Как найти правый фокус эллипса

Not to be confused with eclipse.

In mathematics, an ellipse is a plane curve surrounding two focal points, such that for all points on the curve, the sum of the two distances to the focal points is a constant. It generalizes a circle, which is the special type of ellipse in which the two focal points are the same. The elongation of an ellipse is measured by its eccentricity , a number ranging from (the limiting case of a circle) to (the limiting case of infinite elongation, no longer an ellipse but a parabola).

An ellipse has a simple algebraic solution for its area, but only approximations for its perimeter (also known as circumference), for which integration is required to obtain an exact solution.

Analytically, the equation of a standard ellipse centered at the origin with width and height is:

Assuming , the foci are for . The standard parametric equation is:

Ellipses are the closed type of conic section: a plane curve tracing the intersection of a cone with a plane (see figure). Ellipses have many similarities with the other two forms of conic sections, parabolas and hyperbolas, both of which are open and unbounded. An angled cross section of a cylinder is also an ellipse.

An ellipse may also be defined in terms of one focal point and a line outside the ellipse called the directrix: for all points on the ellipse, the ratio between the distance to the focus and the distance to the directrix is a constant. This constant ratio is the above-mentioned eccentricity:

Ellipses are common in physics, astronomy and engineering. For example, the orbit of each planet in the Solar System is approximately an ellipse with the Sun at one focus point (more precisely, the focus is the barycenter of the Sun–planet pair). The same is true for moons orbiting planets and all other systems of two astronomical bodies. The shapes of planets and stars are often well described by ellipsoids. A circle viewed from a side angle looks like an ellipse: that is, the ellipse is the image of a circle under parallel or perspective projection. The ellipse is also the simplest Lissajous figure formed when the horizontal and vertical motions are sinusoids with the same frequency: a similar effect leads to elliptical polarization of light in optics.

The name, ἔλλειψις (élleipsis, «omission»), was given by Apollonius of Perga in his Conics.

Definition as locus of points[edit]

An ellipse can be defined geometrically as a set or locus of points in the Euclidean plane:

Given two fixed points called the foci and a distance which is greater than the distance between the foci, the ellipse is the set of points such that the sum of the distances is equal to :

The midpoint of the line segment joining the foci is called the center of the ellipse. The line through the foci is called the major axis, and the line perpendicular to it through the center is the minor axis. The major axis intersects the ellipse at two vertices , which have distance to the center. The distance of the foci to the center is called the focal distance or linear eccentricity. The quotient is the eccentricity.

The case yields a circle and is included as a special type of ellipse.

The equation can be viewed in a different way (see figure):

If is the circle with center and radius , then the distance of a point to the circle equals the distance to the focus :

is called the circular directrix (related to focus ) of the ellipse.^[1][2] This property should not be confused with the definition of an ellipse using a directrix line below.

Using Dandelin spheres, one can prove that any section of a cone with a plane is an ellipse, assuming the plane does not contain the apex and has slope less than that of the lines on the cone.

In Cartesian coordinates[edit]

Standard equation[edit]

The standard form of an ellipse in Cartesian coordinates assumes that the origin is the center of the ellipse, the x-axis is the major axis, and:

the foci are the points ,

the major points are .

For an arbitrary point the distance to the focus is
and to the other focus . Hence the point is on the ellipse whenever:

Removing the radicals by suitable squarings and using (see diagram) produces the standard equation of the ellipse:^[3]

or, solved for y:

The width and height parameters are called the semi-major and semi-minor axes. The top and bottom points are the co-vertices. The distances from a point on the ellipse to the left and right foci are and .

It follows from the equation that the ellipse is symmetric with respect to the coordinate axes and hence with respect to the origin.

Parameters[edit]

Principal axes[edit]

Throughout this article, the semi-major and semi-minor axes are denoted and , respectively, i.e.

In principle, the canonical ellipse equation may have (and hence the ellipse would be taller than it is wide). This form can be converted to the standard form by transposing the variable names and and the parameter names and

Linear eccentricity[edit]

This is the distance from the center to a focus: .

Eccentricity[edit]

The eccentricity can be expressed as:

assuming An ellipse with equal axes () has zero eccentricity, and is a circle.

Semi-latus rectum[edit]

The length of the chord through one focus, perpendicular to the major axis, is called the latus rectum. One half of it is the semi-latus rectum . A calculation shows:

^[4]

The semi-latus rectum is equal to the radius of curvature at the vertices (see section curvature).

Tangent[edit]

An arbitrary line intersects an ellipse at 0, 1, or 2 points, respectively called an exterior line, tangent and secant. Through any point of an ellipse there is a unique tangent. The tangent at a point of the ellipse has the coordinate equation:

A vector parametric equation of the tangent is:

with

Proof:
Let be a point on an ellipse and be the equation of any line containing . Inserting the line’s equation into the ellipse equation and respecting yields:

There are then cases:

1. Then line and the ellipse have only point in common, and is a tangent. The tangent direction has perpendicular vector , so the tangent line has equation for some . Because is on the tangent and the ellipse, one obtains .
2. Then line has a second point in common with the ellipse, and is a secant.

Using (1) one finds that is a tangent vector at point , which proves the vector equation.

If and are two points of the ellipse such that , then the points lie on two conjugate diameters (see below). (If , the ellipse is a circle and «conjugate» means «orthogonal».)

Shifted ellipse[edit]

If the standard ellipse is shifted to have center , its equation is

The axes are still parallel to the x- and y-axes.

General ellipse[edit]

In analytic geometry, the ellipse is defined as a quadric: the set of points of the Cartesian plane that, in non-degenerate cases, satisfy the implicit equation^[5][6]

provided

To distinguish the degenerate cases from the non-degenerate case, let ∆ be the determinant

Then the ellipse is a non-degenerate real ellipse if and only if C∆ < 0. If C∆ > 0, we have an imaginary ellipse, and if ∆ = 0, we have a point ellipse.^[7]: p.63

The general equation’s coefficients can be obtained from known semi-major axis , semi-minor axis , center coordinates , and rotation angle (the angle from the positive horizontal axis to the ellipse’s major axis) using the formulae:

These expressions can be derived from the canonical equation

by an affine transformation of the coordinates :

Conversely, the canonical form parameters can be obtained from the general form coefficients by the equations:^{[citation needed]}

Parametric representation[edit]

Standard parametric representation[edit]

Using trigonometric functions, a parametric representation of the standard ellipse is:

The parameter t (called the eccentric anomaly in astronomy) is not the angle of with the x-axis, but has a geometric meaning due to Philippe de La Hire (see Drawing ellipses below).^[8]

Rational representation[edit]

With the substitution and trigonometric formulae one obtains

and the rational parametric equation of an ellipse

which covers any point of the ellipse except the left vertex .

For this formula represents the right upper quarter of the ellipse moving counter-clockwise with increasing The left vertex is the limit

Alternately, if the parameter is considered to be a point on the real projective line , then the corresponding rational parametrization is

Then

Rational representations of conic sections are commonly used in computer-aided design (see Bezier curve).

Tangent slope as parameter[edit]

A parametric representation, which uses the slope of the tangent at a point of the ellipse
can be obtained from the derivative of the standard representation :

With help of trigonometric formulae one obtains:

Replacing and of the standard representation yields:

Here is the slope of the tangent at the corresponding ellipse point, is the upper and the lower half of the ellipse. The vertices, having vertical tangents, are not covered by the representation.

The equation of the tangent at point has the form . The still unknown can be determined by inserting the coordinates of the corresponding ellipse point :

This description of the tangents of an ellipse is an essential tool for the determination of the orthoptic of an ellipse. The orthoptic article contains another proof, without differential calculus and trigonometric formulae.

General ellipse[edit]

Another definition of an ellipse uses affine transformations:

Any ellipse is an affine image of the unit circle with equation .

Parametric representation

An affine transformation of the Euclidean plane has the form , where is a regular matrix (with non-zero determinant) and is an arbitrary vector. If are the column vectors of the matrix , the unit circle , , is mapped onto the ellipse:

Here is the center and are the directions of two conjugate diameters, in general not perpendicular.

Vertices

The four vertices of the ellipse are , for a parameter defined by:

(If , then .) This is derived as follows. The tangent vector at point is:

At a vertex parameter , the tangent is perpendicular to the major/minor axes, so:

Expanding and applying the identities gives the equation for

Area

From Apollonios theorem (see below) one obtains:
The area of an ellipse is

Semiaxes

With the abbreviations
the statements of Apollonios’s theorem can be written as:

Solving this nonlinear system for yields the semiaxes:

Implicit representation

Solving the parametric representation for by Cramer’s rule and using , one obtains the implicit representation

.

Conversely: If the equation

with

of an ellipse centered at the origin is given, then the two vectors

point to two conjugate points and the tools developed above are applicable.

Example: For the ellipse with equation the vectors are

.

Rotated Standard ellipse

For one obtains a parametric representation of the standard ellipse rotated by angle :

Ellipse in space

The definition of an ellipse in this section gives a parametric representation of an arbitrary ellipse, even in space, if one allows to be vectors in space.

Polar forms[edit]

Polar form relative to center[edit]

In polar coordinates, with the origin at the center of the ellipse and with the angular coordinate measured from the major axis, the ellipse’s equation is^{[7]: p. 75}

where is the eccentricity, not Euler’s number

Polar form relative to focus[edit]

If instead we use polar coordinates with the origin at one focus, with the angular coordinate still measured from the major axis, the ellipse’s equation is

where the sign in the denominator is negative if the reference direction points towards the center (as illustrated on the right), and positive if that direction points away from the center.

In the slightly more general case of an ellipse with one focus at the origin and the other focus at angular coordinate , the polar form is

The angle in these formulas is called the true anomaly of the point. The numerator of these formulas is the semi-latus rectum .

Eccentricity and the directrix property[edit]

Each of the two lines parallel to the minor axis, and at a distance of from it, is called a directrix of the ellipse (see diagram).

For an arbitrary point of the ellipse, the quotient of the distance to one focus and to the corresponding directrix (see diagram) is equal to the eccentricity:

The proof for the pair follows from the fact that and satisfy the equation

The second case is proven analogously.

The converse is also true and can be used to define an ellipse (in a manner similar to the definition of a parabola):

For any point (focus), any line (directrix) not through , and any real number with the ellipse is the locus of points for which the quotient of the distances to the point and to the line is that is:

The extension to , which is the eccentricity of a circle, is not allowed in this context in the Euclidean plane. However, one may consider the directrix of a circle to be the line at infinity in the projective plane.

(The choice yields a parabola, and if , a hyperbola.)

Proof

Let , and assume is a point on the curve.
The directrix has equation . With , the relation produces the equations

and

The substitution yields

This is the equation of an ellipse (), or a parabola (), or a hyperbola (). All of these non-degenerate conics have, in common, the origin as a vertex (see diagram).

If , introduce new parameters so that , and then the equation above becomes

which is the equation of an ellipse with center , the x-axis as major axis, and
the major/minor semi axis .

Construction of a directrix

Because of point of directrix (see diagram) and focus are inverse with respect to the circle inversion at circle (in diagram green). Hence can be constructed as shown in the diagram. Directrix is the perpendicular to the main axis at point .

General ellipse

If the focus is and the directrix , one obtains the equation

(The right side of the equation uses the Hesse normal form of a line to calculate the distance .)

Focus-to-focus reflection property[edit]

An ellipse possesses the following property:

The normal at a point bisects the angle between the lines .

Proof

Because the tangent is perpendicular to the normal, the statement is true for the tangent and the supplementary angle of the angle between the lines to the foci (see diagram), too.

Let be the point on the line with the distance to the focus , is the semi-major axis of the ellipse. Let line be the bisector of the supplementary angle to the angle between the lines . In order to prove that is the tangent line at point , one checks that any point on line which is different from cannot be on the ellipse. Hence has only point in common with the ellipse and is, therefore, the tangent at point .

From the diagram and the triangle inequality one recognizes that holds, which means: . The equality is true from the Angle bisector theorem because and . But if is a point of the ellipse, the sum should be .

Application

The rays from one focus are reflected by the ellipse to the second focus. This property has optical and acoustic applications similar to the reflective property of a parabola (see whispering gallery).

Conjugate diameters[edit]

Definition of conjugate diameters[edit]

A circle has the following property:

The midpoints of parallel chords lie on a diameter.

An affine transformation preserves parallelism and midpoints of line segments, so this property is true for any ellipse. (Note that the parallel chords and the diameter are no longer orthogonal.)

Definition

Two diameters of an ellipse are conjugate if the midpoints of chords parallel to lie on

From the diagram one finds:

Two diameters of an ellipse are conjugate whenever the tangents at and are parallel to .

Conjugate diameters in an ellipse generalize orthogonal diameters in a circle.

In the parametric equation for a general ellipse given above,

any pair of points belong to a diameter, and the pair belong to its conjugate diameter.

For the common parametric representation of the ellipse with equation one gets: The points

(signs: (+,+) or (-,-) )

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response («Math extension cannot connect to Restbase.») from server «http://localhost:6011/en.wikipedia.org/v1/»:): {displaystyle (x_2,y_2)=({color{red}{mp}} asin t,pm bcos t)quad }
(signs: (-,+) or (+,-) )

are conjugate and

In case of a circle the last equation collapses to

Theorem of Apollonios on conjugate diameters[edit]

For an ellipse with semi-axes the following is true:^[9][10]

Let and be halves of two conjugate diameters (see diagram) then

1. .
2. The triangle with sides (see diagram) has the constant area , which can be expressed by , too. is the altitude of point and the angle between the half diameters. Hence the area of the ellipse (see section metric properties) can be written as .
3. The parallelogram of tangents adjacent to the given conjugate diameters has the

Proof

Let the ellipse be in the canonical form with parametric equation

.

The two points are on conjugate diameters (see previous section). From trigonometric formulae one obtains and

The area of the triangle generated by is

and from the diagram it can be seen that the area of the parallelogram is 8 times that of . Hence

Orthogonal tangents[edit]

For the ellipse the intersection points of orthogonal tangents lie on the circle .

This circle is called orthoptic or director circle of the ellipse (not to be confused with the circular directrix defined above).

Drawing ellipses[edit]

Ellipses appear in descriptive geometry as images (parallel or central projection) of circles. There exist various tools to draw an ellipse. Computers provide the fastest and most accurate method for drawing an ellipse. However, technical tools (ellipsographs) to draw an ellipse without a computer exist. The principle of ellipsographs were known to Greek mathematicians such as Archimedes and Proklos.

If there is no ellipsograph available, one can draw an ellipse using an approximation by the four osculating circles at the vertices.

For any method described below, knowledge of the axes and the semi-axes is necessary (or equivalently: the foci and the semi-major axis).
If this presumption is not fulfilled one has to know at least two conjugate diameters. With help of Rytz’s construction the axes and semi-axes can be retrieved.

de La Hire’s point construction[edit]

The following construction of single points of an ellipse is due to de La Hire.^[11] It is based on the standard parametric representation of an ellipse:

1. Draw the two circles centered at the center of the ellipse with radii and the axes of the ellipse.
2. Draw a line through the center, which intersects the two circles at point and , respectively.
3. Draw a line through that is parallel to the minor axis and a line through that is parallel to the major axis. These lines meet at an ellipse point (see diagram).
4. Repeat steps (2) and (3) with different lines through the center.

• 

  de La Hire’s method

• 

  Animation of the method

Pins-and-string method[edit]

The characterization of an ellipse as the locus of points so that sum of the distances to the foci is constant leads to a method of drawing one using two drawing pins, a length of string, and a pencil. In this method, pins are pushed into the paper at two points, which become the ellipse’s foci. A string is tied at each end to the two pins; its length after tying is . The tip of the pencil then traces an ellipse if it is moved while keeping the string taut. Using two pegs and a rope, gardeners use this procedure to outline an elliptical flower bed—thus it is called the gardener’s ellipse.

