Вычисление пределов. Пределы с неопределенностью
Прежде чем рассказать о вычислении пределов с неопределенностью, хочется верить, что у вас уже есть понимание того, что такое предел и как вычислить элементарные пределы. Если такого понимания нет, то сначала прочитайте статью «Пределы. Понятие пределов. Вычисление пределов».
Теперь перейдем к рассмотрению пределов с неопределенностью.
Существует группа пределов, когда x , а функция представляет собой дробь, подставив в которую значение х = получим неопределенность вида .
Необходимо вычислить предел
Воспользуемся нашим правилом №1 и подставим в функцию. Как видно мы получаем неопределенность .
В числителе находим х в старшей степени, которая в нашем случае = 2:
То же самое проделаем со знаменателем:
Здесь также старшая степень = 2.
Далее надо из двух найденных степеней выбрать самую старшую. В нашем случае степень числителя и знаменателя совпадают и =2.
Итак, для раскрытия неопределенности нам потребуется разделить числитель и знаменатель на х в старшей степени, т.е. на x 2 :
Существуют также пределы с другой неопределенностью — вида . Отличие от предыдущего случая лишь в том, что х стремится уже не к , а к конечному числу.
Необходимо вычислить предел .
Снова воспользуемся правилом №1 и подставим в место х число -1:
Мы получили неопределенность , для раскрытия которой необходимо разложить числитель и знаменатель на множители, для чего в свою очередь обычно решается квадратное уравнение или используются формулы сокращенного умножения.
В нашем случае решаем уравнение:
.
Если корень не извлекается целый вероятней всего D вычислен неправильно.
Теперь находим корни уравнения:
В знаменателе у нас х + 1, что итак является простейшим множителем.
Тогда наш предел примет вид:
х + 1 красиво сокращается:
Теперь подставим вместо х значение -1 в функцию и получаем:
Рассмотрим основные положения, применяемые при решении различного рода задач с пределами:
-
Предел суммы 2-х или более функций равен сумме пределов этих функций:
Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:
За знак предела можно выносить постоянный коэффициент:
Предел произведения 2-х и более функций равен произведению пределов этих функций ( последние должны существовать):
Предел отношения 2-х функций равен отношению пределов этих функций (в том случае, если предел знаменателя 0:
Степень функции, находящейся под знаком предела, применима к самому пределу этой функции (степень должна быть действительным числом):
На этом с вычислением пределов с неопределенностью всё. Еще в статье «Замечательные пределы: Первый и второй замечательный предел» мы отдельно рассматриваем интересную группу пределов. Статья вставит еще один блок для решения большинства пределов, встречающихся не просторах обучения.
Если у вас появились какие то вопросы по вычислению пределов с неопределенностью, то задавайте их в комментариях. Будем рады ответить.
Заметка: Если не хватает времени на учебу, вы можете заказать контрольную работу (http://forstuds.ru/kontrolnaya-rabota-na-zakaz), учтите правда наличие знаний по теме у вас после этого.
Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:
Вот с фразы «Воспользуемся нашим правилом №1» поподробнее пожалуйста. У вас есть отдельный список таких правил? Хочу себе сделать как бы карманный мини справочник, чтобы всегда был под рукой.
Я так и не понял как вы числитель разложили, будто колоду карт раскидали и все)
Что такое предел функции
В данной публикации мы рассмотрим одно из главных понятий математического анализа – предел функции: его определение, а также различные способы решения с практическими примерами.
Определение предела функции
Предел функции – величина, к которой стремится значение данной функции при стремлении ее аргумента к предельной для области определения точке.
Запись предела:
- предел обозначается значком lim;
- под ним добавляется, к какому значению стремится аргумент (переменная) функции. Обычно, это x , но не обязательно, например: “ x →1″;
Таким образом, финальная запись предела выглядит выглядит так (в нашем случае):
Читается как “предел функции при икс, стремящемся к единице”.
x →1 – это значит, что “икс” последовательно принимает значения, которые бесконечно приближаются к единице, но никогда с ней не совпадут (ее не достигнут).
Решение пределов
С заданным числом
Давайте решим рассмотренный выше предел. Для этого просто подставляем единицу в функцию (т.к. x →1):
Таким образом, чтобы решить предел, сперва пробуем просто подставить заданное число в функцию под ним (если икс стремится к конкретному числу).
С бесконечностью
В данному случае аргумент функции бесконечно возрастает, то есть “икс” стремится к бесконечности (∞). Например:
Если x →∞, то заданная функция стремится к минус бесконечности (-∞), т.к.:
- 3 – 1 = 2
- 3 – 10 = -7
- 3 – 100 = -97
- 3 – 1000 – 997 и т.д.
Другой более сложный пример
Для того, чтобы решить этот предел, также, просто увеличиваем значения x и смотрим на “поведение” функции при этом.
Таким образом при “икс”, стремящемся к бесконечности, функция неограниченно растет.
С неопределенностью (икс стремится к бесконечности)
В данном случае речь идет про пределы, когда функция – это дробь, числитель и знаменатель которой представляют собой многочлены. При этом “икс” стремится к бесконечности.
Пример: давайте вычислим предел ниже.
Выражения и в числителе, и а знаменателе стремятся к бесконечности. Можно предположить, что в таком случае решение будет таким:
Однако не все так просто. Чтобы решить предел нам нужно сделать следующее:
1. Находим x в старшей степени для числителя (в нашем случае – это два).
2. Аналогичным образом определяем x в старшей степени для знаменателя (тоже равняется двум).
3. Теперь делим и числитель, и знаменатель на x в старшей степени. В нашем случае в обоих случаях – во второй, но если бы они были разные, следовало бы взять наибольшую степень.
4. В получившемся результате все дроби стремятся к нулю, следовательно ответ равен 1/2.
С неопределенностью (икс стремится к конкретному числу)
И в числителе, и в знаменателе представлены многочлены, однако, “икс” стремится к конкретному числу, а не к бесконечности.
В данном случае условно закрываем глаза на то, что в знаменателе стоит ноль.
Пример: Найдем предел функции ниже.
1. Для начала подставим в функцию число 1, к которому стремится “икс”. Получаем неопределенность рассматриваемого нами вида.
2. Далее раскладываем числитель и знаменатель на множители. Для этого можно воспользоваться формулами сокращенного умножения, если они подходят, или решить квадратное уравнение.
В нашем случаем корнями выражения в числителе () являются числа 1 и 1,5. Следовательно его можно представить в виде: .
Знаменатель () изначально является простым.
3. Получаем вот такой видоизмененный предел:
4. Дробь можно сократить на ():
5. Остается только подставить число 1 в выражение, получившееся под пределом:
Предел по-шагам
Результат
Примеры пределов
- Пределы от рациональных дробей на бесконечности
- Пределы от рациональных дробей в конечной точке
- Пределы от дроби в нуле
- Первый замечательный предел
- Второй замечательный предел
- Пределы с квадратными корнями
- Правило Лопиталя
Указанные выше примеры содержат также:
- квадратные корни sqrt(x),
кубические корни cbrt(x) - тригонометрические функции:
синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x) - показательные функции и экспоненты exp(x)
- обратные тригонометрические функции:
арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x), арккотангенс actan(x) - натуральные логарифмы ln(x),
десятичные логарифмы log(x) - гиперболические функции:
гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x), гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x) - обратные гиперболические функции:
asinh(x), acosh(x), atanh(x), actanh(x) - число Пи pi
- комплексное число i
Правила ввода
Можно делать следующие операции
2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5
Чтобы увидеть подробное решение,
помогите рассказать об этом сайте:
http://mrexam.ru/limit
Теория пределов – раздел математического анализа. Наряду с системами линейных уравнений и диффурами пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.
В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.
Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.
Понятие предела в математике
Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции , так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала — самое общее определение предела:
Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a, то a – предел этой величины.
Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A, к которому стремится функция при х, стремящемся к определенной точке а. Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.
Звучит громоздко, но записывается очень просто:
Lim — от английского limit — предел.
Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.
Приведем конкретный пример. Задача — найти предел.
Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:
Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами, читайте отдельную статью на эту тему.
В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:
Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.
Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х. Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность. Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!
Неопределенности в пределах
Неопределенность вида бесконечность/бесконечность
Пусть есть предел:
Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?
Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:
Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Еще один вид неопределенностей: 0/0
В таких случаях рекомендуется раскладывать числитель и знаменатель на множители. Но давайте посмотрим на конкретный пример. Нужно вычислить предел:
Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:
Сократим и получим:
Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.
Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:
Правило Лопиталя в пределах
Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?
Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.
Наглядно правило Лопиталя выглядит так:
Важный момент: предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.
А теперь – реальный пример:
Налицо типичная неопределенность 0/0. Возьмем производные от числителя и знаменателя:
Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.
Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос «как решать пределы в высшей математике». Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.
Пределы
функций. Производная функции
Продолжим рассматривать примеры вычисления пределов последовательностей.
4. Найти предел последовательности
Наибольшая степень в числителе и знаменателе — третья, поэтому поделим числитель и знаменатель на n3. Получим
Воспользоваться теоремой 4 для вычисления предела отношения двух последовательностей невозможно, так как предел последовательности
стоящей в знаменателе, равен 0.
Рассмотрим последовательность
Предел этой последовательности равен 0:
Так как последовательность yn — бесконечно малая, то
согласно теореме 1, бесконечно большая последовательность. Таким образом,
Правило. Если у общего члена последовательности степень числителя больше степени знаменателя, то последовательность
бесконечно большая.
Пределы функций
Рассмотрим функцию y = 2x + 1. Фиксируем точку x0 = 0. Пусть xn — некоторая последовательность, сходящаяся к x0 при n,
стремящемся к ∞. Рассмотрим, например, последовательность
Она сходится к 0
Подставив в функцию вместо x xn, получим новую последовательность
Нас интересует, как ведет себя эта последовательность. Последовательность yn сходится к 1 при N, стремящемся к ∞(limn→∞ yn= 1).
Рассмотрим, как геометрически изображается связь между
последовательностями xn и yn (рис. 30).
Нас интересует, как ведет себя последовательность yn, если последовательность xn сходится к x0.
Определение предела функции
Определение. Число a называется пределом функции y(x) при x, стремящемся к x0,
если для любой последовательности xn, удовлетворяющей условиям: xn принадлежит области определения X функции y(x), xn ≠ x0
и limn→∞ xn = x0,
соответствующая последовательность yn = y(xn) сходится к a. Это записывают так:
Теоремы о предельном переходе при выполнении арифметических операций над функциями
Пусть на множестве X рассматриваются функции y(x) и z(x).
Пусть x0 ∈ X и limn→∞ y(x) = a, limn→∞ z(x) = b. Тогда:
Теорема 1. Предел суммы (разности, произведения) двух функций при x, стремящемся к x0, равен сумме
(разности, произведению) пределов этих функций, т. е.
Теорема 2. Пусть b ≠ 0. Тогда
Примеры вычисления пределов функций
1. Найдем
Если мы попытаемся воспользоваться теоремой 2, то увидим, что при x, стремящемся к 1, числитель и знаменатель дроби стремятся
к 0. Такая ситуация называется неопределенностью «ноль на ноль»
(
0
/
0
)
Пока теоремой 2 воспользоваться нельзя. Заметим, что
в числителе стоит разность квадратов. Используя формулу
получим
2. Найдем
Попытаемся использовать теорему 2. Найдем предел числителя:
Найдем предел знаменателя:
Имеем неопределенность типа «ноль на ноль».
В числителе дроби стоит квадратный трехчлен. Разложим его
на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения
Они равны x1 = -1, x2 = -2.
Напомним, что для квадратного уравнения
корни x1,2 находятся по формуле
и разложение на множители записывается так:
Возвращаясь к нашему примеру, получим
Предел функции при x, стремящемся к бесконечности (x→∞), вычисляется так же, как для последовательности.
Производная функции
Приращение функции
Приращение функции, обозначаемое через Δy, показывает, на
сколько значение функции в точке x0 + Δx отличается от значения функции в точке x0(рис. 31).
Приращение аргумента — Δx, приращение функции — Δy = y(x0 + Δx) — y(x0)
Производная
Определение. Производной y′(x0) функции y(x) в точке x0
называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:
если этот предел существует. Итак,
Схема вычисления производной
1. Вычислить y(x0).
2. Вычислить y(x0+ Δx).
3. Найти приращение функции Δy = y(x0 + ∆x) — y(x0).
4. Найти отношение
Δy
/
∆x
5. Найти предел отношения при ∆x →0, т. е. производную y′(x0).
Найдем по определению производную функции y = x2.
Физический смысл производной
Пусть независимая переменная t — это время. Рассматриваемая функция s(t) — путь,
пройденный точкой M от начальной точки O за время t (если t измеряется, например, в минутах, то s(3) — путь, пройденный точкой M от начальной точки O за
3 мин, s(5) — путь, пройденный точкой M от начальной точки O за 5 мин).
Тогда s(t + Δt) — путь, пройденный точкой M от начальной точки O за время t + Δt.
На рис. 32 путь MM′ пройден за 2 мин и равен s(3) − s(5)
На рис. 33 путь MM′ пройден за Δt мин и равен
Средняя скорость ν на заданном отрезке пути определяется как отношение пути ко времени, за которое этот путь пройден.
Средняя скорость ν на отрезке MM′ на рис. 32 равна
s(5) — s(3)
/
2
на рис. 33 —
Δs
/
Δt
Если Δt → 0, то M′ → M и limΔt→0
Δs
/
Δt
= s‘(t)— это
мгновенная скорость в точке M Итак, производная пути по времени при t = t0
— это мгновенная скорость движения точки M в моментem t0.
Таким образом, y′(x0) — это скорость изменения функции y(x)
в точке x0.
Таблица производных
Примеры использования формулы 1 из таблицы производных
Свойства производной
В данной публикации мы рассмотрим одно из главных понятий математического анализа – предел функции: его определение, а также различные способы решения с практическими примерами.
- Определение предела функции
-
Решение пределов
- С заданным числом
- С бесконечностью
- С неопределенностью (икс стремится к бесконечности)
- С неопределенностью (икс стремится к конкретному числу)
Определение предела функции
Предел функции – величина, к которой стремится значение данной функции при стремлении ее аргумента к предельной для области определения точке.
Запись предела:
- предел обозначается значком lim;
- под ним добавляется, к какому значению стремится аргумент (переменная) функции. Обычно, это x, но не обязательно, например: “x→1″;
- затем справа дописывается сама функция, например:
Таким образом, финальная запись предела выглядит выглядит так (в нашем случае):
Читается как “предел функции при икс, стремящемся к единице”.
x→1 – это значит, что “икс” последовательно принимает значения, которые бесконечно приближаются к единице, но никогда с ней не совпадут (ее не достигнут).
Решение пределов
С заданным числом
Давайте решим рассмотренный выше предел. Для этого просто подставляем единицу в функцию (т.к. x→1):
Таким образом, чтобы решить предел, сперва пробуем просто подставить заданное число в функцию под ним (если икс стремится к конкретному числу).
С бесконечностью
В данному случае аргумент функции бесконечно возрастает, то есть “икс” стремится к бесконечности (∞). Например:
Если x→∞, то заданная функция стремится к минус бесконечности (-∞), т.к.:
- 3 – 1 = 2
- 3 – 10 = -7
- 3 – 100 = -97
- 3 – 1000 – 997 и т.д.
Другой более сложный пример
Для того, чтобы решить этот предел, также, просто увеличиваем значения x и смотрим на “поведение” функции при этом.
- При x = 1, y = 12 + 3 · 1 – 6 = -2
- При x = 10, y = 102 + 3 · 10 – 6 = 124
- При x = 100, y = 1002 + 3 · 100 – 6 = 10294
Таким образом при “икс”, стремящемся к бесконечности, функция x2 + 3x – 6 неограниченно растет.
С неопределенностью (икс стремится к бесконечности)
В данном случае речь идет про пределы, когда функция – это дробь, числитель и знаменатель которой представляют собой многочлены. При этом “икс” стремится к бесконечности.
Пример: давайте вычислим предел ниже.
Решение
Выражения и в числителе, и а знаменателе стремятся к бесконечности. Можно предположить, что в таком случае решение будет таким:
Однако не все так просто. Чтобы решить предел нам нужно сделать следующее:
1. Находим x в старшей степени для числителя (в нашем случае – это два).
2. Аналогичным образом определяем x в старшей степени для знаменателя (тоже равняется двум).
3. Теперь делим и числитель, и знаменатель на x в старшей степени. В нашем случае в обоих случаях – во второй, но если бы они были разные, следовало бы взять наибольшую степень.
4. В получившемся результате все дроби стремятся к нулю, следовательно ответ равен 1/2.
С неопределенностью (икс стремится к конкретному числу)
И в числителе, и в знаменателе представлены многочлены, однако, “икс” стремится к конкретному числу, а не к бесконечности.
В данном случае условно закрываем глаза на то, что в знаменателе стоит ноль.
Пример: Найдем предел функции ниже.
Решение
1. Для начала подставим в функцию число 1, к которому стремится “икс”. Получаем неопределенность рассматриваемого нами вида.
2. Далее раскладываем числитель и знаменатель на множители. Для этого можно воспользоваться формулами сокращенного умножения, если они подходят, или решить квадратное уравнение.
В нашем случаем корнями выражения в числителе (2x2 – 5x + 3 = 0) являются числа 1 и 1,5. Следовательно его можно представить в виде: 2(x-1)(x-1,5).
Знаменатель (x – 1) изначально является простым.
3. Получаем вот такой видоизмененный предел:
4. Дробь можно сократить на (x – 1):
5. Остается только подставить число 1 в выражение, получившееся под пределом: