Что такое пропорция
Определение пропорции:
Пропорция — это равенство двух отношения.
Пропорциональный — это такой, который находится в определенном отношении к какой-либо величине.
Пропорция всегда содержит равные коэффициенты.
Если выразить определение формулой, то выглядеть оно будет так:
- a : b = c : d
Или вот так:
a и d — крайние члены пропорции, b и с — средние члены пропорции.
Читается это выражение так: a так относится к b, как c относится к d
Например:
15 : 5 = 3
9 : 3 = 3
Это равенство двух отношений: 15 так относится к 5, как 9 относится к 3.
15 и 3 — крайние члены пропорции.
5 и 9 — средние члены пропорции.
Наглядный пример для понимания:
У нас есть восемь кусочков аппетитной пиццы и, предположим, четыре голодных друга.
- Запишем эту непростую ситуацию в виде отношения 8 кусочков к 4 голодным друзьям: 8 : 4
- Далее преобразовываем это отношение в дробь: 8/4
- Выполняем деление: 8/4 = 2
Это значит, что 8 аппетитных кусочков пиццы будут так относиться к 4 голодным друзьям, что каждому голодающему достанется по 2 кусочка. Прекрасно!
А теперь представим, ситуацию, в которой есть только половина аппетитной пиццы, но при этом и голодных друга — всего два.
Что мы имеем: 4 кусочка и 2 друга, претендующих на них.
- Запишем в виде отношения: 4 : 2
- Преобразовываем получившееся отношение в дробь: 4/2
- Выполняем деление: 4/2 = 2
Это значит, что 4 аппетитных кусочка будут так относиться к 2 голодным друзьям, что каждому из них достанется по 2 кусочка.
Оценив обе ситуации, делаем вывод, что отношение 8/4 пропорционально отношению 4/2. Отношения в пропорции — равные.
Вывод: знание математических пропорций пригодится при заказе пиццы. Быстренько прикидываем отношение количества человек, претендующих на пиццу, и число кусочков — и сразу заказываем побольше пиццы, чтобы никто не остался голодным😉
Получай лайфхаки, статьи, видео и чек-листы по обучению на почту
Узнай, какие профессии будущего тебе подойдут
Пройди тест — и мы покажем, кем ты можешь стать, а ещё пришлём подробный гайд, как реализовать себя уже сейчас
Основное свойство пропорции
Запомните основное свойство пропорции:
Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов этой пропорции.
В виде формулы свойство выглядит так:
a : b = c : d
a * d = b * c
Мы знаем, что a и d — крайние члены пропорции, b и c — средние.
Это свойство следует применять, чтобы проверить пропорцию. Если все сходится согласно формулировке — пропорция составлена верно, и отношения в пропорции являются равными друг другу.
Давайте проверим несколько пропорций.
Пример 1. Дана пропорция:6/2 = 12/4
- Чтобы проверить, верно ли составлена пропорция, перемножаем ее крайние члены: 6 * 4 = 24.
- Далее перемножаем средние члены пропорции: 2 * 12 = 24
- Произведение крайних членов пропорции равно 24, произведение средних членов пропорции также равно 24.
- 6 * 4 = 2 * 12
24 = 24
Делаем вывод, что пропорция 6/2 = 12/4 составлена верно.
Пример 2. Дана пропорция: 10/2 = 16/4
- Перемножаем крайние члены пропорции: 10 * 4 = 40.
- Перемножаем средние члены: 16 * 2 = 32.
- Произведение крайних членов пропорции равно 40. Произведение средних членов пропорции равно 32.
- 10 * 4 ≠ 16 * 2
40 ≠ 32
Отсюда делаем вывод, что отношения в пропорции 10/2 ≠ 16/4 не являются равными.
Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
Примеры решения задач с пропорцией
Чтобы потренироваться в составлении пропорций, решим вместе несколько задачек.
Задачка 1. Дана математическая пропорция: 15/3 = x/4
Найдите x.
Как решаем:
- По основному свойству пропорции перемножаем множители:
15 * 4 = 3x - Получаем уравнение: 60 = 3x
- 60/3 = x
x = 20.
Ответ: в пропорции 15/3 = x/4, x = 20
Задачка 2. Найдите четвертый член пропорции: 18, 9 и 24.
Как решаем:
- Записываем чиcла в виде дробей: 18/9 = 24/x
Где x — четвертый член пропорции. - По основному свойству пропорции, перемножаем средние члены: 9 * 24 = 216
- Выводим уравнение 18x = 216
- Находим x:
x = 216 : 18
x = 12 - Проверяем: 9 * 24 = 216, 18 * 12 = 216.
Пропорция составлена верно.
Ответ: четвертый член пропорции — 12.
Задачка 3. 18 человек могут съесть пять килограммов суши за 8 часов, сколько часов понадобится 9 людям?
Как решаем:
- Записываем числа в виде обратной пропорции: 18/9 = x/8
- Перемножаем множители по основному свойству пропорции: 18 * 8 = 9x
- Находим х:
144 = 9x
144 : 9 = 16
Ответ: 16 часов понадобится 9 людям, чтобы съесть все суши.
Задачка 4. Дана пропорция: 20/2 = y/4
Найдите y.
Как решаем:
- По основному свойству пропорции перемножаем множители:
20 * 4 = 2y - Получаем уравнение: 80 = 2y
- Находим у:
80/2 = y
x = 40. - Проверяем пропорцию: 20 * 4 = 80, 40 * 2 = 80.
Ответ: в пропорции 20/2 = y/4, y = 40
Как посчитать пропорцию
- Главная
- /
- Математика
- /
- Арифметика
- /
- Как посчитать пропорцию
Пропорция – это очень удобный математический инструмент, который нашёл широкое применение в различных сферах нашей жизни. Чтобы посчитать пропорцию воспользуйтесь нашим простым онлайн калькулятором:
Онлайн калькулятор
Заполните поля a, c и b, и получите результат X
Теория
a/b = c/X или, другими словами, a относится к b так же как c относится к X – это геометрическая пропорция, которая позволяет выяснить как одно число относится к другому, если известно, как третье относится к четвёртому. Например, с помощью геометрической пропорции можно посчитать процент от числа.
Формула
a/b = c/X
X = (b*c)/a
Пример
Мы положили в банк 4000 рублей под 5% годовых и хотим выяснить сколько в рублях составят эти пять процентов. Мы понимаем, что 4000 – это 100%, а сколько 5% –?
Геометрическая пропорция в данном случаи будет выглядеть так: 100/5=4000/X
X = (4000*5)/100 = 200
Ответ: 5% от 4000 рублей составляет 200 рублей
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Пропорция — это математическое выражение, в котором два или более числа сравниваются друг с другом. В пропорциях могут сравниваться абсолютные величины и количества или части более крупного целого. Пропорции можно записывать и вычислять несколькими различными способами, однако в основе лежит один и тот же общий принцип.
-
1
Узнайте, для чего служат пропорции. Пропорции используются как в научных исследованиях, так и в повседневной жизни для сравнения различных величин и количеств. В простейшем случае сравниваются два числа, но пропорция может включать в себя любое количество величин. При сравнении двух или большего количества величин всегда можно применить пропорцию. Знание того, как величины соотносятся друг с другом, позволяет, к примеру, записать химические формулы или рецепты различных блюд. Пропорции пригодятся вам для самых разных целей.[1]
-
2
Ознакомьтесь с тем, что означает пропорция. Как отмечено выше, пропорции позволяют определить соотношение между двумя и более величинами. Например, если для приготовления печенья необходимо 2 стакана муки и 1 стакан сахара, мы говорим, что между количеством муки и сахара существует пропорция (отношение) 2 к 1.
- С помощью пропорций можно показать, как различные величины относятся друг к другу, даже если они не связаны между собой непосредственно (в отличие от рецепта). Например, если в классе пять девочек и десять мальчиков, отношение количества девочек к числу мальчиков составляет 5 к 10. В этом случае одно число не зависит от другого и не связано с ним непосредственно: пропорция может измениться, если кто-то покинет класс или наоборот, в него придут новые ученики. Пропорция просто позволяет сравнить две величины.
-
3
Обратите внимание на различные способы выражения пропорций. Пропорции можно записать словами или использовать математические символы.[2]
- В обыденной жизни пропорции чаще выражают словами (как приведено выше). Пропорции используются в самым разных областях, и если ваша профессия не связана с математикой или другой наукой, чаще всего вам будет попадаться именно такой способ записи пропорций.
- Пропорции часто записывают посредством двоеточия. При сравнении двух чисел с помощью пропорции их можно записать через двоеточие, например 7:13. Если сравнивается более двух чисел, двоеточие ставится последовательно между каждыми двумя числами, например 10:2:23. В приведенном выше примере для класса мы сравниваем количество девочек и мальчиков, причем 5 девочек : 10 мальчиков. Таким образом, в этом случае пропорцию можно записать в виде 5:10.
- Иногда при записи пропорций используют знак дроби. В нашем примере с классом отношение 5 девочек к 10 мальчикам запишется как 5/10. В этом случае не следует читать знак “делить” и необходимо помнить, что это не дробь, а соотношение двух разных чисел.
Реклама
-
1
Приведите пропорцию к простейшей форме. Пропорции можно упрощать, как и дроби, за счет сокращения входящих в них членов на общий делитель. Чтобы упростить пропорцию, поделите все входящие в нее числа на общие делители. Однако при этом не следует забывать о первоначальных величинах, которые привели к данной пропорции.[3]
- В приведенном выше примере с классом из 5 девочек и 10 мальчиков (5:10) обе стороны пропорции имеют общий делитель 5. Поделив обе величины на 5 (наибольший общий делитель), получаем отношение 1 девочка на 2 мальчика (то есть 1:2). Однако при использовании упрощенной пропорции следует помнить о первоначальных числах: в классе не 3 ученика, а 15. Сокращенная пропорция лишь показывает отношение между количеством девочек и мальчиков. На каждую девочку приходится два мальчика, но это отнюдь не означает, что в классе 1 девочка и 2 мальчика.
- Некоторые пропорции не поддаются упрощениям. Например, отношение 3:56 нельзя сократить, так как входящие в пропорцию величины не имеют общего делителя: 3 является простым числом, а 56 не делится на 3.
-
2
Для “масштабирования” пропорции можно умножать или делить. Пропорциями часто пользуются для того, чтобы увеличить или уменьшить числа в пропорции друг к другу. Умножение или деление всех входящих в пропорцию величин на одно и то же число сохраняет неизменным отношение между ними. Таким образом, пропорции можно умножать или делить на “масштабный” фактор.[4]
- Предположим, пекарю необходимо утроить количество выпекаемого печенья. Если мука и сахар берутся в пропорции 2 к 1 (2:1), для увеличения количества печенья в три раза данную пропорцию следует умножить на 3. В результате получится 6 стаканов муки на 3 стакана сахара (6:3).
- Можно поступать и наоборот. Если пекарю необходимо уменьшить количество печенья в два раза, следует обе части пропорции поделить на 2 (или умножить на 1/2). В результате получится 1 стакан муки на полстакана (1/2, или 0,5 стакана) сахара.
-
3
Научитесь по двум эквивалентным пропорциям находить неизвестную величину. Еще одной распространенной задачей, для решения которой широко используются пропорции, является нахождение неизвестной величины в одной из пропорций, если дана аналогичная ей вторая пропорция. Правило умножения дробей значительно упрощает эту задачу. Запишите каждую пропорцию в виде дроби, затем приравняйте эти дроби друг другу и найдите искомую величину.[5]
- Предположим, у нас есть небольшая группа учеников из 2 мальчиков и 5 девочек. Если мы хотим сохранить соотношение между мальчиками и девочками, сколько мальчиков должно быть в классе, в который входит 20 девочек? Для начала составим обе пропорции, одна из которых содержит неизвестную величину: 2 мальчика : 5 девочек = x мальчиков : 20 девочек. Если мы запишем пропорции в виде дробей, у нас получится 2/5 и x/20. После умножения обеих частей равенства на знаменатели получаем уравнение 5x=40; делим 40 на 5 и в итоге находим x=8.
Реклама
-
1
При операциях с пропорциями избегайте сложения и вычитания. Многие задачи с пропорциями звучат подобно следующей: “Для приготовления блюда требуется 4 картофелины и 5 морковок. Если вы хотите использовать 8 картофелин, сколько морковок вам понадобится?” Многие допускают ошибку и пытаются просто сложить соответствующие величины. Однако для сохранения прежней пропорции следует умножать, а не складывать. Вот ошибочное и правильное решение данной задачи:
- Неправильный метод: “8 — 4 = 4, то есть в рецепте добавилось 4 картофелины. Значит, необходимо взять прежние 5 морковок и прибавить к ним 4, чтобы… что-то не то! С пропорциями действуют по-другому. Попробуем еще раз“.
- Правильный метод: “8/4 = 2, то есть количество картофелин выросло в 2 раза. Это значит, что и число морковок следует умножить на 2. 5 x 2 = 10, то есть в новом рецепте необходимо использовать 10 морковок“.
-
2
Переведите все значения в одинаковые единицы измерения. Иногда проблема возникает из-за того, что величины имеют разные единицы измерения. Прежде чем записывать пропорцию, переведите все величины в одинаковые единицы измерения. Например:
- У дракона есть 500 граммов золота и 10 килограммов серебра. Каково соотношение золота к серебру в драконьих запасах?
- Граммы и килограммы являются различными единицами измерения, поэтому их следует унифицировать. 1 килограмм = 1 000 граммов, то есть 10 килограммов = 10 килограммов x 1 000 граммов/1 килограмм = 10 x 1 000 граммов = 10 000 граммов.
- Итак, дракон имеет 500 граммов золота и 10 000 граммов серебра.
- Отношение массы золота к массе серебра составляет 500 граммов золота/10 000 граммов серебра = 5/100 = 1/20.
-
3
Записывайте в решении задачи единицы измерения. В задачах с пропорциями намного легче найти ошибку в том случае, если записывать после каждой величины ее единицы измерения. Помните о том, что если в числителе и знаменателе стоят одинаковые единицы измерения, они сокращаются. После всех возможных сокращений в ответе должны получиться правильные единицы измерения.
- Например: даны 6 коробок, и в каждых трех коробках находится 9 шариков; сколько всего шариков?
- Неправильный метод: 6 коробок х 3 коробки/9 шариков = … Хм, ничего не сокращается, и в ответе выходит “коробки x коробки / шарики“. Это не имеет смысла.
- Правильный метод: 6 коробок х 9 шариков/3 коробки = 6 коробок х 3 шарика/1 коробка = 6 х 3 шарика/1 = 18 шариков.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 58 014 раз.
Была ли эта статья полезной?
Download Article
Download Article
You’ve already met fractions like 
. A proportion is a pair of fractions that are equal to each other, like 
. There are many different ways to solve proportion problems that ask you to find the missing number 
, and you don’t need to learn all of them today. If you’re learning pre-algebra and are just starting to use proportions, read from the top until you find a method that makes sense to you. If you’re taking algebra and are working on more advanced proportions problems, you might need to skip down to later methods.
-
Use the relationship between the top and bottom number of the fraction. If you can multiply or divide the top number to get the bottom number, this method is the easiest.[1]
Advertisement
-
Use the relationship between the two numbers across the proportion. You can also look from left to right, across the two fractions:
-
1
Draw two diagonal lines in an «X» across the proportion. For example, write down this proportion, then draw one line between the purple terms, and another line between the green terms:
-
2
Multiply the two numbers connected by a line. One of the lines will connect two numbers (instead of a number and a variable like
). Find the product of these two numbers:
-
3
Divide by the last number in the proportion. Take the answer to your multiplication problem and divide it by the number you haven’t used yet. (This is the green number in the example.) The result is the value of
, the missing number in your proportion.
Advertisement
-
1
Draw a table with two rows. Put the top numbers in your proportion in the top row, and the bottom numbers in the second row. Keep numbers in the same fraction in the same column, and leave a few empty columns between them and to either side.[2]
Here’s an example for the problem:
-
48 128 x 8 - Each column in this table represents a fraction. All of the fractions in this table are equal to each other.
-
-
2
Add equivalent fractions to your table. Start with the fraction where you know both numbers, then multiply or divide each number in that column by the same amount. Write the new fraction into your table, putting it in a column so that the numbers are in order:
-
3
Repeat until you notice the pattern. As you find new fractions, make sure to put them in the table so that the numbers are in order. This will help you narrow down options for the value of x.
-
4
Check your work. Always check your work with this method. Sometimes the answer won’t be a whole number, and you’ll have to add fractions to your table or use a different method.
Advertisement
-
1
Rewrite the problem as a proportion. You can write any percentage as a fraction of 100. Use this fact to set up a problem as a proportion (two equal fractions):
-
2
Solve by cross-multiplying or any other method. Now that it’s set up as a proportion, you can solve the problem by any method. One of the most common methods is cross-multiplication:
Advertisement
-
1
Treat the proportion as an algebraic equation. Proportions are usually introduced in a pre-algebra class. But as you move on to algebra, you’ll learn that a proportion is just one kind of algebraic equation. For any algebraic equation, there’s one big rule:
- You can change the left hand side of the equation, as long as you do the same math to the right hand side.