A similar method for drawing confocal ellipses with a closed string is due to the Irish bishop Charles Graves.

Paper strip methods[edit]

The two following methods rely on the parametric representation (see section parametric representation, above):

This representation can be modeled technically by two simple methods. In both cases center, the axes and semi axes have to be known.

Method 1

The first method starts with

a strip of paper of length .

The point, where the semi axes meet is marked by . If the strip slides with both ends on the axes of the desired ellipse, then point traces the ellipse. For the proof one shows that point has the parametric representation , where parameter is the angle of the slope of the paper strip.

A technical realization of the motion of the paper strip can be achieved by a Tusi couple (see animation). The device is able to draw any ellipse with a fixed sum , which is the radius of the large circle. This restriction may be a disadvantage in real life. More flexible is the second paper strip method.

• 

  Ellipse construction: paper strip method 1

• 

  Ellipses with Tusi couple. Two examples: red and cyan.

A variation of the paper strip method 1 uses the observation that the midpoint of the paper strip is moving on the circle with center (of the ellipse) and radius . Hence, the paperstrip can be cut at point into halves, connected again by a joint at and the sliding end fixed at the center (see diagram). After this operation the movement of the unchanged half of the paperstrip is unchanged.^[12] This variation requires only one sliding shoe.

• 

  Variation of the paper strip method 1

• 

  Animation of the variation of the paper strip method 1

Method 2

The second method starts with

a strip of paper of length .

One marks the point, which divides the strip into two substrips of length and . The strip is positioned onto the axes as described in the diagram. Then the free end of the strip traces an ellipse, while the strip is moved. For the proof, one recognizes that the tracing point can be described parametrically by , where parameter is the angle of slope of the paper strip.

This method is the base for several ellipsographs (see section below).

Similar to the variation of the paper strip method 1 a variation of the paper strip method 2 can be established (see diagram) by cutting the part between the axes into halves.

• 

• 

  Variation of the paper strip method 2

Most ellipsograph drafting instruments are based on the second paperstrip method.

Approximation by osculating circles[edit]

From Metric properties below, one obtains:

The diagram shows an easy way to find the centers of curvature at vertex and co-vertex , respectively:

1. mark the auxiliary point and draw the line segment
2. draw the line through , which is perpendicular to the line
3. the intersection points of this line with the axes are the centers of the osculating circles.

(proof: simple calculation.)

The centers for the remaining vertices are found by symmetry.

With help of a French curve one draws a curve, which has smooth contact to the osculating circles.

Steiner generation[edit]

The following method to construct single points of an ellipse relies on the Steiner generation of a conic section:

Given two pencils of lines at two points (all lines containing and , respectively) and a projective but not perspective mapping of onto , then the intersection points of corresponding lines form a non-degenerate projective conic section.

For the generation of points of the ellipse one uses the pencils at the vertices . Let be an upper co-vertex of the ellipse and .

is the center of the rectangle . The side of the rectangle is divided into n equal spaced line segments and this division is projected parallel with the diagonal as direction onto the line segment and assign the division as shown in the diagram. The parallel projection together with the reverse of the orientation is part of the projective mapping between the pencils at and needed. The intersection points of any two related lines and are points of the uniquely defined ellipse. With help of the points the points of the second quarter of the ellipse can be determined. Analogously one obtains the points of the lower half of the ellipse.

Steiner generation can also be defined for hyperbolas and parabolas. It is sometimes called a parallelogram method because one can use other points rather than the vertices, which starts with a parallelogram instead of a rectangle.

As hypotrochoid[edit]

The ellipse is a special case of the hypotrochoid when , as shown in the adjacent image. The special case of a moving circle with radius inside a circle with radius is called a Tusi couple.

Inscribed angles and three-point form[edit]

Circles[edit]

A circle with equation is uniquely determined by three points not on a line. A simple way to determine the parameters uses the inscribed angle theorem for circles:

For four points (see diagram) the following statement is true:

The four points are on a circle if and only if the angles at and are equal.

Usually one measures inscribed angles by a degree or radian θ, but here the following measurement is more convenient:

In order to measure the angle between two lines with equations one uses the quotient:

Inscribed angle theorem for circles[edit]

For four points no three of them on a line, we have the following (see diagram):

The four points are on a circle, if and only if the angles at and are equal. In terms of the angle measurement above, this means:

At first the measure is available only for chords not parallel to the y-axis, but the final formula works for any chord.

Three-point form of circle equation[edit]

As a consequence, one obtains an equation for the circle determined by three non-colinear points :

For example, for the three-point equation is:

, which can be rearranged to

Using vectors, dot products and determinants this formula can be arranged more clearly, letting :

The center of the circle satisfies:

The radius is the distance between any of the three points and the center.

Ellipses[edit]

This section, we consider the family of ellipses defined by equations with a fixed eccentricity . It is convenient to use the parameter:

and to write the ellipse equation as:

where q is fixed and vary over the real numbers. (Such ellipses have their axes parallel to the coordinate axes: if , the major axis is parallel to the x-axis; if , it is parallel to the y-axis.)

Like a circle, such an ellipse is determined by three points not on a line.

For this family of ellipses, one introduces the following q-analog angle measure, which is not a function of the usual angle measure θ:^[13][14]

In order to measure an angle between two lines with equations one uses the quotient:

Inscribed angle theorem for ellipses[edit]

Given four points , no three of them on a line (see diagram).

The four points are on an ellipse with equation if and only if the angles at and are equal in the sense of the measurement above—that is, if

At first the measure is available only for chords which are not parallel to the y-axis. But the final formula works for any chord. The proof follows from a straightforward calculation. For the direction of proof given that the points are on an ellipse, one can assume that the center of the ellipse is the origin.

Three-point form of ellipse equation[edit]

A consequence, one obtains an equation for the ellipse determined by three non-colinear points :

For example, for and one obtains the three-point form

and after conversion

Analogously to the circle case, the equation can be written more clearly using vectors:

where is the modified dot product

Pole-polar relation[edit]

Any ellipse can be described in a suitable coordinate system by an equation . The equation of the tangent at a point of the ellipse is If one allows point to be an arbitrary point different from the origin, then

point is mapped onto the line , not through the center of the ellipse.

This relation between points and lines is a bijection.

The inverse function maps

Such a relation between points and lines generated by a conic is called pole-polar relation or polarity. The pole is the point; the polar the line.

By calculation one can confirm the following properties of the pole-polar relation of the ellipse:

1. The intersection point of two polars is the pole of the line through their poles.
2. The foci and , respectively, and the directrices and , respectively, belong to pairs of pole and polar. Because they are even polar pairs with respect to the circle , the directrices can be constructed by compass and straightedge (see Inversive geometry).

Pole-polar relations exist for hyperbolas and parabolas as well.

Metric properties[edit]

All metric properties given below refer to an ellipse with equation

(1)

except for the section on the area enclosed by a tilted ellipse, where the generalized form of Eq.(1) will be given.

Area[edit]

The area enclosed by an ellipse is:

(2)

where and are the lengths of the semi-major and semi-minor axes, respectively. The area formula is intuitive: start with a circle of radius (so its area is ) and stretch it by a factor to make an ellipse. This scales the area by the same factor: ^[15] However, using the same approach for the circumference would be fallacious – compare the integrals and . It is also easy to rigorously prove the area formula using integration as follows. Equation (1) can be rewritten as For this curve is the top half of the ellipse. So twice the integral of over the interval will be the area of the ellipse:

The second integral is the area of a circle of radius that is, So

An ellipse defined implicitly by has area

The area can also be expressed in terms of eccentricity and the length of the semi-major axis as (obtained by solving for flattening, then computing the semi-minor axis).

So far we have dealt with erect ellipses, whose major and minor axes are parallel to the and axes. However, some applications require tilted ellipses. In charged-particle beam optics, for instance, the enclosed area of an erect or tilted ellipse is an important property of the beam, its emittance. In this case a simple formula still applies, namely

(3)

where , are intercepts and , are maximum values. It follows directly from Apollonios’s theorem.

