Как найти поток вектора смещения - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Векторы поляризованности и смещения

В предыдущей статье было показано, что вследствие поляризации диэлектрика, т. е. смещения его связанных зарядов, изменяется напряженность электрического поля. Результирующее влияние диэлектрика на электрическое поле оценивают векторной величиной, называемой поляризованностью Р (вектором поляризации).

Средняя интенсивность поляризации P_ср определяется как сумма дипольных моментов в единице объема диэлектрика, а чтобы найти поляризованность в данном месте поля, надо выбрать достаточно малый объем ΔV:

Единица измерения поляризованности

[P] = [ql/V] = Кл*м/м 3 = Кл/м 2.

Вектор поляризации направлен навстречу вектору напряженности электрического поля связанных зарядов E_п.(рис. 4.12).
Вектор поляризации для большинства диэлектриков (за исключением группы сегнетоэлектриков) пропорционален напряженности электрического поля:

и его направление совпадает с направлением внешнего E_вн и результирующего Е полей (риc. 4.12).

Коэффициент k называется электрической восприимчивостью диэлектрика и характеризует его способность поляризоваться.

При расчетах электрических полей в диэлектриках с различными диэлектрическими проницаемостями пользуются еще вектором электрического смещения.

Электрическое смещение D связано с напряженностью электрического ноля простым соотношением

откуда можно определить единицу намерения электрического смещения:

которая такая же, как у вектора, поляризации и у поверхностной плотности зарядов на электродах.

Электрическое смещение и поверхностная плотность свободных зарядов численно одинаковы на поверхности всех проводящих тел, находящихся в электростатическом поле. Например, у внутренней поверхности пластины плоского конденсатора (рис. 4.8) напряженность однородного электрического поля, как и в любой точке однородного поля (4.10),

а электрическое смещение в любой точке поля, в том числе и у металлической поверхности,

т. е. совпадает с поверхностной плотностью заряда на пластине.

Из (2а) следует, что при заданной плотности поверхностных свободных зарядов на электродах электрическое смещение в однородном диэлектрике с диэлектрической проницаемостью ε_a не зависит от ε_a, а напряженность электрического поля зависит. Поэтому можно сказать, что на напряженность электрического поля определяется и свободными (на электродах) и связанными (в диэлектриках) зарядами, т. е. поляризацией диэлектрика, а электрическое смещение в однородном диэлектрике не зависит от связанных зарядов.

Связь между тремя векторными величинами, характеризующими электрическое поле в диэлектрике, выражается равенством

Приняв во внимание (1) и (2), получим

откуда диэлектрическая проницаемость

а электрическая восприимчивость

Рис.1 Поле заряженного шара

Рассмотрим еще неоднородное электрическое поле заряженного металлическою шара (рис. 1), радиус которого R_ш. Известно, что электрический заряд Q находится на поверхности такого шара. Поверхностная плотность заряда

Поле металлического шара с зарядом Q совпадает вне шара с полем равного ему по значению точечного заряда Q, расположенного в центре шара (4.8); поэтому напряженность поля на расстоянии R от центра шара и в частности, у его наружной поверхности, т.е. при R = R_ш,

а электрическое смещение

т. е. равно поверхностной плотности заряда.

Внутри металлического шара поля нет, как и во всяком проводнике в условиях электростатики , Поэтому потенциалы всех точек шара одинаковые, т. е. шар — эквипотенциальное тело, как и всякое металлическое тело в электростатическом поле.

Аналогично потоку вектора напряженности поля (4.7) применяется понятие потока вектора электрического смешения.

Поток вектора смещения N_D в однородном поле равен произведению численного значения вектора смещения D и площадки S, во всех точках которой вектор смещения имеет одинаковое значение и направлен перпендикулярно к ней, т. е.

При неоднородном поле произвольную поверхность площадью S разбивают на элементарные, в пределах каждой на которых смещение одинаково; так что поток вектора
смещения через такую элементарную площадку

где D_n— нормальная составляющая вектора смещения (перпендикулярная к элементарной площадке).

Поток вектора смещения через произвольную замкнутую поверхность находится суммированием элементарных потоков:
Так как D = ε_aE и соответственно D_n = ε_aE_n, то поток вектора смещения

В частности, в случае шаровой поверхности

Таким образом, поток вектора электрического смещения через шаровую поверхность равен заряду, расположенному внутри поверхности.

Полученное выражение N_D = Q справедливо для замкнутой поверхности любой формы, охватывающей заряд как в однородной среде с ε_r = const, так и в среде, диэлектрическая проницаемость которой неодинакова в различных участках среды, например в двухслойном конденсаторе.

На поверхности шара,

откуда определяется электрическое смещение у поверхности шара: что согласуется с (5).

Вопрос №1. Электрическое смещение. Поток смещения.

Лекция № 4

Расчет полей заданных электрических зарядов

План лекции:

1. Электрическое смещение. Поток смещения.

2. Теорема Гаусса для электрического поля в диэлектрике.

3. Расчет поля равномерно заряженных бесконечных плоскостей.

4. Напряженность и потенциал поля равномерно заряженной сферической поверхности.

5. Напряженность и потенциал поля объемно заряженного шара.

6. Напряженность и потенциал заряженных цилиндра, бесконечной прямой нити.

Вопрос №1. Электрическое смещение. Поток смещения.

Для описания электростатического поля используют его силовую характеристику — напряженность поля Е. Эта величина зависит от свойств среды, которые определяются диэлектрической проницаемостью е в выражении:

В диэлектрической среде напряженность поля определяется как свободными, так и связанными зарядами.

Связанными зарядами называются заряды, которые входят в состав атомов и молекул, а также заряды ионов в кристаллических диэлектриках с ионной решеткой. Свободные заряды— это заряды частиц, способных перемещаться под действием электрического поля на макроскопические расстояния (электроны проводимости в металлах и полупроводниках, электроны в вакууме, ионы в электролитах и ионизированных газах). К свободным относятся также избыточные заряды, сообщаемые телу и нарушающие его электростатическую нейтральность (например, заряды, нанесенные извне на поверхность диэлектрика).

Чтобы при описании поля в изотропной среде (диэлектрике) скомпенсировать влияние этой среды на напряженность Е (Е = Ео / ε), вводят дополнительную характеристику поля, называемую электрическим смещением (прежнее название — электрическая индукция):

В случае точечного заряда проекция вектора на направление радиус-вектора определяется по формуле

откуда следует

Из выражения (1.2) видно, что электрическое смещение не зависит от электрической проницаемости εсреды и определяется только свободным зарядом q. Оно измеряется в тех же единицах, что и поверхностная плотность σ заряда, т.е. [D] = 1 Кл/1 м 2 .

Электрическое смещение в определенной небольшой области пространства можно измерить с помощью «пластинок Ми», которые представляют собой обкладки плоского конденсатора. Если расположить эти пластинки на некотором расстоянии rот точечного заряда qи сориентировать так, чтобы их плоскость была перпендикулярна вектору (рис. 1.), то плотность зарядаσ, индуцированного на одной из пластинок, будет численно равна электрическому смещению D, создаваемому зарядом q в точке М.

Из выражения (1.2) видно, что электрическое смещение фактически характеризует интенсивность поля, создаваемого только свободными зарядами. Так же как и напряженность Е, электрическое смещение D удовлетворяет принципу суперпозиции.

Аналогично вводят линии электрического смещения, направление и густота которых удовлетворяют тем же правилам, которые справедливы для линий напряженности.

Для расчета электростатических полей большое значение имеет поток электрического смещения Ф, который вводится следующим образом.

Пусть имеется небольшая произвольно ориентированная поверхность ΔS, расположенная в электрическом поле (рис. 2).

Разобьем ее произвольным образом на элементарные площадки dS, к каждой из которых проведем вектор нормали . Тогда элементарным потоком вектора смещения , пронизывающим площадку dS, называется величина dФ = D · ndS = DdS ·cos a = = D_n·dS, a значение потока через всю поверхность dS получим интегрированием:

В дальнейшем для расчета характеристик поля, т.е. смещения D и напряженности Е, нам понадобится поток D сквозь замкнутую поверхность S в направлении внешней нормали к этой поверхности:

— определение потока вектора D.

Поток вектора электрического смещения.

Теорема Остроградского — faycca для D

Аналогично потоку для вектора можно ввести

понятие «поток вектора электрического смещения» Ь(Ф_D). Пусть произвольную площадку S пересекают линии вектора электрического смещения D под углом а к нормали п (рис. 1.4.10):

В однородном электростатическом поле Ф₀ = DScosa = D_nS. Теорему Остроградского — Гаусса для вектора D получим из теоремы Остроградского — Гаусса для вектора Е:

так как то

Теорему Остроградского — Гаусса для D можно записать в следующем виде:

Поток вектора D через любую замкнутую поверхность определяют только свободные заряды, а не все заряды внутри объема, ограниченного данной поверхностью. Это позволяет не рассматривать связанные (поляризованные) заряды, влияющие на Ё,_и упрощает решение многих задач. В этом смысл введения вектора D.

Изменение Ё и D на границе раздела двух диэлектриков

Рассмотрим простой случай (рис. 1.4.11): два бесконечно протяженных диэлектрика се, и е₂, имеющих общую границу раздела, пронизывает внешнее электростатическое поле Ё₀. Пусть е₂ > е,. Из п. 1.4.3следует,что Е_<п/Е_2п=г₂/г₁ и Е_и = Е_2х.

Образовавшиеся поверхностные заряды изменяют только нормальную составляющую Ё, а тангенциальная составляющая остается постоянной (см. рис. 1.4.11):

т.е. направление вектора Ё изменяется. Это закон преломления вектора напряженности электростатического поля.

— и

Рис. 1.4.11 Рис. 1.4.12

Изменение вектора D и его проекций — D_n и D_x приведены на рис. 1.4.11. _

Так как D = г_пгЁ, то

нормальная составляющая вектора D, не изменяется);

(тангенциальная составляющая

вектора D увеличивается в е₂/е, раз).

Следовательно, закон преломления вектора D имеет следующий вид:

Закон преломления для векторов Ё и D показан на рис. 1.4.13. Как видно из рис. 1.4.13 , при переходе из одной диэлектрической среды в другую вектор D преломляется на тот же угол, что и Ё(5 = ег₀Ё). Входя в диэлектрик с большей диэлектрической проницаемостью, линии D и Ё удаляются от нормали.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ. УПРАЖНЕНИЯ

1. Указать виды поляризации.
2. Что показывает диэлектрическая проницаемость среды?
3. Вывести связь между диэлектрической восприимчивостью вещества и проницаемостью среды.
4. В чем различие поляризации диэлектриков с полярными и неполярными молекулами?
5. Есть ли свободные заряды в идеальном диэлектрике?
6. Какие виды поляризуемости существуют?
7. Назвать три основных класса веществ в соответствии с их способностью проводить электрический ток.
8. Определить, где диэлектрическая проницаемость при построении рис. 1 больше, меньше.

9. Что представляет собой вектор электрического смещения?
10. Сформулировать теорему Остроградского — Гаусса для электростатического поля в диэлектрике.
11. Вывести и прокомментировать условия для векторов ? и D на границе раздела двух диэлектрических сред.
12. Сформулируйте закон преломления для векторов Ё л D.

источники:

http://lektsii.org/14-30441.html

http://studref.com/362431/matematika_himiya_fizik/potok_vektora_elektricheskogo_smescheniya

Источник

Рассмотрим площадку
S,
которую пронизывают линии смещения

однородного электрического поля. Если
линии смещения перпендикулярны площадке
(рис. 9.2.1, a), то потоком
вектора смещения
называется количество линий смещения
электрического поля, проходящих через
некоторую поверхность нормально к этой
поверхности:

,
(9.2.1)

где

— единичный вектор, нормальный к площадке
S.

