Как найти предел основания

Второй замечательный предел

Данная статья: «Второй замечательный предел» посвящена раскрытию в пределах неопределенностей вида:

$ bigg[frac{infty}{infty}bigg]^infty $ и $ [1]^infty $.

Так же такие неопределенности можно раскрывать с помощью логарифмирования показательно-степенной функции, но это уже другой метод решения, о котором будет освещено в другой статье.

Формула и следствия

Формула второго замечательного предела записывается следующим образом: $$ lim_{x to infty} bigg (1+frac{1}{x}bigg)^x = e, text{ где } e approx 2.718 $$

Из формулы вытекают следствия, которые очень удобно применять для решения примеров с пределами: $$ lim_{x to infty} bigg (1 + frac{k}{x} bigg)^x = e^k, text{ где } k in mathbb{R} $$ $$ lim_{x to infty} bigg (1 + frac{1}{f(x)} bigg)^{f(x)} = e $$ $$ lim_{x to 0} bigg (1 + x bigg)^frac{1}{x} = e $$

Стоить заметить, что второй замечательный предел можно применять не всегда к показательно-степенной функции, а только в случаях когда основание стремится к единице. Для этого сначала в уме вычисляют предел основания, а затем уже делают выводы. Всё это будет рассмотрено в примерах решений.

Примеры решений

Рассмотрим примеры решений с использованием прямой формулы и её следствий. Так же разберем случаи, при которых формула не нужна. Достаточно записать только готовый ответ.

Пример 1

Найти предел $ lim_{xtoinfty} bigg( frac{x+4}{x+3} bigg)^{x+3} $

Решение

Подставим бесконечность в предел и посмотрим на неопределенность: $$ lim_{xtoinfty} bigg( frac{x+4}{x+3} bigg)^{x+3} = bigg(frac{infty}{infty}bigg)^infty $$ Найдем предел основания: $$ lim_{xtoinfty} frac{x+4}{x+3}= lim_{xtoinfty} frac{x(1+frac{4}{x})}{x(1+frac{3}{x})} = 1 $$ Получили основание равное единице, а это значит уже можно применить второй замечательный предел. Для этого подгоним основание функции под формулу путем вычитания и прибавления единицы: $$ lim_{xtoinfty} bigg( 1 + frac{x+4}{x+3} — 1 bigg)^{x+3} = lim_{xtoinfty} bigg( 1 + frac{1}{x+3} bigg)^{x+3} = $$ Смотрим на второе следствие и записываем ответ: $$ lim_{xtoinfty} bigg( 1 + frac{1}{x+3} bigg)^{x+3} = e $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ lim_{xtoinfty} bigg( 1 + frac{1}{x+3} bigg)^{x+3} = e $$

Пример 2

Определить предел $ lim_{xtoinfty} bigg (1+frac{1}{x^3}bigg)^{x^2} $

Решение

Замечаем, что основание степени стремится к единице $ 1+frac{1}{x^3} to 1 $, при $ xtoinfty $, а показатель $ x^2 to infty $. Поэтому можно применить второе следствие. Но сперва, разберемся с показателем и приведем его в нужный вид — сделаем равным знаменателю основания. Для этого умножим его на $ x $ и разделим на него же. Получаем: $$ lim_{xtoinfty} bigg (1+frac{1}{x^3}bigg)^{x^2 cdot frac{x}{x}} = lim_{xtoinfty} bigg (1+frac{1}{x^3}bigg)^{frac{x^3}{x}} = $$ Уже теперь применяем формулу и получаем: $$ lim_{xtoinfty}e^ frac{1}{x} = e^{lim_{xtoinfty} frac{1}{x}} = e^0 = 1 $$

Ответ

$$ lim_{xtoinfty} bigg (1+frac{1}{x^3}bigg)^{x^2} = 1 $$

Пример 3

Вычислить предел $ lim_{xto 1} (6-5x)^frac{x}{x-1} $

Решение

Получаем неопределенность $ 1^infty $. Для её раскрытия воспользуемся вторым замечательным пределом. Но у нас $ xto 1 $. Как быть? Выполняем замену $ y = x-1 $, тогда $ yto 0 $, при $ x to 1 $. Из замены следует, что $ x = y + 1 $. $$ lim_{xto 1} (6-5x)^frac{x}{x-1} = lim_{yto 0} (6-5(y+1))^frac{y+1}{y} = 1^infty = $$ $$ = lim_{yto 0} (1-5y)^frac{y+1}{y} = lim_{yto 0} (1+(-5y))^frac{(y+1)cdot (-5)}{-5cdot y} = $$ $$ = lim_{yto 0} e^{-5cdot (y+1)} = e^{-5} $$

Ответ

$$ lim_{xto 1} (6-5x)^frac{x}{x-1} = e^{-5} $$

Пример 4

Решить предел $ lim_{xto infty} bigg (frac{3x^2+4}{3x^2-2} bigg) ^{3x} $

Решение

Находим предел основания и видим, что $ lim_{xtoinfty} frac{3x^2+4}{3x^2-2} = 1 $, значит можно применить второй замечательный предел. Стандартно по плану прибавляем и вычитаем единицу из основания степени: $$ lim_{xto infty} bigg (1+frac{3x^2+4}{3x^2-2}-1 bigg) ^{3x} = lim_{xto infty} bigg (1+frac{6}{3x^2-2} bigg) ^{3x} = $$ Подгоняем дробь под формулу 2-го замеч. предела: $$ = lim_{xto infty} bigg (1+frac{1}{frac{3x^2-2}{6}} bigg) ^{3x} = $$ Теперь подгоняем степень. В степени должна быть дробь равная знаменателю основания $ frac{3x^2-2}{6} $. Для этого умножим и разделим степень на неё, и продолжим решать: $$ = lim_{xto infty} bigg (1+frac{1}{frac{3x^2-2}{6}} bigg) ^{frac{3x^2-2}{6} cdot frac{6}{3x^2-2}cdot 3x} = lim_{xto infty} e^{frac{18x}{3x^2-2}} = $$ Предел, расположенный в степени при $ e $ равен: $ lim_{xto infty} frac{18x}{3x^2-2} = 0 $. Поэтому продолжая решение имеем: $$ = e^0 = 1 $$

Ответ

$$ lim_{xto infty} bigg (frac{3x^2+4}{3x^2-2} bigg) ^{3x} = 1 $$

Разберем случаи, когда задача похожа на второй замечательный предел, но решается без него.

Пример 5

Найти $ lim_{xtoinfty} bigg ( frac{x+3}{3x+4} bigg )^{x+1} $

Решение

Начинаем с проверки равен ли предел основания единице. Имеем: $$ lim_{xtoinfty} frac{x+3}{3x+4} = frac{1}{3} $$ А это значит, что формулировка второго замечательного предела не соответствует данной задаче, так как $ frac{1}{3}ne 1 $ Продолжаем вычисление предела: $$ lim_{xtoinfty} bigg ( frac{x+3}{3x+4} bigg )^{x+1} = bigg (frac{1}{3} bigg ) ^infty = 0 $$

Ответ

$$ lim_{xtoinfty} bigg ( frac{x+3}{3x+4} bigg )^{x+1} = 0 $$

Пример 6

Найти $ lim_{xtoinfty} bigg ( frac{3x+4}{x+3} bigg )^{x-5} $

Решение

Начинаем с проверки равен ли предел основания единице. Имеем: $$ lim_{xtoinfty} frac{3x+4}{x+3} = 3 $$ А это значит, что формулировка второго замечательного предела не соответствует данной задаче, так как $ 3 ne 1 $ Продолжаем вычисление предела: $$ lim_{xtoinfty} bigg ( frac{3x+4}{x+3} bigg )^{x-5} = 3^infty = infty $$

Ответ

$$ lim_{xtoinfty} bigg ( frac{3x+4}{x+3} bigg )^{x-5} =infty $$

В статье: «Второй замечательный предел: примеры решений» была разобрана формула, её следствия и приведены частые типы задач по этой теме.

Второй замечательный предел

Обычно второй замечательный предел записывают в такой форме:

$$
begin{equation}
lim_{xtoinfty}left(1+frac{1}{x}right)^x=e
end{equation}
$$

Число $e$, указанное в правой части равенства (1), является иррациональным. Приближённое значение этого числа таково: $eapprox{2{,}718281828459045}$. Если сделать замену $t=frac{1}{x}$, то формулу (1) можно переписать в следующем виде:

$$
begin{equation}
lim_{tto{0}}biggl(1+tbiggr)^{frac{1}{t}}=e
end{equation}
$$

Как и для первого замечательного предела, неважно, какое выражение стоит вместо переменной $x$ в формуле (1) или вместо переменной $t$ в формуле (2). Главное – выполнение двух условий:

1. Основание степени (т.е. выражение в скобках формул (1) и (2)) должно стремиться к единице;
2. Показатель степени (т.е. $x$ в формуле (1) или $frac{1}{t}$ в формуле (2)) должен стремиться к бесконечности.

Говорят, что второй замечательный предел раскрывает неопределенность $1^infty$. Заметьте, что в формуле (1) мы не уточняем, о какой именно бесконечности ($+infty$ или $-infty$) идёт речь. В любом из этих случаев формула (1) верна. В формуле (2) переменная $t$ может стремиться к нулю как слева, так и справа.

Отмечу, что есть также несколько полезных следствий из второго замечательного предела. Примеры на использование второго замечательного предела, равно как и следствий из него, очень популярны у составителей стандартных типовых расчётов и контрольных работ.

Пример №1

Вычислить предел $lim_{xtoinfty}left(frac{3x+1}{3x-5}right )^{4x+7}$.

Решение

Сразу отметим, что основание степени (т.е. $frac{3x+1}{3x-5}$) стремится к единице:

$$
lim_{xtoinfty}frac{3x+1}{3x-5}=left|frac{infty}{infty}right|
=lim_{xtoinfty}frac{3+frac{1}{x}}{3-frac{5}{x}}
=frac{3+0}{3-0}
=1.
$$

При этом показатель степени (выражение $4x+7$) стремится к бесконечности, т.е. $lim_{xtoinfty}(4x+7)=infty$.

Основание степени стремится к единице, показатель степени – к бесконечности, т.е. мы имеем дело с неопределенностью $1^infty$. Применим формулу (1) для раскрытия этой неопределённости. В основании степени формулы (1) расположено выражение $1+frac{1}{x}$, а в рассматриваемом нами примере основание степени таково: $frac{3x+1}{3x-5}$. Посему первым действием станет формальная подгонка выражения $frac{3x+1}{3x-5}$ под вид $1+frac{1}{x}$. Для начала прибавим и вычтем единицу:

$$
lim_{xtoinfty}left(frac{3x+1}{3x-5}right )^{4x+7}
=|1^infty|
=lim_{xtoinfty}left(1+frac{3x+1}{3x-5}-1right)^{4x+7}
$$

Следует учесть, что просто так добавить единицу нельзя. Если мы вынуждены добавить единицу, то её же нужно и вычесть, дабы не изменять значения всего выражения. Для продолжения решения учтём, что

$$
frac{3x+1}{3x-5}-1
=frac{3x+1}{3x-5}-frac{3x-5}{3x-5}
=frac{3x+1-3x+5}{3x-5}
=frac{6}{3x-5}.
$$

Так как $frac{3x+1}{3x-5}-1=frac{6}{3x-5}$, то:

$$
lim_{xtoinfty}left(1+ frac{3x+1}{3x-5}-1right)^{4x+7}
=lim_{xtoinfty}left(1+frac{6}{3x-5}right )^{4x+7}
$$

Продолжим «подгонку». В выражении $1+frac{1}{x}$ формулы (1) в числителе дроби находится 1, а в нашем выражении $1+frac{6}{3x-5}$ в числителе находится $6$. Чтобы получить $1$ в числителе, опустим $6$ в знаменатель с помощью следующего преобразования:

$$
1+frac{6}{3x-5}
=1+frac{1}{frac{3x-5}{6}}
$$

Таким образом,

$$
lim_{xtoinfty}left(1+frac{6}{3x-5}right )^{4x+7}
=lim_{xtoinfty}left(1+frac{1}{frac{3x-5}{6}}right )^{4x+7}
$$