-
2
-
3
Multiply each side by the other denominator. This will get rid of the other fraction. You can do this even if the denominator is the
, as shown here:
-
4
-
5
Simplify your answer or leave as-is. You can now plug your result into a calculator (or calculate by hand) and find the value of
. Sometimes, the answer won’t simplify to a whole number or even an easy decimal. In that case, it’s best to leave your answer as a fraction.
Advertisement
-
1
Realize your goal is to get the variable on one side. More difficult proportion problems have an
on both sides of the equal sign. This works just like any proportion, but you’ll have to use algebra to handle the variable . Your goal is to get every in the equation onto one side, so you can simplify it into one and find the answer.
-
2
-
3
Otherwise, multiply by the entire denominator with
. Multiplying by only part of the denominator will not help you get rid of the fraction. Always multiply by the entire denominator:
Advertisement
Proportions Calculator, Practice Problems, and Answers
Add New Question
-
Question
What are the properties of proportions?
This answer was written by one of our trained team of researchers who validated it for accuracy and comprehensiveness.
wikiHow Staff Editor
Staff Answer
There are many properties of proportion, but here are the first 3: 1) If two ratios are equal, this is called a proportion. In other words, in a proportion, a/b = c/d. 2) The quantities a, b, c, and d are the “terms” of the proportion. The first and fourth terms (a and d) are the “extremes.” The second and third (b and c) are the “means.” 3) In a proportion, the product of the extremes equals the product of the means. In other words, if a/b = c/d, then a x d = b x c. This is the “cross product rule.”
-
Question
What is the formula of a proportion?
This answer was written by one of our trained team of researchers who validated it for accuracy and comprehensiveness.
wikiHow Staff Editor
Staff Answer
There are many formulae that can apply to proportions, but the basic starting point is a/b = c/d. Going from there, you can get a variety of other formulae, such as a x d = b x c and b^2 = a x c.
-
Question
What is a proportion example?
This answer was written by one of our trained team of researchers who validated it for accuracy and comprehensiveness.
wikiHow Staff Editor
Staff Answer
Any 2 fractions with different terms that are equal is a proportion. For example, 1/2 = 3/6 or 2/3 = 6/9 are both examples of proportions.
Ask a Question
200 characters left
Include your email address to get a message when this question is answered.
Submit
Advertisement
-
It’s perfectly fine for your answer to be a fraction or a decimal. Sometimes
equals or 6.17 instead of a nice whole number.[4]
-
The algebraic method above works with any proportion. But for a specific proportion, there is often a faster way to use algebra to find the answer. As you learn more algebra, this will get easier.
Thanks for submitting a tip for review!
Advertisement
Video
References
About This Article
Article SummaryX
To solve proportions, start by taking the numerator, or top number, of the fraction you know and multiplying it with the denominator, or bottom number, of the fraction you don’t know. Next, take that number and divide it by the denominator of the fraction you know. Now you can replace x with this final number. For example, to figure out “x” in the problem 3/4 = x/8, multiply 3 x 8 to get 24, then divide 24 / 4 to get 6, or the value of x. To learn how to use proportions to determine percentages, read on!
Did this summary help you?
Thanks to all authors for creating a page that has been read 60,003 times.
Did this article help you?
Математика
6 класс
Урок № 5
Пропорции
Перечень рассматриваемых вопросов:
- Понятие пропорции.
- Основное свойство пропорции.
- Как правильно составить пропорцию.
- Как найти неизвестный член пропорции.
Тезаурус
Равенство двух отношений называют пропорцией.
Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.
Основная литература
- Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 258 с.
Дополнительная литература
- Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.
- Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.
Если один член пропорции неизвестен и необходимо его определить, то говорят, что нужно решить пропорцию.
Рассмотрим 3 способа нахождения неизвестного члена пропорции.
1 способ.
2 способ.
Способ 3.
Задача.
Решение:
Ответ:
1) можно;
2) можно;
3) нельзя;
4) нельзя.
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№1. Тип задания: сортировка элементов по категориям.
№2. Тип задания: Подстановка элементов в пропуски в тексте.
Найдите неизвестный член пропорции.
Для нахождения неизвестного члена пропорции воспользуемся основным свойством пропорции, из которого следует: чтобы найти неизвестный средний член пропорции, надо произведение крайних членов разделить на известный средний член пропорции.
Ответ: 3.