Заказать задачи по любым предметам можно здесь от 10 минут
Как решать пределы с бесконечностью
Рассмотрим основные типы неопределенностей пределов на бесконечности с примерами решений:
- $ [frac{0}{0}] $
- $ [infty — infty] $
- $[frac{infty}{infty}]^{[infty]}$ и $[1 ^ infty] $
| Пример 1 |
| Вычислить предел функции, стремящейся к бесконечности $ lim limits_{x to infty} frac{x^3-4x+1}{x^3+x^2-2} $ |
| Решение |
|
Первым делом подставляем $ xto infty $ в предел, чтобы попытаться его вычислить. Вычисление не дало результата, так как появилась неопределенность. Чтобы устранить её, вынесем за скобки в числителе и знаменателе $x$ с наибольшей степенью. $$limlimits_{x to infty} frac{x^3(1 — frac{4}{x^2} + frac{1}{x^3})}{x^3(1+frac{1}{x}-frac{2}{x^3})} = limlimits_{x to infty} frac{1 — frac{4}{x^2} + frac{1}{x^3}}{1+frac{1}{x}-frac{2}{x^3}} = $$ Максимальная степень у $x^3$, поэтому вынесли именно её, а затем выполнили сокращение. Пользуясь тем, что $limlimits_{xto infty} frac{1}{x} = 0$ получаем ответ. $$ = frac{1-0+0}{1+0-0} = frac{1}{1} = 1 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ limlimits_{x to infty} frac{x^3-4x+1}{x^3+x^2-2} = 1 $$ |
| Пример 2 |
| Решить предел с бесконечностью $limlimits_{xto infty} sqrt{x^2+1}-x$ |
| Решение |
|
Так как предел стремится к бесконечности, то подставляем её в функцию под знаком предела. $$limlimits_{xto infty} sqrt{x^2+1}-x = [infty — infty] $$ Получили неопределенность. Для избавления от неё умножим и разделим функцию под знаком предела на сопряженную к ней. Она будет отличаться только одним знаком. $$limlimits_{xto infty} sqrt{x^2+1}-x = limlimits_{xto infty} frac{(sqrt{x^2+1}-x)(sqrt{x^2+1}+x)}{sqrt{x^2+1}+x} = $$ По формуле разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2-b^2 $ сворачиваем числитель. А знаменатель пока не трогаем. $$ = limlimits_{xto infty} frac{x^2+1 — x^2}{sqrt{x^2+1}+x} = limlimits_{xto infty} frac{1}{sqrt{x^2+1}+x} = $$ Снова подставляем бесконечность в предел и получаем $frac{1}{infty}$, что равняется нулю. Поэтому записываем сразу ответ. $$ = limlimits_{xto infty} frac{1}{sqrt{x^2+1}+x} = frac{1}{infty} = 0 $$ |
| Ответ |
| $$limlimits_{xto infty} sqrt{x^2+1}-x = 0 $$ |
| Пример 3 |
| Решить предел на бесконечности $limlimits_{x to infty} bigg (frac{3x-4}{3x+2} bigg)^frac{x+1}{2} $ |
| Решение |
|
При подстановке $x to infty $ в предел получаем неопределенность. $$ limlimits_{x to infty} bigg (frac{3x-4}{3x+2} bigg)^frac{x+1}{2} = bigg[frac{infty}{infty}bigg]^{[infty]} $$ Для решения примера понадобится формула второго замечательного предела. $$limlimits_{xto infty} bigg(1+frac{1}{x} bigg)^x = e qquad (1) $$ Из выражения, стоящего под знаком предела вычитаем единицу, чтобы его подстроить под формулу (1). $$frac{3x-4}{3x+2} — 1 = frac{3x-4 — 3x — 2}{3x+2} = frac{-6}{3x+2} $$ Перепишем предел из условия задачи в новом виде и подставим в него $xto infty$. $$ limlimits_{xto infty} bigg (1 + frac{-6}{3x+2} bigg )^frac{x+1}{2} = [1]^infty $$ Пользуясь формулой (1) проведем вычисление лимита. В скобках перевернем дробь. $$limlimits_{xto infty} bigg (1 + frac{-6}{3x+2} bigg )^frac{x+1}{2} = limlimits_{xto infty} bigg (1 + frac{1}{frac{3x+2}{-6}} bigg )^frac{x+1}{2} = $$ По условиями формулы второго замечательного предела (1) в скобках знаменатель дроби должен быть равен степени за скобкой. Выполним преобразование степени. Для этого умножим и разделим на $frac{3x+2}{-6}$. $$ = limlimits_{xto infty} bigg (1 + frac{1}{frac{3x+2}{-6}} bigg )^{frac{3x+2}{-6} cdot frac{-6}{3x+2} cdot frac{x+1}{2}} = limlimits_{x to infty} e^{frac{-6}{3x+2} cdot frac{x+1}{2}} = $$ Остаётся сократить степень экспоненты и найти её предел. $$ = limlimits_{x to infty} e^frac{-3x-3}{3x+2} = e^{limlimits_{xto infty} frac{-3x-3}{3x+2}} = $$ Предел дроби равен отношению коэффициентов при старшей степени $x$. $$ = e^frac{-3}{3} = e^{-1} = frac{1}{e} $$ |
| Ответ |
| $$ limlimits_{x to infty} bigg (frac{3x-4}{3x+2} bigg)^frac{x+1}{2} = frac{1}{e} $$ |
Теория пределов – раздел математического анализа. Наряду с системами линейных уравнений и диффурами пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.
В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.
Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.
Понятие предела в математике
Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции , так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала — самое общее определение предела:
Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a, то a – предел этой величины.
Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A, к которому стремится функция при х, стремящемся к определенной точке а. Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.
Звучит громоздко, но записывается очень просто:
Lim — от английского limit — предел.
Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.
Приведем конкретный пример. Задача — найти предел.
Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:
Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами, читайте отдельную статью на эту тему.
В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:
Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.
Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х. Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность. Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!
Неопределенности в пределах
Неопределенность вида бесконечность/бесконечность
Пусть есть предел:
Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?
Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:
Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Еще один вид неопределенностей: 0/0
В таких случаях рекомендуется раскладывать числитель и знаменатель на множители. Но давайте посмотрим на конкретный пример. Нужно вычислить предел:
Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:
Сократим и получим:
Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.
Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:
Правило Лопиталя в пределах
Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?
Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.
Наглядно правило Лопиталя выглядит так:
Важный момент: предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.
А теперь – реальный пример:
Налицо типичная неопределенность 0/0. Возьмем производные от числителя и знаменателя:
Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.
Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос «как решать пределы в высшей математике». Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.
Подавляющее большинство функций, с которыми вы ознакомились ранее, определены на бесконечных промежутках. Исследуя такие функции, желательно установить их поведение для сколь угодно больших по модулю значений аргумента 
Пусть функция 
определена на интервале 
Число 
называется пределом функции 
на бесконечности 
если для любого 
существует такое число 
что для всех 
выполняется неравенство 
Пишут: 
Пусть функция 
определена на интервале 
Число 
называется пределом функции 
на бесконечности 
если для любого 
существует такое число 
что для всех 
выполняется неравенство 
Пишут: 
Пусть функция 
определена на интервале 
Число 
называется пределом функции 
на бесконечности 
если для любого 
существует такое число 
что для всех 
выполняется неравенство 
Пишут: 
Геометрически это означает, что для любого 
существует число 
такое, что для всех 
соответствующие значения функции 
попадают в 
-окрестность точки 
то есть соответствующие точки графика этой функции лежат в полосе, ограниченной прямыми 
(рис. 53).
Для предела функции на бесконечности выполняются те же свойства и теоремы о пределах, что и для предела функции в точке (см. с. 102), а также те правила, которые используются при вычислении предела числовой последовательности. А именно:
1 .Для того чтобы вычислить предел дробно-рациональной функции в случае, когда при 
числитель и знаменатель дроби имеют пределы, которые равны бесконечности, необходимо сначала каждый член многочленов числителя и знаменателя дроби разделить на степень 
с наибольшим показателем, а затем находить предел.
Пример:
Вычислите 
Решение:
2. Для того чтобы вычислить предел функции, содержащей up рациональные выражения, в случае, когда каждый из слагаемых имеет бесконечный предел, необходимо умножить и разделить выражение, задающее функцию, на выражение, сопряжённое к нему, после этого выполнить необходимые упрощения (приведение подобных членов, сокращение и т. д.) и вычислить предел.
Пример:
Вычислите 
Решение:
Исследуя функции, желательно также установить их поведение для тех значений аргумента 
в которых функция бесконечно возрастает или убывает.
Функция 
называется бесконечно большой при 
(имеющей предел 
если для произвольного 
существует такое число 
что для всех 
таких, что 
выполняется неравенство 
Пишут: 
Понятие предела функции на бесконечности и бесконечного предела используются для нахождения асимптот.
Прямая 
называется асимптотой кривой, если расстояние 
от точки 
кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки 
в бесконечность.
Асимптотами, например, есть оси координат для графика функции 
— вертикальная асимптота;
— горизонтальная асимптота.
Кривая 
имеет горизонтальную асимптоту 
если существует конечный предел функции 
и этот предел равен 
то есть 
- Заказать решение задач по высшей математике
Пример:
Найдите горизонтальную асимптоту кривой 
Решение:
Вычислим предел 
Следовательно, 
— горизонтальная асимптота.
Пример:
Исследуйте поведение функции 
если: 
Решение:
Пример:
Вычислите 
Решение:
Пример:
Найдите горизонтальные асимптоты кривой:
Решение:
а) Вычислим пределы при 
Имеем:
Следовательно, 
— горизонтальная асимптота для 
а для 
— асимптоты нет.
Следовательно, 
— горизонтальная асимптота.
- Применение производной к исследованию функции
- Приложения производной
- Производные высших порядков
- Дифференциал функции
- Асимптоты графика функции
- Касательная к графику функции и производная
- Предел и непрерывность функции
- Свойства функций, непрерывных в точке и на промежутке
В данной публикации мы рассмотрим одно из главных понятий математического анализа – предел функции: его определение, а также различные способы решения с практическими примерами.
- Определение предела функции
-
Решение пределов
- С заданным числом
- С бесконечностью
- С неопределенностью (икс стремится к бесконечности)
- С неопределенностью (икс стремится к конкретному числу)
Определение предела функции
Предел функции – величина, к которой стремится значение данной функции при стремлении ее аргумента к предельной для области определения точке.
Запись предела:
- предел обозначается значком lim;
- под ним добавляется, к какому значению стремится аргумент (переменная) функции. Обычно, это x, но не обязательно, например: “x→1″;
- затем справа дописывается сама функция, например:
Таким образом, финальная запись предела выглядит выглядит так (в нашем случае):
Читается как “предел функции при икс, стремящемся к единице”.
x→1 – это значит, что “икс” последовательно принимает значения, которые бесконечно приближаются к единице, но никогда с ней не совпадут (ее не достигнут).
Решение пределов
С заданным числом
Давайте решим рассмотренный выше предел. Для этого просто подставляем единицу в функцию (т.к. x→1):
Таким образом, чтобы решить предел, сперва пробуем просто подставить заданное число в функцию под ним (если икс стремится к конкретному числу).
С бесконечностью
В данному случае аргумент функции бесконечно возрастает, то есть “икс” стремится к бесконечности (∞). Например:
Если x→∞, то заданная функция стремится к минус бесконечности (-∞), т.к.:
- 3 – 1 = 2
- 3 – 10 = -7
- 3 – 100 = -97
- 3 – 1000 – 997 и т.д.
Другой более сложный пример
Для того, чтобы решить этот предел, также, просто увеличиваем значения x и смотрим на “поведение” функции при этом.
- При x = 1, y = 12 + 3 · 1 – 6 = -2
- При x = 10, y = 102 + 3 · 10 – 6 = 124
- При x = 100, y = 1002 + 3 · 100 – 6 = 10294
Таким образом при “икс”, стремящемся к бесконечности, функция x2 + 3x – 6 неограниченно растет.
С неопределенностью (икс стремится к бесконечности)
В данном случае речь идет про пределы, когда функция – это дробь, числитель и знаменатель которой представляют собой многочлены. При этом “икс” стремится к бесконечности.
Пример: давайте вычислим предел ниже.
Решение
Выражения и в числителе, и а знаменателе стремятся к бесконечности. Можно предположить, что в таком случае решение будет таким:
Однако не все так просто. Чтобы решить предел нам нужно сделать следующее:
1. Находим x в старшей степени для числителя (в нашем случае – это два).
2. Аналогичным образом определяем x в старшей степени для знаменателя (тоже равняется двум).
3. Теперь делим и числитель, и знаменатель на x в старшей степени. В нашем случае в обоих случаях – во второй, но если бы они были разные, следовало бы взять наибольшую степень.
4. В получившемся результате все дроби стремятся к нулю, следовательно ответ равен 1/2.
С неопределенностью (икс стремится к конкретному числу)
И в числителе, и в знаменателе представлены многочлены, однако, “икс” стремится к конкретному числу, а не к бесконечности.
В данном случае условно закрываем глаза на то, что в знаменателе стоит ноль.
Пример: Найдем предел функции ниже.
Решение
1. Для начала подставим в функцию число 1, к которому стремится “икс”. Получаем неопределенность рассматриваемого нами вида.
2. Далее раскладываем числитель и знаменатель на множители. Для этого можно воспользоваться формулами сокращенного умножения, если они подходят, или решить квадратное уравнение.
В нашем случаем корнями выражения в числителе (2x2 – 5x + 3 = 0) являются числа 1 и 1,5. Следовательно его можно представить в виде: 2(x-1)(x-1,5).
Знаменатель (x – 1) изначально является простым.
3. Получаем вот такой видоизмененный предел:
4. Дробь можно сократить на (x – 1):
5. Остается только подставить число 1 в выражение, получившееся под пределом:
