, то период колебаний пружинного маятника вычисляют при помощи формулы: [T=2pi sqrt{frac{m}{k}}left(4right).] Так как частота колебаний ($nu $) – величина обратная к периоду, то:

[nu =frac{1}{T}=frac{1}{2pi }sqrt{frac{k}{m}}left(5right).].

[custom_ads_shortcode2]

Формулы амплитуды и начальной фазы пружинного маятника

Зная уравнение колебаний пружинного маятника (1 или 2) и начальные условия можно полностью описать гармонические колебания пружинного маятника. Начальные условия определяют амплитуда ($A$) и начальная фаза колебаний ($varphi $). Амплитуду можно найти как:

None [tg varphi =-frac{v_0}{x_0{omega }_0}left(7right),] где $v_0$ – скорость груза при $t=0 c$, когда координата груза равна $x_0$.

[custom_ads_shortcode3]

Энергия колебаний пружинного маятника

При одномерном движении пружинного маятника между двумя точками его движения существует только один путь, следовательно, выполняется условие потенциальности силы (любую силу можно считать потенциальной, если она зависит только от координат). Так как силы, действующие на пружинный маятник потенциальны, то можно говорить о потенциальной энергии.

Пусть пружинный маятник совершает колебания в горизонтальной плоскости (рис. 2). За ноль потенциальной энергии маятника примем положение его равновесия, где поместим начало координат.

Силы трения не учитываем. Используя формулу, связывающую потенциальную силу и потенциальную энергию для одномерного случая:

None [E_p=frac{kx^2}{2}=frac{m{{omega }_0}^2x^2}{2}left(9right).] Закон сохранения энергии для пружинного маятника запишем как:

[frac{m{dot{x}}^2}{2}+frac{m{{omega }_0}^2x^2}{2}=const left(10right),] где $dot{x}=v$ – скорость движения груза; $E_k=frac{m{dot{x}}^2}{2}$ – кинетическая энергия маятника. Из формулы (10) можно сделать следующие выводы:

• Максимальная кинетическая энергия маятника равна его максимальной потенциальной энергии.
• Средняя кинетическая энергия по времени осциллятора равна его средней по времени потенциальной энергии.

[custom_ads_shortcode1]

Примеры задач с решением

Пример 1Задание. Маленький шарик, массой $m=0,36$ кг прикреплен к горизонтальной пружине, коэффициент упругости которой равен $k=1600 frac{Н}{м}$. Каково было начальное смещение шарика от положения равновесия ($x_0$), если он при колебаниях проходит его со скоростью $v=1 frac{м}{с}$?

Решение. Сделаем рисунок.

По закону сохранения механической энергии (так как считаем, что сил трения нет), запишем:

[E_{pmax}=E_{kmax }left(1.1right),] где $E_{pmax}$ – потенциальная энергия шарика при его максимальном смещении от положения равновесия; $E_{kmax }$ – кинетическая энергия шарика, в момент прохождения положения равновесия. [E_{kmax }=frac{mv^2}{2}left(1.2right).] Потенциальная энергия равна:

None [frac{mv^2}{2}=frac{k{x_0}^2}{2}left(1.4right).] Из (1.4) выразим искомую величину:

[x_0=vsqrt{frac{m}{k}}.] Вычислим начальное (максимальное) смещение груза от положения равновесия:

[x_0=1cdot sqrt{frac{0,36}{1600}}=1,5 cdot {10}^{-3}(м).] Ответ. $x_0=1,5$ ммПример 2Задание. Пружинный маятник совершает колебания по закону: $x=A{cos left(omega tright), } $где $A$ и $omega $ – постоянные величины. Когда возвращающая сила в первый раз достигает величины $F_0,$ потенциальная энергия груза равна $E_{p0}$. В какой момент времени это произойдет?

Решение. Возвращающей силой для пружинного маятника является сила упругости, равная:

None [E_p=frac{kx^2}{2}=frac{kA^2{{cos }^2 left(omega tright) }}{2}left(2.2right).] В момент времени, который следует найти $F=F_0$; $E_p=E_{p0}$, значит:

[frac{E_{p0}}{F_0}=-frac{A}{2}{cos left(omega tright) }to t=frac{1}{omega } arc{cos left(-frac{2E_{p0}}{AF_0}right) }.] Ответ. $t=frac{1}{omega } arc{cos left(-frac{2E_{p0}}{AF_0}right) }$Читать дальше: формулы равноускоренного прямолинейного движения.

Онлайн калькуляторыНа нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

СправочникОсновные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решениеНе можете решить контрольную?! Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Рис.1. Пружинный маятник: а) в положении равновесия; б) в состоянии колебанийКогда пружина не деформирована, тело находится в положении равновесия (рис.1,а). Если растянув или сжав пружину, вывести тело из положения равновесия, на него будет действовать сила упругости со стороны деформированной пружины. Эта сила направлена к положению равновесия и в данном случае является возвращающей силой.

[custom_ads_shortcode2]

Сила упругости в пружинном маятнике

Сила упругости пропорциональна смещению тела (удлинению пружины): здесь — коэффициент жесткости пружины.

В положении, соответствующем максимальному отклонению тела от положения равновесия (смещение тела равно амплитуде колебаний) сила упругости максимальна, поэтому максимально и ускорение тела. По мере приближения тела к положению равновесия удлинение пружины уменьшается, и, следовательно, уменьшается ускорение тела, которое обусловлено силой упругости. Достигнув положения равновесия, тело не остановится, хотя в этот момент сила упругости равна нулю. Скорость тела в момент прохождения им положения равновесия имеет максимальное значение, и тело по инерции будет двигаться дальше, растягивая пружину. Возникающая при этом сила упругости будет тормозить тело, так как теперь она направлена в сторону, противоположную движению тела. Дойдя до крайнего положения, тело остановится и начнет движение в противоположном направлении. Движение тела будет повторяться в описанной последовательности.

Таким образом, причинами свободных колебаний пружинного маятника является сила упругости деформированной пружины (возвращающая сила) и инертность тела.

[custom_ads_shortcode3]

Период свободных колебаний пружинного маятника

Период свободных колебаний пружинного маятника определяется по формуле:

[custom_ads_shortcode1]

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Рассмотрим превращения энергии, которые происходят при гармонических колебаниях в консервативной системе на примере пружинного маятника. Так как пружинный маятник мы считаем консервативной системой, то механическая энергия ее постоянна: [E=E_k+E_p=const left(1right).] Проверим справедливость выражения (1),) непосредственным суммированием выражений для кинетической и потенциальной энергии рассматриваемого маятника.

Уравнение колебаний маятника запишем в виде: [x=A{cos left({omega }_0t+varphi right)(2) },] где $x$ – смещение груза маятника по оси X. В таком случае изменение кинетической энергии груза, совершающего колебания на напружине равна:

[E_k=frac{m}{2}A^2{{omega }_0}^2{{sin}^2 left({omega }_0t+varphi right)left(3right). }] Потенциальна энергия пружинного маятника равна: потенциальной энергии упругодеформированной пружины и потенциальной энергии груза в поле тяжести Земли:

None [E=frac{m}{2}A^2{щ_0}^2{{sin}^2 left(щ_0t+цright)+ }frac{k}{2}A^2{{cos}^2 left(щ_0t+цright) }=frac{k}{2}A^2=frac{1}{2}m{omega }^2_0A^2left(5right).] где ${{omega }_0}^2=frac{k}{m}$.

Из формулы (5) мы видим, что неизменная суммарная энергия колебательной системы равна потенциальной ее энергии в точках максимального отклонения от положения равновесия (при $x=pm A$). Энергия $E$ равна кинетической энергии при прохождении грузом положения равновесия, скорость груза равна: [v_x=pm {omega }_0Aleft(6right).] В ходе взаимных превращений потенциальная и кинетическая энергии гармонически колеблются с одинаковой амплитудой, равной $frac{E}{2}$ находятся в противофазе друг с другом, частота их колебаний равна $2{omega }_0$. [{E_k =frac{E}{2}left[1-{cos 2({omega }_0t+varphi ) }right]left(7right). }] [E_p=frac{E}{2}left[1+{cos 2({omega }_0t+varphi ) }right]left(8right).] И так, выражения (7) и (8) показывают, что кинетическая и потенциальная энергии колебательной системы совершают гармонические колебания вокруг их общего значения $frac{E}{2}$ с удвоенной частотой 2${omega }_0$, тогда как полная энергия системы остается постоянной. Она связана с амплитудой колебаний как:

[E=frac{k}{2}A^2.].

[custom_ads_shortcode2]

Энергия колебательных систем с одной степенью свободы

Все, что сказано для пружинного маятника можно применить , для любых механических колебаний систем с одной степенью свободы. Мгновенное положение такой системы можно определить, используя один параметр, который называют обобщенной координатой ($q$), например, угла поворота или смещения по оси координат. При этом величина $dot{q}=frac{dq}{dt}$ называется обобщённой скоростью.

Потенциальная энергия в таких обозначениях примет вид: [E_p=frac{alpha q^2}{2}left(9right),] кинетическая энергия:

None [E=frac{alpha q^2}{2}+frac{beta {dot{q}}^2}{2}=const left(11right),] обобщенная координата совершает гармонические колебания с частотой:

[{omega }_0=sqrt{frac{alpha }{beta }}left(12right).].

[custom_ads_shortcode3]

Примеры задач на полную энергию колебаний

Пример 1Задание. Какова полная энергия колебаний материальной точки массы $m=0,02$ кг, если она совершает колебания по закону: $x=0,1{cos (2pi t+frac{pi }{3})(м) }?$ Потерь энергии в колебательной системе нет. Решение. Полную энергию гармонических колебаний, которые описаны гармоническим законом $x(t)=0,1{cos (4pi t+frac{pi }{3})(м) }$, зная, что это постоянная величина найдем как:

None [{omega }_0=4pi frac{рад}{с};;A=0,1 м.] Вычислим энергию:

[E=frac{1}{2}0,02cdot {left(4pi right)}^2{0,1}^2=1,58cdot {10}^{-2}left(Джright).] Ответ. $E=1,58cdot {10}^{-2}$Дж.

Пример 2Задание. Груз на упругой пружине (рис.1) совершает колебания по оси X. Амплитуда колебаний равна $A=6cdot {10}^{-2}м$. Какова полная энергия колебаний груза, если коэффициент упругости пружины равен $k=500$ $frac{Н}{м}$? Считайте, что диссипации энергии в системе нет.

Решение. Колебания груза на упругой пружине можно считать гармоническими. По условию потерь энергии нет, следовательно, полная энергия нашего пружинного маятника сохраняется и является постоянной величиной, которую найдем как:

None [E=frac{500}{2}{(6cdot {10}^{-2})}^2=0,9 (Дж).] Ответ. $E=0,9Дж$Читать дальше: понятие силы.

Источники:

• www.yaklass.ru
• www.webmath.ru
• ru.solverbook.com
• www.webmath.ru

Пружинный маятник — колебательная система, которая состоит из тела, подвешенного к пружине. Эта система способна к совершению свободных колебаний.

Подобные системы довольно широко распространены за счет своей функциональной гибкости. Механизмы на основе таких маятников часто используются как элементы средств автоматики. 

В том числе они нашли применение в контактных взрывателях различных боеприпасов, в качестве акселерометров в контурах управления ракет. Так же они активно используются в предохранительных клапанах, устанавливаемых в трубопроводах.

Что такое пружинный маятник

Пружинным маятником в физике называют систему, совершающую колебательные движения под действием силы упругости. 

Приняты следующие обозначения:

• m — масса тела;

• k — коэффициент жесткости пружины.

Общий вид маятника:

Особенностями пружинных маятников являются:

1. Сочетание тела и пружины. Массой пружины обычно в расчетах пренебрегают. Роль тела могут играть различные объекты. На них оказывают действие внешние силы. Груз может крепиться разными способами. Витки пружины, которыми она начинается и заканчивается, изготавливают с учетом повышенной нагрузки;

2. У любой пружины есть исходное положение, предел сжатия и растяжения. При максимальном сжатии зазора между витками нет. Когда она максимально растянута, возникает необратимая деформация;

3. Полная механическая энергия появляется с началом процесса обратимого деформирования. В этот момент на объект не оказывает действие сила упругости;

4. Колебательные движения происходят под влиянием силы упругости. Масштаб влияния определяется несколькими причинами (тип сплава, расположение витков и т. д.). Так как может происходить и сжатие и растяжение, можно сделать вывод, что сила упругости действует в двух противоположных направлениях;

5. От массы тела, величины и направления прикладываемой силы зависит скорость в плоскости его перемещения. Например, если подвесить груз к пружине и, растянув её, отпустить, то груз будет перемещаться в двух плоскостях: вертикально и горизонтально.

Виды пружинных маятников

Существует два типа данной системы:

1. Вертикальный маятник — на тело довольно сильно влияет сила тяжести. Это влияние обуславливает увеличение инерционных движений, которые совершает тело в исходной точке.

2. Горизонтальный — в таком варианте при движении на груз начинает действовать сила трения, возникающая по причине того, что груз лежит на поверхности.

Сила упругости в пружинном маятнике

До начала деформирования пружина находится в равновесном состоянии. Прикладываемое усилие может как растягивать, так и сжимать её. 

Применяя к пружинному маятнику закон сохранения энергии, мы можем рассчитать силу упругости в нем. Упругость прямо пропорциональна расстоянию, на которое сместился груз.

Расчёт силы упругости может быть проведен таким образом:

F_упр = — k*x

где k — коэффициент жесткости пружины (Нм),

x – смещение (м).

Уравнения колебаний пружинного маятника

Свободные колебания пружинного маятника описываются с помощью гармонического закона. 

Если допустить вероятность того, что колебания идут вдоль оси Х, и при этом выполняется закон Гука, то уравнение примет вид:

F(t) = ma(t) = — mw2x(t),

где w — радиальная частота гармонического колебания.

Для проведения расчета колебаний, учитывая все вероятности, применяют следующие формулы:

Период и частота свободных колебаний пружинного маятника

При разработке проектов всегда определяется период колебаний и их частота. Для их измерения используются известные в физике формулы.

Изменение циклической частоты покажет формула, приведенная на рисунке:

Факторы, от которых зависит частота:

1. Коэффициент упругости. На этот коэффициент влияет количество витков, их диаметр, расстояние между ними, длина пружины, жесткость используемого сплава и т. д.

2. Масса груза. От этого фактора зависит возникающая инерция и скорость перемещения.

Амплитуда и начальная фаза пружинного маятника

Учитывая начальные условия и рассчитав уравнение колебаний, можем точно описать колебания пружинного маятника. 

В качестве начальных условий используются: амплитуда (А) и начальная фаза колебаний (ϕ).

Энергия пружинного маятника

При рассмотрении колебания тел учитывают, что груз движется прямолинейно. Полная механическая энергия тела в каждой точке траектории является константой и равняется сумме его потенциальной энергии и кинетической энергии.

Потенциальная энергия:

Кинетическая энергия:

Полная энергия:

Расчет имеет особенности. При его проведении нужно учитывать несколько условий:

1. Колебания проходят в двух плоскостях: вертикальной и горизонтальной.

2. В качестве равновесного положения выбирается ноль потенциальной энергии. Находясь в этом положении пружина сохраняет свою форму.

3. Влияние силы трения при расчете не учитывают.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний пружинного маятника 

Отметим, что пружинный маятник — это обобщенное определение. Скорость движения груза (тела) напрямую зависит от комплекса условий, в том числе приложенного к нему усилия.

Колебания ― это процесс, при котором состояние системы изменяется, повторяясь во времени, и смещаясь то в одну, то в другую сторону относительно состояния равновесия.

Период ― это время, через которое повторяются показатели системы, т. е. система совершает одно полное колебание. Период изменяется в секундах.

Частота ― величина обратная периоду: число полных колебаний за единицу времени. Частота измеряется в герцах [Гц] = [c-1]. Частота равна v = $frac{1}{T}$ , где

v ― частота [Гц];

T ― период [c].

Если известно, что тело совершает N колебаний за время t, то частоту его колебаний можно определить как v = $frac{N}{t}$ , где

ν ― частота [Гц];

N ― количество колебаний;

t - время [с].

Для описания колебательных систем, совершающих круговые процессы, удобно использовать круговую (циклическую) частоту. Циклическая частота показывает количество полных колебаний, которые происходят за 2π секунд и равна ω = 2πvили ω = $frac{2pi}{T}$ , где

ω ― циклическая частота [рад/с];

ν ― частота [Гц];

T ― период [c].

Гармонические колебания ― колебания, в которых физические величины изменяются по закону синуса или косинуса. Кинематическое уравнение гармонических колебаний имеет вид:

x(t) = Asin(ωt + φ0) или x(t) = Acos(ωt + φ0), где

x ― смещение [м];

t ― время, [с];

A ― амплитуда колебаний [м];

ω ― циклическая частота [рад/с];

φ0 ― начальная фаза колебаний, [рад];

(ωt + φ0) ― полная фаза колебаний [рад].

Смещение (x) ― это отклонение тела от положения равновесия. Смещение также является координатой тела, если отсчитывать ее от положения равновесия.

Амплитуда колебаний (A) ― максимальное отклонение колеблющейся величины от положения равновесия, т. е. максимальное смещение равно амплитуде колебаний xmax = A.

Начальная фаза колебаний (φ0) определяет смещение в начальный момент времени, выраженное в радианах.

Фаза колебаний (φ) или полная фаза колебаний, определяет смещение в данный момент времени, выраженное в радианах. Фаза колебаний равна φ = ωt + φ0, где

φ ― полная фаза колебаний [рад];

φ0 ― начальная фаза колебаний, [рад];

ω ― циклическая частота [рад/с];

t ― время, [с].

Пример анализа гармонических колебаний точки

Рассмотрим гармонические колебания, в которых уравнение движения точки имеет вид x(t) = Asin(ωt), где

x ― смещение [м];

t ― время, [с];

A — амплитуда колебаний [м];

ω ― циклическая частота [рад/с].

Из уравнения x(t) = Asin(ωt) следует, что начального смещения нет (φ0 = 0) и колебания начинаются из положения равновесия. Смещение x достигает максимального значения xmax и равно амплитуде xmax = A, в тот момент, когда модуль синуса равен единице |sin(ωt)| = 1. Когда x = A фаза колебаний равна φ = $frac{pi}{2} +2pi n$ когда x = –A фаза колебаний принимает значения φ = $frac{3pi}{2} +2pi n$ , где n = 0, 1 , 2, … N.

График колебания координаты точки имеет вид:

Определим уравнение и график колебания скорости. Скорость ― это производная координаты по времени: v = xt‘, где

v ― скорость движения точки [м/с];

x ― координата точки [м];

t ― время, [с].

Так как закон изменения координаты нам известен x(t) = Asin(ωt), скорость движения колеблющейся точки: v = xt‘ = |Asin(ωt)|’t = Acos(ωt).

Уравнение скорости точки равно v(t) = Acos(ωt), где

v ― скорость движения точки [м/с];

A — амплитуда колебаний [м];

ω ― циклическая частота [рад/с];

t ― время, [с].

Сравнив уравнение v(t) = Aωcos(ωt) с кинематическим уравнением гармонических колебаний, легко заметить, что Aω ― амплитуда изменения скорости, а ωt ― фаза колебаний скорости. Таким образом, максимальное значение скорости равно vmax = Aω, и оно достигается при | cos(ωt) | = 1, т. е. тогда, когда фаза колебаний скорости равна φ = πn, где n = 0, 1, 2, … N.

График колебания скорости точки имеет вид:

Аналогично определяются уравнение и график колебания ускорения точки, которая движется по гармоническому закону.

Ускорение ― это производная скорости по времени: a = vt‘, где

a ― ускорение движения точки [м/с2];

v ― скорость движения точки [м/с];

t ― время, [с].

Так как закон изменения скорости был определен выше v(t) = Aωcos(ωt), определим ускорения движения колеблющейся точки: a = vt‘ = [Aωcos(ωt)]t‘ = –Aω2sin(ωt).

Уравнение ускорения точки равно a(t) = –Aω2sin(ωt), где

a ― ускорение движения точки [м/с2];

A — амплитуда колебаний [м];

ω ― циклическая частота [рад/с];

t ― время, [с].

Модуль ускорения точки максимален, когда |sin(ωt)| = 1 ― тогда же, когда достигает максимума смещение точки. Максимальное ускорение, т. е. амплитуда ускорения точки равна amax = Aω2.

График колебания ускорения точки имеет вид:

Во время гармонических колебаний, формы энергии колебательной системы все время находятся в процессе взаимной трансформации. В механической колебательной системе преобразуется механическая энергия: потенциальная энергия ― в кинетическую, а затем кинетическая энергия ― вновь в потенциальную. Полная механическая энергия колеблющейся системы постоянна, и в любой момент времени справедлив закон сохранения энергии E = EП + EK, где

E ― полная механическая энергия системы, E = const, [Дж];

EП ― потенциальная энергия системы, изменяющаяся во времени, [Дж];

EK ― кинетическая энергия системы, изменяющаяся во времени, [Дж].

Рассмотрим изменение потенциальной энергии пружинного маятника, который колеблется по гармоническому уравнению x(t) = Asin(ωt).

Потенциальная энергия деформированной пружины равна EП = $frac{kx^2}{2}$ , где

EП ― потенциальная энергия деформированной пружины, [Дж];

k ― коэффициент упругости пружины [Н/м];

x ― деформация пружины (величина ее удлинения или сжатия) [м].

У пружинного маятника деформация пружины ― переменная величина, которая зависит от времени. Кинематическое уравнение движения точки, принадлежащей этому маятнику ― x(t) = Asin(ωt). Следовательно, потенциальную энергию пружинного маятника можно записать как EП = $frac{k(x(t))^2}{2}$ = $frac{k(Asin(omega t))^2}{2}$ = $frac{k}{2} cdot A^2 sin^2 (omega t)$ .

Уравнение потенциальной энергии пружинного маятника EП = $frac{k}{2} cdot A^2 sin^2 (omega t)$ , где

EП ― потенциальная энергия пружинного маятника, [Дж];

k ― коэффициент упругости пружины [Н/м];

A — амплитуда колебаний [м];

ω ― циклическая частота [рад/с];

t ― время, [с].

Амплитуда потенциальной энергии пружинного маятника равна EПmax = $frac{k}{2}A^2$ , где

EПmax ― максимальная потенциальная энергия пружинного маятника, [Дж];

k ― коэффициент упругости пружины [Н/м];

A — амплитуда колебаний [м].

Потенциальная энергия пружинного маятника равна нулю, когда sin(ωt) = 0 ― когда маятник проходит положение равновесия, и максимальна, когда sin(ωt) = 1 ― когда маятник находится в крайних положениях, т. е. когда его смещение равно амплитуде.

График колебаний потенциальной энергии пружинного маятника:

Рассмотрим изменение кинетической энергии маятника. Кинетическая энергия тела равна Eк = $frac{mv^2}{2}$ , где

Eк ― кинетическая энергия тела, [Дж];

m ― масса тела, [кг];

v ― скорость движения тела, [м/с].

У тела, которое совершает колебательные движения, скорость ― переменная величина.

Выше было показано, что если уравнение движения точки имеет вид x(t) = Asin(ωt), то уравнение скорости точки v(t) = Aωcos(ωt). Таким образом, кинетическая энергия маятника равна Eк = $frac{m(v(t))^2}{2}$ = $frac{m}{2} cdot (Aomegacos(omega t))^2$ = $frac{m}{2} cdot A^2 omega^2 cos^2 (omega t)$ .

Уравнение кинетической энергии маятника Eк = $frac{m}{2} cdot A^2 omega^2 cos^2 (omega t)$ , где

Eк ― кинетическая энергия маятника, [Дж];

m ― масса тела, [кг];

A — амплитуда колебаний [м];

ω ― циклическая частота [рад/с];

t ― время, [с].

Амплитуда кинетической энергии маятника равна EКmax = $frac{m}{2} cdot A^2 omega^2$ , где

EКmax ― максимальная кинетическая энергия маятника, [Дж];

m ― масса тела, [кг];

A — амплитуда колебаний [м];

ω ― циклическая частота [рад/с].

Максимальная кинетическая энергия маятника достигается тогда, когда cos2(ωt) = 1 ― маятник проходит положение равновесия, и она равна нулю, когда маятник находится в крайнем положении.

График колебаний кинетической энергии маятника:

Математический маятник ― это колебательная система, состоящая из материальной точки, подвешенной на нерастяжимой нити или стержне.

Период колебаний математического маятника равен T = $2pi sqrt{frac{l}{g}}$ , где

T ― период колебаний [с];

l ― длина нити математического маятника [м];

g ― ускорение свободного падения [м/с2].

Период колебаний пружинного маятника равен T = $2pi sqrt{frac{m}{k}}$ , где

T ― период колебаний [с];

m ― масса груза [кг];

k ― жесткость пружины [Н/м].

Существует особый тип колебаний ― вынужденные колебания. Вынужденные колебания происходят только под постоянным периодическим внешним воздействием и их характеристики зависят от характеристик этого воздействия.

Если частота внешнего воздействия, которое вызывает вынужденные колебания, совпадает с собственной внутренней частотой колебательной системы ― возникает явление резонанса. При резонансе резко возрастает амплитуда колебаний системы. Частота, при которой возникает явление резонанса, называется резонансной частотой.

На рисунке показан график резонансной кривой ― увеличение амплитуды при совпадении частоты внешнего воздействия с внутренней частотой системы.