Как найти предел функции формулы

Предел постоянной величины равен постоянной величине:

limxacc

(c — константа)

Предел суммы равен сумме пределов:

limxafxgxlimxafxlimxagx

Предел разности равен разности пределов:

limxafxgxlimxafxlimxagx

Предел произведения равен произведению пределов:

limxafxgxlimxafxlimxagx

Предел отношения равен отношению пределов:

limxafxgxlimxafxlimxagx

при условии, что
limxagx0

Предел функции в степени:

(m — натуральное число)

Предел функции под корнем:

limxamfxmlimxafx

(m — натуральное число)

Основные пределы:

Первый замечательный предел:

limx0sinxx1

(x — угол в радианах)

Второй замечательный предел:

limx∞11xxe

Другие полезные формулы пределов:

Бесконечно малые

Эквивалентность бесконечно малых:

При
x → 0
, следующие функции эквивалентны:

x ~
sin(x) ~
arcsin(x) ~
tg(x) ~
arctg(x) ~
ln(1+x)

При нахождении предела отношения двух бесконечно малых, их можно заменять на эквивалентные:

limx0ln1xxlimx0xx1

limx0sinxxlimx0xx1

limx0sinxx2x42xx3sinxx2x4x2xx32xlimx0x2x12

Для
вычисления пределов
Вы можете воспользоваться нашим онлайн калькулятором.

Теория пределов – раздел математического анализа. Наряду с системами линейных уравнений и диффурами пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.

В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Понятие предела в математике

Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции , так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала — самое общее определение предела:

Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a, то a – предел этой величины.

Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A, к которому стремится функция при х, стремящемся к определенной точке а. Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Звучит громоздко, но записывается очень просто:

Lim — от английского limit — предел.

Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.

Приведем конкретный пример. Задача — найти предел.

Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:

Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами, читайте отдельную статью на эту тему.

В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:

Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.

Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х. Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность. Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!

Неопределенности в пределах

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность

Пусть есть предел:

Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?

Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:

Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Еще один вид неопределенностей: 0/0

В таких случаях рекомендуется раскладывать числитель и знаменатель на множители. Но давайте посмотрим на конкретный пример. Нужно вычислить предел:

Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:

Сократим и получим:

Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.

Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:

Правило Лопиталя в пределах

Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?

Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.

Наглядно правило Лопиталя выглядит так:

Важный момент: предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.

А теперь – реальный пример:

Налицо типичная неопределенность 0/0. Возьмем производные от числителя и знаменателя:

Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.

Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос «как решать пределы в высшей математике». Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.

Содержание:

Предел функции в точке

Понятие предела является одним из фундаментальных понятий в математике. Чтобы представить понятие предела, рассмотрим следующие примеры.

Площадь круга

Великий ученый и философ Архимед для нахождения площади круга использовал площади вписанных в круг и описанных около круга правильных многоугольников. Площадь квадрата, вписанного в круг, намного меньше площади круга, однако площадь восьмиугольника уже не так отличается от площади круга. Если внутри круга изобразить правильные 16-ти угольник, 32-х угольник и т.д., то их площади еще больше приближаются к площади круга. При увеличении количества сторон вписанного правильного многоугольника площадь будет стремиться к площади круга.

При увеличении количества сторон правильного многоугольника, описанного около круга, разница между площадью многоугольника и площадью круга также уменьшается.

Данный подход, предложенный Архимедом, на самом деле составляет основную концепцию предела.

2. ый член последовательности

можно найти по формуле

С возрастанием числа в знаменателе, каждый следующий член становится меньше предыдущего. Сделайте прикидку, к какому значению стремится если неограниченно возрастает!

Исследование. Участок прямоугольной формы необходимо оградить проволокой, длина которой равна 24 м. Какие размеры нужно выбрать для этого участка, чтобы он имел наибольшую площадь?

Решение: обозначим длину прямоугольника через а ширину через Тогда периметр прямоугольника будет равен По условию Отсюда Используем последнее в формуле для нахождения площади Тогда зависимость площади от ширины можно записать как или

Составим таблицу значений площади для значений ширины которые как справа, так и слева стремятся к 6.

Значит, при стремлении значений как справа, гак и слева к 6 значения приближаются к 36. Также это стремление не зависит от того, как значения стремятся к 6. В этом случае число 36 называется пределом функции при стремлении переменной к 6 и это записывается так:

При стремлении значений переменной к 6 предел функции равен 36.

Здесь запись означает, что расположено сколь угодно близко к 6, однако это не означает, что равно 6. Как видно из таблицы, числа при стремлении слева меньше 6, а при стремлении справа числа больше 6.

Записав в виде можно увидеть, что при стремлении величины к 0 значения стремятся к 36.

Интервал называется окрестностью точки Можно выбрать так, что для любых из данной окрестности, расстояние станет меньше любого положительного числа. Значит, разность можно сделать сколь угодно близкой к 0.

Пусть функция определена в какой-либо окрестности точки (кроме может быть, этой точки). Если при стремлении разности к нулю разность также стремится к нулю, то число называется пределом функции в точке и это записывает так:

Определение. Пусть для произвольного числа можно найти число такое что для всех х удовлетворяющих соотношению выполняется неравенство Тогда число называется пределом функции в точке и записывается как

Это можно объяснить коротко геометрически.

На оси ординат для произвольного числа возьмем окрестность точки Через точки и проведем прямые, параллельные оси абсцисс. Получим полосу шириной Тогда всем функции в окрестности соответствуют значения из интервала расположенные в полосе по графику.

Пример 1. Используя определение предела, покажем справедливость следующего равенства

Решение: выберем произвольное число Для всех удовлетворяющих условию оценим величину

Возьмем тогда для всех удовлетворяющих условию имеет место А это, но определению, означает

Предел можно приблизительно оценить или определить различными методами.

• по таблице • по графику • аналитически

Нахождение значения предела функции по таблице значений и по графику

Пример 2. Задайте таблицу значений и найдите предел:

Решение: запишем в таблицу значения функции при некоторых значениях стремящихся слева и справа к 2.

По таблице видно, что при стремлении значений к 2, как справа, так и слева, значения приближаются к 4.

Построив график функции также можно увидеть, что при стремлении х как справа, гак и слева к 2, значения функции «сходятся» к 4. Значит, можно записать следующее:

Пример 3. Найдите Решение: функция не определена в точке и при Построим таблицу значений функции при стремлении слева и справа к числу 1.

Из таблицы видно, что при стремлении значений к 1 значения стремятся к 2. Убедится в этом можно, построив график соответствующей функции.

Внимание! В точке заданная функция не определена, однако в этой точке предел функции существует и он равен 2.

Обратите внимание на разницу двух понятий — предел функции и значение функции в заданной точке!

Пример 4. По графику функции найдите:

Решение: а) из графика видно, что при стремлении значений к 3 значение функции приближается к 2:

b) Значение функции в точке равно 1:

Существование предела. Односторонний предел

Для некоторых значений переменной приходится рассматривать стремление к а только с одной стороны (слева или справа).

Левый предел. Если значения оставаясь меньше стремятся к при этом разность стремится к нулю, то число называется пределом функции в точке слева и записывается как

Правый предел. Если значения оставаясь больше стремятся к при этом разность стремится к нулю, то число называется пределом функции в точке справа и записывается как

Если функция имеет правый и левый пределы и они равны, то функция в точке имеет предел и справедливо равенство

Для данного предположения верно и обратное.

Пример 5. Для функции

найдите предел слева и справа при

Решение:

предел слева:

Предел справа:

Так как левый и правый пределы не равны, то в точке для данной функции предела не существует.

Пример 6. Для функции

найдите предел слева и справа при

Решение: предел слева:

Предел справа:

значение функции:

В определении предела функции мы предположили, что числа и конечны. Однако, и (одно или оба) могут и не быть конечными числами.

Рассмотрим предел

Как видно по графику, при стремлении значений к нулю слева и справа значения функции бесконечно возрастают. Значит, выбирая достаточно маленькие значения можно достигнуть того, что функция будет иметь значения больше произвольного числа. Например,

при уменьшении значений значения функции неограниченно растут. Функция при бесконечно возрастающая. Это записывается гак:

Для пределов функции справедливы следующие утверждения.

Если функция имеет предел в точке то он единственный.

Предел постоянной величины. Для постоянной функции имеем

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине.

Пример.

Предел тождественной функции.

Для тождественной функции имеем

Пример.

При нахождении пределов функции используются следующие свойства. Если для действительных чисел имеются то:

1. Предел суммы:

Предел суммы двух функций равен сумме их пределов .

Пример.

2. Предел разности:

Предел разности двух функций равен разности их пределов.

Пример.

3. Предел произведения:

Предел произведения двух функций равен произведению их пределов.

В частном случае,

То есть постоянный множитель можно вынести за знак предела.

Пример.

4. Предел частного:

Предел частного двух функций равен частному их пределов, при условии, что предел знаменателя не равен нулю.

Пример.

5. Предел степени:

В частном случае,

Пример.

На основании данных утверждений можно сделать следующий вывод.

Предел многочлена и рациональной функции

Для произвольного многочлена имеем:

Для произвольных многочленов и при имеем

Пример.

Пример.

Как видно, если знаменатель рациональной функции при отличен от нуля, то можно применить все свойства, о которых говорилось ранее.

Можно показать, что при возможных значениях переменной имеет место:

Некоторые способы вычислении пределов

Нахождение предела рационального выражении, при помощи разложении числители и знаменатели на множители и сокращения.

При непосредственной подстановке получим неопределенность вида

В этом случае числитель и знаменатель рационального выражения раскладывают на множители и сокращают, а затем вычисляют предел эквивалентного выражения:

Нахождение пределов при помощи освобождении от радикала

Вычислите предел, освободив числитель от радикала

Применяются свойства пределов.

Прикладные задания

Пример. По теории относительности Эйнштейна длина движущегося тела относительно наблюдателя, находящегося в состоянии покоя, при возрастании скорости уменьшается. Если длина тела в состоянии покоя а при движении длина тела равна то между этими величинами существует зависимость . Что можно сказать о длине искусственного спутника, если его скорость будет стремиться к скорости света?

Решение: в этом случае мы должны вычислить предел

Значит, для наблюдателя, находящегося в состоянии покоя, длина спутника сравняется с нулем в случае, если скорость спутника сравняется со скоростью света.

Непрерывность функции

Непрерывность функции часто можно легко объяснить следующим образом. Если график какой-либо функции можно построить не отрывая карандаш от бумаги, то эта функция непрерывна. В противном случае, у графика есть точки разрыва (скачка) и данная функция является разрывной функцией. График разрывной функции невозможно изобразить, не отрывая карандаш от листа.

Непрерывность функции в точке

Для того, чтобы функция была непрерывной в точке, ее график не должен прерываться, т. е. график не должен иметь «скачков». График функций на рисунках прерывается или имеет «скачок» в точке Значит, эти функции в точке имеют разрыв. Рассмотрим данные случаи.

Как видно по графику, функция разрывная в точке в следующих случаях:

1. Функция не определена в точке однако определена в некоторой окрестности этой точки.

2. В точке функция не имеет предела.

3. Предел функции в точке существует, но не равен

Точка в которой функция прерывается, называется точкой разрыва.

Если функция не удовлетворяет ни одному из указанных выше условий, то ее можно назвать непрерывной в точке

Непрерывность функции в точке. Для того, чтобы функция была непрерывна в точке с должны выполняться три следующих условия:

1. Функция должна быть определена в точке

2. Должен существовать предел

3. Должно выполняться равенство

Пример. Исследуйте непрерывность следующих функций.

Решение: а) из графика функции видно,что при стремлении значений к 1 функция имеет предел и он равен 2:

Однако в точке функция не определена. Значит, в точке функция разрывна.

Отметим, что во всех точках кроме на всей действительной оси она

определена и непрерывна.

b)

Как видно из графика, при стремлении значений к 1 функция имеет предел, равный 1, в тоже время, при значение функции также равно 1.

Предел функции:

Значение функции:

При предел функции равен значению функции в точке Т. е. Значит, данная функция непрерывна в точке

Непрерывность функции на интервале

Определение. Функция называется непрерывной на интервале если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Непрерывность функции на отрезке

Определение. Функция называется непрерывной на отрезке если она определена на отрезке непрерывная на интервале и

Любая функция — многочлен непрерывна на всей числовой оси. Рациональная функция непрерывна во всех точках, кроме тех, которые обращают знаменатель в 0. Функции непрерывны на всей действительной оси, а функции непрерывны на области определения.

Для функции, непрерывной на отрезке, справедлива следующая теорема.

Теорема Вейерштрасса. Функция, непрерывная на отрезке, принимает в нем наименьшее и наибольшее значения.

Теорема Коши. Если функция непрерывна на отрезке и принимает на концах отрезка значения противоположных знаков, то хотя бы в одной точке из отрезка она принимает значение, равное нулю.

Следствие. Функция, непрерывная на отрезке, принимает все значения от наименьшего до наибольшего

Применяя эту теорему, можно решить следующий тип задач.

Пример 1. Существует ли такое действительное число, куб которого больше самого числа на 1?

Решение: искомое число равно т. е. должно удовлетворять уравнению Для решение задачи исследуем функцию Из графика функции, построенного с помощью граф-калькулятора, видно, что значения функции в точках и имеют разные знаки: Тогда, по теореме Коши, существует такое число что Это число с является корнем уравнения

Если какая-либо функция непрерывна на интервале (a; b), это не означает, что она непрерывна на отрезке

Пример 2. Исследуйте непрерывность функции

Решение: как видно из графика, при стремлении справа к 6 предел функции равен 1, при стремлении слева предел равен -1.

Т. е. в точке предела функции не существует. Данная функция разрывается в точке но на каждом из интервалов и она непрерывна. г х + 2 , х < О

Пример 3. Определите точки разрыва функции

Решение:

Линейная функция постоянная функция и функция-многочлен непрерывны для всех значений Значит, непрерывность может быть нарушена только в точках «перехода» , т. е. в точках и

Сначала исследуем непрерывность функции в точке

Значение функции

Функция определена в точке и

Существование предела

Для определения предела исследуем левый и правый пределы функции. При приближении к 0 слева значения меньше 0 и в этом случае

При приближении к 0 справа значения больше 0, и в этом случае Значит,

»0V .г—» 0* х—*0

Значение и предел функции в точке

Так как и то в точке функция непрерывна.

Замечательные пределы, содержащие тригонометрические функции

Пределы тригонометрических функций

число принадлежит области определения тригонометрической функции.

Примеры:

Первый замечательный предел

Функция имеет предел в точке и этот предел равен 1.

Учитывая, что — действительное число или радианная мера угла, но таблице можно установить, что для значений, удовлетворяющих условию значения функции стремятся к 1.

т. е. так как заданная функция четная, то для значений, удовлетворяющих условию имеем

По графику функции построенному при помощи графкалькулятора, также видно, что

Отметим, что предел не существует. По графику, построенному при помощи граф-калькулятора, видно, что функция нечетная и не имеет периода. При приближении значений к 0, значения функции изменяются между и

Пример 1. Найдите предел

Решение:

! Покажите, что Обозначьте тогда

Пример 2. Найдите предел

Решение: Выражение записывается в виде разности двух дробей.

Применяется свойство предела разности

Вычисляется предел

Пример 3. Покажите, что

Решение:

Числитель и знаменатель умножается на выражение

Упрощается

Учитывается, что

Выражение записывается в виде произведения двух выражений. Применяется свойство произведения

Учитываются значения

Бесконечные пределы

Пример. По графику функции на рисунке видно, что при приближении значений справа к 2 значения бесконечно растут. Т. е.

При приближении значений к 2 слева значения также бесконечно увеличиваются по абсолютному значению. Т. е.

Так как левый и правый пределы различны, то заданная функция не имеет предела в точке

Функция, график которой задан на рисунке, определена для всех значений на множестве действительных чисел, кроме числа в интервале, содержащем данное число и при имеем Этот предел записывается как

Аналогичным образом можно установить, что т. е. показывает на бесконечное изменение функции.

Бесконечное изменение функции можно записать при помощи следующих 6 пределов:

Если выполняется одно из следующих отношений:

Вертикальная асимптота.

то прямая является вертикальной асимптотой функции

Пример. По графику исследуйте левые и правые пределы в точке

Решение. Функция не имеет предела, однако

правый и левый пределы показывают изменение функции.

b) И правый и левый пределы функции

c) и Функция не имеет предела, однако и правый и левый пределы показывают изменение функции.

d) И правый и левый пределы функции

Прямая является вертикальной асимптотой этих функций

Если функции и являются непрерывными на данном интервале, и в точке с из этого интервала и при тогда прямая является вертикальной асимптотой функции

Предел функции на бесконечности. Горизонтальная асимптота

Рассмотрим еще раз по графику, как изменяются значения функции если значения изменяются (увеличиваются или уменьшаются) до бесконечности.

Как видно из графика функции при стремится к нулю. Запишем это:

Таким же образом, при стремится к нулю:

и прямая является горизонтальной асимптотой функции

Горизонтальная и вертикальна асимптоты

Если существуют пределы или то прямая является горизонтальной асимптотой функции

Определение: Если то при называется бесконечно малой.

Например, функция при бесконечно малая.

Если функция при бесконечно малая, то функция бесконечно

большая. Например, при функция бесконечно малая, а бесконечно большая.

Сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций бесконечно малая. В частности, при

Пример. Нахождение по графику.

Свойства пределов справедливы и для предела функции в бесконечности.

Пример. Найдите предел

Решение: разделим числитель и знаменатель дроби на и применим

Теорема. При функция ведет себя как старший член многочлена, т. е.

Аналогично, учитывая, что рациональная функция является отношением двух многочленов для предела рациональной функции имеем:

Здесь и

Пример.

Решение. Применим теорему к решению:

Прикладные задания

Рассмотрим как меняется функция при стремлении значений аргумента в бесконечность на следующем примере.

Пример. Нормальная концентрация кислорода в озерной воде равна 12 единицам. При сбросе в озеро отходов, в момент концентрация кислорода в озере изменяется. Зависимость изменения концентрации кислорода в озерной воде от времени выражается следующим образом:

Объясните как, со временем, изменяется концентрация кислорода? Сможет ли концентрация кислорода вновь стать равной 12 единицам?

Решение: по графику функции, построенном при помощи графкалькулятора, можно увидеть, что при увеличении до бесконечности значений значение функции приближается к 12, но концентрация равная 12 не наблюдается.

Описать данную ситуацию математически можно при помощи следующего предела

Здесь прямая является горизонтальной асимптотой.

Предел числовой последовательности

Запишем несколько первых членов последовательности, общий член которой задан формулой

Как видно, при возрастании значения членов последовательности уменьшаются и приближаются к 2.

На самом деле, и при возрастании абсолютное значение разности становится достаточно близким к 0.

Например, начиная с 11-го члена все последующие члены удовлетворяют отношению а с 101 члена — отношению Вообще, для произвольного числа можно найти такой номер что для всех выполняется неравенство Здесь число 2 является пределом этой последовательности.

Определение. Пусть для последовательности и для произвольного существует такой номер что для всех после заданного номера выполняется неравенство Тогда число называется пределом последовательности и это записывается как

Из определения ясно, что если число является пределом последовательности то для некоторого числа все члены после определенного номера расположены в окрестности и за пределами данной окрестности рас-положено конечное число членов. Это говорит о том, что при точки на координатной плоскости расположены в полосе Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся, а не имеющая конечного предела, расходящейся последовательностью.

Свойство. Если последовательность имеет предел, то он единственен.

Если то последовательность называется бесконечно малой.

Например, последовательность с ым членом (здесь

— какое -либо число, ) является бесконечно малой. Каждая сходящаяся последовательность равна сумме ее предела и бесконечно малой последовательностью и наоборот:

Например, для и

последовательность сходящаяся, и ее предел равен

Пример. Найдите предел последовательности (если он существует) Если предела нет, то объясните почему.

a)

Решение: а) для последовательности покажем, что

При имеем а это, по определению, означает, что

То, что предел последовательности равен 1, можно увидеть, отметив на координатной плоскости точки для достаточных значений

b) При бесконечном возрастании члены последовательности бесконечно увеличиваются, т. е. стремятся к бесконечности. Значит, последовательность не имеет конечного предела. Мы можем убедится в этом, отметив соответствующие точки на координатной плоскости. Одним из примеров является наличие конечного предела для периодической десятичной дроби.

Для данной периодической десятичной дроби общий член является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем . Если рассмотреть эту бесконечную сумму как предел суммы первых членов последовательности то

Отметим, что числовая последовательность является функцией, определенной на множестве натуральных чисел. Можно показать, что если и тогда

Например, если то

Многие свойства пределов функции при справедливы для предела последовательности.

Пусть последовательности и сходящиеся и существуют и . Тогда

Пример. Вычислите:

Решение: умножив и разделив выражение внутри скобки на сопряженное иррациональное выражение и применив теорему о пределах, получим:

Предел монотонной и ограниченной последовательности

Если для всех значений выполняется то последовательность называется возрастающей, если выполняется то последовательность называется убывающей. Например, последовательность является возрастающей. На самом деле,

А последовательность убывающая. Все члены данной последовательности

Тогда получим, что

Возрастающая или убывающая последовательность называется монотонной.

Графики примеров монотонных последовательностей

Если для чисел и последовательность удовлетворяет неравенству то она является ограниченной последовательностью. Теорема Вейерштрасса. Для любой монотонной и ограниченной последовательности существует предел.

Второй замечательный предел

Можно показать, что последовательность с общим членом возрастающая и ограниченная и имеет предел равный числу

Здесь

Примечание: при вычислении многих пределов, связанных с числом будем учитывать следующее: если и тогда

Пример. Вычислим предел

Решение:

Пример. Вычислите предел

Решение:

В равенстве число натуральное. Можно показать,

что для любого действительного числа выполняется отношение

Если в последнем отношении выполнить замену то можно записать следующее Используя данный предел, можно показать следующее:

Пример. Вычислите предел

Решение:

Теория пределов

Действительные числа

Под величиной в математике понимается все то, что может быть измерено; при этом физическая сущность величины для нас безразлична. Поэтому выводы математики обладают общностью, они применимы ко всем величинам вообще. Процесс измерения величины состоит в сравнении ее с другой однородной величиной (т. е. величиной той же природы), принятой за единицу. Результат измерения величины есть число — значение измеряемой величины. Если измеряемая величина и единица измерения соизмеримы между собой (т.е. имеют общую меру), то результат измерения есть рациональное число

где тип — целые числа. Если измеряемая величина и единица измерения несоизмеримы между собой (т. е. не имеют общей меры), то результат измерения есть иррациональное число

(например, , п и т. д.), которое можно изобразить в виде бесконечной непериодической десятичной дроби

Если брать в этой дроби конечное число знаков после запятой, то мы будем получать некоторые рациональные числа, которые дадут нам значение измеряемой величины с любой степенью точности; поэтому практически при измерениях можно обойтись числами рациональными. Однако при формулировке общих законов избежать иррациональных чисел нельзя (например, площадь круга , где — число иррациональное). Числа рациональные и иррациональные носят название действительных или вещественных чисел1).

Для геометрического изображения действительных чисел служит числовая ось Ох (рис. 80), где в определенном масштабе расположены числа: рациональные (целые 0, ±1, ±2, … и дробные … и т. д.) и иррациональные. В результате все действительные числа помещаются на числовой оси, заполняя последнюю без просветов, т. е. каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой оси и, обратно, каждой точке числовой оси отвечает некоторое действительное число. Поэтому вместо слов «действительное число» часто говорят «точка».

Для приложений к множеству всех действительных чисел х присоединяют два символа со свойствами

Такая система действительных чисел называется расширенной. Предполагается, что справедлива следующая арифметика:

Действительные числа могут быть положительными и отрицательными. В некоторых случаях приходится игнорировать знак числа, т. е. рассматривать его модуль.

Определение: Модулем (или абсолютной ее личиной) действительного числа х называется такое неотрицательное число, обозначающееся , что

Например, |-5| = 5, |3| = 3. Очевидно, для всякого числа х имеет место равенство .

Если расположить действительные числа на числовой оси, то модуль |*| любого числа х представляет собой расстояние от начала отсчета О до соответствующей точки А с абсциссой х: OA (рис. 81).

Отсюда следует, что если модуль числа х удовлетворяет неравенству

то число х подчинено ограничению

т. е. х принадлежит интервалу (-а, а) (или отрезку [-а, а]). В частности, для любого числа х справедливо неравенство

Обратно, если имеет место одно из двойных неравенств (2), то выполняется соответственно одно из неравенств (1). Более общее утверждение: если

то, так как равно расстоянию между точками х и х0> имеем

и обратно (рис. 82).

Модуль действительного числа обладает следующими свойствами.

1) Модуль суммы двух или нескольких чисел меньше или равен сумме модулей этих чисел.

В самом деле, пусть сначала х и у — действительные числа одинаковых знаков, т. е. ху > 0. Очевидно, имеем

(например, |-3 — 5| = |-(3 + 5)| = 3 + 5).

Пусть теперь хну — действительные числа различных знаков, т. е. ху < 0, причем для определенности предположим, например, что |х| > 11/1. Тогда имеем

(например, |-5 + 2| = |-(5 — 2)| = 5 — 2 < 5 + 2).

Таким образом, для любых действительных чисел х и у справедливо неравенство

причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда числа х и у одинаковых знаков.

Замечание. Неравенство (3) легко распространяется на любое конечное число слагаемых, например

2)Модуль разности двух чисел больше или равен разности модулей этих чисел.

В самом деле, в силу свойства 1 имеем

Отсюда

3)Модуль произведения двух или нескольких чисел равен произведению модулей этих чисел, например

4)Моду ль частного равен частному модулей (если делитель отличен от нуля), т. е. если , то

5)Модуль целой положительной или целой отрицательной степени равен соответствующей степени модуля основания, т. е.

Доказательство почти очевидных предложений 3)—5) предоставляем читателю.

Погрешности приближенных чисел

Измеряя величину с точным значением а, мы обычно получаем лишь ее приближенное значение х; разность а — х называется ошибкой приближенного числа х. Число а будем называть точным числом, а число х — приближенным. Если х < а, то х называется приближением по недостатку: если же х > а, то х называется приближением по избытку.

Определение: Абсолютной погрешностью (или абсолютной ошибкой) Д0 приближенного числа х называется модуль разности между соответствующим точным числом а и данным приближенным числом х, т. е.

Если точное число а неизвестно, то формула (1) не дает возможности определить абсолютную погрешность приближенного числа х. В этом случае ограничиваются оценкой сверху абсолютной погрешности , т. е. находят положительное число , по возможности мало отличающееся от , такое, что

Число Д, удовлетворяющее неравенству (2), называется предельной абсолютной погрешностью приближенного числа х. Очевидно, имеем

вместо неравенства (3) употребляется также сокращенная запись

Часто бывает, что известны два приближенных числа х₁ и х₂ между которыми заключается точное число а:

Тогда можно положить

где

Абсолютная погрешность, взятая без учета измеряемой величины, не характеризует точности измерения. Например, если при измерении длины стола а₁ = 2 м и длины железной дороги а₂ = 200 км допущена одна и та же абсолютная погрешность = = 0,1 м, то это не значит, что измерения равноточны; очевидно, второе измерение точнее первого. Для оценки точности измерений вводят понятие относительной погрешности.

Определение: Относительной погрешностью (iотносительной ошибкой) приближенного числа х называется отношение абсолютной погрешности этого числа к модулю соответствующего точного числа а, т. е.

Отсюда

т. е. абсолютная погрешность приближенного числа равна относительной погрешности его, умноженной на модуль соответствующего точного числа.

Если точное число а неизвестно или слишком громоздко, то дают верхнюю оценку числа . Число , удовлетворяющее неравенству

называется предельной относительной погрешностью приближенного числа х. Очевидно, если х > 0, то можно положить

где — предельная абсолютная погрешность числа х такая, что .

Пример:

Какова предельная относительная погрешность числа х = 3,14, заменяющего число ?

Решение:

Так как 3,14 < < 3,142, то абсолютная погрешность числа х удовлетворяет неравенству < 0,002. Отсюда

Следовательно, можно принять — 0,064 %.

Так как точное число а во многих случаях найти трудно, то на практике полагают а ~ х, где х — достаточно близкое к а приближенное число, и пользуются приближенными формулами

( — знак приближенного равенства). Соответствующие формулы справедливы также для предельных погрешностей.

Пример:

Результат измерения с точностью до 0,5 % равен х = 25,7м. Определить предельную абсолютную погрешность А этого измерения.

Решение:

Из формулы (5′) имеем . Следовательно, измеряемую величину а можно положить равной а = 25,7 м ± 0,13 м.

Введем некоторые понятия, связанные с изображением чисел в десятичной системе, причем ограничимся рассмотрением лишь положительных чисел). Всякая цифра в десятичном изображении числа, отличная от нуля, и нуль, если он не служит для обозначения десятичного разряда или не замещает неизвестную или отброшенную цифру, называется значащей цифрой этого числа. Например, число 0,0507 имеет три значащие цифры: 5, 0 и 7. Запись числа 27 600 не позволяет судить о числе значащих цифр его; так, если это число имеет четыре значащие цифры, то его следует записать, например, в виде 2,760 • 104. Значащие цифры приближенного числа разделяются на верные и неверные.

Определение: Говорят, что приближенное число имеет п верных значащих цифр (знаков, считая слева направо), если абсолютная погрешность этого числа не превышает 1/2 единицы его -го разряда.

Например, если число х = 2,356 имеет три верных знака 2, 3, 5, то для абсолютной погрешности этого числа имеем

Математические таблицы составляются таким образом, что все помещенные в них знаки являются верными. Например, для четырехзначной таблицы логарифмов гарантируется, что абсолютная погрешность мантиссы каждого числа удовлетворяет неравенству .

В некоторых случаях абсолютная погрешность приближенного числа может достигать единицы его п-го разряда, тогда будем говорить, что данное число имеет п верных знаков в широком смысле. Если абсолютная погрешность приближенного числа может достигать двух единиц его л-го разряда, то говорят, что первые п — 1 значащих цифр числа верные, а п-я цифра его сомнительная.

Понятие верных цифр не всегда можно понимать буквально, т. е. в том смысле, что если приближенное число имеет п верных знаков, то п первых цифр приближенного числа и п первых цифр точного числа совпадают между собой. Например, если а = 1 есть точное число и х = 0,999 — приближенное число, то все знаки последнего, очевидно, верны в широком смысле, хотя ни одна цифра точного числа не совпадает с соответствующей цифрой данного приближенного числа. Однако в большинстве случаев буквальное понимание будет верным.

Количество верных знаков приближенного числа характеризует точность измерения и позволяет найти предельную относительную погрешность этого числа.

Пример:

Приближенное число х = 8,3047 имеет два верных знака. Какова предельная относительная погрешность этого числа?

Решение:

Здесь для абсолютной погрешности имеем

По формуле (4′) имеем оценку относительной погрешности

Следовательно, приближенно можно принять = 0,6 %.

Обратно, зная предельную относительную погрешность приближенного числа, можно определить количество его верных знаков.

Пример:

Предельная относительная погрешность приближенного числа х = 623,809 равна = 0,2%. Сколько верных цифр имеет это число?

Решение:

Используя формулу (5′), находим оценку абсолютной погрешности нашего приближенного числа . Не совсем строго можно считать, что число х имеет три верные цифры в широком смысле.

В окончательной записи приближенного числа, вообще говоря, нет смысла сохранять неверные цифры; в крайнем случае можно удержать одну запасную цифру. Поэтому цифры приближенного числа, не являющиеся верными, обычно откидывают, или, как говорят, приближенное число округляют. Также часто приходится округлять громоздкие точные числа.

Правила округления:

1)если первая отброшенная цифра числа (считая слева направо) меньше 5, то оставшиеся цифры его оставляют без изменения;

2)если же первая из отброшенных цифр больше или равна 5, то первую из оставшихся цифр увеличивают на единицу.

Например, округляя число п = 3,141592… до пяти, четырех, трех значащих цифр, соответственно получим приближенные числа 3,1416, 3,142 и 3,14.

Специально выделяется частный случай, когда округляется на одну цифру число, имеющее последнюю цифру 5. Тогда последняя сохраненная цифра оставляется без изменения, если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная (правило четной цифры).

При округлении приближенного числа мы, вообще говоря, увеличиваем его погрешность, добавляя к абсолютной погрешности числа погрешность округления.

При пользовании правилом округления погрешность округления, очевидно, не превышает 1/2 единицы последнего сохраненного десятичного разряда.

Отсюда следует, что:

1)если точное число округлить до п значащих цифр, то полученное приближенное число будет иметь п верных десятичных знаков;

2)если же приближенное число с п верными десятичными знаками округлить до п значащих цифр, то полученное новое приближенное число будет иметь п верных десятичных знаков в широком смысле.

Предел функции

В математическом анализе, как правило, рассматриваются безразмерные величины, т.е. величины, лишенные физического содержания. Совокупности значений таких величин представляют собой некоторые числовые множества. Исходя из этого и используя логические символы V («для любого») и («существует», «найдется»), можно формализовать определение функции.

Определение: Пусть X u Y — данные числовые множества. Если в силу некоторого соответствия /, сопоставляющего элементам множества X элементы множества (единственный), то у называется однозначной функцией от х, определенной на множестве X.

Этот факт коротко обозначается следующим образом:

Множество значений функции (1), по смыслу определения, содержится в У, т. е.

Можно сказать, что функция / осуществляет отображение множества X в множество У (рис. 83).

Если , т. е. любой элемент является значением функции, то говорят, что функция f отображает множество X на множество У.

Строго говоря, под функцией (1) следует понимать само соответствие , в силу которого для каждого подыскивается его партнер у € У. При этом представляет собой значение функции f в точке х. Однако на практике символ (х), где х принимает все возможные значения, также называют функцией.

Пример:

Функция f(x) = sinx отображает интервал X = (0, ) на отрезок У = [ -1, 1].

Пусть между элементами множеств X и У функция у = f(x) устанавливает взаимно однозначное соответствие, т. е. существует один и только один его образ , и, обратно, найдется единственный прообраз такой, что . Тогда функция , устанавливающая соответствие между элементами множеств У и X, называется обратной для функции . Иными словами, обратная функция является отображением множества У на множество X. Очевидно, функции у = f(x) и х = взаимно обратны.

Определение: Под окрестностью U_a точки а (а — действительное число) будем понимать любой интервал , окружающий эту точку , из которого удалена точка а (рис. 84).

Под окрестностью символа понимается внешность любого отрезка (рис. 85), т. е. . Естественно, что символ не содержится в своей окрестности.

Замечание. Общепринято под окрестностью точки а понимать любой интервал , содержащий точку а, т. е. если f_a есть окрестность точки а, то . При нашем определении окрестности U_a точки а для удобства дальнейших рассуждений мы исключаем из нее саму точку а, т. е. полагаем . Такое множество точек обычно называется проколотой (или пунктированной) окрестностью точки а.

Допуска я вольность речи, множество точек мы называем просто окрестностью точки а (в нашем смысле). Такое определение окрестности согласуется с обыденным ее пониманием. Например, естественно предполагать, что в окрестность города Москва не входит сам город Москва! Тем более, что при определении односторонних окрестностей точки a: (левая окрестность) и (правая окрестность) — точка а всегда исключается!.

Итак, в дальнейшем, если явно не оговорено противное, под окрестностью точки а мы будем понимать любой интервал, окружающий эту точку, из которого выкинута сама точка а.

В тех случаях, когда удобно будет считать, что окрестность точки а содержит саму точку а, мы будем называть ее «полной окрестностью точки а».

Как нетрудно убедиться: 1) сумма (объединение) любого числа окрестностей точки а и 2) произведение (пересечение) конечного числа окрестностей точки а есть также окрестности этой точки.

Для положительного числа 8 окрестность U_a некоторой конечной точки а назовем ее -окрестностью, если U_a = U , т.е. если

(рис.86).

Пусть функция f(x) задана на множестве X. Точка а (а конечно) называется предельной точкой (точкой накопления) этого множества, если в любой ее 8-окрестности U_a содержится

бесконечно много элементов , т. е. . В простейшем случае можно предполагать, что функция f(x) определена в некоторой окрестности точки а, причем в самой точке а функция f(x) не обязательно имеет смысл.

Итак, пусть а — предельная точка множества X — области определения функции f(x).

Определение: Число А называется пределом функции f(x) при х а (а — число), т. е.

если для любого существует такая -окрестность U_a = зависит от , что

Для простоты здесь используется 5-окрестность точки а, т. е. ее симметричная окрестность. Однако определение остается в силе для любой окрестности , так как она, очевидно, содержит 5-окрестность точки а, где = .

Конечно, неравенство (2) должно выполняться для всех тех х, для которых определена функция f(x), т. е. для ; согласно определению предельной точки, в каждой окрестности U_a множество таких значений не пусто.

Замечание 1. По смыслу определения предела функции, числа и можно полагать достаточно малыми.

Определение: Утверждение

эквивалентно следующему:

где зависит от .

Множество всех точек х, для которых , очевидно, является симметричной окрестностью символа ; при этом предполагается, что для любой такой окрестности ; условно можно сказать, что есть предельная точка множества X — области определения функции f(x).

Объединяя определения 2 и 3, получим общее определение предела функции при ха, которое годится как для конечного а, так и для а =.

Общее определение предела функции. Пусть f(x) функция, определенная на множестве Х, а — предельная точка этого множества. Число А является пределом функции f(x) при ха тогда и только тогда, когда для любого существует такая окрестность U_a точки а, что

Этот факт коротко записывают следующим образом:

Пример:

Показать, что

Для удобства рассуждений мы будем предполагать, что 1 < х < 3, т. е. .

Пусть > 0 — произвольное число. Имеем

Таким образом, равенство (6) доказано. Заметим, что здесь -окрестность точки х = 2 — полная, т. е. содержит точку 2.

Пример:

Показать, что

Имеем

если только

что эквивалентно утверждению (7).

Замечание 2. Не следует думать, что функция f(x) постоянно остается меньше своего предела.

Возможны три случая: 1)функция не превышает своего предела,

например

2)функция не меньше своего предела, например

3)функция колеблется вокруг своего предела, принимая значения то меньше, то больше его; например,

Замечание 3. При рассмотрении предела функции f(x) при х а, для простоты, можно было бы предполагать, что функция определена в некоторой окрестности точки а.

Однако, как показывают самые простые примеры, это неудобно для приложений.

Пример:

Пусть

Эта функция определена на множестве которое не является окрестностью бесконечно удаленной точки . Тем не менее, с нашей точки зрения, имеем

Отметим одно простое предложение.

Теорема: Если функция f(x) = с постоянна в некоторой окрестности точки а, то

причем с является единственным пределом этой функции при ха.

(Доказательство этой теоремы предоставляем читателю.) Функцию, имеющую предел, не следует путать с ограниченной функцией.

Определение: Функция f(x) называется ограни ченной на данном множестве X, если существует такое положительное число М, что

Если такого числа М нет, то функция f(x) называется неограниченной.

ЛЕММА. Функция /(л:), имеющая предел А при х а, ограничена в некоторой окрестности точки а.

Действительно, выбирая , имеем где U_а — соответствующая окрестность точки а.

Отсюда для всех допустимых значений аргумента х получаем

если только

Замечание 4. Обратное утверждение неверно: ограниченная функция может не иметь предела.

Например, функция ограничена при и не имеет предела при х0.

Отметим еще одну теорему, устанавливающую связь между границами функции и ее пределом.

Теорема: Пусть существует и

в некоторой окрестности U_a точки а. Тогда

Доказательство: Действительно, пусть А < М. Полагая ,в некоторой окрестности V_a точки а будем иметь

Отсюда, выбирая , получаем f(x) < М, что противоречит левому неравенству (8).

Аналогично опровергается предположение А > N.

Замечание 5. Теорема остается верной, если в (8) одно или оба неравенства нестрогие.

Следствие. Положительная функция не может иметь отрицательного предела.

Замечание 6. Понятие предела функции одной переменной естественно переносится на функции нескольких переменных.

Рассмотрим, например, функцию двух переменных f(x, у), заданную на некотором множестве X плоскости Оху.

Под окрестностью точки (а и b конечны) будем понимать внутренность любого прямоугольника построенного вокруг точки М₀ из которого удалена сама точка М₀.

В таком случае утверждение

означает, что такая, что справедливо неравенство

Конечно, при этом предполагается, что в любой окрестности найдутся точки М(х, у), в которых функция f(x, у) имеет смысл (предельная точка).

Это определение легко обобщается на тот случай, когда а или b или оба вместе — символы .

Односторонние пределы функции

В приложениях встречаются так называемые односторонние пределы функции.

Введем понятия левой и правой окрестностей точки а (а — число).

Определение: 1) Любой интервал , правым концом которого является точка а, называется ее левой окрестностью.

2) Аналогично, любой интервал , левым концом которого является точка а, называется ее правой окрестностью.

Символическая запись ха — 0 обозначает, что х принимает лишь значения, принадлежащие некоторой левой окрестности точки а, т. е. х а, х < а.

Аналогично, запись ха + 0 обозначает, что ха, х > а.

Определение: 1) Формула

где функция f(x) определена на множестве X и а — предельная точка этого множества (а — конечное), а А — число, обозначает, что такая, что

(предел функции слева).

2) Аналогично, формула

(В — число) имеет следующий смысл:

где произвольно и зависит от (предел функции справа).

Для чисел А и В употребляется символическая запись (рис. 87)

Если функция /(х) определена в точке а, то ее значение в этой точке обозначается через f(a); конечно, оно может не совпадать с числами f(a — 0) и f(a + 0).

Можно, конечно, ограничиться рассмотрением левых -окружностей точки a:

Обычно полагают

Определение: Под окрестностью символа — понимается любой интервал , а под окрестностью символа понимается любой интервал

Формулы

расшифровываются так:

где произвольно,

Пример:

Пусть

Имеем

Замечание. Для существования предела функции f(x) при ха (а — число) необходимо и достаточно выполнение равенства

Предел последовательности

Под последовательностью

понимается функция , заданная на множестве натуральных чисел

По аналогии с пределом функции в бесконечно удаленной точке вводится понятие предела последовательности. А именно, число а есть предел последовательности

Строго говоря, нужно писать . Но так как — натуральное, то по смыслу — одно и то же.

если для любого существует такое число N, зависящее от , что для всех натуральных выполнено неравенство

Пример:

Пусть

Имеем

Пусть > 0 — произвольное число. Тогда , если

Следовательно,

Бесконечно малые

Определение: Функция а(х) называется бесконечно малой при ха (а — вещественное число или символ ), если для любого > 0 существует такая окрестность точки а, что

Условие (1) эквивалентно следующему:

т. е. предел бесконечно малой а(х) равен нулю и обратно. Иными словами,

Аналогично определяется бесконечно малая функция при , а также при .

Замечание 1. Если

то в силу определения предела функции получаем, что разность f(x) — А есть бесконечно малая. Таким образом, из формулы (4)

Как обычно, неравенство (1) должно выполняться для тех х, для которых функция a(x) определена, причем предполагается, что множество таких значений не пусто в любой окрестности U_a точки а.

получаем представление функции /(х), имеющей при х а предел А, в виде

где

Обратно, если для функции f(x) справедлива формула (5), то число А является пределом функции при ха. Из формулы (5) вытекает важная лемма о сохранении знака функции.

ЛЕММА. , то в некоторой окрестности U_a точки а знак функции f(x) совпадает со знаком числа А.

Действительно, пусть . Выбирая окрестность U_a так, чтобы при , в силу равенства (5) будем иметь

где

Пример:

Точка М движется по оси Ох, причем закон движения ее

Очевидно, если . Поэтому

Таким образом, точка М совершает затухающие колебания вокруг начала координат.

Замечание 2. Функция f(x) = 0 в некоторой окрестности Ua, по смыслу определения (1), является бесконечно малой при ха.

Заметим, что никакая постоянная функция f(x) = с0, где число с сколь угодно мало по абсолютной величине, не может быть названа бесконечно малой. Поэтому так называемые физические бесконечно малые (например, масса молекулы, размер атома, заряд электрона и т. п.), с математической точки зрения, не являются бесконечно малыми.

Бесконечно большие

Определение: Функция f{х) называется бесконечно большой при ха (а — число или символ )

Запись sgnx читается: «знак х Функция sgnх определяется следующим образом: sgn х = +1, если х > 0; sgn 0 = 0; sgn х = -1, если х < 0 (ср. рис. 88).

если для любого Е > 0 существует такая окрестность U_a точки а, что

для всех допустимых значений аргумента х.

Если функция f(x) — бесконечно большая при ха, то условно пишут

Например, при

Записи

соответственно обозначают: при при (Е > 0 произвольно и окрестность Ua зависит от Е).

Легко доказывается следующее утверждение.

ЛЕММА. 1) Если f(x) при ха, то при ха; 2) если при для , то .

Замечание. Неограниченная функция может не быть бесконечно большой.

Например, функция

не ограничена в любой окрестности точки х = 0, однако она не является бесконечно большой при х0.

Основные теоремы о бесконечно малых

Теорема: Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых при ха функций есть функция бесконечно малая при ха.

Доказательство: Для простоты ограничимся тремя функциями: и при .

Здесь и далее в этом параграфе мы будем предполагать, что все рассматриваемые функции заведомо определены на некотором общем множестве X, для которого а является предельной точкой. Рассматриваемые значения х таковы, что .

Рассмотрим их алгебраическую сумму

Пусть — произвольное положительное число. Тогда также будет некоторым положительным числом.

В силу определения бесконечно малой существуют три характеризуемые числом окрестности такие, что

Пересечение представляет собой окрестность точки а, в которой одновременно будут выполнены неравенства (1), (2) и (3). Таким образом,

если и . А это и значит, что

Теорема доказана.

