Как найти предел экспоненты

Вычисление пределов степенно-показательных функций

Пусть функции

и

заданы на множестве

и функция

на нем положительна. Функция

называется степенно
— показательной
.

Предположим, что

– точка сгущения множества

и существуют конечные пределы

,
,

где
.
Нужно найти

.

Воспользовавшись
тождествами
,
запишем исходное выражение в виде

.

В силу теоремы 6.1
получим

.

При заданных
значениях пределов будем иметь

.

Из проведенного
рассуждения видно, что предположение
о существовании конечных пределов

и

можно отбросить. Действительно, для
нахождения предела выражения

достаточно знать предел произведения

(конечный или бесконечный).

1) Пусть
.
Тогда
.

2) Если
,
то
.

3) Если
,
то
.

Заметим, что
произведение

может оказаться неопределенностью типа
.
Тогда и исходное выражение

представляет собой неопределенность.
Перечислим возникающие здесь
неопределенности.

1) Если
,
то вычисление предела

приводит к неопределенности типа
.

2) Если
,
то вычисление предела

приводит к неопределенности типа
.

3) Если
,
то вычисление предела

приводит к неопределенности типа
.

Во всех указанных
случаях (,

,

)
можно раскрыть неопределенность

в показателе степени, преобразуя ее к
типу

и используя соответствующие эквивалентные
бесконечно малые.

Замечание 8.3.
Приведенные выше рассуждения справедливы
и для вычисления предела степенно-показательной
функции в бесконечно удаленной точке:
.

Пример 8.2.
Вычислить
.

Решение.
Здесь
,
,
поэтому имеем неопределенность типа
.
Преобразуем выражение под знаком
предела:

.

В показателе
степени имеем неопределенность типа
.
Заменой

при

на эквивалентную бесконечно малую

раскрываем ее:

.

Таким образом,

.

Замечание 8.4.
Аналогично доказывается равенство
.

Пределы

,

образуют две формы
одного и того же равенства, которое
также является замечательным
пределом

и часто служат определением числа
.

Задачи к §8

Задача
1.
Вычислить
.

Решение.
Здесь имеем
неопределенность типа
.
Преобразуем числитель дроби к форме
произведения:

.

Затем
заменим бесконечно малую в точке

функцию

эквивалентной бесконечно малой
.

Тогда
получим

.

Ответ:
.

Задача
2.
Вычислить
.

Решение.
Здесь возникает неопределенность типа
.
Преобразуем знаменатель, воспользовавшись
свойствами логарифмической функции, и
выделим в аргументе логарифма слагаемое,
равное 1:

.

Заменим
бесконечно малую в точке

функцию

эквивалентной бесконечно малой
.
Числитель разложим на множители:

.

Тогда
получим:

.

Ответ:
.

Задача
3.
Вычислить
.

Решение.
Здесь возникает неопределенность типа
.
Представим числитель в виде:

.

Затем
заменим его эквивалентной бесконечно
малой в точке

функцией
.

Функцию

в точке

тоже заменим на эквивалентную бесконечно
малую
.

Тогда

.

Ответ:
.

Задача
4.
Вычислить

.

Решение.
Здесь возникает неопределенность типа
.
Представим числитель в виде:

.

Затем
заменим его эквивалентной бесконечно
малой в точке

функцией
.

Преобразуем
знаменатель:

и
заменим его на эквивалентную бесконечно
малую
.
Тогда получим

.

Ответ:
.

Задача
5.
Вычислить
.

Решение.
Здесь возникает неопределенность типа
.
Числитель

можно заменить эквивалентной бесконечно
малой
.

Чтобы
воспользоваться соотношением (8.4),
преобразуем знаменатель:

и
заменим его эквивалентной бесконечно
малой
.

Тогда

.

Ответ:

.

Задача
6.
Вычислить
.

Решение.
Здесь имеем неопределенность типа
.
Чтобы применить к выражению

соотношение (8.3), представим его в виде:

,

и
заменим бесконечно малую функцию

эквивалентной бесконечно малой
.
Знаменатель же представим в виде:

и,
используя соотношения (8.2) и (8.8), заменим
его эквивалентной бесконечно малой
.
Учитывая проведенные выкладки и
соотношение (8.4), получим:

.

Ответ:

.

Задача
7.
Вычислить
.