Если площадка S
не
перпендикулярна вектору

,
а составляет с ним некоторый угол
(см. рис. 9.2.1, б), то ее будет пронизывать
меньшее число линий смещения. В этом
случае поток вектора смещения через
площадку будет определяться выражением

.
(9.2.2)

Если же поверхность
не плоская (рис. 9.2.2) или же электрическое
поле не однородно, то ее можно разбить
на элементарные плоские площадки dS
в пределах, которых электрическое поле
можно считать однородным, и вычислить
элементарный поток вектора смещения

.
(9.2.3)

Тогда полный поток
смещения через поверхность S
будет равен

.
(9.2.4)

Поток вектора
смещения есть величина скалярная, но
имеющая знак. Если линии

выходят из поверхности, то

считается положительным (см. рис. 9.2.2),
если же вектор

входит в поверхность, то

отрицательный. При этом за положительное
направление вектора

(нормали к поверхности) принимается
направление наружу. Тогда, если

;

Единица измерения

в СИ — кулон (Кл).
Во многих случаях мы будет иметь дело
с потоком через замкнутую поверхность,
то есть через поверхность, ограничивающую
замкнутый объем, подобно шару или
футбольному мячу (рис. 9.2.3). В таком случае
результирующий поток смещения через
поверхность записывается в виде

,
(9.2.5)

где знак

означает, что интеграл берется по
замкнутой поверхности.

Поскольку поток,
входящий в замкнутый объем, отрицательный,
а поток, выходящий из объема, положителен,
то формула (9.2.5) выражает, таким образом,
величину результирующего потока из
объема, ограниченного замкнутой
поверхностью.

На рис. 9.2.3 число
линий смещения, входящих в объем, равно
числу линий выходящих, поэтому

,
то есть результирующий поток через
поверхность равен нулю.

Поток

отличен от нуля лишь в том случае, когда
какое-то число линий смещения начинается
или заканчивается внутри замкнутой
поверхности. А поскольку линии смещения
могут начинаться или заканчиваться
только на электрических зарядах, поток
будет отличен от нуля лишь в том случае,
когда суммарный заряд внутри поверхности
не равен нулю. Например, на рис. 9.2.4 число
входящих в S
линий смещения больше числа выходящих,
значит поток

отрицателен.

9.3. Теорема Остроградского-Гаусса

Теорема
Остроградского-Гаусса устанавливает
связь между электрическими зарядами и
электрическим полем.

Поток вектора
электрического смещения через любую
замкнутую поверхность равен алгебраической
сумме электрических зарядов, охватываемых
этой поверхностью.

Пусть электрическое
поле создается положительным точечным
зарядом q,
расположенным внутри объема, ограниченного
замкнутой произвольной поверхностью
S.
На этой поверхности выделим элементарный
участок площадью dS,
через который проходит вектор смещения

поля.

Расстояние от
заряда q
до dS
пусть равно r
(рис. 9.3.1). Выделим у заряда q
телесный угол, опирающийся на элементарную
площадку dS.

Мерой телесного
угла

,
как известно, служит отношение площади,
вырезаемой конической поверхностью на
сфере произвольного радиуса r
с центром в вершине конической поверхности,
к квадрату радиуса (см. рис. 9.3.3).

Элементарный поток
смещения через площадку dS
будет равен

,
(9.3.1)

где

.

В соответствии с
соотношением (9.1.) для точечного заряда
смещение в точке на расстоянии r
от него определится выражением

.
(9.3.2)

Тогда элементарный
поток смещения будет равен

,
(9.3.3)

где

— элементарный телесный угол с центром
в q(см. рис.
9.3.3).

С учетом (9.3.2) и
значения

выражение (9.3.3) перепишется в следующем
виде:

.
(9.3.4)

Интегрируя это
выражение по всей замкнутой поверхности
S,
то есть, по телесному углу в пределах
от 0 до 4,
находим поток смещения электростатического
поля точечного заряда q
сквозь замкнутую поверхность S,
охватывающую этот заряд

.
(9.3.5)

Таким образом,
поток вектора электрического смещения
через произвольную замкнутую поверхность
равен электрическому заряду, окруженному
этой поверхностью.

Отметим, что при
вычислении потока смещения векторы

малых участков замкнутой поверхности
S
нужно направлять по внешним нормалям,
то есть вовне из области, ограниченной
этой поверхностью.

При выводе
соотношения (9.3.5) мы предполагали, что
заряд q > 0.
Однако оно справедливо и в том случае
когда q < 0.

Если
замкнутая поверхность S
не охватывает заряд q
(рис. 9.3.4), то каждый элементарный телесный
угол

входит под интеграл (9.3.5) и со знаком
плюс (для элемента поверхности

,
внутренняя сторона которого видна из
точки размещения заряда), и со знаком
минус (для элемента поверхности

,
внешняя сторона которого видна из точки
размещения заряда).

Рис. 9.3.4

Следовательно, в
этом случае в результате интегрирования
по углам мы получим нуль, откуда и

Теперь рассмотрим
случай, когда внутри произвольной
замкнутой поверхности находится не
единственный заряд q,
а n
точечных зарядов:

Для каждого заряда в отдельности в
соответствии с (9.2.5)

.
(9.3.6)

В силу принципа
суперпозиции электрическое смещение

,
создаваемое всеми зарядами, равно сумме
электрических смещений

,
создаваемых каждым зарядом в отдельности:

(9.3.7)

поэтому

.
(9.3.8)

Эти достаточно
простые рассуждения показывают, что
теорема Остроградского-Гаусса справедлива
для любого распределения электрических
зарядов внутри любой замкнутой
поверхности. Однако следует иметь в
виду, что поле

не обязательно обусловлено только
зарядами q, которые размещены внутри
поверхности. Например, на рис. 9.3.4 поле

существует во всех точках поверхности,
однако оно создается вовсе не зарядом
внутри поверхности (здесь q=0).
Теорема Остроградского–Гаусса
справедлива для потока смещения
электрического поля через любую замкнутую
поверхность. Она утверждает, что если
поток направленный внутрь поверхности,
не равен потоку, направленному наружу,
то это обусловлено наличием зарядов
внутри поверхности.

Соседние файлы в предмете Физика

Источник

7. Поток вектора электростатического смещения

Электрическое поле кроме вектора
напряженности характеризуется еще вектором электростатического смещения (или
вектором электростатической индукции). В вакууме этот вектор определяется как

,
(10)

в диэлектрике

где —
диэлектрическая проницаемость
вещества

Для точечного заряда

По аналогии с линиями
напряженности для графического изображения электрического поля используются
линии электростатического смещения, совпадающие по направлению с линиями
напряженности.

Введем понятие потока вектора
электростатического смещения. Рассмотрим в однородном электрическом поле
плоскую поверхность с площадью и выберем нормаль к ней (рис.7).
Линии электростатического смещения образуют с нормалью угол .
Поток вектора смещения через эту поверхность выражается в виде

Рис.7

где — проекция
вектора смещения на нормаль . Так как густота линий смещения
равна D,
то можно сказать, что поток вектора электростатического смещения численно равен
числу линий смещения, пронизывающих поверхность. Если поле неоднородно, тогда
следует рассматривать элементарный поток через элементарную поверхность

, а полный поток через
ограниченную поверхность определяется интегрированием по выбранной поверхности

Поток вектора
смещения – скалярная величина. В зависимости от угла ориентации линий индукции
по отношению к нормали поток может быть положительным или отрицательным. Если,
α<π/2 то >0 – поток положительный, если α>π/2, то <0
— поток отрицательный.

Источник

Виктор Матвеевич Скоков

Эксперт по предмету «Физика»

Задать вопрос автору статьи

Что такое вектор электрической индукции

Определение

Вектором электрической индукции (или вектором электрического смещения) ($overrightarrow{D}$) называют физическую величину, которая определяется в системе СИ как:

[overrightarrow{D}={varepsilon }_0overrightarrow{E}+overrightarrow{P} left(1right),]

где ${varepsilon }_0$ — электрическая постоянная, $overrightarrow{E}$ — вектор напряженность, $overrightarrow{P}$ — вектор поляризации.

В СГС вектор электрического смещения определен как:

[overrightarrow{D}=overrightarrow{E}+4pi overrightarrow{P} left(2right).]

Вектор $overrightarrow{D}$ не является чисто полевым вектором, так как он учитывает поляризованность среды. Этот вектор связан с объемной плотностью заряда соотношением:

[divoverrightarrow{D}=rho left(3right).]

Из (3) мы видим, что единственным источником $overrightarrow{D}$ являются свободные заряды, на которых данный вектор начинается и заканчивается. В точках, где свободные заряды отсутствуют, вектор электрической индукции непрерывен. Изменение напряженности поля, которые вызваны наличием связанных зарядов, учитываются в самом векторе $overrightarrow{D}$.

Связь вектора напряженности и вектора электрического смещения

Связь вектора напряженности и вектора электрического смещения, если среда изотропна, еще можно записать как:

[overrightarrow{D}=left({varepsilon }_0overrightarrow{E}+{varepsilon }_0varkappa overrightarrow{E}right)=left({varepsilon }_0+{varepsilon }_0varkappa right)overrightarrow{E}=varepsilon {varepsilon }_0overrightarrow{E}left(4right),]

где $varepsilon $ — диэлектрическая проницаемость среды.

Использование вектора $overrightarrow{D}$ существенно облегчает анализ поля при наличии диэлектрика. Так, например теорема Остроградского — Гаусса в интегральном виде при наличии диэлектрика может быть записана как:

[intlimits_S{overrightarrow{D}cdot doverrightarrow{S}=Qleft(5right).}]

При переходе через границу раздела двух диэлектриков для нормальной составляющей вектора $overrightarrow{D}$ можно записать:

[D_{2n}-D_{1n}=sigma left(6right).]

или

[overrightarrow{n_2}left(overrightarrow{D_2}-overrightarrow{D_1}right)=sigma left(7right),]

где $sigma $ — поверхностная плотность распределения зарядов на границе диэлектриков. $overrightarrow{n_2}$ — нормаль, которая проведена в сторону второй среды.

Для тангенциальной составляющей:

[D_{2tau }=frac{{varepsilon }_2}{{varepsilon }_1}D_{1tau }left(8right).]

Единицей измерения в системе СИ вектора электрической индукции служит $frac{Кл}{м^2}.$

Поле вектора $overrightarrow{D}$ можно изображать с помощью линий электрического смещения. Направление и густота определяются аналогично линиям вектора напряженности. Однако в отличие от вектора $overrightarrow{E}$ линии вектора электрической индукции начинаются и заканчиваются только на свободных зарядах.

Пример 1

Задание: Пластины плоского конденсатора имеют заряд q. Как изменится вектор электрической индукции, если пространство между пластинами сначала было заполнено воздухом, а за тем диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $varepsilon ne {varepsilon }_{vozd}$.

Решение:

Пусть поле в конденсаторе в первом случае характеризуется вектором смещения (${varepsilon }_{vozd}=1$):

[overrightarrow{D_1}={varepsilon }_{vozd}{varepsilon }_0overrightarrow{E_1}={varepsilon }_0overrightarrow{E_1}left(1.1right).]

Заполним пространство между пластинами конденсатора однородным и изотропным диэлектриком. Под действием поля в конденсаторе диэлектрик поляризуется. На его поверхности появляются связанные заряды с плотностью (${sigma }_{sv}$). Они создают дополнительное поле, напряженность которого равна:

[E’=frac{{sigma }_{sv}}{{varepsilon }_0}left(1.2right).]

Векторы поля $overrightarrow{E’}$ и $overrightarrow{E_1}$ направлены в противоположные стороны, при чем:

[E_1=frac{sigma }{{varepsilon }_0} left(1.3right).]

Результирующее поле в присутствии диэлектрика можно записать как:

[E=E_1-E’=frac{sigma }{{varepsilon }_0}-frac{{sigma }_{sv}}{{varepsilon }_0}=frac{1}{{varepsilon }_0}left(sigma -{sigma }_{sv}right)left(1.4right).]

Зная, что плотность связанных зарядов можно найти как:

[{sigma }_{sv}=varkappa {varepsilon }_0E left(1.5right).]

Подставим (1.5) в (1.4), получим:

[E=E_1-varkappa E left(1.6right).]

Выразим из (1.6) напряженность поля E, получим:

[E=frac{E_1}{1+varkappa }=frac{E_1}{varepsilon } left(1.7right).]

Следовательно, вектор электрической индукции в диэлектрике равен:

[D=varepsilon {varepsilon }_0frac{E_1}{varepsilon }={varepsilon }_0E_1=D_1.]

Ответ: Вектор электрической индукции не изменится.

«Вектор электрической индукции» 👇

Пример 2

Задание: В зазор между разноименно заряженными пластинами внесли пластину из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью $varepsilon$, которая не несет свободных зарядов. Штриховой линией на рисунке изображена замкнутая поверхность (рис.1). Чему равен поток вектора электрической индукции ($Ф_D$) через эту поверхность?

Рис. 1

Решение:

Поток вектора электрического смещения ($Ф_D$) через замкнутую поверхность $S$ равен:

[Ф_D=intlimits_S{overrightarrow{D}cdot doverrightarrow{S}left(2.1right).}]

С другой стороны по теореме Остроградского — Гаусса $Ф_D$ равен суммарному свободному заряду, который находится внутри заданной поверхности. По условию нашей задачи свободных зарядов в диэлектрике и в пространстве между пластинами конденсатора, которое не занято диэлектриком свободных зарядов нет, следовательно, поток вектора электрической индукции равен нулю.

Ответ: $Ф_D$=0.

Пример 3

Задание: На рисунке 2 изображена замкнутая поверхность $S$ которая проходит так, что захватывает часть пластины изотропного диэлектрика. При этом известно, что поток вектора электрической индукции через эту поверхность равен нулю, а поток вектора напряженности больше нуля. Какие выводы можно сделать?

Рис. 2

Решение:

Если по условию задачи, поток вектора электрического смещения ($Ф_D$) через замкнутую поверхность равен нулю:

[Ф_D=0left(3.1right), ]

а он по теореме Остроградского — Гаусса $Ф_D$ равен суммарному свободному заряду, который находится внутри заданной поверхности, следовательно, то внутри этой поверхности нет свободных зарядов:

[Ф_D=intlimits_S{overrightarrow{D}cdot doverrightarrow{S}=Q=0left(3.2right).}]

Но при этом сказано, что отличен от нуля поток вектора напряженности, но его поток равен сумме зарядов и свободных и связанных, следовательно, в диэлектрике присутствуют связанные заряды.

Ответ: Свободных зарядов нет, связанные заряды есть и их сумма положительна.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Что называется смещением?

Смещение (обозначается d или s), также называемое длина или расстояние, — одномерная величина, представляющая расстояние между двумя определенными точками. Стандартная единица смещения в Международной системе единиц (СИ) — метр (м). Смещение обычно измеряется или определяется по прямой.

В Формула смещения

Смещение = Конечное положение — исходное положение = изменение положения.

В связи с этим, где используется смещение?

If объект перемещается относительно опорного кадра (например, если профессор движется вправо относительно белой доски или пассажир движется к задней части самолета), то положение объекта изменяется. Это изменение положения известно как смещение.

Кроме того, почему используется смещение?

It количественно определяет расстояние и направление сети или общее движение по прямой от начального положения до конечного положения траектории точки. Смещение может быть идентифицировано с перемещением, которое отображает исходное положение в конечное положение.

В чем разница между расстоянием и смещением?

Расстояние — это скалярная величина, которая относится к тому, «сколько земли покрыл объект» во время своего движения. Смещение — это векторная величина, которая указывает, «насколько далеко находится объект»; это общее изменение положения объекта.

Определение вектора электрической индукции (электрического смещения)

Вектором электрической индукции (электрического смещения) → D D→ называют физическую величину, определяемую по системе С И СИ: → D = ε 0 → E + → P D→=ε0E→+P→, где ε 0 ε0 — электрическая постоянная, → E E→ — вектор напряженности, → P P→ — вектор поляризации.

Связь вектора напряженности и вектора электрического смещения

При наличии изотропной среды запись связи вектора напряженности и вектора электрического смещения запишется как:

D→=ε0E→+ε0χE→=ε0+ε0χE→=εε0E→.

Где ε – диэлектическая проницаемость среды.

Наличие D→ способствует облегчению анализа поля при наличии диэлектрика. Используя теорему Остроградского-Гаусса в интегральном виде с диэлектриком, фиксируется как:

∫SD→·dS→=Q.

Проходя через границу разделов двух диэлектриков для нормальной составляющей, вектор D→ может быть записан:

D2n-D1n=σ

или

n2→D2→-D1→=σ,

где σ – поверхностная плотность распределения зарядов на границе диэлектриков, n2→ — нормаль, проведенная в сторону второй среды.

Формула тангенциальной составляющей:

D2τ=ε2ε1D1τ.

Определение 2

Единица вектора электрической индукции измеряется в системе СИ как Клм2.

Поле вектора D→ изображается при помощи линий электрического смещения.

Определение 3

Определение направления и густоты идет аналогично линиям вектора напряженности. Но линии вектора электрической индукции начинаются и заканчиваются только на свободных зарядах.

Нужна помощь преподавателя?Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!Описать задание
Пример 1

Имеются пластины плоского конденсатора с зарядом q. Произойдет ли изменение вектора электрической индукции при заполненном воздухом пространстве между пластинами и диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ε≠ευozd.

Решение

Поле конденсатора в первом случае характеризовалось вектором смещения εvozd=1, то есть D1→=εvozdε0E1→=ε0E1→.

Необходимо заполнить пространство между пластинами конденсатора однородным и изотропным диэлектриком. При наличии поля в конденсаторе диэлектрик поляризуется. Тогда начинают появляться связанные заряды с плотностью σsυ на его поверхности. Создается дополнительное поле с напряженностью:

E’=σsvε0.

Векторы полей E→’ и E1→ имеют противоположные направления, причем:

E1=σε0.

Запись результирующего поля с диэлектриком примет вид:

E=E1-E’=σε0-σsυε0=1ε0σ-σsυ.

Формула плотности связанных зарядов:

σsυ=χε0E.

Произведем подстановку σsυ=χε0E в E=E1-E’=σε0-σsυε0=1ε0σ-σsυ, тогда:

σsυ=χε0E.

Далее выражаем из (1.6) напряженность поля Е. Формула принимает вид:

E=E11+χ=E1ε.

Отсюда следует, что значение вектора электрической индукции в диэлектрике равняется:

D=εε0E1ε=ε0E1=D1.

Ответ: вектор электрической индукции не изменяется.

Пример 2

Была внесена пластина из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ε без свободных зарядов в зазор между разноименными заряженными пластинами. На рисунке 1 показана при помощи штриховой линии замкнутая поверхность. Определить поток электрической индукции ΦD через эту поверхность.

Решение

Рисунок 1. Замкнутая поверхность

Формула записи потока вектора электрического смещения ΦD через замкнутую поверхность S:

ΦD=∫SD→·dS→.

Используя теорему Остроградского-Гаусса, можно сказать, что ΦD равняется суммарному свободному заряду, находящемуся внутри заданной поверхности. Из условия видно отсутствие свободных зарядов в диэлектрике и в имеющемся пространстве между пластинами конденсатора, а поток вектора индукции равняется нулю.

Ответ:ΦD=0.

Пример 3

Изображена замкнутая поверхность S, проходящая с захватом части пластины изотропного диэлектрика на рисунке 2. Поток вектора электрической индукции через нее равняется нулю, а поток вектора напряженности >0. Какой вывод можно сделать из данной задачи?

Рисунок 2. Замкнутая поверхность с захватом части пластины изотропного диэлектрика

Решение

Из условия имеем, что поток вектора электрического смещения ΦD через замкнутую поверхность равняется нулю, то есть:

ΦD=0.

Если использовать теорему Остроградского-Гаусса, то значение ΦD – это суммарный свободный заряд, находящийся внутри заданной поверхности. Следует, что внутри такой поверхности отсутствуют свободные заряды:

ΦD=∫SD→·dS→=Q=0.

Имеем, что поток вектора напряженности не равен нулю, но он считается как сумма свободных и связанных зарядов. Отсюда вывод – диэлектрик содержит связанный заряды.

Ответ: свободные заряды отсутствуют, а связанные есть, причем с положительной их суммой.

Физическое содержание тока смещения

Мы знаем, что постоянный ток в цепи с конденсатором не течет, переменный — протекает. Сила квазистационарного тока во всех элементах цепи, если они соединяются последовательно, одинакова. В конденсаторе, обкладки которого разделяет диэлектрик, ток проводимости, вызванный перемещением электронов, идти не может. Значит, если ток переменный (присутствует переменное электрическое поле), происходит некоторый процесс, который замыкает ток проводимости без переноса заряда между обкладками конденсатора. Этот процесс называют током смещения.

Любое переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле. Исследуя разные электромагнитные процессы, Максвелл сделал вывод о том, что существует обратное явление: изменение электрического поля вызывает появление вихревого магнитного поля. Это одно из основных утверждений в теории Максвелла.

Так как магнитное поле — обязательный признак любого тока, Максвелл назвал переменное электрическое поле током смещения. Ток смещения следует отличать от тока проводимости, который вызван движением заряженных частиц (электронов и ионов). Токи смещения появляются только в том случае, если электрическое смещение переменно. Именно вследствие этого физическое содержание предположения Максвелла о токах смещения сводится к утверждению о том, что переменные электрические поля — источники переменных магнитных полей.

Следует заметить, что плотность тока смещения определена производной вектора, а не самим вектором.

Вектор объемной плотности тока

Плотность тока проводимости

Ток проводимости – это упорядоченное движение электрических зарядов, то есть обыкновенный электрический ток, который возникает в проводнике. В большинстве случаев, когда речь заходит о токе, имеют ввиду именно ток проводимости.

В данном случае плотность тока – это векторная характеристика тока равная отношению силы тока I в проводнике к площади S поперечного сечения проводника (перпендикулярному по отношению к направлению тока). Эта величина показывает насколько плотно заряды располагаются на всей площади поперечного сечения проводника. Она обозначается латинской буквой j. Модуль плотности электрического тока пропорционален электрическому заряду, который протекает за определенное время через определенную площадь сечения, расположенную перпендикулярно по отношению к его направлению.

Если рассмотреть идеализированной проводник, в котором электрический ток равномерно распределен по всему сечению проводника, то модуль плотности тока проводимости можно вычислить по следующей формуле:

j – Плотность тока [A/м2]

I – Сила тока [A]

S – Площадь поперечного сечения проводника [м2]

Исходя из этого мы можем представить силу тока I как поток вектора плотности тока j, проходящий через поперечное сечение проводникаS. То есть для вычисления силы тока, текущей через определенное поперечное сечение нужно проинтегрировать (сложить) произведения плотности тока в каждой точке проводника jn на площадь поверхности этой точки dS:

I – сила тока [А]

jn — составляющая вектора плотности тока в направлении течения тока (по оси OX) [A/м2]

dS — элемент поверхности площади [м2]

Исходя из предположения, что все заряженные частицы двигаются с одинаковым вектором скорости v, имеют одинаковые по величине заряды e и их концентрация n в каждой точке одинаковая, получаем, что плотность тока проводимости j равна:

j – плотность тока [А/м2]

n – концентрация зарядов [м-3]

e – величина заряда [Кл]

v – скорость, с которой движутся частицы [м/с]

Плотность тока насыщения

В физической электронике используют понятие плотности тока насыщения. Эта величина характеризует эмиссионную способность металла, из которого сделан катод, и зависит от его вида и температуры.

Плотность тока насыщения выражается формулой, которая была выведена на основе квантовой статистики Ричардсоном и Дешманом:

j – плотность тока насыщения[А/м 2 ]

R — среднее значение коэффициента отражения электронов от потенциального барьера

A — термоэлектрическая постоянная со значением 120,4 А/(K 2 ·см 2 )

T— температура [К]

qφ — значение работы выхода из катода электронов [эВ], q – электронный заряд [Кл]

k — постоянная Больцмана, которая равна 1,38·10 -23 Дж/К

Плотность тока смещения

В классической электродинамике существует понятие тока смещения, который пропорционально равен быстроте изменения индукции электрического поля. Он не связан с перемещением каких-либо частиц поэтому, по сути, не является электрическим током. Несмотря на то, что природа этих токов разная, единица измерения плотности у них одинаковая — A/м2.

Ток смещения – это поток вектора быстроты изменения электрического поля ∂E/∂t через S — некоторую поверхность. Формула тока смещения выглядит так:

JD — ток смещения [А]

ε0 – электрическая постоянная, равная 8,85·10-12 Кл2/(H·м2)

∂E/∂t — скорость изменения электрического поля [Н/(Кл·с)]

ds – площадь поверхности [м2]

Плотность тока смещения определяется по следующей формуле:

для вакуума:

для диэлектрика:

jD — ток смещения [А/м2]

ε0 – электрическая постоянная, равная 8,85·10-12 Кл2/(H·м2)

∂E/∂t — скорость изменения электрического поля [Н/(Кл·с)]

∂D/∂t — скорость изменения вектора эл. индукции [Кл/м2·с)]

Ток в конденсаторах

Пример, иллюстрирующий необходимость тока смещения, возникает в связи с конденсаторами без среды между пластинами. Рассмотрим зарядный конденсатор на рисунке. Конденсатор находится в цепи, которая вызывает появление одинаковых и противоположных зарядов на левой и правой пластинах, заряжая конденсатор и увеличивая электрическое поле между его пластинами. Фактический заряд не переносится через вакуум между пластинами. Тем не менее, между пластинами существует магнитное поле, как будто там тоже присутствует ток. Одно из объяснений состоит в том, что ток смещения I D «течет» в вакууме, и этот ток создает магнитное поле в области между пластинами в соответствии с законом Ампера :

Электрически заряжаемый конденсатор с воображаемой цилиндрической поверхностью, окружающей левую пластину. Правая поверхность R лежит в пространстве между пластинами, а левая поверхность L лежит слева от левой пластины. Нет ток проводимости не входит цилиндр поверхность R , в то время как ток I листьев через поверхность L . Консистенция закона Ампера требует тока смещения I D = I течь по поверхности R .∮CB⋅dℓ=μ0ID

где

∮C
— интеграл по замкнутой прямой вокруг некоторой замкнутой кривой CB
это магнитное поле измеряется в тесле
является векторным скалярным произведениемdℓ
является бесконечно малой линейный элемент вдоль кривой C , то есть вектор с величиной , равной длине элемента С , и направление , приданное касательной к кривой Cμ0
является магнитная постоянная , называемая также проницаемость свободного пространства
это результирующий ток смещения , который проходит через небольшую поверхность , ограниченную кривой C .

Магнитное поле между пластинами такое же, как и вне пластин, поэтому ток смещения должен быть таким же, как ток проводимости в проводах, то есть

ID=I

что расширяет понятие тока за пределы простого переноса заряда.

Затем этот ток смещения связан с зарядкой конденсатора. Рассмотрим ток на воображаемой цилиндрической поверхности, окружающей левую пластину. Ток, скажем I , проходит наружу через левую поверхность L цилиндра, но не ток проводимости (не перенос реальных зарядов) не пересекает правую поверхность R . Обратите внимание, что электрическое поле E между пластинами увеличивается по мере заряда конденсатора. То есть способом, описанным законом Гаусса , при условии отсутствия диэлектрика между пластинами:

Q(t)=ε0∮SE(t)⋅dS

где относится к воображаемой цилиндрической поверхности. Предполагая, что конденсатор с параллельными пластинами с однородным электрическим полем и пренебрегая эффектами окантовки по краям пластин, в соответствии с уравнением сохранения зарядаS

I=−dQdt=−ε0∮S∂E∂t⋅dS=Sε0∂E∂t|R

где первый член имеет отрицательный знак, потому что заряд покидает поверхность L (заряд уменьшается), последний член имеет положительный знак, потому что единичный вектор поверхности R находится слева направо, а направление электрического поля — справа налево, S представляет собой площадь поверхности R . Электрическое поле на поверхности L равно нулю, потому что поверхность L находится вне конденсатора. В предположении однородного распределения электрического поля внутри конденсатора плотность тока смещения J D находится делением на площадь поверхности:

JD=IDS=IS=ε0∂E∂t=∂D∂t

где я это ток оставляя цилиндрическую поверхность (который должен равняться I D ) и J D представляет собой поток заряда на единицу площади в цилиндрическую поверхность через грань R .

Комбинируя эти результаты, магнитное поле находится с использованием интегральной формы закона Ампера с произвольным выбором контура при условии, что член плотности тока смещения добавляется к плотности тока проводимости (уравнение Ампера-Максвелла):

∮∂SB⋅dℓ=μ0∫S(J+ϵ0∂E∂t)⋅dS

Это уравнение говорит, что интеграл магнитного поля B вокруг края поверхности равен интегрированному току J через любую поверхность с той же кромкой плюс член тока смещения ε 0 ∂ E / ∂ t через любую поверхность. ∂S

Пример , показывающий две поверхности S 1 и S 2 , которые разделяют один и тот же контур , ограничивающей ∂ S . Однако в S 1 проходит ток проводимости, а в S 2 — ток смещения. Поверхность S 2 закрыта пластиной конденсатора.

Как показано на рисунке справа, поверхность S 1, пересекающая ток, полностью представляет собой ток проводимости. Применение уравнения Ампера-Максвелла к поверхности S 1 дает:

B=μ0I2πr

Тем не менее, поверхностный ток пересечения S 2 полностью ток смещения. Применяя этот закон к поверхности S 2 , которое ограничено точно той же кривой , но лежит между пластинами, производит: ∂S

B=μ0ID2πr

Любая поверхность S 1, которая пересекает провод, имеет ток I, проходящий через нее, поэтому закон Ампера дает правильное магнитное поле. Однако вторая поверхность S 2 , ограниченные одним и тем же краем ∂ S можно сделать проходя между пластинами конденсатора, поэтому не имеющим током , проходящим через нее. Без члена тока смещения закон Ампера дал бы нулевое магнитное поле для этой поверхности. Следовательно, без члена тока смещения закон Ампера дает противоречивые результаты, магнитное поле будет зависеть от поверхности, выбранной для интегрирования. Таким образом, член тока смещения ε 0 ∂ E / ∂ tнеобходим как второй элемент источника, который дает правильное магнитное поле, когда поверхность интегрирования проходит между пластинами конденсатора. Поскольку ток увеличивает заряд на пластинах конденсатора, электрическое поле между пластинами увеличивается, и скорость изменения электрического поля дает правильное значение для поля B, найденного выше.

Колебания

КОЛЕБАНИЯ
Колебания – процессы (изменения состояния), обладающие той или иной повторяемостью во времени. Механические колебания – движения, которые точно или приблизительно повторяются во времени. Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени. (В противном случае колебания наз. апериодическими).
Примеры колебаний, изображенные на рисунках: колебания математического маятника, колебания жидкости в U-образной трубке, колебания тела под действием пружин, колебания натянутой струны. Условия возникновения механических колебаний Хотя бы одна сила должна зависеть от координат. При выведении тела из положения устойчивого равновесия возникает равнодействующая, направленная к положению равновесия. С энергетической точки зрения это значит, что возникают условия для постоянного перехода кинетической энергии в потенциальную и обратно. Силы трения в системе малы.
Для возникновения колебания тело необходимо вывести из положения равновесия, сообщив либо кинетическую энергию (удар, толчок), либо – потенциальную (отклонение тела). Примеры колебательных систем: Нить, груз, Земля. Пружина, груз. Жидкость в U-образной трубке, Земля. Струна.
Свободные колебания — это колебания, которые возникают в системе под действием внутренних сил, после того как система была выведена из положения устойчивого равновесия. В реальной жизни все свободные колебания являются затухающими (т.е. их амплитуда, размах, уменьшается с течением времени). Вынужденные колебания – колебания, которые происходят под действием внешней периодической силы.
Характеристики колебательного процесса. 1. Смещение х — отклонение колеблющейся точки от положения равновесия в данный момент времени (м). 2. Амплитуда хм — наибольшее смещение от положения равновесия (м). Если колебания незатухающие, то амплитуда постоянна.
3. Период Т — время, за которое совершается одно полное колебание. Выражается в секундах (с). За время, равное одному периоду (одно полное колебание) тело совершает перемещение, равное 0 и проходит путь, равный 2πr.
4. Частота ν — число полных колебаний за единицу времени. В СИ измеряется в герцах (Гц). Частота колебаний равна одному герцу, если за 1 секунду совершается 1 полное колебание. 1 Гц= 1 с-1.
5. Циклической (круговой) частотой ω периодических колебаний наз. число полных колебаний, которые совершаются за 2π единиц времени (секунд). Единица измерения – с-1.
6. Фаза колебания — φ — физическая величина, определяющая смещение x в данный момент времени. Измеряется в радианах (рад). Фаза колебания в начальный момент времени (t=0) называется начальной фазой (φ0).

Гармонические колебания

Гармонические колебания – простейшие периодические колебания, при которых координата тела меняется по закону синуса или косинуса:

где ( x ) – координата тела – смещение тела от положения равновесия в данный момент времени; ( A ) – амплитуда колебаний; ( omega t+varphi_0 ) – фаза колебаний; ( omega ) – циклическая частота; ( varphi_0 ) – начальная фаза.

Если в начальный момент времени тело проходит положение равновесия, то колебания являются синусоидальными.

Если в начальный момент времени смещение тела совпадает с максимальным отклонением от положения равновесия, то колебания являются косинусоидальными.

Скорость гармонических колебаний
Скорость гармонических колебаний есть первая производная координаты по времени:

где ( v ) – мгновенное значение скорости, т. е. скорость в данный момент времени.

Амплитуда скорости – максимальное значение скорости колебаний, это величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

Ускорение гармонических колебаний
Ускорение гармонических колебаний есть первая производная скорости по времени:

где ( a ) – мгновенное значение ускорения, т. е. ускорение в данный момент времени.

Амплитуда ускорения – максимальное значение ускорения, это величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

Если тело совершает гармонические колебания, то сила, действующая на тело, тоже изменяется по гармоническому закону:

где ( F ) – мгновенное значение силы, действующей на тело, т. е. сила в данный момент времени.

Амплитуда силы – максимальное значение силы, величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

Тело, совершающее гармонические колебания, обладает кинетической или потенциальной энергией:

где ( W_k ) – мгновенное значение кинетической энергии, т. е. кинетическая энергия в данный момент времени.

Амплитуда кинетической энергии – максимальное значение кинетической энергии, величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

При гармонических колебаниях каждую четверть периода происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно.
В положении равновесия:

потенциальная энергия равна нулю;
кинетическая энергия максимальна.

При максимальном отклонении от положения равновесия:

кинетическая энергия равна нулю;
потенциальная энергия максимальна.

Полная механическая энергия гармонических колебаний
При гармонических колебаниях полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий в данный момент времени:

Важно!
Следует помнить, что период колебаний кинетической и потенциальной энергий в 2 раза меньше, чем период колебаний координаты, скорости, ускорения и силы. А частота колебаний кинетической и потенциальной энергий в 2 раза больше, чем частота колебаний координаты, скорости, ускорения и силы.

Графики зависимости кинетической, потенциальной и полной энергий всегда лежат выше оси времени.

Если сила сопротивления отсутствует, то полная энергия сохраняется. График зависимости полной энергии от времени есть прямая, параллельная оси времени (в отсутствие сил трения).

Источники

https://wikipedikia.org/ru/what-is-called-displacement/
https://Zaochnik.com/spravochnik/fizika/elektricheskoe-pole/vektor-elektricheskoj-induktsii/
https://spravochnick.ru/fizika/uravneniya_maksvella/tok_smescheniya/
https://people-ask.ru/nauki/fizika/plotnost-toka-provodimosti-smescheniya-nasischeniya-opredelenie-i-formuli
https://b4.cooksy.ru/articles/vektor-obemnoy-plotnosti-toka-smescheniya
https://www.hmong.press/wiki/Displacement_current
https://www.eduspb.com/node/1779
https://fizi4ka.ru/egje-2018-po-fizike/mehanicheskie-kolebanija-i-volny-2.html

Как вам статья?

Павел

Бакалавр «210400 Радиотехника» – ТУСУР. Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники

Написать

Пишите свои рекомендации и задавайте вопросы

Источник