Как найти поток через поверхность непосредственно - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Само
понятие «поток» связано с некоторой
гидродинамической задачей. Пусть
задано векторное поле

(например,
поле скоростей движения жидкости в
пространстве) и Sнекоторая гладкая или кусочно-гладкая
двусторонняя поверхность, на которой
выбрана положительная сторона.

Выделим
элемент поверхности
,
нормаль кобозначим,
единичный вектор нормали.
(Рис. 1).

Поток
вектора через элемент поверхности
обозначим.

Очевидно,
что

где

угол между нормалью ки вектором

проекция
вектора
на направление нормали.

Поток
векторного поля через поверхность
в этом случае естественно определить
как интеграл по поверхности:

Здесь

;

Это
проекции элементарной
площадкина соответствующие координатные
плоскости. Интеграл принимает вид

.
(2.1)

Поток
векторного поля меняет знак на обратный
при изменении ориентации нормали к
поверхности:

а
также обладает свойствами линейности
и аддитивности:

;

Это
поверхностный
интеграл второго рода.

Рассмотрим
примеры вычисления потока векторного
поля.

Пример
2.1.

Вычислить
поток векторного поля
гдерадиус-вектор точкит.е.через поверхность цилиндра, ограниченного
поверхностями.
(Рис. 2).

Решение.

Обозначим

боковую поверхность
цилиндра, аиверхнее и нижнее
основания цилиндра. Искомый поток будет
равен сумме потоков через названные
поверхности:

На
боковой поверхности
нормальпараллельна плоскостипоэтому

следовательно,

На
верхнем основании нормаль параллельна
оси Oz , следовательно,

и
.

На
нижнем основании вектор
перпендикулярен к нормали

поэтому

В
итоге, поток векторного поля через
поверхность цилиндра:

Пример
2.2.

Найти
поток векторного поля
через внешнюю

сторону
конуса
.
(Рис. 3).

Решение.

Уравнение
конуса в полярных координатах
следовательно, радиус основания конуса

— нормаль к основанию конусапараллельна Оz, следова-тельно в качестве
орта можно взять

Поток
векторного поля через основание конуса

Боковая
поверхность конуса
образована лучами, выходящими из начала
координат, векторапринадлежат боковой поверхности
конуса и ортогональны к,
поэтому

В
итоге

Решитьсамостоятельно

1) Найти поток векторного поля через поверхность сферы

Вычисление
потока векторного поля можно производить
различными методами.

а)
Метод проектирования на одну из
координатных плоскостей.

Пусть
поверхность
проецируется взаимно однозначно на
одну из координатных плоскостей,
напримерв область.
Уравнение поверхности,


проекция
элемента площади
на плоскостьследовательно,

Поток
векторного поля

Здесь
орт нормали к поверхности
можно определить, зная уравнение
касательной плоскости:

нормаль
в точке касания,

 орт
нормали к поверхности
,
следовательно,

Символ

означает,
что в подынтегральное выражение вместоzнужно подставитьf(x,y).

Пример
2.3.

Найти
поток векторного поля

через
верхнюю сторону треугольника, отсекаемого
от плоскости

координатными
плоскостями. (Рис. 4).

Решение.

Нормаль
к плоскости образует с координатными
осями равные углы

следовательно,
можно взять в качестве нормали вектор

Орт
нормали будет:

следовательно,

следовательно,;

Пример
2.4.

Найти
поток вектора
через часть поверхности параболоидаотсечённую плоскостью.
(Рис. 5).

Решение.

Данная
поверхность проектируется на плоскость
в круг радиуса.

Уравнение
касательной плоскости

Орт
нормали

следовательно,

(поскольку угол между внешней нормалью
к поверхности и осьюOzтупой);

Искомый
поток векторного поля равен:

Введём
полярные координаты:
.
Тогда

Решить
самостоятельно

2)
Вычислить поток векторного поля
через внешнюю сторону параболоидаограниченного плоскостью.

3) Вычислить поток векторного поля
через поверхность конуса,
ограниченную плоскостью.

Вычислить
поток векторного поля
через поверхность пирамиды, ограниченной
плоскостями

Ответы.

1)
2)3) 0; 4).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

1°. Метод проектирования. Пусть поверхность (S) задана явным уравнением . В этом случае орт и . Для потока П Получим формулу:

. (1.4)

Замечание 1. При проектировании на другие плоскости в подынтегральную функцию в формуле (1.4) следует добавить (множителем) проекцию на координатную ось, перпендикулярную плоскости проектирования.

В формуле (1.4) () – область на плоскости Oxy, в которую проектируется поверхность (S); произведение Dxdy берется со знаком +, если угол между осью Oz и нормалью острый, и минус, если угол тупой. Символ означает, что в подынтегральную функцию вместо Z надо подставить .

Замечание 2. Аналогичные формулы можно записать, если проектировать поверхность (S) на плоскости Oxz или Oyz.

Замечание 3. В случае неявного задания поверхности (S) вектор .

Пример 1. Найти поток векторного поля через верхнюю сторону треугольника АВС с вершинами в точках , , (см. рис.2).

Рис. 2

Решение. Составим уравнение плоскости (поверхности (S)), проходящей через три заданные точки:

Откуда . Поверхность (S) проектируется на плоскость Oxy в область , . Из условия следует, что нормаль образует острый угол с осью Oz. Имеем =; произведение Dxdy , берем со знаком “+”. Тогда по формуле (1.4)

Пример 2. Вычислить поля через замкнутую поверхность (S), ограниченную цилиндром и плоскостями , . Положительной стороной (по определению) считаем внешнюю сторону замкнутой поверхности.

