Как найти предел с экспонентой

Вычисление пределов степенно-показательных функций

Пусть функции

и

заданы на множестве

и функция

на нем положительна. Функция

называется степенно
— показательной.

Предположим, что

– точка сгущения множества

и существуют конечные пределы

,
,

где
.
Нужно найти

.

Воспользовавшись
тождествами
,
запишем исходное выражение в виде

.

В силу теоремы 6.1
получим

.

При заданных
значениях пределов будем иметь

.

Из проведенного
рассуждения видно, что предположение
о существовании конечных пределов

и

можно отбросить. Действительно, для
нахождения предела выражения

достаточно знать предел произведения

(конечный или бесконечный).

1) Пусть
.
Тогда
.

2) Если
,
то
.

3) Если
,
то
.

Заметим, что
произведение

может оказаться неопределенностью типа
.
Тогда и исходное выражение

представляет собой неопределенность.
Перечислим возникающие здесь
неопределенности.

1) Если
,
то вычисление предела

приводит к неопределенности типа
.

2) Если
,
то вычисление предела

приводит к неопределенности типа
.

3) Если
,
то вычисление предела

приводит к неопределенности типа
.

Во всех указанных
случаях (,

,

)
можно раскрыть неопределенность

в показателе степени, преобразуя ее к
типу

и используя соответствующие эквивалентные
бесконечно малые.

Замечание 8.3.
Приведенные выше рассуждения справедливы
и для вычисления предела степенно-показательной
функции в бесконечно удаленной точке:
.

Пример 8.2.
Вычислить
.

Решение.
Здесь
,
,
поэтому имеем неопределенность типа
.
Преобразуем выражение под знаком
предела:

.

В показателе
степени имеем неопределенность типа
.
Заменой

при

на эквивалентную бесконечно малую

раскрываем ее:

.

Таким образом,

.

Замечание 8.4.
Аналогично доказывается равенство
.

Пределы

,

образуют две формы
одного и того же равенства, которое
также является замечательным
пределом
и часто служат определением числа
.

Задачи к §8

Задача
1. Вычислить
.

Решение.
Здесь имеем
неопределенность типа
.
Преобразуем числитель дроби к форме
произведения:

.

Затем
заменим бесконечно малую в точке

функцию

эквивалентной бесконечно малой
.

Тогда
получим

.

Ответ:
.

Задача
2. Вычислить
.

Решение.
Здесь возникает неопределенность типа
.
Преобразуем знаменатель, воспользовавшись
свойствами логарифмической функции, и
выделим в аргументе логарифма слагаемое,
равное 1:

.

Заменим
бесконечно малую в точке

функцию

эквивалентной бесконечно малой
.
Числитель разложим на множители:

.

Тогда
получим:

.

Ответ:
.

Задача
3. Вычислить
.

Решение.
Здесь возникает неопределенность типа
.
Представим числитель в виде:

.

Затем
заменим его эквивалентной бесконечно
малой в точке

функцией
.

Функцию

в точке

тоже заменим на эквивалентную бесконечно
малую
.

Тогда

.

Ответ:
.

Задача
4. Вычислить

.

Решение.
Здесь возникает неопределенность типа
.
Представим числитель в виде:

.

Затем
заменим его эквивалентной бесконечно
малой в точке

функцией
.

Преобразуем
знаменатель:

и
заменим его на эквивалентную бесконечно
малую
.
Тогда получим

.

Ответ:
.

Задача
5. Вычислить
.

Решение.
Здесь возникает неопределенность типа
.
Числитель

можно заменить эквивалентной бесконечно
малой
.

Чтобы
воспользоваться соотношением (8.4),
преобразуем знаменатель:

и
заменим его эквивалентной бесконечно
малой
.

Тогда

.

Ответ:

.

Задача
6. Вычислить
.

Решение.
Здесь имеем неопределенность типа
.
Чтобы применить к выражению

соотношение (8.3), представим его в виде:

,

и
заменим бесконечно малую функцию

эквивалентной бесконечно малой
.
Знаменатель же представим в виде:

и,
используя соотношения (8.2) и (8.8), заменим
его эквивалентной бесконечно малой
.
Учитывая проведенные выкладки и
соотношение (8.4), получим:

.

Ответ:

.

Задача
7. Вычислить
.

Решение.
Здесь имеем неопределенность типа
.
Используя ряд приемов, примененных в
задачах 1–7, получим

.

Ответ:

.

Задача
8. Вычислить
.

Решение.
Здесь имеем неопределенность типа
.
Используя ряд приемов, примененных в
задачах 1–7 и формулы приведения для
тригонометрических функций, получим

.

Ответ:

.

Задача
9. Вычислить
.

Решение.
Здесь имеем неопределенность типа
.
Чтобы применить к числителю соотношение
(8.2), преобразуем его следующим образом:

.

Теперь
числитель согласно соотношению (8.2)
можно заменить эквивалентной бесконечно
малой
.

Преобразуем
знаменатель

.

Заменяем,
используя соотношение (8.1),

эквивалентной бесконечно малой
.

Тогда

.

Ответ:

.

Задача
10. Вычислить
.

Решение.
Здесь имеем неопределенность типа
.
Используя приемы, описанные выше, получим

.

.

Ответ:
.

Задача
11. Вычислить
.

Решение.
Здесь имеем неопределенность типа
.
Используя теоремы 6.2 и 6.1, получим

.

Получили
неопределенность типа
.
Преобразуем выражение с помощью формул
приведения, затем переходим к эквивалентным
бесконечно малым. В итоге получим

.

Ответ:
.

Задача
12. Вычислить
.

Решение.
Здесь имеем неопределенность типа
.
Выделим

в основании степени:

.

Заметим,
что

при
.

Справедлива
цепочка равенств

.

Заменяя
логарифм эквивалентной бесконечно
малой согласно соотношению (8.2) и используя
замечание 6.4 для раскрытия неопределенности,
получим

.

Ответ:
.

Задача
13⁴.
Вычислить
.

Решение.
Здесь имеем неопределенность типа
.
Введем переменную
.
Если
,
то
.

.

Выделим

в основании степени:

,

тогда

.

Заметим,
что

при
.
Заменим функцию

эквивалентной бесконечно малой
,
будем иметь

.

Используя
теорему 7.3, окончательно получим

.

Ответ:
.

Задача
14. Вычислить
.

Решение.
Здесь возникает неопределенность типа
.
Поскольку

,

вычислим
сначала
.
Мы имеем дело с неопределенностью типа
.

Воспользовавшись
последовательно соотношениями (8.2) и
(8.1), будем иметь

.

Ответ:
.

Задача
15. Вычислить
.

Решение.
Здесь возникает неопределенность типа
.
Воспользуемся формулой

.

Вычислим
предел, стоящий в показателе степени.
Для этого требуется раскрыть
неопределенность типа
.
Преобразуем ее в неопределенность типа

и воспользуемся эквивалентностью
бесконечно малых:

.

Ответ:
.

Задача
16. Вычислить
.

Решение.
Здесь возникает неопределенность типа

.
Преобразуем исходное предельное
выражение

.

Вычислим
предел, стоящий в показателе степени.

.

Ответ:
.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Продолжаем разбирать ответы к пределам функций и последовательностей. Примеров накопилось настолько много, что можно написать отдельную книгу — методичку по их вычислению.
В каждой публикации разжевываем методику вычислений до элементарных мелочей, при таких объяснениях каждый студент может без проблем решить подобные примеры.
Однако дальше от студентов поступают новые заказы с просьбой найти предел.
Порой нужно помочь с простыми функциями, что составляет впечатление что студенты имеют худшую подготовку, чем ученики в 11 классе, которые изучают эту тему.

Пример 11. Вычислить предел последовательности:

Решение: Подстановка большого номера в последовательность дает особенность вида бесконечность разделить на бесконечность. Для ее раскрытия в числителе и знаменателе дроби выделяем слагаемое, что вносит наибольший вклад. В скобках останутся константы + слагаемые, которые стремятся к нулю.

На общий множитель упрощаем, а константы дают значение предела последовательности.

Пример 12. Найти предел последовательности:

Решение: В предельном переходе имеем неопределенность вида бесконечность минус бесконечность. Функция представлена разницей корней. Чтобы избавиться от неопределенности, умножим и поделим разницу на сумму корней (сопряженное выражение). В результате придем к неопределенности бесконечность разделить на бесконечность. Чтобы ее раскрыть выносим множитель, что вносит наибольший вклад из числителя и знаменателя и сокращаем на него. Все что останется и будет пределом последовательности

Пример 13. Найти предел функции

Решение: При переменной стремящейся к нулю имеем неопределенность {0/0}. Для ее раскрытия разницу корней умножим и разделим на сопряженное выражение, чтобы в числителе образовать разность квадратов. В знаменателе имеем полином, который содержит особенность, поэтому разложим его на простые множители. После упрощений получим зависимость, предел которой легко находим методом подстановки

Пример 14. Вычислить предел

Решение: Переменная стремится к нулю, а функция задана долей синуса и тангенса в квадрате. В таких случаях нужно преобразовать выражение, чтобы в нем можно было легко выделить первый замечательный предел и его следствие. Для компенсации изменений в числитель и знаменатель записываем соответствующие константы. Далее переходим к произведению известных границ, вклад от каждой из которых равен единице.

Пример 15. Определить предел функции

Решение: При переменной стремящейся к нулю получим неопределенность вида единица в степени бесконечность. Для ее раскрытия выразим в степени множитель, который обратно пропорционален sin(4x).
Таким образом получим второй замечательный предел – экспоненту, а все что останется в показателе, даст степень экспоненты. Но здесь имеем долю sin(4x)/tan(3x), поэтому переходим к лимиту в показателе, а сам показатель сводим к первому замечательному пределу его следствии.

Из последнего «лимита» можно вывести простую формулу, которая может быть рассмотрена как следствие первого замечательного предела. Лимит доли тангенса к синусу (или наоборот) ровен доле их аргументов.

Пример 16. Найти предел последовательности:

Решение: Для раскрытия особенности вида бесконечность разделить на бесконечность необходимо три раза применить правило Лопиталя. Другая схема заключается в вынесении из числителя и знаменателя наибольшего множителя, и сокращении на него. В результате останутся константы и бесконечно малые функции. Последние стремятся к нулю, поэтому лимит последовательности равен

Пример 17. Вычислить предел последовательности:

Решение: Таких лимитов в предыдущих публикациях вычислено немало и суть раскрытия подобных неопределенностей заключается в умножении на сопряженное выражение – сумму корней. На это же выражение следует разделить функцию, чтобы не изменить значение лимита. В результате в числителе дроби получим разность квадратов и таким образом избавляемся от иррациональности, а предел выражения получим через оценку максимальных множителей.

Пример 18. Определить лимит функции

Решение: Когда переменная стремится к 3 имеем неопределенность вида {0/0}. Для раскрытия неопределенности в знаменателе дроби избавляемся от иррациональности умножением на сопряженное выражение, а в числителе полином раскладываем на простые множители. В результате и тат и там получаем выражение (х-3), на которое упрощаем.

Лимит функции, что осталась, вычисляем методом подстановки.

Пример 19. Найти предел функции

Решение: Предел функции в нуле дает особенность {0/0}. Ее не так просто раскрывать, как предыдущие.
Здесь следует свести выражение к первому и второму замечательному пределу и их следствиям.
Ln(1+x)/x в предельном переходе даст единицу, так же как и tan(x)/x и sin(x)/x.
Число 4/25 и будет лимитом функции.

Пример 20. Найти лимит

Решение: Предел функции в точке имеет неопределенность вида единица в степени бесконечность. Для ее раскрытия нужно преобразовать функцию под второй замечательный предел. Для этого и в скобках, и в показателе выделяем множитель, что вносит особенность (x-3) и делаем замену переменных t=x-3.
Далее переходим к экспоненте, и определяем лимит показательной функции.

Как Вы могли убедиться, задания на пределы не самые сложные в высшей математике.
Нужно знать не так много правил, чтобы без труда находить правильный ответ.

Пределы со степенями: показательная, степенная и показательно-степенная функции

Пределы со степенями бывают различных видов в зависимости от положения неизвестной $x$ в пределе. Рассмотрим примеры решений для следующих ситуаций:

1. Показательная функция
   $$limlimits_{xto a} a^{f(x)} = a^{limlimits_{xto a} f(x)} $$
2. Степенная функция
   $$ limlimits_{xto a} (f(x))^a = bigg(limlimits_{xto a} f(x) bigg)^a $$
3. Показательно-степенная функция
   $$limlimits_{xto a} bigg(f(x)bigg)^{g(x)} = limlimits_{xto a} frac{ln(f(x))}{frac{1}{g(x)}} $$

Пример 1

Найти предел показательной функции $limlimits_{xto 2} 2^{frac{x^2-4}{x-2}}$

Решение

Подставив точку $x=2$ в предел получим неопределенность $2^{big(frac{0}{0}big)}$. Итак, перенесем знак предела в показатель и попробуем его вычислить путем разложения числителя по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$. $$limlimits_{xto 2} 2^{frac{x^2-4}{x-2}} = 2^{limlimits_{xto 2} frac{(x-2)(x+2)}{x-2}} = $$ Сокращаем числитель со знаменателем на $x-2$ и вычисляем предел степени. $$ =2^{limlimits_{xto 2} (x+2)} = 2^{2+2} = 2^4 = 16 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$limlimits_{xto 2} 2^{frac{x^2-4}{x-2}} = 16$$

