Векторы перпендикулярны между собой $ overline{a} = (a_x,a_y) perp overline{b} = (b_x,b_y) $, когда их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение вычисляется путем сложения попарного перемножения соответствующих координат каждого из векторов: $$ a_x cdot b_x + a_y cdot b_y = 0 $$
| Пример 1 |
| При каком значении n векторы перпендикулярны? $ overline{a} = (2,1) $ и $ overline{b} = (1,n) $ |
| Решение |
|
Находим скалярное произведение двух векторов. Умножаем первые координаты обоих векторов. Аналогично повторяем действие для вторых координат. Складываем полученные произведения: $$ (overline{a},overline{b}) = 2 cdot 1 + 1 cdot n = 2 + n $$ Приравниваем полученное выражение к нулю. Решаем уравнение относительно одной переменной $ n $: $$ 2+n = 0 $$ Отсюда получаем, что $$ n = -2 $$ При значении параметра n = -2 два вектора взаимно перпендикулярны. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ n = -2 $$ |
| Пример 2 |
| При каком значении m векторы перпендикулярны? $ overline{a} = (1,0,m) $ и $ overline{b} = (-1,2,4) $ |
| Решение |
|
Записываем скалярное произведение двух векторов, перемножая соответствующие координаты: $$ (overline{a},overline{b}) = 1 cdot (-1) + 0 cdot 2 + m cdot 4 = -1 + 4m $$ Приравниваем к нулю получившееся выражение. Решаем уравнение относительно неизвестного значения $ m $: $$ -1 + 4m = 0 $$ Переносим отрицательную единицу со знаком плюс в правую часть уравнения. Делим обе части уравнения на четыре: $$ m = frac{1}{4} $$ Получили, что при значении $ m = frac{1}{4} $ оба вектора $ overline{a} $ и $ overline{b} $ взаимно перпендикулярны. |
| Ответ |
| $$ m = frac{1}{4} $$ |
Данная статья раскрывает смысл перпендикулярности двух векторов на плоскости в трехмерном пространстве и нахождение координат вектора, перпендикулярному одному или целой паре векторов. Тема применима для задач, связанных с уравнениями прямых и плоскостей.
Мы рассмотрим необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов, решим по методу нахождения вектора, перпендикулярному заданному, затронем ситуации по отысканию вектора, который перпендикулярен двум векторам.
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов
Применим правило о перпендикулярных векторах на плоскости и в трехмерном пространстве.
При условии значения угла между двумя ненулевыми векторами равным 90°( π2 радиан) называют перпендикулярными.
Что это значит, и в каких ситуациях необходимо знать про их перпендикулярность?
Установление перпендикулярности возможно через чертеж. При отложении вектора на плоскости от заданных точек можно геометрически измерить угол между ними. Перпендикулярность векторов если и будет установлена, то не совсем точно. Чаще всего данные задачи не позволяют делать это при помощи транспортира, поэтому данный метод применим только в случае, когда ничего больше о векторах неизвестно.
Большинство случаев доказательства перпендикулярности двух ненулевых векторов на плоскости или в пространстве производится с помощью необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух векторов.
Скалярное произведение двух ненулевых векторов a→ и b→ равном нулю для выполнения равенства a→, b→=0 достаточно для их перпендикулярности.
Пусть заданные векторы a→ и b→ перпендикулярны, тогда выполним доказательство равенства a⇀, b→=0.
Из определения про скалярное произведение векторов мы знаем, что оно равняется произведению длин заданных векторов на косинус угла между ними. По условию a→ и b→ перпендикулярны, а, значит, исходя из определения, угол между ними 90°. Тогда имеем a→, b→=a→·b→·cos(a→, b→^)=a→·b→·cos90°=0.
Вторая часть доказательства
При условии, когда a⇀, b→=0 доказать перпендикулярность a→ и b→.
По сути доказательство является обратным предыдущему. Известно, что a→ и b→ ненулевые, значит, из равенстваa⇀, b→=a→·b→·cos(a→, b→)^ найдем косинус. Тогда получим cos(a→, b→)^=(a→,b→)a→·b→=0a→·b→=0. Так как косинус равен нулю, можем сделать вывод, что угол a→, b→^ векторов a→ и b→ равен 90°. По определению это и есть необходимое и достаточное свойство.
Условие перпендикулярности на координатной плоскости
Раздел скалярного произведения в координатах демонстрирует неравенство (a→, b→)=ax·bx+ay·by, справедливое для векторов с координатами a→=(ax, ay) и b→=(bx, by), на плоскости и (a→,b→)=ax·bx+ay·by для векторов a→=(ax, ay, az) и b→=(bx, by, bz) в пространстве. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов в координатной плоскости имеет вид ax·bx+ay·by=0, для трехмерного пространства ax·bx+ay·by+az·bz=0.
Применим на практике и рассмотрим на примерах.
Проверить свойство перпендикулярности двух векторов a→=(2, -3), b→=(-6, -4).
Решение
Для решения данной задачи необходимо найти скалярное произведение. Если по условию оно будет равным нулю, значит, они перпендикулярны.
(a→, b→)=ax·bx+ay·by=2·(-6)+(-3)·(-4)=0. Условие выполнено, значит, заданные векторы перпендикулярны на плоскости.
Ответ: да, заданные векторы a→ и b→ перпендикулярны.
Даны координатные векторы i→, j→, k→. Проверить, могут ли векторы i→-j→ и i→+2·j→+2·k→ быть перпендикулярными.
Решение
Для того, чтобы вспомнить, как определяются координаты вектора, нужно прочитать статью про координаты вектора в прямоугольной системе координат. Таким образом получаем, что у заданных векторов i→-j→ и i→+2·j→+2·k→ имеются соответствующие координаты (1,-1, 0) и (1, 2, 2). Подставляем числовые значения и получаем: i→+2·j→+2·k→, i→-j→=1·1+(-1)·2+0·2=-1.
Выражение не равно нулю, (i→+2·j→+2·k→, i→-j→)≠0, а это означает, что векторы i→-j→ и i→+2·j→+2·k→ не перпендикулярны, так как условие не выполнилось.
Ответ: нет, векторы i→-j→ и i→+2·j→+2·k→ не перпендикулярны.
Даны векторы a→=(1,0,-2) и b→=(λ, 5, 1). Найти значение λ, при котором данные векторы перпендикулярны.
Решение
Используем условие перпендикулярности двух векторов в пространстве в квадратной форме, тогда получим
ax·bx+ay·by+az·bz=0 ⇔1·λ+0·5+(-2)·1=0 ⇔λ=2
Ответ: векторы перпендикулярны при значении λ=2.
Имеются случаи, когда вопрос о перпендикулярности невозможен даже при необходимом и достаточном условии. При известных данных о трех сторонах треугольника на двух векторах, возможно, найти угол между векторами и проверить его.
Дан треугольник АВС со сторонами АВ=8, АС=6, ВС=10 см. проверить на перпендикулярность векторы AB→ и AC→.
Решение
При перпендикулярности векторов AB→ и AC→ треугольник ABC считается прямоугольным. Тогда применим теорему Пифагора, где ВС – гипотенуза треугольника. Равенство BC2=AB2+AC2 должно выполниться. Отсюда следует, что 102=82+62⇔100=100. Значит, АВ и АС являются катетами треугольника АВС, следовательно, AB→ и AC→ перпендикулярны.
Нахождение вектора, перпендикулярного данному
Важно научиться находить координаты вектора, перпендикулярного заданному. Это возможно как на плоскости, так и в пространстве при условии перпендикулярности векторов.
Нахождение вектора, перпендикулярного данному в плоскости.
Ненулевой вектор a→ может иметь бесконечное количество перпендикулярных векторов на плоскости. Изобразим это на координатной прямой.
Задан ненулевой вектор a→, лежащий на прямой а. Тогда заданный b→, расположенный на любой прямой, перпендикулярной прямой а, становится перпендикулярным иa→. Если вектору i→ перпендикулярен вектор j→ или любой из векторов λ·j→при λ равной любому действительному числу кроме нуля, то нахождение координат вектора b→, перпендикулярному a→=(ax, ay), сводится к бесконечному множеству решений. Но необходимо найти координаты вектора, перпендикулярного a→=(ax, ay). Для этого необходимо записать условие перпендикулярности векторов в такой форме ax·bx+ay·by=0. Имеем bx и by , являющиеся искомыми координатами перпендикулярного вектора. Когда ax≠0, значение by является ненулевым, а bx вычислим из неравенства ax·bx+ay·by=0 ⇔bx=-ay·byax. При ax=0 и ay≠0 присваиваем bx любое значение кроме нуля, а by находим из выражения by=-ax·bxay.
Дан вектор с координатами a→=(-2, 2). Найти перпендикулярный данному вектор.
Решение
Обозначим искомый вектор как b→(bx, by). Найти его координаты можно из условия перпендикулярности векторов a→ и b→. Тогда получим: (a→, b→)=ax·bx+ay·by=-2·bx+2·by=0. Присвоим by=1 и подставим: -2·bx+2·by=0⇔-2·bx+2=0. Отсюда из формулы получим bx=-2-2=12. Значит, вектор b→=(12, 1) является вектором, перпендикулярным a→.
Ответ: b→=(12, 1).
Если ставится вопрос о трехмерном пространстве, задача решается по такому же принципу. При заданном векторе a→=(ax, ay, az) существует бесконечное множество перпендикулярных векторов. Зафиксирует это на координатной трехмерной плоскости. Дана a→ , лежащая на прямой a. Перпендикулярную прямой a плоскость обозначаем α. В этом случае любой ненулевой вектор b→ из плоскости α перпендикулярен a→.
Необходимо найти координаты b→, перпендикулярного ненулевому вектору a→=(ax, ay, az).
Пусть задан b→ с координатами bx, by и bz. Чтобы найти их, необходимо применить определение условия перпендикулярности двух векторов. Равенство ax·bx+ay·by+az·bz=0 должно выполняться. Из условия a→ — ненулевой, значит, одна из координат имеет значение не равное нулю. Предположим, что ax≠0, ( ay≠0 или az≠0). Следовательно, имеем право разделить на эту координату все неравенство ax·bx+ay·by+az·bz=0, получим выражениеbx+ay·by+az·bzax=0⇔bx=-ay·by+az·bzax. Присваиваем координатам by и bx любое значение, вычисляем значение bx, исходя из формулы, bx=-ay·by+az·bzax. Искомый перпендикулярный вектор будет иметь значение a→=(ax, ay, az).
Рассмотрим доказательство на примере.
Дан вектор с координатами a→=(1, 2, 3) . Найти вектор, перпендикулярный данному.
Решение
Обозначим искомый вектор за b→=(bx, by, bz). Исходя из условия о перпендикулярности векторов, скалярное произведение должно быть равным нулю.
a⇀, b⇀=0⇔ax·bx+ay·by+az·bz=0⇔1·bx+2·by+3·bz=0⇔bx=-(2·by+3·bz)
Если значение by=1, bz=1, тогда bx=-2·by-3·bz=-(2·1+3·1)=-5. Отсюда следует, что координаты вектора b→(-5, 1, 1). Вектор b→ является одним из перпендикулярных векторов заданному.
Ответ: b→=(-5, 1, 1).
Нахождение координат вектора, перпендикулярного двум заданным векторам
Нужно найти координаты вектора в трехмерном пространстве. Он перпендикулярен не коллинеаренным векторамa→(ax, ay, az) и b→=(bx, by, bz). При условии коллинеарности векторов a→ и b→ в задаче достаточно будет найти вектор, перпендикулярный a→ или b→.
При решении применяется понятие векторного произведения векторов.
Векторным произведением векторов a→ и b→ называют вектор, одновременно перпендикулярный и a→ и b→. Для решения данной задачи применяется векторное произведение a→×b→. Для трехмерного пространства имеет вид a→×b→=a→j→k→axayazbxbybz
Разберем подробнее векторное произведение на примере задачи.
Заданы векторы b→=(0, 2, 3) и a→=(2, 1, 0). Найти координаты любого перпендикулярного вектора данным одновременно.
Решение
Для решения необходимо найти векторное произведение векторов. (Необходимо обратиться к пункту вычисления определителя матрицы для нахождения вектора). Получим :
a→×b→=i→j→k→210023=i→·1·3+j→·0·0+k→·2·2-k→·1·0-j→·2·3-i→·0·2=3·i→+(-6)·j→+4·k→
Ответ: (3, -6, 4) — координаты вектора, одновременно перпендикулярного заданным a→ и b→.
Содержание:
- Формула
- Примеры нахождения перпендикулярного вектора
Формула
Для того чтобы вектор $bar{a}$ был перпендикулярен вектору
$bar{b}$ необходимо, чтобы их
скалярное произведение было равно нулю, то есть
В случае если векторы заданы на плоскости своими координатами
$bar{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$ и $bar{b}=left(b_{x} ; b_{y}right)$, то условие их перпендикулярности примет вид:
$$(bar{a}, bar{b})=a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}=0$$
Если векторы заданны в пространстве и имеют координаты
$bar{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)$ и $bar{b}=left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}right)$, то условие перпендикулярности запишется в виде:
$$(bar{a}, bar{b})=a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}+a_{z} cdot b_{z}=0$$
Примеры нахождения перпендикулярного вектора
Пример
Задание. Даны два вектора
$bar{a}=(2 ;-1)$ и $bar{b}=(-3 ; m)$ . При каком значении
$m$ эти векторы будут перпендикулярны?
Решение. Для того чтобы векторы
$bar{a}$ и
$bar{b}$ были перпендикулярны необходимо, чтобы их скалярное
произведение было равно нулю, то есть выполнялось условие:
$$(bar{a}, bar{b})=a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}=0$$
Подставим в это выражение координаты заданных векторов и из полученного равенства найдем
$m$:
$$2 cdot(-3)+(-1) cdot m=0$$
$$-6-m=0$$
$$m=-6$$
Ответ. Векторы
$bar{a}$ и
$bar{b}$ будут перпендикулярны при $m=-6$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Заданы два вектора
$bar{a}=(3 ;-2 ; m)$ и $bar{b}=(-1 ; m ; 1)$ . При каком значении
$m$ эти векторы будут перпендикулярны?
Решение. Два вектора
$bar{a}$ и
$bar{b}$ будут перпендикулярны тогда, когда их скалярное
произведение будет равняться нулю. И так как векторы заданны в пространстве, то должно выполнялось условие:
Подставим в него заданные координаты векторов, получим:
$$(bar{a}, bar{b})=a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}+a_{z} cdot b_{z}=0$$
$$3 cdot(-1)+(-2) cdot m+m cdot 1=0$$
$$3-2 cdot m+m=0$$
Из полученного уравнения найдем $m$:
$$3-m=0 Rightarrow m=-3$$
Ответ. Векторы
$bar{a}$ и
$bar{b}$ будут перпендикулярны при
$m=-3$
Читать дальше: как найти орт вектора.
������������������ ��������
�������� �����:
������������������, ������ �����, ��������������, ������, ������������ �������, ����������
������� ������������������ ��������
- ������� �������� ����������������� ����� � ������ �����, ����� �� ��������� ������������ ����� ����.
- ���� ��� ������� $$vec a(x_{a}; y_{a})$$ � $$vec b(x_{b}; y_{b})$$. ��� ������� ����� ���������������, ���� ��������� xaxb + yayb = 0.
������� �������������� ��������
- ������� �����������, ���� �������� ������� ������� ��������� �
�������� ������� ��� ��, ��� �������� ������� — � �������� �������. - ���� ��� ������� $$vec a(x_{a}; y_{a})$$ � $$vec b(x_{b}; y_{b})$$. ��� ������� �����������, ���� xa = $$lambda$$ xb � ya = $$lambda$$ yb, ��� $$lambda in R$$.
��. �����:
���� �� ���������,
���������� �������
Примеры задач на ортогональность векторов
Примеры плоских задач на ортогональность векторов
Так в случае плоской задачи для векторов a = {ax; ay} и b = {bx; by}, условие ортогональности запишется следующим образом:
a · b = ax · bx + ay · by = 0
Пример 1. Доказать что вектора a = {1; 2} и b = {2; -1} ортогональны.
Решение:
Найдем скалярное произведение этих векторов:
a · b = 1 · 2 + 2 · (-1) = 2 — 2 = 0
Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны.
Пример 2. Проверить являются ли вектора a = {3; -1} и b = {7; 5} ортогональными.
Решение:
Найдем скалярное произведение этих векторов:
a · b = 3 · 7 + (-1) · 5 = 21 — 5 = 16
Ответ: так как скалярное произведение не равно нулю, то вектора a и b не ортогональны.
Пример 3. Найти значение числа n при котором вектора a = {2; 4} и b = {n; 1} будут ортогональны.
Решение:
Найдем скалярное произведение этих векторов:
a · b = 2 · n + 4 · 1 = 2n + 4
2n + 4 = 0
2n = -4
n = -2
Ответ: вектора a и b будут ортогональны при n = -2.
Примеры пространственных задач на ортогональность векторов
Так в случае пространственной задачи для векторов a = {ax; ay; az} и b = {bx; by; bz}, условие ортогональности запишется следующим образом:
a · b = ax · bx + ay · by + az · bz = 0
Пример 4. Доказать что вектора a = {1; 2; 0} и b = {2; -1; 10} ортогональны.
Решение:
Найдем скалярное произведение этих векторов:
a · b = 1 · 2 + 2 · (-1) + 0 · 10 = 2 — 2 + 0 = 0
Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны.
Пример 5. Проверить являются ли вектора a = {2; 3; 1} и b = {3; 1; -9} ортогональными.
Решение:
Найдем скалярное произведение этих векторов:
a · b = 2 · 3 + 3 · 1 + 1 · (-9) = 6 + 3 -9 = 0
Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны.
Пример 6. Найти значение числа n при котором вектора a = {2; 4; 1} и b = {n; 1; -8} будут ортогональны.
Решение:
Найдем скалярное произведение этих векторов:
a · b = 2 · n + 4 · 1 + 1 · (-8)= 2n + 4 — 8 = 2n — 4
2n — 4 = 0
2n = 4
n = 2
Ответ: вектора a и b будут ортогональны при n = 2.