Circumference[edit]

The circumference of an ellipse is:

where again is the length of the semi-major axis, is the eccentricity, and the function is the complete elliptic integral of the second kind,

which is in general not an elementary function.

The circumference of the ellipse may be evaluated in terms of using Gauss’s arithmetic-geometric mean;^[16] this is a quadratically converging iterative method (see here for details).

The exact infinite series is:

where is the double factorial (extended to negative odd integers by the recurrence relation , for ). This series converges, but by expanding in terms of James Ivory^[17] and Bessel^[18] derived an expression that converges much more rapidly:

Srinivasa Ramanujan gave two close approximations for the circumference in §16 of «Modular Equations and Approximations to «;^[19] they are

and

where takes on the same meaning as above. The errors in these approximations, which were obtained empirically, are of order and respectively.

Arc length[edit]

More generally, the arc length of a portion of the circumference, as a function of the angle subtended (or x coordinates of any two points on the upper half of the ellipse), is given by an incomplete elliptic integral. The upper half of an ellipse is parameterized by

Then the arc length from to is:

This is equivalent to

where is the incomplete elliptic integral of the second kind with parameter

Some lower and upper bounds on the circumference of the canonical ellipse with are^[20]

Here the upper bound is the circumference of a circumscribed concentric circle passing through the endpoints of the ellipse’s major axis, and the lower bound is the perimeter of an inscribed rhombus with vertices at the endpoints of the major and the minor axes.

Curvature[edit]

The curvature is given by
radius of curvature at point :

Radius of curvature at the two vertices and the centers of curvature:

Radius of curvature at the two co-vertices and the centers of curvature:

In triangle geometry[edit]

Ellipses appear in triangle geometry as

1. Steiner ellipse: ellipse through the vertices of the triangle with center at the centroid,
2. inellipses: ellipses which touch the sides of a triangle. Special cases are the Steiner inellipse and the Mandart inellipse.

As plane sections of quadrics[edit]

Ellipses appear as plane sections of the following quadrics:

• Ellipsoid
• Elliptic cone
• Elliptic cylinder
• Hyperboloid of one sheet
• Hyperboloid of two sheets

• 

  Ellipsoid

• 

  Elliptic cone

• 

  Elliptic cylinder

• 

  Hyperboloid of one sheet

• 

  Hyperboloid of two sheets

Applications[edit]

Physics[edit]

Elliptical reflectors and acoustics[edit]

If the water’s surface is disturbed at one focus of an elliptical water tank, the circular waves of that disturbance, after reflecting off the walls, converge simultaneously to a single point: the second focus. This is a consequence of the total travel length being the same along any wall-bouncing path between the two foci.

Similarly, if a light source is placed at one focus of an elliptic mirror, all light rays on the plane of the ellipse are reflected to the second focus. Since no other smooth curve has such a property, it can be used as an alternative definition of an ellipse. (In the special case of a circle with a source at its center all light would be reflected back to the center.) If the ellipse is rotated along its major axis to produce an ellipsoidal mirror (specifically, a prolate spheroid), this property holds for all rays out of the source. Alternatively, a cylindrical mirror with elliptical cross-section can be used to focus light from a linear fluorescent lamp along a line of the paper; such mirrors are used in some document scanners.

Sound waves are reflected in a similar way, so in a large elliptical room a person standing at one focus can hear a person standing at the other focus remarkably well. The effect is even more evident under a vaulted roof shaped as a section of a prolate spheroid. Such a room is called a whisper chamber. The same effect can be demonstrated with two reflectors shaped like the end caps of such a spheroid, placed facing each other at the proper distance. Examples are the National Statuary Hall at the United States Capitol (where John Quincy Adams is said to have used this property for eavesdropping on political matters); the Mormon Tabernacle at Temple Square in Salt Lake City, Utah; at an exhibit on sound at the Museum of Science and Industry in Chicago; in front of the University of Illinois at Urbana–Champaign Foellinger Auditorium; and also at a side chamber of the Palace of Charles V, in the Alhambra.

Planetary orbits[edit]

In the 17th century, Johannes Kepler discovered that the orbits along which the planets travel around the Sun are ellipses with the Sun [approximately] at one focus, in his first law of planetary motion. Later, Isaac Newton explained this as a corollary of his law of universal gravitation.

More generally, in the gravitational two-body problem, if the two bodies are bound to each other (that is, the total energy is negative), their orbits are similar ellipses with the common barycenter being one of the foci of each ellipse. The other focus of either ellipse has no known physical significance. The orbit of either body in the reference frame of the other is also an ellipse, with the other body at the same focus.

Keplerian elliptical orbits are the result of any radially directed attraction force whose strength is inversely proportional to the square of the distance. Thus, in principle, the motion of two oppositely charged particles in empty space would also be an ellipse. (However, this conclusion ignores losses due to electromagnetic radiation and quantum effects, which become significant when the particles are moving at high speed.)

For elliptical orbits, useful relations involving the eccentricity are:

where

Also, in terms of and , the semi-major axis is their arithmetic mean, the semi-minor axis is their geometric mean, and the semi-latus rectum is their harmonic mean. In other words,

.

Harmonic oscillators[edit]

The general solution for a harmonic oscillator in two or more dimensions is also an ellipse. Such is the case, for instance, of a long pendulum that is free to move in two dimensions; of a mass attached to a fixed point by a perfectly elastic spring; or of any object that moves under influence of an attractive force that is directly proportional to its distance from a fixed attractor. Unlike Keplerian orbits, however, these «harmonic orbits» have the center of attraction at the geometric center of the ellipse, and have fairly simple equations of motion.

Phase visualization[edit]

In electronics, the relative phase of two sinusoidal signals can be compared by feeding them to the vertical and horizontal inputs of an oscilloscope. If the Lissajous figure display is an ellipse, rather than a straight line, the two signals are out of phase.

Elliptical gears[edit]

Two non-circular gears with the same elliptical outline, each pivoting around one focus and positioned at the proper angle, turn smoothly while maintaining contact at all times. Alternatively, they can be connected by a link chain or timing belt, or in the case of a bicycle the main chainring may be elliptical, or an ovoid similar to an ellipse in form. Such elliptical gears may be used in mechanical equipment to produce variable angular speed or torque from a constant rotation of the driving axle, or in the case of a bicycle to allow a varying crank rotation speed with inversely varying mechanical advantage.

Elliptical bicycle gears make it easier for the chain to slide off the cog when changing gears.^[21]

An example gear application would be a device that winds thread onto a conical bobbin on a spinning machine. The bobbin would need to wind faster when the thread is near the apex than when it is near the base.^[22]

Optics[edit]

• In a material that is optically anisotropic (birefringent), the refractive index depends on the direction of the light. The dependency can be described by an index ellipsoid. (If the material is optically isotropic, this ellipsoid is a sphere.)
• In lamp-pumped solid-state lasers, elliptical cylinder-shaped reflectors have been used to direct light from the pump lamp (coaxial with one ellipse focal axis) to the active medium rod (coaxial with the second focal axis).^[23]
• In laser-plasma produced EUV light sources used in microchip lithography, EUV light is generated by plasma positioned in the primary focus of an ellipsoid mirror and is collected in the secondary focus at the input of the lithography machine.^[24]

Statistics and finance[edit]

In statistics, a bivariate random vector is jointly elliptically distributed if its iso-density contours—loci of equal values of the density function—are ellipses. The concept extends to an arbitrary number of elements of the random vector, in which case in general the iso-density contours are ellipsoids. A special case is the multivariate normal distribution. The elliptical distributions are important in finance because if rates of return on assets are jointly elliptically distributed then all portfolios can be characterized completely by their mean and variance—that is, any two portfolios with identical mean and variance of portfolio return have identical distributions of portfolio return.^[25][26]

Computer graphics[edit]

Drawing an ellipse as a graphics primitive is common in standard display libraries, such as the MacIntosh QuickDraw API, and Direct2D on Windows. Jack Bresenham at IBM is most famous for the invention of 2D drawing primitives, including line and circle drawing, using only fast integer operations such as addition and branch on carry bit. M. L. V. Pitteway extended Bresenham’s algorithm for lines to conics in 1967.^[27] Another efficient generalization to draw ellipses was invented in 1984 by Jerry Van Aken.^[28]

In 1970 Danny Cohen presented at the «Computer Graphics 1970» conference in England a linear algorithm for drawing ellipses and circles. In 1971, L. B. Smith published similar algorithms for all conic sections and proved them to have good properties.^[29] These algorithms need only a few multiplications and additions to calculate each vector.

