Как найти преломляющий угол призмы - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

3.1. Определение показателя преломления веществ по углу наименьшего отклонения

Рассмотрим метод
определения показателя преломления,
применимый для прозрачных веществ.
Метод состоит в измерении угла отклонения
лучей при прохождении света через
призму, изготовленную из исследуемого
материала. На призму направляется
параллельный пучок лучей, поэтому
достаточно рассмотреть ход одного из
них (S₁)
в плоскости, перпендикулярной линии
пересечения
луча преломляющих
граней призмы (рис.6).

Рис.6.
S₁─направление
луча, падающего на призму,

S₂─
направление луча, вышедшего из призмы,

А₁─направление
нормали к грани, на которую падает луч
S₁,

А₂─
направление нормали к грани, из которой
выходит луч S₂,

i₁,
i₂
— углы падения,

r₁,
r₂
— углы преломления на границах раздела
АС и АВ
соответственно,

φ
— преломляющий угол призмы,

δ
— угол отклонения выходящего из призмы
луча относительно первоначального
направления.

Ход луча через
призму рассчитывается на основании
законов преломления света. При преломлении
на первой грани призмы
АС получим

(12)

где n
– показатель преломления материала
призмы для данной длины волны света.

Для грани АВ
закон преломления запишется как

.
(13)

Соотношения 12 и 13
позволяют найти выражения для определения
n.
Однако экспериментально определить
углы r₁и i₁ достаточно
сложно. На практике удобнее измерить
угол отклонения луча призмой δ
и преломляющий
угол призмы φ.

Получим формулу
для определения показателя преломления
n
через углы
δ и φ.

Сначала воспользуемся
известной в геометрии теоремой, что
внешний угол треугольника равен сумме
внутренних углов, не смежных с ним.
Тогда из треугольника EDF
получим

φ= r₁+i₂_.
(14)

Из треугольника
EHF
и, используя (14), получим:

δ=(i₁–
r₁)+(r₂–
i₂)=
i₁+r₂–(r₁+
i₂)=
i₁+r₂+
φ.
(15)

Затем выразим угол
δ
через угол r₁
, используя законы преломления (12), (13) и
(14), и определим условия минимальности
δ:

i₁
= arcsin(n sin r₁);

r₂=arcsin(n
sin i₂)
= arcsin(n sin (φ-
r₁));

δ=arcsin(n
sin r₁)
+arcsin(n sin (φ-
r₁)).

Зависимость δ
от r₁
имеет минимум, условие которого можно
найти, приравняв производную δ
от r₁
нулю:

(16)

Выражение (16)
выполняется, если r₁=
φ
— r_1.
В соответствии
с (14) имеем φ
— r₁=
i₂,
поэтому
r₁
= i₂.
Тогда из
законов преломления (12) и (13) следует,
что углы i₁,
r₂
также должны
быть равны:
i₁=r₂.
Принимая во внимание (14) и (15), получим:

φ
= 2r₁;
δ_min=2i₁
– φ.

C
учетом
этих равенств окончательно получим:

и
.

Следовательно, при
наименьшем
угле отклонения луча призмой δ_min
показатель преломления вещества призмы
может быть определен по формуле

.
(17)

Таким образом,
определение показателя преломления
вещества сводится к измерению преломляющего
угла призмы
и угла
наименьшего отклонения
лучей.

Угол наименьшего
отклонения δ
образован
двумя направлениями: направлением луча,
падающего на призму S₁
и направлением луча, вышедшего из призмы
S₂.
Если источник излучения не является
монохроматическим, то из-за дисперсии
вещества призмы направление преломленного
луча ЕF,
а, следовательно, и направление вышедшего
луча S₂
будут
различными для разных длин волн, т.е.
S₂=f(λ).
Это приводит к тому, что δ
и n для
разных λ,
будут
различными.

Преломляющий угол
призмы φ
образован гранью призмы СА,
на которую падает луч и гранью АВ,
из которой выходит излучение, или
перпендикулярами к этим граням А₁
и А₂
соответственно.

Источником излучения
в работе служит ртутная лампа.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Геометрическая оптика: призмы

В этой статье решаем задачи с призмами. Будем применять закон преломления Снеллиуса, а также геометрические знания.

Задача 1.

Монохроматический луч падает нормально на боковую поверхность призмы, преломляющий угол которой равен . Показатель преломления материала призмы для этого луча равен 1,5. Найдите угол отклонения луча, выходящего из призмы, от первоначального направления.

Так как луч падает нормально на поверхность призмы, то не преломляется на этой поверхности. На вторую же боковую грань он упадет под некоторым углом, и преломится на ней.

К задаче 1

В треугольнике (прямоугольном) угол по условию, поэтому второй острый угол равен . Поэтому угол падения луча на вторую грань равен . Зная показатель преломления, можно найти угол преломления. Нужный нам угол — разность угла преломления и угла падения луча.

По закону преломления

Ответ: .
Задача 2. Луч света входит в стеклянную призму под углом и выходит из призмы в воздух под углом , причем, пройдя призму, отклоняется от первоначального направления на угол . Найдите преломляющий угол призмы.

К задаче 2

Рассмотрим рисунок. Угол , смежный с данным углом отклонения луча, равен . В четырехугольнике угол равен , как вертикальный с углом падения, а угол равен как вертикальный с углом преломления. Так как сумма углов четырехугольника равна , то угол равен:

Теперь рассмотрим четырехугольник . В нем два угла прямых, поэтому преломляющий угол призмы равен:

Ответ: .

Задача 3.

Световой луч падает по нормали на боковую грань прямой стеклянной призмы, поперечное сечение которой – равнобедренный треугольник, . Показатель преломления материала призмы для этого луча равен 1,5. Определите угол между падающим и вышедшим из призмы лучами.

Рассмотрим два случая падения луча.

К задаче 3

В первом случае ход луча показан рыжим цветом. На боковой грани призмы луч не преломится, так как падает на нее нормально. Найдем угол падения луча на нижнюю поверхность призмы. Угол призмы равен — так как треугольник равнобедренный. Тогда в треугольнике угол . А угол падения луча равен . Для данного показателя преломления предельный угол полного отражения равен

То есть луч не преломится, а отразится от нижней грани призмы. Угол отражения также равен , и, следовательно, угол . Следовательно, треугольник подобен и тоже является прямоугольным. Следовательно, на второй боковой грани призмы луч тоже не преломится, и выйдет под углом по отношению к падающему (угол , искомый – смежный с ним).

Ответ: .

Теперь рассмотрим второй случай падения луча.

К задаче 3

Снова на первой боковой грани не произойдет преломления. На вторую боковую грань луч упадет под углом , что тоже превышает предельный угол полного отражения, и далее луч попадет на нижнюю грань призмы, падая на нее под углом . В треугольнике угол , угол . Определим угол :

Определим угол :

Определим угол отклонения луча: в треугольнике угол , угол , следовательно, искомый угол

Ответ: .

Задача 4.

Тонкий световой луч падает на боковую грань стеклянной призмы из воздуха под углом . Угол между боковыми гранями призмы равен . Показатель преломления воздуха равен 1, а стекла 1,41. Определите угол смещения луча от первоначального направления .

К задаче 4

Определим угол преломления .

Рассмотрим четырехугольник . В нем два угла – прямые, преломляющий угол призмы — , тогда угол (это следует из суммы углов четырехугольника). Следовательно, из суммы углов треугольника можем определить угол в одноименном треугольнике:

Найденный нами угол – не что иное, как угол падения луча на вторую грань призмы. Тогда данный луч выйдет из призмы, не преломившись, так как падает перпендикулярно границе раздела.

Тогда искомый угол — угол — равен разности угла и угла преломления , то есть .

Ответ: .

Источник

Ход лучей в призме

Монохроматический свет падает на грань АВ стеклянной призмы (рис. 16.28), находящейся в воздухе, S₁O₁ — падающий луч, (~alpha_1) — угол падения, O₁O₂ — преломленный луч, (~beta_1) — угол преломления. Так как свет переходит из среды оптически менее плотной в оптически более плотную, то (~beta_1<alpha_1.) Пройдя через призму, свет падает на ее грань АС. Здесь он снова преломляется[~alpha_2] — угол падения, (~beta_2) — угол преломления. На данной грани свет переходит из среды оптически более плотной в оптически менее плотную. поэтому (~beta_2>alpha_2.)

Грани ВА и СА, на которых происходит преломление света, называются преломляющими гранями. Угол (varphi) между преломляющими гранями называется преломляющим углом призмы. Угол (~delta), образованный направлением луча, входящего в призму, и направлением луча, выходящего из нее, называют углом отклонения. Грань, лежащая против преломляющего угла, называется основанием призмы.

Для призмы справедливы следующие соотношения:

1) Для первой преломляющей грани закон преломления света запишется так:

(frac{sin alpha_1}{sin beta_1}=n,)

где n — относительный показатель преломления вещества, из которого сделана призма.

2) Для второй грани:

(frac{sin alpha_1}{sin beta_1}=frac{1}{n}.)

3) Преломляющий угол призмы:

(varphi=alpha_2 + beta_1.)

Угол отклонения луча призмы от первоначального направления:

(delta = alpha_1 + beta_2 — varphi.)

Следовательно, если оптическая плотность вещества призмы больше, чем окружающей среды, то луч света, проходящий через призму, отклоняется к ее основанию. Несложно показать, что если оптическая плотность вещества призмы меньше, чем окружающей среды, то луч света после прохождения через призму отклонится к ее вершине.

Литература

Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. — Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. — С. 469-470.

Источник

Пусть луч

падает на одну из гранен призмы. Преломившись в точке

, луч пойдет по направлению

и, вторично преломившись в точке

, выйдет из призмы в воздух (рис. 189). Найдем угол

, на который луч, пройдя через призму, отклонится от первоначального направления. Этот угол мы будем называть углом отклонения. Угол между преломляющими гранями, называемый преломляющим углом призмы, обозначим

.

Рис. 189. Преломление в призме

Из четырехугольника

, в котором углы при

и

прямые, найдем, что угол

равен

. Пользуясь этим, из четырехугольника

находим

Отсюда

. (86.1)

Угол

, как внешний угол в треугольнике

, равен

, (86.2)

где

— угол преломления в точке

, а

— угол падения в точке

луча, выходящего из призмы. Далее, пользуясь законом преломления, имеем

, (86.3)

. (86.4)

С помощью полученных уравнений, зная преломляющий угол призмы

и показатель преломления

, мы можем при любом угле падения

вычислить угол отклонения

.

Особенно простую форму получает выражение для угла отклонения в том случае, когда преломляющий угол призмы

мал, т. е. призма тонкая, а угол падения

невелик; тогда угол

также мал. Заменяя приближенно в формулах (86.3) и (86.4) синусы углов самими углами (в радианах), имеем

Подставляя эти выражения в формулу (86.1) и пользуясь (86.2), находим

. (86.5)

Этой формулой, справедливой для тонкой призмы при падении на нее лучей под небольшим углом, мы воспользуемся в дальнейшем.

Обратим внимание, что угол отклонения луча в призме зависит от показателя преломления вещества, из которого сделана призма. Как мы указывали выше, показатель преломления для разных цветов света различен (дисперсия). Для прозрачных тел показатель преломления фиолетовых лучей наибольший, затем следуют лучи синие, голубые, зеленые, желтые, оранжевые, и, наконец, красные, которые имеют наименьший показатель преломления. В соответствии с этим угол отклонения

для фиолетовых лучей наибольший, для красных — наименьший, и луч белого цвета, падающий на призму, по выходе из нее окажется разложенным на ряд цветных лучей (рис. 190 и рис. I на цветном форзаце), т. е. образуется спектр лучей.

Рис. 190. Разложение белого света при преломлении в призме. Падающий пучок белого света изображен в виде фронта с перпендикулярным к нему направлением распространения волны. Для преломленных пучков показана только направления распространения волн

18.
Поместив экран позади куска картона, в котором проделано маленькое отверстие, можно получить на этом экране изображение источники. При каких условиях изображение на экране будет отчетливое? Объясните, почему изображение получается перевернутым?

19.
Докажите, что пучок параллельных лучей остается таким же после отражения от плоского зеркала

Рис. 191. К упражнению 27. Если чашка пустая, глаз не видит монеты (а), если же чашка наполнена водой, то монета видна (б). Палка, погруженная одним концом в воду, кажется сломанной (в). Мираж в пустыне (г). Как рыба видит дерево и ныряльщика (д)

20.
Чему равен угол падения луча, если луч падающий и луч отраженны» образуют угол

?

21.
Чему равен угол падения луча, если луч отраженный и луч преломленный образуют угол

? Показатель преломления второй среды относительно первой равен

.

22.
Докажете обратимость направления световых лучей для случая отражения света.

23.
Можно ли придумать такую систему зеркал и призм (линз) через которую один наблюдатель видел бы второго наблюдателя, а второй наблюдатель не видел бы первого?

24.
Показатель преломления стекла относительно воды равен 1,182: показатель преломления глицерина относительно воды равен 1.105. Найдите показатель преломления стекла относительно глицерина.

25.
Найдите предельный угол полного внутреннего отражения для алмаза на границе с водой.

26.
найдите смещение луча при прохождении его через плоскопараллельную пластинку из стекла с показателем преломления, равным 1,55, если угол падения

, а толщина пластинки равна

27.
Пользуясь законами преломления и отражения, объясните явления, показанные на рис. 191

Источник

В курсе школьной физики изучаются две преломляющие системы:

плоскопараллельная пластинка
призма

Плоскопараллельной пластинкой называется оптически прозрачная система (параллелепипед с двумя параллельными гранями). Расстояние между этими двумя плоскостями достаточно мало (рис. 1).

Рис. 1. Плоскопараллельная пластинка

Пусть дана плоскопараллельная пластинка шириной и точечный источник $displaystyle {{n}_{2}}$ , из материала с показателем преломления $displaystyle {{n}_{1}}$ . Данная плоскопараллельная пластинка помещена в среду с показателем преломления $displaystyle {{alpha }_{1}}$ . От источника под углом $displaystyle {{alpha }_{1}}$ к вертикали падает луч света (на границу раздела сред 1/2). В точке А происходит преломление луча. Далее луч, распространяющийся внутри пластины, падает на вторую границу раздела (в данном случае, 2/1). В точке В также происходит преломление, и луч выходит из системы. Проанализируем ход луча:

преломление в точке А можно описать законом Снеллиуса:

$displaystyle {{n}_{1}}sin {{alpha }_{1}}={{n}_{2}}sin {{alpha }_{2}}$ (1)

за счёт параллельных граней пластинки, в точку В луч падает под тем же углом $displaystyle {{alpha }_{2}}$ (накрест лежащие углы)
преломление в точке В также можно описать законом Снеллиуса:

$displaystyle {{n}_{2}}sin {{alpha }_{2}}={{n}_{1}}sin {{alpha }_{3}}$ (2)

Т.е. анализ прохождения луча основывается на законах преломления. Избавимся в соотношениях (1) и (2) от параметров второй среды (пластинки), тогда:

$displaystyle {{n}_{1}}sin {{alpha }_{1}}={{n}_{1}}sin {{alpha }_{3}}$ (3)

Или, сократив:

$displaystyle sin {{alpha }_{1}}=sin {{alpha }_{3}}$ (4)

Из соотношения (4) можно сделать вывод, что $displaystyle {{alpha }_{1}}={{alpha }_{3}}$ , что говорит о том, что луч, проходя плоскопараллельную пластинку, выходит из неё под тем же углом (угол падения на пластинку равен углу выхода из пластинки). Таким образом, плоскопараллельная пластинка не меняет направления распространения луча, а смещает его. Для характеристики смещения луча относительно первоначального направления — displaystyle x (рис. 2).

Призмой называется оптически прозрачная система в форме геометрического тела — призмы, которая имеет плоские полированные грани, через которые входит и выходит свет.

Рис. 2. Призма

Одним из параметров призмы являются преломляющий угол призмы () — угол между гранями на призмы, на одну из которых луч света падает, с другой грани уходит. В основном, задачи на призму касаются угла отклонения луча ( displaystyle alpha ), т.е. угла между падающим лучом (его продолжением) и лучом, выходящим из призмы (его продолжением). Тогда для призмы выведено соотношение:

displaystyle alpha =i+r-varphi (5)

где

Вывод: для оптических систем достаточно прорисовать ход лучей через систему (исходя из законов преломления). А далее, с помощью рисунка, найти необходимые в задаче элементы чаще всего с помощью закона Снеллиуса и геометрических соотношений.

Источник