Как найти пределы функций примеры решений - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Заказать задачи по любым предметам можно здесь от 10 минут

Как решать пределы для чайников?

Для тех, кто хочет научиться находить пределы в данной статье мы расскажем об этом. Не будем углубляться в теорию, обычно её дают на лекциях преподаватели. Так что «скучная теория» должна быть у Вас законспектирована в тетрадках. Если этого нет, то почитать можно учебники взятые в библиотеке учебного заведения или на других интернет-ресурсах.

Итак, понятие предела достаточно важно в изучении курса высшей математики, особенно когда вы столкнетесь с интегральным исчислением и поймёте связь между пределом и интегралом. В текущем материале будут рассмотрены простые примеры, а также способы их решения.

Примеры решений

Пример 1

Вычислить а) $ lim_{x to 0} frac{1}{x} $; б)$ lim_{x to infty} frac{1}{x} $

Решение

а) $$ lim limits_{x to 0} frac{1}{x} = infty $$

б)$$ lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0 $$

Нам часто присылают эти пределы с просьбой помочь решить. Мы решили их выделить отдельным примером и пояснить, что данные пределы необходимо просто запомнить, как правило.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ text{a)} lim limits_{x to 0} frac{1}{x} = infty text{ б)}lim limits_{x to infty} frac{1}{x} = 0 $$

Пример 2

$$ lim limits_{x to 1} frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} $$

Решение

Внимание «чайникам» Чтобы вычислить предел любого типа и вида нужно подставить значение x, указанное под пределом, в функцию, стоящую под знаком предела. Давайте попробуем это сделать:

$$ lim limits_{x to 1} frac{x^2+2 cdot x+1}{x+1}=frac{1^2+2 cdot 1+1}{1+1} = $$

$$ = frac{4}{2}=2 $$

Как видим в итоге у нас вычислился предел, результатом стала двойка. Хорошо, когда так получается, но бывает так, что результатом становятся неопределенности. Попробуем разобраться с ними — это не так страшно как кажется

Ответ

$$ lim limits_{x to 1} frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} = 2 $$

Что делать с неопределенностью вида: $ bigg [frac{0}{0} bigg ] $

Пример 3

Решить $ lim limits_{x to -1} frac{x^2-1}{x+1} $

Решение

Как всегда начинаем с подстановки значения $ x $ в выражение, стоящее под знаком предела.

$$ lim limits_{x to -1} frac{x^2-1}{x+1} = frac{(-1)^2-1}{-1+1}=frac{0}{0} $$

Что теперь дальше? Что же должно получиться в итоге? Так как это неопределенность, то это ещё не ответ и продолжаем вычисление. Так как в числители у нас многочлен, то разложим его на множители, помощью знакомой всем формулы ещё со школьной скамьи $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Вспомнили? Отлично! Теперь вперед и с песней применять её

Получаем, что числитель $ x^2-1=(x-1)(x+1) $

Продолжаем решать учитывая вышеприведенное преобразование:

$$ lim limits_{x to -1}frac{x^2-1}{x+1} = lim limits_{x to -1}frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = $$

$$ = lim limits_{x to -1}(x-1)=-1-1=-2 $$

Ответ

$$ lim limits_{x to -1} frac{x^2-1}{x+1} = -2 $$

Пример 4

$$ lim limits_{x to 2}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} $$

Решение

$$ lim limits_{x to 2}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = frac{0}{0} = $$

$$ = lim limits_{x to 2}frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)^2} = $$

$$ = lim limits_{x to 2}frac{x+2}{x-2} = frac{2+2}{2-2} = frac{4}{0} = infty $$

Бесконечность получилась в результате — это следует из примера 1. Когда число делится на 0 под знаком предела, то получается бесконечность.