It is beneficial to use a parametric formulation in computer graphics because the density of points is greatest where there is the most curvature. Thus, the change in slope between each successive point is small, reducing the apparent «jaggedness» of the approximation.

Drawing with Bézier paths

Composite Bézier curves may also be used to draw an ellipse to sufficient accuracy, since any ellipse may be construed as an affine transformation of a circle. The spline methods used to draw a circle may be used to draw an ellipse, since the constituent Bézier curves behave appropriately under such transformations.

Optimization theory[edit]

It is sometimes useful to find the minimum bounding ellipse on a set of points. The ellipsoid method is quite useful for solving this problem.

See also[edit]

Notes[edit]

References[edit]

• Besant, W.H. (1907). «Chapter III. The Ellipse». Conic Sections. London: George Bell and Sons. p. 50.
• Coxeter, H.S.M. (1969). Introduction to Geometry (2nd ed.). New York: Wiley. pp. 115–9.
• Meserve, Bruce E. (1983) [1959], Fundamental Concepts of Geometry, Dover Publications, ISBN 978-0-486-63415-9
• Miller, Charles D.; Lial, Margaret L.; Schneider, David I. (1990). Fundamentals of College Algebra (3rd ed.). Scott Foresman/Little. p. 381. ISBN 978-0-673-38638-0.
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, LCCN 76087042

External links[edit]

 (схема 21)

Эллипсом называется
геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до
двух данных точек этой плоскости, называемых 
фокусами, есть величина постоянная, равная 2a.

Обозначим фокусы через F₁  и F₂,
расстояние между ними через 2c, а сумму расстояний от произвольной точки эллипса до
фокусов – через  2a. По  определению 2a>2c,  то есть a>c  .

Выберем систему координат
 так, чтобы
фокусы F₁  и F₂
лежали на оси 0x, а начало координат совпадало с серединой отрезка F₁F₂. Тогда фокусы имют координаты:  F₁(–c;0)  и F₂(c;0). Пусть M(x;y) –
произвольная точка эллипса (текущая точка). Тогда по определению эллипса можно записать

По сути, мы получили уравнение эллипса. Упростим его с помощью ряда несложных математических преобразований:

 

Так как, a>c, то a²–c²>0, то можно обозначить a²–c²=b². Тогда 
последнее уравнение имеет вид: 

                                                                                                                                           (2.17)

Это
уравнение равносильно первоначальному. Оно называется каноническим уравнением
эллипса – кривой
второго порядка.

Установим форму эллипса, пользуясь его каноническим
уравнением.

1. Уравнение (2.17) содержит x и y
только в четных степенях, поэтому
если  точка (x;y)
принадлежит  эллипсу,  то 
ему  также  принадлежат 
точки (–x;y), (x;–y), (–x;–y). Отсюда: эллипс симметричен относительно осей 0x и 0y, а также
относительно точки O(0;0), которую называют центром эллипса.

2. Найдем точки пересечения эллипса с осями координат.
Положив y=0, найдем точки A₁(a;0) и A₂(–a;0), в которых ось 0x пересекает эллипс. Положив в  уравнении 
(2.17) x=0, находим точки пересечения эллипса с осью 0y: B₁(0;b) и B₂(0;–b). Точки A₁, A₂, B₁, B₂ называются вершинами эллипса. Отрезки А₁А₂,
В₁В₂, а также
их длины 2a и 2b – соответственно большая и малая оси эллипса (рис. 2.4).

3. Из уравнения (2.17) следует, что каждое слагаемое в
левой  части не превосходит единицы,
т.е.: 

.

Следовательно, все точки эллипса лежат внутри
прямоугольника, ограниченного прямыми x= ± a
и y= ± b.

4. В уравнении (2.17) левая часть – сумма
неотрицательных слагаемых, т.е. при возрастании одного слагаемого другое будет
уменьшаться, если |x| возрастает, |y|
уменьшается и наоборот.

Из сказанного следует, что эллипс имеет форму
овальной замкнутой кривой. Форма эллипса зависит от отношения. При a=b эллипс превращается в окружность, уравнение эллипса
(2.17) принимает вид: x²+y²=a². Отношение половины расстояния между фокусами к большой полуоси эллипса – эксцентриситет  эллипса  . Причем
0<ε<1, так как 0<c<a.

Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет эллипса,
тем будет менее  эллипс сплющенным; при ε=0 эллипс
превращается в окружность.

Пусть M(x;y) – произвольная точка эллипса с фокусами F₁  и F₂.  Длины
отрезков |MF₁|=r₁ и |MF₂|=r₂ – фокальные
радиусы точки M, r₁+r₂=2a. Имеют место формулы: r₁=a+εx  и  r₂=a – εx.

Прямые  – директрисы
эллипса.

Если r – расстояние от произвольной точки до какого–нибудь фокуса,
d –
расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусу директрисы (рис. 2.5), то отношениеесть величина
постоянная, равная эксцентриситету эллипса:  .

Из   равенства a²–c²=b²
следует, что a>b. Если же
наоборот, то уравнение (2.17) определяет эллипс, большая ось которого 2b лежит на
оси 0y, а малая ось 2a – на оси 0x. Фокусы  такого
эллипса находятся в точках F₁(0;c) и F₂(0;–c), где . Данный эллипс будет растянут вдоль оси 0y.

Пример 2.5. Составить уравнение линии, для каждой точки
которой  отношение расстояний от нее до
точки A(3;0) и до прямой x=12, равно числу ε=0,5.  Полученное
уравнение привести к простейшему виду.

Решение. Пусть M(x;y) – текущая (произвольная) точка искомого
геометрического множества точек. Опустим перпендикуляр MB на прямую

. Тогда  точка B(12;y). По условию задачи
 .

По формуле расстояния между
двумя  точками получаем:

 Отсюда

 Полученное уравнение представляет собой эллипс вида  где, согласно формуле (2.17).

Определим фокусы эллипса F₁(–c;0) и F₂(c;0). Для эллипса справедливо равенство b²=a²–c²,
откуда c²=a²–b² =9 и c=3. То есть,
F₁(–3;0) и F₁(3;0)–
фокусы эллипса (точки F₂ и A совпадают).

Эксцентриситет эллипса 

 Примечание. Если эллипс (окружность) вращать вокруг одной из его
осей, то описываемая им поверхность будет эллипсоидом вращения (сферой) 

Пример 2.6. В геодезии используется система географических координат,
основанная на понятии геоида. Геоид – поверхность Земли,
ограниченная уровенной поверхностью, продолженной под континенты. Поверхность
геоида отличается от физической поверхности Земли, на которой резко выражены
горы и океанические впадины.

Тело, поверхность которого более всего соответствует
поверхности геоида, имеет определенные размеры и ориентирована соответственно в
теле Земли, называется референц–эллипсоидом. В  нашей стране с 1946 года для всех
геодезических работ принят референц–эллипсоид Красовского с
параметрами a=6 378 245 м, b=6 356 863 м, α=1: 298,3.

Линия, проходящая вертикально через центр эллипсоида
является полярной осью. Линия, проходящая через центр эллипсоида,
перпендикулярно к полярной оси, – экваториальной осью. При пересечении
поверхности эллипсоида плоскостью, проходящей через его центр, перпендикулярно
к полярной оси, образуется окружность, называемая экватором. Окружность,
полученная от пересечения поверхности эллипсоида плоскостью, параллельной
плоскости экватора, называется параллелью. Линия пересечения
поверхности эллипсоида с плоскостью, проходящей через заданную точку и полярную
ось, называется меридианом данной точки. Положение точки на земной поверхности
определяется пересечением параллели и меридиана, проходящих через нее. Угол φ между плоскостью экватора и отвесной
линией называется географической широтой. Для определения долгот
точек один из меридианов (Гринвичский) принимают за начальный или нулевой. Угол
λ, составленный плоскостью меридиана,
проходящего через данную точку, и плоскостью начального меридиана, называется
географической долготой 

 Гипербола – геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от
каждой из которых до двух данных точек этой плоскости – фокусов, есть величина
постоянная, равная 2a.

Обозначим фокусы через 
F₁ и F₂, расстояние между ними через 2c, а модуль
разности расстояний от каждой точки 
гиперболы до фокусов через 2a. По определению 2a<2c,  то есть a<c.

Выберем  систему координат x0y так, чтобы фокусы F₁ и F₂ лежали на оси 0x, а начало координат совпало с серединой отрезка F₁F₂. Тогда фокусы будут иметь координаты F1(c;0) и  F₂(–c;0). На этой основе выведем уравнение гиперболы. Пусть M(x;y) – ее произвольная точка.  Тогда по определению  |MF₁–MF₂|=2a, то есть. Проведя преобразования, аналогичные упрощениям уравнения эллипса, получим  каноническое уравнение гиперболы:

,                                                                                                                                                                             (2.18)

 где
b²=a²–c².
Гипербола – линия 2–го порядка.      

Установим форму гиперболы, исходя из ее канонического
уравнения.

1. Уравнение (2.18) содержит x и y только в
четных степенях. Следовательно, гипербола симметрична  относительно осей координат
0x и 0y, и относительно  точки O(0;0) – центра гиперболы.

2. Найдем точки пересечения  гиперболы с осями координат. Положив в
уравнении (2.18) y=0, находим две точки пересечения гиперболы с осью 0x:  A₁(a;0) и A₂(–a;0).

Положив в (2.18) x=0, получаем y²= – b²,
чего быть не может. Т.е. гипербола ось 0y  не пересекает.

Точки A₁(a;0) и A₂(–a;0) – вершины гиперболы, а отрезок |A₁A₂|=2a  – действительная ось. Отрезок |B₁B₂|=2b,
соединяющий точки B₁(0;b) и B₂(0;–b) – мнимая ось (рис. 2.6). Прямоугольник
со сторонами 2a и 2b –  основной
прямоугольник гиперболы.

3. Из уравнения (2.18) следует, что уменьшаемое . Это означает, что точки гиперболы расположены справа
от прямой x=a (правая
ветвь гиперболы) и слева от прямой x=–a (левая
ветвь) (рис. 2.6).

 

4. Из уравнения (2.18) гиперболы видно, что
когда |x| возрастает, то |y| также
возрастает. Это
следует из того, что разность –
сохраняет значение, равноe единице. Следовательно, гипербола имеет форму,
состоящую из двух неограниченных ветвей.

Прямая L называется асимптотой некоторой неограниченной кривой, если расстояние d от точки M этой кривой до прямой L стремится к нулю при неограниченном
удалении точки M вдоль кривой 
от начала координат.

Покажем, что гипербола  имеет две асимптоты: . Так как 
данные прямые и гипербола (2.18) симметричны относительно координатных
осей, то достаточно рассмотреть только точки, расположенные в первой четверти.

Возьмем на прямой   точку N, имеющую
ту же абсциссу, что и точка M(x;y) на гиперболе . Найдем разность |MN|:

Очевидно: так как числитель есть величина постоянная, а знаменатель дроби увеличивается с возравстанием переменной х, то длина отрезка |MN| стремится
к нулю. Так как |MN| больше
расстояния d от точки M до прямой L, то d стремится к нулю тем более (и подавно). Следовательно, прямые

 – есть
асимптоты гиперболы (рис. 2.7).

       Построение гиперболы начинают с нанесения ее основного прямоугольника на координатную плоскость. Далее проводят диагонали этого прямоугольника, которые являются асимптотами гиперболы, затем отмечают ее вершины, фокусы и строят ветви гиперболы.        

Эксцентриситет  гиперболы –
отношение расстояния между фокусами к величине её действительной оси,
обозначается ε: . Так
как у гиперболы c>a, то
эксцентриситет ее больше единицы. Эксцентриситет характеризует  форму гиперболы. Так как                 . Видно, что чем меньше
эксцентриситет гиперболы, тем меньше отношение  ее полуосей, а
значит, тем более вытянут ее основной прямоугольник.

Эксцентриситет 
равносторонней гиперболы равен . Действительно, . Фокальные радиусы

,

 для точек
правой ветви гиперболы имеют вид: r₁=εx+a,  r₂=εx–a; для точек
левой ветви:  r₁=–(εx+a), r₂=–(εx–a).

Прямые называются директрисами
гиперболы. Тот факт, что для гиперболы ε>1, то  означает: правая директриса  расположена  между центром и правой вершиной гиперболы,
левая – между центром и левой вершиной. Директрисы
гиперболы  имеют тоже свойство , что и директрисы эллипса. 

Уравнение  определяет гиперболу с действительной осью 2b,  расположенной на оси 0y, и мнимой осью 2a, расположенной на оси абсцисс  (подобная гипербола изображена
на рисунке 2.7 пунктиром).

Значит, гиперболы
  и 
 имеют общие
асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.

Примечание. Если у кривой 2–го порядка смещен центр в некоторую
точку O’(x₀;y₀), то  она
называется нецентральной кривой. Уравнение такой кривой имеет вид: 

 Примечание. При вращении гиперболы вокруг ее действительной оси
образуется двуполостный гиперболоид, вокруг  ее мнимой оси – однополостный гиперболоид
 

Подробно данные уравнения рассмотрены в теме:
«Исследование общего уравнения 2–ой степени» (смотри схему 10), частными
случаями которого являются данные формулы.

Вопросы
для самопроверки

Эллипс – это замкнутая плоская кривая, сумма расстояний от каждой точки до двух точек равняется постоянной величине.

Эллипсом называется множество точек
плоскости, сумма расстояний от которых
до двух данных точек

и

этой плоскости, называемых фокусами,
есть величина постоянная, равная
,
,
большая, чем расстояние между фокусами
.

Если
оси координат расположены по отношению
к эллипсу так, как на рис. 2.1, а фокусы
эллипса находятся на оси

на равных расстояниях от начала координат
в точках

и
,
то получится простейшее (каноническое)
уравнение эллипса:

,

(2.2)

где

– большая,

– малая полуось эллипса, причем
,

и

(
– половина расстояния между фокусами)
связаны соотношением
.

Точки
,
.
,

называются вершинами эллипса, оси
симметрии

и

– главными осями, а центр симметрии 0 –
центром эллипса.

Векторы

и

называются фокальными радиус—векторами,
а числа

и

– фокальными радиусами точки
,
принадлежащей эллипсу (в силу определения
эллипса для любой его точки
).
В частном случае

фокусы

и

совпадают с центром, а каноническое
уравнение имеет вид
,
или
,
т. е. описывает окружность радиуса

с центром в начале координат.

Форма эллипса (мера его сжатия)
характеризуется его эксцентриситетом

(;
при

эллипс является окружностью, а т. к.
,
то
).

Прямые

и
,
перпендикулярные главной оси и проходящие
на расстоянии

от центра, называются директрисами
эллипса.

Фокальные радиусы-векторы выражаются
через абсциссу точки эллипса по формулам

и
.

Если центр эллипса с полуосями

и

смещен в точку
,
то его каноническое уравнение имеет
вид

.
(2.3)

Примеры

1. Какую линию определяет уравнение
?