Итак, основание степени, т.е. $1+frac{1}{frac{3x-5}{6}}$, подогнано под вид $1+frac{1}{x}$, который требуется в формуле (1). Теперь начнём работать с показателем степени. Заметьте, что в формуле (1) выражения, стоящие в показатели степени и в знаменателе, одинаковы:

Значит, и в нашем примере показатель степени и знаменатель нужно привести к одинаковой форме. Чтобы получить в показателе степени выражение $frac{3x-5}{6}$, просто домножим показатель степени на эту дробь. Естественно, что для компенсации такого домножения, придется тут же домножить на обратную дробь, т.е. на $frac{6}{3x-5}$. Итак, имеем:

$$
lim_{xtoinfty}left(1+frac{1}{frac{3x-5}{6}}right )^{4x+7}
=lim_{xtoinfty}left(1+frac{1}{frac{3x-5}{6}}right )^{frac{3x-5}{6}cdotfrac{6}{3x-5}cdot(4x+7)}
=lim_{xtoinfty}left(left(1+frac{1}{frac{3x-5}{6}}right)^{frac{3x-5}{6}}right)^{frac{6cdot(4x+7)}{3x-5}}
$$

Отдельно рассмотрим предел дроби $frac{6cdot(4x+7)}{3x-5}$, расположенной в степени:

$$
lim_{xtoinfty}frac{6cdot(4x+7)}{3x-5}
=left|frac{infty}{infty}right|
=lim_{xtoinfty}frac{6cdotleft(4+frac{7}{x}right)}{3-frac{5}{x}}
=6cdotfrac{4}{3}
=8.
$$

Согласно формуле (1) имеем $lim_{xtoinfty}left(1+frac{1}{frac{3x-5}{6}}right )^{frac{3x-5}{6}}=e$. Кроме того, $lim_{xtoinfty}frac{6cdot(4x+7)}{3x-5}=8$, поэтому возвращаясь к исходному пределу, получим:

$$
lim_{xtoinfty}left(left(1+frac{1}{frac{3x-5}{6}}right )^{frac{3x-5}{6}}right)^{frac{6cdot(4x+7)}{3x-5}}
=e^8.
$$

Полное решение без промежуточных пояснений будет иметь такой вид:

$$
lim_{xtoinfty}left(frac{3x+1}{3x-5}right )^{4x+7}=left|1^inftyright|
=lim_{xtoinfty}left(1+frac{3x+1}{3x-5}-1right)^{4x+7}
=lim_{xtoinfty}left(1+frac{6}{3x-5}right)^{4x+7}=\

=lim_{xtoinfty}left(1+frac{1}{frac{3x-5}{6}}right)^{4x+7}
=lim_{xtoinfty}left(1+frac{1}{frac{3x-5}{6}}right )^{frac{3x-5}{6}cdotfrac{6}{3x-5}cdot(4x+7)}
=lim_{xtoinfty}left(left(1+frac{1}{frac{3x-5}{6}}right)^{frac{3x-5}{6}}right)^{frac{6cdot(4x+7)}{3x-5}}
=e^8.
$$

Кстати сказать, вовсе не обязательно использовать первую формулу. Если учесть, что $frac{6}{3x-5}to{0}$ при $xtoinfty$, то применяя формулу (2), получим:

$$
lim_{xtoinfty}left(frac{3x+1}{3x-5}right )^{4x+7}=left|1^inftyright|
=lim_{xtoinfty}left(1+frac{3x+1}{3x-5}-1right)^{4x+7}
=lim_{xtoinfty}left(1+frac{6}{3x-5}right)^{4x+7}=\

=lim_{xtoinfty}left(1+frac{6}{3x-5}right)^{frac{3x-5}{6}cdotfrac{6}{3x-5}cdot(4x+7)}
=lim_{xtoinfty}left(left(1+frac{6}{3x-5}right)^{frac{3x-5}{6}}right)^{frac{6cdot(4x+7)}{3x-5}}
=e^8.
$$

Ответ: $lim_{xtoinfty}left(frac{3x+1}{3x-5}right)^{4x+7}=e^8$.

Пример №2

Найти предел $lim_{xto{1}}biggl(7-6xbiggr)^{frac{x}{3x-3}}$.

Решение

Выражение, стоящее в основании степени, т.е. $7-6x$, стремится к единице при условии $xto{1}$, т.е. $lim_{xto{1}}(7-6x)=7-6cdot1=1$. Для показателя степени, т.е. $frac{x}{3x-3}$, получаем: $lim_{xto{1}}frac{x}{3x-3}=infty$. Итак, здесь мы имеем дело с неопределенностью вида $1^infty$, которую раскроем с помощью второго замечательного предела.

Для начала отметим, что в формуле (1) переменная $x$ стремится к бесконечности, в формуле (2) переменная $t$ стремится к нулю. В нашем случае $xto{1}$, поэтому имеет смысл ввести новую переменную, чтобы она стремилась или к нулю (тогда применим формулу (2)), или к бесконечности (тогда применим формулу (1)). Введение новой переменной, вообще говоря, не является обязательным, это будет сделано просто для удобства решения. Проще всего новую переменную $y$ ввести так: $y=x-1$. Так как $xto{1}$, то ${x-1}to{0}$, т.е. $yto{0}$. Подставляя $x=y+1$ в рассматриваемый пример, и учитывая $yto{0}$, получим:

$$
lim_{xto{1}}biggl(7-6xbiggr )^{frac{x}{3x-3}}
=left|begin{aligned}&y=x-1;;x=y+1\&yto{0}end{aligned}right|=\
=lim_{yto{0}}biggl(7-6cdot(y+1)biggr)^{frac{y+1}{3cdot(y+1)-3}}
=lim_{yto{0}}biggl(1-6ybiggr)^frac{y+1}{3y}
=lim_{yto 0}biggl(1+(-6y)biggr)^frac{y+1}{3y}
$$

Применим формулу (2). Выражение в основании степени в формуле (2), т.е. $1+t$, соответствует форме выражения в основании степени нашего примера, т.е. $1+(-6y)$ (выражение $-6y$ играет роль $t$). Формула (2) предполагает, что показатель степени будет иметь вид $frac{1}{t}$, т.е. в нашем случае в показателе степени следует получить $frac{1}{-6y}$. Домножим показатель степени на выражение $frac{1}{-6y}$. Для компенсации такого домножения нужно домножить показатель степени на обратную дробь, т.е. на выражение $frac{-6y}{1}=-6y$:

$$
lim_{yto{0}}biggl(1-6ybiggr)^frac{y+1}{3y}=lim_{yto{0}}biggl(1+(-6y)biggr)^{frac{1}{-6y}cdot(-6y)cdotfrac{y+1}{3y}}
=lim_{yto{0}}left(biggl(1+(-6y)biggr)^{frac{1}{-6y}}right)^{-2(y+1)}
$$

Так как $lim_{yto{0}}biggl(1+(-6y)biggr)^{frac{1}{-6y}}=e$ и $lim_{yto{0}}(-2(y+1))=-2$, то получим:

$$
lim_{yto{0}}left(biggl(1+(-6y)biggr)^{frac{1}{-6y}}right)^{-2(y+1)}
=e^{-2}
=frac{1}{e^2}.
$$

Полное решение без пояснений таково:

$$
lim_{xto{1}}biggl(7-6xbiggr)^{frac{x}{3x-3}}
=left|begin{aligned}&y=x-1;;x=y+1\&yto{0}end{aligned}right|
=lim_{yto{0}}biggl(7-6cdot(y+1)biggr)^{frac{y+1}{3cdot(y+1)-3}}=\

=lim_{yto{0}}biggl(1-6ybiggr)^frac{y+1}{3y}
=lim_{yto{0}}biggl(1+(-6y)biggr)^{frac{1}{-6y}cdot(-6y)cdotfrac{y+1}{3y}}
=lim_{yto{0}}left(biggl(1+(-6y)biggr)^{frac{1}{-6y}}right)^{-2(y+1)}
=e^{-2}
=frac{1}{e^2}.
$$

Ответ: $lim_{xto{1}}biggl(7-6xbiggr)^{frac{x}{3x-3}}=frac{1}{e^2}$.

Пример №3

Найти предел $lim_{xto{0}}biggl(cos{2x}biggr)^{frac{1}{sin^2{3x}}}$.

Решение

Так как $lim_{xto{0}}(cos{2x})=1$ и $lim_{xto{0}}frac{1}{sin^2{3x}}=infty$ (напомню, что $sin{u}to{0}$ при $uto{0}$), то мы имеем дело с неопределённостью вида $1^infty$. Преобразования, аналогичные рассмотренным в примерах №1 и №2, укажем без подробных пояснений, ибо они были даны ранее:

$$
lim_{xto{0}}biggl(cos{2x}biggr)^{frac{1}{sin^2{3x}}}
=|1^infty|
=lim_{xto{0}}biggl(1+cos{2x}-1biggr)^{frac{1}{sin^2{3x}}}
$$

Так как $sin^2x=frac{1-cos{2x}}{2}$, то $cos{2x}-1=-2sin^2x$, поэтому:

$$
lim_{xto{0}}biggl(1+cos{2x}-1biggr)^{frac{1}{sin^2{3x}}}
=lim_{xto{0}}biggl(1+left(-2sin^2xright)biggr)^{frac{1}{-2sin^2x}cdot(-2sin^2x)cdotfrac{1}{sin^2 3x}}=\

=lim_{xto{0}}left(biggl(1+left(-2sin^2xright)biggr)^{frac{1}{-2sin^2x}}right)^{frac{-2sin^2{x}}{sin^2{3x}}}
=e^{-frac{2}{9}}.
$$

Здесь мы учли, что $lim_{xto{0}}frac{sin^2{x}}{sin^2{3x}}=frac{1}{9}$. Подробное описание того, как находить этот предел, дано в соответствующей теме.

Ответ: $lim_{xto{0}}biggl(cos{2x}biggr)^{frac{1}{sin^2{3x}}}=e^{-frac{2}{9}}$.

Пример №4

Найти предел $lim_{xto+infty}xleft(ln(x+1)-ln{x}right)$.

Решение

Так как при $x>0$ имеем $ln(x+1)-ln{x}=lnleft(frac{x+1}{x}right)$, то:

$$
lim_{xto+infty}xleft(ln(x+1)-ln{x}right)
=lim_{xto+infty}left(xcdotlnleft(frac{x+1}{x}right)right)
$$

Раскладывая дробь $frac{x+1}{x}$ на сумму дробей $frac{x+1}{x}=1+frac{1}{x}$ получим:

$$
lim_{xto+infty}left(xcdotlnleft(frac{x+1}{x}right)right)
=lim_{xto+infty}left(xcdotlnleft(1+frac{1}{x}right)right)
=lim_{xto+infty}left(lnleft(frac{x+1}{x}right)^xright)
=ln{e}
=1.
$$

Ответ: $lim_{xto+infty}xleft(ln(x+1)-ln{x}right)=1$.

Пример №5

Найти предел $lim_{xto{2}}biggl(3x-5biggr)^{frac{2x}{x^2-4}}$.

Решение

Так как $lim_{xto{2}}(3x-5)=6-5=1$ и $lim_{xto{2}}frac{2x}{x^2-4}=infty$, то мы имеем дело с неопределенностью вида $1^infty$. Подробные пояснения даны в примере №2, здесь же ограничимся кратким решением. Сделав замену $t=x-2$, получим:

$$
lim_{xto{2}}biggl(3x-5biggr)^{frac{2x}{x^2-4}}
=left|begin{aligned}&t=x-2;;x=t+2\&tto{0}end{aligned}right|
=lim_{tto{0}}biggl(1+3tbiggr)^{frac{2t+4}{t^2+4t}}=\

=lim_{tto{0}}biggl(1+3tbiggr)^{frac{1}{3t}cdot 3tcdotfrac{2t+4}{t^2+4t}}
=lim_{tto{0}}left(biggl(1+3tbiggr)^{frac{1}{3t}}right)^{frac{6cdot(t+2)}{t+4}}
=e^3.
$$

Можно решить данный пример и по-иному, используя замену: $t=frac{1}{x-2}$. Разумеется, ответ будет тем же:

$$
lim_{xto{2}}biggl(3x-5biggr)^{frac{2x}{x^2-4}}
=left|begin{aligned}&t=frac{1}{x-2};;x=frac{2t+1}{t}\&ttoinftyend{aligned}right|
=lim_{ttoinfty}left(1+frac{3}{t}right)^{tcdotfrac{4t+2}{4t+1}}=\

=lim_{ttoinfty}left(1+frac{1}{frac{t}{3}}right)^{frac{t}{3}cdotfrac{3}{t}cdotfrac{tcdot(4t+2)}{4t+1}}
=lim_{ttoinfty}left(left(1+frac{1}{frac{t}{3}}right)^{frac{t}{3}}right)^{frac{6cdot(2t+1)}{4t+1}}
=e^3.
$$

Ответ: $lim_{xto{2}}biggl(3x-5biggr)^{frac{2x}{x^2-4}}=e^3$.

Пример №6

Найти предел $lim_{xtoinfty}left(frac{2x^2+3}{2x^2-4}right)^{3x} $.

Решение

Выясним, к чему стремится выражение $frac{2x^2+3}{2x^2-4}$ при условии $xtoinfty$:

$$
lim_{xtoinfty}frac{2x^2+3}{2x^2-4}
=left|frac{infty}{infty}right|
=lim_{xtoinfty}frac{2+frac{3}{x^2}}{2-frac{4}{x^2}}
=frac{2+0}{2-0}=1.
$$

Таким образом, в заданном пределе мы имеем дело с неопределенностью вида $1^infty$, которую раскроем с помощью второго замечательного предела:

$$
lim_{xtoinfty}left(frac{2x^2+3}{2x^2-4}right)^{3x}
=|1^infty|
=lim_{xtoinfty}left(1+frac{2x^2+3}{2x^2-4}-1right)^{3x}=\

=lim_{xtoinfty}left(1+frac{7}{2x^2-4}right)^{3x}
=lim_{xtoinfty}left(1+frac{1}{frac{2x^2-4}{7}}right)^{3x}=\

=lim_{xtoinfty}left(1+frac{1}{frac{2x^2-4}{7}}right)^{frac{2x^2-4}{7}cdotfrac{7}{2x^2-4}cdot 3x}
=lim_{xtoinfty}left(left(1+frac{1}{frac{2x^2-4}{7}}right)^{frac{2x^2-4}{7}}right)^{frac{21x}{2x^2-4}}
=e^0
=1.
$$

Ответ: $lim_{xtoinfty}left(frac{2x^2+3}{2x^2-4}right)^{3x}=1$.

Содержание:

Замечательные пределы

Сравнение бесконечно малых функций

Признак существования предела (теорема о 2-х милиционерах)

Теорема: Если значения функции

значениями функций

Рассмотрим геометрический смысл данной теоремы (Рис. 62). Из рисунка видно, что в случае, когда функции стягиваются к прямой у=А, то они “вынуждают” функцию также приближаться к той же самой прямой (“куда идут два милиционера, ведущие арестованного, туда идет и сам арестованный”).

Рис. 62. Иллюстрация теоремы о “2-х милиционерах”.

Доказательство: Пусть — точка сгущения для функций в общей области определения. Это означает, что в некоторой -окрестности точки выполняется неравенство В -окрестности точки выполняется неравенство Так как значения функции заключены между значениями функций то в некоторой -окрестности точки меньшей из -окрестностей будет выполняться неравенство Отсюда следует, что выполняется неравенство или

Первый замечательный предел

Определение: Предел отношения синуса какого-либо аргумента к этому аргументу при стремлении аргумента к нулю равен единице, т.е. и называется первым замечательным пределом.

Пример:

Пределы являются первыми замечательными пределами

Доказательство: Для вывода этой формулы построим окружность с центром в точке О(0; 0) и радиусом R = 1. Выберем угол в первой координатной четверти и сравним площади трех фигур: треугольник АОВ, сектор АОВ и треугольник AOD (Рис. 63):

Рис. 63. Иллюстрация вывода формулы первого замечательного предела.

Из рисунка видно, что площади указанных фигу р связаны соотношением:

Вычислим эти площади

Следовательно, вышеприведенное неравенство приводится к виду В силу того, что получаем Разделим полученное неравенство на знак всех неравенств не изменится: Переходя к обратным неравенствам, или в силу того, что то по теореме о 2-х милиционерах

Аналогично проводится доказательство для любого значения угла

Таким образом, наличие в пределе, сводящемся к неопределенности тригонометрических функции может указывать на первый замечательный предел.

При вычислении первого замечательного предела используют следующие формулы:

а также следующие таблицы:

Табл. 1. Значения синуса и косинуса на интервале

Табл. 2. Формулы приведения.

Пример:

Найти

Решение:

При подстановке предельной величины переменной х имеем неопределенность Воспользуемся формулой и преобразуем данный предел следующим образом:

Пример:

Найти

Решение:

При подстановке предельного значения переменной х имеем неопределённость Воспользуемся формулой тогда данный предел равен:

Пример:

Найти

Решение:

При подстановке предельного значения переменной х имеем неопределённость Введём замену (при ) и воспользуемся следующей формулой Предел преобразуется к виду:

Пример:

Найти

Решение:

При подстановке предельного значения переменной х имеем неопределённость Воспользуемся формулами получим:

Число e и натуральные логарифмы. Второй замечательный предел

Рассмотрим логарифмическую функцию Выбирая различные значения основания, будем вычислять тангенсы угла наклона касательной к графику этой функции в точке (см. график логарифмической функции в Лекции № 22).

Определение: Натуральным логарифмом называется логарифм, для которого основание выбрано так, чтобы тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс (Ох) был равен 1.

Основанием натурального логарифма является число Это число трансцедентное, т.е. не является решением ни одного алгебраического уравнения. Установим связь между натуральными и десятичными логарифмами:

Определение: Вторым замечательным пределом называется предельное равенство (первая форма)

или

(вторая форма).

Замечание: Первая форма второго замечательного предела переходит во вторую с помощью замены с учетом теоремы о связи бесконечно большой функции с бесконечно малой функцией.

Замечание: Наличие неопределенности указывает на второй замечательный предел, т.е. если пределы функций что указывает на второй замечательный предел.

Пример:

Найти

Решение:

При подстановке предельного значения переменной х не имеем неопределенности

— не второй замечательный предел.

Пример:

Найти lim

Решение:

При подстановке предельного значения переменной х имеем неопределенность Проведём преобразование подлимитной функции: ( — первая форма второго замечательного предела, преобразуем данное выражение под вид второго замечательного предела)

(роль функции играет выражение возведем круглую скобку в эту степень, а за квадратной скобкой возведем в обратную степень для тождественности проводимых преобразований, получим) =

= (выражение в квадратных скобках стремится к числу е, а показатель степени — к числу -4/5 (см. раскрытие неопределённости для полиномов примере из пункта Вычисление пределов и раскрытие неопределенностей поэтому окончательный ответ имеет вид)=

Пример:

Найти

Решение:

При подстановке предельного значения переменной х имеем неопределенность Проведём преобразование подлимитной функции:

(вторая форма второго замечательного предела, преобразуем данное выражение под вид второго замечательного предела)= = (роль функции играет выражение (2-2х))=

=(выражение в квадратных скобках стремится к числу е, а показатель степени — к числу -2 (подставить в показатель степени вместо переменной х ее предельное значение 1), поэтому окончательный ответ имеет вид)

• Заказать решение задач по высшей математике

Сравнение бесконечно малых функций

Сравнить две бесконечно малые функции и означает вычислить предел

Определение: Если предел К не существует, то бесконечно малые функции и называются несравнимыми.

Пример:

Пусть — две бесконечно малые функции при Доказать, что эти бесконечно малые функции несравнимые.

Решение:

Для доказательства вычислим предел -данный предел не существует, так как нельзя указать предельное значение для подлимитной функции cosx на бесконечности.

Определение: Если предел К равен нулю, то бесконечно малая функция называется бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малая функция

Пример:

Пусть — две бесконечно малые функции при Доказать, что бесконечно малая функция является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малая функция

Решение:

Для доказательства вычислим предел Следовательно, бесконечно малая функция является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малая функция при

Определение: Если предел К равен то бесконечно малая функция называется бесконечно малой функцией более низкого порядка малости, чем бесконечно малая функция

Пример:

Пусть — две бесконечно малые функции при Доказать, что бесконечно малая функция является бесконечно малой функцией более низкого порядка малости, чем бесконечно малая функция

Решение:

Для доказательства вычислим предел

Следовательно, бесконечно малая функция является бесконечно малой функцией более низкого порядка малости, чем бесконечно малая функция

Определение: Если предел К равен конечному числу то бесконечно малые функции называются бесконечно малыми функциями одного порядка малости.

Пример:

Пусть — две бесконечно малые функции при Доказать, что бесконечно малые функции являются бесконечно малыми функциями одного порядка малости.

Решение:

Для доказательства вычислим предел

Следовательно, бесконечно малые функции являются бесконечно малыми функциями одного порядка малости при

Определение: Если предел К равен 1, то бесконечно малые функции а(х) и Д(х) называются эквивалентными.

Пример:

Пусть — две бесконечно малые функции при Доказать, что бесконечно малые функции являются эквивалентными.

Решение:

Вычислим предел Следовательно, бесконечно малые функции являются эквивалентными при Рассмотрим признак эквивалентности бесконечно малых функций.

Теорема: Для того чтобы бесконечно малые функции были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы разность бесконечно малых функций была бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малые функции .

Доказательство:

1. Необходимость. Пусть бесконечно малая функция является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малые функции т.е. пределы Докажем, что бесконечно малые функции эквивалентны. Преобразуем первый из этих пределов:

Отсюда следует, что т.е. бесконечно малые функции эквивалентны. Аналогично преобразуется второй пре- дел.

2. Достаточность. Пусть бесконечно малые функции являются эквивалентными, т.е. Докажем, что разность двух бесконечно малых функций является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малые функции Преобразуем данный предел следующим образом: Отсюда следует, что функция является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малые функции Аналогично доказывается, что функция является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малые функции

Замечание: При вычислениях одна бесконечно малая функция может быть заменена на эквивалентную бесконечно малую функцию. Например, функции эквивалентны функции х при

—вышмат

Замечательные пределы

Первый замечательный предел

Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице:

Следовательно,

Пример №25

Найти

Решение:

Применим первый замечательный предел:

Второй замечательный предел

Числом е называется предел функции

(Для запоминания: 2<е<3; 1828 — год рождения Л.Н. Толстого) Следовательно,

Задача о непрерывном начислении процентов

Первоначальный вклад в банк составил денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно годовых. Необходимо найти размер вклада через t лет.

Решение:

Размер вклада будет увеличиваться ежегодно в раз и

через t лет составит Если же начислять проценты n раз в году,

то будущая сумма составит Предположим, что проценты по вкладу начисляются каждое полугодие (n=2), ежеквартально (n=4), ежемесячно (n=12), каждый день (n=365), каждый час (n=8760) и, наконец, непрерывно (n). Тогда за год размер вклада составит:

а за t лет:

Пример №26

Найти

Решение:

Т.к. имеем неопределенность вида Для ее раскрытия воспользуемся вторым замечательным пределом, выделив предварительно у дроби целую часть:

Пример №27

Найти

Решение:

Преобразуя выражение и используя непрерывность показательно-степенной функции, получим:

Замечательные пределы. Примеры решений

Продолжаем
наш разговор на тему Пределы
и способы их решения.
Перед изучением материалов данной
страницы настоятельно рекомендую
ознакомиться со статьей Пределы.
Примеры решений.
Из вышеуказанной статьи Вы сможете
узнать, что же такое предел, и с чем его
едят – это ОЧЕНЬ важно. Почему? Можно
не понимать, что такое определители и
успешно их решать, можно совершенно не
понимать, что такое производная и
находить их на «пятёрку». Но вот если
Вы не понимаете, что такое предел, то с
решением практических заданий придется
туго. Также не лишним будет ознакомиться
с образцами оформления решений и моими
рекомендациями по оформлению. Вся
информация изложена в простой и доступной
форме.

А для
целей данного урока нам потребуются
следующие методические материалы:Замечательные
пределы и Тригонометрические
формулы. Их можно
найти на страницеМатематические
формулы, таблицы и справочные материалы.
Лучше всего методички распечатать –
это значительно удобнее, к тому же к ним
часто придется обращаться в оффлайне.

Чем же замечательны
замечательные пределы? Замечательность
данных пределов состоит в том, что они
доказаны величайшими умами знаменитых
математиков, и благодарным потомкам не
приходиться мучаться страшными пределами
с нагромождением тригонометрических
функций, логарифмов, степеней. То есть
при нахождении пределов мы будем
пользоваться готовыми результатами,
которые доказаны теоретически.

Замечательных
пределов существует несколько, но на
практике у студентов-заочников в 95%
случаев фигурируют два замечательных
предела: Первый
замечательный предел,Второй
замечательный предел.
Следует отметить, что это исторически
сложившиеся названия, и, когда, например,
говорят о «первом замечательном пределе»,
то подразумевают под этим вполне
определенную вещь, а не какой-то случайный,
взятый с потолка предел.

Начнем.

Первый
замечательный предел

Рассмотрим
следующий предел: 
 (вместо
родной буквы «хэ» я буду использовать
греческую букву «альфа», это удобнее с
точки зрения подачи материала).

Согласно
нашему правилу нахождения пределов
(см. статью Пределы.
Примеры решений)
пробуем подставить ноль в функцию: в
числителе у нас получается ноль (синус
нуля равен нулю), в знаменателе, очевидно,
тоже ноль. Таким образом, мы сталкиваемся
с неопределенностью вида 
,
которую, к счастью, раскрывать не нужно.
В курсе математического анализа,
доказывается, что:

 

Данный
математический факт носит название Первого
замечательного предела.

Нередко в
практических  заданиях функции могут
быть расположены по-другому, это ничего
не меняет:

 –
тот же самый первый
замечательный предел.

!
Но самостоятельно переставлять числитель
и знаменатель нельзя! Если дан предел
в виде 
,
то и решать его нужно в таком же виде,
ничего не переставляя.

На
практике в качестве параметра 
 может
выступать не только переменная 
,
но и элементарная функция, сложная
функция. Важно
лишь, чтобы она стремилась к нулю.

Примеры:

, 
, 
, 

Здесь 
, 
, 
, 
,
и всё гуд – первый замечательный предел
применим.

А вот следующая
запись – ересь:

Почему?
Потому-что многочлен 
 не
стремится к нулю, он стремится к пятерке.

Кстати,
вопрос на засыпку, а чему равен предел 
?
Ответ можно найти в конце урока.

На
практике не все так гладко, почти никогда
студенту не предложат решить халявный
предел 
 и
получить лёгкий зачет. Хммм… Пишу эти
строки и пришла в голову очень важная
мысль – все-таки «халявные» математические
определения и формулы вроде  
 лучше
помнить наизусть, это может оказать
неоценимую помощь на зачете, когда
вопрос будет решаться между «двойкой»
и «тройкой», и преподаватель решит
задать студенту какой-нибудь простой
вопрос или предложить решить простейший
пример («а может он (а) все-таки знает
чего?!»).

Переходим к
рассмотрению практических примеров:

Пример 1

Найти
предел 

Если мы замечаем
в пределе синус, то это нас сразу должно
наталкивать на мысль о возможности
применения первого замечательного
предела.

Сначала
пробуем подставить 0 в выражение под
знак предела (делаем это мысленно или
на черновике):

Итак,
у нас есть неопределенность вида 
,
ее обязательно
указываем в
оформлении решения. Выражение под знаком
предела у нас похоже на первый замечательный
предел, но это не совсем он, под синусом
находится 
,
а в знаменателе 
.

В
подобных случаях первый замечательный
предел нам нужно организовать
самостоятельно, используя искусственный
прием. Ход рассуждений может быть таким:
«под синусом у нас 
,
значит, в знаменателе нам тоже нужно
получить 
». 

А
делается это очень просто:

То есть, знаменатель
искусственно умножается в данном случае
на 7 и делится на ту же семерку. Теперь
запись у нас приняла знакомые
очертания.

Когда задание оформляется
от руки, то первый замечательный предел
желательно пометить простым карандашом:

Что
произошло? По сути, обведенное выражение
у нас превратилось в единицу и исчезло
в произведении:

Теперь
только осталось избавиться от трехэтажности
дроби:

Готово.
Окончательный ответ: 

Если не хочется
использовать пометки карандашом, то
решение можно оформить так:

“

Используем
первый замечательный предел 

“

Пример 2

Найти
предел 

Опять
мы видим в пределе дробь и синус. Пробуем
подставить в числитель и знаменатель
ноль:

Действительно,
у нас неопределенность 
 и,
значит, нужно попытаться организовать
первый замечательный предел. На
уроке Пределы.
Примеры решений мы
рассматривали правило, что когда у нас
есть неопределенность 
,
то нужно разложить числитель и знаменатель
на множители. Здесь – то же самое, степени
мы представим в виде произведения
(множителей):

Далее,
по уже знакомой схеме организовываем
первые замечательные пределы. Под
синусами у нас 
,
значит, в числителе тоже нужно получить 
:

Аналогично
предыдущему примеру, обводим карандашом
замечательные пределы (здесь их два), и
указываем, что они стремятся к единице:

Собственно, ответ
готов:

В следующих
примерах, я не буду заниматься художествами
в Пэйнте, думаю, как правильно оформлять
решение в тетради – Вам уже понятно.

Пример 3

Найти
предел 

Подставляем ноль
в выражение под знаком передела:

Получена
неопределенность 
,
которую нужно раскрывать. Если в пределе
есть тангенс, то почти всегда его
превращают в синус и косинус по известной
тригонометрической формуле 
 (кстати,
с котангенсом делают примерно то же
самое, см. методический материалГорячие
тригонометрические формулы на
странице Математические
формулы, таблицы и справочные материалы).

 В данном случае:

Косинус нуля равен
единице, и от него легко избавиться (не
забываем пометить, что он стремится к
единице):

Таким образом,
если в пределе косинус является
МНОЖИТЕЛЕМ, то его, грубо говоря, нужно
превратить в единицу, которая исчезает
в произведении.

Дальше по накатанной
схеме, организуем первый замечательный
предел:

Здесь все вышло
проще, без всяких домножений и делений.
Первый замечательный предел тоже
превращается в единицу и исчезает в
произведении:

В итоге получена
бесконечность, бывает и такое.

Пример 4

Найти
предел 

Пробуем подставить
ноль в числитель и знаменатель:

Получена
неопределенность 
 (косинус
нуля, как мы помним, равен единице)

Используем
тригонометрическую формулу 
.
Возьмите на заметку! Пределы с применением
этой формулы почему-то встречаются
очень часто.

Постоянные множители
вынесем за значок предела:

 

Организуем первый
замечательный предел:

Здесь
у нас только один замечательный предел,
который превращается в единицу и исчезает
в произведении:

Избавимся от
трехэтажности:

Предел фактически
решен, указываем, что оставшийся синус
стремится к нулю:

Пример 5

Найти
предел 

Этот пример сложнее,
попробуйте разобраться самостоятельно:

Второй
замечательный предел

В теории
математического анализа доказано, что:

Данный
факт носит название второго
замечательного предела.

Справка: 
 –
это иррациональное число.

В
качестве параметра 
 может
выступать не только переменная 
,
но и сложная функция.Важно
лишь, чтобы она стремилась к бесконечности.

Пример 6

Найти
предел 

Когда выражение
под знаком предела находится в степени
– это первый признак того, что нужно
попытаться применить второй замечательный
предел.

Но
сначала, как всегда, пробуем подставить
бесконечно большое число в выражение  
,
по какому принципу это делается, разобрано
на уроке Пределы.
Примеры решений.

Нетрудно
заметить, что при 
 основание
степени 
,
а показатель – 
,
то есть имеется, неопределенность
вида 
:

Данная
неопределенность как раз и раскрывается
с помощью второго замечательного
предела. Но, как часто бывает, второй
замечательный предел не лежит на блюдечке
с голубой каемочкой, и его нужно
искусственно организовать. Рассуждать
можно следующим образом: в данном примере
параметр 
,
значит, в показателе нам тоже нужно
организовать  
.
Для этого возводим основание в степень 
,
и, чтобы выражение не изменилось –
возводим в степень 
:

Когда задание
оформляется от руки, карандашом помечаем:

Практически
всё готово, страшная степень превратилась
в симпатичную букву 
:

При
этом сам значок предела перемещаем в
показатель.

Далее, отметки
карандашом я не делаю, принцип оформления,
думаю, понятен.

Пример 7

Найти
предел 

Внимание!
Предел подобного типа встречается очень
часто, пожалуйста, очень внимательно
изучите данный пример.

Пробуем подставить
бесконечно большое число в выражение,
стоящее под знаком предела:

В
результате получена неопределенность 
.
Но второй замечательный предел применим
к неопределенности вида 
.
Что делать? Нужно преобразовать основание
степени. Рассуждаем так: в знаменателе
у нас 
,
значит, в числителе тоже нужно
организовать 
:

Теперь можно
почленно разделить числитель на
знаменатель:

Вроде
бы основание стало напоминать 
,
но у нас знак «минус» да и тройка какая-то
вместо единицы. Поможет следующее
ухищрение, делаем дробь трехэтажной:

Таким
образом, основание приняло вид 
,
и, более того, появилась нужная нам
неопределенность 
.
Организуем второй замечательный
предел 
.

Легко
заметить, что в данном примере 
.
Снова исполняем наш искусственный
прием: возводим основание степени в 
,
и, чтобы выражение не изменилось –
возводим в обратную дробь 
:

Наконец-то
долгожданное 
 устроено,
с чистой совестью превращаем его в
букву 
:

Но на
этом мучения не закончены, в показателе
у нас появилась неопределенность вида 
,
раскрывать такую неопределенность мы
научились на уроке Пределы.
Примеры решений.
Делим числитель и знаменатель на 
:

Готово.

А
сейчас мы рассмотрим модификацию второго
замечательного предела. Напомню, что
второй замечательный предел выглядит
следующим образом: 
.
Однако на практике время от времени
можно встретить его «перевёртыш»,
который в общем виде записывается так:

Пример 8

Найти
предел 

Сначала (мысленно
или на черновике) пробуем подставить
ноль (бесконечно малое число) в выражение,
стоящее под знаком предела:

В
результате получена знакомая
неопределенность 
.
Очевидно, что в данном примере 
.
С помощью знакомого искусственного
приема организуем в показателе степени
конструкцию 
:

Выражение 
 со
спокойной душой превращаем в букву 
:

Еще
не всё, в показателе у нас появилась
неопределенность вида 
.
Раскладываем тангенс на синус и косинус
(ничего не напоминает?):

Косинус нуля
стремится к единице (не забываем помечать
карандашом), поэтому он просто пропадает
в произведении:

А что
такое 
 и
к чему оно стремится, нужно уже знать,
иначе «двойка»!

Как видите, в
практических заданиях на вычисление
пределов нередко требуется применять
сразу несколько правил и приемов.

В 90-95% на зачете,
экзамене Вам встретится первый
замечательный предел или второй
замечательный предел. Как быть, если
попался «экзотический» замечательный
предел? (со списком всех замечательных
пределов можно ознакомиться в
соответствующей методичке). Ничего
страшного, практически все выкладки,
приёмы решения для первого замечательного
предела справедливы и для остальных
замечательных пределов. Нужно решать
их по аналогии.

Да,
так чему же равен предел 
?

Если
у Вас получился ответ 
,
значит в понимании высшей математики
не всё так безнадежно = ).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #

  08.02.20157.31 Mб91.rtf

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #