Как найти преобразующую функцию

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Преобразование графиков функций» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
07.05.2023

Как построить график функции y=f(|x|)y = f(|x|)? По определению модуля:

y = f(|x|) y;=;f(vert xvert);=f(x), при x ≥0,f(-x), при x<0.=left{begin{array}{l}f(x),;mathrm{при};x;geq0,\f(-x),;mathrm{при};x<0.end{array}right.

Поэтому график функции y=f(|x|)y = f(|x|) состоит из двух частей:

y=f(x)y = f(x) – в правой полуплоскости, y=f(−x)y = f(−x) – в левой полуплоскости. Это означает, что можно сформулировать такое правило:

для построения графика y=f(|x|)y = f(|x|) нужно сохранить часть графика y=f(x)y = f(x)  при x≥0x ≥ 0 (т. е. на оси ординат и справа от неё), а также симметрично отразить эту часть относительно оси `Оy`; часть графика y=f(x)y = f(x) при x<0x < 0 (т. е. слева от оси ординат) при этом нужно стереть.

Как построить график функции y=|f(x)|y =|f(x)|? По определению модуля:

y = |f(x)| y;=;vert f(x)vert;=f(x), при f(x) ≥0,-f(x), при f(x)<0.=left{begin{array}{l}f(x),;mathrm{при};f(x);geq0,\-f(x),;mathrm{при};f(x)<0.end{array}right.

Поэтому можно сформулировать такое правило:

для построения графика функции y=|f(x)|y = |f(x)| нужно сохранить часть графика y=f(x)y = f(x), лежащую выше оси `Ox`, а часть графика, лежащую ниже оси `Ox`, симметрично отразить относительно этой оси.

Отметим, что для построения графика функции y=|f(|x|)|y = |f(|x|)| нужно последовательно провести преобразования ПР1 и ПР2 (в любом порядке).

Как построить множество точек `(x, y)` таких, что |y|=f(x)|y| = f(x)?

Сразу видно, что на новом графике не должно быть точек, для которых f(x)<0f(x) < 0. Поэтому нужно стереть часть графика функции y=f(x)y = f(x), лежащую ниже оси абсцисс. Если же f(x)≥0f(x) ≥ 0, то y=±f(x)y = ± f(x) и на новом графике каждому такому значению xx должно соответствовать две точки, симметричные относительно оси OxOx (если f(x)≥0f(x) ≥ 0, то точка одна).

Это означает, что часть графика функции y=f(x)y = f(x), лежащую выше оси абсцисс, нужно сохранить и симметрично отразить относительно оси OxOx.

Переход от графика y=f(x)y = f (x) к графику y=af(x)y = af(x), где a≠1a ≠ 1.

Если aa – положительное число, то имеем два возможных случая:

а) a>1a > 1. В данном случае рассматриваемый переход является растяжением графика от оси абсцисс в `a` раз. Покажем на примере линейной функции y=xy = x (рис. 20). Положим a=2a = 2 и получим график функции y=2xy = 2x посредством растяжения имеющегося графика в два раза от оси абсцисс (рис. 21).

б) 0<a<10 < a < 1. В данном случае рассматриваемый переход является сжатием графика к оси ординат в 1/a1/a раз. Пусть имеется линейная функция y=xy = x. Если a=0,5a = 0,5, то получим график функции y=0,5xy = 0,5x посредством сжатия имеющегося графика в 1/a=21/a = 2 раза к оси абсцисс (рис. 22).

Заметим, что при a<0a < 0 нужно сначала построить график функции y=|a|f(x)y = |a|f(x), а потом симметрично его отобразить относительно оси абсцисс.

В частности, при a=–1a = –1 исходный график отражается относительно `Ox`.

Переход от графика y=f(x)y = f(x) к графику y=f(x)+by = f(x) + b, где b≠0b ≠ 0 – некоторое число. Рассматриваемый переход является параллельным переносом графика вдоль оси ординат на bb единиц. Направление сдвига определяется знаком bb: если b>0b > 0, то график сдвигается вверх, а если b<0b < 0, то вниз.

Переход от графика y=f(x)y = f(x) к графику y=f(x+c)y = f(x + c), где с≠0с ≠ 0 – некоторое число. В этом случае исходный график сдвигается вдоль оси абсцисс на величину |c||c|. Но направление сдвига противоположно знаку числа `c:` если с>0с > 0, то график сдвигается влево, а если с<0с < 0, то вправо.

 Построим ещё такой график y= ||x−1|−2|y =  ||x − 1| − 2|.

Для этого нужно выполнить цепочку таких действий (рис 23).

а) Строим график функции y=x−1y = x − 1.

б)  Выполняем ПР2: часть полученного графика, лежащая над осью OxOx сохраняется; а его часть, лежащая под осью OxOx отображается симметрично относительно оси OxOx.

с) Затем сдвигаем график вдоль оси OyOy на `2` единицы вниз (ПР5).

д) Выполняем ПР2 снова: часть полученного в предыдущем пункте графика, лежащая выше оси OxOx, сохраняется, а часть этого графика, которая лежит ниже оси OxOx, отображается симметрично относительно неё.

При решении задачи мы учли ОДЗ функции, исключив некоторые точки из графика. Такие точки изображаются, например, в виде выколотых точек (пустых не закрашенных кружков).

Содержание

Литература

• Генденштейн. Наглядный справочник по математике с примерами 2009 (с.16) — показаны все преобразования с примерами

• Геометрические преобразования графиков функций, Танатар И.Я., 2012 MЦHMO — подробное изложение, 150 страниц, есть упражнения и ответы.

Пусть C — число, большее нуля (C > 0).

График у = f(x) + C — получается параллельным переносом графика функции у = f(x) на C единиц вверх.

График у = f(x) — C — получается параллельным переносом графика функции у = f(x) на C единиц вниз.

График у = f(x+C) — получается параллельным переносом графика функции у = f(x) на C единиц влево.

График у = f(x-C) — получается параллельным переносом графика функции у = f(x) на C единиц вправо.

График у = -f(x) получается симметрией относительно оси абсцисс

График у = а f(x), где а>0 получается растяжением от оси абсцисс в а раз если а>1 или сжатием графика до оси абсцисс если 0<a<1 (то есть абсциссу не трогать, а ординату каждой точки умножить на коэффициент)

Правила преобразования графиков функций легко запоминаются, но если вы всё же не уверены в результате, проверьте его по одной-двум хорошим точкам. Эти правила, разумеется, общие для всех функций, а не только для тех, которые изучают в школе.

Учебники:
Алгебра 9 класс

Похоже на игру в слова ВОЛК — полк — пола — поза — КОЗА.

При переходе от одной функции к другой может произойти так называемое «изменение по x» и «изменение по y».

При изменении по y новая функция полностью содержит старую.

$$f(x) = x^2; g(x) = x^2+3 = f(x)+3$$

При изменении по x новая функция не содержит старую функцию в исходном виде, а в измененном.
$$f(x) = x^2; g(x) = (x+7)^2$$

Пример. Изменение в данном случае можно рассматривать и x и по y: $g(x)= (5x)^2 = 25 cdot x^2 = 25 cdot f(x)$, но только после преобразования, которое не всегда очевидно.

Пример. $h(x) = 5sqrt{x}$ — растяжение графика $f(x) = sqrt{x}$ по оси Oy в 5 раз. Это значит, что ордината каждой точки графика увеличилась в 5 раз (при той же абсциссе).

Задачи ДПА-9 (2014): 9.1.5, 11.1.4, 14.1.8, 15.1.7, 19.1.4, 26.1.4, 29.1.6, 47.1.7, 49.1.5, 51.1.4, 55.1.7, 59.1.4, 66.1.4, 69.1.6.

Нелин 10 2010. Даны подробные комментарии по каждому типу преобразований

$$y = |f(x)|$$

• При f(x) > 0 — график остаётся без изменений,

• при f(x) < 0 — график симметрично отражается относительно оси абсцисс.

$$y = f(|x|)$$

• При x > 0 — график остаётся без изменений,

• при x < 0 — график симметрично отражается относительно оси ординат.

$$|y| = f(x)$$

• Данная кривая не будет являться функцией. Верхняя часть графика (распoлагается в I и IV координатных четвертях) остается без изменений, а нижняя (находящаяся в II и III четверти) исчезает, вместо нее симметрично оси абсцисс (OX) отображается верхняя часть графика

Когда под модулем только x, то действуем по правилу.

Когда под модулем выражение, то, думаю, надо рассматривать области где подмодульное выражение больше 0 и меньше 0 и строить их отдельно. Аналогично поступать если модулей несколько. В данном случае отдельно построить график для x >= -2 и x < -2.

Мерзляк 10 2018 предлагает преобразовывать, см далее, однако как объяснить ученику последовательность действий — почему в одних случаях сначала берем модуль, а потом двигаем график влево-вправо, а в других случаях — наоборот.

Пример.

Модуль в учебниках считают не самостоятельной функцией (как корень, параболу, гиперболу), а видом преобразования (как паралельный перенос, сжатие-растяжение). Поэтому график функции y=|x| — это не птичка, а прямая, у которой отражена часть в отрицательной полуплоскости.

Кстати, y=|x| можно трактовать и как внутреннее (по x) и как внешнее преобразование (по y). График, разумеется, получается один и тот же.

Генденштейн

Поскольку здесь нет растяжений-сжатий, то почти безразлично в каком порядке выполнять отражения и сдвиги. Но даже в этом примере если параболу сначала отразить по оси x (взять модуль функции), а потом сдвинуть вниз на 1 единицу — то результат будет неверный. Таким образом, сначала нужно выполнить сдвиги, потом отражения.

Генденштейн

Генденштейн

Если нужно скомбинировать только параллельные переносы, чтобы построить график функции, то всё равно в каком порядке их выполнять, и всё равно, что переносить — оси координат или кривые. Но если нужно построить график сложной функции, используя и перенос, и растяжение-сжатие, и отражения, то следует тщательно соблюдать порядок выполнения операций.

К примеру, квадратичная функция $y=- frac{1}{3}(x+frac{2}{3})^2+2$ представляет собой квадратичную параболу $y=x^2$, сжатую втрое относительно оси ординат, симметрично отображенную относительно оси абсцисс, сдвинутую против направления этой оси на 2/3 единицы и сдвинутую по направлению оси ординат на 2 единицы.

При построении графика функции необходимо:

• выделить основную функцию, построив ее график;

• постепенно преобразовывая основной график, соблюдая правила «внешних» и «внутренних» преобразований.

К внешним преобразованиям относятся действия, происходящие со всей функцией. Это y = f(x) + C, y = kf(x). Все изменения происходят со ВСЕЙ функцией, то есть внешне. Движение графика происходит относительно оси ординат (Оy).

Внутренними преобразованиями являются y = f(x+C), y = f(kx). Все преобразования осуществляются внутри функции с ее аргументом. Изменяется сам аргумент функции – ее внутренность. Движение графика происходит относительно оси абсцисс (ОХ).

Основной навык, который вам надо освоить – это отличать внутренние преобразования от внешних.

Пусть задан график функции $y = f(x)$ и нужно построить график функции $y = m·f(kx + l) + n$, где k, l, m, n — числа.

• Записываем формулу функции в виде $y = m·f(k·(x + l/k))$, т.е. выносим за скобки коэффициент при х в аргументе функции.

• Производим сжатие с коэффициентом k вдоль оси Ох к оси Oy. (Если k < 1, то получится растяжение от оси Oy.)

• Если k < 0, то симметрично отображаем график относительно относительно оси Oy.

• Осуществляем параллельный перенос (сдвиг) полученного графика на l/k единиц влево или вправо (в зависимости от знака, для положительного числа влево).

• Производим растяжение с коэффициентом m от оси Oх (вдоль оси Оy). (Если m < 1, то получится сжатие к оси Ox.)

• Если m < 0, то симметрично отображаем график относительно оси Ox.

• Осуществляем параллельный перенос (сдвиг) полученного графика на n единиц вверх или вниз (в зависимости от знака, при n > 0 вверх).

Пример 8. Задан график функции $y = sqrt{x}$. Построить график функции $y = -0.5sqrt{3x — 12} + 2$.

1. Записываем формулу функции в виде $y = -0.5sqrt{3(x — 4)} + 2$

2. Строим известный график функции

3. Производим сжатие в 3 раза к оси Oy

4.  (преобразование симметрии относительно оси Oy не требуется, т.к. k = 3 > 0)

5. Сдвигаем полученный график на 4 единицы вправо.

6. Производим сжатие в 2 раза (растяжение с коэффициентом 0,5) к оси Oх

7. Симметрично отражаем график относительно оси Ox

8. Сдвигаем последний на 2 единицы вверх. Получили требуемый график.

Проверим результат по «удобным» точкам. Например, x1 = 4 и x2 = 16.

Мерзляк Алгебра 2018 профильный

Подробнее

Мерзляк Алгебра 2018 профильный

Подробнее

Мерзляк Алгебра 2018 профильный

Подробнее

1 случай. Прямые в числителе и знаменателе совпадают. Отношение равно 1 (константе)

2 случай. Прямые параллельны, угловые коэффициенты равны, или прямые пересекаются:

https://www.desmos.com/calculator/erywscteks

Алгебраически легко преобразовать отношение $frac {k_1x+b_1}{k_2x+b_2}$ к виду $kleft(frac a {x+b} + 1right)$, что означает сдвиг и сжатие гиперболы.

Прямые как бы не хотят делиться и изгибаются, отталкиваясь друг от друга.

Произведение двух прямых это парабола — прямые объединяются, но не совпадают, ветви смотрят в одну и ту же сторону. Чем больше аргумент, тем на большее расстояние расходятся ветви и захватывают пространство.

Сумма и разность двух прямых — это прямая или 0.

https://www.desmos.com/calculator/vyxo7dxeex

Речь не о корне, а о функции $frac 1 {x^2+bx+c}$

Рассмотрим $1/x^2$. График состоит из двух ветвей. Там где парабола возрастает, там обратная парабола убывает. Вертикальная асимптота в нуле:

По форме ветви графика похожи на ветви обычной гиперболы, но немного иначе изогнуты. Ветви обратной функции находятся в верхней полуплоскости, если ветви параболы смотрят вверх (и в нижней — если вниз).

Опустим параболу вниз, был один ноль, теперь два нуля — и следовательно, две вертикальные асимптоты. Кусочек между асимптотами также переворачивается вверх ногами. Здесь как бы 4 ветви, две из которых срослись. Чем ниже парабола, тем ближе углы к прямым:

Случай когда у параболы нет нулей, а значит, обратная функция будет иметь только одну ветвь без вертикальных асимптот (горка). Чем выше поднимается парабола, тем площе будет горка:

Итак,

• Если у параболы один нуль, тогда есть две ветви.

• если у параболы нулей нет, то ветви сливаются в холмик или горку [у гиперболы $frac 1 {kx+b}$ такой ситуации не бывает, так как знаменатель всегда равен нулю в какой-то точке]

• если у параболы два нуля, тогда есть три ветви — две похожи на гиперболические, одна похожа на параболу

$y=frac {1} {x^2 + px + q} =frac {1} {a(x-b)^2 + c} $

Верзьера Аньези — Википедия

https://www.desmos.com/calculator/dc7gspvnfw

Выгодский справочник по высшей математике, параграф 506

или верзие́ра Анье́зи (иногда ло́кон Анье́зи) — плоская кривая, геометрическое место точек $M$, для которых выполняется соотношение $ {frac {BM}{BC}}={frac {OA}{OB}}$, где $OA$ — диаметр окружности, $BC$ — полухорда этой окружности, перпендикулярная $ OA$. Своё название верзьера Аньези получила в честь итальянского математика Марии Гаэтаны Аньези, исследовавшей эту кривую.

Построение верзьеры:

Пьер Ферма в 1630 году нашёл площадь области между кривой и её асимптотой.

В 1703 году Гвидо Гранди, независимо от Ферма, описал построение этой кривой, а в работе 1718 года назвал её верзьерой (итал. Versiera, от лат. Versoria), так как в его конструкции использовалась функция синус-верзус (обращенный синус).

В прямоугольной системе координат:
$ y={frac {a^{3}}{a^{2}+x^{2}}}$

Кривая имеет один максимум — и две точки перегиба

Площадь под графиком $ S=pi a^{2}$ равна учетверенной площади производящего круга.

Объем тела вращения верзьеры вокруг асимптоты равен удвоенному объему тела вращения производящего круга

Объем тела вращения верзьеры вокруг оси симметрии имеет бесконечный объем

Строится окружность диаметра $ a$ и касательная к ней. На касательной выбирается система отсчёта с началом в точке касания. Строится прямая через выбранную точку касательной и точку окружности, противоположную точке касания. Эта прямая пересекает окружность в некоторой точке. Через эту точку строится прямая, параллельная касательной. Точка верзьеры лежит на пересечении этой прямой и перпендикуляра к касательной в выбранной точке.

Трамплин-рампа российского авианосца Адмирал флота Советского Союза Кузнецов образован верзьерой Аньези. Когда самолет сходит с рампы, он находится в идеальном угле атаки при скорости 180—200 км/ч (для Су-27). Теоретически, с рампы-трамплина может взлететь самолет любой взлетной массы.

Кадры взлета и посадки самолетов с авианесущего крейсера «Адмирал Кузнецов» — YouTube Запечатлены разгон и взлет самолетов с носового трамплина, а также их посадка при помощи аэрофинишера. трамплинный взлет и посадка на палубу являются сложнейшими элементами полета. При колоссальной перегрузке в 8-9 единиц пилот должен продемонстрировать ювелирную точность, чтобы попасть в небольшой участок между аэрофинишерами

https://www.desmos.com/calculator/bqhzu0uwul

Если ветви смотрят в одну сторону, то на бесконечности отношение стремится к положительной константе, а если в разные стороны — то к отрицательной константе. Это дает горизонтальные асимптоты на + и — бесконечности.

В точках, где знаменатель обращается в ноль (одна или две точки) получаем вертикальные асимптоты.

(не дописано)