Ответ

$$ lim limits_{x to 2}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = infty $$

Устремим предел в последних двух примерах к бесконечности и рассмотрим неопределенность: $ bigg [frac{infty}{infty} bigg ] $

Пример 5

Вычислить $ lim limits_{x to infty} frac{x^2-1}{x+1} $

Решение

$ lim limits_{x to infty} frac{x^2-1}{x+1} = frac{infty}{infty} $

Что же делать? Как быть? Не стоит паниковать, потому что невозможное — возможно. Нужно вынести за скобки и в числителе и в знаменателе икс, а потом его сократить. После этого предел попытаться вычислить. Пробуем…

$$ lim limits_{x to infty} frac{x^2-1}{x+1} =lim limits_{x to infty} frac{x^2(1-frac{1}{x^2})}{x(1+frac{1}{x})} = $$

$$ = lim limits_{x to infty} frac{x(1-frac{1}{x^2})}{(1+frac{1}{x})} = $$

Используя определение из примера 2 и подставляя в место х бесконечность получаем:

$$ = frac{infty(1-frac{1}{infty})}{(1+frac{1}{infty})} = frac{infty cdot 1}{1+0} = frac{infty}{1} = infty $$

Ответ

$$ lim limits_{x to infty} frac{x^2-1}{x+1} = infty $$

Пример 6

$$ lim limits_{x to infty}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} $$

Решение

$$ lim limits_{x to infty}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = frac{infty}{infty} $$

Чтобы устранить такую неопределенность нужно вынести за скобки икс в числителе и в знаменателе, далее их сократить. В полученное выражение подставить икс равное бесконечности. Пробуем…

$$ lim limits_{x to infty}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = frac{infty}{infty} = $$

$$ lim limits_{x to infty}frac{x^2(1-frac{4}{x^2})}{x^2(1-frac{4}{x}+frac{4}{x^2})} = $$

$$ lim limits_{x to infty}frac{1-frac{4}{x^2}}{1-frac{4}{x}+frac{4}{x^2}} = frac{1}{1} = 1 $$

Ответ

$$ lim limits_{x to infty}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = 1 $$

Алгоритм вычисления лимитов

Итак, давайте кратко подведем итог разобранным примерам и составим алгоритм решения пределов:

Подставить точку х в выражение, следующее после знака предела. Если получается определенное число, либо бесконечность, то предел решен полностью. В противном случае имеем неопределенность: «ноль делить на ноль» или «бесконечность делить на бесконечность» и переходим к следующим пунктам инструкции.
Чтобы устранить неопределенность «ноль делить на ноль» нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Сократить подобные. Подставить точку х в выражение, стоящее под знаком предела.
Если неопределенность «бесконечность делить на бесконечность», тогда выносим и в числителе, и в знаменателе x наибольшей степени. Сокращаем иксы. Подставляем значения икса из под предела в оставшееся выражение.

В этой статье Вы ознакомились с основами решения пределов, часто используемых в курсе Математического анализа. Конечно же это не все типы задач, предлагающихся экзаменаторами, а только простейшие пределы. В следующих статьях поговорим о других типах заданий, но сперва необходимо усвоить этот урок, чтобы двигаться далее. Обсудим, что делать, если есть корни, степени, изучим бесконечно малые эквивалентные функции, замечательные пределы, правило Лопиталя.

Если у Вас не получается самостоятельно решить пределы, то не паникуйте. Мы всегда рады помочь!

Источник

Теория пределов – раздел математического анализа. Наряду с системами линейных уравнений и диффурами пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.

В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Понятие предела в математике

Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции , так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала — самое общее определение предела:

Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a, то a – предел этой величины.

Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A, к которому стремится функция при х, стремящемся к определенной точке а. Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Звучит громоздко, но записывается очень просто:

Lim — от английского limit — предел.

Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.

Приведем конкретный пример. Задача — найти предел.

Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:

Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами, читайте отдельную статью на эту тему.

В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:

Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.

Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х. Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность. Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!

Неопределенности в пределах

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность

Пусть есть предел:

Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?

Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:

Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Еще один вид неопределенностей: 0/0

В таких случаях рекомендуется раскладывать числитель и знаменатель на множители. Но давайте посмотрим на конкретный пример. Нужно вычислить предел:

Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:

Сократим и получим:

Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.

Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:

Правило Лопиталя в пределах

Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?

Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.

Наглядно правило Лопиталя выглядит так:

Важный момент: предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.

А теперь – реальный пример:

Налицо типичная неопределенность 0/0. Возьмем производные от числителя и знаменателя:

Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.

Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос «как решать пределы в высшей математике». Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.

Источник

Простое объяснение принципов решения пределов 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения пределов

Пределом называется значение функции, вычисленное в точке к которой стремиться независимый аргумент.

Нужна помощь в написании работы?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать работу

Примеры решений пределов

Задача

Найти предел:

$[lim_{x to 3}(x^{2} - 7x + 4).]$

Решение

Заменим в выражении $x^{2} - 7x + 4$ аргумент его предельным значением:

$[lim_{x to 3}(x^{2} - 7x + 4) = 3^{2} - tcdot 3 + 4 = -8]$

Ответ

$[lim_{x to 3}(x^{2} - 7x + 4) = -8]$

Задача

Найти предел:

$[lim_{x to 2}(2x^{3} - 7x^{2} + 4x + 2)]$

Решение

Заменим в выражении $2x^{3} - 7x^{2} + 4x + 2$ аргумент его предельным значением:

$[lim_{x to 2}(2x^{3} - 7x^{2} + 4x + 2) = 2cdot 2^{3} - 7cdot 2^{2} + 4cdot 2 + 2 = -2]$

Ответ

$[lim_{x to 2}(2x^{3} - 7x^{2} + 4x + 2) = -2]$

Задача

Найти предел:

$[lim_{x to 4}(frac{1}{2}x^{3} - x + 2)]$

Решение

Заменим в выражении $frac{1}{2}x^{3} - x + 2$ аргумент его предельным значением:

$[lim_{x to 4}(frac{1}{2}x^{3} - x + 2) = frac{1}{2}cdot 4^{3} - 4 + 2 = 30]$

Ответ

$[lim_{x to 4}(frac{1}{2}x^{3} - x + 2) = 30]$

Задача

Найти предел:

$[lim_{x to 3}frac{x^{2} + x + 2}{x^{2} + 2x + 8}]$

Решение

Проверяем, не обращается ли в нуль знаменатель дробно-рациональной функции при предельном значении аргумента. Для этого подставим значение в $x^{2} + 2x + 8$

$3^{2} + 2cdot 3 + 8 = 23 neq 0$

Вычисляем передел:

$[lim_{x to 3}frac{x^{2} + x + 2}{x^{2} + 2x + 8} = frac{3^{2} + 3 + 2}{3^{2} + 2cdot 3 + 8} = frac{14}{23}]$

Ответ

$[lim_{x to 3}frac{x^{2} + x + 2}{x^{2} + 2x + 8} = frac{14}{23}]$

Задача

Найти предел:

$[lim_{x to 1}frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{3} + x + 4}]$

Решение

Проверяем, не обращается ли в нуль знаменатель дробно-рациональной функции при предельном значении аргумента. Для этого подставим значение в $x^{3} + x + 4$

$1^{3} + 1 + 4 = 6 neq 0$

Вычисляем предел:

$[lim_{x to 1}frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{3} + x + 4} = frac{1^{2} -3cdot 1 + 2}{1^{3} + 1 + 4} = frac{0}{6} = 0]$

Ответ

$[lim_{x to 1}frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{3} + x + 4} = 0]$

Задача

Найти предел:

$[lim_{x to -1}frac{x^{2} - x + 1}{2x^{3} - x^{2} + x + 2}]$

Решение

Проверяем, не обращается ли в нуль знаменатель дробно-рациональной функции при предельном значении аргумента. Для этого подставим значение в $2x^{3} - x^{2} + x + 2$

$2cdot(-1)^{3} - (-1)^{2} - 1 + 2 = -2 neq 0$

Вычисляем предел:

$[lim_{x to -1}frac{x^{2} - x + 1}{2x^{3} - x^{2} + x + 2} = frac{(-1)^{2} - (-1) + 1}{2cdot(-1)^{3} - (-1)^{2} - 1 + 2} = frac{3}{-2} = -frac{3}{2}]$

Ответ

$[lim_{x to -1}frac{x^{2} - x + 1}{2x^{3} - x^{2} + x + 2} = -frac{3}{2}]$

Задача

Найти предел:

$[lim_{x to 2}frac{x^{3} - 8}{x - 2}]$

Решение

В данном примере знаменатель обращается в нуль при предельном значении аргумента

Преобразуем выражение

$[frac{x^{3} - 8}{x - 2}]$

$[lim_{x to 2}frac{x^{3} - 8}{x - 2} = lim_{x to 2}frac{(x - 2)(x^{2} + 2x + 4)}{x - 2} =]$

$[lim_{x to 2}(x^{2} + 2x + 4) = 2^{2} + 2cdot 2 + 4 = 12]$

Ответ

$[lim_{x to 2}frac{x^{3} - 8}{x - 2} = 12]$

Задача

Найти предел:

$[lim_{x to -1}frac{1 + sqrt[7]{x}}{1 + sqrt[5]{x}}]$

Решение

При числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. Для решения задачи необходимо сделать подстановку $x = y^{35}.$ Число является наименьшим общим кратным показателей корней.

$x = y^{35}, sqrt[7]{x} = y^{5}, sqrt[5]{x} = y^{7}$

$[frac{1 + sqrt[7]{x}}{1 + sqrt[5]{x}} = frac{1 + y^{5}}{1 + y^{7}}, y rightarrow -1 при x rightarrow -1]$

$[lim_{x to -1}frac{1 + sqrt[7]{x}}{1 + sqrt[5]{x}} = lim_{y to -1}frac{1 + y^{5}}{1 + y^{7}}]$

Разделим числитель и знаменатель дроби

$[frac{1 + y^{5}}{1 + y^{7}}]$

на

В итоге получим:

$[lim_{y to -1}frac{1 + y^{5}}{1 + y^{7}} = frac{5}{7}]$

Ответ

$[lim_{x to -1}frac{1 + sqrt[7]{x}}{1 + sqrt[5]{x}} = frac{5}{7}]$

Задача

Найти предел:

$[lim_{x to 3}frac{2x - 5}{x^{2} - 7x + 12}]$

Решение

При знаменатель дроби $x^{2} - 7x + 12$ обращается в нуль, поэтому вычислить непосредственно предел нельзя.

Рассмотрим обратную дробь

$[frac{x^{2} - 7x + 12}{2x - 5}]$

и её предел при

$[lim_{x to 3}frac{x^{2} - 7x + 12}{2x - 5} = frac{3^{2} - 7cdot 3 + 12}{2cdot 3 - 5} = frac{0}{1} = 0]$

Т.к.

$[lim_{x to 3}frac{x^{2} - 7x + 12}{2x - 5} = 0]$

, то при функция $frac{x^{2} - 7x + 12}{2x - 5}$ является бесконечно малой, поэтому $frac{2x - 5}{x^{2} - 7x + 12}$ при является бесконечно большой, а

$[lim_{x to 3}frac{2x - 5}{x^{2} - 7x + 12} = infty]$

Ответ

$[lim_{x to 3}frac{2x - 5}{x^{2} - 7x + 12} = infty]$

Задача

Найти предел:

$[lim_{x to infty}frac{2x^{3} + x^{2} + 5}{3x^{3} + x - 1}]$

Решение

Разделим числитель и знаменатель дроби на $x^{3}$ – высшую степень , встречающуюся в дроби

$[frac{2x^{3} + x^{2} + 5}{3x^{3} + x - 1}]$

$[lim_{x to infty}frac{2x^{3} + x^{2} + 5}{3x^{3} + x - 1} = lim_{x to infty}frac{2 + frac{1}{x} + frac{5}{x^{3}}}{3 + frac{1}{x^{2}} - frac{1}{x^{3}}} = frac{lim_{x to infty}(2 + frac{1}{x} + frac{5}{x^{3}})}{lim_{x to infty}(3 + frac{1}{x^{2}} - frac{1}{x^{3}})}]$

При $frac{1}{x} rightarrow 0,$ поэтому

$[frac{lim_{x to infty}(2 + frac{1}{x} + frac{5}{x^{3}})}{lim_{x to infty}(3 + frac{1}{x^{2}} - frac{1}{x^{3}})} = frac{lim_{x to infty}2 + lim_{x to infty}frac{1}{x} + lim_{x to infty}frac{5}{x^{3}}}{lim_{x to infty}3 + lim_{x to infty}frac{1}{x^{2}} - lim_{x to infty}frac{1}{x^{3}}} = frac{2}{3}]$

Ответ

$[lim_{x to infty}frac{2x^{3} + x^{2} + 5}{3x^{3} + x - 1} = frac{2}{3}]$

Источник

Пределы
функций. Примеры решений.

Теория пределов – это один из разделов математического анализа.
Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют
десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и
хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки
попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто
встречаются на практике.

Итак,
что же такое предел?

Любой
предел состоит из трех частей:

1) Всем
известного значка предела .
2) Записи под значком предела, в данном случае .
Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно ,
хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических
заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также
бесконечность ().
3) Функции под знаком предела, в данном случае .

Сама
запись читается
так: «предел функции при
икс стремящемся к единице».

Разберем
следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к
единице»? И что вообще такое «стремится»?
Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое.
Построим последовательность: сначала ,
затем , ,
…, ,
….
То есть выражение «икс стремится к единице» следует понимать
так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно
близко приближаются к единице и практически с ней совпадают.

Как
решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто
подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:

Готово.

Итак,
первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся
подставить число в функцию.

Мы
рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не
так уж редко!

Пример
с бесконечностью:

Разбираемся,
что такое ?
Это тот случай, когда неограниченно
возрастает, то есть: сначала ,
потом ,
потом ,
затем и
так далее до бесконечности.

А что
в это время происходит с функцией ?
, , , …

Итак:
если ,
то функция стремится
к минус бесконечности:

Грубо
говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в
функцию бесконечность
и получаем ответ.

Еще
один пример с бесконечностью:

Опять
начинаем увеличивать до
бесконечности, и смотрим на поведение функции:

Вывод:
при функция неограниченно
возрастает:

И еще
серия примеров:

Пожалуйста,
попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните
простейшие виды пределов:

, , , , , , , , ,
Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного
потренироваться.
В том случае, если ,
попробуйте построить последовательность , , .
Если , то
, , .

Примечание:
строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел
некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет.

Также
обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом
вверху, да хоть с миллионом: , то
все равно , так
как рано или поздно «икс» примет такие гигантские значения, что миллион по
сравнению с ними будет самым настоящим микробом.

Что
нужно запомнить и понять из вышесказанного?

1)
Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

2) Вы
должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как , , и
т.д.

Пределы
с неопределенностью вида и
метод их решения

Сейчас
мы рассмотрим группу пределов, когда ,
а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся
многочлены

Пример:

Вычислить
предел

Согласно
нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас
получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность.
Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида .
Можно было бы подумать, что , и
ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый
прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.

Как
решать пределы данного типа?

Сначала
мы смотрим на числитель и находим в
старшей степени:

Старшая степень в числителе равна двум.

Теперь
смотрим на знаменатель и тоже находим в
старшей степени:

Старшая степень знаменателя равна двум.

Затем
мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они
совпадают и равны двойке.

Итак,
метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть
неопределенность необходимо
разделить числитель и знаменатель на в
старшей степени.

Разделим числитель и знаменатель на

Вот
оно как, ответ , а
вовсе не бесконечность.

Что
принципиально важно в оформлении решения?

Во-первых,
указываем неопределенность, если она есть.

Во-вторых,
желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую
знак , он
не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано
для промежуточного объяснения.

В-третьих,
в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется
от руки, удобнее это сделать так:

Для пометок лучше использовать простой карандаш.

Конечно,
можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметит
недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А
оно Вам надо?

Пример
2

Найти
предел
Снова в числителе и знаменателе находим в
старшей степени:

Максимальная степень в числителе: 3
Максимальная степень в знаменателе: 4
Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку.
Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности делим
числитель и знаменатель на .
Полное оформление задания может выглядеть так:

Разделим
числитель и знаменатель на

Пример
3

Найти
предел
Максимальная степень «икса» в числителе: 2
Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 ( можно
записать как )
Для раскрытия неопределенности необходимо
разделить числитель и знаменатель на .
Чистовой вариант решения может выглядеть так:

Разделим
числитель и знаменатель на

Под
записью подразумевается
не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое
число.

Таким
образом, при раскрытии неопределенности вида у
нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.

Пределы
с неопределенностью вида и
метод их решения

Следующая
группа пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе
и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности,
а к конечному числу.

Пример
4

Решить
предел
Сначала попробуем подставить -1 в дробь:

В данном случае получена так называемая неопределенность .

Общее
правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности
вида ,
то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на
множители.

Для
этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы
сокращенного умножения.

Итак,
решаем наш предел

Разложим
числитель и знаменатель на множители

Для
того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:

Сначала находим дискриминант:

И квадратный корень из него: .

Далее
находим корни:

Таким
образом:

Всё.
Числитель на множители разложен.

Знаменатель.
Знаменатель уже
является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.

Очевидно,
что можно сократить на :

Теперь
и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:

Естественно,
в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не
расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так:

Разложим
числитель на множители.

Пример
5

Вычислить
предел

Сначала
«чистовой» вариант решения

Разложим
числитель и знаменатель на множители.

Числитель:
Знаменатель:

,

Что
важного в данном примере?
Во-первых, Вы должны хорошо понимать, как раскрыт числитель, сначала мы вынесли
за скобку 2, а затем использовали формулу разности квадратов. Уж эту-то формулу
нужно знать и видеть.

Рекомендация: Если
в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда
это делаем.
Более того, такие числа целесообразно выносить за значок предела. Зачем?
Да просто чтобы они не мешались под ногами. Главное, потом эти числа не
потерять по ходу решения.

Обратите
внимание, что на заключительном этапе решения я вынес за значок предела двойку,
а затем – минус.

!
Важно
В ходе решения фрагмент типа встречается
очень часто. Сокращать такую дробь нельзя. Сначала нужно поменять
знак у числителя или у знаменателя (вынести -1 за скобки).
, то
есть появляется знак «минус», который при вычислении предела учитывается и
терять его совсем не нужно.

Метод
умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение

Продолжаем
рассматривать неопределенность вида

Следующий
тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, помимо многочленов, у нас
добавятся корни.

Пример
6

Найти
предел

Начинаем
решать.

Сначала
пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела
Еще раз повторяю – это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела.
Данное действие обычно проводится мысленно или на черновике.

Получена
неопределенность вида ,
которую нужно устранять.

Как
Вы, наверное, заметили, у нас в числителе находится разность корней. А от
корней в математике принято, по-возможности, избавляться. Зачем? А без них
жизнь проще.

Когда
в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус
какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности используют метод
умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.

Вспоминаем
нашу нетленную формулу разности квадратов:
И смотрим на наш предел:
Что можно сказать? у
нас в числителе уже есть. Теперь для применения формулы осталось
организовать (которое
и называется сопряженным выражением).

Умножаем
числитель на сопряженное выражение:

Обратите
внимание, что под корнями при этой операции мы ничего не трогаем.

Хорошо, мы
организовали, но выражение-то под знаком предела изменилось! А для того, чтобы
оно не менялось, нужно его разделить на то же самое, т.е. на :

То
есть, мы умножили числитель и знаменатель на сопряженное выражение.
В известной степени, это искусственный прием.

Умножили.
Теперь самое время применить вверху формулу :

Неопределенность не
пропала (попробуйте подставить тройку), да и корни тоже не исчезли. Но с суммой корней
всё значительно проще, ее можно превратить в постоянное число. Как это сделать?
Да просто подставить тройку под корни:

Число,
как уже отмечалось ранее, лучше вынести за значок предела.

Теперь
осталось разложить числитель и знаменатель на множители и сократить
«виновников» неопределённости, ну а предел константы – равен самой константе:

Готово.

Как
должно выглядеть решение данного примера в чистовом варианте?
Примерно так:

Умножим
числитель и знаменатель на сопряженное выражение.

Пример
7

Найти
предел

Сначала
попробуйте решить его самостоятельно.

Окончательное
решение примера может выглядеть так:

Разложим
числитель на множители:

Умножим
числитель и знаменатель на сопряженное выражение

Простейшие
виды пределов:

, , , , , , , , , , , ,

Правило 1: для того, чтобы
раскрыть неопределенность необходимо
разделить числитель и знаменатель на в
старшей степени.

Пример 1.

Разделим числитель и знаменатель на

Пример 2.

Разделим числитель и
знаменатель на

Пример 3.

Разделим числитель и
знаменатель на

Правило 2: если в числителе и
знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида ,
то для ее раскрытия нужно разложить числитель и
знаменатель на множители.

Пример 1.

Разложим числитель на
множители.

Пример 2.

Разложим числитель и
знаменатель на множители.

Числитель:
Знаменатель:

,

Правило 3: когда в числителе
(знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число),
то для раскрытия неопределенности используют метод
умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.

Пример 3.

Умножим числитель и
знаменатель на сопряженное выражение.

Источник