Как найти предел ноль на ноль - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Вычисление пределов функций y
= f(x),
значение которых в точке при х = х₀
определено f(x)
= А не вызывает затруднений:

Затруднения возникают, когда в точке х
= х₀ при вычислении значения
функции получаем неопределенности вида

В этом случае для вычисления пределов
нужно преобразовать исходную функцию,
чтобы неопределенность исчезла, либо
в результате преобразования привести
исходную функцию к первому или второму
замечательному пределу.

Пример 1.

Вычислить

при

Решение. Так
как

определена
в точке

,
то предел функции в точке

равен значению функции в этой точке, т.
е.

;

Пример 2.

Вычислить

при

Решение. В
точке

функция также определена. Тогда получим:

Пример 3.

Вычислить

при

.

Решение. При

получили неопределенность

.
Для решения разложим числитель и
знаменатель на множители, сократим
дробь:

;

После сокращения дроби опять в предел
подставляем

и вычисляем предел.

Пример 4.

Найти предел:

Решение.

.

Избавимся от
иррациональности в знаменателе, умножив
и разделив дробь на выражение

,
сопряженное знаменателю, и применим
формулу

Выделим множитель

и сократим на него дробь.

Примечание.

Аналогично
избавляются от иррациональности в
числителе.

Пример 5.

Вычислить предел:

Решение. При непосредственной
подставке х = –1 получаем неопределенность

.
Для ее исключения проведем преобразование
функции:

При х = –1 знаменатель обращаться в
ноль за счет сомножителя х + 1. разделим
числитель на этот сомножитель:

В результате предел преобразуется к
виду:

Пример 6.

Вычислить предел:

Решение. При непосредственной
подставке х = –2 получаем неопределенность

.
Для устранения неопределенности разложим
числитель и знаменатель на сомножители.
Так как и числитель, и знаменатель при
х = 2 обращаются в ноль, то они содержат
общий сомножитель х – 2. найдем
вторые сомножители числителя и
знаменателя:

В результате разложения на сомножители
числителя и знаменателя предел
преобразуется к виду:

При подстановке х = 2 опять получаем
неопределенность

.
Еще раз разделим числитель и знаменатель
на х – 2 и в результате получим:

Пример 7.

Вычислить предел:

Решение. При непосредственной
подстановке х = 0 получаем
неопределенность

.
Для ее устранения умножим числитель и
знаменатель дроби на выражение,
сопряженное числителю, на

В результате мы избавимся от иррациональности
в числителе:

Соседние файлы в папке Предел и непрерывность

Источник

Рассмотрим примеры, в которых, чтобы найти пределы функций, надо раскрыть неопределенность вида 0 на 0.

$[1)mathop {lim }limits_{x to 2} frac{{3{x^2} - 12}}{{8 - {x^3}}} = left[ {frac{0}{0}} right] = mathop {lim }limits_{x to 2} frac{{3({x^2} - 4)}}{{(2 - x)(4 + 2x + {x^2})}} = ]$

$[ = mathop {lim }limits_{x to 2} frac{{3(x - 2)(x + 2)}}{{ - (x - 2)(4 + 2x + {x^2})}} = - mathop {lim }limits_{x to 2} frac{{3(x + 2)}}{{4 + 2x + {x^2}}} = ]$

$[ = - frac{{3(2 + 2)}}{{4 + 4 + 4}} = - 1]$

$[2)mathop {lim }limits_{x to frac{1}{3}} frac{{3{x^2} - 7x + 2}}{{6x - 2}} = left[ {frac{0}{0}} right] = mathop {lim }limits_{x to frac{1}{3}} frac{{3(x - frac{1}{3})(x - 2)}}{{2(3x - 1)}} = ]$

$[ = mathop {lim }limits_{x to frac{1}{3}} frac{{(3x - 1)(x - 2)}}{{2(3x - 1)}} = mathop {lim }limits_{x to frac{1}{3}} frac{{x - 2}}{2} = frac{{frac{1}{3} - 2}}{2} = - frac{5}{6}]$

$[3{x^2} - 7x + 2 = 0;{x_1} = frac{1}{3},{x_2} = 2;]$

$[ to 3{x^2} - 7x + 2 = 3(x - frac{1}{3})(x - 2)]$

$[3)mathop {lim }limits_{x to - 1} frac{{{x^3} + 3x + 4}}{{{x^2} - x - 2}} = left[ {frac{0}{0}} right] = mathop {lim }limits_{x to - 1} frac{{({x^3} + 1) + (3x + 3)}}{{(x - 2)(x + 1)}} = ]$

$[ = mathop {lim }limits_{x to - 1} frac{{(x + 1)({x^2} - x + 1) + 3(x + 1)}}{{(x - 2)x + 1)}} = mathop {lim }limits_{x to - 1} frac{{(x + 1)({x^2} - x + 4)}}{{(x - 2)(x + 1)}} = ]$

$[ = mathop {lim }limits_{x to - 1} frac{{{x^2} - x + 4}}{{x - 2}} = frac{{1 + 1 + 4}}{{ - 1 - 2}} = - 2]$

$[4)mathop {lim }limits_{x to 1} = frac{{4{x^2} - 5x + 1}}{{3{x^2} - x - 2}} = mathop {lim }limits_{x to 1} frac{{4(x - 1)(x - frac{1}{4})}}{{3(x - 1)(x + frac{2}{3})}} = ]$

$[ = mathop {lim }limits_{x to 1} frac{{4x - 1}}{{3x + 2}} = frac{{4 - 1}}{{3 + 2}} = frac{3}{5}]$

Примеры для самопроверки:

$[1)mathop {lim }limits_{x to 3} frac{{2{x^2} - 5x - 3}}{{{x^2} - 5x + 6}};]$

$[2)mathop {lim }limits_{x to - 2} frac{{9{x^2} + 17x - 2}}{{{x^2} + 2x}};]$

$[3)mathop {lim }limits_{x to 4} frac{{{x^3} - 64}}{{{x^2} + 3x - 28}}.]$

Показать решение

Источник

Как решать пределы для чайников?

Для тех, кто хочет научиться находить пределы в данной статье мы расскажем об этом. Не будем углубляться в теорию, обычно её дают на лекциях преподаватели. Так что «скучная теория» должна быть у Вас законспектирована в тетрадках. Если этого нет, то почитать можно учебники взятые в библиотеке учебного заведения или на других интернет-ресурсах.

Итак, понятие предела достаточно важно в изучении курса высшей математики, особенно когда вы столкнетесь с интегральным исчислением и поймёте связь между пределом и интегралом. В текущем материале будут рассмотрены простые примеры, а также способы их решения.

Примеры решений

Пример 1

Вычислить а) $ lim_{x to 0} frac{1}{x} $; б)$ lim_{x to infty} frac{1}{x} $

Решение

а) $$ lim limits_{x to 0} frac{1}{x} = infty $$

б)$$ lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0 $$

Нам часто присылают эти пределы с просьбой помочь решить. Мы решили их выделить отдельным примером и пояснить, что данные пределы необходимо просто запомнить, как правило.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ text{a)} lim limits_{x to 0} frac{1}{x} = infty text{ б)}lim limits_{x to infty} frac{1}{x} = 0 $$

Пример 2

$$ lim limits_{x to 1} frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} $$

Решение

Внимание «чайникам» Чтобы вычислить предел любого типа и вида нужно подставить значение x, указанное под пределом, в функцию, стоящую под знаком предела. Давайте попробуем это сделать:

$$ lim limits_{x to 1} frac{x^2+2 cdot x+1}{x+1}=frac{1^2+2 cdot 1+1}{1+1} = $$

$$ = frac{4}{2}=2 $$

Как видим в итоге у нас вычислился предел, результатом стала двойка. Хорошо, когда так получается, но бывает так, что результатом становятся неопределенности. Попробуем разобраться с ними — это не так страшно как кажется

Ответ

$$ lim limits_{x to 1} frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} = 2 $$

Что делать с неопределенностью вида: $ bigg [frac{0}{0} bigg ] $

Пример 3

Решить $ lim limits_{x to -1} frac{x^2-1}{x+1} $

Решение

Как всегда начинаем с подстановки значения $ x $ в выражение, стоящее под знаком предела.

$$ lim limits_{x to -1} frac{x^2-1}{x+1} = frac{(-1)^2-1}{-1+1}=frac{0}{0} $$

Что теперь дальше? Что же должно получиться в итоге? Так как это неопределенность, то это ещё не ответ и продолжаем вычисление. Так как в числители у нас многочлен, то разложим его на множители, помощью знакомой всем формулы ещё со школьной скамьи $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Вспомнили? Отлично! Теперь вперед и с песней применять её

Получаем, что числитель $ x^2-1=(x-1)(x+1) $

Продолжаем решать учитывая вышеприведенное преобразование:

$$ lim limits_{x to -1}frac{x^2-1}{x+1} = lim limits_{x to -1}frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = $$

$$ = lim limits_{x to -1}(x-1)=-1-1=-2 $$

Ответ

$$ lim limits_{x to -1} frac{x^2-1}{x+1} = -2 $$

Пример 4

$$ lim limits_{x to 2}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} $$

Решение

$$ lim limits_{x to 2}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = frac{0}{0} = $$

$$ = lim limits_{x to 2}frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)^2} = $$

$$ = lim limits_{x to 2}frac{x+2}{x-2} = frac{2+2}{2-2} = frac{4}{0} = infty $$

Бесконечность получилась в результате — это следует из примера 1. Когда число делится на 0 под знаком предела, то получается бесконечность.

Ответ

$$ lim limits_{x to 2}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = infty $$

Устремим предел в последних двух примерах к бесконечности и рассмотрим неопределенность: $ bigg [frac{infty}{infty} bigg ] $

Пример 5

Вычислить $ lim limits_{x to infty} frac{x^2-1}{x+1} $

Решение

$ lim limits_{x to infty} frac{x^2-1}{x+1} = frac{infty}{infty} $

Что же делать? Как быть? Не стоит паниковать, потому что невозможное — возможно. Нужно вынести за скобки и в числителе и в знаменателе икс, а потом его сократить. После этого предел попытаться вычислить. Пробуем…

$$ lim limits_{x to infty} frac{x^2-1}{x+1} =lim limits_{x to infty} frac{x^2(1-frac{1}{x^2})}{x(1+frac{1}{x})} = $$

$$ = lim limits_{x to infty} frac{x(1-frac{1}{x^2})}{(1+frac{1}{x})} = $$

Используя определение из примера 2 и подставляя в место х бесконечность получаем:

$$ = frac{infty(1-frac{1}{infty})}{(1+frac{1}{infty})} = frac{infty cdot 1}{1+0} = frac{infty}{1} = infty $$

Ответ

$$ lim limits_{x to infty} frac{x^2-1}{x+1} = infty $$

Пример 6

$$ lim limits_{x to infty}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} $$

Решение

$$ lim limits_{x to infty}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = frac{infty}{infty} $$

Чтобы устранить такую неопределенность нужно вынести за скобки икс в числителе и в знаменателе, далее их сократить. В полученное выражение подставить икс равное бесконечности. Пробуем…

$$ lim limits_{x to infty}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = frac{infty}{infty} = $$

$$ lim limits_{x to infty}frac{x^2(1-frac{4}{x^2})}{x^2(1-frac{4}{x}+frac{4}{x^2})} = $$

$$ lim limits_{x to infty}frac{1-frac{4}{x^2}}{1-frac{4}{x}+frac{4}{x^2}} = frac{1}{1} = 1 $$

Ответ

$$ lim limits_{x to infty}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = 1 $$

Алгоритм вычисления лимитов

Итак, давайте кратко подведем итог разобранным примерам и составим алгоритм решения пределов:

Подставить точку х в выражение, следующее после знака предела. Если получается определенное число, либо бесконечность, то предел решен полностью. В противном случае имеем неопределенность: «ноль делить на ноль» или «бесконечность делить на бесконечность» и переходим к следующим пунктам инструкции.
Чтобы устранить неопределенность «ноль делить на ноль» нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Сократить подобные. Подставить точку х в выражение, стоящее под знаком предела.
Если неопределенность «бесконечность делить на бесконечность», тогда выносим и в числителе, и в знаменателе x наибольшей степени. Сокращаем иксы. Подставляем значения икса из под предела в оставшееся выражение.

В этой статье Вы ознакомились с основами решения пределов, часто используемых в курсе Математического анализа. Конечно же это не все типы задач, предлагающихся экзаменаторами, а только простейшие пределы. В следующих статьях поговорим о других типах заданий, но сперва необходимо усвоить этот урок, чтобы двигаться далее. Обсудим, что делать, если есть корни, степени, изучим бесконечно малые эквивалентные функции, замечательные пределы, правило Лопиталя.

Если у Вас не получается самостоятельно решить пределы, то не паникуйте. Мы всегда рады помочь!

Источник