Как найти пределы функции с бесконечностью

Как решать пределы с бесконечностью

Рассмотрим основные типы неопределенностей пределов на бесконечности с примерами решений:

1. $ [frac{0}{0}] $
2. $ [infty — infty] $
3. $[frac{infty}{infty}]^{[infty]}$ и $[1 ^ infty] $

Теория пределов – раздел математического анализа. Наряду с системами линейных уравнений и диффурами пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.

В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Понятие предела в математике

Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции , так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала — самое общее определение предела:

Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a, то a – предел этой величины.

Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A, к которому стремится функция при х, стремящемся к определенной точке а. Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Звучит громоздко, но записывается очень просто:

Lim — от английского limit — предел.

Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.

Приведем конкретный пример. Задача — найти предел.

Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:

Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами, читайте отдельную статью на эту тему.

В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:

Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.

Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х. Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность. Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!

Неопределенности в пределах

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность

Пусть есть предел:

Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?

Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:

Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Еще один вид неопределенностей: 0/0

В таких случаях рекомендуется раскладывать числитель и знаменатель на множители. Но давайте посмотрим на конкретный пример. Нужно вычислить предел:

Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:

Сократим и получим:

Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.

Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:

Правило Лопиталя в пределах

Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?

Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.

Наглядно правило Лопиталя выглядит так:

Важный момент: предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.

А теперь – реальный пример:

Налицо типичная неопределенность 0/0. Возьмем производные от числителя и знаменателя:

Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.

Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос «как решать пределы в высшей математике». Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.

Подавляющее большинство функций, с которыми вы ознакомились ранее, определены на бесконечных промежутках. Исследуя такие функции, желательно установить их поведение для сколь угодно больших по модулю значений аргумента 

Пусть функция  определена на интервале 

 Число  называется пределом функции  на бесконечности  если для любого  существует такое число  что для всех  выполняется неравенство 

Пишут: 

Пусть функция  определена на интервале 

 Число  называется пределом функции  на бесконечности  если для любого  существует такое число  что для всех  выполняется неравенство 

Пишут: 

Пусть функция  определена на интервале 

 Число  называется пределом функции  на бесконечности  если для любого  существует такое число  что для всех  выполняется неравенство 

Пишут: 

Геометрически это означает, что для любого  существует число  такое, что для всех  соответствующие значения функции  попадают в  -окрестность точки  то есть соответствующие точки графика этой функции лежат в полосе, ограниченной прямыми  (рис. 53).

Для предела функции на бесконечности выполняются те же свойства и теоремы о пределах, что и для предела функции в точке (см. с. 102), а также те правила, которые используются при вычислении предела числовой последовательности. А именно:

1 .Для того чтобы вычислить предел дробно-рациональной функции в случае, когда при  числитель и знаменатель дроби имеют пределы, которые равны бесконечности, необходимо сначала каждый член многочленов числителя и знаменателя дроби разделить на степень  с наибольшим показателем, а затем находить предел.

Пример:

Вычислите 

Решение:

2. Для того чтобы вычислить предел функции, содержащей up рациональные выражения, в случае, когда каждый из слагаемых имеет бесконечный предел, необходимо умножить и разделить выражение, задающее функцию, на выражение, сопряжённое к нему, после этого выполнить необходимые упрощения (приведение подобных членов, сокращение и т. д.) и вычислить предел.

Пример:

Вычислите 

Решение:

Исследуя функции, желательно также установить их поведение для тех значений аргумента  в которых функция бесконечно возрастает или убывает.

Функция  называется бесконечно большой при  (имеющей предел   если для произвольного  существует такое число  что для всех  таких, что  выполняется неравенство 

Пишут: 

Понятие предела функции на бесконечности и бесконечного предела используются для нахождения асимптот.

 Прямая  называется асимптотой кривой, если расстояние  от точки  кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки  в бесконечность.

Асимптотами, например, есть оси координат для графика функции 

 — вертикальная асимптота;

 — горизонтальная асимптота.

Кривая  имеет горизонтальную асимптоту  если существует конечный предел функции  и этот предел равен  то есть 

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример:

Найдите горизонтальную асимптоту кривой 

Решение:

Вычислим предел  Следовательно,  — горизонтальная асимптота.

Пример:

Исследуйте поведение функции  если: 

Решение:

Пример:

Вычислите 

Решение:

Пример:

Найдите горизонтальные асимптоты кривой:

Решение:

а) Вычислим пределы при  Имеем: 

Следовательно,  — горизонтальная асимптота для  а для  — асимптоты нет.

Следовательно,  — горизонтальная асимптота.