Разделим данное уравнение почленно на
12:
.
Сравнивая полученное уравнение с
уравнением (2.2), заключаем, что оно
определяет эллипс с полуосями
,
.
Найдем фокусы этого эллипса. Так как
,
то
,
.
Следовательно, фокусы эллипса находятся
в точках
,
.

2. Даны координаты точек
,

и радиус окружности
,
центр которой находится в начале
координат. Требуется:

а) составить каноническое уравнение
эллипса, проходящего через данные точки

и
;

б) найти полуоси, фокусы и эксцентриситет
этого эллипса;

в) найти все точки пересечения эллипса
с данной окружностью;

г) построить эллипс и окружность.

Решение.

а) Пусть

– искомое уравнения эллипса. Этому
уравнению должны удовлетворять координаты
данных точек. Следовательно, подставляя
координаты точек, получим

Отсюда находим
,
.
Итак, уравнение эллипса имеет вид
.

б)
,

– соответственно большая и малая полуоси
эллипса. Для эллипса
,
значит
,
откуда
.
Следовательно,
,

– соответственно левый и правый фокусы
эллипса. Эксцентриситет эллипса
.

в) Найдем точки пересечения эллипса с
данной окружностью. Уравнение окружности
.
Решая систему уравнений

получим

,
,
.
Но
,
значит
,
откуда
.
Итак, существуют две точки пересечения
эллипса и окружности

и
.

г) Построить эллипс и окружность.

3. Большая ось эллипса равна 12, а
директрисами его служат прямые
.
Найти уравнение эллипса и его
эксцентриситет.

Решение. По условию
.
Из уравнений директрис

и формулы

находим
.
Тогда
.
Следовательно, искомое уравнение эллипса
есть
,
а эксцентриситет его
.

4. Эллипс касается оси

в точке

и пересекает ось

в точках

и
.
Зная, что оси эллипса параллельны осям
координат, составить его уравнение.

Решение. Будем искать уравнение
эллипса в виде (2.3). Так как эллипс касается
оси
,
то
.
Далее,
,
т. к. прямая

параллельна оси

и отсекает на оси

отрезок
.
Следовательно, уравнение эллипса имеет
вид
.
Полуось
.
В таком случае получим

– уравнение эллипса. Найдем
.
Так как

лежит на эллипсе, то ее координаты
удовлетворяют его уравнению, т. е.
.
Итак, искомое уравнение эллипса
.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

444 Составить уравнение эллипса,
фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично
относительно начала координат, зная, кроме того,
что: 444.1 его полуоси ранвы 5
и 2; 444.2 его большая ось
равна 10, а расстояние между фокусами 2c=8; 444.3 его малая ось равна
24, а расстояние между фокусами 2c=10; 444.4 расстояние между
его фокусами 2c=6 и эксцентриситет e=3/5. 444.5 его большая ось
равна 20, а эксцентриситет e=3/5. 444.6 его малая ось равна
10, а эксцентриситет e=12/13; 444.7 расстояние между
его директрисами равно 5 и расстояние между
фокусами 2c=4; 444.8 его большая ось
равна 8, а расстояние между директрисами равно 16; 444.9 его малая ось равна
6, а расстояние между директрисами равно 13; 444.10 расстояние между
его директрисами равно 32 и e=1/2. 445 Составить
уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси
ординат симметрично начала координат, зная,
кроме того, что: 445.1 его полуоси равны
соответственно 7 и 2; 445.2 его большая ось
равна 10, а расстояние между фокусами 2c=8; 445.3 расстояние между
его фокусами 2c=24 и эксцентриситет e=12/13. 445.4 его малая ось равна
16, а эксцентриситет e=3/5. 445.5 расстояние между
его фокусами 2c=6 и расстояние между директрисами
равно 50/3; 445.6 расстояние между
его директрисами равно 32/3 и эксцентриситет e=3/4. 446 Определить полуоси
каждого из следующих эллипсов: 446.1  ; 446.2 ; 446.3 ; 446.4 ; 446.5  ; 446.6 ; 446.7 ; 446.8 ; 446.9 ; 446.10 . 447 Дан эллипс . Найти его полуоси, фокусы,
эксцентриситет, уравнения директрис. 448 Вычислить площадь
четырехугольника, две вершины которого лежат в
фокусах эллипса , а две другие
совпадают с концами его малой оси. 449 Дан эллипс . Найти его полуоси, фокусы,
эксцентриситет, уравнения директрис. 450 Вычислить площадь
четырехугольника, две вершины которого лежат в
фокусах эллипса , две другие лежат с
концами его малой оси. 451 Вычислить
расстояние от фокуса F(c; 0) эллипса до
односторонней с этим фокусом директрисы. 452 Пользуясь одним
циркулем, построить фокусы эллипса (считая,
что изображены оси координат и задана масштабная
единица). 453 На эллипсе найти точку, абсцисса которых равна
–3. 454 Определить, какие
из точек A₁(-2; 3), A₂(2; -2), A₃(2;
-4), A₄(-1; 3), A₅(-4; -3), A₆(3; -1), A₇(3;
-2), A₈(2; 1), A₉(0; 15), A₁₀(0; -16) лежат на эллипсе , какие
внутри и какие вне его. 455 Установить, какие
линии опеределяются следующими уравнениями.
Изобразить эти линии на чертеже. 455.1 ; 455.2 ; 455.3 ; 455.4 . 456 Эксцентриситет
эллипса e=2/3, фокальный радиус точки М эллипса
равен 10. Вычислить расстояние от точки М до
односторонней с этим фокусом директрисы. 457 Эксцентриситет
эллипса e=2/5, расстояние от точки эллипса до
директрисы равно 20. Вычислить расстояние от
точки М до фокуса, односторонней с этой
директрисой. 458 Дана точка М₁(2; -5/3) на эллипсе ; составить
уравнения прямых, на которых лежат фокальные
радиусы точки М₁.
459 Убедившись, что
точка M₁(-4; 2,4) лежит
на эллипсе , определить фокальные радиусы точки
М₁. 460 Эксцентриситет
эллипса e=1/3, центр его совпадает с началом
координат, один из фокусов (-2; 0). Вычислить
расстояние от точки М₁ эллипса с абсциссой, равной 2, до
директрисы, односторонней с данным фокусом. 461 Эксцентриситет
эллипса e=1/2, центр его совпадает с началом
координат, одна из директрис дана уравнением x=16.
Вычислить расстояние от точки M₁
эллипса с абсциссой, равной –4, до
фокуса, одностороннего с данной директрисой. 462 Определить точки
эллипса , расстояние которых до
правого фокуса равно 14. 463 Определить точки
эллипса , расстояние которых до
левого фокуса равно 2,5. 464 Через фокус эллипса
проведен перпендикуляр к его
большой оси. Определить расстояния от точек
пересечения этого перпендикуляра с эллипсом до
фокусов. 465 Составить
уравнения эллипса, фокусы которого расположены
на оси абсцисс симметрично относительно начала
координат, если даны: 465.1 точка М₁(; 2) эллипса
и его малая полуось b=3; 465.2 точка М₁(2;
-2) эллипса и его большая полуось
a=4; 465.3 точки М₁(4;
) и
М₂(; 3) эллипса; 465.4 точка М₁(; -1) эллипса
и его эксцентриситет e=2/3; 465.5 точка М₁(2;
-5/3) эллипса и его эксцентриситет
e=2/3; 465.6 точка М₁(8;
12) эллипса и расстояние r₁=20
от нее до левого фокуса. 465.7 точка М₁(; 2) эллипса
и расстояние между его директрисами, равное 10. 466 Определить
эксцентриситет e эллипса, если: 466.1 его малая ось видна
из фокусов под углом 60⁰; 466.2 отрезок между
фокусами виден и вершин малой оси под прямым
углом; 466.3 расстояние между
директрисами в три раза больше расстояния между
фокусами; 466.4 отрезок
перпендикуляра, опущенного из центра эллипса на
его директрису, делится вершиной эллипса
пополам. 467 Через фокус F
эллипса проведен перпендикуляр к его большой оси
(см. рис.). Определить, при каком значении
эксцентриситета эллипса отрезки и будут
параллельны.

468 Составить
уравнение эллипса с полуосями a, b и центром C(x₀, y₀), если
известно, что оси симметрии эллипса параллельны
осям координат. 469 Эллипс касается оси
абсцисс в точке А(3; 0) и оси ординат в точке В(0; -4).
Составить уравнение этого эллипса, зная, что его
оси симметрии параллельны координатным осям. 470 Точка С(-3; 2)
является центром эллипса, касающегося обеих
координатных осей. Составить уравнение этого
эллипса, зная, что его оси симметрии параллельны
координатным осям. 471 Установить, что
каждое из следующих уравнений определяет эллипс,
и найти координаты его центра С, полуоси,
эксцентриситет и уравнения директрис: 471.1 ; 471.2 ; 471.3 . 472 Установить, какие
линии определяются следующими уравнениями.
Изобразить эти линии на чертеже. 472.1  ; 472.2 ; 472.3 ; 472.4 . 473 Составить
уравнение эллипса, зная, что: 473.1 его большая ось
равна 26 и фокусы суть F₁(-10; 0), F₂(14;0);
473.2 его малая ось равна
2 и фокусы суть F₁(-1; -1), F₂(1;
1);
473.3 его фокусы суть F₁(-2; 3/3), F₂(2; -3/2) и
эксцентриситет e=.
473.4 его фокусы суть F₁(1; 3), F₂(3; 1) и
расстояние между директрисами равно .
474   Составить уравнение эллипса, если известны его
эксцентриситет
,
фокус F (-4; 1) и уравнение соответствующей
директрисы
475 Составить
уравнение эллипса, если известны его
эксцентриситет e=1/2, фокус F(-4; 1) и уравнение
соответствующей директрисы . 476 Точка А(-3; -5) лежит
на эллипсе, фокус которого F(-1; -4), а
соответствующая директриса дана уравнением . Составить уравнение этого эллипса. 477 Составить
уравнение эллипса, если известны его
эксцентриситет e=1/2, фокус F(3; 0) и уравнение
соответствующей директрисы . 478 Точка M₁(2;
-1) лежит на эллипсе, фокус
которого F(1; 0), а соответствующая директриса дана
уравнением . Составить уравнение этого эллипса. 479 Точка M₁(3;
-1) является концом малой оси
эллипса, фокусы которого лежат на прямой . Составить
уравнение этого эллипса, зная его эксцентриситет
e=. 480 Найти точки
пересечения прямой и эллипса . 481 Найти точки
пересечения прямой и эллипса . 482 Найти точки
пересечения прямой и эллипса . 483 Определить, как
расположена прямая относительно эллипса:
пересекает ли, касается или проходит вне его,
если прямая и эллипс заданы следующими
уравнениями: 483.1 , ; 483.2 , ; 483.3 , . 484 Определить, при
каких начениях m прямая : 484.1 пересекает эллипс ; 484.2 касается его; 484.3 проходит вне этого
эллипса. 485 Вывести условие,
при котором прямая касается эллипса . 486 Составить
уравнение касательной к эллипсу в его
точке M₁(x₁; y₁). 487 Доказать, что
касательные к эллипсу , проведенные
в концах одного и того же диаметра, параллельны.
(Диаметром эллипса называется его хорда,
проходящая через его центр). 488 Составить
уравнения касательных к эллипсу, параллельных
прямой . 489 Составить
уравнения касательных к эллипсу , перпендикулярных
к прямой . 490 Провести касательные к эллипсу параллельно
прямой и вычислить расстояние d между ними. 491 На эллипсе найти точку М₁,
ближайшую к прямой , и вычислить расстояние d от точки М₁ до
этой прямой. 492 Из точки А(10/3; 5/3)
проведены касательные к эллипсу . Составить
их уравнения. 493 Из точки С(10; -8)
проведены касательные к эллипсу . Составить
уравнение хорды, соединяющей точки касания. 494 Из точки Р(-16; 9)
проведены касательные к эллипсу . Вычислить
расстояние d от точки Р до хорды эллипса,
соединяющей точки касания. 495 Эллипс проходит
через точку А(4; -1) и касается прямой . Составить
уравнение этого эллипса при условии, что его оси
совпадают с осями координат. 496 Составить
уравнение эллипса, касающегося двух прямых , , при
условии, что его ося совпадают с осями координат. 497 Доказать, чо
произведение расстояний от центра эллипса до
точки пересечения любой его касательной с
фокальной осью и до основания перпендикуляра,
опущенного из точки касания на фокульную ось,
если величина постоянная, равная квадрату
большой полуоси эллипса. 498 Доказать, что
произвдение расстояний от фокусов до любой
касательной к эллипсу равно квадрату малой
полуоси. 499 Прямая касается
эллипса, фокусы которого находятся в точках F₁(-3;
0), F₂(3; 0). Составить
уравнение этого эллипса. 500 Составить
уравнение эллипса, фокусы которого расположены
на оси абсцисс симметрично относительно начала
координат, если известны уравнение касательной к
эллипсу и его малая полуось b=2. 501 Доказать, что
прямая, касающаяся эллипса в некоторой точке М,
составляет равные углы с фокальными радиусами F₁M, F₂M и проходит
вне угла F₁MF₂. 502 Из левого фокуса
эллипса под тупым углом к оси
Ox направлен луч света. Известно, что . Дойдя
до эллипса, луч на него отразился. Составить
уравнение прямой, на которой лежит отраженный
луч. 503 Определить точки
пересечения эллипсов , . 504 Убедившись, что
эллипсы , () пересекаются
в четырех точках, лежающих на окружности с
центром в начале координат, определить радиус R
этой окружности. 505 Плоскости и образуют угол =30⁰. Опредлить
полуоси эллипса, полученного проектированием на
плоскость окружности радиуса R=10,лежащей на
плоскости . 506 Эллипс, малая
полуось которого равна 6, является проекцией
окружности радиуса R=12. Опредилть угол между плоскостями, в которых лежат
эллипс и окружность. 507 Направляющей
круглого цилиндра является окружность радиуса
R=8. Определить полуоси эллипса, полученного в
сечении этого цилиндра плоскостью, наклоненной к
его оси под уголом =30⁰. 508 Направляющей
круглого цилиндра является окружность радиуса R=. Определить, под каким углом к оси
цилиндра нужно его пересечь плоскостью, чтобы в
сечении получить эллипс с большой полуосью a=2. 509 Равномерным
сжатием (или равномерным растяжением) плоскости
к оси абсцисс называется такое преобразование
точек плоскости, при котором произвольная точка
M(x; y) перемещается в точку M’(x’; y’) (рис.1 ) так, что
x’=x, y’=qy, где q>0 – постоянная, называемая
коэффициентом равномерного сжатия. Аналогично
рпи помощи уравнения x’=qx, y’=y определяется
равномерное сжатия плоскости к оси Oy (рис. 2).
Определить, в какую линию преобразуется
окружность , если коэффициент
равномерного сжатия плоскости к оси абсцисс q=4/5.

510 Коэффициент
равномерного сжатия плоскости к оси Oy равен 3/4.
Определить уравнение линии, в которую при таком
сжатии преобразуется эллипс . 511 Найти уравнение
линии, в которую преобразуется эллипс при двух последовательных
равномерных сжатиях плоскости к координатным
осям, если коэффициенты равномерного сжатия
плоскости к осям Ox и Oy равны соответственно 4/3 и
6/7. 512 Определить
коэффициент q равномерного сжатия плоскости к
оси Ox, при котором эллипс преобразуется
в эллипс . 513 Определить
коэффициент q равномерного сжатия плоскости к
оси Oy, при котором эллипс преобразуется
в эллипс . 514 Определить
коэффициенты q₁, q₂ двух последовательных равномерных
сжатий плоскости к осям Ox и Oy, при которых
эллипс преобразуется в окружность .