Пример 2

Решить предел степенной функции $limlimits_{xto 0} bigg(frac{sin x^2}{1-cos x}bigg)^3$

Решение

Внесем знак предела внутрь скобок, а степень останется при этом снаружи. $$limlimits_{xto 0} bigg(frac{sin x^2}{1-cos x}bigg)^3 = bigg(limlimits_{xto 0} frac{sin x^2}{1-cos x}bigg)^3 = $$ При подстановке точки $x=0$ в предел получаем неопределенность $frac{0}{0}$. Для её устранения воспользуемся таблицей эквивалентностей пределов. $$sin x^2 sim x^2$$ $$ 1-cos x sim frac{x^2}{2}$$ Подставляем эквивалентные функции в предел и сокращаем $x$. $$ = bigg(limlimits_{xto 0} frac{x^2}{frac{x^2}{2}}bigg)^3 = bigg(limlimits_{xto 0} frac{2x^2}{x^2} bigg)^3 = 2^3 = 8$$

Ответ

$$limlimits_{xto 0} bigg(frac{sin x^2}{1-cos x}bigg)^3 = 8$$

Пример 3

Вычислить предел показательно-степенной функции $limlimits_{xto 0} (tg x)^{sin x} $

Решение

Если подставим $x=0$, то получим предел ноль в степени ноль $(0^0)$. Превратим это в другую неопределенность $(frac{infty}{infty})$ с помощью третьей формулы. $$limlimits_{xto 0} (tg x)^{sin x} = limlimits_{xto 0} frac{ln (tg ;x)}{frac{1}{sin x}} = frac{infty}{infty} = $$ Используем правило Лопиталя для продолжения решения. По нему, как известно, предел отношения функций равен пределу отношения производных от этих функций. $$ = limlimits_{xto 0} frac{(ln (tg ;x))’}{(frac{1}{sin x})’} = limlimits_{xto 0} frac{frac{frac{1}{cos^2 x}}{tg ;x}}{-frac{cos x}{sin^2 x}} = $$ Преобразуем числитель в нормальный вид с помощью формулы $tg ; x = frac{sin x}{cos x}$ и выполняем все необходимые сокращения. $$ = limlimits_{xto 0} frac{frac{1}{sin x cos x}}{-frac{cos x}{sin^2 x}} = -limlimits_{xto 0} frac{sin x}{cos^2 x} = $$ Теперь подставляя точку $x=0$ возможно получить окончательный ответ. $$ = — frac{sin 0}{cos^2 x} = -frac{0}{1} = 0 $$

Ответ

$$limlimits_{xto 0} (tg x)^{sin x} = 0$$

Ладно, зайдём чуть изделека. Есть 2-й замечательный предел , или, что то же самое, .
Отсюда два следствия: (получается логарифмированием обеих частей последнего предела по основанию e), и , получаемое из первого следствия заменой переменных.

Ваше подлимитное выражение равно . Это неопределённость вида . Связываем выражения в числителе и знаменателе, которые стремятся к 0, со степенями х, чтобы избавиться от неопределённости. В числителе — используя второе следствие из 2-го замечательного предела (см. выше), а в знаменателе — 1-й замечательный предел.

  Рассмотрим два следствия из 2-го замечательного предела, с помощью которых можно найти предел показательной функции, в том числе, предел экспоненты.

   

   

Эти формулы можно применять и для случаев, когда на месте x стоит f(x), при условии, что при x→0, f(x)→0:

   

   

Проиллюстрируем, как найти предел показательной функции, в частности, предел экспоненты, на примерах.

Найти предел функции:

   

 Сокращаем дробь на x. Получаем в числителе выражение вида (Ia), а значит, можем применить это следствие из 2-го замечательного предела:

   

   

Здесь мы вычли и прибавили единицу, поэтому в итоге значение выражения, стоящего в числителе, не изменилось.

   

Выносим общий множитель x за скобки и сокращаем на него: 

   

В числителе получили выражения вида (Ia) и (IIа)

   

   

В числителе — выражение вида (Ia), в знаменателе — 1й замечательный предел: