Как найти предел вектора

§3. ВЕКТОРНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ТОЧЕК

3.1. Сходимость векторных последовательностей.

Определение. Если каждому натуральному числу k по некоторому правилу

отвечает n -мерный вектор xk , то говорят, что в пространстве Rn задана векторная последовательность (последовательность векторов) xk .

Нас будет интересовать поведение членов последовательности при неограни-

ченном увеличении номера, то есть при k . Существуют два определения схо-

димости (предела) векторной последовательности, при этом оба подхода опираются на понятие предела числовой последовательности.

Первый подход использует координаты векторов и называется координатным.

Пусть в векторном пространстве выбран некоторый базис. Тогда каждый вектор по-

следовательности получает координатное представление xk (x1k , x2k ,…, xnk ) . С по-

следовательностью векторов xk естественно связывается n числовых последова-

тельностей x1k , x2k ,…, xnk . Эти последовательности называются координат-

ными последовательностями или, если выбирается стандартный базис, последова-

стей стремится к нулю.

Преимущество второго определения сходимости в том, что оно не использует,

по крайней мере, явно понятия координат, и, следовательно, не зависит от выбора базиса пространства. Следующая теорема устанавливает эквивалентность сходимо-

сти по координатам и сходимости по норме в пространстве Rn . Следовательно, схо-

димость по координатам не зависит от выбора базиса пространства.

ТЕОРЕМА. Если векторная последовательность сходится по норме, то она сходится к тому же самому вектору и по координатам, и наоборот, если она сходит-

ся по координатам, то сходится и по норме.

Доказательство.

Ограничимся случаем ортонормированного базиса. Тогда норма вектора

a (a1, a2 ,…, an ) вычисляется формулой || a || (a1)2 (a2 )2 … (an )2 .

Пусть последовательность xk сходится к вектору a по норме. Для каждого

номера i, 1 i n, имеет место очевидное неравенство

(предел произведения равен произведению пределов). Предел суммы равен сумме

вектору a по норме. И тут нас ожидает некоторое затруднение. Если бы было из-

вестно, что последовательность xk a сходится, то ее предел конечно был бы

равен нулю. Мы же знаем только, что сходится последовательность квадратов

xk a 2 . Пример последовательности 1, 1, 1, 1,…показывает, что после-

довательность квадратов может сходиться, а сама последовательность не иметь пре-

дела. Однако, если предел последовательности квадратов равен нулю, то и сама по-

следовательность стремится к нулю. Попробуйте доказать этот факт самостоятель-

но, используя определение предела числовой последовательности.

Достоинство координатного определения предела векторной последователь-

ности в том, с его помощью можно вычислять предел. Например,

Перечислим свойства сходящихся векторных последовательностей. Пусть

1. lim( xk ) x – при умножении сходящейся векторной последовательно-

k

сти на число ее предел умножается на это число.

2. lim(xk yk ) x y – предел суммы сходящихся векторных последова-

k

тельностей равен сумме их пределов.

торных последовательностей равен скалярному произведению их пределов.

4. Векторная последовательность xk сходится тогда и только тогда, когда для любого 0 существует такой номер N ( ), что для всех m, p N ( ) выпол-

няется неравенство x p xm – критерий Коши для векторных последователь-

ностей (члены сходящейся векторной последовательности неограниченно «сгуща-

ются» при достаточно больших номерах и наоборот, если члены последовательности неограниченно сгущаются, то она сходится).

5. Предел векторной последовательности единственный.

Перечисленные свойства следуют из аналогичных свойств числовых последо-

вательностей, примененных к координатным последовательностям.

3.2. Решение систем линейных уравнений методом итераций.

Рассмотрим систему из двух уравнений с двумя неизвестными.

Определитель этой системы равен 1, и легко можно увидеть решение

x1 1, x2 1. Изменим «немного» правую часть второго уравнения, добавив к 1001

всего одну тысячную:

(одну десятимиллионную процента). Решением новой системы является пара

x1 0, x2 1000,001. Первая компонента уменьшилась на 100%, а вторая вырос-

ла приблизительно на 100000% (!!!). А длина вектора решения увеличилась при-

близительно в 700 раз. Этот пример показывает, что небольшие по здравому смыслу ошибки (в частности, ошибки округления) могут приводить к катастрофическому изменению результатов расчета. Системы уравнений с таким свойством называют неустойчивыми или плохо обусловленными. С увеличением числа неизвестных и уравнений ситуация только усугубляется. По этой причине в реальных расчетах формулы Крамера (особенно) и метод Гаусса используются редко. Существует спе-

циальная наука, изучающая приближенные вычисления. Один из методов, применя-

В матричной форме

Ax b .

Обратите внимание, что теперь на главной диагонали матрицы приведенной системы стоят единицы (с плюсом). Запишем полученную систему в виде В результате равносильных преобразований

Ax b x Ax b x x b Ax x x b (A E)x

система уравнений принимает вид

x b (A E)x ,

здесь E – единичная матрица.

А теперь, глядя на полученное уравнение, напишем рекуррентную формулу,

задающую последовательность xk :

xk b ( A E)xk 1 .

Первый член такой последовательности (его удобно обозначить x0 ) должен быть задан отдельно. Нетрудно понять, что если последовательность xk сходится,

то ее предел является решением системы уравнений. Действительно, пусть

x* lim xk , тогда вектор x* удовлетворяет уравнению x* b ( A E)x* и, следо-

k

вательно, он удовлетворяет равносильному уравнению Ax* b .

Оказывается, что для матриц с доминирующей диагональю последователь-

ность xk сходится. Мы получаем возможность, выбрав произвольно вектор x0 ,

построить последовательность векторов, сходящуюся к решению системы уравне-

ний. Метод последовательных приближений, как правило, не дает точного решения задачи, но существуют методы, которые позволяют определить число итераций для

достижения заданной точности. Грубо говоря, решение получено, если результаты итераций перестают практически различаться. Здесь уместна аналогия с критерием Коши сходимости числовой последовательности – вблизи предела члены последова-

тельности неограниченно сгущаются, разность между ними становится меньше лю-

бого наперед заданного числа. Существенное достоинство метода итераций состоит в том, что если в процессе расчетов возникла случайная ошибка, то последующие вычисления все равно будут приближаться к решению задачи.

Сейчас мы построим для нашей системы уравнений несколько членов после-

довательности и посмотрим, как они приближаются к точному решению. Вам пред-

стоит выполнить аналогичную домашнюю работу. В качестве первого шага находим точное решение нашей системы (не имеет значения, каким методом это делать, са-

мый простой – угадать). В данном случае точное решение x* ( 1,1,1) . В качестве нулевого приближения возьмем нулевой вектор x0 o (0,0,0) . Подставляя x0 в

рекуррентную формулу, находим x1 b ( A E)x0 b ( A E)o b . На этом

«простые» вычисления заканчиваются.

Назовем вектором ошибки с номером k вектор k x* xk , а его норму k – нормой ошибки.

Для нулевого шага имеем, 0 x* o x* ( 1,1,1) , 0 3 1,73.

Для первого шага

1 101 89 0,94 . Обратите внимание, что норма ошибки уменьшилась.

Второй шаг. Найдем матрицу A E

Имеет смысл вынести общий множитель, чтобы работать с целыми числами.

Но нужно быть крайне внимательным, особенно, если диагональные элементы мат-

рицы различные.

уменьшилась, приблизительно в два раза.

В домашнем задании делаются еще две итерации, в итоге будут получены первые 5 членов последовательности: x0 , x1, x2 , x3 , x4 . Для каждой итерации вы-

числяется вектор ошибки и норма ошибки.

3.3. Понятие о метрических пространствах.

Расстоянием d ( A, B)между двумя точками A и B прямой, плоскости, про-

странства называется длина соединяющего их отрезка. Отметим три свойства рас-

A(xA , yA , zA )

B(xB , yB , zB )

Этими тремя свойствами определяют понятие расстояния в произвольном множестве. Именно, говорят, что в множестве определено расстояние d , если для любых его двух элементов x и y определено число d (x, y), и при этом выполня-

ются условия (аксиомы) Д1 – Д3. Множество, в котором определено расстояние,

называется метрическим пространством. Элементы метрического пространства обычно называют точками. Обычная прямая, плоскость, пространство – примеры метрических пространств. В частности, в прямоугольных координатах расстояние

между точками и вычисляется с помощью формулы

d ( A, B) (xB xA )2 ( yB yA )2 (zB zA )2 .

Любое векторное пространство с нормой превращается в метрическое про-

странство, если в нем определить расстояние формулой d (x, y) y x .

Расстояние между векторами x и y равно норме их разности. При таком определе-

нии расстояния аксиомы выполняются автоматически, так как они совпадают с тре-

мя из четырех аксиом нормы. Рассматривая векторное пространство как метриче-

ское пространство, мы имеем право называть векторы точками. С этого момента векторное пространство Rn будем считать метрическим пространством. Вектор бу-

дем называть точкой, а координатами точки – координаты вектора. Вспомним, что стандартная (евклидова) норма в пространстве Rn определяется через скалярное

нормированный базис, то расстояние между двумя точками x (x1, x2 ,…, xn ) и y ( y1, y2 ,…, yn ) вычисляется с помощью формулы

1. Предел и непрерывность вектор-функции.

   Начать изучение
   

2. Понятие вектор-функции.

   Начать изучение
   

3. Предел вектор-функции.

   Начать изучение
   

4. Свойства пределов вектор-функций.

   Начать изучение
   

5. Непрерывность вектор-функции.

   Начать изучение
   

6. Производная и дифференциал вектор-функции.

   Начать изучение
   

7. Производная вектор-функции.

   Начать изучение
   

8. Дифференциал вектор-функции.

   Начать изучение
   

9. Замена переменного.

   Начать изучение
   

10. Теорема Лагранжа и локальная формула Тейлора для вектор-функции.

    Начать изучение
    

Предел и непрерывность вектор-функции.

Понятие вектор-функции.

Если каждому значению (tin E), где (Esubsetmathbb{R}), поставлен в соответствие вектор (r(t)) трехмерного пространства, то говорят, что на множестве (E) задана векторная функция (r(t)) скалярного аргумента (t).

Пусть в пространстве фиксирована прямоугольная система координат (Oxyz). Тогда задание вектор-функции (r(t), tin E), означает задание координат (x(t), y(t), z(t)) вектора (r(t), tin E). Если (i,j,k) — единичные векторы координатных осей, то
$$
r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k,qquad tin E,nonumber
$$
или
$$
r(t)=(x(t),y(t),z(t)).nonumber
$$
Если (z(t)=0) при всех (tin E), то вектор-функцию (r(t)) называют двумерной.

В случае, когда начало каждого из векторов (r(t)) совпадает с началом координат (рис. 21.1), эти векторы называют радиус-векторами, а множество их концов — годографом вектор-функции (r(t)), (tin E), который можно рассматривать как траекторию точки (M(t)) конца вектора (r(t)), если считать, что (t) — время.

Предел вектор-функции.

Вектор (a) называют пределом вектор-функции (r(t)) в точке (t_0) и пишут (displaystyle lim_{trightarrow t_{0}}r(t)=a) или (r(t)rightarrow a) при (trightarrow t_0), если
$$
lim_{trightarrow t_{0}} |r(t)-a|=0,label{ref1}
$$
то есть длина вектора (r(t)-a) стремится к нулю  при (trightarrow t_0).

При доказательстве свойств предела вектор-функции удобно использовать следующее очевидное утверждение: условие eqref{ref2} выполняется в том и только том случае, когда
$$
r(t)=a+alpha(t),nonumber
$$
где (alpha(t)) — бесконечно малая вектор-функция, то есть
$$
alpha(t)rightarrow 0quad mbox{при} trightarrow t_{0}.nonumber
$$

Свойства пределов вектор-функций.

Непрерывность вектор-функции.

Вектор-функцию (r(t)) называют непрерывной при (t=t_{0}), если
$$
lim_{trightarrow t_{0}}r(t)=r(t_0).label{ref9}
$$
Непрерывность вектор-функции (r(t)=(x(t),y(t),z(t))) при (t=t_{0}) в силу эквивалентности условий eqref{ref2} и eqref{ref3} означает, что ее координаты (x(t),y(t),z(t)) непрерывны в точке (t_{0}).

Назовем вектор-функцию (Delta r=r((t_0+Delta t)-r(t_0)) приращением вектор-функции (r(t)) в точке (t_{0}). Тогда условие eqref{ref9} означает, что
$$
Delta rrightarrow 0quad приquad Delta trightarrow 0.label{ref10}
$$

Из определения непрерывности вектор-функции и свойств пределов векторных функций следует, что сумма, векторное и скалярное произведения вектор-функций (r_1(t)) и (r_2(t)) являются непрерывными функциями при (t=t_{0}), если вектор-функции (r_1(t)) и (r_2(t)) непрерывны в точке (t_{0}).

Производная и дифференциал вектор-функции.

Производная вектор-функции.

Если существует (displaystyle lim_{Delta trightarrow 0}frac{Delta r}{Delta t}) где (Delta r=r(t_0+Delta t)-r(t_0)), то этот предел называют производной вектор-функции (r(t)) в точке (t_0) и обозначают (r'(t_0)) или (dot{r}(t_0)).

Таким образом,
$$
r'(t_{0})=lim_{Delta trightarrow 0}frac{r(t_{0}+Delta t)-r(t_{0})}{Delta t}.label{ref11}
$$
Аналогично вводится понятие второй производной
$$
r″(t_{0})=lim_{Delta trightarrow 0}frac{r'(t_{0}+Delta t)-r'(t_{0})}{Delta t}nonumber
$$
и производной порядка (n > 2) вектор-функции. Заметим, что если (r(t)=(x(t),y(t),z(t))), то
$$
r'(t_{0})=(x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0))label{ref12}
$$
Утверждение eqref{ref12} следует из определения eqref{ref11} и свойств пределов вектор-функций.

Аналогично, если существует (r″(t_{0})), то
$$
r″(t_{0})=(x″(t_0),y″(t_0),z″(t_0)).nonumber
$$
Из определения производной следует, что (Delta r=r'(t_0)Delta t+alpha(Delta t)Delta t), где (alpha(Delta t)rightarrow 0) при (Delta trightarrow 0), и потому (Delta rrightarrow 0) при (Delta trightarrow 0). Таким образом, выполняется условие eqref{ref10}, то есть вектор-функция (r(t)), имеющая производную в точке (t_{0}), непрерывна при (t=t_{0}).

Дифференциал вектор-функции.

Вектор-функцию (r(t)), определенную в некоторой окрестности точки (t_{0}), называют дифференцируемой при (t=t_{0}), если ее приращение (Delta r=r(t_{0}+Delta t)-r(t_{0})) в точке (t_{0}) представляется в виде
$$
Delta r=aDelta t+Delta talpha(Delta t),label{ref17}
$$
где вектор (a) не зависит от (Delta t), (alpha(Delta t)rightarrow 0) при (Delta trightarrow 0).

В этом случае вектор (aDelta t) называют дифференциалом вектор-функции (r(t)) в точке (t_{0}) и обозначают (dr). Таким образом,
$$
dtextbf{r}=textbf{a}Delta t.nonumber
$$
Как и в случае скалярной функции, дифференцируемость вектор-функции (r(t)) в точке (t_{0}) равносильна существованию ее производной в точке (t_0), причем
$$
textbf{r}'(t_0)=textbf{a}.label{ref18}
$$
Следовательно,
$$
dr=r'(t_{0})Delta t.label{ref19}
$$
Если функция (r(t)) дифференцируема при (t=t_{0}), то, используя равенства eqref{ref17} и eqref{ref18}, получаем
$$
Delta r=r'(t_{0})Delta t+Delta t alpha(Delta t),label{ref20}
$$
где (alpha(Delta t)rightarrow 0) при (Delta trightarrow 0).

Полагая (dt=Delta t), запишем равенство eqref{ref19} в виде
$$
dr=r’dt,nonumber
$$
где опущено обозначение аргумента функции (r’). Отсюда получаем
$$
r’=frac{dr}{dt}.label{ref21}   (21)
$$

Замена переменного.

Теорема Лагранжа и локальная формула Тейлора для вектор-функции.