Как найти поверхность шара вписанного в цилиндр - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

В данной публикации мы разберем варианты того, как можно вписать шар в цилиндр, а также, как исходя из этого определить его радиус (диаметр) и посчитать площадь поверхности.

Формула расчета площади шара
Способы вписать шар в цилиндр
Примеры задач

Формула расчета площади шара

Для начала давайте вспомним общую формулу, по которой рассчитывается площадь поверхности шара:

S = 4 π R²
или S = 4 π (d/2)², где d = 2R.

R – радиус шара;
d – его диаметр;
π – число, приближенное значение которого равняется 3,14.

Способы вписать шар в цилиндр

Теперь давайте разберемся, каким образом можно вписать шар в цилиндр. В данном случае возможно несколько вариантов:

1. Шар касается оснований и боковой поверхности цилиндра

радиус (диаметр) цилиндра является, в том числе, и радиусом (диаметром) шара;
высота цилиндра – это диаметр шара.

2. Шар касается только оснований цилиндра

Радиус шара равен половине высоты цилиндра, а диаметр – полной высоте.

3. Шар касается только боковой поверхности цилиндра

Радиус (диаметр) цилиндра – это и есть радиус (диаметр) шара.

Примечание: Выяснив радиус или диаметр шара далее остается только воспользоваться формулой для расчета площади его поверхности.

Примеры задач

Задание 1
Шар вписан в цилиндр радиусом 15 см таким образом, что соприкасается и с основанием, и с боковой поверхностью последнего. Найдите площадь поверхности шара.

Решение:
Исходя из условий задачи, мы имеем дело с первым из трех описанных вариантов выше. А это значит, что радиус шара, также, равняется 15 см. Следовательно, площадь составляет:
S = 4 ⋅ 3,14 ⋅ (15 см)² = 2826 см².

Задание 2
Площадь поверхности шара равняется 1519,76 см², и он вписан в цилиндр таким образом, что касается его оснований. Найдите высоту цилиндра.

Решение:
Для начала найдем радиус шара, которые равен:

Высота цилиндра равна двум радиусам шара или его диаметру (2-ой вариант, рассмотренный в разделе выше):
h = 2R = 2 ⋅ 11 см = 22 см.

Источник

Шар, вписанный в цилиндр, касается оснований цилиндра в их центрах, а боковой поверхности цилиндра — по параллельной основаниям окружности большого круга (то есть радиус этой окружности равен радиусу шара).

Если шар вписан в цилиндр, то цилиндр описан около шара.

В цилиндр можно вписать шар тогда и только тогда, когда цилиндр равносторонний, то есть его высота равна диаметру. Радиус вписанного в цилиндр шара R равен радиусу цилиндра r:

R=r.

Решение задач на шар, вписанный в цилиндр, чаще всего сводится к рассмотрению осевого сечения комбинации тел.

Это сечение представляет собой квадрат с вписанной в него окружностью. Сторона квадрата равна высоте цилиндра и диаметру шара:

H=2R

Найдем отношение объема цилиндра к объему вписанного в него шара. Объем шара

$[{V_1} = frac{4}{3}pi {R^3}]$

Объем цилиндра

$[{V_2} = pi {r^2}H = pi {R^2} cdot 2R = 2pi {R^3}.]$

Отсюда отношение объема шара к объему описанного около него цилиндра

$[frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = frac{{frac{4}{3}pi {R^3}}}{{2pi {R^3}}} = frac{2}{3}.]$

Теперь найдем отношение площади поверхности цилиндра к площади вписанного шара. Площадь поверхности шара (площадь сферы)

$[{S_1} = 4pi {R^2}]$

Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей оснований и боковой поверхности:

$[{S_2} = {S_{bok}} + 2{S_{ocn}} = 2pi rH + 2pi {r^2} = ]$

$[ = 2pi R cdot 2R + 2pi {R^2} = 6pi {R^2}.]$

Отсюда отношение площади поверхности вписанного шара к площади поверхности цилиндра

$[frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = frac{{4pi {R^2}}}{{6pi {R^2}}} = frac{2}{3}.]$

Источник

Шар, вписан в цилиндр. Значит сечение цилиндра — это квадрат. Достаточно знать либо диаметр цилиндра, либо его высоту, поскольку они должны быть равны. D = H.

Радиус шара соответственно равен R=D/2 = H/2.

А площадь поверхности Sшар = 4 pi R^2 = pi D^2 = pi H^2.

Почему-то в вопросе фигурирует ещё и площадь цилиндра.

Тоже определяется. Боковая площадь Sбок = pi D H = pi D^2 = pi H^2

Площадь одного основания Sосн = pi D^2/4 = pi H^2 / 4, двух оснований pi D^2 / 2=pi H^2 / 2

Полная площадь цилиндра Sполн= Sбок + 2*Sосн = 3 pi D^2 / 2 = 3 pi H^2 / 2

Источник

Найти площадь поверхности шара, вписанного в цилиндр

Если шар вписан в цилиндр, то цилиндр описан около шара.

В цилиндр можно вписать шар тогда и только тогда, когда цилиндр равносторонний, то есть его высота равна диаметру. Радиус вписанного в цилиндр шара R равен радиусу цилиндра r: R=r.

Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей оснований и боковой поверхности:

$$begin{aligned}
S_{2} &=S_{text {bok}}-2 S_{text {ocn}}=2 pi r H+2 pi r^{2}=\
&=2 pi R cdot 2 R+2 pi R^{2}=6 pi R^{2}
end{aligned}$$

где R — радиус площади основания цилиндра.

Отсюда отношение площади поверхности вписанного шара к площади поверхности цилиндра:

$$frac{S_{1}}{S_{2}}=frac{4 pi R^{2}}{6 pi R^{2}}=frac{2}{3}$$

Решили сегодня: раз, всего раз