Решение.
Здесь имеем неопределенность типа
.
Используя ряд приемов, примененных в
задачах 1–7, получим

.

Ответ:

.

Задача
8.
Вычислить
.

Решение.
Здесь имеем неопределенность типа
.
Используя ряд приемов, примененных в
задачах 1–7 и формулы приведения для
тригонометрических функций, получим

.

Ответ:

.

Задача
9.
Вычислить
.

Решение.
Здесь имеем неопределенность типа
.
Чтобы применить к числителю соотношение
(8.2), преобразуем его следующим образом:

.

Теперь
числитель согласно соотношению (8.2)
можно заменить эквивалентной бесконечно
малой
.

Преобразуем
знаменатель

.

Заменяем,
используя соотношение (8.1),

эквивалентной бесконечно малой
.

Тогда

.

Ответ:

.

Задача
10.
Вычислить
.

Решение.
Здесь имеем неопределенность типа
.
Используя приемы, описанные выше, получим

.

.

Ответ:
.

Задача
11.
Вычислить
.

Решение.
Здесь имеем неопределенность типа
.
Используя теоремы 6.2 и 6.1, получим

.

Получили
неопределенность типа
.
Преобразуем выражение с помощью формул
приведения, затем переходим к эквивалентным
бесконечно малым. В итоге получим

.

Ответ:
.

Задача
12.
Вычислить
.

Решение.
Здесь имеем неопределенность типа
.
Выделим

в основании степени:

.

Заметим,
что

при
.

Справедлива
цепочка равенств

.

Заменяя
логарифм эквивалентной бесконечно
малой согласно соотношению (8.2) и используя
замечание 6.4 для раскрытия неопределенности,
получим


.

Ответ:
.

Задача
13
4.
Вычислить
.

Решение.
Здесь имеем неопределенность типа
.
Введем переменную
.
Если
,
то
.

.

Выделим

в основании степени:

,

тогда

.

Заметим,
что

при
.
Заменим функцию

эквивалентной бесконечно малой
,
будем иметь

.

Используя
теорему 7.3, окончательно получим

.

Ответ:
.

Задача
14.
Вычислить
.

Решение.
Здесь возникает неопределенность типа
.
Поскольку

,

вычислим
сначала
.
Мы имеем дело с неопределенностью типа
.

Воспользовавшись
последовательно соотношениями (8.2) и
(8.1), будем иметь

.

Ответ:
.

Задача
15.
Вычислить
.

Решение.
Здесь возникает неопределенность типа
.
Воспользуемся формулой

.

Вычислим
предел, стоящий в показателе степени.
Для этого требуется раскрыть
неопределенность типа
.
Преобразуем ее в неопределенность типа

и воспользуемся эквивалентностью
бесконечно малых:

.

Ответ:
.

Задача
16.
Вычислить
.

Решение.
Здесь возникает неопределенность типа

.
Преобразуем исходное предельное
выражение

.

Вычислим
предел, стоящий в показателе степени.

.

Ответ:
.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Продолжаем разбирать ответы к пределам функций и последовательностей. Примеров накопилось настолько много, что можно написать отдельную книгу — методичку по их вычислению.
В каждой публикации разжевываем методику вычислений до элементарных мелочей, при таких объяснениях каждый студент может без проблем решить подобные примеры.
Однако дальше от студентов поступают новые заказы с просьбой найти предел.
Порой нужно помочь с простыми функциями, что составляет впечатление что студенты имеют худшую подготовку, чем ученики в 11 классе, которые изучают эту тему.

Пример 11. Вычислить предел последовательности:

Решение: Подстановка большого номера в последовательность дает особенность вида бесконечность разделить на бесконечность. Для ее раскрытия в числителе и знаменателе дроби выделяем слагаемое, что вносит наибольший вклад. В скобках останутся константы + слагаемые, которые стремятся к нулю.
вычисление предела последовательности, ∞-∞
На общий множитель упрощаем, а константы дают значение предела последовательности.