В частности, разность двух бесконечно малых при ха функций есть функция бесконечно малая при ха.

Определение: Говорят, что функция ограничена при ха, если она ограничена в некоторой окрестности точки а.

Теорема: Произведение ограниченной при ха функции на бесконечно малую при ха функцию есть функция бесконечно малая при ха.

Доказательство: Пусть

где V_a — некоторая окрестность точки а и

Тогда для произвольного существует такая окрестность , что

Отсюда имеем

если . Таким образом, при .

Теорема: Произведение конечного числа бесконечно малых при ха функций есть функция бесконечно малая при ха.

Доказательство. 1) Рассмотрим сначала две функции a(x)О и 0 при ха.

Полагая и рассуждая так же, как в теореме 1, убеждаемся, что существует такая окрестность U_a, что

Отсюда

Следовательно, 0 при х0.

2) Если мы имеем, например, три функции 0, 0, 0 при ха, то, используя первую часть доказательства, получаем 0 при ха.

Следствие. Целая положительная степень [а(х)]Л бесконечно малой функции а(х)0 при ха есть бесконечно малая функция при ха.

Замечание, Что касается отношения двух бесконечно малых 0 и 0 при ха, то оно может быть функцией произвольного поведения при а.

Пример:

Пусть а(х) — х, . Здесь при х0 имеем

С помощью действия деления можно сравнить между собой бесконечно малые.

Определение: Две бесконечно малые о при ха имеют одинаковый порядок при ха, если их отношение имеет конечный предел, отличный от нуля, т. е.

Определение: Говорят, что при х а порядок бесконечно малой выше порядка бесконечно малой а(х) (или, что то же самое, порядок бесконечно малой а(х) ниже порядка бесконечно малой , если отношение есть бесконечно малая функция при ха> т. е.

В этом случае пишут

Определение: Говорят, что бесконечно малая имеет порядок ( — натуральное число) относительно бесконечно малой при ха, если

Если же при ха (т.е. k = 0), то порядок выше по сравнению с .

Основные теоремы о пределах

Здесь мы также будем предполагать, что функции, рассматриваемые в каждой из следующих теорем, определены на некотором общем множестве X, для которого точка а является предельной точкой (точкой накопления).

Теорема: Если каждое слагаемое алгебраической суммы конечного числа функций имеет предел при ха, то предел этой алгебраической суммы при ха существует и равен такой же алгебраической сумме пределов слагаемых.

Доказательство: Пусть, например, имеем алгебраическую сумму трех функций , где

Так как функции отличаются от своих пределов на бесконечно малые, то получаем

где . Из равенств (1), используя теорему об алгебраической сумме бесконечно малых, будем иметь

где . Из равенства (2) вытекает, что сумма отличается от числа А + В — С на бесконечно малую и, следовательно, это число является пределом данной суммы. Таким образом, имеем

что и требовалось доказать.

Следствие. Функция может иметь только один предел при ха.

Действительно, если при ха, то на основании теоремы 1 получим

Так как предел постоянной функции равен самой функции и единствен, то отсюда имеем А — А’ = 0, т. е.

Замечание. В условии теоремы предполагалось, что каждая из функций имеет предел, и доказывалось, что и их сумма также имеет предел. Обратное, вообще говоря, не верно: из существования предела суммы не следует существования пределов слагаемых. Например, имеем

тогда как не существуют, и поэтому здесь

Таким образом, формулировка * предел суммы равен сумме пределов слагаемых» является нестрогой.

Аналогичное замечание следует иметь в виду для предела произведения и предела частного.

Теорема: Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при ха, то предел произведения при ха равен произведению пределов сомножителей.

Доказательство: 1) Рассмотрим сначала произведение двух сомножителей f(x)g(x), и пусть

Имеем

где Отсюда получаем

где

Из основных теорем о бесконечно малых следует, что у(*)0 при ха. Поэтому на основании равенства (5) будем иметь

2) Рассмотрим теперь, например, произведение трех функций f(x) g(x) h(x), имеющих конечные пределы при ха. Используя первую часть доказательства, находим

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Действительно, если с есть постоянная функция, то

Следствие 2. Если функция f(x) имеет предел при ха, то предел при ха целой положительной степени ее равен такой же степени предела этой функции, т. е.

(— натуральное число).

Пример:

ЛЕММА. Пусть при xа. Тогда обратная no величине функция ограничена в некоторой окрестности U_a точки а.

Действительно, положим . На основании определения предела функции имеем

для всех допустимых значений х. Отсюда получаем

Таким образом,

если , что и требовалось доказать.

Теорема: Если функция f(x) имеет предел при ха, отличный от нуля, то предел при ха обратной ей по величине функции равен обратной величине предела данной функции, т. е.

Доказательство: Действительно, пусть . Тогда на основании леммы, учитывая, что произведение ограниченной функции на бесконечно малую есть бесконечно малая, будем иметь

Отсюда получаем

Теорема: Если делимое f(x) и делитель g(x) имеют пределы при ха и предел делителя отличен от нуля, то предел их частного (дроби) при ха равен частному пределов делимого (числителя дроби) и делителя (знаменателя дроби), т. е.

Доказательство: Пусть . Тогда, используя теорему о пределе произведения и теорему о пределе обратной величины функции, получаем

Пример:

Без доказательства приведем еще одну теорему.

Теорема: Если функция f{x) имеет предел при ха и ( — натуральное) существует в точке айв некоторой ее окрестности U_a, то

Некоторые признаки существования предела функции

Не всякая функция имеет предел, даже будучи ограниченной. Например, sinx при предела не имеет, хотя |sinx| < 1.

Укажем два признака существования предела функции.

Теорема о промежуточной функции. Пусть в некоторой окрестности U_a точки а функция f(x) заключена между двумя функциями , имеющими одинаковый предел А при ха (рис. 89), т. е.

Тогда функция f(x) имеет тот же предел:

Доказательство: Из неравенства (1) имеем

Отсюда

На основании условия (2) для любого существует такая окрестность U_a, что

Поэтому из неравенства (4) получаем

т. е. справедливо равенство (3).

Определение: 1) Функция f(x) называется возрастающей (не убывающей) на данном множестве X, если из неравенства вытекает неравенство (соответственно ).

2) Функция f(x) называется убывающей (не возрастающей) на X, если из неравенства следует неравенство (соответственно ).

Возрастающая (не убывающая) или убывающая (не возрастающая) функция называется монотонной на данном множестве X.

Теорема: Пусть функция f(x) монотонна и ограничена при х < а или при х > а. Тогда существует соответственно левый предел

или правый предел

Несмотря на наглядность этой теоремы, доказательство ее не может быть здесь приведено.

Замечание. Аналогичное утверждение верно для а = или для а = +оо.

Следствие. Ограниченная монотонно возрастающая или монотонно убывающая последовательность имеет предел.

Пример:

Рассмотрим последовательность периметров правильных n-угольников , вписанных в окружность радиуса R и получаемых в результате удвоения числа их сторон.

Легко убедиться, что

т. е. периметр монотонно возрастает вместе с п. В то же время величина ограничена, так как периметр каждого вписанного правильного л-угольника никогда не превышает периметра любого описанного многоугольника, в частности, например, периметра описанного квадрата, т. е. < 8R. Следовательно, существует

который принимается за длину окружности.

Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге

Теорема: Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице, т. е.

Доказательство: 1) Пусть сначала х > 0; причем так как дуга х стремится к нулю, то можно считать, что .

В тригонометрическом круге радиуса R = 1 построим угол (рис. 90), и пусть DB — длина перпендикуляра, опущенного из точки В на радиус OA, и АС — отрезок касательной к окружности, проведенной в точке А до точки пересечения ее с продолженным радиусом АВ. Очевидно, имеем

Так как DB = sin х и АС = tg х, то на основании формул элементарной геометрии получаем

Разделив все члены последнего двойного неравенства на положительную величину sinx, будем иметь

Пусть ; тогда из наглядных соображений получаем . Таким образом, из неравенства (4) следует, что функция заключена между двумя функциями, имеющими общий предел, равный 1. На основании теоремы о промежуточной функции получаем

2) Пусть теперь ; имеем где . Поэтому

Из формул (5) и (5′) очевидно вытекает равенство (1).

Замечание. Из формул (2) вытекает, что если , то

Отсюда, так как не превосходит 1, при любом х справедливо неравенство

причем равенство имеет место лишь при х = 0. Неравенство (6) часто используется для оценки синусов малых дуг.

Действительно, так как в силу (2) , то синус бесконечно малой дуги есть бесконечно малая. Отсюда 1 — cos х =

Число е

Рассмотрим выражение

где — натуральное число.

Будем давать п неограниченно возрастающие значения и вычислять соответствующие значения степени .

Получим следующую таблицу;

Мы видим, что с возрастанием степень изменяется все медленнее и медленнее и, по-видимому, стремится к некоторому пределу, приближенно равному 2,718. Докажем, что это действительно так.

Теорема: Последовательность

стремится к конечному пределу, заключенному между 2 и 3.

Доказательство: Пользуясь биномом Ньютона, будем иметь

При > 1 все слагаемые в формуле (1) положительны, причем с возрастанием показателя п увеличивается число слагаемых и каждое соответствующее слагаемое становится больше.

Следовательно, последовательность начиная с наименьшего значения, равного 2, растет вместе с показателем .

С другой стороны, очевидно, что каждое слагаемое в правой части формулы (1) увеличится, если все множители знаменателей заменить на двойки, а каждую из скобок заменить единицей. Поэтому

В силу известной формулы для суммы геометрической прогрессии имеем

Отсюда

Таким образом, члены последовательности при неограниченном возрастании п постоянно возрастают, оставаясь больше 2, но меньше 3.

Следовательно, на основании следствия к теореме из существует конечный предел этой последовательности, очевидно, принадлежащий отрезку [2, 3]. Этот предел является иррациональным числом и обозначается буквой е. Итак,

Приближенное значение этого числа есть е = 2,7182818284.

Можно доказать, что функция

Обозначением числа е и его широким применением во многих вопросах математики мы обязаны петербургскому академику JI. Эйлеру.

при стремится к числу е:

Дадим другое выражение для числа е. Полагая , будем иметь

С помощью числа е удобно выражать многие пределы.

Пример:

Найти

Решение:

Полагая , будем иметь

Показательная функция вида

где е = 2,71828…, называется экспоненциальной; употребляется также обозначение

График функции (2) изображен на рис. 91. Экспоненциальная функция играет важную роль в математическом анализе и его приложениях.

Пример:

Пусть некоторая химическая реакция протекает так, что в каждый момент времени t скорость образования вещества пропорциональна количеству этого вещества, имеющемуся в наличности в данный момент времени.

Обозначим через Q₀ начальное количество этого вещества (т. е. количество вещества в момент времени t = 0). Промежуток времени (0, t) разобьем на п мелких промежутков:

Если в течение каждого из этих весьма малых промежутков скорость реакции считать постоянной, то количества вещества в моменты времени

соответственно будут равны

где k — данный коэффициент пропорциональности (закон сложных процентов). Но согласно условию задачи прирост количества вещества происходит непрерывно Поэтому, чтобы получить точную формулу, нужно предположить, что число наших промежутков неограниченно возрастает, а каждый из них стремится к нулю.

Отсюда, считая, что , для количества вещества Q в момент времени t будем иметь такую формулу:

Этот предел легко выразить через число е. В самом деле, введя обозначение , где , получим

Это и есть закон, по которому происходит рост вещества в наших условиях.

Формула вида (3) встречается при изучении многих процессов, как-то: распада радия (здесь k < 0), размножения бактерий и т. п. Отсюда ясно, какую важную роль играет число е в математическом анализе и его приложениях.

Понятие о натуральных логарифмах

Если основание логарифмов равно числу е, то логарифмы называются натуральными или неперовыми и обозначаются так:

В высшей математике употребляются почти исключительно натуральные логарифмы, так как многие формулы для них, как мы увидим ниже, оказываются более простыми, чем для логарифмов других систем.

Выведем соотношения между натуральным логарифмом числа и логарифмом этого числа при основании . Пусть мы имеем

отсюда

Логарифмируя это равенство при основании е, находим

Отсюда

Эта формула выражает логарифм числа х при основании а через натуральный логарифм этого числа.

Заметим, что, полагая х = е в формуле (1), имеем

Полагая в формуле (1) а = 10, получаем

где М == 0,43429 — модуль перехода (от натуральных логарифмов к десятичным).

По имени шотландского математика Непера — изобретателя логарифмов. Кроме того, в приложениях часто встречаются показательные закономерности вида (3) из предыдущего параграфа; в связи с этим более удобно пользоваться логарифмами при основании е.

Обратно, из формулы (2) находим

где

Понятие об асимптотических формулах

Пусть — функции, определенные в окрестности точки а.

Обобщая определение, будем говорить, что

если

где при ха.

Если в некоторой окрестности точки а, то из (2) имеем

Определение: Если при ха справедливо равенство

по называют асимптотическим членом (или асимптотическим выражением) для функции f(x) при ха.

Употребляется запись: при ха. Если при , то из формулы (4) получаем

Выясним условия существования для функции /(jc) ненулевого линейного асимптотического члена:

Пусть

где — бесконечно малая при х , т. е. а(х) = о(1) при , причем, очевидно, также при . Из (7) будем иметь

Переходя к пределу при в равенстве (8) и учитывая, что при получаем

Из формулы (7) находим

Обратно, если существуют пределы (9) и (10), из которых хотя бы один ненулевой, то справедливо асимптотическое разложение (7). Действительно, из формулы (10), где k определяется равенством (9), имеем

Отсюда непосредственно вытекает формула (7).

График линейного асимптотического члена у = kx + b называется асимптотой кривой У — f(x) (рис. 92); причем случай k = 0, b = 0 не исключается.

Здесь для точек М(х, у) на кривой и М'(х, Y) на асимптоте

Пример:

Построить при линейную асимптотическую формулу для функции

Решение:

Используя формулы (9) и (10), имеем:

Таким образом,

Если пределы (9) и (10) существуют при х или при х, то асимптотическая формула (7) верна при соответствующих условиях. В этом случае график функции имеет левую асимптоту или соответственно правую асимптоту.

Теория пределов

Предел последовательности

Определение: Если область определения функции представляет собой ряд натуральных чисел, то область называется естественной.

Определение: Область значений функции расположенная в порядке возрастания номера называется последовательностью и обозначается

Пример:

Различные последовательности и их развернутое представление:

Определение: Число А называется пределом последовательности если для любого сколь угодно малого положительного числа существует такой номер N, что имеет место неравенство или в другой форме записи

Приведенное в определении неравенство с модулем можно преобразовать к виду Выясним геометрический смысл предела А . Если А — предел последовательности то существует такое число начиная с которого все последующие значения последовательности попадают в полосу, ограниченную прямыми каким бы малым не было бы число Отметим, что уменьшение числа до значения приводит к более узкой полосе, внутрь которой попадают члены последовательности, начиная с номера (Рис. 55).

Рис.55. Предел последовательности.

Пример:

Дана последовательность Доказать, что пределом этой последовательности является число А = 1/2.

Решение:

Возьмем произвольное положительное число Найдем такое номер чтобы выполнялось неравенство или Так как то знак модуля можно снять Отсюда Если положить т.е. начиная с номера все члены данной последовательности будут попадать в полосу или окончательно

Предел функции

Определение: Окрестностью точки называется любой интервал, содержащий эту точку.

Определение: Интервал, симметричный относительно точки называется ее -окрестностью.

Определение: Если областью определения функции есть множество , то точка называется точкой сгущения, если для любого числа выполняется неравенство

Замечание: Отметим, что точка может и не принадлежать области

Определение: Если функция у = f(x) определена на множестве D(y) с точкой сгущения то число А называется пределом функции у = f(х) при если для любого из выполнения неравенства следует выполнение неравенства для любого положительного числа

Обозначение:

Замечание: В качестве точки может выступать и бесконечно удаленная точка.

Пример:

Найти предел функции .

Решение:

Перепишем функцию в виде и построим ее график при х>0 (Рис. 56)

Рис. 56. График функции Из рисунка видно, что выполняется неравенство Следовательно отсюда получаем Итак, если Из рисунка видно, начиная с некоторого значения все значения функции f(х) лежат в интервале

Замечание: График функции f(х) может приближаться к своему предельному значению сверху, снизу или колеблясь возле прямой у = A приближаясь к своему предельному значению.

Определение: Функция f(х) называется ограниченной снизу, если выполняется неравенство Функция f(х) называется ограниченной сверху, если выполняется неравенство Функция f(х) называется ограниченной, если такие, что выполняется неравенство

Пример:

Ограничена ли функция

Решение:

Так как то эта функция ограниченная, причем

Пример:

Найти предельное значение функции роим график заданной функции (Рис. 57):

Решение:

Рис. 57. График функции Из рисунка видно, что при отношение ограниченной функции (sinx) к возрастающей по модулю функции х стремится к нулю, следовательно, предельное значение заданной функции

Односторонние пределы

Определение: Число В_ называется левосторонним пределом функции f(х) при стремлении если для любого сколь угодно малого положительного числа существует такое выполняется неравенство

Определение: Число называется правосторонним пределом функции f(х) при стремлении если для любого сколь угодно малого положительного числа существует такое выполняется неравенство

Пример:

Найти лево- и правосторонние пределы функции

Решение:

С учетом определения модуля данную функцию можно записать в виде Построим график этой функции (Рис. 58):

Рис. 58. График функции Из рисунка видно, что левосторонний предел а правосторонний предел

Пример:

Вычислить односторонние пределы функции

Решение:

При (слева) знаменатель дроби стремится к малой отрицательной величине, следовательно, сама дробь стремится к — При (справа) знаменатель дроби стремится к малой положительной величине, следовательно, сама дробь стремится к Таким образом, левосторонний предел а правосторонний предел

Пример:

Найти лево- и правосторонние пределы

Решение:

При (слева) знаменатель дроби, стоящей в показателе степени экспоненты, стремится к малой отрицательной величине, следовательно, сама дробь стремится к — Если аргумент показательной функции с основанием большим единицы стремится к то сама функция . При (справа) знаменатель дроби, стоящей в показателе степени экспоненты, стремится к малой положительной величине, следовательно, сама дробь стремится к Если аргумент показательной функции (основание больше единицы) стремится к то сама функция .

Таким образом, левосторонний предел а правосторонний предел (Рис. 59).

Рис. 59. График функции .

Единственность предела

Докажем единственность предела для последовательности (аналогичная теорема имеет место и для предела функции).

Теорема: Если последовательность имеет предел А , то он единственный.

Доказательство: Предположим, что последовательность имеет два предела А и В, причем По определению предела существует такое выполняется неравенство Кроме того, существует такое что выполняется неравенство Другими словами, выполняются неравенства Вычтем из второго неравенства первое, получим Полученное неравенство перепишем в виде В силу того, что разность может быть сделана сколь угодно малой, то выполняется равенство что свидетельствует о единственности предела последовательности.

Пределы

Эту главу мы начнем с примеров, показывающих, в каком смысле будут употребляться слова «стремится», «приближается», «равно», «сделался равным» и какая разница в понятиях, выражаемых этими словами.

Пример:

Поезд идет из Голицина в Москву. В этом случае говорят, что поезд приближается к Москве, или что расстояние поезда от Москвы стремится к нулю, или что расстояние приближается к нулю. Если поезд придет в Москву, то расстояние между поездом и Москвой станет равным нулю.

Пример:

Если химически чистая вода нагревается при нормальном атмосферном давлении, то ее температура повышается и по мере нагревания доходит до 100° С. Вода закипает. После этого температура воды при дальнейшем нагревании не меняется. В этом случае мы будем говорить, что по мере нагревания температура воды увеличивается и приближается к 100°. При достижении этой температуры и во время кипения, несмотря на подачу тепла, температура остается постоянной.

Пример:

Возьмем отрезок, лежащий на оси и имеющий начало в точке (0), а конец в точке (1). Пусть точка выходит из точки и движется все время по направлению к точке и, наконец, приходит в нее. Абсцисса точки при этом все время изменяется. Можно сказать, что абсцисса приближается или стремится к единице, до тех пор пока точка не придет в точку . В тот момент, когда, точка придет в точку , скажем, что абсцисса сделалась равной единице или абсцисса достигла значения единицы.

Пример:

Резиновый стержень растягивается при помощи приложенной к нему силы. Пока сила не очень велика, стержень, сохраняя целость, будет увеличиваться в длине. Если же сила увеличится до определенной величины, то стержень разорвется. Здесь будем говорить так: под влиянием растягивающей силы длина стержня увеличивается, стремясь к определенной величине, но эта длина не достигается, так как в тот момент, когда эта длина должна быть достигнута, стержень разорвется, т. е. перестанет существовать.

Пример:

Рассмотрим функцию . Будем давать независимому переменному различные значения, например: 10, 100, 1000, 10 000 и т. д., т. е. , где —любое целое положительное число. Тогда будет принимать следующие значения: 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 и т. д. Здесь по мере увеличения значение будет увеличиваться и при п достаточно большом х может сделаться больше любого числа.

Этот факт будем выражать словами так:

Независимое переменное х неограниченно возрастает.

Так как значения равны , то при увеличении приближается к нулю, или стремится к нулю. В этом случае мы имеем:

При неограниченном возрастании независимого переменного функция стремится к нулю.

Конечно, может принимать при возрастании и другие значения, кроме указанных, например: 1, 2, 3, 4, 5, … или 2, 4, 8, 16, 32, …; но функция у при этом все же приближается к нулю.

Пример:

Рассмотрим функцию . Пусть стремится к нулю, т. е. значения могут быть выбраны по абсолютной величине как угодно малыми, тогда и будет уменьшаться и приближаться к нулю. Поэтому будет приближаться, или стремиться, к единице.

Все рассмотренные примеры были очень просты, и для их понимания не требовалось почти никаких знаний. Теперь приведем более сложный пример.

Исследование функции sin x/x при значениях независимого переменного, как угодно малых по абсолютной величине

Исследование функции при значениях независимого переменного, как угодно малых по абсолютной величине

Прежде всего напомним некоторые сведения из арифметики:

• а) Числом, обратным данному, называется число, полученное делением единицы на данное число. Например, число, обратное трем, есть одна треть, число, обратное есть , число, обратное , есть .
• б) Если числа и удовлетворяют неравенству , то числа, им обратные, удовлетворяют неравенству .
• в) При неизменном уменьшаемом та разность больше, в которой вычитаемое меньше.

Теперь перейдем к исследованию функции . Возьмем окружность единичного радиуса и на ней дугу , радианная мера которой равна (рис. 42).

Проведем линию синусов, линию тангенсов и касательную . При этом , так как , общий и .

Из равенства треугольников следует, что , т. е. отрезок равен линии тангенсов. Повернем чертеж вокруг линии на 180°, тогда будем иметь

и, следовательно, численно будут выполнены равенства

Так как длина хорды меньше, чем длина дуги, стягиваемой этой хордой, то

Поскольку длина ломаной линии, описанной около дуги окружности, больше, чем длина этой дуги, то

Из неравенства (2) получаем

Следовательно, можно сказать, что синус положительного угла всегда меньше своего аргумента. Из неравенства (3) получаем

Объединяя неравенства (4) и (5), будем иметь

или, деля на ,

Вспомнив замечание б), сделанное в начале параграфа, получим

Вычтем из единицы величины 1, , и, вспомнив замечание в), будем иметь

Преобразуем это неравенство, введя синус половинного угла:

Применяя неравенство (4), можно записать , и, следовательно, . Поэтому из неравенства (9) получим

При помощи полученного неравенства (10) можно сделать следующие выводы: Если достаточно мало, то и тоже мало. Поэтому при небольших значениях независимого переменного величина разности , заключенная между нулем и малой величиной , сама также мала.

Этому выводу можно придать и такую форму:

Будем говорить еще так: функция стремится к нулю при условии, что стремится к нулю.

Слово «стремится» будем обозначать знаком . Поэтому предыдущее заключение можно записать следующим образом: при условии, что .

Надо обратить внимание на то, что при , равном нулю , дробь теряет смысл, так как деление на нуль невозможно.

Если функция , то стремится к единице, следовательно, вывод из всего сказанного в этом параграфе такой:

Функция стремится к единице при условии, что независимое переменное стремится к нулю:

Определения предела

Определение 1. Число I называется пределом функции при , стремящемся к , если разность по абсолютной величине может быть сделана как угодно малой для всех значений , достаточно мало отличающихся от . Замечание. Часто вместо «предел функции» говорят «предельное значение функции».

Поясним это определение на примере, разобранном в § 2. Здесь функция, число , число . Разность , поэтому ; с другой стороны, меньше, чем , которое может быть сделано как угодно малым, если выбрать достаточно малым, т. е. достаточно близким к нулю.

Итак, используя определение, можно сказать, что функция имеет пределом единицу при условии, что стремится к нулю. Предел обозначается знаком , так что

Например,

Это можно сформулировать так:

• Предел отношения синуса к его аргументу при условии, что аргумент стремится к нулю, равен единице.

Пример:

Покажем, что функция имеет предел, равный 5, при , стремящемся к 2.

Решение:

Для доказательства рассмотрим разность между числом 5 и выражением . Преобразуя эту разность, получим

Так как , то, взяв достаточно близким к 2, получим, что абсолютная величина разности мала, а поэтому и произведение тоже мало.

Таким образом, абсолютная величина разности может быть сделана как угодно малой для всех значений , близких к 2, а это и значит, что . Этот пример отличается от разобранного в § 2 следующим. Если вычислим значение функции , то получим , т. е. значение функции при равно пределу этой функции при , стремящемся к 2. В примере было иначе. Там значения функции при не существовало, а предел этой функции при , стремящемся к 0, был равен 1. Это различие выражают словами так: функция может достигать своего предельного значения, и функция может не достигать своего предела.

В случае неограниченного возрастания независимого переменного дается другое определение предела.

Определение 2. Число называется пределом функции при неограниченном возрастании независимого переменного, если разность может быть сделана как угодно малой, по абсолютной величине для всех достаточно больших значений независимого переменного.

Пример:

Покажем, что предел функции при неограниченном возрастании равен 4.

Решение:

Рассмотрим разность и ее абсолютную величину

Если х велико по абсолютной величине, то и тоже велико, следовательно, мало, поэтому разность при больших будет мала, а это и значит, что предел функции при неограниченном возрастании равен 4. Условие «неограниченно возрастает» записывают так: . Результат примера 2 может быть записан следующим образом:

Будем говорить, что независимое переменное неограниченно убывает, если оно, оставаясь отрицательным, неограниченно возрастает по абсолютной величине.

Пример:

Если принимает значения —10, —100, —1000, —10 000, …, , …, то оно неограниченно убывает.

Предел функции при неограниченном убывании независимого переменного определяется аналогично определению 2, только вместо слов «для всех достаточно больших значений» ставятся слова «для всех достаточно малых».

При этом слова «достаточно малых» означают, что число отрицательно, а его абсолютная величина велика.

Предел при этом условии записывают так:

Пример:

Покажем, что

Решение:

Рассмотрим разность , она равна , поэтому

Но если отрицательно и велико по абсолютной величине, то мала по абсолютной величине, а это значит, что 2 есть предел функции при , неограниченно убывающем.

Применяя указанные обозначения, свойства показательной функции, можно записать так:

Замечание. Во всех определениях предела употреблялась абсолютная величина. Это объясняется тем, что функция может приближаться к пределу, оставаясь меньше его, больше его, и, наконец, колеблясь, т. е. становясь то больше, то меньше предела. Чтобы иметь возможность говорить о всех этих случаях сразу и употребляют абсолютную величину.

Свойства пределов

Во всех примерах, которые были приведены выше, мы не находили пределов, а доказывали, что такое-то число является пределом заданной функции при указанных условиях. Естественно возникает вопрос, как найти то число, относительно которого дальше будем доказывать, что оно является пределом заданной функции. Эта задача почти всегда является очень трудной, особенно если исходить из определения предела. Для облегчения этой задачи обычно используют некоторые свойства пределов, к изложению которых мы и переходим. Приводимые свойства будут поясняться на примерах, а доказательства даваться не будет. Доказательства можно найти в более полных курсах, например: Пискунов Н. С., «Дифференциальное и интегральное исчисление» или Тарасов Н. П., «Курс высшей математики».

Свойство 1. Предел суммы определенного числа функций равен сумме пределов каждой из этих функций, т. е.

В формулировке этого свойства, так же как и в следующих, предполагается, что все пределы вычисляются при одних и тех же условиях.

Пример:

Найдём , зная, что

Решение:

Так как , то, применяя указанное свойство, получим

Замечание. В формулировке свойства 1 говорится о сумме, но поскольку разность всегда можно записать в виде суммы, то свойство 1 распространяется и на разности.

Пример:

Найдем предел

Решение:

Так как , то, применяя свойство 1, получим

Свойство 2. Предел функции, сохраняющей, одно и то же значение, равен этому значению.

Это свойство формулируют и иначе: предел постоянного равен этому постоянному.

Пример:

Найдем предел Так как при любых значениях равно 1, то здесь имеет место случай, когда функция сохраняет постоянное значение, поэтому

Пример:

Найдем предел

Решение:

Так как 7,5 постоянно и не зависит от , то .

Свойство 3. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций.

Пример:

Найдем предел .

Решение:

В примере 1 было показано, что ,а . Применяя свойство 3, получаем

Хотя в формулировке свойства 3 говорится только о двух функциях, но этим же свойством можно пользоваться и при большем числе сомножителей.

Пример:

Найти .

Решение:

Это выражение можно представить как произведение двух сомножителей: и . Применяя свойство 3, получим

Применим это же свойство к первому сомножителю, получим

Свойство 4. Предел частного двух функций равен частному от деления предела делимого на предел делителя при условии, что предел делителя не равен нулю.

Пример:

Найдем предел .

Решение:

Так как , то по свойству имеем

Если же предел делителя равен нулю, то предел частного может равняться любому числу в зависимости от делимого. Приведем примеры.

Пример:

Рассмотрим предел, где —целое число .

Решение:

В этом примере предел делителя равен нулю, так как. Разберем возможные частные случаи. Если, то

Если , то Если , то

Заметим, что отыскание предела частного двух функций в случае, когда пределы и делителя и делимого одновременно равны нулю, является задачей, наиболее часто встречающейся и теоретически одной из важнейших. Но именно в этом случае свойство 4 не приносит пользы.

Свойство 5 (важное свойство предела). Если точка двигается как угодно по оси , приближаясь к точке как к своему пределу и точка не совпадает с началом координат, то возможны только два случая:

1. если имеет положительную абсциссу, то точка с некоторых пор имеет также положительную абсциссу’;
2. если имеет отрицательную абсциссу, то и точка с некоторого момента имеет отрицательную абсциссу.

Отсюда:

Если предел не равен нулю, то с некоторых пор знаки предела и допредельной величины совпадают.

Предел lim (1+x) ^1/x

Предел . Число

Рассмотрим функцию . Если стремится к нулю, то содержимое скобки приближается к единице. Если не равно нулю, то и скобка не будет равна единице; при этом, если больше нуля, то скобка больше единицы, если меньше нуля, то скобка меньше единицы. 1

Рассмотрим Неясно, чему он будет равняться, так как при число, большее единицы, возводится в положительную степень, а при число, меньшее единицы, возводится в отрицательную степень. Однако можно показать, что этот предел существует. Это доказывается в подробных курсах. Число, равное этому пределу, обозначается буквой . Таким образом, числом называется .

Число является иррациональным числом, его приближенное значение равно (с точностью до одной тысячной) 2,718. Оно встречается в математике столь же часто, как и число . Оказалось очень удобным взять число за основание логарифмов. Логарифмы с основанием е называются натуральными логарифмами. Они обозначаются знаком . Этими логарифмами пользуются преимущественно в теоретических вопросах.

Пример:

Найдем .

Решение:

Обозначив, будем иметь, что при . Поэтому .

Пример:

Найдем .

Решение:

Для этого преобразуем • Обозначив , будем иметь: . Замечание. Так как , то , (см. конец § 3).

Непрерывные функции

Как уже отмечалось, при нахождении пределов могут встретиться две возможности:

1) Предел функции равен значению функции при предельном значении независимого переменного, т.е.

2) Предельное значение функции не равнялось значению функции при предельном значении независимого переменного, т. е.

Так было в примере, разобранном в § 2, где не существовало. В связи с этим особо выделяется класс непрерывных функций.

Определение: Функция называется непрерывной. во всей области ее существования, если для любого а из области существования имеет место равенство

Те точки, в которых это условие не выполняется, называются точками разрыва функции.

Для доказательства непрерывности функции нужно показать справедливость равенства при любом из области существования функции.

Докажем непрерывность некоторых функций. Так, функция непрерывна, поскольку

Рассмотрим степенную функцию , где —целое положительное число. Применяя свойство, будем иметь

А это и значит, что степенная функция (с целым и положительным показателем) всюду непрерывна.

Так же легко доказать непрерывность многочлена (применяя свойства 1 и 3 § 5). Конечно, существует бесчисленное множество и других непрерывных функций. Приведем некоторые наиболее часто встречающиеся функции, непрерывные всюду в области своего существования:

Основное свойство непрерывной функции

Пусть функция непрерывна, т. е. при любом из области существования. По определению предела разность может быть сделана сколь угодно малой для всех значений , достаточно мало отличающихся от . Иными словами, если стремится к нулю, то и стремится к нулю. Но — приращение независимого переменного, — приращение функции. Поэтому сказанное ранее можно сформулировать так: для непрерывной функции приращение независимого переменного и приращение функции одновременно стремятся к нулю. В точках разрыва это не выполняется. На рис. 43 в точке А приращения функции и независимого переменного одновременно стремятся к нулю, в то время как в точке В приращение функции не может сделаться меньше ВС (если), хотя приращение независимого переменного может стремиться к нулю.

Замечание. Во всех последующих главах, если не указано противное, предполагается, что рассматриваемые функции непрерывны. Каждый раз, когда будут встречаться не непрерывные функции, это будет указано. В некоторых случаях, однако, непрерывность функции будет оговариваться специально. Итак, каждый раз, когда встречается слово «функция» без оговорок, ее следует считать непрерывной.

Решение задач на нахождение пределов

При решении задач на отыскание пределов следует помнить некоторые пределы, чтобы каждый раз не вычислять их заново. Комбинируя эти известные пределы, будем находить при помощи свойств, указанных в § 4, новые пределы.

Для удобства приведем наиболее часто встречающиеся пределы:

Если известно, что функция непрерывна, то вместо нахождения предела вычисляем значение функции.

Пример:

Найти .

Решение:

Так как многочлен—функция непрерывная, то

Пример:

Найти .

Решение:

Сначала находим предел знаменателя: ; он не равен нулю, значит, можно применить свойство 4 § 4, тогда

Пример:

Найти .

Решение:

Предел знаменателя равен нулю, поэтому свойство применить нельзя. Так как числитель—постоянное число, а знаменатель при , то вся дробь неограниченно возрастает по абсолютной величине, т. е. .

Пример:

Найти .

Решение:

Предел знаменателя равен нулю: , поэтому свойство 4 неприменимо. Но предел числителя тоже равен нулю: . Итак, пределы числителя и знаменателя одновременно равны нулю.

Однако число 2 является корнем и числителя и знаменателя, поэтому дробь можно сократить на разность (по теореме Безу). В самом деле,

следовательно,

Пример:

Найти ( целое, положительное).

Решение:

Имеем

Так как каждый множитель неограниченно растет, то и произведение также неограниченно растет, т. е.

Пример:

Найти ( целое, положительное).

Решение:

Имеем . Так как каждый множитель растет по абсолютной величине, оставаясь отрицательным, то в случае четной степени произведение будет неограниченно расти, оставаясь положительным, т. е. (при четном).

В случае нечетной степени абсолютная величина произведения растет, но оно остается отрицательным, т. е. (при нечетном).

Пример:

Найти .

Решение:

Если , то можно написать: , где . Поэтому

Пришли к примеру 6. Если же , то и

Здесь числитель остается постоянным, а знаменатель растет по абсолютной величине, поэтому

Результат этого примера рекомендуется запомнить в следующем виде: Степенная функция растет тем быстрее, чем больше показатель степени.

Пример:

Найти .

Решение:

В этом примере и числитель и знаменатель неограниченно возрастают. Разделим и числитель и знаменатель на старшую степень , т. е. на , тогда

и

Пример:

Найти .

Решение:

Совершая преобразования, получим

Так как , то предел знаменателя paвен нулю, в то время как предел числителя равен 1. Следовательно, вся дробь неограниченно возрастает, т. е.

Пример:

Найти .

Решение:

Вычислим предел —функция непрерывная: . Тогда

Пример:

Найти . Положим .

Решение:

Тогда

Следовательно,

Пример:

Найти .

Решение:

Здесь имеет место отношение синуса к его аргументу при условии, что аргумент стремится к нулю. Обозначив через , получим

Пример:

Найти .

Решение:

Введя половинный угол и вспомнив предыдущие примеры, будем иметь

Пример:

Найти.

Решение:

Преобразуем это выражение:

Пример:

Найдем и .

Решение:

Положим ; так как всегда неотрицательно и неограниченно растет вместе с , то при новое переменное . Поэтому получаем .

Аналогично , так как неограниченно убывает при .

Предел последовательности и функции. Теоремы о пределах

Постоянное число а называется пределом последовательности если для любого сколь угодно малого положительного числа существует номер N, что все значения которых удовлетворяют неравенству

Записывают это следующим образом:

Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству которое означает, что точки начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала т.е. попадают в какую угодно малую

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае — расходящейся.

Понятие предела функции является обобщением понятия предела последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции целочисленного аргумента n.

Пусть дана функция f(x) и пусть а — предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от а. Точка а может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.

Определение 1. Постоянное число А называется пределом функции если для всякой последовательности значений аргумента, стремящейся к , соответствующие им последовательности имеют один и тот же предел А.

Это определение называют определением предела функции по Гейне, или “на языке последовательностей».

Определение 2. Постоянное число А называется пределом функции если, задав произвольное как угодно малое положительное число можно найти такое (зависящее от ), что для всех х, лежащих в т.е. для х, удовлетворяющих неравенству 0значения функции f(x) будут лежать в т.е.

Это определение называют определением предела функции по Коши, или

Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при имеет предел, равный А, это записывается в виде

В том случае, если последовательность неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения х к своему пределу а, то будем говорить, что функция имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:

Переменная величина (т.е. последовательность или функция), имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой величиной.

Переменная величина, имеющая бесконечный предел, называется бесконечно большой величиной.

Для нахождения пределов на практике пользуются следующими теоремами.

Теорема 1. Если существуют пределы

Замечание. Выражения вида — являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и нахождение пределов такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.

Теорема 2. т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности, к

Теорема 3.

где — основание натурального логарифма. Формулы (6.10) и (6.11) носят название первого и второго замечательного пределов.

Используются на практике и следствия формулы (6.11):

в частности,

Если и при этом х > а, то пишут Если, в частности, а = 0, то вместо символа

Аналогично если и при этом х<а, то пишут Числа называются соответственно пределом справа и пределом слева функции f(x) в точке а. Для существования предела функции f(x) при необходимо и достаточно, чтобы Функция f(x) называется непрерывной в точке если

Условие (6.15) можно переписать в виде: то есть возможен предельный переход под знаком функции, если она непрерывна в данной точке.

Если равенство (6.15) нарушено, то говорят, что при функция f(x) имеет разрыв. Рассмотрим функцию Областью определения этой функции является множество R, кроме х = 0. Точка х = 0 является предельной точкой множества D(f), поскольку в любой ее окрестности, т.е. в любом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки из D(f), но она сама не принадлежит этому множеству. Значение не определено, поэтому в точке функция имеет разрыв.

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке если

и непрерывной слева в точке если

Непрерывность функции в точке равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.

Для того, чтобы функция была непрерывна в точке , например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел а во-вторых, чтобы этот предел был равен

Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв.

1. Если существует и не равен то говорят, что функция f(x) в точке имеет разрыв первого рода, или скачок.
2. Если равен или не существует, то говорят, что в точке функция имеет разрыв второго рода.

Например, функция имеет предел, равный значит, в точке х=0 она имеет разрыв второго рода. Функция (целая часть от х) в точках с целыми абсциссами имеет разрывы первого рода, или скачки.

Функция, непрерывная в каждой точке промежутка называется непрерывной в Непрерывная функция изображается сплошной кривой.

Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п.

Рассмотрим пример Я. И. Перельмана, дающий интерпретацию числа е в задаче о сложных процентах. Число е есть предел . В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма.

Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100% годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден. ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 1,5 = 150, а еще через полгода — в 150 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 (ден. ед.).

Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:

При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что

Пример:

Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность x имеет предел, равный 1.

Решение:

Нам надо доказать, что, какое бы мы ни взяли, для него найдется натуральное число N, такое, что для всех n > N имеет место неравенство

Возьмем любое Так как то для отыскания N достаточно решить неравенство Отсюда и, следовательно, зa N можно принять целую часть от l Мы тем самым доказали, что

Пример:

Найти предел последовательности, заданной общим членом

Решение:

Применим теорему о пределе суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему о пределе частного. Поэтому сначала преобразуем разделив числитель и знаменатель первого слагаемого на а второго на n. Затем, применяя теорему о пределе частного и о пределе суммы, найдем:

Пример:

Решение:

Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания.

Пример:

Найти

Решение:

Применять теорему о пределе разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида Преобразуем формулу общего члена:

Пример:

Дана функция Доказать, что не существует.

Решение:

Воспользуемся определением 1 предела функции через последовательность. Возьмем последовательность сходящуюся к 0, Покажем, что величина для разных последовательностей ведет себя по-разному. Пусть Очевидно, что Выберем теперь в качестве последовательность с общим членом также стремящуюся к нулю. Поэтому не существует.

Пример:

Доказать, что не существует.

Решение:

Пусть — последовательность, для которой Как ведет себя последовательность при различных Если при всех Если же для всех n и следовательно Таким образом, не существует.

Пример:

Найти

Решение:

Имеем: Обозначим t = 5х. При имеем: Применяя формулу (3.10), получим

Пример:

Вычислить

Решение:

Обозначим Имеем:

Пример:

Найти

Решение:

Обозначим Тогда

Пример:

Найти

Решение:

1. Применяя теорему 1 о пределе разности и произведения, находим предел знаменателя:

Предел знаменателя не равен нулю, поэтому, по теореме 1 о пределе частного, получаем:

2. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю, т.е. имеет место неопределенность вида 0/0. Теорема о пределе частного непосредственно неприменима. Для “раскрытия неопределенности” преобразуем данную функцию. Разделив числитель и знаменатель на х-2, получим при равенство:

Так как то, по теореме о пределе частного, найдем

3. Числитель и знаменатель при являются бесконечно большими функциями. Поэтому теорема о пределе частного непосредственно не применима. Разделим числитель и знаменатель на и к полученной функции применим теорему о пределе частного:

Пример:

Найти

Решение:

Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю: т.е. имеем неопределенность вида Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы выражения получим

Пример:

Найти

Решение:

Применение пределов в экономических расчетах

Сложные проценты

В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за фиксированные одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т. д.). Время — дискретная переменная. В некоторых случаях — в доказательствах и расчетах, связанных с непрерывными процессами, возникает необходимость в применении непрерывных процентов. Рассмотрим формулу сложных процентов:

Здесь Р — первоначальная сумма, i — ставка процентов (в виде десятичной дроби), S — сумма, образовавшаяся к концу срока ссуды в конце n-го года. Рост по сложным процентам представляет собой процесс, развивающийся по геометрической прогрессии. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, часто называют капитализацией процентов. В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной определению наращенной суммы: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время n, необходимо определить сумму полученной ссуды Р. В этом случае говорят, что сумма S дисконтируется, а проценты в виде разности S — Р называются дисконтом. Величину Р, найденную дисконтированием S, называют современной, или приведенной, величиной S. Имеем:

Таким образом, при очень больших сроках платежа современная величина последнего будет крайне незначительна.

В практических финансово-кредитных операциях непрерывные процессы наращения денежных сумм, т. е. наращения за бесконечно малые промежутки времени, применяются редко. Существенно большее значение непрерывное наращение имеет в количественном финансово-экономическом анализе сложных производственных и хозяйственных объектов и явлений, например, при выборе и обосновании инвестиционных решений. Необходимость в применении непрерывных наращений (или непрерывных процентов) определяется прежде всего тем, что многие экономические явления по своей природе непрерывны, поэтому аналитическое описание в виде непрерывных процессов более адекватно, чем на основе дискретных. Обобщим формулу сложных процентов для случая, когда проценты начисляются m раз в году:

Наращенная сумма при дискретных процессах находится по этой формуле, здесь m — число периодов начисления в году, i — годовая или номинальная ставка. Чем больше m, тем меньше промежутки времени между моментами начисления процентов. В пределе при имеем:

Поскольку При непрерывном наращении процентов применяют особый вид процентной ставки — силу роста, которая характеризует относительный прирост наращенной суммы в бесконечно малом промежутке времени. При непрерывной капитализации процентов наращенная сумма равна конечной величине, зависящей от первоначальной суммы, срока наращения и номинальной ставки процентов. Для того, чтобы отличить ставки непрерывных процентов от ставки дискретных процентов, обозначим первую через

Сила роста представляет собой номинальную ставку процентов при Множитель наращения рассчитывается с помощью ЭВМ или по таблицам функции.

Потоки платежей. Финансовая рента

Контракты, сделки, коммерческие и производственно-хозяйственные операции часто предусматривают не отдельные разовые платежи, а множество распределенных во времени выплат и поступлений. Отдельные элементы такого ряда, а иногда и сам ряд платежей в целом, называется потоком платежей. Члены потока платежей могут быть как положительными (поступления), так и отрицательными (выплаты) величинами. Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы между двумя последовательными платежами постоянны, называют финансовой рентой.

Ренты делятся на годовые и характеризует число выплат на протяжении года. Это дискретные ренты. В финансово-экономической практике встречаются и с последовательностями платежей, которые производятся так часто, что практически их можно рассматривать как непрерывные. Такие платежи описываются непрерывными рентами.

Пример:

Пусть в конце каждого года в течение четырех лет в банк вносится по 1 млн. рублей, проценты начисляются в конце года, ставка — 5% годовых. В этом случае первый взнос обратится к концу срока ренты в величину так как соответствующая сумма была на счете в течение 3 лет, второй взнос увеличится до так как был на счете 2 года. Последний взнос процентов не приносит. Таким образом, в конце срока ренты взносы с начисленными на них процентами представляют ряд чисел: Наращенная к концу срока ренты величина будет равна сумме членов этого ряда. Обобщим сказанное, выведем соответствующую формулу для наращенной суммы годовой ренты. Обозначим: S — наращенная сумма ренты, R — размер члена ренты, i — ставка процентов (десятичная дробь), n — срок ренты (число лет). Члены ренты будут приносить проценты в течение n — 1, n — 2,…, 2, 1 и 0 лет, а наращенная величина членов ренты составит

Перепишем этот ряд в обратном порядке. Он представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем и первым членом R. Найдем сумму членов прогрессии. Получим:

Обозначим и будем называть его коэффициентом наращения ренты. Если же проценты начисляются m раз в году, то где i — номинальная ставка процентов.

Величина называется коэффициентом приведения ренты. Коэффициент приведения ренты при показывает, во сколько раз современная величина ренты больше ее члена:

Пример:

Под вечной рентой понимается последовательность платежей, число членов которой не ограничено — она выплачивается в течение бесконечного числа лет. Вечная рента не является чистой абстракцией — на практике это некоторые виды облигационных займов, оценка способности пенсионных фондов отвечать по своим обязательствам. Исходя из сущности вечной ренты можно полагать, что ее наращенная сумма равна бесконечно большой величине, что легко доказать по формуле:

Коэффициент приведения для вечной ренты т. е. современная величина зависит только от величины члена ренты и принятой ставки процентов.

Производная, правила и формулы дифференцирования

Пусть функция у = f(x) определена в промежутке X. Производной функции у = f(x) в точке называется предел

Если этот предел конечный, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке при этом она оказывается обязательно и непрерывной в этой точке.

Если же рассматриваемый предел равен то при условии, что функция в точке непрерывна, будем говорить, что функция f(x) имеет в точке бесконечную производную.

Производная обозначается символами

Нахождение производной называется дифференцированием функции. Геометрический смысл производной состоит в том,что производная есть угловой коэффициент касательной к кривой в данной точке физический смысл — в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость движущейся точки при прямолинейном движении

Если с — постоянное число, и — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

сложная функция, или суперпозиция, составленная из дифференцируемых функций < или 6) если для функции существует обратная дифференцируемая функция причем На основе определения производной и правил дифференцирования можно составить список табличных производных основных элементарных функций.

Вычислим производную степенно-показательного выражения суть функции от х, имеющие в данной точке производные

Прологарифмировав равенство получим

Приравнивая производные по х от обеих частей полученного равенства с помощью правил 3, 5 и формулы для производной логарифмической функции, будем иметь:

Итак,

Например, если

Если функция дифференцируема в точке х, т.е. имеет в этой точке конечную производную то где отсюда

Главная часть приращения функции, линейная относительно называется дифференциалом функции и обозначается Если положить в этой формуле у=х, то получим поэтому т. е. символ для обозначения производной можно рассматривать как дробь.

Приращение функции есть приращение ординаты кривой, а дифференциал есть приращение ординаты касательной.

Пусть мы нашли для функции ее производную Производная от этой производной называется производной второго порядка функции f(x), или второй производной, и обозначается . Аналогично определяются и обозначаются: производная третьего порядка — производная четвертого порядка — и вообще производная n-го порядка —

Пример:

Вычислить производную функции

Решение:

По правилу 3,

Пример:

Найти

Решение:

Используя правила дифференцирования суммы и частного, получим:

Пример:

Найти производную сложной функции

Решение:

По правилу дифференцирования сложной функции, получим:

Так как то

Пример:

Найти производную функции

Решение:

Представим функцию в виде суперпозиции двух функций:

Имеем: Подставляя вместо получим

Пример:

Найти производную функции

Решение:

Обозначим тогда производная сложной функции и вычисляется по формуле

Пример:

Найти производную функции

Решение:

Случай сложной функции, полученной в результате нескольких суперпозиций, исчерпывается последовательным применением правила 5:

Пример:

Вычислить производную

Решение:

Логарифмируя и используя свойства логарифмов, получим: Дифференцируя обе части последнего равенства, получим:

Предельный анализ в экономике. Эластичность функции

В экономических исследованиях для обозначения производных часто пользуются специфической терминологией. Например, если есть производственная функция, выражающая зависимость выпуска какой-либо продукции от затрат фактора называют предельным продуктом; если есть функция издержек, т. е. функция выражает зависимость общих затрат от объема продукции х, то называют предельными издержками.

Предельный анализ в экономике — совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменении объемов производства, потребления и т.п. на основе анализа их предельных значений. Большей частью плановые расчеты, основывающиеся на обычных статистических данных, ведутся в форме суммарных показателей. При этом анализ заключается главным образом в вычислении средних величин. Однако в некоторых случаях оказывается необходимым более детальное исследование с учетом предельных значений. Например, при выяснении издержек производства зерна в районе на перспективу принимают во внимание, что издержки могут быть различными в зависимости, при прочих равных условиях, от предполагаемых объемов сбора зерна, так как на вновь вовлекаемых в обработку худших землях издержки производства будут выше, чем по району в среднем.

Если зависимость между двумя показателями задана аналитически: — то средняя величина представляет собой отношение а предельная — производную

Нахождение производительности труда. Пусть известна функция выражающая количество произведенной продукции и за время работы t.

Вычислим количество произведенной продукции за время

Средней производительностью труда называется отношение количества произведенной продукции к затраченному времени, т.е.

Производительностью труда рабочего в момент называется предел, к которому стремится при Вычисление производительности труда, таким образом, сводится к вычислению производной:

Издержки производства К однородной продукции есть функция количества продукции х. Поэтому можно записать Предположим, что количество продукции увеличивается на Количеству продукции соответствуют издержки производства Следовательно, приращению количества продукции соответствует приращение издержек производства продукции

Среднее приращение издержек производства есть Это приращение издержек производства на единицу приращения количества продукции. Предел называется предельными издержками производства. Если обозначить через выручку от продажи х единиц товара, то и называется предельной выручкой.

С помощью производной можно вычислить приращение функции, соответствующее приращению аргумента. Во многих задачах удобнее вычислять процент прироста (относительное приращение) зависимой переменной, соответствующий проценту прироста независимой переменной. Это приводит нас к понятию эластичности функции (иногда ее называют относительной производной). Итак, пусть дана функция для которой существует производная Эластичностью функции у = f(x) относительно переменной х называют предел Его обозначают

Эластичность относительно х есть приближенный процентный прирост функции (повышение или понижение), соответствующий приращению независимой переменной на 1%. Экономисты измеряют степень чуткости, или чувствительности, потребителей к изменению цены продукции, используя концепцию ценовой эластичности.

Для спроса на некоторые продукты характерна относительная чуткость потребителей к изменениям цен, небольшие изменения в цене приводят к значительным изменениям в количестве покупаемой продукции. Спрос на такие продукты принято называть относительно эластичным или просто эластичным.

Что касается других продуктов, потребители относительно нечутки к изменению цен на них, то есть существенное изменение в цене ведет лишь к небольшому изменению в количестве покупок. В таких случаях спрос относительно неэластичен или просто неэластичен. Термин совершенно неэластичный спрос означает крайний случай, когда изменение цены не приводит ни к какому изменению количества спрашиваемой продукции. Примером может служить спрос больных острой формой диабета на инсулин или спрос наркоманов на героин. И наоборот, когда при самом малом снижении цены покупатели увеличивают покупки до предела своих возможностей — тогда мы говорим, что спрос является совершенно эластичным.

Теория пределов

В этой главе изучается операция предельного перехода — основная операция математического анализа. Сначала рассмотрим предел функции натурального аргумента, поскольку все основные результаты теории пределов отчетливо видны в этой простой ситуации. Затем рассмотрим предел в точке функции действительной переменной.

Предел последовательности

Определение 2.1. Функция f : → , областью определения которой является множество натуральных чисел, называется последовательностью.

Значения f (n), n ∈ , называются членами последовательности. Их принято обозначать символом элемента того множества, в которое происходит отображение, снабжая символ соответствующим индексом (аргументом функции f): x_n = f (n). Элемент x_n называется n-м членом последовательности. В связи с этим последовательность часто обозначают символом {x_n} или {x_n} , а также записывают в виде x₁, x₂, . . . , x_n,…

 В дальнейшем в этой главе будем рассматривать только последовательность f : → действительных чисел.

Определение 2.2. Любой интервал, содержащий точку a ∈ , называют окрестностью этой точки. Интервал (a — δ, a + δ), δ > 0, называют δ-окрестностью точки а и обозначают Ua(δ) или Va(δ) (или короче: U_a или V_a).

Определение 2.3. Число a ∈ называют пределом числовой последовательности {xn}, если для любой окрестности точки a существует номер N ∈ N такой, что все элементы xn последовательности, номера которых больше N, содержатся в U_a . При этом пишут

В логической символике определение 2.3 имеет вид: 

a ∈ R. a = lim xn ⇔ ∀U_a ∃N = N (U_a) ∈ : ∀n > N x_n ∈ U_a.

Поскольку U_a(ε) = (a — ε, a + ε) = {x ∈ : |x — a| ε}, то часто употребляют следующую равносильную формулировку определения 2.3

Определение 2.4. Число a называют пределом числовой последовательности {x_n}, если для любого положительного числа ε найдется номер N = N (ε) такой, что все члены последовательности с номерами n > N удовлетворяют неравенству |x_n — a| ε.

Соответственно, в логической символике это определение имеет вид:

a ∈ , a = lim xn ⇔ ∀ε > 0 ∃N = (ε) ∈ N : ∀n > N |xn — a| ε

Замечание. Первые члены последовательности не влияют на существование и величину предела в случае его существования.

Иногда полезна следующая геометрическая интерпретация определения 2.3 предела последовательности:
Число a называется пределом последовательности {x_n}, если вне любой окрестности точки a находится не более конечного числа членов последовательности {x_n}.
Ясно, что если вне некоторой окрестности точки a находится бесконечное число членов {x_n}, то a не является пределом {xn}.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 2.1. Если {x_n} : xn = c, то lim x_n = c, так как все члены последовательности, начиная с первого, принадлежат любой окрестности точки c.

Пример 2.2. Покажем, что последовательность  , имеет предел и lim x_n = 0.

Зафиксируем ε > 0. Так как

и для , то, полагая N = max{1, [1∕ε]}, получим:

Следовательно, ∀ε > 0 ∃N = max{1, [1∕ε]} ∈ N : ∀n > N |xn| ε.

Замечание. Одновременно мы доказали, что. 

Пример 2.3. Покажем, что , если q > 1.

Поскольку q > 1, то q = 1 +α, где α > 0. Поэтому ∀n > 1 по формуле бинома Ньютона

Отсюда следует, что , ∀n > 1. Зафиксируем ε > 0, положим N = max{1, [1∕αε]} и получим, что

Итак, ∀ε > 0 ∃N = max{1, [1∕εα]} ∈ N : ∀n > N |1/qⁿ| ε.

Пример 2.4. Покажем, что последовательность {x_n} : x_n = (-1)ⁿ, не имеет предела.

Для любого числа a укажем такую окрестность, вне которой расположено бесконечное множество членов данной последовательности. Для этого зафиксируем точку a ∈ R и рассмотрим ee единичную окрестность U_a(1) = (a- 1, a+ 1). Поскольку x_2k = 1, x_2k+1 = -1, ∀k ∈ , и хотя бы одно из чисел +1 или -1 не принадлежит U_a(1), то вне U_a(1) находится бесконечное множество членов последовательности {x_n}. Следовательно, число a не является её пределом. В силу произвольности числа a заключаем, что lim xn. 

Определение 2.5. Числовая последовательность, пределом которой является число, называется сходящейся. Все остальные последовательности называются расходящимися.

В логической символике определение 2.5 имеет вид:
{x_n} сходится ⇔ ∃ a ∈ : lim xn = a.
{x_n} расходится ⇔ ∀a ∈ ∃ ε > 0 : ∀N ∈ ∃ n > N : |x_n — a| ≥ ε.

Последовательности {c}, , , если q > 1, являются сходящимися, а последовательность {(-1)ⁿ} — расходящейся.

Свойства сходящихся последовательностей

Теорема 2.1. Последовательность не может иметь двух разных пределов.

Пусть числовая последовательность {x_n} имеет два различных предела a и b. Для определенности будем считать, что a b. Положим ε =.
По определению 2.4 предела последовательности найдем N₁ и N₂ такие, что |x_n-a| ε = , ∀ n > N₁ , то есть ∀_n > N₁

и |xn — b| ε =, ∀n > N₂ , то есть ∀n > N₂

Тогда ∀n > N = max{N₁ , N₂} , чего быть не может. 

Определение 2.6. Числовая последовательность {X_n} называется ограниченной сверху (соответственно, снизу или ограниченной), если множество X = {X_n | n ∈ } является ограниченным сверху (снизу или ограниченным). Если X — неограниченное множество, то {X_n} называется неограниченной последовательностью.

C учетом определений 2.1 и 2.2 имеем:
{X_n} ограничена сверху ⇔ ∃ M ∈ : ∀n ∈ Xn ≤ M,
{X_n} ограничена снизу ⇔ ∃ M ∈ : ∀n ∈ Xn ≥ M,
{X_n} ограничена ⇔ ∃ M > 0 : ∀n ∈ |Xn| ≤ M,
{X_n} не ограничена ⇔ ∀M > 0 ∃n ∈ : |Xn| > M.

Теорема 2.2. Сходящаяся последовательность ограничена.

Пусть последовательность {X_n} сходится и lim X_n = d. Полагая в определении 2.4 ε = 1, найдем номер N такой, что |X_n — d| 1,∀n > N, то есть d- 1 Xn d + 1, ∀ n > N . Введем обозначения:

a = min{х₁, х₂, . . . , х_N, d — 1}, b = max{х₁, х₂, . . . , х_N, d + 1}.

Тогда a ≤ X_n ≤ b, ∀ n ∈ .

Замечание. Ограниченность последовательности — необходимое, но недостаточное условие сходимости (см.пример 4).

Теорема 2.3. Если последовательность {X_n} сходится и lim X_n = a, то последовательность {|X_n|} сходится и lim |X_n| = |a|.

Так как a = limх_n, то ∀ε > 0 ∃N = N(ε) ∈ : ∀n > N |х_n — a| ε. Отсюда следует, что ∀_n > N ||х_n| — |a|| ≤ |х_n — a| ε.

Замечание 1. Из теоремы 2.3 и примера 3 следует, что при |q| > 1

.
Замечание 2. Обратное утверждение к теореме 2.3 не имеет места.

Теорема 2.4. Если последовательности {х_n} и {y_n} сходятся и при этом х_n ≤ y_n, ∀n > n₀, то lim х_n ≤ lim y_n.

Следовательно, ∀ n > max{n₀, N} y_n   x_n, что противоречит условию.

Замечание. Если последовательности {x_n}, {y_n} сходятся и для всех n > n₀ x_n y_n, то можно утверждать лишь, что lim x_n ≤ lim y_n . Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть последовательности x_n = и y_n =  .

Непосредственно из определения 2.4 следуют и такие результаты.

Теорема 2.5. Если последовательность {x_n} сходится и lim x_n b (b ∈ ), то ∃ N ∈ : x_n b, ∀n > N .

Следствие. Если последовательность {xn} сходится и lim x_n 0, то ∃ N ∈ : sgn xn = sgn(lim xn), ∀n > N.

Теорема 2.6. Пусть последовательности {x_n}, {y_n}, {z_n} удовлетворяют условиям:
1)    x_n ≤ y_n ≤ z_n , ∀n > n0 ,
2)    последовательности {x_n} и {z_n} сходятся и lim x_n = lim z_n = a.

Тогда последовательность {y_n} сходится и lim y_n = a.

Бесконечно малые последовательности

Определение 2.7. Числовая последовательность {x_n} называется бесконечно малой (коротко б.м.), если она сходится и lim x_n = 0.

Согласно определению 2.4 предела числовой последовательности, определение 2.7 эквивалентно следующему:

Определение 2.8. Числовая последовательность {x_n} называется бесконечно малой, если для любого положительного числа ε найдется номер N = N(ε) такой, что при всех n > N элементы xn этой последовательности удовлетворяют неравенству |x_n | ε.

Итак, {x_n} — б.м. ⇔ ∀ε > 0 ∃ N = N(ε) : ∀n > N |x_n| ε.

Из примеров 2, 3 и замечания 1 к теореме 2.3 получаем, что последовательности , ,  при , являются бесконечно малыми.

Свойства бесконечно малых последовательностей описываются следующими теоремами.

Теорема 2.7. Сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. 

Пусть последовательности {x_n}, {y_n} — бесконечно малые. Покажем, что таковой будет и {x_n + y_n}. Зададим ε > 0. Тогда найдется номер N₁ = N₁ (ε) такой, что 

,    (2.1) 

и найдется номер N₂ = N₂ (ε) такой, что 

.

Обозначим через N = max{N₁ , N₂}. При n > N будут справедливы неравенства (2.1) и (2.2) . Поэтому при n > N

.

Это означает, что последовательность {x_n + y_n} — бесконечно малая.
Утверждение о сумме конечного числа бесконечно малых последовательностей следует из доказанного по индукции.

Теорема 2.8. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность является бесконечно малой.

Пусть {x_n} — ограниченная и {yn} — бесконечно малая последовательности. По определению 2.6 ограниченной последовательности найдется число M > 0 такое, что 

|x_n| ≤ M, ∀n ∈ .    (2.3)

Зафиксируем произвольное число ε > 0. Так как {y_n} — бесконечно малая последовательность, то найдется номер N=    N(ε) такой, что

Из (2.3) и (2.4) получаем, что ∀n > N

Поэтому последовательность {x_n ∙ y_n} является бесконечно малой. 

Следствие 1. Произведение бесконечно малой последовательности на сходящуюся есть бесконечно малая последовательность. 

Следствие 2. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Пользуясь бесконечно малыми последовательностями, на определение сходящейся последовательности можно посмотреть по-другому.

Лемма 2.1. Для того чтобы число a являлось пределом числовой последовательности {x_n}, необходимо и достаточно, чтобы имело место представление xn = a + α_n, ∀ n ∈ N, в котором {α_n} — бесконечно малая последовательность.

Необходимость. Пусть lim xn = a и a ∈ . Тогда

∀ε > 0 ∃N = N(ε) ∈ : ∀n > N |xn — a| ε.

Если положить αn = x_n — a, n ∈ , то получим, что {α_n} — бесконечно малая последовательность и x_n = a + α_n , ∀n ∈ .

Достаточность. Пусть последовательность {x_n} такова, что существует число a, для которого x_n = a + α_n , n ∈ , и lim α_n = 0. Зафиксируем произвольное положительное число ε. Так как lim α_n = 0, то найдется номер N = N (ε) ∈ такой, что ∣α_n∣ ε, ∀n > N. Или (в других обозначениях) ∀n > N ∣x_n — a| ε. Это означает, что lim xn = a.

Применим лемму 2.1 к одному важному частному примеру.

Лемма 2.2. lim = 1. 

Так как для всех n > 1 > 1, то = 1 + αn, причем α_n > 0 для всех n > 1. Поэтому.  Поскольку все слагаемые положительны, .

Пусть ε > 0. Так как для всех n > 2∕ε², то, полагая N = max{1, [2∕ε²]}, получим, что 0 α_n ε, ∀n > N. Следовательно, последовательность {α_n} является бесконечно малой и, согласно лемме 2.1, lim = 1.

Следствие. Если а > 1, то lim = 1.

Утверждение следует из неравенств 1 ≤ , ∀n > [а].

Арифметические операции с последовательностями

Пользуясь леммой 2.1 и свойствами бесконечно малых последовательностей, легко получить теоремы о пределах последовательностей, получаемых с помощью арифметических операций из сходящихся последовательностей.

Теорема 2.9. Пусть числовые последовательности {x_n} и {y_n} сходятся. Тогда имеют место утверждения:
1)    последовательность {x_n ± y_n} сходится и
lim(x_n ± y_n) = lim x_n ± lim y_n;

2)    последовательность {x_n ∙ y_n} сходится и
lim(x_n ∙ y_n) = lim х_n ∙ lim y_n;

3)    если lim y_n 0, то отношение xn/yn определено, начиная с некоторого номера, последовательность {xn} сходится и
. 

Докажем только утверждения 2) и 3). Пусть lim x_n = a, lim y_n = b. По лемме 2.1 xn = a + α_n, y_n = b + βn, ∀n ∈ , где {α_n}, {β_n} — бесконечно малые. Тогда 

x_n ∙ y_n =  a ∙ b + (a ∙ ∕β_n + b ∙ α_n + α_n ∙ β_n) . (2.5)

По теореме 2.8 и следствию 1 последовательности {a∙β_n}, {b∙α_n}, {α_n∙β_n} являются бесконечно малыми. По теореме 2.7 последовательность {aβ_n+bα_n+α_nβ_n} бесконечно мала. Из представления (2.5) по лемме 2.1 и следует утверждение 2).

Обратимся к утверждению 3). По условию lim y_n = b 0. В силу теоремы 2.3. последовательность {|y_n|} сходится и lim |y_n| = |b| 0. Поэтому по числу ε = |b|/2 найдется номер N такой, что ∀n > N

Следовательно, y_n 0, и , ∀n > N.

Таким образом, частное x_n/y_n определено для всех n > N, а последовательность {1/y_n} ограничена. Рассмотрим для всех n > N разность

Последовательность {α_nb — aβ_n} — бесконечно малая, и  — ограниченные. По теореме 2.8 последовательность  — бесконечно малая.  Поэтому, в силу леммы 2.1, утверждение 3) доказано.

Следствие 1. Если последовательность {x_n} сходится, то для любого числа c последовательность {c ∙ x_n} сходится и lim(cxn) = c ∙ lim x_n.

Следствие 2. Если a > 0, то lim = 1.

Следствие 3. Для любого a ∈ ∃ lim = 1

 Так как 1 n + a 2n для n > N = [|a|] + 2, то 1   ∙ .
Отсюда с учетом теорем 2.9 и 2.6 получаем нужное.

Бесконечно большие последовательности 

Определение 2.9. Числовая последовательность {x_n} называется бесконечно большой (коротко б.б.), если для любого положительного числа ε найдется номер N = N (ε) такой, что все члены последовательности с номерами n > N удовлетворяют неравенству |x_n | > ε. Если все члены бесконечно большой последовательности, начиная с некоторого номера, положительны (отрицательны), то последовательность называется положительной (отрицательной) бесконечно большой.

Для формализации записи бесконечно большой последовательности традиционно используют одно из следующих обозначений
lim x_n = ∞, lim x_n = +∞, lim x_n = -∞, которые в символьной записи можно представить так:
lim x_n = ∞ ⇔ ∀ε > 0 ∃N = N(ε) ∈ : ∀n > N |x_n| > ε.
lim x_n = +∞ ⇔ ∀ε > 0 ∃ N = N (ε) ∈ : ∀n > N x_n > ε.
lim x_n = -∞ ⇔ ∀ε > 0 ∃ N = N (ε) ∈ : ∀n > N x_n -ε.

Прежде всего, отметим связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями.

Теорема 2.10. Если последовательность {xn} является бесконечно большой, то, начиная с некоторого номера, определено отношение 1/xn и последовательность {1/xn} является бесконечно малой. Если все члены бесконечно малой последовательности {xn} отличны от нуля, то последовательность {1/xn} является бесконечно большой.

Докажем, например, первую часть утверждения. Пусть {x_n} — бесконечно большая последовательность. По определению 2.9 лишь конечное число её членов может быть равно нулю. Поэтому существует n₀ ∈ такое, что для всех n > n₀ x_n 0 и отношение 1/xn определено. Поскольку первые члены  последовательности не влияют на существование и величину предела, будем считать, что x_n 0, ∀n ∈ .

Зафиксируем произвольное число ε > 0. По определению 2.9 бесконечно большой последовательности найдётся такое N = N(ε) ∈ , что |x_n| > 1∕ε, ∀ n > N. Следовательно, |1/x_n| ε, ∀n > N.

Замечание. Легко показать, что последовательность  является бесконечно малой. Однако последовательность обратных величин в этом случае не определена.
Из теоремы 2.10, примера 3 и замечания 1 к теореме 2.3 следует

Лемма 2.3. Последовательность qⁿ, где |q| > 1, является бесконечно большой. Если q > 1 последовательность {qⁿ} является положительной бесконечно большой.

Выясним связь между бесконечно большими и неограниченными последовательностями. Непосредственно из определений 2.9 и 2.6 следует

Теорема 2.11. Бесконечно большая последовательность не ограничена. 

Замечание. Неограниченность последовательности — необходимое, но не достаточное условие для того, чтобы она была бесконечно большой. Подтверждением этого является следующий пример.

Пример 2.5. Пусть {x_n} : x_n = n^(-1)n . Изучим последовательности, со ставленные из элементов данной последовательности с четными и нечетными номерами, то есть {2n} и . Первая из них является бесконечно большой, а значит неограниченной вместе с рассматриваемой последовательностью.
Вторая последовательность является бесконечно малой. Поэтому для любого ε > 1 все элементы последовательности c нечетными номерами, не удовлетворяют неравенству |x_n | > ε и потому исходная последовательность не является бесконечно большой. 

Теорема 2.12. Сумма бесконечно большой последовательности и ограниченной последовательности является бесконечно большой последовательностью.

Пусть {x_n} — ограниченная последовательность, {y_n} — бесконечно большая. Тогда ∃M > 0 : |x_n| ≤ M, ∀ n > 1 и

∀ε > 0 ∃N = N(ε) ∈ : ∀n > N |y_n| > ε+M.

Поэтому |x_n + y_n | ≥ |y_n | — |x_n | ≥ |y_n | — M > (ε + M) — M = ε, ∀n > N.

Немного изменяя доказательство, теорему 2.12 можно уточнить.

Теорема 2.13. Сумма ограниченной и положительной (отрицательной) бесконечно большой и последовательностей есть положительная (отрицательная) бесконечно большая последовательность.

Теорема 2.14. Сумма двух бесконечно больших последовательностей одного знака есть бесконечно большая того же знака.

Пусть последовательности {x_n} и {y_n} — бесконечно большие одного знака. Тогда ∃n₀ ∈ : ∀n > n0 |x_n + y_n| = |x_n| + |y_n|. Но, в силу определения 2.9, по любому числу ε > 0 найдётся номер N > n₀ такой, что

|x_n| > ε и |y_n| > ε, ∀r > N.

Тогда |x_n + y_n| = |x_n| + |y_n| > + = ε, ∀n > n ,и поэтому последовательность {x_n+y_n} является бесконечно большой. Но при n > N₀ sgn(x_n+y_n) = sgn(x_n) = sgn(y_n). Таким образом, последовательность {x_n + y_n} — бесконечно большая того же знака, что и последовательности {x_n}, {y_n}.

Замечание. Если последовательности {x_n}, {y_n} являются бесконечно большими разных знаков, то о поведении последовательности {x_n + y_n} ничего определённого сказать нельзя. Для иллюстрации последнего высказывания достаточно рассмотреть, например, последовательности
x_n = n, y_n = -n + (-1)ⁿ или y_n = -n + a, где a ∈ .

Определение 2.10. Числовая последовательность {x_n} называется отграниченной от нуля, если существует число m > 0 и номер n₀ такие, что |x_n | ≥ m, ∀n > n₀ .

В логической символике определение 2.10 записывается в виде:

{x_n} отграничена от 0 ∃ m > 0 ∃ n₀ ∈ : ∣x_n∣ ≥ m, ∀ n > n₀.

Лемма 2.4. Если числовая последовательность {x_n} — сходящаяся, причём lim |x_n | 6= 0, или является бесконечно большой, то она отграничена от нуля.

Пусть lim |xn| =, a ∈ , a 0. Тогда по числу ε = |a|/2 найдётся номер N = N(ε) ∈ такой, что

Выполнение левого неравенства означает нужное. Вторая часть леммы следует из определения 2.9 бесконечно большой последовательности.

Теорема 2.15. Произведение бесконечно большой последовательности и отграниченной от нуля есть бесконечно большая последовательность.

Пусть {x_n} — отграниченная от нуля последовательность, а {y_n} — бесконечно большая. Тогда для первой — ∃ m > 0 ∃n₀ ∈ : |x_n| ≥ m, ∀n > n₀, а для второй — ∀ε > 0 ∃N = N(ε) ∈ : N > n₀ и ∣y_n∣ > ε∕m, ∀n > N Следовательно, ∀n > N

Замечание 1. Не зная законов изменения бесконечно большой и бесконечно малой последовательностей, ничего определенного о поведении их произведения сказать нельзя. В этом случае говорят, что имеет место неопределенность ∞ • 0.

Замечание 2. Отношение двух бесконечно малых (больших) последовательностей представляет неопределённость вида 0/0 (соответственно ∞∕∞).

Определение предела в 

Определение 2.11. Пусть ε — некоторое положительное число. ε-окрестностью символа +∞ назовём интервал

(ε, +∞) = {x ∈ | x > ε}

и обозначим его U+∞ (ε) или U+∞. Аналогично, ε-окрестностью символа -∞ назовём интервал

(-∞, -ε) = {x ∈ | x -ε}

и обозначим его U-∞(ε) или U-∞. Множество {x ∈ : |x| > ε} назовём ε-окрестностью символа ∞ и обозначим его U∞.

Определение 2.12. Пусть a ∈ . Говорят, что точка а является пределом последовательности {x_n}, если для любой ε-окрестности Ua точки а найдётся номер N = N (U_a) такой, что все члены x_n последовательности с номерами n > N принадлежат окрестности U_a .При этом пишут lim x_n = a или xn → a при n → ∞.

Лемма 2.5. Если последовательности {x_n} и {y_n} имеют пределы в R и x_n ≤ y_n, ∀n > N₀, то lim x_n ≤ lim y_n.

Пусть lim x_n = a ∈ , lim y_n = b ∈ . Если a ∈ и b ∈ , это утверждение леммы совпадает с теоремой 2.4 о переходе к пределу в неравенстве для сходящихся последовательностей.

Если a = -∞, b ∈ , или a ∈ , b = +∞, неравенство a ≤ b очевидно.
Если a = +∞, то ∀ε > 0 ∃N = N (ε) > N0 : xn > ε, ∀n > N. Но xn ≤ yn, ∀ n > N0, поэтому yn ≥ xn > ε, ∀n > N . Следовательно, последовательность {yn} является положительной бесконечно большой и a = b = +∞. Аналогично показывается, что если b = -∞, то a = -∞.

Учитывая определения 2.9 и 2.12, можно сказать, что бесконечно большая последовательность имеет предел в R и он равен одному из бесконечных символов ∞, -∞, +∞.

Далее, говоря о сходящихся последовательностях, мы будем иметь в виду последовательности, имеющие конечный предел, а выражение «последовательность стремится к . . . » или «имеет предел, равный . . . » будем использовать и тогда, когда будем иметь дело и с бесконечно большими последовательностями.

Подпоследовательности и их свойства

Определение 2.13. Если — последовательность, — возрастающая последовательность натуральных чисел, то последовательность  называется подпоследовательностью последовательности {x_n}.

Из определения следует, что подпоследовательность есть суперпозиция последовательностей {x_n} и {n_k}.

Замечание. Если {n_k} — возрастающая последовательность натуральных чисел, то она является положительной бесконечно большой. Действительно, n₁ ≥ 1; n₂ > n1 ≥ 1, поэтому n₂ ≥ 2; n₃ > n₂ ≥ 2, поэтому n₃ ≥ 3. Методом математической индукции можно показать, что n_k ≥ k, ∀ k ∈ . Отсюда по лемме 2.5 получаем нужное.

Рассмотрим последовательности {x_n}, {2_k} и 4, 2, 6, 8, 10,      Последовательность {2_k} — подпоследовательность последовательности {n} (здесь n_k = 2_k, k ∈ ), а последовательность 4,2,8,10,. . . не является подпоследовательностью последовательности {n}, хотя последовательности {2_k} и 4, 2, 6, 8, 10, . . . состоят из одних и тех же чисел. Последовательность {x_n+n0 } является подпоследовательностью последовательности {xn}, если n0 ∈ . Сама последовательность {x_n} может рассматриваться как подпоследовательность самой себя (при этом n_k = k, k ∈ ).

Теорема 2.16. Если точка a ∈ R является пределом последовательности {x_n}, то любая подпоследовательность последовательности {xn} имеем предел и он равен a.

Пусть {x_nk } — подпоследовательность последовательности {x_n}. Зафиксируем некоторую окрестность U_a точки a. По определению 2.12 найдётся номер N = N(U_a) такой, что xn ∈ U_a, ∀n > N. Но lim n_k = +∞. Поэтому существует номер k₀ такой, что nk > N, ∀ k > k₀. Следовательно, xnk ∈ U_a, ∀ k > k₀ и lim x_nk = a. 

Следствие. Если две подпоследовательности одной последовательности {x_n } имеют не совпадающие пределы, и хотя бы один из двух пределов — число, то последовательность {xn} предела не имеет.
Если бы последовательность {x_n} имела предел, то тот же предел имели бы и все её подпоследовательности, но это противоречит условию теоремы.

Определение 2.14. Последовательность множеств называется системой вложенных множеств, если X_k ⊃ X_k+1 , ∀ k ∈ .

Очевидно, что последовательность отрезков является системой вложенных отрезков, если выполнены условия:
1)    a_n ≤ b_m , ∀ n ∈ , ∀ m ∈ .
2)    {a_n} — неубывающая последовательность.
3)    {b_n} — невозрастающая последовательность.

Лемма 2.6 (o вложенных отрезках). Пусть — система вложенных отрезков и последовательность {b_n — a_n} длин отрезков системы является бесконечно малой, тогда существуют единственная точка c, принадлежащая всем отрезкам, и lim a_n = lim b_n = c.

Поскольку — система вложенных отрезков, то для числовых множеств A = {a_n | n ∈ }, B = { bn | n ∈ } выполнены условия аксиомы полноты множества . В силу этого найдётся число c ∈ такое, что ∀ an ∈ A, ∀ b_m ∈ B выполнены неравенства a_n ≤ c ≤ b_m. В частности, 

a_n ≤ c ≤ b_n, ∀n ∈ ,

то есть существует точка c, принадлежащая всем отрезкам системы.

Докажем её единственность. Пусть c и c₁ — две точки, принадлежащие отрезкам [a_n, b_n], ∀ n ∈ . Тогда
0 ≤ |c — c₁| ≤ b_n — a_n, ∀n ∈ .    (2.6)

По условию леммы b_n — a_n → 0 при n → ∞. Применяя к (2.6) теоремы 2.1, 2.6 получим, что c = c₁. Аналогично, поскольку 0 ≤ c — a_n ≤ b_n — a_n и 0 ≤ b_n — c ≤ b_n — a_n, ∀n ∈ , то ∃ lim a_n = lim b_n = c.

Замечание. Доказанную лемму o вложенных отрезках (часто её называют принципом Коши-Кантора) можно взять в качестве аксиомы полноты при аксиоматическом введении множества  действительных чисел.

Теорема 2.17 (Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.

Пусть последовательность {x_n} ограничена, то есть существует такой отрезок [a, b], что a ≤ x_n ≤ b для всех n ∈ . 

Разделим отрезок [a, b] пополам. По крайней мере, один из получившихся отрезков содержит бесконечное множество элементов последовательности {xn}. Обозначим его через [a₁ , b₁] и зафиксируем произвольный элемент xn1 ∈ [a₁, b₁].

Разделим отрезок [a₁ , b₁] пополам. Снова один из получившихся отрезков содержит бесконечное множество элементов последовательности {x_n}. Обозначим его через [a₂, b₂]. В силу того, что на отрезке [a₂, b₂] бесконечно много членов последовательности {x_n}, фиксируем такой член x_n2 , что x_n2 ∈ [a₂, b₂] и n₂ > n₁ . Продолжая этот процесс, получим систему вложенных отрезков
, длины которых, k ∈ , образуют бесконечно малую последовательность, и такую последовательность {x_nk }, что a_k ≤ x_nk ≤ b_k и n_k+1 > n_k, ∀ k ∈ . Поэтому {x_nk} является подпоследовательностью последовательности {x_n}.

Лемма 2.7. Из любой неограниченной последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность: положительную, если последовательность не ограничена сверху, отрицательную, если последовательность не ограничена снизу. 

Прежде всего заметим, что если у неограниченной сверху (снизу) последовательности отбросить конечное число первых её элементов, то получится неограниченная сверху (снизу) последовательность.

Пусть последовательность {x_n} не ограничена сверху. Тогда найдётся такой элемент x_n1 этой последовательности, что x_n1 > 1. Учитывая, что последовательность x_n1+1, x_n1+2, … не ограничена сверху, в ней найдётся элемент x_n2 , удовлетворяющий неравенству x_n2 > 2, при этом n₂ > n₁ . Продолжая эти рассуждения далее, получим такую подпоследовательность {x_nk } последовательности {x_n}, что x_nk > k, ∀k ∈ . Очевидно, что {x_nk } является положительной бесконечно большой последовательностью.

Из теоремы Больцано-Вейерштрасса и леммы 2.7 вытекает следующее утверждение.

Теорема 2.18 (обобщённая теорема Больцано-Вейерштрасса). Из произвольной последовательности можно выделить подпоследовательность, имеющую предел в .

• Заказать решение задач по высшей математике

Критерий Коши 

При изучении вопроса сходимости конкретной последовательности {x_n} с помощью определения сходящейся последовательности приходится изучать величину |x_n — a|. В этом разделе устанавливается критерий сходимости последовательности, который позволяет сделать заключение о её сходимости по величинам |xn — xm |, n, m ∈ .

Определение 2.15. Числовая последовательность {x_n} называется фундаментальной, если для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что все элементы последовательности с номерами n > N, m > N удовлетворяют условию |x_n — x_m | ε.

Условие фундаментальности последовательности {x_n} часто называют условием Коши.

Определение 2.15 равносильно следующему определению.

Определение 2.16. Числовая последовательность {x_n} называется фундаментальной, если
∀ε > 0∃N = N(ε) : ∀n > N∀p ∈ N |x_n+p — x_n| ε.

Лемма 2.8. Фундаментальная последовательность ограничена.

Пусть {x_n} — фундаментальная последовательность. По определению 2.16 для любого ε > 0 и, в частности, для ε = 1, найдётся номер N такой, что для всех n > N и любого p ∈ |_{xn+p — xn}| 1. Пусть n₀ ∈ , n₀ > N. Тогда для любого p ∈ N справедливы неравенства

x_n0 — 1 x_n0+p x_n0 + 1.

Положим M = max{|x₁|, |x₂|, . . . , |x_n0-1|, |x_{n0 — 1}|, |x_{n0 + 1}|}, тогда |x_n| ≤ M для всех n ∈ .

Замечание. Ограниченность числовой последовательности является необходимым, но не достаточным условием фундаментальности. Для подтверждения этого высказывания рассмотрим ограниченную последовательность чисел x_n = (-1)ⁿ. Так как |x_n+1 — x_n| = 2, ∀n ∈ , то последовательность {xn} не является фундаментальной.

Теорема 2.19 (критерий Коши сходимости последовательности). Для того чтобы последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Необходимость. Пусть последовательность {x_n} сходится и lim _xn = a. Зафиксируем число ε > 0. По определению 2.4 предела числовой последовательности
∃N = N(ε) : |x_{n — a}| ε, ∀n > N.

Поэтому для всех n > N и m > N

а это означает фундаментальность последовательности {x_n}.

Достаточность. Пусть последовательность {x_n} фундаментальна. Согласно лемме 2.8 она ограничена и по теореме 2.17 из неё можно выделить сходящуюся подпоследовательность {x_nk }. Пусть = a. Покажем, что и сама последовательность сходится, причём lim _xn = a.

Зададим произвольное ε > 0. По определению предела последовательности найдём такое k₀ = k₀(ε), что ∀k > k₀ ∣x_nk — a| ε∕2.

По условию Коши найдётся номер N = N(ε) такой, что для всех n > N и m > N выполняется неравенство |x_n — x_m| ε∕2.

Поскольку последовательность натуральных чисел {n_k} — бесконечно большая, то существует k > k₀ такое, что > N, ∀ k > ek, поэтому ∀ n > N
.

Следовательно, последовательность {x_n} сходится и lim x_n = a.

Пример 2.6. Покажем, что последовательность x_n = не является фундаментальной.
Отрицание утверждения о том, что последовательность {xⁿ} фундаментальна, выглядит так:
 (2.7)
Для всех n ∈ |x_2n-x_n| =.  Поэтому, полагая ε0 = 1/2, p = n, получим (2.7).

Частичные пределы последовательности

Определение 2.17. Точка a ∈ называется частичным пределом последовательности {x_n}, если существует такая подпоследовательность {x_nk}, что = a.

Определение 2.18. Точка a ∈ называется частичным пределом последовательности {x_n}, если в любой её ε—окрестности содержится бесконечное число членов последовательности {x_n}.

Лемма 2.9. Определения 2.17 и 2.18 эквивалентны.

1.    Пусть существует такая подпоследовательность {x_nk } последовательности {x_n}, что x_nk = a. По определению предела последовательности в любой окрестности точки a находятся все члены подпоследовательности, начиная с некоторого, то есть бесконечное число членов последовательности {x_n}.

2.    Пусть в любой ε-окрестности точки a ∈ содержится бесконечное число членов последовательности {x_n}. Для определённости будем считать, что a ∈ . Рассмотрим систему ε-окрестностей точки a, для которых ε = 1/k,k ∈ . В окрестности U_a(1) зафиксируем произвольный элемент последовательности; обозначим его через x_n1 . В окрестности U_a(1/2) выберем элемент x_n2 , номер которого удовлетворяет условию n₂ > n₁ . В окрестности U_a(1/3) выберем элемент x_n3 такой, что n₃ > n₂ . Продолжая этот процесс, получим подпоследовательность {xnk } последовательности {x_n}, которая сходится к a, поскольку |x_nk — a| 1/k, ∀ k ∈ . 

Если a = +∞ или a = -∞, то следует рассмотреть систему окрестностей Ua(k), k ∈ .

Лемма 2.10. Если lim x_n = a ∈ , то a — единственный частичный предел последовательности {x_n}.

Так как lim x_n = a, то по теореме 2.16 любая её подпоследовательность {x_nk } имеет предел и lim x_nk = a. Следовательно, точка a ∈ является единственным частичным пределом последовательности {x_n}

Замечание. Можно доказать, что если a — единственный частичный предел последовательности {x_n}, то lim x_n = a.

Из обобщённой теоремы Больцано-Вейерштрасса 2.18 следует

Теорема 2.20. Любая числовая последовательность имеет хотя бы один частичный предел.

Обозначим через P ({x_n}) множество частичных пределов числовой последовательности {x_n}.

Пример 2.7. Приведём пример последовательности {x_n}, для которой 

P({x_n})={1;2;3}.

Так как  то для последовательности {x_n} :

P ({x_n }) ⊃ {1; 2; 3}. Покажем, что других частичных пределов эта последовательность не имеет. Зафиксируем точку a ∈ {1; 2; 3}. По аксиоме полноты множества найдётся такое ε > 0, что окрестности U1 (ε), U2(ε), U3(ε), Ua(ε) по парно не пересекаются. По определению предела числовой последовательности в множестве {U₁(ε) ∪ U₂(ε) ∪ U₃(ε)} находится не более конечного числа элементов последовательности {xn} (последовательности {x_3k}, {x_3k-1}, {x_3k-2} «исчерпывают»последовательность {x_n}). Следовательно, в окрестности Ua(ε) содержится не более конечного числа элементов x_n , а поэтому точка a не является частичным пределом последовательности {x_n}. Последнее означает, что P({x_n}) = {1; 2; 3}.

Теорема 2.21. Для любой последовательности {x_n} множество P({x_n}) имеет в максимальный и минимальный элементы.

По теореме 2.20 множество P({xn}) не пусто. По теореме 1.4 существования точных границ sup P({x_n}) ∈ и inf P({xn}) ∈ .

Если множество P({xn}) состоит из конечного числа элементов, то сравнивая их найдём максимальный и минимальный элементы. В этом частном случае утверждение доказано.

Пусть множество P ({x_n}) состоит из бесконечного числа элементов и, напри­мер, sup P ({x_n}) = A. Докажем, что A — максимальный элемент множества P ({x_n}), то есть A ∈ P ({x_n}). Заметим, что A ∈ (-∞, +∞], поскольку, если A = -∞, то P ({x_n}) = {-∞}, и P ({x_n}) состоит из одного элемента.

Пусть A ∈ . По определению точной верхней границы

p ≤ A, ∀p ∈ P({xn}), и ∀ ε > 0 ∃Pε ∈ P({xn}) : Pε > A —.

По определению 2.18 частичного предела последовательности в окрестности Up_ε (ε∕2) точки p_ε содержится бесконечное число членов последовательности {x_n}. Поскольку Up_ε (ε∕2) ⊂ UA(ε), то ε-окрестность точки A содержит беско­нечное число членов последовательности {x_n}. Поэтому A ∈ P({x_n}).

Если A = +∞, то для любого числа ε > 0 найдётся такой элемент p_ε ∈ P({xn}), что pε > 2ε. Так как Up_ε (ε) ⊂ U+∞ (ε) и окрестность Up_ε (ε) содержит бесконечно много элементов последовательности {x_n}, то +∞ ∈ P({x_n}).

Верхний и нижний пределы последовательности

Определение 2.19. Наибольший частичный предел последовательности {x_n}, называется верхним пределом последовательности и обозначается сим­волом . Наименьший частичный предел последовательности {x_n}, называется нижним пределом последовательности {x_n} и обозначается симво­лом .

Из теоремы 2.21 следует,что любая последовательность имеет верхний и нижний пределы, при этом

Теорема 2.22. Для того, чтобы число a ∈ было верхним пределом последовательности {x_n}, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены следующие условия:

1. ∀ε > 0 ∃ N ∈ : xn a + ε, ∀ n > N,
2. ∃{x_nk } : x_nk → a при n → ∞.

■ Необходимость. Пусть a ∈ и a =. Согласно теореме 2.21, a — частичный предел последовательности {x_n}. Поэтому выполнено условие 2). Справедливость условия 1) докажем методом от противного. Предположим, что для некоторого ε₀ > 0 в множестве [a + ε₀ , +∞) лежит бесконечное число членов последовательности {x_n}. Эти члены последовательности образуют некоторую подпоследовательность {x_nk} данной последовательности. По теореме 2.20 последовательность {x_nk} имеет по крайней мере один частичный предел. Пусть γ ∈ P ({xn_k}). Тогда γ ≥ a + ε0 > a и γ ∈ P ({xn}), чего быть не может, так как a = sup P ({x_n}). Полученное противоречие показывает, что предположение было неверным, и доказывает справедливость условия 1).

Достаточность. Пусть a ∈ и удовлетворяет условиям 1), 2). Из условия 2) следует, что a ∈ P ({x_n}). Докажем, что a — максимальный элемент множества P ({x_n}). Пусть γ ∈ P {x_n} и x_mk → γ при k → ∞. В силу условия 1), x_mk a+ε для всех членов этой подпоследовательности, кроме быть может, конечного их числа. Поэтому согласно теореме 2.4 о предельном переходе в неравенстве получаем, что γ ≤ a + ε, ∀ ε > 0. Отсюда следует, что γ ≤ a. Значит, a — максимальный элемент множества P ({x_n}) и a = limx_n.

Замечание 1. Условие 2) теоремы 2.22 можно заменить следующим:

2^/)∀ε > 0 ∃{xn_k} : xn_k > a — ε, ∀ k ∈ .

Замечание 2. Аналогично можно доказать, что число a ∈ является нижним пределом последовательности {x_n} тогда и только тогда, когда выпол­нены следующие два условия:

1. ∀ε > 0 ∃ N ∈ : ∀ n > N xn > a — ε,
2. ∃ {xn_k} : xn_k → a при k → ∞.

Теорема 2.23. Для того чтобы символ +∞ был верхним пределом последовательности {xn}, необходимо и достаточно, чтобы последовательность {x_n } была неограниченной сверху.

Необходимость. Пусть = +∞, тогда +∞ ∈ P({x_n}) и существует подпоследовательность {x_nk} такая, что = +∞. Ясно, что последовательность {x_n} не ограничена сверху.

Достаточность. Пусть последовательность {x_n} не ограничена сверху. По лемме 2.7, найдётся такая подпоследовательность {x_nk}, для которой = +∞. Поэтому +∞ ∈ P({x_n}) является максимальным частичным пределом последовательности {xn}, то есть = +∞. 
Аналогично доказывается следующий результат.

Теорема 2.24. Чтобы символ -∞ был нижним пределом последовательности {x_n}, необходимо и достаточно, чтобы последовательности {x_n} была не ограничена снизу.

Теорема 2.25. Если x_n ≤ y_n, ∀n > N, то

Докажем, что . Положим , поэтому . Соответствующая подпоследовательность {x_nk } после-n→∞ последовательности {x_n} имеет, по крайней мере, один частичный предел. Пусть γ ∈ P ({x_nk}) и lim x_nk = γ. Поскольку x_nk ≤ y_nk для всех номеров j ∈ ,то согласно лемме 2.5 γ ≤ β. Отсюда, по определению 2.19 нижнего предела последовательности, α ≤ β.

Следствие. Пусть a,b ∈ . Если x_n ≤ a, ∀n > N₁, то lim x_n ≤ a. Если n→∞ x_n ≥ b, ∀n > N₂, то ≥ b.

Теорема 2.26. Для числовых последовательностей {x_n} и {y_n}

 (2.8)

если слагаемые правых частей не являются одновременно бесконечными сим­волами разных знаков.

Докажем только первое неравенство. Положим 

Пусть a = -∞, b +∞. Тогда {x_n} — отрицательная бесконечно большая, а частичные пределы последовательности {y_n} принадлежат [-∞, b]. По теореме 2.13 последовательность {x_n+y_n} является отрицательной бесконечно большой и c = -∞. Случай a = +∞, b -∞ рассматривается аналогично, при этом возникает положительная бесконечно большая последовательность.

Если a ∈ , b ∈ , то по условию 1) теоремы 2.22

Следовательно, x_n + y_n (a + b) + ε, ∀n > N. Из теоремы 2.25 тогда следует, что lim (x_n + y_n) ≤ (a + b) + ε, ∀ε > 0, что, в силу произвольности ε, приводит к неравенству (x_n + y_n) ≤ a + b.

Замечание 1. Можно доказать, что если последовательность {x_n} сходит­ся, то для любой последовательности {y_n}

Замечание 2. В отличии от теоремы 2.9 об арифметических операциях со сходящимися последовательностями неравенства в формулах (2.8) могут быть строгими. Для подтверждения сказанного достаточно рассмотреть, например,  последовательности {x_n} : x_n = (-1)ⁿ и {y_n} : y_n = (-1)ⁿ⁺¹ . Для них 

то есть

Для произведения последовательностей имеет место аналогичный результат.

Теорема 2.27. Если x_n ≥ 0, y_n ≥ 0,∀n ∈ , то

 (2.9)

кроме тех случаев, когда операция произведения не определена в правых ча­стях. Если, дополнительно, последовательность {x_n} сходится, то в соот­ношениях (2.9) имеют место равенства.

Теорема 2.28. Для числовой последовательности {x_n}

.

1) Пусть = -∞, тогда ∃{x_nk} : x_nk → -∞ при k → +∞. Поэтому — x_nk → +∞ при k → +∞ и (—_xn) = +∞. 
2) Пусть = +∞. По теореме 2.24

3) Пусть = a ∈ . По замечанию к теореме 2.22 о характеристических свойствах конечного нижнего предела выполнены условия:

1)    ∀ε > 0 ∃ N ∈ : х_n > a — ε, ∀ n > N,
2)    ∃ {х_nk} : х_nk → a при k → +∞.

Отсюда получаем:

1)    ∀ε > 0 ∃ N ∈ : -Xn -a + ε, ∀ n > N,
2)    ∃ {-х_nk} : -х_nk → -a при k → +∞.

Выполнение последних двух условий означает, согласно теореме 2.22 о характеристических свойствах конечного нижнего предела последовательности, что

Задания для самостоятельной работы

1.    Пусть {х_n} числовая последовательность. Доказать, что она не имеет предела, если ∃a ∈ , b ∈ такие, что некоторые непересекающиеся окрестности их U_a , U_b содержат бесконечное множество элементов последовательности.

2 Пусть последовательность {x_n} сходится, а последовательность {y_n} полу­чена из {xn} перестановкой ее членов (то есть ∀k ∈ ∃ nk : yk = xn_k, причем nk₁ nk₂, если k₁ k₂; и, наоборот, ∀k ∈ ∃mk : xk = y_mk, причем mk₁mk₂ , если k₁ k₂). Доказать, что последовательность {y_n} сходится и lim x_n = lim y_n .

3 Пусть {x_n} — сходящаяся последовательность. Доказать, что последова­тельность {y_n} : , n ∈ , сходится и limy_n = limx_n.

4 Привести пример ограниченных (неограниченных) расходящихся последо­вательностей {x_n}, {y_n} таких, что {x_n + y_n} — бесконечно малые.

5 Привести пример такой бесконечно малой последовательности {x_n}, что x_n ≥ 0, ∀n ∈ , и последовательность { } расходится.

6 Пусть последовательности {x_n + y_n}, {x_n — y_n} сходящиеся. Доказать, что последовательности {x_n}, {y_n} сходятся.

7 Доказать, что если последовательность {x_n} сходится, а {y_n} расходится, то последовательность {x_n + y_n} расходится.

8 Показать на примерах, что если последовательность {x_n} является бесконечно малой, то последовательность  может быть как сходящейся, так и расходящейся.

9 Доказать, что если S_n — сумма первых n членов арифметической прогрессии с разностью d, то последовательность сходится.

10.    Доказать, что если , то 

11 Привести пример сходящейся последовательности {x_n} и бесконечно боль­шой последовательности {y_n} таких, что последовательность {x_n ∙ y_n} явля­ется ограниченной (неограниченной) и расходящейся последовательностью.

12 Пусть {y_n} — бесконечно большая последовательность и а > 0. Доказать, что { } — бесконечно большая последовательность.

13 Показать, что последовательность является бесконечно большой, а последовательность — нет.

14 Привести примеры последовательностей {x_n}, {y_n}, которые не являются бесконечно большими, а последовательность {x_n∙y_n} — бесконечно большая.

15 Пусть у последовательности {x_n} её подпоследовательности {x_2k}, {x_2k-1} сходятся и x_2k = 2_k-1 = a. Доказать, что последовательность {x_n } сходится и lim x_n = a.

16 Пусть у последовательности {x_n} её подпоследовательности {x_3k}, {x_3k+1}, {x_3k+2} сходятся. Доказать, что последовательность {x_n} сходится.

17 Привести пример расходящейся последовательности {x_n}, для которой

lim(x_n+p — x_n) = 0, ∀p ∈ .

18 Пусть a_n ∈ {0, 1, 2, . . . , 9}, ∀n ∈  . Доказать, что последовательность деся­тичных чисел {0, a₁a₂ . . . a_n} сходится.

Предел функции

Предельная точка множества

Определение 2.20. Пусть X— непустое подмножество множества . Точка a ∈ называется предельной точкой множества X, если в любой окрестности U_a точки a найдётся, по крайней мере, одна, не совпадающая с a, точка множества X .

Определение 2.21. Если a ∈ и U_a — некоторая окрестность точки а, то множество Ua{a} называется проколотой окрестностью точки а и обозначается .

Замечание. Если a ∈   и ε > 0, то (ε) = {x ∈ : 0 |x — a| ε}.

Если a = +∞, то +∞ = +∞, если a = -∞, то -∞ = -∞.

С учетом сказанного определение 2.20 принимает вид:

X, X ⊂ , a ∈ ; a — предельная точка .

Лемма 2.11. Для того чтобы a ∈ была предельной точкой непустого множества X ⊂ , необходимо и достаточно, чтобы в каждой окрестности этой точки содержалось бесконечное подмножество множества X.

Необходимость. Предположим, что a — предельная точка множества X, но в некоторой окрестности точки a содержится конечное число элементов множества . Для определенности будем считать, что a ∈ . Обозначим элементы множества X∖{a}, находящиеся в , через x₁,x₂,… , xn₀. Положим ε0 = min{|x₁ — a|, |x₂ — a|, . . . , |x_n0 — a|}. Тогда ε0 > 0 и в проколотой ε0- окрестности  точки a нет точек множества X, что противоречит определению 2.20. 

Достаточность утверждения очевидна.

Пример 2.8. Если , то предельной точкой множества X является только точка 0.

Пример 2.9. Если X = (0, 1), то любая точка a ∈ [0, 1] является предельной точкой множества множества X.

Пример 2.10. Если X = , то предельной точкой множества X является только +∞.

Как видно из примеров, предельная точка множества может как принадле­жать, так и не принадлежать ему.

Теорема 2.29. Для того чтобы точка a ∈ была предельной точкой множества X ⊂ , необходимо и достаточно, чтобы существовала последо­вательность {x_n} элементов множества X, отличных от a, сходящаяся к a.

Необходимость. Пусть a — предельная точка множества X. Будем считать, что a ∈ . Тогда в окрестности U_a(1/n), n ∈ найдется элемент множества X {a}, который обозначим через x_n. Последовательность {x_n} обладает свойствами: . Из последнего получаем,что .

Достаточность. Пусть последовательность {x_n} такова, что x_n ∈ X, x_n a, x_n → a. Зафиксируем произвольную окрестность U_a точки a. По определению 2.3 предела последовательности найдётся номер N = N(U_a) такой, что x_n ∈ U_a, ∀n > . Учитывая, что x_n ∈ X {a}, получим, что в содержится бесконечное подмножество множества X, а значит, a — предельная точка множества X.

Теорема 2.30. Всякое бесконечное множество действительных чисел имеет по крайней мере одну предельную точку.

Пусть X — бесконечное подмножество множества . Ясно, что существует последовательность {x_n} попарно различных элементов множества X. Согласно теореме 2.20 последовательность {x_n} имеет по крайней мере один частичный предел. Пусть a ∈ P ({x_n}). Тогда найдется такая подпоследовательность {x_nk }, что a = . Поскольку x_nk ∈ X, ∀ k ∈ , и все они, кроме быть может одного, отличны от a, то a — предельная точка множества X.

Замечание. Любое конечное множество X ⊂ не имеет предельных то­чек.

Определение предела функции

В этой главе будем считать, что X — некоторое непустое подмножество множества R действительных чисел, a — предельная точка множества и вещественнозначная функция определена на X . Поэтому всякий раз, когда в последующем будем говорить о функции  , будем подразумевать, если не оговорено нечто другое, что f : X → .

Определение 2.22. Точка A ∈ называется пределом функции : X → R в точке a (или ещё говорят, что A — предел функции при x стремящемся к a), если для любой окрестности U_A точки A найдётся такая окрестность U_a точки a, что образ каждой точки x ∈ X при отображении принадлежит окрестности U_A, то есть () ⊂ U_A. При этом пишут: A = или A = (x), или (x) → A при x → a.

В логической символике это определение можно записать так:

Замечание. Из определения 2.22 предела функции следует, что на существование и величину предела функции f в точке a не влияет значение функции в точке a, если a ∈ X ; более того, функция может быть не определена в точке a.

Учитывая определение окрестности конечной точки a ∈ и определение окрестности бесконечных символов, замечаем, что данное выше определение предела функции в точке может быть дано в терминах ”ε — δ”.

Определение 2.23 (по Коши). Будем говорить, что число A ∈ является пределом функции в точке a ∈, если для любого числа ε > 0 найдётся такое число δ = δ(ε) > 0, что для любого x ∈ X, удовлетворяющего условиям 0 |x — a| δ выполняется соотношение | (x) — A| ε.

Перефразируем в терминах ,,ε — δ” тот факт, что = +∞. 

Определение 2.24. Будем говорить, что +∞ является пределом функции (x) при x → -∞, если для любого числа ε > 0 найдётся такое число δ = δ(ε) > 0, что для всех точек x ∈ X, удовлетворяющих условию x -δ, выполняется неравенство f(x) > ε.

Пример 2.11. Функция (x) = c, ∀x ∈ (c ∈ ), имеет предел в каждой точке a ∈ и = с. 

Действительно, (x) — c = 0 , ∀x ∈ , поэтому |(x) — c| = 0 ε, ∀ε > 0 и ∀ x ∈ . Поэтому в каждой точке a ∈ в определении предела функции (по Коши) в качестве δ = δ(ε) можно взять любое положительное число (для любого ε > 0).

Пример 2.12. Докажем, что
Предварительно покажем, что для любого  

sin x x tg x (2.10)

С этой целью в единичном круге с центром в точке O рассмотрим острый угол AOB, радианной меры x ∈ . Проведём хорду AB и касательную AC к окружности в точке A. Тогда 4AOB ⊂ сектор AOB ⊂ AOC.

Сравнивая площади этих фигур, приходим к неравенству

которое приводит к неравенствам (2.10). Разделим sinx на каждый из членов неравенств (2.10), получим, что . Отсюда, следует, что

Так как , то и, в силу (2.10) . Следовательно, для любого, для любого   . Так как функция  является чётной, то для любого 

.

Ясно, что.  Зафиксируем произвольное число ε > 0. Положим  Тогда для всех x, удовлетворяющих неравенству 0 |x| δ

.

Последнее означает, что .

Пример 2.13. Показать, что у функции

нет предела в точке a = 0.
Сказанное означает, что

Заметим, что функция sgn x в точках x 0 принимает только два значения +1 и -1. Очевидно, что для любого A ∈ в окрестность U_A(1) = (A — 1, A + 1) не могут попасть одновременно точки -1 и +1. Но в любой проколотой окрестности  (δ) точки a = 0 есть как положительные, так и отрицательные числа x. Значит для любого δ > 0 найдется точка x ∈ (δ) такая, что f (x) U_A(1) и утверждение доказано. 

Пример 2.14. Покажем, что
Следует показать, что

Так как , то полагая  , получим нужное. 

Теорема 2.31 (Гейне). Для того чтобы A ∈ было пределом функции : X → в точке a ∈ , необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности {x_n} точек x_n ∈ X {a}, сходящейся к a, последовательность образов {f(x_n)} при отображении сходилась к A.

Необходимость. Пусть . Согласно определению предела функции

Если последовательность {x_n} точек множества X {a} стремится к a, то найдется номер N такой, что при n > N . Поэтому f(x_n) ∈ U_A при n > N. На основании определения предела последовательности в , заключаем, что (xn) = A.

Достаточность. Пусть для любой последовательности {xⁿ} точек из множества X {a}, которая сходится к a, последовательность образов {f(x_n)} стремится к A. Для определённости считаем, что a ∈ . Предположим, что A не является пределом функции в точке a. Тогда найдётся такая окрестность U_A  точки А, что при любом n ∈ в -окрестности точки а найдётся элемент x_n ∈ X {a}, для которого что (x_n) ∈/ U_A. Ясно, что lim x_n = a и (x_n) A, хотя x_n ∈ X {a}, ∀n ∈ , x_n → a. Полученное противоречие завершает доказательство.

Следствие. Если существует последовательность {x_n} : x_n ∈ X{а}, ∀n ∈ , x_n → a и последовательность { (x_n)} не имеет предела, то не существует предела функции в точке a.

Пример 2.15. Показать, что функция sinx не имеет предела при стремлении x к +∞ (или к -∞).

Для последовательности и потому последовательность {sin x_n} не имеет предела.

Свойства предела функции

Теорема 2.32. Пусть : X ⊂ → , a — предельная точка множества X, Ua — некоторая окрестность точки а, φ =  . Для того чтобы функция имела в точке a предел, необходимо и достаточно, чтобы функция
φ имела предел в точке а. В случае существования предела .

Утверждение сразу следует из определения предела функции.

Теорема 2.33. Функция не может иметь в точке двух различных пределов. 

Предположим, что функция : X → R имеет в точке а два предела = A₁ , = A₂ , A1 A₂ . По теореме Гейне для любой фиксированной последовательности {x_n} : x_n ∈ X {а}, ∀n ∈ , x_n → а получим, что (x_n) = A₁ , (x_n) = A₂ , чего быть не может.

Определение 2.25. Функция : X → называется локально ограниченной в точке а (а — предельная точка X), если существует такая окрестность U_a точки а, что множество {(x) | x ∈ ∩X} ограничено. Учитывая определение ограниченного числового множества, заключаем, что локальная ограниченность функции f в точке а означает:

Теорема 2.34. Если функция имеет в точке а конечный предел, то она локально ограничена в точке а.

Пусть = A, A ∈ . По определению 2.22 предела функции найдется a такая окрестность U_a точки а, что в каждой точке  выполняется неравенство | (x) — A| 1. Следовательно, для

|(x)| ≤ |(x) — A| + |A| 1 + |A|,

что означает локальную ограниченность функции в точке a.

Теорема 2.35. Пусть функция имеет в точке a конечный, отличный от нуля предел . Тогда существует такая окрестность U_a точки a, что .

По определению предела функции в точке по числу ε = |A| > 0 найдется такая окрестность U_a точки a, что ,  то есть .

Теорема 2.36. Если функции и φ, определенные на множестве X, имеют в точке а конечные пределы, то их сумма ± φ, произведение ∙ φ и, если , частное ∕φ имеют в точке а конечные пределы, причем 

Проведем, например, доказательство третьего утверждения (первые два доказываются аналогично).

Пусть , . Согласно теореме 2.35 существует такая окрестность U_a точки а, что . Фиксируем произвольную последовательность {x_n} элементов множества X {а}, стремящуюся к а. Не нарушая общности можно считать, что . По теореме Гейне

Учитывая произвольность последовательности {x_n} : x_n ∈ X {а}, x_n → а, из теоремы Гейне получаем нужное.

Теорема 2.37 (о пределе суперпозиции функций). Пусть а — предельная точка множества X ⊂ , : X → Y ⊂ , φ : Y → , и выполнены следующие условия:
1)   ;
2)    ;
3)   ,

то существует предел суперпозиции φ ◦ в точке а и φ ◦ = с.

Доказательство проведем с помощью теоремы Гейне. Зафиксируем после­довательность {x_n} : x_n ∈ X {a}, ∀ n ∈ , x_n → a. Будем считать, что xn ∈Ua, ∀ n ∈ . Тогда (x_n) → b. Положим (x_n) = y_n, n ∈ . Поэтому y_n ∈ Y {b}, n ∈ , y_n → b. Следовательно, b — предельная точка множества Y, что объясняет возможность рассмотрения предела функции φ в точке b и, в силу условия 3) теоремы, φ(y_n) → с при n → ∞. Последнее означает, что

φ ◦ (x_n) → с при n → ∞, ∀{x_n} : x_n ∈ X{а}, x_n → а.

На основании теоремы Гейне, заключаем, что φ ◦ = с

Теорема 2.38. Пусть функции и φ определены на множестве X и имеют конечные пределы в точке а. Если существует такая окрестность U_a точки а, что , то 

Теорема 2.39. Пусть функции , φ, g определены на множестве X и удовлетворяют условиям:
1)    ;
2)   .

Тогда существует предел функции φ в точке а и = A. 

Доказательство последних утверждений можно провести по аналогии с доказательством предыдущих теорем, используя теорему Гейне. А можно повторить доказательства соответствующих теорем теории предела последовательности, заменяя слова ,,∃N ∈ : ∀n > N” на слова ,,”. Предлагаем читателю провести доказательства теорем 2.38 и 2.39 самостоятельно.

Как и для последовательности можно ввести понятия бесконечно малой и бесконечно большой в точке а функции.

Определение 2.26. Функция называется бесконечно малой в точке а, если существует предел функции f в точке а и   = 0. Функция  называется бесконечно большой в точке а, если существует предел ее в точке а и он равен одному из бесконечных символов.

Бесконечно малые и бесконечно большие в точке а функции обладают свойствами, аналогичными свойствам бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей с той лишь разницей, что требование ограниченности последовательности заменяется требованием локальной ограниченности функции в точке a, а ограниченность от нуля — локальной ограниченностью от нуля функции в точке. При этом функция называется локально отграниченной от нуля в точке a, если существует окрестность U_a точки a и число m > 0 такие, что |f (x)| ≥ m, .

Из понятия бесконечно малой в точке a функции и определения предела функции следует

Теорема 2.40. Для того чтобы существовал конечный предел функции f в точке a, равный A, необходимо и достаточно, чтобы функция име­ла представление (x) = A + α(x), где α(x) — бесконечно малая в точке a функция.

Односторонние пределы функции

Будем считать, что X — непустое подмножество множества .

Определение 2.27. Точка a ∈ называется левосторонней (правосторонней) предельной точкой множества X, если X ∩(α — δ,a) (соответственно, X ∩(α, a + δ) для любого числа δ > 0. Если a является только левосторонней или только правосторонней предельной точкой множества X , то ее называют односторонней предельной. Если же a является и левосторонней и правосторонней предельной точкой, то ее называют двусторонней предельной.

Пример 2.16. Если X = (a, b), где a ∈ , b ∈ , то каждая точка x₀ ∈ X является двусторонней предельной, a — правосторонней, b — левосторонней предельной точкой множества X .

Замечание. Если a — только левосторонняя (правосторонняя) односторонняя предельная точка множества X , то существует такое δ > 0, что
(α,α + δ) X = (X(a — δ,α) = .

Определение 2.28. Пусть : X ⊂ → , a — левосторонняя (правосторонняя) предельная точка множества X. A ∈ называется левым (правым) пределом функции f в точке a, если для любой окрестности U_A точки A найдется такое число δ > 0, что (x) ∈ UA, ∀x ∈ X (a — δ, a) (соответственно, (x) ∈ U_A, ∀x ∈ X (a, a + δ)).
Для обозначения левого (правого) предела функции в точке a используют следующую символику:

В частности, если a = 0, пишут соответственно:

Из определения 2.28 очевидно следует

Теорема 2.41. Если a — односторонняя предельная точка множества X , то определения предела и одностороннего предела функции в этой точке равносильны.

Теорема 2.42. Пусть : X → , a — двусторонняя предельная точка множества X . Для того чтобы существовал предел функции в точке a, равный A, необходимо и достаточно, чтобы существовали оба односторонних предела функции f в точке a, равные A.

Необходимость — очевидное утверждение. Докажем достаточность. Пусть функция имеет в точке a левый и правый пределы, равные между собой и (a — 0) = (a + 0) = A. В силу определения 2.28 одностороннего предела функции по любой окрестности точки A найдутся число δ₁ > 0:

(x) ∈ Ua, ∀x ∈ (a — δ_ι, a) X,

и число δ₂ > 0 :

(x) ∈ UA, ∀ x ∈ (a, a + δ₂) X.

Полагая δ = min{δ₁, δ²}, получим, что ∀x ∈ (δ) X (x) ∈ U_A, а значит ∃ lim = A. 

Замечание. Определение одностороннего предела функции может быть дано и в терминах последовательностей. Например,
A = (a — 0) (∀{x_n} : х_n ∈ X, х_n a, х_n → a ⇒ (x_n) → A).

Пример 2.17. Найдем односторонние пределы функции [x] в целочисленной точке a = n₀ .

Областью определения функции (х) = [х] является множество , поэтому n₀ — двусторонняя предельная точка множества D(). Так как на интервале (n₀ — 1, n₀) функция равна n₀ — 1, а на интервале (n₀, n₀ + 1) равна n₀, то (n₀ -0) = n0 — 1; (n₀+0) = n₀. Следовательно, в силу теоремы 2.42 функция  не имеет предела в точке n₀ .

Теорема о пределе монотонной функции

Теорема 2.43. Пусть функция не убывает на множестве X ⊂ , a — правосторонняя предельная точка множества X, b — левосторонняя предельная точка множества X . Тогда существуют
(a + 0) = inf{(X) : X ∈ X (a, +∞)},
(b — 0) = sup{ (x) : x ∈ X (-∞, b)}.

Докажем, что (b — 0) = sup{ (x) | x ∈ X  (-∞, b)}. Пусть
Y = {(x) | x ∈ X (-∞, b)} и M = sup Y.

Рассмотрим два случая.
1)    Y — ограниченное сверху множество. Тогда M ∈ , (x) ≤ M, для всех x из X (-∞, b), и для любого ε > 0 найдется xε ∈ X (-∞, b) такая, что (x_ε) > M — ε. Учитывая характер монотонности функции , замечаем, что (x) ≥(xε), ∀x ∈ X (x_ε , b). Если положить δ = b — x_ε > 0, то получим: 

∀ε > 0 ∃ δ = δ(ε) > 0 : M — ε (x) ≤ M + ε, ∀x ∈ X(b — δ,b).

Последнее означает, что (b — 0) = M.

2)    Y — неограниченное сверху множество. Тогда M = +∞ и

∀ ε> 0 ∃ x_ε ∈ X (-∞, b) : (x_ε) > ε.

Поскольку  не убывает на X, то ∀ x ∈ (x_ε, b) X (x) ≥ (x_ε). Отсюда, считая δ = b — x_ε > 0, получим:
∀ ε> 0 ∃ δ = δ(ε) > 0 : (x) > ε для ∀ x ∈ X (b — δ, b).

Поэтому (b — 0) = +∞ = M.

Теорема 2.44. Пусть функция не убывает на множестве X, для которого +∞ (-∞) является предельной точкой. Тогда существует предел

(x) = sup{f (x) | x ∈ X} ( (x) = inf { (x) | x ∈ X}). 

Доказательство этого утверждения при x → +∞ дословно повторяет доказательство теоремы 2.43 с той лишь разницей, что в нем следует положить δ = x_ε (всегда можно считать, что xε > 0), а при рассмотрении функции при x → -∞ можно считать xε 0 и δ = -x_ε.

Из теорем 2.43 и 2.44 вытекают следующие предложения.

Следствие 1. Если последовательность {x_n} не убывает, то она имеет предел в и lim x_n = sup{xn | n ∈ }.

Следствие 2. Если функция не убывает на интервале (a, b), где a ∈ , b ∈ , то существуют пределы

Следствие 3. Если функция не убывает на отрезке [a, b], где a ∈ , b ∈ , и c ∈ (a, b), то

(a)≤(a+0)≤(c-0)≤(c)≤(c+0)≤(b-0)≤(b).

Для функции : X → , которая не возрастает на множестве X справедливы следующие утверждения.

Теорема 2.45. Если функция не возрастает на множестве X, для которого a — правосторонняя, а b — левосторонняя предельная точки, то

(a + 0) = sup{ (x) | x ∈ X(a, +∞)}

(b-0) = inf {(x) |x ∈ X (-∞, b)}.

Если же +∞ или -∞ является предельной точкой множества X, то

Следствие 1. Если последовательность {x_n} не возрастает, то она имеет предел и он равен inf{x_n | n ∈ }.

Следствие 2. Для того чтобы монотонная последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной.

Следствие 3. Если функция не возрастает на [a, b] и c ∈ (a, b), то

(a) ≥(a+0)≥(c-0)≥(c) ≥(c+0) ≥(b)

Пример 2.18. Доказать, что = 0, ∀a > 0.
Прежде всего покажем, что последовательностьмонотонна. Так как x_n > 0 и
 (2.11)
а последовательность является бесконечно малой, то

Следовательно, последовательность {x_n+n0 } убывает и ограничена снизу нулем. По следствию 1 теоремы 2.45 она сходится. Пусть lim x_n = c. Из равенства a (2.11) следует, что , ∀n ∈ N. Отсюда, в силу свойств сходящихся последовательностей, получаем, что с = 0 • с, то есть с = 0. 

Следствие. .
Замечание. Аналогично доказывается, что .
 

Число e

Применим следствие 2 теоремы 2.45 для доказательства сходимости последовательности {x_n}, члены которой определяются законом

Прежде всего докажем, что последовательность возрастает. Применяя формулу бинома Ньютона, получим для xn следующее представление:

.

Поэтому для всех п ≥ 1 x_n+1 =

.

Сравним выражения для x_n и x_n+1 . В представлении x_n правая часть содержит п положительных слагаемых, а правая часть представления x_n+1 — (n + 1) слагаемое. Так как для любого k = 2, 3, . . . , п справедливо неравенство

,

то x_n x_n+1 , ∀ n ≥ 2. Следовательно, последовательность {x_n} возрастает. Докажем теперь, что последовательность {x_n} ограничена сверху. Поскольку ≤ 1, ∀ i = 1, 2,…, n — 1, то для , n ≥ 2

Но k! ≥ 2^k-1,∀k ≥ 2, поэтому .
А значит, рассматриваемая последовательность имеет конечный предел, который, следуя Л.Эйлеру, обозначают через e.

Из предыдущего ясно, что 2 ≤ x_n ≤ 3, поэтому 2 ≤ e ≤ 3. Можно показать, что e является иррациональным числом и e ≈ 2, 718281828.

Теперь докажем, что . Заметим, что областью определения этой функции является множество (∞, —1) U (0, +∞). Зафиксируем последовательность {x_n} : x_n > 0, lim x_n = +∞. Положим k_n = [x_n], n ∈ . По определению функции целой части, k_n ≤ x_n k_n + 1. Учитывая определение и свойства бесконечно большой последовательности, замечаем, что k_n = +∞. 

Поскольку для всех n ∈ , то

.

Последовательность является суперпозицией последовательностей и  {k_n}, для которых выполняются условия 1) — 3) теоремы 2.37 о пределе суперпозиции функций. Поскольку , то

.

Аналогично можно показать, что существует

.

Следовательно, по теореме 2.6 .

Поскольку {x_n} — произвольная бесконечно большая положительная последовательность, то по теореме Гейне ∃ .

Изучим функцию при x → -∞. Пусть x = — t. Для x —1

.

Ясно, что t → +∞ тогда и только тогда, когда x→ -∞. Так как
при t → +∞,
то по теореме 2.37 о пределе суперпозиции функций, .

Остаётся доказать, что . Для доказательства последнего зафиксируем ε > 0. Так как , то найдется δ₁ > 0 такое, что при x > δ₁  . Так как , то найдется δ₂> такое, что при x -δ₂ выполняется неравенство.  Положим δ = max {δ₁, δ₂}. Тогда для всех x таких, что |x|> δ выполняется неравенство . Это означает, что

Критерий Коши для функции

Теорема 2.46. Для того чтобы функция : X ⊂ → имела конечный предел в точке a ∈ , необходимо и достаточно, чтобы для любого числа ε > 0 существовала такая окрестность U_a точки a, что для любых точек выполнялось неравенство

Последнее условие называют условием Коши.

Необходимость. Пусть. Поэтому для любого ε > 0 найдется такая окрестность U_a точки a, что в любой точке справедливо неравенство . Следовательно, для любых точек имеем:

Это означает, что функция  удовлетворяет в точке a условию Коши.

Достаточность. Пусть функция удовлетворяет условию Коши в точке a. Докажем, что функция имеет в точке a конечный предел.

Пусть последовательность {х_n} такова, что х_n ∈ X {a}, ∀n ∈ , и lim х_n = a. Покажем, что последовательность значений функции {( х_n)} фундаментальна. Зафиксируем число ε > 0 и, согласно условию Коши, найдем соответствующую ему окрестность U_a точки a. Поскольку lim х_n = a и х_n a, то найдется номер N такой, что Xn ∈ , ∀n > N. Следовательно, ∀n > N, ∀p ∈ ε, что означает фундаментальность последовательности {( х_n)}. Пусть A = , тогда A ∈ .

Докажем, что . Зафиксируем ε > 0 и найдем по условию Коши окрестность U_a,    такую, что . Так как lim (x_n) = A и x_n → а, то найдем точку xn0 ∈, для которой
Тогда ∀ x ∈ X  имеем

Таким образом, = A.

Замечание 1. Достаточность условия Коши для существования конечного предела функции можно было доказать иначе, показав, что для любых последовательностей {x^/_n}, {x^//_n} таких, что

последовательности значений функции { (x^/_n)}, {(x^//_n)} сходятся к одному и тому же числу.

Замечание 2. Если предельная точка a ∈ , то условие Коши существования конечного предела функции в точке a имеет вид

∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) : ∀x^/, x^// ∈ X, 0 |x^/ — a| δ, 0 |x^// — a| δ

|f(x^/)-f(x^//)|ε.

Замечание 3. Аналогично формулируется и доказывается критерий Коши для случая одностороннего предела функции в точке.

Определение 2.29. Колебанием функции : X → на множестве X ⊂ R называется точная верхняя граница модуля разности значений функции на всевозможных точках x^/ , x^//∈ X , то есть

Колебание функции на множестве X обычно обозначают через ω(X) или ω(, X). Поэтому, используя определение 2.29, критерий Коши существования предела функции, можно сформулировать следующим образом:

Сравнение функции

Когда возникает задача описания поведения функции вблизи некоторой точки из , в которой, как правило, функция не определена, говорят, что интересуются асимптотическим поведением или асимптотикой функции в окрестности этой точки. Асимптотическое поведение функции обычно характеризуют с помощью другой, более простой или более изученной функции. Так, говоря о функции (x) = x² + 2x + sin(1/x) при x → ∞, можно сказать, что она ведет себя как функция x², а при x → 0 — как sin(1/x).

Определение 2.30. Пусть функции и определены на множестве X ⊂ , a — предельная точка множества X. Говорят, что функция (x) является бесконечно малой по сравнению с функцией (x) при x → a, и пишут (x) = o((x)) при x → a (читается: «» (x) есть о малое от (x) при x → a»), если (x) = α(x) (x), где α(x) — бесконечно малая в точке a функция.

Запись (x) = o(1) при x → a означает, что является бесконечно малой при x → a.

Если функция (x) 6 0 в некоторой проколотой окрестности точки a, то условие (x) = o((x)) при x → a можно переписать в виде

В случае, если функция является бесконечно малой в точке a, функция (x) = o((x)) при x → a называется бесконечно малой более высокого порядка, чем . Например, x³ = o(sin x²) при x → 0, так как

.

Аналогично, x = o(x²) при x → ∞ так как = 0.

Определение 2.31. Пусть функции и определены на множестве X, a — предельная точка X. Говорят, что функция является ограниченной по сравнению с функцией (x) при x → a и пишут: (x) = O((x)) при x → a, если (x) = α(x) (x), где α(x) — локально ограниченная в точке a функция.

Запись (x) = O((x)) при x → a читается: « (x) есть O большое от (x) при x → a».

В определениях 2.30 и 2.31 значок x → a указывает на то, что рассматриваемое свойство имеет место в некоторой проколотой окрестности точки a.

Если в некоторой проколотой окрестности точки a (x) 0 и

Например,   x = O(x) при x → 0, так как    для x 6 0,
и 2x² + 3x = O(x²) при x → +∞, так как  = 2.

При использовании равенств с символами O и o следует иметь в виду, что они
не являются равенствами в обычном смысле. Так, если (x) = o((x)) при x → a и g(x) = o((x)) при x → a, то отсюда нельзя сделать вывод, что (x) = g(x) в некоторой проколотой окрестности точки a.

Например, x² + 3x + 1 = o(x³) при x → ∞, x + 5 = o(x³) при x → ∞, но x² + 3x + 1 x + 5 ни в какой
окрестности U∞.

Аналогично, из равенства (x) +o() = g(x) +o() при x → a нельзя сделать вывод, что (x) = g(x) в U_a.
Дело в том, что один и тот же символ O() или o() может обозначать разные функции. По существу определениями 2.30 и 2.31 введены классы функций, обладающих некоторыми свойствами (указанными в этих определениях) в некоторой проколотой окрестности точки a. Более того, равенства (x) = o((x)) или (x) = O((x)) при x → a читается только слева направо.

Определение 2.32. Если функции и таковы, что при x → a

(x) = O((x)) и (x) = O( (x)),

то они называются функциями одного порядка при x → a.

Например, функции x и (3 + sin x) x являются функциями одного порядка при x → 0 и при x → ∞.

Определение 2.33. Функции и , заданные на множестве X, называются эквивалентными при x → a, если найдется такая окрестность Ua , точки а, что , причем .

В силу теоремы 2.35 (локального свойства функции, имеющей в точке a отличный от нуля предел), существует такая окрестность U_a точки a, что на множестве можно определить функцию γ(x) = , а поэтому

Следовательно, условие эквивалентности функций f и ϕ симметрично.

Часто эквивалентные при x → a функции(x) и (x) называют асимптотически равными при x → a. Эквивалентность функций (x) и (x) при x → a обозначают, используя символ ∼ , следующим образом:

(x) ∼ (x) при x → a.

Из сказанного следует, что если (x) ∼ (x) при x → a, то (x) ∼ (x) при x → a.

Лемма 2.12. Для того чтобы функции и , определенные на множестве X , были эквивалентными при x → a, необходимо и достаточно, чтобы (x) = (x) + o((x)) при x → a или (x) = (x) + o( (x)) при x → a.

Необходимость. Пусть ∼ при x → a. Тогда (x) = α(x)(x), при всех x ∈ X  и =    1. По теореме 2.40,    α(x)  = 1 +  γ(x), где γ(x) — бесконечно малая в точке a функция.

Поэтому для всех  (x) = (x) + γ(x)(x) = (x) + o((x)) при x → a.

Аналогично доказывается, что (x) = (x) + o( (x)) при x → a.

Достаточность. Пусть ∃Ua : (x) = (x)+o((x)) при x → a. По определению 2.30 o((x)) = α(x)(x), ∀x ∈ , и (x) = 0. Поэтому ∀x ∈ X(x) = (x)(1 + α(x)) = γ(x)(x), где γ(x) = 1 + α(x), ∀x ∈, и  γ(x) = 1. Следовательно, ∼ ϕ при x → a. x→a

Аналогично доказывается достаточность условия (x) = (x) + o( (x)) при x → a.

Так как = 1, то sin x ∼ x при x → 0 и arcsin x ∼ x при x → 0. 

Учитывая теорему о пределе суперпозиции функций, пока можно сказать, что если u(x) = 0 и в некоторой проколотой окрестности точки a, u(x) 0, то sin u(x) ∼ u(x) при x → a и arcsin u(x) ∼ u(x) при x → a. Несколько позже требование u(x) 0, ∀ x ∈ , будет снято.

Отметим два легко доказываемых свойства эквивалентных функций:

1)    Если ∼ при x → a и ∼ g при x → a, то ∼ g при x → a.
2)    Если ∼ ₁ при x → a и существует один из пределов  (x)(x),  ₁(x)(x), то существует второй и они равны.

Замечание. Нельзя свойство 2) распространять на сумму (разность) функций. В самом деле,при x → +∞, но

, 

так как .

Наконец, отметим еще несколько часто употребимых правил обращения с
символами O и o.
1)    o() + c = O() при x → a, c ∈ .
2)    o() + o(f) = o() при x → a.
3)    o() = O() при x → a.
4)    o() + O() = O() при x → a.
5)    o() · O() = o(²) при x → a.
6)    o(c · ) = o() при x → a, ∀c 0.
7)   · o(f) = o(²) при x → a.

Объясним, например, свойство 3). Символ o() означает некоторую функцию вида α(x) (x), где α(x) — бесконечно малая в точке a функция. Поскольку бесконечно малая в точке a функция является локально ограниченной в ней, то α(x) (x) = O() при x → a.

Как отмечалось выше, равенства, отмеченные в свойствах 1)–6), читаются слева направо, хотя могут оказаться верными и при чтении справа налево (например, 7), 6)).

————

Пределы функций

Определение 3.1. -окрестностью точки  называется множество
, рис. 3.1.

Выколотой -окрестностью точки  называется множество
рис 3.2.

Левой выколотой -окрестностью точки  называется множество
рис. 3.3.

Правой выколотой -окрестностью точки  называется множество
 рис. 3.4.

Окрестности точек необходимы для того, чтобы строго определить понятие близости точек и понятие предела функции.
Определение 3.2. Число А называется пределом функции при
еслитакое, что 
С учетом определения 3.1 вместо (3.1) можно записать 

П р и м е р 3.1
Рассмотрим функцию  рис.3.5.
Докажем, что 

Определение 3.6. Функция y=f(x) называется бесконечно малой
в точке
Пусть f(x) и g(x) – две бесконечномалые функции в точке . Тогда называется неопределенностью типа. Нахождение таких пределов называется раскрытием неопределенности. Аналогично раскрываются неопределенности типа
П р и м е р 3.5

П р и м е р 3.6

П р и м е р 3.7

Рассмотрим дробно-рациональную функцию

П р и м е р 3.8

П р и м е р 3.9

П р и м е р 3.10

П р и м е р 3.11

Определение 3.7. Функция y=f(x) имеет предел при , если

Легко видеть, что А в определении 3.7 единственно, поэтому определения 3.2 и 3.7 эквивалентны.
Из определения 3.7 следует, что функция y=f(x) не имеет предела при, если
удовлетворяющий условию, для которого выполнено условие 

Теорема 3.5. (критерий Коши). Для того чтобы y=f(x) имела предел при необходимо и достаточно, чтобытакое что

Из теоремы следует, что функция y=f(x) не имеет предела при  если

Теоремы о пределах

Теорема 4.1.
– первый замечательный предел. (4.1)
Доказательство
Рассмотрим круг единичного радиуса и центральный угол в х радиан, рис. 4.1.

Тогда
Так как радиус круга равен 1, то поэтому

Аналогично 
П р и м е р 4.1

П р и м е р 4.2

П р и м е р 4.3

П р и м е р 4.4

Теорема 4.2.

Формула (4.2) аналогична формуле (2.2). Верны также формулы

Формулы (4.4) и (4.5) следуют из (4.3).
Докажем, например, (4.4):

П р и м е р 4.5

П р и м е р 4.6

П р и м е р 4.7

П р и м е р 4.8

Определение 4.1. Пусть f(x ) и g( x) – бесконечно малые функции при
. Пусть , тогда f( x) называется бесконечно малой более высокого порядка малости, чем g( x) при  При этом пишут (о – «о – малое»).
Пусть, тогда f(x ) и g( x) – бесконечно малые одного порядка малости при  А если  то f(x ) и g( x) – эквивалентные бесконечно малые при   При этом пишут 
П р и м е р 4.9

Все равенства при 

Теорема 4.3. Пусть – произвольная функция и пусть
и эти пределы равны.
Действительно, 

П р и м е р 4.10