Как найти предельную точку множества - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Начнём с определения предельной точки множества. Пусть $%A$% — множество точек (скажем, на прямой, или на плоскости), и $%a$% — некоторая точка. Она может как принадлежать множеству $%A$%, так и не принадлежать. Для начала рассмотрим и опишем случай, когда точка $%a$% не является предельной точкой множества $%A$%. Тогда станет понятно, в каких случаях она ей является.

Допустим, что вблизи $%a$% нет других точек множества $%A$% за исключением, может быть, самой точки $%a$%, если она принадлежит $%A$%. Тогда точку $%a$% можно окружить маленькой окрестностью, в которой других точек множества не имеется. Эта окрестность задаётся числом $%varepsilon > 0$%: на прямой это будет интервал $%(a-varepsilon,a+varepsilon)$%. В этой окрестности нет точек множества $%A$% помимо точки $%a$% (а если $%anotin A$%, то и вообще ничего нет из $%A$%). В случае, если это имеет место, и $%ain A$%, такую точку называют изолированной точкой множества. Это легко представить себе наглядно: вот точка множества, а все остальные где-то «поодаль».

Теперь рассмотрим противоположную ситуацию и опишем её словесно. Удобно исключить точку $%a$% из окрестности, чтобы не делать лишних оговорок. Тогда у нас получится множество $%(a-varepsilon,a)cup(a,a+varepsilon)$%. Оно называется проколотой окрестностью точки $%a$%. В более общем случае, если $%cal U$% обозначало какую-то окрестность точки, проколотая её окрестность будет иметь вид $%{cal U}setminus{a}$%. Иногда то же самое обозначают с «кружочком» над $%cal U$%, давая понять, что точка $%a$% этой проколотой окрестности не принадлежит.

Так вот, если мы посмотрим на определение изолированной точки, то у неё имеется проколотая окрестность, в которой нет точек множества $%A$%. И теперь, если точка $%a$% таким свойством не обладает, то в любой (сколь угодно малой) её проколотой окрестности найдётся хотя бы одна точка множества $%A$%. На наглядном уровне это означает, что в $%A$% есть точки, подходящие к $%a$% всё ближе и ближе.

Пример: $%A=[0;1)$%. Точка $%a=1$% будет предельной точкой множества $%A$%. В данном случае множеством всех предельных точек множества $%A$% будет отрезок $%[0;1]$%.

Теперь о понятиях lim sup и lim inf. С самого начала важно заметить, что эти понятия даются уже не для множества, как было выше, а для последовательности. То есть у нас есть произвольная бесконечная числовая последовательность $%a_n$%, где $%nge1$%. Объясним понятие верхнего предела этой последовательности, то есть первого из понятий. Второе будет ему аналогичным. В литературе на русском языке для верхнего предела принято использовать обозначение $%varlimsuplimits_{ntoinfty}a_n$%.

Рассмотрим несколько случаев. Первый: последовательность $%a_n$% не ограничена сверху. В этом случае верхнего предела у последовательности не существует. Иногда при этом говорят, что он равен $%+infty$%. То есть это простой случай.

Допустим теперь, что последовательность ограничена сверху, то есть множество её членов (не она сама!) имеет верхнюю грань. Заметим, что в этом случае множество также имеет и точную верхнюю грань. Пока это не нужно, но чуть позже потребуется для одного замечания. А сейчас рассмотрим второй лёгкий случай: когда наша последовательность является сходящейся, то есть имеет предел (обычный lim). Тогда он и будет верхним пределом.

Осталось рассмотреть случай, когда последовательность ограничена сверху, но предела не имеет. Типовой пример на этот счёт: 1, 2, 1, 2, … . Сама эта последовательность ни к чему не стремится, но в ней выделяются две подпоследовательности (постоянные), одна из которых стремится 1, а другая к 2. Если мы рассмотрели все такие случаи, то можно выбрать максимальное значение пределов сходящихся подпоследовательностей, и как раз оно будет верхним пределом (это к вопросу о том, как находить).

Пример, рассмотренный выше, можно чуть усложнить, беря вместо чередующихся 1 и 2 что-то вроде 1+3/n и 2-1/n. Понятно, что эти подпоследовательности будут стремиться к тем же числам (1 и 2 соответственно), и верхний предел останется равен 2. К слову сказать, нижний предел здесь будет равен 1, по тому же принципу.

Обобщим сказанное. Последовательность может не иметь предела, но какие-то её подпоследовательности могут иметь предел, то есть к каким-то числам стремиться. Надо выявить все такие случаи, и изучить, каким будет множество, как это говорят, частичных пределов последовательности (то есть пределов её подпоследовательностей). Если среди них есть наибольший, то он будет верхним пределом.

Тонкости, детали и прочее см. в учебниках или здесь. Я хочу в конце отметить, что верхний предел последовательности — это в общем случае не то же самое, что sup множества её членов. Например, последовательность $%a_n=(-1)^n/n$%, то есть -1, 1/2, -1/3, 1/4, … стремится к нулю. То есть её предел равен 0, и таковы же значения верхнего и нижнего пределов. При этом sup членов этой последовательности равен 1/2 (он же max), а inf равен -1 (он же совпадает с min).

Источник

Пусть E – множество,
расположенное на числовой оси, и точка
.
Любой интервал, содержащий точку ,
будем называть окрестностью точки .

Интервал ,
где ,
будем называть
— окрестностью точки
и символически обозначать

Если ,
то это равносильно неравенству .

Определение. Точка
называется предельной точкой множества
E, если любая ее окрестность
содержит хотя бы одну точку множества
E, отличную от точки .

Заметим, что сама точка
может принадлежать, а может и не
принадлежать множеству E.

Если точка ,
но не является предельной, то она
называется изолированной. Иначе говоря,
точка
называется изолированной точкой этого
множества, если существует окрестность
точки ,
не содержащая точек множества E,
отличных от .

Теорема 1. Если предельная
точка множества E, то любая
ее окрестность содержит бесконечное
множество точек E.

Доказательство: Предположим
противное. Пусть
– предельная точка, а некоторая ее
окрестность содержит конечное множество
точек E, отличных от .
Обозначим их
. Пусть

. Тогда —
окрестность точки не
будет содержать ни одной точки множества
E, отличной от
и, следовательно, точка
не будет предельной.

В определении предельной точки
требовалось, чтобы в любой ее окрестности
нашлась хотя бы одна точка множества
E, отличная от точки .

Из этого требования вытекает, что в
действительности в любой окрестности
предельной точки будет бесконечно много
точек множества E. Отсюда
следует, что конечные точечные множества
предельных точек не имеют.

Приведем примеры предельных и изолированных
точек.

Пусть

, где
(рис.15).

Рис. 15

Множество E имеет две
предельные точки .
Обе они не принадлежат E.
Точки множества E «сгущаются»
у точек 1 и -1 (поэтому предельные точки
множества E часто называют
точками сгущения множества E).
Точка 0 (как и все точки E)
– изолированная точка. Заметим, что все
остальные точки множества E
, будут изолированными.

В рассмотренном примере точка
является нижней гранью (она не принадлежит
E, но является для E
предельной), а верхней гранью является
точка ,
которая принадлежит E, но
не является для E предельной.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Если верхняя (нижняя) грань
не принадлежит множеству, то она является
для этого множества предельной точкой.

Для доказательства этой теоремы
достаточно сопоставить определения
верхней (нижней) грани и предельной
точки.

Рассмотрим другие примеры предельных
и изолированных точек.

Пусть
,
где .
Точка
является предельной точкой множества
E.
Действительно, любая окрестность
содержит хотя бы одну точку множества
E.
Такой точкой будет точка ,
если ,
и достаточно взять
Все точки множества E
являются изолированными.
Пусть
.
Здесь всякая точка
является предельной. В самом деле, любая
окрестность точки
содержит точки отрезка. Кстати, здесь
все предельные точки принадлежат
множеству E.
Пусть
Здесь
все точки E
будут предельными, но кроме того, будут
предельными и точки a,
b.
В отличие от других предельных точек,
они не принадлежат множеству E.
Пусть
.
Это множество предельных точек не
имеет. Все его точки изолированные.

Множество
предельных точек множества E
принято обозначать через .

Точки множества E и его
предельные точки принято называть
точками прикосновения для множества
E, а их совокупность
обозначают через
Очевидно,

Последний пример показывает, что не
всегда бесконечное множество имеет
предельные точки. Следующая теорема
устанавливает класс бесконечных
множеств, имеющих предельные точки.

Теорема 3. (Больцано-Вейерштрасса).
Всякое бесконечное ограниченное
множество имеет хотя бы одну предельную
точку.

Доказательство. Так как E
ограничено, то можно указать отрезок
,
содержащий множество E.
Положим .
Тогда хотя бы один из отрезков
содержит бесконечное множество точек
E. Обозначим его через
Отрезок
вновь разделим пополам и обозначим
через
ту половину, которая содержит бесконечное
множество точек E. Продолжая
процесс, мы получим бесконечную
последовательность вложенных отрезков
,
каждый из которых содержит бесконечное
множество точек E. Так как
длина отрезка
равна ,
то для любого положительного числа

найдется ,
что для всех
.

Следовательно, по теореме Кантора
существует единственная точка ,
общая точка для всех отрезков .

Докажем теперь, что точка
предельная точка множества E.

Рассмотрим произвольный интервал ,
содержащий точку
При достаточно большом .Так
как отрезок
содержит бесконечное множество точек
E, то и интервал
содержит бесконечное множество точек
E. Значит, точка
— предельная для множества E.

Итак, отметим:

Множество
E
может иметь не одну предельную точку
(пример 3).
Предельная
точка может и не принадлежать множеству
E
(пример 2).
Оба
условия теоремы существенны. Пример 5
показывает, что существуют неограниченные
бесконечные множества, не имеющие
предельных точек, а конечные множества,
как было показано, предельных точек не
имеют.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Преде́льная то́чка множества в общей топологии — это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством.

Определение

Пусть дано топологическое пространство , где — произвольное множество, а — определённая на топология. Пусть также задано подмножество . Точка называется предельной точкой множества , если для любого открытого множества , такого что и

{displaystyle (Usetminus x)cap Anot =emptyset }

Связанные понятия

Совокупность всех предельных точек множества называется его произво́дным мно́жеством и обозначается .

Объединение самого множества с его производным множеством называется замыканием множества и обозначается или .

Свойства

Если — предельная точка , то существует последовательность ${displaystyle {x_{n}}_{n=1}^{infty }subset A}$ целиком лежащая в такая, что ${displaystyle x_{n}to x}$ при .
Не всякая точка множества обязана быть предельной. Обратно, предельная точка множества не обязана ему принадлежать.
Любое бесконечное и ограниченное подмножество евклидова пространства содержит хотя бы одну свою предельную точку.

Лемма о предельной точке

Пусть — бесконечное ограниченное подмножество числовой прямой. Тогда оно имеет хотя бы одну предельную точку, то есть

Шаблон:Доказательство

Примеры

Рассмотрим множество действительных чисел со стандартной топологией, порождённой открытыми интервалами. Тогда относительно этой топологии имеем:

Предельная точка последовательности

Предельной точкой числовой последовательности называется точка, в любой окрестности которой содержатся элементы последовательности со сколь угодно большими номерами. Например, у последовательности ${displaystyle a_{n}=1}$ это точка 1 (хотя она не является предельной точкой множества значений элементов последовательности, состоящего из одного элемента).

См. также

Изолированная точка
Точка прикосновения

he:נקודת הצטברות
pl:Punkt skupienia

Источник