Пример 12. Найти предел последовательности:

Решение: В предельном переходе имеем неопределенность вида бесконечность минус бесконечность. Функция представлена разницей корней. Чтобы избавиться от неопределенности, умножим и поделим разницу на сумму корней (сопряженное выражение). В результате придем к неопределенности бесконечность разделить на бесконечность. Чтобы ее раскрыть выносим множитель, что вносит наибольший вклад из числителя и знаменателя и сокращаем на него. Все что останется и будет пределом последовательности
предел последовательности, ∞-∞

Пример 13. Найти предел функции

Решение: При переменной стремящейся к нулю имеем неопределенность {0/0}. Для ее раскрытия разницу корней умножим и разделим на сопряженное выражение, чтобы в числителе образовать разность квадратов. В знаменателе имеем полином, который содержит особенность, поэтому разложим его на простые множители. После упрощений получим зависимость, предел которой легко находим методом подстановки
раскритие предела

Пример 14. Вычислить предел

Решение: Переменная стремится к нулю, а функция задана долей синуса и тангенса в квадрате. В таких случаях нужно преобразовать выражение, чтобы в нем можно было легко выделить первый замечательный предел и его следствие. Для компенсации изменений в числитель и знаменатель записываем соответствующие константы. Далее переходим к произведению известных границ, вклад от каждой из которых равен единице.
первый замечательный предел

Пример 15. Определить предел функции

Решение: При переменной стремящейся к нулю получим неопределенность вида единица в степени бесконечность. Для ее раскрытия выразим в степени множитель, который обратно пропорционален sin(4x).
Таким образом получим второй замечательный предел – экспоненту, а все что останется в показателе, даст степень экспоненты. Но здесь имеем долю sin(4x)/tan(3x), поэтому переходим к лимиту в показателе, а сам показатель сводим к первому замечательному пределу его следствии.
вторая граница
Из последнего «лимита» можно вывести простую формулу, которая может быть рассмотрена как следствие первого замечательного предела. Лимит доли тангенса к синусу (или наоборот) ровен доле их аргументов.
предел функций, первый замечательный предел

Пример 16. Найти предел последовательности:

Решение: Для раскрытия особенности вида бесконечность разделить на бесконечность необходимо три раза применить правило Лопиталя. Другая схема заключается в вынесении из числителя и знаменателя наибольшего множителя, и сокращении на него. В результате останутся константы и бесконечно малые функции. Последние стремятся к нулю, поэтому лимит последовательности равен
вычисление предела последовательности

Пример 17. Вычислить предел последовательности:

Решение: Таких лимитов в предыдущих публикациях вычислено немало и суть раскрытия подобных неопределенностей заключается в умножении на сопряженное выражение – сумму корней. На это же выражение следует разделить функцию, чтобы не изменить значение лимита. В результате в числителе дроби получим разность квадратов и таким образом избавляемся от иррациональности, а предел выражения получим через оценку максимальных множителей.
предел последовательности, раскритие ∞-∞

Пример 18. Определить лимит функции

Решение: Когда переменная стремится к 3 имеем неопределенность вида {0/0}. Для раскрытия неопределенности в знаменателе дроби избавляемся от иррациональности умножением на сопряженное выражение, а в числителе полином раскладываем на простые множители. В результате и тат и там получаем выражение (х-3), на которое упрощаем.
предел функции, 0/0
Лимит функции, что осталась, вычисляем методом подстановки.

Пример 19. Найти предел функции

Решение: Предел функции в нуле дает особенность {0/0}. Ее не так просто раскрывать, как предыдущие.
Здесь следует свести выражение к первому и второму замечательному пределу и их следствиям.
Ln(1+x)/x в предельном переходе даст единицу, так же как и tan(x)/x и sin(x)/x.
Число 4/25 и будет лимитом функции.
предел функции, 0/0

Пример 20. Найти лимит

Решение: Предел функции в точке имеет неопределенность вида единица в степени бесконечность. Для ее раскрытия нужно преобразовать функцию под второй замечательный предел. Для этого и в скобках, и в показателе выделяем множитель, что вносит особенность (x-3) и делаем замену переменных t=x-3.
Далее переходим к экспоненте, и определяем лимит показательной функции.
вичисление предела функции

Как Вы могли убедиться, задания на пределы не самые сложные в высшей математике.
Нужно знать не так много правил, чтобы без труда находить правильный ответ.

Пределы со степенями: показательная, степенная и показательно-степенная функции

Пределы со степенями бывают различных видов в зависимости от положения неизвестной $x$ в пределе. Рассмотрим примеры решений для следующих ситуаций:

  1. Показательная функция
    $$limlimits_{xto a} a^{f(x)} = a^{limlimits_{xto a} f(x)} $$
  2. Степенная функция
    $$ limlimits_{xto a} (f(x))^a = bigg(limlimits_{xto a} f(x) bigg)^a $$
  3. Показательно-степенная функция
    $$limlimits_{xto a} bigg(f(x)bigg)^{g(x)} = limlimits_{xto a} frac{ln(f(x))}{frac{1}{g(x)}} $$
Пример 1
Найти предел показательной функции $limlimits_{xto 2} 2^{frac{x^2-4}{x-2}}$
Решение

Подставив точку $x=2$ в предел получим неопределенность $2^{big(frac{0}{0}big)}$. Итак, перенесем знак предела в показатель и попробуем его вычислить путем разложения числителя по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

$$limlimits_{xto 2} 2^{frac{x^2-4}{x-2}} = 2^{limlimits_{xto 2} frac{(x-2)(x+2)}{x-2}} = $$

Сокращаем числитель со знаменателем на $x-2$ и вычисляем предел степени.

$$ =2^{limlimits_{xto 2} (x+2)} = 2^{2+2} = 2^4 = 16 $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$limlimits_{xto 2} 2^{frac{x^2-4}{x-2}} = 16$$
Пример 2
Решить предел степенной функции $limlimits_{xto 0} bigg(frac{sin x^2}{1-cos x}bigg)^3$
Решение

Внесем знак предела внутрь скобок, а степень останется при этом снаружи.

$$limlimits_{xto 0} bigg(frac{sin x^2}{1-cos x}bigg)^3 = bigg(limlimits_{xto 0} frac{sin x^2}{1-cos x}bigg)^3 = $$

При подстановке точки $x=0$ в предел получаем неопределенность $frac{0}{0}$. Для её устранения воспользуемся таблицей эквивалентностей пределов.

$$sin x^2 sim x^2$$ $$ 1-cos x sim frac{x^2}{2}$$

Подставляем эквивалентные функции в предел и сокращаем $x$.

$$ = bigg(limlimits_{xto 0} frac{x^2}{frac{x^2}{2}}bigg)^3 = bigg(limlimits_{xto 0} frac{2x^2}{x^2} bigg)^3 = 2^3 = 8$$

Ответ
$$limlimits_{xto 0} bigg(frac{sin x^2}{1-cos x}bigg)^3 = 8$$
Пример 3
Вычислить предел показательно-степенной функции $limlimits_{xto 0} (tg x)^{sin x} $
Решение

Если подставим $x=0$, то получим предел ноль в степени ноль $(0^0)$. Превратим это в другую неопределенность $(frac{infty}{infty})$ с помощью третьей формулы.

$$limlimits_{xto 0} (tg x)^{sin x} = limlimits_{xto 0} frac{ln (tg ;x)}{frac{1}{sin x}} = frac{infty}{infty} = $$

Используем правило Лопиталя для продолжения решения. По нему, как известно, предел отношения функций равен пределу отношения производных от этих функций.

$$ = limlimits_{xto 0} frac{(ln (tg ;x))’}{(frac{1}{sin x})’} = limlimits_{xto 0} frac{frac{frac{1}{cos^2 x}}{tg ;x}}{-frac{cos x}{sin^2 x}} = $$

Преобразуем числитель в нормальный вид с помощью формулы $tg ; x = frac{sin x}{cos x}$ и выполняем все необходимые сокращения.

$$ = limlimits_{xto 0} frac{frac{1}{sin x cos x}}{-frac{cos x}{sin^2 x}} = -limlimits_{xto 0} frac{sin x}{cos^2 x} = $$

Теперь подставляя точку $x=0$ возможно получить окончательный ответ.

$$ = — frac{sin 0}{cos^2 x} = -frac{0}{1} = 0 $$

Ответ
$$limlimits_{xto 0} (tg x)^{sin x} = 0$$

  Рассмотрим два следствия из 2-го замечательного предела, с помощью которых можно найти предел показательной функции, в том числе, предел экспоненты.

    [I.mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{{e^x} - 1}}{x} = 1]

    [II.mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{{a^x} - 1}}{x} = ln a.]

Эти формулы можно применять и для случаев, когда на месте x стоит f(x), при условии, что при x→0, f(x)→0:

    [(Ia).mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{{e^{f(x)}} - 1}}{{f(x)}} = 1,f(x) to 0,]

    [(IIa).mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{{a^{f(x)}} - 1}}{{f(x)}} = ln a,f(x) to 0.]

Проиллюстрируем, как найти предел показательной функции, в частности, предел экспоненты, на примерах.

Найти предел функции:

    [1)mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{{e^{ - 2x}} - 1}}{{3x}} = left[ {frac{0}{0}} right] = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{frac{{{e^{ - 2x}} - 1}}{{ - 2x}} cdot ( - 2x)}}{{3x}} = ]

 Сокращаем дробь на x. Получаем в числителе выражение вида (Ia), а значит, можем применить это следствие из 2-го замечательного предела:

    [ = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{frac{{{e^{ - 2x}} - 1}}{{ - 2x}} cdot ( - 2)}}{3} = frac{{1 cdot ( - 2)}}{3} =  - frac{2}{3}.]

    [2)mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{{e^{3x}} - {a^{7x}}}}{{5x}} = left[ {frac{0}{0}} right] = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{({e^{3x}} - 1) - ({a^{7x}} - 1)}}{{5x}} = ]

Здесь мы вычли и прибавили единицу, поэтому в итоге значение выражения, стоящего в числителе, не изменилось.

    [ = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{frac{{{e^{3x}} - 1}}{{3x}} cdot 3x - frac{{{a^{7x}} - 1}}{{7x}} cdot 7x}}{{5x}} = ]

Выносим общий множитель x за скобки и сокращаем на него: 

    [ = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{x(frac{{{e^{3x}} - 1}}{{3x}} cdot 3 - frac{{{a^{7x}} - 1}}{{7x}} cdot 7)}}{{5x}} = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{frac{{{e^{3x}} - 1}}{{3x}} cdot 3 - frac{{{a^{7x}} - 1}}{{7x}} cdot 7}}{5} = ]

В числителе получили выражения вида (Ia) и (IIа)

    [ = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{1 cdot 3 - ln 7 cdot 7}}{5} = frac{{3 - 7ln 7}}{5}.]

    [3)mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{{e^{10x}} - 1}}{{sin 11x}} = left[ {frac{0}{0}} right] = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{frac{{{e^{10x}} - 1}}{{10x}} cdot 10x}}{{frac{{sin 11x}}{{11x}} cdot 11x}} = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{frac{{{e^{10x}} - 1}}{{10x}} cdot 10}}{{frac{{sin 11x}}{{11x}} cdot 11}} = ]

В числителе — выражение вида (Ia), в знаменателе — 1й замечательный предел:

    [ = frac{{1 cdot 10}}{{1 cdot 11}} = frac{{10}}{{11}}.]

Содержание:

Замечательные пределы

Сравнение бесконечно малых функций

Признак существования предела (теорема о 2-х милиционерах)

Теорема: Если значения функции Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

значениями функций Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим геометрический смысл данной теоремы (Рис. 62). Из рисунка видно, что в случае, когда функции Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения стягиваются к прямой у=А, то они “вынуждают” функцию Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения также приближаться к той же самой прямой (“куда идут два милиционера, ведущие арестованного, туда идет и сам арестованный”). Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Рис. 62. Иллюстрация теоремы о “2-х милиционерах”.

Доказательство: Пусть Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения — точка сгущения для функций Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения в общей области определения. Это означает, что в некоторой Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения-окрестности точки Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решениявыполняется неравенство Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения В Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения-окрестности точки Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения выполняется неравенство Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения Так как значения функции Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения заключены между значениями функций Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения то в некоторой Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения-окрестности точки Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения меньшей из Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения-окрестностей будет выполняться неравенство Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения Отсюда следует, что выполняется неравенство Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения или Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Первый замечательный предел

Определение: Предел отношения синуса какого-либо аргумента к этому аргументу при стремлении аргумента к нулю равен единице, т.е. Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения и называется первым замечательным пределом.

Пример:

Пределы являются первыми замечательными пределами Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство: Для вывода этой формулы построим окружность с центром в точке О(0; 0) и радиусом R = 1. Выберем угол Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решенияв первой координатной четверти и сравним площади трех фигур: треугольник АОВ, сектор АОВ и треугольник AOD (Рис. 63): Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Рис. 63. Иллюстрация вывода формулы первого замечательного предела.

Из рисунка видно, что площади указанных фигу р связаны соотношением:

Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Вычислим эти площади Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, вышеприведенное неравенство приводится к виду Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения В силу того, что Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения получаем Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения Разделим полученное неравенство на Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения знак всех неравенств не изменится: Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения Переходя к обратным неравенствам, Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения или в силу того, что Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения то по теореме о 2-х милиционерах Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Аналогично проводится доказательство для любого значения угла Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, наличие в пределе, сводящемся к неопределенности Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения тригонометрических функции может указывать на первый замечательный предел.

При вычислении первого замечательного предела используют следующие формулы:

Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения а также следующие таблицы:

Табл. 1. Значения синуса и косинуса на интервале Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решенияЗамечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Табл. 2. Формулы приведения.

Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

При подстановке предельной величины переменной х имеем неопределенность Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения Воспользуемся формулой Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения и преобразуем данный предел следующим образом: Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

При подстановке предельного значения переменной х имеем неопределённость Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения Воспользуемся формулой Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения тогда данный предел равен:Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

При подстановке предельного значения переменной х имеем неопределённость Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения Введём замену Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения (при Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения) и воспользуемся следующей формулой Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения Предел преобразуется к виду:

Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

При подстановке предельного значения переменной х имеем неопределённость Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения Воспользуемся формулами Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решенияЗамечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения получим: Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Число e и натуральные логарифмы. Второй замечательный предел

Рассмотрим логарифмическую функцию Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения Выбирая различные значения основания, будем вычислять тангенсы угла наклона касательной к графику этой функции в точке Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения(см. график логарифмической функции в Лекции № 22).

Определение: Натуральным логарифмом называется логарифм, для которого основание выбрано так, чтобы тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс (Ох) был равен 1.

Основанием натурального логарифма является число Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения Это число трансцедентное, т.е. не является решением ни одного алгебраического уравнения. Установим связь между натуральными Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения и десятичными Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения логарифмами: Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Определение: Вторым замечательным пределом называется предельное равенствоЗамечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения (первая форма)

или

Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения(вторая форма).

Замечание: Первая форма второго замечательного предела переходит во вторую с помощью замены Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения с учетом теоремы о связи бесконечно большой функции с бесконечно малой функцией.

Замечание: Наличие неопределенности Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения указывает на второй замечательный предел, т.е. если пределы функций Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения что указывает на второй замечательный предел.

Пример:

Найти Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

При подстановке предельного значения переменной х не имеем неопределенности Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения — не второй замечательный предел.

Пример:

Найти lim Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

При подстановке предельного значения переменной х имеем неопределенность Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения Проведём преобразование подлимитной функции: Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения( — первая форма второго замечательного предела, преобразуем данное выражение под вид второго замечательного предела) Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения (роль функции Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения играет выражение Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения возведем круглую скобку в эту степень, а за квадратной скобкой возведем в обратную степень для тождественности проводимых преобразований, получим) =

Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения = (выражение в квадратных скобках стремится к числу е, а показатель степени — к числу -4/5 (см. раскрытие неопределённости Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения для полиномов примере из пункта Вычисление пределов и раскрытие неопределенностей поэтому окончательный ответ имеет вид)= Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

При подстановке предельного значения переменной х имеем неопределенность Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения Проведём преобразование подлимитной функции:

Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения (вторая форма второго замечательного предела, преобразуем данное выражение под вид второго замечательного предела)= Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения = (роль функции Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения играет выражение (2-2х))= Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения=(выражение в квадратных скобках стремится к числу е, а показатель степени — к числу -2 (подставить в показатель степени вместо переменной х ее предельное значение 1), поэтому окончательный ответ имеет вид) Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

  • Заказать решение задач по высшей математике

Сравнение бесконечно малых функций

Сравнить две бесконечно малые функции Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения и Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения означает вычислить предел Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Определение: Если предел К не существует, то бесконечно малые функции Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения и Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решенияназываются несравнимыми.

Пример:

ПустьЗамечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения — две бесконечно малые функции при Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения Доказать, что эти бесконечно малые функции несравнимые.

Решение:

Для доказательства вычислим предел Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения -данный предел не существует, так как нельзя указать предельное значение для подлимитной функции cosx на бесконечности.

Определение: Если предел К равен нулю, то бесконечно малая функция Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения называется бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малая функция Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Пусть Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения — две бесконечно малые функции при Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения Доказать, что бесконечно малая функция Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малая функция Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Для доказательства вычислим предел Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, бесконечно малая функция Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малая функция Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решенияпри Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Определение: Если предел К равен Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения то бесконечно малая функция Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения называется бесконечно малой функцией более низкого порядка малости, чем бесконечно малая функция Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Пусть Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения — две бесконечно малые функции при Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения Доказать, что бесконечно малая функция Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения является бесконечно малой функцией более низкого порядка малости, чем бесконечно малая функция Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Для доказательства вычислим предел Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, бесконечно малая функция Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения является бесконечно малой функцией более низкого порядка малости, чем бесконечно малая функция Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Определение: Если предел К равен конечному числу Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения то бесконечно малые функции Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения называются бесконечно малыми функциями одного порядка малости.

Пример:

Пусть Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения — две бесконечно малые функции при Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения Доказать, что бесконечно малые функции Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения являются бесконечно малыми функциями одного порядка малости.

Решение:

Для доказательства вычислим предел Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, бесконечно малые функции Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения являются бесконечно малыми функциями одного порядка малости при Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Определение: Если предел К равен 1, то бесконечно малые функции а(х) и Д(х) называются эквивалентными.

Пример:

Пусть Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения — две бесконечно малые функции при Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения Доказать, что бесконечно малые функции Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения являются эквивалентными.

Решение:

Вычислим предел Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, бесконечно малые функции Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения являются эквивалентными при Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения Рассмотрим признак эквивалентности бесконечно малых функций.

Теорема: Для того чтобы бесконечно малые функции Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы разность бесконечно малых функций Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения была бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малые функции Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения.

Доказательство:

1. Необходимость. Пусть бесконечно малая функция Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решенияЗамечательные пределы - определение и вычисление с примерами решенияявляется бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малые функции Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения т.е. пределы Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения Докажем, что бесконечно малые функции Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения эквивалентны. Преобразуем первый из этих пределов: Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения Отсюда следует, что Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения т.е. бесконечно малые функции Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения эквивалентны. Аналогично преобразуется второй пре- дел.

2. Достаточность. Пусть бесконечно малые функции Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения являются эквивалентными, т.е. Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения Докажем, что разность двух бесконечно малых функций Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малые функции Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения Преобразуем данный предел следующим образом: Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения Отсюда следует, что функция Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малые функции Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения Аналогично доказывается, что функция Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малые функции Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Замечание: При вычислениях одна бесконечно малая функция может быть заменена на эквивалентную бесконечно малую функцию. Например, функции Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения эквивалентны функции х при Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

—вышмат

Замечательные пределы

Первый замечательный предел

Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице:

Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения Следовательно,

Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Пример №25

Найти Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Применим первый замечательный предел:Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Второй замечательный предел

Числом е называется предел функции

Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

(Для запоминания: 2<е<3; 1828 — год рождения Л.Н. Толстого) Следовательно, Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Задача о непрерывном начислении процентов

Первоначальный вклад в банк составил Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения годовых. Необходимо найти размер вклада Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения через t лет.

Решение:

Размер вклада будет увеличиваться ежегодно вЗамечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения раз и

через t лет составит Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения Если же начислять проценты n раз в году,

то будущая сумма составит Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения Предположим, что проценты по вкладу начисляются каждое полугодие (n=2), ежеквартально (n=4), ежемесячно (n=12), каждый день (n=365), каждый час (n=8760) и, наконец, непрерывно (nЗамечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения). Тогда за год размер вклада составит:Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

а за t лет: Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Пример №26

Найти Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Т.к. Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения имеем неопределенность вида Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения Для ее раскрытия воспользуемся вторым замечательным пределом, выделив предварительно у дроби целую часть:

Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Пример №27

Найти Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Преобразуя выражение и используя непрерывность показательно-степенной функции, получим:

Замечательные пределы - определение и вычисление с примерами решения

  • Непрерывность функций и точки разрыва
  • Точки разрыва и их классификация
  • Дифференциальное исчисление
  • Исследование функций с помощью производных
  • Скалярное произведение и его свойства
  • Векторное и смешанное произведения векторов
  • Преобразования декартовой системы координат
  • Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти свой профиль в instagram
  • Как найти раздачу по торрент файлу
  • Как найти мертвого человека по фамилии имени
  • Как составить программу по питьевой воде
  • Как составить квитанцию по оплате налога в налоговую