Как найти поверхностную плотность заряда на плоскости - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Сосредоточенные и распределенные заряды

Заряды можно распределять по какой-либо области тел, тогда их называют распределенными. Когда же заряд целиком собран в одну точку, его называют точечным. Большинство школьных задач физики связано с точечными зарядами.

Сосредоточенный заряд

Электрический заряд, сосредоточенный в какой-либо точке пространства, называют точечным.

Рис. 1. Точечный заряд

Силу взаимодействия точечных зарядов можно вычислить, используя закон Кулона.

Распределенные заряды

Электрический заряд, так же, можно распределять по объему, площади, или длине. Такие заряды называют распределенными. Чтобы описать эти заряды, используют понятие плотности заряда.

Если заряд распределен по:
— объему, говорят о объемной плотности заряда;
— площади, употребляют поверхностную плотность;
— длине, используют линейную плотность.

Примечание: Плотности отрицательных зарядов записывают со знаком «минус».

Формула линейной плотности заряда

Рис. 2. Заряд распределен по длинному тонкому телу

[ large boxed {tau = frac{q}{L} } ]

( large q left(text{Кл} right) ) – заряд;

( large L left(text{м} right) ) – длина, по которой распределен заряд;

( large tau left(frac{text{Кл}}{text{м}} right) ) – линейная плотность заряда;

Формула поверхностной плотности заряда

Любая поверхность обладает площадью, распределяя по ней заряд, получим поверхностную его плотность.

Этот термин используют, например, для вычисления электрического поля заряженной плоскости, или плоского конденсатора (двух параллельных плоскостей).

Рис. 3. Заряд распределен по плоской поверхности

[ large boxed {sigma = frac{q}{S} } ]

( large S left(text{м}^{2} right) ) – площадь, по которой распределен заряд;

( large sigma left(frac{text{Кл}}{text{м}^{2}} right) ) – поверхностная плотность заряда;

Формула объемной плотности заряда

Функция, описывающая плотность распределения заряда в трехмерном пространстве, входит в одно из уравнений Максвелла.

Рис. 4. Заряд распределен по объему тела

[ large boxed {rho = frac{q}{V} } ]

( large V left(text{м}^{3} right) ) – объем, по которому распределен заряд;

( large rho left(frac{text{Кл}}{text{м}^{3}} right) ) – объемная плотность заряда;

Примечание:

Джеймс Клерк Максвелл (1831 — 1879) – талантливый шотландский математик и физик. Популяризатор науки, экспериментатор и конструктор научных приборов.

Описал электромагнитное взаимодействие с помощью своих уравнений (уравнения Максвелла). Система этих уравнений лежит в основе современной электродинамики.

Предсказал электромагнитные волны, обнаружил, что свет имеет электромагнитную природу и может создавать давление.

Занимался исследованиями в области молекулярной физики и термодинамики. Использовал математический аппарат статистики, получил температурное распределение скоростей молекул.

Проводил исследования в области астрономии и оптики, для планеты Сатурн провел анализ устойчивости колец.

Именно Максвелл заложил трехцветный принцип, который используется в цветной фотографии и телевидении.

Оценка статьи:

Загрузка…

Источник

Поверхностная плотность заряда

Напряженность электрического поля зависит от величины заряда и конфигурации заряженного тела.

Поверхностная плотность заряда — есть отношение заряда к площади заряженной поверхности.

Единица СИ поверхностной плотности заряда:

[ [σ] = frac{кулон}{квадратный enspace метр} = frac{Кл}{м^2} ]

Если

σ	поверхностная плотность заряда,	Кулон/метр²
Q	заряд поверхности проводника,	Кулон
S	площадь поверхности проводника,	метр²

то

[ σ = frac{Q}{S} ]

Вычислить, найти поверхностную плотность заряда по формуле (2)

Наличие зарядов приводит к возникновению сил, которые в свою очередь действуют на заряды, помещенные в электрическое поле. Причина и следствие здесь взаимно переплетаются.

Если

σ	поверхностная плотность заряда,	Кулон/метр²
E	напряженность электрического поля,	Вольт/метр
ε₀	электрическая постоянная, 8.85·10^-12	Кулон/(Вольт · метр)

то

[ σ = ε_0 · E ]

Вычислить, найти поверхностную плотность заряда через напряженность электрического поля по формуле (3)

Поверхностная плотность заряда	стр. 626

Источник

2018-05-14

Точечный заряд $q$ находится на расстоянии $l$ от проводящей безграничной плоскости. Определить поверхностную плотность зарядов, индуцированных на плоскости, как функцию расстояния $r$ от основания перпендикуляра, опущенного из заряда на плоскость.

Решение:

Чтобы найти плотность поверхностного заряда, мы должны знать электрическое поле в точке P (рис.), которая находится на расстоянии $r$ от точки О.

Используя метод зеркального отображения, поле в P,

$E = 2E cos alpha = 2 frac{q}{4 pi epsilon_{0} x^{2} } frac{l}{x} = frac{ql}{2 pi epsilon_{0} (l^{2} + r^{2})^{3/2} }$

Теперь из теоремы Гаусса плотность поверхностного заряда на проводнике связана с электрическим полем вблизи его поверхности (в вакууме) через соотношение $sigma = epsilon_{0} E_{n}$, где $E_{n}$ — проекция $vec{E}$ на внешнюю нормаль $vec{n}$ относительно проводника).

Поскольку наша напряженность поля $vec{E} uparrow downarrow vec{n}$, то

$sigma = — epsilon_{0}E = — frac{ql}{2 pi (l^{2} + r^{2} )^{3/2} }$

Источник

The movement of charge in an electric field is always crucial to determine. In addition, electric charges will accumulate in such fields. As a result, charge density computation is critical for a variety of purposes. The charge density of an electric object must also be determined using the surface area and volume of the object. The surface charge density formula is a topic that is both significant and fascinating. The topic will be better understood if you use examples that are related to it. Let’s take a look at the concept!

What is Surface Charge?

The surface charge density describes the total amount of charge q per unit area A and is only seen on conducting surfaces.

The charge density is a measurement of how much electric charge has accumulated in a specific field. It calculates the quantity of electric charge based on the dimensions provided. The length, area, or volume of the electric body are all possible dimensions.

As a result, charge density can be one of three sorts. Charge density is a measure of electric charge per unit volume of space in one, two, or three dimensions, according to electromagnetism. There are three types of these:

Charge density per unit length, i.e. linear charge density, where q is the charge and is the distribution length. Coulomb m^-1 will be the SI unit.
Surface charge density is defined as the charge per unit surface area, where q is the charge and A is the surface area. Coulomb m^-2 is the SI unit.
The charge density per unit volume, or volume charge density, where q is the charge and V is the distribution volume. Coulomb m^-3 is the SI unit.

The amount of electric charge per unit surface area, in particular, is critical. Surface charge refers to the difference in electric potential between the inner and exterior surfaces of an item in various states. Only conducting surfaces will have a surface charge density, which describes the total amount of charge per unit area.

Formula for Surface Charge Density

The formula for surface charge density is:

σ = q/A

where,

σ = Surface charge densityc(Cm^-2),

q = Chargec(C),

A = Surface areac(m²)

Applications of Surface Charge Density

Surface charge density is a fundamental quantity that is used to describe a variety of measurement-related phenomena.
It’s utilized a lot in DNA hybridizations.
It’s also useful for surface contact.
Surface charge density can be used to assess biomolecular interactions that remain on surfaces, as well as to determine their quantification.
Potentiometric titration, reflection interference contrast microscope, or atomic force microscopy can all be used to measure it.
Surface Plasmon Resonance (SPR) is the most precise way of assessing surface charge density, according to a recent study.

Sample Problems

Problem 1: A total charge of 5 mC is uniformly spread throughout a long thin rod circular with a length of 60 cm and a radius of 7 cm. Calculate the charge density on the surface.

Solution:

Given : q = 5 × 10^-3, l = 60 cm, r = 7 cm

Find : σ

Solution :

Surface area of cylinder = 2πrh

∴ Surface area of cylinder = 2 × 3.14 × 7 × 60

∴ Surface area of cylinder = 2637.6 sq cm = 2.63 sq m

We have,

σ = q/A

∴ σ = 5 × 10^-3 / 2.63

∴ σ = 1.9011 × 10^-3

∴ σ = 0.190 × 10^-2 C/m²

Problem 2: Calculate the surface charge density of a conductor in a 30 m² region with a charge of 2 C.

Solution:

Given : q = 2 C, A = 30 m²

Find : σ

Solution :

We have,

σ = q/A

∴ σ = 2 / 30

∴ σ = 0.066 C/m²

Problem 3: Calculate the charge density on the surface of a sphere with a charge of 9 C and a radius of 4 cm.

Solution:

Given : q = 9 C, r = 4 cm

Find : σ

Solution :

Surface area of Sphere = 4πr²

∴ Surface area of Sphere = 4 × 3.14 × 4 × 4

∴ Surface area of Sphere = 200.96 m²

We have,

σ = q/A

∴ σ = 9 / 200.96

∴ σ = 0.0447 Cm^-2

Problem 4: Assume the conductor’s surface charge density is 0.23 C/m² and the region is 13 m². Determine the conductor’s charge.

Solution:

Given : σ = 0.23 C/m², A = 13 m²

Find : q

Solution :

We have,

σ = q/A

∴ σ × A = q

∴ q = 0.23 × 13

∴ q = 2.99 C

Last Updated :
10 Feb, 2022

Like Article

Save Article

Источник

Для упрощения
математических расчетов электростатических
полей часто пренебрегают дискретной
структурой зарядов. Считают, что заряд
распределен непрерывно и вводят понятие
о плотности заряда.

Рассмотрим различные
случаи распределения зарядов.

1.Заряд
распределен вдоль линии.
Пусть на бесконечно малом участке
находится заряд.
Введем величину

.
(1.5)

Величина
называется линейной плотностью заряда.
Ее физический смысл – заряд, приходящийся
на единицу длины.

2.Заряд
распределен по поверхности.
Введем поверхностную плотность заряда:

.
(1.6)

Её физический
смысл – заряд, приходящийся на единицу
площади.

3.Заряд
распределен по объёму.
Введем объёмную плотность заряда:

.
(1.7)

Её физический
смысл – заряд, сосредоточенный в единице
объёма.

Заряд,
сосредоточенный на бесконечно малом
участке линии, поверхности или в
бесконечно малом объёме можно считать
точечным. Напряжённость поля, создаваемого
им, определится формулой:

.
(1.8)

Для нахождения
напряжённости поля, создаваемого всем
заряженным телом, нужно применить
принцип суперпозиции полей:

.
(1.9)

В этом случае, как
правило, задача сводится к вычислению
интеграла.

1.3.Применение принципа суперпозиции к расчету электростатических полей. Электростатическое поле на оси заряженного кольца

Постановка
задачи.
Пусть имеется тонкое кольцо радиуса R,
заряженное с линейной плотностью заряда
τ.
Необходимо рассчитать напряжённость
электрического поля в произвольной
точке А,
расположенной на оси заряженного кольца
на расстоянии x
от плоскости кольца (рис. ).

Выберем
бесконечно малый элемент длины кольца
dl;
заряд dq,
находящийся на этом элементе равен dq=
τ·dl.
Этот заряд создает в точке А
электрическое поле напряжённостью
.
Модуль вектора напряжённости равен:

.
(1.10)

По
принципу суперпозиции полей напряжённость
электрического поля, создаваемого всем
заряженным телом, равна векторной сумме
всех векторов
:

.
(1.11)

Разложим
вектора
на составляющие: перпендикулярные оси
кольца ()
и параллельные оси кольца ().

.
(1.12)

Векторная
сумма перпендикулярных составляющих
равна нулю:
,
тогда.
Заменяя сумму интегралом, получим:

.
(1.13)

Из
треугольника (рис.1.2) следует:

=.
(1.14)

Подставим выражение (1.14) в формулу (1.13) и вынесем за знак интеграла постоянные величины, получим:

.
(1.15)

Так
как
,
то

.
(1.16)

С
учетом того, что
,
формулу (1.16) можно представить в виде:

.
(1.17)

1.4.Геометрическое описание электрического поля. Поток вектора напряжённости

Для
математического описания электрического
поля нужно указать в каждой точке
величину и направление вектора

,
то есть задать векторную функцию.

Существует
наглядный (геометрический) способ
описания поля с помощью линий вектора
(силовых линий) (рис.13.).

Линии напряжённости
проводят следующим образом:

касательная
к линии в каждой точке должна совпадать
с направлением поля;
число
линий пересекающих единичную площадку,
перпендикулярную к ним, должно быть
равно численному значению вектора
.

Существует
правило:
линии вектора напряжённости электрических
полей, создаваемых системой неподвижных
зарядов, могут начинаться или заканчиваться
лишь на зарядах либо уходить в
бесконечность.

На
рисунке 1.4 показано изображение
электростатического поля точечного
заряда с помощью линий вектора
,
а на рисунке 1.5 — изображение
электростатического поля диполя^{^}.

1.5.
Поток
вектора напряжённости электростатического
поля

Поместим
в электрическое поле бесконечно малую
площадку dS (рис.1,6).
Здесь

— единичный вектор нормали к площадке.
Вектор напряжённости электрического
поля

образует с нормалью

некоторый угол α.
Проекция вектора

на направление нормали равна E_n=E·cos
α .