Решение. Поверхность (S) кусочно гладкая. Разобъем ее на три части
(см. рис.3): . В связи с этим . 1 )Для поверхности Z=0 и .

Тогда . Проекция поверхности (S) на плоскость Oxy есть полукруг , . С учетом направления нормали для потока получим: .

Переходя к полярным координатам, найдем .2) Для и . Поверхность проектируется на плоскость Oxy в область () (см. п.1), и поток

=.3)Для ,

и = . Однозначно поверхность проектируется на плоскость Oyz в область (), ограниченную линиями .

Исключая отсюда X, найдем проекцию этой линии на плоскость Oyz: . Для потока получим (напомним Замечание 1: следует учесть, что в этом случае

=. 4) Для потока получим .

2°. Метод проектирования на все три координатные плоскости. Пусть поверхность (S) однозначно проектируется на все три координатные плоскости: (Dxy): Z=Z(X,Y); ; .Для потока П В этом случае имеем (вторая формула из (1.3)):

(1.5)

В (1.5) знаки проекций Dydz, Dxdz, Dxdy выбираются в соответствии с сформулированным выше правилом.

Пример 3. Найти поток вектора через часть внешней стороны сферы , заключенной в первом октанте.

Решение. Имеем . С учетом того, что поверхность расположена в первом октанте, проекции Dydz, Dxdz, Dxdy берем со знаком “+”. По формуле (1.5) . Из уравнения сферы имеем: ; ; и

. Очевидно, . Вычислим этот интеграл в полярной системе координат: ===. Следовательно, .

3°. Применение формулы Гаусса-Остроградского. Приведем соответствующую теорему.

Теорема. Если в некоторой области проекции поля непрерывны и имеют непрерывные частные производные , то поток вектора через произвольную замкнутую кусочно гладкую поверхность (S), расположенную целиком в области , равен тройному интегралу от суммы по области (V), ограниченной поверхностью (S):

(1.6)

— формула Гаусса-Остроградского.

Замечание. Подынтегральная функция в тройном интеграле (1.6) называется дивергенцией (расходимостью) поля ; обозначается .

Пример 4. Вычислить поток вектора Через замкнутую поверхность , .

Решение. По формуле (1.6) . Для вычисления этого интеграла применим сферическую систему координат: , , ; . Таким образом,

Пример 5. Используя формулу Гаусса-Остроградского (1.6), вычислить поток поля через верхнюю сторону части поверхности , расположенную над плоскостью Oxy.

Решение. Для того, чтобы можно было применить формулу (1.6), замкнем снизу данную поверхность куском плоскости Oxy, который ограничен окружностью , Z = 0 . Вычислим подынтегральную функцию, стоящую под знаком тройного интеграла: . Отсюда следует, что поток П=0. По свойству аддитивности , откуда искомый поток . Уравнение поверхности и . Таким образом, — поток через поверхность Z =0 численно равен площади круга ; искомый поток .

< Предыдущая		Следующая >

Источник

Поток векторного поля: теория и примеры

Понятие потока векторного поля и его вычисление как поверхностного интеграла

Своим названием поток векторного поля обязан задачам гидродинамики о потоке жидкости. Поток векторного поля может быть вычислен в виде поверхностного интеграла, который выражает общее количество жидкости, протекающей в единицу времени через некоторую поверхность в направлении вектора скорости течения жидкости в данной точке. Понятие потока векторного поля обобщается также на магнетический поток, поток электричества, поток тепла через заданную поверхность и другие. Поток векторного поля может быть вычислен в виде поверхностного интеграла как первого, так и второго рода и далее мы дадим его вывод через эти интегралы.

Пусть в некоторой области пространства задано векторное поле

и поверхность σ, в каждой точке M которой определён единичный вектор нормали . Пусть также направляющие косинусы этого вектора — непрерывные функции координат x, y, z точки M.

Определение потока векторного поля. Потоком W поля вектора через поверхность σ называется поверхностный интеграл

Обозначим как a n проекцию вектора на на единичный вектор . Тогда поток можем записать как поверхностный интеграл первого рода

поток векторного поля можно вычислить и как поверхностный интеграл второго рода

Направление и интенсивность потока векторного поля

Поток векторного поля зависит от местоположения поверхности σ. Если поверхность размещена так, что во всех её точках вектор поля образует с вектором нормали поверхности острый угол, то проекции вектора a n положительны и, таким образом поток W также положителен (рисунок ниже). Если же поверхность размещена так, что во всех её точках вектор образует с вектором нормали поверхности тупой угол, то поток W отрицателен.

Через каждую точку поверхности проходит одна векторная линия, поэтому поверхность σ пересекает бесконечное множество векторных линий. Однако условно можно принять, что поверхность σ пересекает некоторое конечное число векторных линий. Поэтому можно считать, что поток векторного поля — это число векторных линий, пересекающих поверхность σ. Чем интенсивнее поток векторного поля, тем более плотно расположены векторные линии и в результате получается бОльший поток жидкости.

Если поток векторного поля — поле скорости частиц текущей жидкости через поверхность σ, то поверхностный интеграл равен количеству жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность σ. Если рассматривать магнетическое поле, которое характеризуется вектором магнетической индукции , то поверхностный интеграл называется магнетическим потоком через поверхность σ и равен общему количеству линий магнетической индукции, пересекающих поверхность σ. В случае электростатического поля интеграл выражает число линий электрической силы, пересекающих поверхность σ. Этот интеграл называется потоком вектора интенсивности электростатического поля через поверхнсть σ. В теории теплопроводности рассматривается стационарный поток тепла через поверхность σ. Если k — коэффициент теплопроводности, а u(M) — температура в данной области, то поток тепла, протекающего через поверхность σ в единицу времени, определяет интеграл .

Вычисление потока векторного поля: примеры

Пример 1. Вычислить поток векторного поля через верхнюю сторону треугольника, образованного пересечением плоскости с координатными плоскостями. Решить задачу двумя способами: 1) через поверхностный интеграл первого рода; 2) через поверхностный интеграл второго рода.

1) Поверхностью σ является треугольник ABC , а её проекцией на ось xOy — треугольник AOB .

Координатами вектора нормали данной поверхности являются коэффициенты при переменных в уравнении плоскости:

Длина вектора нормали:

Единичный вектор нормали:

Из выражения единичного вектора нормали следует, что направляющий косинус . Тогда .

Теперь можем выразить поток векторного поля в виде поверхностного интеграла первого рода и начать решать его:

Выразим переменную «зет»:

Продолжаем вычислять интеграл и, таким образом, поток векторного поля:

Получили ответ: поток векторного поля равен 64.

2) Выражая поток векторного поля через поверхностный интеграл второго рода, получаем

Представим этот интеграл в виде суммы трёх интегралов и каждый вычислим отдельно. Учитывая, что проекция поверхности на ось yOz является треугольник OCB , который ограничивают прямые y = 0 , z = 0 , y + 3z = 6 или y = 6 − 3z и в точках поверхности 2x = 6 − y − 3 , получаем первый интеграл и вычисляем его:

Проекцией поверхности на ось xOz является треугольник OAC , который ограничен прямыми x = 0 , z = 0 , 2x + 3z = 6 или . По этим данным получаем второй интеграл, который сразу решаем:

Проекцией поверхности на ось xOy является треугольник OAB , который ограничен прямыми x = 0 , y = 0 , 2x + y = 6 . Получаем третий интеграл и решаем его:

Осталось только сложить все три интеграла:

Получили ответ: поток векторного поля равен 64. Как видим, он совпадает с ответом, полученным в первом случае.

Пример 2. Вычислить поток векторного поля через верхнюю сторону треугольника, образованного пересечением плоскости с координатными плоскостями. Решить задачу двумя способами: 1) через поверхностный интеграл первого рода; 2) через поверхностный интеграл второго рода.

Решение. Данная поверхность представляет собой треугольник ABC , изображённый на рисунке ниже.

1) Коэффициенты при x , y и z из уравнения плоскости являются координатами вектора нормали плоскости, которые нужно взять с противоположным знаком (так как вектор нормали верхней стороны треугольника образует с осью Oz острый угол, так что третья координата вектора нормали плоскости должна быть положительной). Таким образом, вектор нормали запишется в координатах так:

Длина этого вектора:

единичный вектор нормали (орт):

Скалярное произведение векторного поля и единичного нормального вектора:

Поток векторного поля, таким образом, представим в виде поверхностного интеграла первого рода

Выразим «зет» и продифференцируем то, что уже можно продифференцировать:

2) Представим поток векторного поля в виде поверхностного интеграла второго рода:

Первый и второй интегралы берём со знаком «минус», так как вектор нормали поверхности образует с осями Ox и Oy тупой угол.

Вычисляем первый интеграл:

Вычисляем второй интеграл:

Вычисляем третий интеграл:

Складываем три интеграла и получаем тот же самый результат:

Пример 3. Вычислить поток векторного поля через внешнюю сторону параболоида в первом октанте, отсечённую плоскостью z = 9 .

Поток векторного поля представим в виде поверхностного интеграла второго рода:

Второй интеграл берём со знаком минус, так как нормальный вектор поверхности образует с осью Oz тупой угол. Вычисляем первый интеграл:

Вычисляем второй интеграл:

В сумме получаем искомый поток векторного поля:

Примеры решений задач по теории поля

В этом разделе вы найдете готовые задания разного типа по векторному анализу (теории поля):

Примеры: базовые понятия теории поля

Задача 1. Проверить, что поле $f=(3x+y^2)i+2xy j$ потенциально и восстановить потенциал.

Задача 2. Найти дивергенцию и ротор векторного поля $overline=(3x-y) overline+(6z+5x) overline$

Задача 4. Вычислить потенциальную функцию векторного поля

Поток поля через поверхность

Циркуляция векторного поля

с помощью формулы Стокса и непосредственно (положительным направлением обхода контура считать то, при котором точка перемещается по часовой стрелке, если смотреть из начала координат).

Задача 12. Найти циркуляцию вектора $F$ вдоль ориентированного контура $L$. $$ overline = (3x-1) overline+ (y-x+z)overline+4z overline, $$ $L$ — контур треугольника $ABCA$, где $A,B,C$ точки пересечения плоскости $2x-y-2z+2=0$ соответственно с осями координат $Ox, Oy, Oz$.

Работа векторного поля

Задача 13. Найдите работу векторного поля $A=(2xy-y; x^2+x)$ по перемещению материальной точки вдоль окружности $x^2+y^2=4$ из $M (2; 0)$ в $К(-2; 0)$.

Задача 14. Вычислить работу векторного поля силы $overline = xz overline -overline+y overline$ при движении материальной точки по пути $L: x^2+y^2+z^2=4$, $z=1 (y ge 0)$ от точки $M(sqrt(3);0;1)$ до точки $N(-sqrt(3);0;1)$.

Типовой расчет по теории поля

Задание 15.
А) Найти поток векторного поля $F$ через внешнюю поверхность пирамиды, отсекаемой плоскостью $(p)$ двумя способами: непосредственно и по формуле Гаусса-Остроградского.
Б) Найти циркуляцию вектора $F$ по контуру треугольника двумя способами: по определению и по формуле Стокса.

$$ overline = z overline+ (x+y)overline+y overline, quad (p): 2x+y+2z=2. $$

Помощь с решением заданий

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по этой и другим темам математического анализа, обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 150 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Поток вектора через незамкнутую поверхность. Теорема Гаусса—Остроградского

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Укажем некоторые способы вычисления потока вектора через незамкнутые поверхности. 1. . Пусть поверхность 5 однозначно проектируется на область Dxy плоскости хОу. В этом случае поверхность S можно задать уравнением вида Орт п° нормали к поверхности S находится по формуле Если в формуле (1) берется знак« то угол 7 между осью Oz и нормалью острый; если же знак то угол 7 — тупой.

Так как элемент площади этой поверхности равен то вычисление потока П через выбранную сторону поверхности 5 сводится к вычи-слениюдвойного интеграла по формуле Символ Поток вектора через незамкнутую поверхность метод проектирования на одну из координатных плоскостей Метод проектирования на все координатные плоскости Метод введения криволинейных координат на поверхности Поток вектора через замкнутую поверхность.

Теорема Гаусса—Остроградского означает, что при вычислении в подынтегральной функции надо вместо z всюду поставить f(x> у). Пример 1. Найти поток вектора через часть поверхности параболоида z = s2 + y2, отсеченной плоскостью z = 2. По отношению к области, ограниченной параболоидом, берется внешняя нормаль (рис. 15). Данная поверхность проектируется на круг плоскости хОу с центром в начале координат радиуса .

Находим орт п° нормали к параболоиду: Согласно условию задачи вектор п° образует с осью Oz тупой угол 7, поэтому перед дробью следует взять знак минус. Таким образом, Находим скалярное произведение , значит, Согласно формуле (3) Вводя полярные координаты где получаем Если поверхность 5 проектируется однозначно на область плоскости yOz, то ее можно задать уравнением х = г). В этом случае имеем Наконец, если поверхность S проектируется однозначно на область Dxz плоскости xOzy то ее можно задать уравнением и тогда Знак « + » перед дробью в формуле (10) означает, чтоугол /3 между осью Оу и вектором нормали п° — острый, а знак «-», что угол /3 — тупой.

Замечание. Для нахождения потока вектора через поверхность 5, заданную уравнением г = /(х,у), методом проектирования на координатную плоскость хОу, не обязательно находить орт п° нормали, а можно брать вектор Тогда формула (2) для вычисления потока П примет вид: Аналогичные формулы получаются для потоков через поверхности, задэнные уравнениями Пример 2. Вычислить поток вектора а = хг через внешнюю сторону параболоида ограниченного плоскостью.

Имеем Так как угол 7 — острый, следует выбрать знак « + ». Отсюда Искомый поток вычисляется так: Переходя к полярным координатам , получим Метод проектирования на все координатные плоскости. Пусть поверхность S однозначно проектируется на все три координатные плоскости. Обозначим через Dzy, Dxz, Dyz проекции 5 на плоскости хОу, xOz, yOz соответственно. В этом случае уравнение F у, z) = 0 поверхности S однозначно разрешимо относительно каждого из аргументов, т. е.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Тогда погок вектора к через поверхность S, единичный вектор нормали к которой равен можно записать так: Известно, что причем знак в каждой из формул (14) выбирается таким, каков знак на поверхности S. Подставляя соотношения (12) и (14) в формулу (13), получаем, что Пример 3. Вычислить поток векторного поля через треугольник, ограниченный плоскостями 4 Имеем так что Значит, перед всеми интегралами в формуле (15) следует взять знак « + ».

Полагая получим Вычислим первый интеграл в правой части формулы (16). Область Dvz —треугольник ВОС в плоскости yOz, уравнение стороны . Имеем Аналогично получим . Значит, искомый поток равен 3. Метод введения криволинейных координат на поверхности. Если поверхность 5 является частью кругового цилиндра или сферы, при вычислении потока удобно, не применяя проектирования на координатные плоскости, ввести на поверхности криволинейные координаты. А.

Поверхность 5 является частью кругового цилиндра ограниченного поверхностями будем иметь Элемент площади поверхности выражается так: и поток вектора а через внешнюю сторону поверхности 5 вычисляется по формуле: где 4. Найти поток вектора через внешнюю сторону поверхности цилиндра ограниченной плоскостями Так как то скалярное произведение (а, п°) на цилиндре равно: Тогда по формуле (18) получим В.

Поверхность 5 является частью сфсры офаничснной коническими поверхностями, уравнения которых в сферических координатах имеют вид и полуплоскостями.

Точки данной сферы описываются соотношениями где Поэтому элемент площади В этом случае поток векторного поля а через внешнюю часть поверхности 5 вычисляется по формуле где Пример 5. Найти поток вектора через внешнюю часть сферы Положим Тогда скалярное произведение выразится так: По формуле (21) получим.

Замечание:

Здесь мы воспользовались формулой Поток вектора через замкнутую поверхность. Теорема Гаусса—Остроградского Теорема 4.

Если в некоторой области G пространства R3 координаты вектора непрерывны и имеют непрерывные частные производные , то поток вектора а через любую замкнутую кусочно-гладкую поверхность S, лежащую в области G, равен тройному интегралу от дх ду dz по области V, ограниченной поверхностью S: Здесь — орт внешней нормали к поверхности, а символ означает поток через замкнутую поверхность 5. Эта формула называется формулой Гаусса—Остроградского.

Рассмотрим сначала векгор а, имеющий только одну компоненту а = R(x, у, z)k, и предположим, что гладкая поверхность 5 пересекается каждой прямой, параллельной оси Oz, не более чем в двух точках. Тогда поверхность 5 разбивается на две части 5| и 52, однозначно проектирующиеся на некоторую область D плоскости хОу (рис.21). Внешняя нормаль к поверхности 52 образует острый угол 7 с осью Oz, а внешняя нормаль к поверхности 51 образует тупой угол с осью Oz.

Поэтому cos так что на 52 имеем 7. В силу аддитивности потока имеем Пусть da — элемент площади на поверхности S. Тогда

элемент площади области D. Сведем интегралы по поверхности к двойным интегралам по области D плоскости хОу, на которую проектируются поверхности Si и S2. Пусть S2 описывается уравнением — уравнением z = z(x>y). Тогда Так как приращение непрерывно дифференцируемой фунмции можно представить как интеграл от ее производной то для функции R(x, у, z) будем иметь.

Пользуясь этим, получаем из формулы (3) Поток вектора через незамкнутую поверхность метод проектирования на одну из координатных плоскостей Метод проектирования на все координатные плоскости Метод введения криволинейных координат на поверхности Поток вектора через замкнутую поверхность. Теорема Гаусса—Остроградского Если поверхность S содержит часть цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси Oz (рис. 22), то на этой части поверхности (Як, п°) = 0 и интеграл / da по ней равен нулю.

Поэтому формула (4) остается

справедливой и для поверхностей, содержащих указанные цилиндрические части. Формула (4) переносится и на случай, когда поверхность S пересекается вертикальной прямой более, чем в двух точках (рис. 23). Разрежем область V на части, поверхность каждой из которых пересекается вертикальной прямой не более чем в двух точках, и обозначим через Sp поверхность разреза.

Пусть S и S2 — те части поверхности 5, на которые она разбивается разрезом 5Р, a V и Vj — соответствующие части области V, ограниченные поверхностями . Здесь Sp означает, что вектор нормали к разрезу Sp направлен вверх (образует с осью Oz острый угол), a Sp — что этот вектор нормали направлен вниз (образует с осью Oz тупой угол). Имеем: Складывая полученные равенства и пользуясь аддитивностью потока и тройною интеграла, получим (интегралы по разрезу взаимно уничтожаются).

Рассмотрим, наконец, вектор Для каждой компоненты Лк мы можем написать формулу, аналогичную формуле (4) (все компоненты равноправны). Получим Складывая эти равенства и пользуясь линейностью потока и тройного интеграла, получаем формулу Гаусса—Остро градского Пример 1. Вычислить поток век-гора через замкнутую поверхность по определению, 2) по формуле Остроградского. 4 1)

Поток вектора а равен сумме на поверхности Si), на поверхности S2 К так как Перейдем на цилиндре к криволинейным координатам Тогда 2) По формуле Гаусса—Остроградского имеем Пример 2. Вычислить поток радиус-вектора через сферу радиуса R с центром 8 начале координат: 1) по определению; 2) по формуле Остроградского. Так как для сферы и поэтому 2) Сначала находим Отсюда Пример 3.

Вычислить поток вектора через замкнугую поверхность S, заданную условиями: 1) по определению; 2) по формуле Острогрздя ого (рис.25). Имеем Значит, Поэтому Итак, Имеем Поэтому Переходя к цилиндрическим координатам и замечая,на поверхности 5, имеем Замечание . При вычислении потока через незамкнутую поверхность часто бывает удобно подходящим образом дополнить седо замкнутой и воспользоваться формулой Гаусса—Ос гроградского.

Пример 4:

Вычислить поток вектора Заданная поверхность S есть конус с осыо Оу (рис.26). Замкнем этот конус куском £ плоскости у — I. Тогда, обозначая через П| искомый поток, а через Н2 поток по поверхности будем иметь где V — объем конуса, ограниченного поверхностями S Поток вектора через незамкнутую поверхность метод проектирования на одну из координатных плоскостей Метод проектирования на все координатные плоскости Метод введения криволинейных координат на поверхности Поток вектора через замкнутую поверхность. Теорема Гаусса—Остроградского Так как на поверхности Е выполняется равенство у = 1. Следовательно, ITj

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

источники:

http://www.matburo.ru/ex_ma.php?p1=mafield

http://natalibrilenova.ru/potok-vektora-cherez-nezamknutuyu-poverhnost-teorema-gaussa-ostrogradskogo/

Источник

, .

Тогда

Ответ: .

б) Найти производную
скалярного поля в точке А(1;1;-1) по
направлению от точки А к точке В(-1;1;0).

Решение.

Производная по
направлению находится по формуле:

Найдем частные
производные:

; ;
.

Найдем значения частных
производных в точке А(1;1;-1)

, , .

Направление совпадает с вектором

Направляющие косинусы
вектора найдем по формулам:

Если , то его направляющие косинусы будут
равны:

;

Тогда для вектора направляющие косинусы будут такими:

, ,
.

Тогда

Ответ: .

Задача 2.

а) Вычислить поток
векторного поля

через
треугольник, вырезанный из плоскости координатными
плоскостями, в том направлении нормали к плоскости, которое образует с осью OZ острый угол.

Решение.

Рисунок 18

На рисунке показан
треугольник, через который вычисляется поток.

Найдем орт нормали :

У нас F(x;y;z)=2x+3y+z-6, тогда

Выберем знак «+», так как
по условию задачи угол острый и , тогда

Найдем :

Поток найдем по формуле:

То есть проектированием
на плоскость XOY.

Спроектировав АВС (рис. 18) на плоскость XOY, получим АОВ,
уравнение АВ:

Тогда

Ответ: К=81.

Задача 2.

б) Найти дивергенцию и
ротор векторного поля .

Решение.

Задача 3.

а) Найти поток вектора через внешнюю поверхность пирамиды,
образованной плоскостью Р и координатными плоскостями непосредственно и по
формуле Остроградского – Гаусса.

Найдем поток векторного
поля непосредственно.

Согласно свойству
аддитивности поток через внешнюю поверхность пирамиды равен сумме потоков через
все четыре грани пирамиды.

Рисунок 19

где — поток через грань ОАВ,

—
поток через грань ОСВ,

—
поток через грань ОАС,

—
поток через грань АВС

Найдем — поток через ОАВ. Уравнение ОАВ: y=0. Внешняя нормаль к грани ОАВ . Тогда .
Следовательно, =0.

Найдем — поток через грань ОСВ. Уравнение
ОСВ: x=0. Внешняя нормаль к грани ОСВ , .

Тогда и .

Рисунок 20

Найдем — поток через ОАС. Уравнение ОАС: z=0.

Внешняя нормаль . Тогда и
=0.

Найдем — поток через грань АВС. Найдем
внешнюю по отношению к пирамиде нормаль к грани АВС:

Так как образует тупой угол с осью OZ, то выбираем знак «+», чтобы .

Тогда

Тогда поток через внешнюю
поверхность пирамиды

Найдем теперь поток через
поверхность пирамиды по формуле Остроградского – Гаусса:

б) Найти циркуляцию
векторного поля непосредственно и по
формуле Стокса вдоль линии пересечения плоскости Р с координатными плоскостями.

, .

Решение.

Найдем циркуляцию
непосредственно по определению

Так как L представляет собой стороны
треугольника АВС (рис. ) и Q=R=0, то

AB: y=0,
5x-z=5, z=5x-5,

BC: x=0, dx=0,

CA: z=0,
5x+y=5, y=5-5x.

Тогда

Найдем теперь циркуляцию
по формуле Стокса:

Плоскость 5x+y-z-5=0 имеет .

Тогда в формуле Стокса у
первых 2-х слагаемых «+», так как , где , ,
где .

У третьего слагаемого
выбираем «-», так как , так как .

Тогда

Задача 4

Проверить, будет ли поле
вектора потенциальным и соленоидным. В
случае, если поле потенциально, найти его потенциал.

Решение.

Поле вектора потенциально, если =0. Найдем :

Так как =0, то поле вектора потенциально. Поле вектора соленоидально, если =0.

Так как во всех точках поля, то поле вектора
не является соленоидальным.

Найдем потенциал
потенциального поля .

В качестве точки возьмем точку (0;0;0). Тогда

Проверка:

,
, .

17 Семестровое задание
по теме «Теория поля»

Задача 1.

а) Найти угол между
градиентами функции в точках А и В.

б) Найти производную
функции в точке А по направлению из точки А
в точку В.

Варианты заданий:

1. , А(1;2;-1), В(0;1;-3).

2. , А(1;2;0), В(4;1;2).

3. , А(1;-1;0), В(-1;2;1).

4. , А(0;5;1), В(1;1;-1).

5. , А(1;0;1), В(0;1;-1).

6. , А(1;-1;1), В(2;1;2).

7. , А(0;1;2), В(1;2;1).

8. , А(1;0;1), В(-1;1;2).

9. , А(1;2;1), В(-1;1;2).

10. , А(1;1;1), В(2;1;-1).

11. , А(1;-1;1), В(-1;1;2).

12. , А(1;-1;1), В(2;1;2).

13. , А(1;0;1), В(2;1;-1).

14. , А(1;-1;1), В(0;1;2).

15. , А(1;2;1), В(0;1;-1).

16. , А(1;1;-1), В(0;2;1).

17. , А(1;1;2), В(0;-1;1).

18. , А(1;1;2), В(-1;0;1).

19. , А(1;2;-1), В(2;1;1).

20. , А(0;1;2), В(-1;2;1).

21. , А(1;1;1), В(0;1;-1).

22. , А(1;1;-1), В(1;2;1).

23. , А(0;1;1), В(1;2;-1).

24. , А(1;2;1), В(0;1;-1).

25. , А(1;1;-1), В(-1;2;1).

Задача 2.

а) Найти поток векторного
поля через треугольник, вырезанный из
плоскости Р координатными плоскостями, в том направлении нормали к плоскости,
которое образует с осью OZ
острый угол.

б) Найти дивергенцию и
ротор векторного поля .

Варианты заданий:

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. ,

6. ,

7. ,

8. ,

9. ,

10. ,

11. ,

12. ,

13. ,

14. ,

15. ,

16. ,

17. ,

18. ,

19. ,

20. ,

21. ,

22. ,

23. ,

24. ,

25. ,

Задача 3

Варианты заданий:

1. , .

2. , .

3. , .

4. , .

5. , .

6. , .

7. , .

8. , .

9. , .

10. , .

11. , .

12. , .

13. , .

14. , .

15. , .

16. , .

17. , .

18. , .

19. , .

20. , .

21. , .

22. , .

23. , .

24. , .

25. , .

Задача 4

Источник

Формула Остроградського-Гаусса имеет широкое приложение в математике, физике, химии.
Дальше будут приведенные ответы к примерам по интегрированию, которые предусматривают нахождение потока векторного поля через дивергенцию.
В большинстве заданий вычисления двойных интегралов предусматривает замену переменных, а точнее — переход к полярной системе координат. Это упрощает подынтегральные выражения, однако ведет к пересчету пределов интегрирование.
На словах это легко понять, однако на практике необходимо анализировать приведенные примеры на формулу Остроградського-Гаусса и много решать самостоятельно, чтобы разобраться в теме.

Пример 7.1 Найти поток векторного поля через часть поверхности S:
, что отсекается плоскостью P:
z=2 (нормаль внешня к замкнутой поверхности, образованной данными поверхностями).
Решение: Уравнение — коническая поверхность с вершиной в точке (0;0;0), которая вытянута вдоль оси Oz.
z=2 — плоскость параллельная к плоскости Oxy. (шапка).
Приведены поверхность и плоскость изобразим в пространстве

В сечении с конусом получим круг радиуса R=2.
Как видим из рисунка, четверть области V задается следующими пределами:

Здесь учли четность всех функций, поєтому результат интегрирования умножим на 4.
Вычислим дивергенцию векторного поля :

где P=P(x;y;z)=x+xy, Q=Q(x;y;z)=y-yx, R=R(x;y;z)=z-1.
Последние функции берем из a.
Найдем поток векторного поля за формулой Остроградського-Гаусса:

Пример 7.3 Найти поток векторного поля через часть поверхности S:

, что отсекается плоскостью P:
z=-1 (нормаль внешня к замкнутой поверхности, образованной данным сечением).
Решение: — коническая поверхность (нижняя часть) с вершиной в начале координат (0;0;0), которая вытянута вдоль оси Oz.
z=-1 — плоскость параллельная к Oxy.

В сечении с конусом получим круг радиуса R=1.
Как видим из рисунка четверть области V задается следующими пределами:

Здесь учли четность всех функций, поэтому результат интегрирования будем умножать на 4.
Находим дивергенцию векторного поля :

где P=P(x;y;z)=xy, Q=Q(x;y;z)=-3x², R=R(x;y;z)=4.
За формулой Остроградського-Гаусса вычисляем тройной интеграл:

Переход к полярной системе координат значительно упрощает нахождения двойного интегралу.

Пример 7.4 Вычислить поток векторного поля через часть поверхности S: , что вырезается плоскостью P:
z=-5 (нормаль внешня к замкнутой поверхности, образованной данными поверхностями).
Решение: Уравнение — задает коническую поверхность с вершиной в точке(0;0;0), которая вытянута вдоль оси Oz.
z=-5 — плоскость параллельная к плоскости Oxy.

В сечении с конусом получим круг радиуса R=1.
Из рисунка следует что четверть области V задается следующими пределами:

Здесь учитываем четность функций, поэтому результат будем множить на 4.
Находим дивергенцию векторного поля :

где P=P(x;y;z)=xy, Q=Q(x;y;z)=-3x², R=R(x;y;z)=4.
За формулой Остроградського-Гаусса вычисляем поток поля :

Переход к полярной системе координат значительно упрощает нахождения двойного интегралу.

Пример 7.5 Вычислить поток векторного поля через часть поверхности S:
, что вырезается плоскостью P:
z=-5 (нормаль внешня к замкнутой поверхности, образованной данными поверхностями).
Решение: Уравнение — задает коническую поверхность с вершиной (0;0;0), которая вытянута вдоль оси Oz.
z=-5 — плоскость, какая параллельная к плоскости Oxy.

В сечении с конусом получим круг радиуса R=5.
Как видим из рисунка четверть области V задается следующими пределами:
Принимая во внимание четность всех функций, можем сузить область интегрирования, а результат умножить на 4.
Дивергенция векторного поля равна

где P=P(x;y;z)=y²x, Q=Q(x;y;z)=-yx², R=R(x;y;z)=z.
Поток поля находим переходом к двойному интегралу по формуле:

Опять имеем замену переменных под интегралом. Этот прием является незаменимым при нахождении интегралов по поверхностям вращения — подынтегральные функции и пределы упрощаются, отпадает потребность бороться с корнями и выискивать экзотические формулы интегралов из справочников.

Пример 7.7 Найти поток векторного поля через часть поверхности S:
, что отсекается плоскостью P:
z=0 (нормаль внешня к замкнутой поверхности, образованной данными поверхностями).
Решение: Сведем поверхность к каноническому виду z²=4-x²-y², x²+y²+z²=2²— сфера (верхняя половина) с центром в (0;0;0) и радиусом R=2.
z=0 — плоскость параллельная к плоскости Oxy.

В сечении со сферой получим круг с центром в (0;0;0) и радиусом R=2.
Из рисунку видим четверть области V задается следующими пределами:

Здесь учли четность всех функций поэтому результат будем множить на 2.
Вычисляем дивергенцию :

где P=P(x;y;z)=2xyz, Q=Q(x;y;z)=-x²z, R=R(x;y;z)=2.
Поток векторного поля определяем через формулу Остроградського-Гаусса:

Пример 7.8 Найти поток векторного поля через часть поверхности S:
, что вырезается плоскостью P:
z=4 (нормаль внешня к замкнутой поверхности, образованной данными поверхностями).
Решение: Уравнение описывает коническую поверхность с вершиной в начале координат (0;0;0), вытянутую вдоль оси Oz.
Сечение z=4 — плоскость параллельная к плоскости Oxy.

В сечении с конусом получим круг радиуса R=4.
Как видим из рисунка, четверть области V задается следующими пределами:

Четность всех функций позволяет искать интеграл на меньшей поверхности, затем результат нужно будет умножить на 4.
Дивергенцию векторного поля определяем по формуле:

где P=P(x;y;z)=x+2xy, Q=Q(x;y;z)=y-2x², R=R(x;y;z)=z.
Интегрированием вычисли поток векторного поля :

Пример 7.14 Определить поток векторного поля через часть поверхности S:
, что отсекается плоскостью P:
z=0 (нормаль внешня к замкнутой поверхности, образованной данными поверхностями).
Решение: Уравнение — описывает верхнюю часть полусферы с центром в (0;0;0) и радиусом R=3.
В сечении с плоскостью z=0 получим круг радиуса R=3.

Четверть области V задается следующими пределами:

Принятие во внимание четности функций позволяет записать пределы лишь в четверти области, потому поток необходимо умножить на 4.
Посчитаем дивергенцию поля :

где P=P(x;y;z)=x, Q=Q(x;y;z)=y+2z, R=R(x;y;z)=z-2x.
Применяем формулу Остроградського-Гаусса для определения потока векторного поля :

Пример 7.15 Найти поток векторного поля через часть поверхности S:
, что пересекается плоскостью P:
z=0 (нормаль внешня к замкнутой поверхности, образованной данными поверхностями).
Решение: Поверхность — сфера (нижняя часть) с центром в начале декартовой СК (0;0;0) и радиусом R=2.

В сечении плоскости z=0 со сферой получим круг радиуса R=2.
Четверть области V задается следующими пределами:
и
Результат интегрирования необходимо умножить на 4, поскольку учитываем четность функций.
Вычислим дивергенцию векторного поля :

где функции P=P(x;y;z)=x+z², Q=Q(x;y;z)=-y, R=R(x;y;z)=z-x².
Интегрированием находим поток векторного поля :

Он равен P=16pi.

Пример 7.16 Найти поток векторного поля через часть поверхности S:
, что отсекается плоскостью P:
z=2 (нормаль внешня к замкнутой поверхности, образованной данными поверхностями).
Решение: Корневая зависимость — задает коническую поверхность с вершиной в точке (0;0;0), которая вытянута вдоль оси Oz.
z=2 — плоскость параллельная к плоскости Oxy.
В сечении с конусом получим круг радиусом R=2.

Четверть области V задается следующими пределами:

Четность функций учтена, поэтому результирующий интеграл нужно умножить на четверку.
Вычислим дивергенцию векторного поля :

где P=P(x;y;z)=x+xy, Q=Q(x;y;z)=y-yx, R=R(x;y;z)=z-1.
За формулой Остроградського-Гаусса вычисляем поток векторного поля :
Алгоритм вычисления двойных интегралов из примера в пример не изменяется.
Переход к полярной системе координат при интегрировании Вы должны хорошо знать, такой прием позволяет упростить широкий класс интегралов, а дальнейшие вычисления свести к простым интегралам от показательных и тригонометрических функций. В отдельных случаях Вам придется применять формулы понижение степеней для перехода от квадратов синусов и косинусов к их первым степеням.

Пример 7.24 Вычислить поток векторного поля через часть поверхности S:
, что отсекается плоскостью P:
z=-1 (нормаль внешня к замкнутой поверхности, образованной данными поверхностями).
Решение: Превращаем уравнение поверхности к каноническому виду
z^2=4-x^2-y^2, x^2+y^2+z^2=2^2 — сфера (нижняя часть) с центром в начале координат (0;0;0) и радиусом R=2.
z=-1 — плоскость параллельная к плоскости Oxy.

В сечении со сферой получим круг радиусом корень из трех
Четверть области V задается следующими пределами:

В силу четности функций, выписываем пределы лишь на 1/4 поверхности сферы.
Дивергенция векторного поля через частичные производные равна:

где функции P=P(x;y;z)=xy, Q=Q(x;y;z)=yz, R=R(x;y;z)=z-xy.
Поток векторного поля определяем из двойного интеграла:

На этом ознакомление с примерами на вычисление потока векторного поля не завершается, больше готовых ответов Вы найдете на соседних страницах.

Источник